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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Esempio 1.6. Nessun sottoinsieme illimitato E ⊆ R N è compatto. Consideriamo
infatti il ricoprimento aperto R di E costituito da tutte le palle di raggio 1 aventi i
centri nei punti di E . Siccome ogni famiglia finita R ′ ⊆ R ha unione limitata, se E
non è limitato nessuna di tali famiglie può ricoprire tutto E .
Per verificare che l’insieme illimitato E ⊆ R N non è compatto per successioni
basta osservare che esso contiene una successione {xn} divergente (in modulo) e che
da questa non è possinile estrarre successioni convergenti.
L’ipotesi di compattezza è ricca di conseguenze, ma qui ci dobbiamo limitare a
pochi risultati fra i più importanti. Notiamo che alcuni di questi fanno intervenire la
proprietà di separazione di Hausdorff che, dunque, non riguarda solo l’unicità del limite.
Teorema 1.7. Siano X uno spazio topologico e K ⊆ X . Se X è compatto e K
è chiuso, allora K è compatto. Se X è di Hausdorff e K è compatto, allora K
è chiuso.
Cenno della dimostrazione. Per la prima parte fissiamo un ricoprimento aperto
R di K . Allora è un ricoprimento aperto di X quello ottenuto aggiungendo a R
l’aperto X \ K . Estratto da questo un ricoprimento finito di X , si arriva facilmente a
un ricoprimento finito di K estratto da R .
Per la seconda parte fissiamo x ∈ X \ K . Per ogni y ∈ K troviamo due intorni
aperti Ay di y e By di x disgiunti. Consideriamo il ricoprimento di K costituito da
tutti gli aperti Ay costruiti ed estraiamo un sottoricoprimento finito. Ciò corrisponde
a considerare gli aperti Ay relativi a un numero finito di scelte del tipo y = yi ∈ K ,
i = 1, . . . , m . Allora l’intersezione dei Byi è un intorno di x disgiunto da K .
Teorema 1.8. Siano X1 e X2 due spazi topologici e X = X1 × X2 il loro prodotto,
munito della topologia prodotto. Siano inoltre E1 ⊆ X1 e E2 ⊆ X2 due sottoinsiemi
compatti degli spazi dati. Allora E1 × E2 è un sottoinsieme compatto di X . In
particolare, se X1 e X2 sono compatti, anche X è compatto.
Risultati perfettamente analoghi valgono per la compattezza per successioni. Del
risultato successivo, particolarmente rilevante, diamo le due versioni corrispondenti ai
due tipi di compattezza.
Teorema 1.9. Siano X e Y due spazi topologici, K ⊆ X e f : E → Y . Allora
valgono le conclusioni seguenti: (i) se K è un sottoinsieme compatto di X è f è
continua, l’immagine f(K) è un sottoinsieme compatto di Y ; (ii) se K è un sottoinsieme
sequenzialmente compatto di X è f è sequenzialmente continua, l’immagine
f(K) è un sottoinsieme sequenzialmente compatto di Y .
Cenno della dimostrazione. Sia R un ricoprimento aperto di f(K) . Allora è un
ricoprimento aperto di K la famiglia costituita dalle controimmagini degli elementi
di R . Estratto da questa un ricoprimento finito di K , si arriva facilmente a estrarre
da R un ricoprimento di f(K) .
Per la seconda parte, sia {yn} una successione di elementi di f(K) . Scelti xn ∈ K
tali che f(xn) = yn ed estratta dalla successione {xn} una sottosuccessione convergente,
si conclude facilmente.
Capitolo V: Compattezza 46