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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Applichiamo il Teorema 1.9 nel caso Y = R , limitandoci per brevità alla sola compattezza, ma considerazioni analoghe valgono per la compattezza per successioni: deduciamo che, se K è un sottoinsieme compatto di X , allora f(K) è un sottoinsieme compatto di R . Allora f(K) è chiuso per il Teorema 1.7 e limitato per l’Esempio 1.6. Deduciamo che f(K) ha l’elemento massimo e l’elemento minimo e otteniamo il cosiddetto Teorema di Weierstrass: Teorema 1.10. Se K è un compatto di uno spazio topologico, ogni funzione reale continua in K ha almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo e, se K è un sottoinsieme sequenzialmente compatto, ogni funzione reale sequenzialmente continua in K ha almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo. Vedremo che come casi particolari di compatti possiamo prendere tutti i sottoinsiemi chiusi e limitati di R n , ottenendo in tal modo la versione consueta del Teorema di Weierstrass. Combinando opportunamente il risultato precedente con il Teorema 1.7 non è difficile dimostrare il risultato che segue. Corollario 1.11. Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y continua e biiettiva. Allora, se X è compatto e Y è di Hausdorff, f è un omeomorfismo. 2. Spazi con strutture più ricche Consideriamo ad esempio il Teorema 1.9: esso è, ovviamente, di grande importanza e si pone il problema di verificare se l’insieme K al quale lo vogliamo applicare è compatto oppure compatto per successioni. Occorre dunque trovare altre caratterizzazioni della compattezza o almeno condizioni sufficienti. Come abbiamo già detto, in generale la compattezza e la compattezza per successioni non sono collegate senza ipotesi sullo spazio topologico X . Se X è metrizzabile le cose vanno meglio. Definizione 2.1. Siano X uno spazio metrico e E ⊆ X . Diciamo che E è totalmente limitato quando, per ogni ε > 0 , esiste un ricoprimento finito di E costituito da palle di X di raggio ε . Teorema 2.2. Siano X uno spazio topologico metrizzabile e K ⊆ X non vuoto. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: (i) K è compatto; (ii) K è compatto per successioni; (iii) se d è una qualunque delle metriche che inducono la topologia di X , K è completo con la metrica indotta e totalmente limitato. Cenno della dimostrazione. Da (i) a (ii) . Sia {xn} una successione di elementi di K . Se c’è una successione costante siamo a posto. In caso contrario possiamo supporre {xn} iniettiva e denotare con E l’immagine della successione e con E ′ l’insieme dei punti di accumulazione per E . Osserviamo preliminarmente che E ′ ⊆ K e che, se x ∈ E ′ , allora possiamo estrarre da {xn} una sottosuccessione convergente a x dato che ogni spazio metrizzabile è a basi numerabili di intorni. Dunque basta trovare un Capitolo V: Compattezza 47
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale elemento di E ′ . Se uno degli xn appartiene a E ′ siamo a posto. In caso contrario, con un procedimento ricorsivo, si costruisce una successione reale positiva {rn} tale che, per ogni n e k < n le due palle Brn (xn) e Brk (xk) siano disgiunte. Siccome tutte queste palle costituiscono un ricoprimento aperto di E dal quale non è possibile estrarre alcun sottoricoprimento finito, E non è compatto. Essendo K compatto, deduciamo che E non è chiuso e, dunque, ha un punto di accumulazione. Da (ii) a (iii) . Se {xn} è una successione di Cauchy di elementi di K , essa converge in K dato che una sua sottosuccessione converge in K . Dunque K è completo. Vediamo la totale limitatezza ragionando per assurdo. Sia dunque ε > 0 tale che nessuna famiglia finita di palle di raggio ε ricopra K . Allora, con un procedimento ricorsivo, si costruisce una successione {xn} di elementi di K tale che, per ogni n , la palla Bε(xn) non contenga xk per k < n . Allora d(xn, xm) ≥ ε per n = m e {xn} non ha sottosuccessioni di Cauchy. Assurdo. Da (iii) a (i) . Fissiamo un ricoprimento aperto R di K . Per comodità diciamo che un sottoinsieme K ′ di K è buono quando esiste una famiglia finita R ′ ⊆ R che ricopre K e che K ′ è cattivo in caso contrario e dimostriamo che K è buono. Ragionando per assurdo supponiamo K cattivo. Notiamo innanzi tutto che ogni unione finita di sottoinsiemi buoni di K è un sottoinsieme buono di K . Costruiamo, per ogni n ≥ 1 , un ricoprimento finito Rn di K costituito da palle di raggio 1/n . Se tutti gli insiemi B ∩ K con B ∈ R1 fossero buoni, K sarebbe buono mentre esso è cattivo, per cui esiste B1 ∈ R1 tale che l’insieme K1 = B1 ∩ K è cattivo. Se tutti gli insiemi B ∩ K1 con B ∈ R2 fossero buoni, K1 sarebbe buono mentre esso è cattivo, per cui esiste B2 ∈ R2 tale che l’insieme K2 = B2 ∩ K1 è cattivo. Procedendo, si viene a costruire una successione di palle {Bn} tale che Bn ∈ Rn per ogni n e tutti gli insiemi n Kn = i=1 sono cattivi. Siccome l’insieme vuoto è buono, nessuno dei Kn è vuoto e, per ogni n , possiamo scegliere xn ∈ Kn . Allora è facile vedere che la successione {xn} è di Cauchy, dunque convergente a un punto x ∈ K . Deduciamo che x ∈ A per un certo A ∈ R e possiamo scegliere n abbastanza grande in modo che Bn ⊆ A . Segue che Kn ⊆ A e che Kn è buono. Assurdo. Notato che ogni sottoinsieme limitato di R è (ovviamente) totalmente limitato, otteniamo immediatamente il risultato seguente, noto come Teorema di Heine-Borel: Bn ∩ K Corollario 2.3. Ogni sottoinsieme chiuso e limitato di R è compatto. In realtà possiamo dire che la condizione del corollario è necessaria e sufficiente per la compattezza, dato che la chiusura segue dal Teorema 1.7 e la limitatezza è banalmente implicata dalla totale limitatezza oppure dall’Osservazione 1.6, e ciò è affermato nel risultato più generale che ora enunciamo. Combinando infatti con il Teorema 1.8 e ancora con il Teorema 1.7, otteniamo la caratterizzazione dei compatti euclidei. Teorema 2.4. Sia K ⊆ R n . Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: (i) K è compatto; (ii) K è compatto per successioni; (iii) K è chiuso e limitato. Capitolo V: Compattezza 48
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Page 37 and 38: Capitolo IV Qualche elemento di ana
Page 47: Gianni Gilardi Elementi di Topologi
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