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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
si dice palla di centro x e raggio r .
Definizione 2.2. Uno spazio metrico è una coppia (X, d) ove X è un insieme non
vuoto e d è una metrica in X .
Si può fare un’osservazione analoga alla 1.2: anche in questo caso la metrica d è
frutto di una scelta e su uno stesso insieme possono essere prese più metriche, ciascuna
delle quali attribuisce un suo significato alle parole distanza e palla. Anche in questo
caso, tuttavia, si usa spesso la notazione abbreviata X per denotare uno spazio metrico:
in tal caso è inteso che effettivamente è stata scelta una metrica in X non accompagnata
da una notazione precisa. In taluni casi poi, vi è una metrica privilegiata, come nel caso
dello spazio euclideo che tratteremo fra un attimo. Notiamo infine che dalle proprietà
della metrica segue quest’altra
detta come la (2.4) disuguaglianza triangolare.
|d(x, y) − d(x, z)| ≤ d(x, z) (2.6)
Sia ora (X, d) uno spazio metrico e, per ogni x ∈ X fissato, consideriamo l’insieme
B(x) costituite da tutte le palle di centro x . Allora, come si vede facilmente usando
le proprietà della metrica, le condizioni del Teorema 1.8 sono soddisfatte, per cui è ben
definita la topologia nella quale, per ogni x ∈ X , la famiglia di tutte le palle di centro
x è una base di intorni.
Definizione 2.3. Sia (X, d) uno spazio metrico. La topologia nella quale, per ogni
x ∈ X , la famiglia di tutte le palle di centro x è una base di intorni è detta topologia
indotta dalla metrica d . Uno spazio topologico è detto metrizzabile se esiste una metrica
che ne induce la topologia.
Dunque, per definizione, le palle di uno spazio metrico costituiscono basi di intorni
per la topologia indotta. Si vede facilmente che basi che inducono la stessa topologia si
ottengono imponendo ai raggi delle palle di non superare quantità positive prefissate,
eventualmente dipendenti dal punto, oppure di variare solo in successioni positive infinitesime.
Un’altra base di intorni di x per la topologia indotta dalla metrica d si
ottiene prendendo le cosiddette palle chiuse: {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} . Per il controllo
delle affermazioni precedenti basta riprendere l’Osservazione 1.9. La stessa osservazione
consente di verificare quanto segue.
Consideriamo due metriche d ′ e d ′′ sullo stesso insieme X e denotiamo con B ′ r(x)
e con B ′′
r (x) la palla di centro x e raggio r nelle due metriche d ′ e d ′′ rispettivamente.
Allora d ′ e d ′′ inducono la stessa topologia o, come si dice, sono topologicamente
equivalenti, se e solo se, per ogni x ∈ X , valgono le due condizioni
per ogni r ′ > 0 esiste r ′′ > 0 tale che B ′′
r ′′(x) ⊆ B′ r ′(x)
per ogni r ′′ > 0 esiste r ′ > 0 tale che B ′ r ′(x) ⊆ B′′ r ′′(x).
Una condizione sufficiente perché le due metriche inducano la stessa topologia è che
esistano due costanti c1 e c2 tali che
d ′ (x, y) ≤ c1d ′′ (x, y) e d ′′ (x, y) ≤ c2d ′ (x, y) per ogni x, y ∈ X. (2.7)
Capitolo I: I concetti fondamentali 4