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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Ciò si estende per isomorfismo al caso di tutti gli spazi normati di dimensione
finita, mentre nel caso degli spazi normati di dimensione infinita le cose cambiano radicalmente.
Gli esempi che seguono, particolarmente istruttivi, sono in perfetto accordo
con il teorema successivo.
Esempio 2.5: spazi di Hilbert di dimensione infinita. Sia V uno spazio di
Hilbert di dimensione infinita. Dimostriamo che la palla unitaria chiusa B di V ,
cioè l’insieme B = {v ∈ V : v ≤ 1} , che evidentemente è un sottoinsieme chiuso e
limitato di V , non è un insieme compatto.
Essendo V di dimensione infinita, possiamo trovare una successione {vn} di vettori
linearmente indipendenti. Adattando la consueta procedura di ortonormalizzazione
ben nota nel caso euclideo, costruiamo una successione {en} di vettori ortogonali a due
a due e tutti di norma unitaria, in particolare tutti appartenenti a B . Ma la formula
(I.3.20) del binomio fornisce en − em 2 = 2 per n = m , per cui nessuna sottosuccessione
può essere di Cauchy. Dunque B non è sequenzialmente compatto.
La stessa costruzione mostra che, se ε < √ 2/2 , occorrono infine palle di raggio
ε per ricoprire già tutti i punti en , per cui B non è totalmente limitato. Ciò è in
accordo con il teorema precedente dato che B è completo in quanto chiuso.
Il fatto che la palla unitaria chiusa B non sia un sottoinsieme totalmente limitato
non deve stupire se si fa il ragionamento seguente. Il controllo che il cubo C = [0, 1] n
di R n è totalmente limitato corrisponde grosso modo a saper ricoprire C con un
numero finito di cubi di lato arbitrariamente piccolo. Ora, se vogliamo cubi (chiusi per
semplicità) di lato 1/m , servono m n cubi, e tale numero dipende dalla dimensione e
diverge al divergere della dimensione.
Esempio 2.6: lo spazio C 0 [a, b] (seguito). La palla unitaria chiusa B di questo
spazio non è compatta. Ancora vediamo che essa non è compatta per successioni considerando
la successione {vn} degli elementi di B definiti dalle formule vn(t) = t n ,
t ∈ [0, 1] . Supponiamo che una certa sottosuccessione, che denotiamo per semplicità
con {uk} , converga a un certo limite u ∈ B . Siccome la convergenza dello spazio è
la convergenza uniforme e questa implica la convergenza puntuale, per determinare u
basta calcolare il limite puntuale di {uk} . Ma uk = vnk per certi indici nk e la successione
uk converge, come la successione data, puntualmente alla funzione v definita
dalle formule v(t) = 0 se t ∈ [0, 1) e v(1) = 1 . Dunque u = v , il che è assurdo in
quanto v è discontinua.
Teorema 2.7. La palla unitaria chiusa di uno spazio normato V è un sottoinsieme
compatto di V se e solo se V ha dimensione finita.
Al contrario, per gli spazi di Fréchet degli Esempi I.3.28 e I.3.29 la condizione
che un sottoinsieme sia chiuso e limitato (con una opportuna definizione di limitatezza
adatta al caso vettoriale topologico) implica la sua compattezza. Questo fatto, di dimostrazione
non affatto banale, implica che questi spazi non sono normabili.
Tutte le volte che facciamo intervenire insiemi compatti dobbiamo supporre che essi
siano chiusi, almeno nel caso (interessante) di topologie di Hausdorff, per il Teorema 1.7.
Capitolo V: Compattezza 49