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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
elemento di E ′ . Se uno degli xn appartiene a E ′ siamo a posto. In caso contrario, con
un procedimento ricorsivo, si costruisce una successione reale positiva {rn} tale che,
per ogni n e k < n le due palle Brn (xn) e Brk (xk) siano disgiunte. Siccome tutte
queste palle costituiscono un ricoprimento aperto di E dal quale non è possibile estrarre
alcun sottoricoprimento finito, E non è compatto. Essendo K compatto, deduciamo
che E non è chiuso e, dunque, ha un punto di accumulazione.
Da (ii) a (iii) . Se {xn} è una successione di Cauchy di elementi di K , essa
converge in K dato che una sua sottosuccessione converge in K . Dunque K è completo.
Vediamo la totale limitatezza ragionando per assurdo. Sia dunque ε > 0 tale che
nessuna famiglia finita di palle di raggio ε ricopra K . Allora, con un procedimento
ricorsivo, si costruisce una successione {xn} di elementi di K tale che, per ogni n , la
palla Bε(xn) non contenga xk per k < n . Allora d(xn, xm) ≥ ε per n = m e {xn}
non ha sottosuccessioni di Cauchy. Assurdo.
Da (iii) a (i) . Fissiamo un ricoprimento aperto R di K . Per comodità diciamo
che un sottoinsieme K ′ di K è buono quando esiste una famiglia finita R ′ ⊆ R
che ricopre K e che K ′ è cattivo in caso contrario e dimostriamo che K è buono.
Ragionando per assurdo supponiamo K cattivo. Notiamo innanzi tutto che ogni unione
finita di sottoinsiemi buoni di K è un sottoinsieme buono di K . Costruiamo, per ogni
n ≥ 1 , un ricoprimento finito Rn di K costituito da palle di raggio 1/n . Se tutti gli
insiemi B ∩ K con B ∈ R1 fossero buoni, K sarebbe buono mentre esso è cattivo,
per cui esiste B1 ∈ R1 tale che l’insieme K1 = B1 ∩ K è cattivo. Se tutti gli insiemi
B ∩ K1 con B ∈ R2 fossero buoni, K1 sarebbe buono mentre esso è cattivo, per cui
esiste B2 ∈ R2 tale che l’insieme K2 = B2 ∩ K1 è cattivo. Procedendo, si viene a
costruire una successione di palle {Bn} tale che Bn ∈ Rn per ogni n e tutti gli insiemi
n Kn =
i=1
sono cattivi. Siccome l’insieme vuoto è buono, nessuno dei Kn è vuoto e, per ogni n ,
possiamo scegliere xn ∈ Kn . Allora è facile vedere che la successione {xn} è di Cauchy,
dunque convergente a un punto x ∈ K . Deduciamo che x ∈ A per un certo A ∈ R e
possiamo scegliere n abbastanza grande in modo che Bn ⊆ A . Segue che Kn ⊆ A e
che Kn è buono. Assurdo.
Notato che ogni sottoinsieme limitato di R è (ovviamente) totalmente limitato,
otteniamo immediatamente il risultato seguente, noto come Teorema di Heine-Borel:
Bn
∩ K
Corollario 2.3. Ogni sottoinsieme chiuso e limitato di R è compatto.
In realtà possiamo dire che la condizione del corollario è necessaria e sufficiente per
la compattezza, dato che la chiusura segue dal Teorema 1.7 e la limitatezza è banalmente
implicata dalla totale limitatezza oppure dall’Osservazione 1.6, e ciò è affermato nel
risultato più generale che ora enunciamo. Combinando infatti con il Teorema 1.8 e
ancora con il Teorema 1.7, otteniamo la caratterizzazione dei compatti euclidei.
Teorema 2.4. Sia K ⊆ R n . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: (i) K è
compatto; (ii) K è compatto per successioni; (iii) K è chiuso e limitato.
Capitolo V: Compattezza 48