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Capitolo V Compattezza Questo capitolo della topologia e dell’analisi funzionale è molto importante. Iniziamo dalle definizioni fondamentali che introducono due nozioni di compattezza, la seconda delle quali è detta precisamente compattezza per successioni ma è spesso chiamata molto più semplicemente compattezza, come la prima. 1. Compattezza in ambito topologico Definizione 1.1. Siano X uno spazio topologico e E ⊆ X . Diciamo che una famiglia R di sottoinsiemi di X è un ricoprimento di E quando l’unione degli insiemi della famiglia R include E . Un ricoprimento R di E è detto aperto quando tutti gli elementi di R sono aperti di X . Definizione 1.2. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme K ⊆ X è detto compatto quando per ogni ricoprimento aperto R di K esiste una famiglia finita R ′ ⊆ R che sia ancora un ricoprimento di E . Definizione 1.3. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme K ⊆ X è detto compatto per successioni, oppure sequenzialmente compatto, quando da ogni successione di elementi di K si può estrarre una sottosuccessione convergente a un elemento di K . Definizione 1.4. Uno spazio topologico X è detto compatto quando X è un sottoinsieme compatto di se stesso ed è detto compatto per successioni quando X è un sottoinsieme compatto per successioni di se stesso. Osservazione 1.5. Siccome il sottoinsieme K di X può essere visto esso stesso come uno spazio topologico rispetto alla topologia indotta da quella di X , abbiamo per K due nozioni di compattezza, quella di sottoinsieme e quella di spazio. Tuttavia non è difficile vedere che esse coincidono. La stessa osservazione vale per quanto riguarda la compattezza per successioni. Osserviamo inoltre che le due nozioni di compattezza sono in generale scollegate. Vedremo invece che esse si equivalgono nel caso degli spazi metrizzabili. Mentre il controllo di una delle due proprietà di compattezza corrisponde in generale all’applicazione di un teorema, verificare che un sottoinsieme E non è compatto è di solito più facile, dato che basta trovare un ricoprimento aperto di E che non ha sottoricoprimenti finiti oppure una successione che non ha sottosuccessioni convergenti.
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Esempio 1.6. Nessun sottoinsieme illimitato E ⊆ R N è compatto. Consideriamo infatti il ricoprimento aperto R di E costituito da tutte le palle di raggio 1 aventi i centri nei punti di E . Siccome ogni famiglia finita R ′ ⊆ R ha unione limitata, se E non è limitato nessuna di tali famiglie può ricoprire tutto E . Per verificare che l’insieme illimitato E ⊆ R N non è compatto per successioni basta osservare che esso contiene una successione {xn} divergente (in modulo) e che da questa non è possinile estrarre successioni convergenti. L’ipotesi di compattezza è ricca di conseguenze, ma qui ci dobbiamo limitare a pochi risultati fra i più importanti. Notiamo che alcuni di questi fanno intervenire la proprietà di separazione di Hausdorff che, dunque, non riguarda solo l’unicità del limite. Teorema 1.7. Siano X uno spazio topologico e K ⊆ X . Se X è compatto e K è chiuso, allora K è compatto. Se X è di Hausdorff e K è compatto, allora K è chiuso. Cenno della dimostrazione. Per la prima parte fissiamo un ricoprimento aperto R di K . Allora è un ricoprimento aperto di X quello ottenuto aggiungendo a R l’aperto X \ K . Estratto da questo un ricoprimento finito di X , si arriva facilmente a un ricoprimento finito di K estratto da R . Per la seconda parte fissiamo x ∈ X \ K . Per ogni y ∈ K troviamo due intorni aperti Ay di y e By di x disgiunti. Consideriamo il ricoprimento di K costituito da tutti gli aperti Ay costruiti ed estraiamo un sottoricoprimento finito. Ciò corrisponde a considerare gli aperti Ay relativi a un numero finito di scelte del tipo y = yi ∈ K , i = 1, . . . , m . Allora l’intersezione dei Byi è un intorno di x disgiunto da K . Teorema 1.8. Siano X1 e X2 due spazi topologici e X = X1 × X2 il loro prodotto, munito della topologia prodotto. Siano inoltre E1 ⊆ X1 e E2 ⊆ X2 due sottoinsiemi compatti degli spazi dati. Allora E1 × E2 è un sottoinsieme compatto di X . In particolare, se X1 e X2 sono compatti, anche X è compatto. Risultati perfettamente analoghi valgono per la compattezza per successioni. Del risultato successivo, particolarmente rilevante, diamo le due versioni corrispondenti ai due tipi di compattezza. Teorema 1.9. Siano X e Y due spazi topologici, K ⊆ X e f : E → Y . Allora valgono le conclusioni seguenti: (i) se K è un sottoinsieme compatto di X è f è continua, l’immagine f(K) è un sottoinsieme compatto di Y ; (ii) se K è un sottoinsieme sequenzialmente compatto di X è f è sequenzialmente continua, l’immagine f(K) è un sottoinsieme sequenzialmente compatto di Y . Cenno della dimostrazione. Sia R un ricoprimento aperto di f(K) . Allora è un ricoprimento aperto di K la famiglia costituita dalle controimmagini degli elementi di R . Estratto da questa un ricoprimento finito di K , si arriva facilmente a estrarre da R un ricoprimento di f(K) . Per la seconda parte, sia {yn} una successione di elementi di f(K) . Scelti xn ∈ K tali che f(xn) = yn ed estratta dalla successione {xn} una sottosuccessione convergente, si conclude facilmente. Capitolo V: Compattezza 46
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