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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale funzioni dispari. Sia ora w ∈ V e si considerino le due funzioni u e v date dalle formule u(x) = 1 1 (w(x) + w(−x)) e v(x) = (w(x) − w(−x)) per q.o. x ∈ R . 2 2 Siccome u ∈ Vp , v ∈ Vd e u + v = w , le funzioni u e v coincidono con le proiezioni ortogonali di w su Vp e su Vd rispettivamente. In particolare esse sono, fra le funzioni pari e le funzioni dispari rispettivamente, quelle più vicine di ogni altra a w nella metrica di V . Esempio 3.8. Siano V uno spazio di Hilbert e w0 un elemento non nullo di V . Vogliamo calcolare la proiezione del generico elemento w ∈ V sul sottospazio V0 generato da w0 , che è chiuso in quanto di dimensione 1 . Siccome questo è costituito da tutti e soli i vettori del tipo u = cw0 con c ∈ R , la vera incognita è lo scalare c e applicando la condizione w −u ∈ V ⊥ 0 si ottiene facilmente la soluzione, che è data dalla formula u = w0 −2 (w, w0) w0 . Il Teorema di decomposizione può essere iterato: ad esempio, dopo una prima applicazione, possiamo considerare come nuovo ambiente il sottospazio V0 (che è di Hilbert in quanto sottospazio chiuso) e prendere un suo sottospazio chiuso V1 . In tal modo si decompone il generico elemento di V nella somma di tre addendi fra loro ortogonali. Nel caso (banale) di uno spazio di dimensione n l’iterazione di questa procedura consente, fissati n sottospazi V1, . . . , Vn tutti di dimensione 1 e fra loro ortogonali, di decomporre il generico w ∈ V nella somma di n vettori u1, . . . , un appartenenti ai rispettivi sottospazi. Questi coincidono con le proiezioni ortogonali e verificano una relazione pitagorica. Se per ogni i scegliamo ad arbitrio un vettore wi ∈ Vi non nullo, abbiamo precisamente ui = (w, wi) wi 2 wi e w 2 = n ui 2 . Osservazione 3.9. Un’estensione importante riguarda il caso di una infinità numerabile {Vn} di sottospazi chiusi dello spazio di Hilbert V a due a due ortogonali, caso al quale accenniamo brevemente. La novità principale riguarda i problemi di convergenza, dato che avremo serie anziché somme finite. Supponiamo innanzi tutto di avere una successione {un} di elementi tali che un ∈ Vn per ogni n . Il primo risultato, che sfrutta in modo determinante la mutua ortogonalità dei vettori, afferma che la serie ∞ n=1 un converge in V se e solo se ∞ n=1 un 2 < +∞ . (3.7) Se tale condizione è soddisfatta, detta u la somma della serie di vettori, vale la conclusione seguente: ciascuno degli un è la proiezione ortogonale di u sul sottospazio Vn . Fissiamo ora w ∈ V e cerchiamo di rappresentare w come serie di elementi presi nei rispettivi sottospazi Vn . Ciò non è di solito possibile e, in generale, vale il risultato che ora illustriamo. Consideriamo il sottospazio generato dall’unione di tutti i Vn , che Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 43 i=1
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale è chiuso solo in situazioni banali, e la sua chiusura che denotiamo con Z per comodità. Allora w ha una rappresentazione del tipo w = ∞ un + z ′ n=1 con un ∈ Vn per ogni n e z ′ ∈ Z ⊥ . Tale rappresentazione è unica, i suoi addendi sono necessariamente le proiezioni ortogonali di w sui rispettivi sottospazi e vale la relazione pitagorica generalizzata w 2 = ∞ n=1 Deduciamo che vale la cosiddetta disuguaglianza di Bessel ∞ n=1 un 2 + z ′ 2 . (3.8) un 2 ≤ w 2 (3.9) e che il fatto che nella (3.9) ci sia il segno di uguaglianza, e in tal caso di parla di uguaglianza di Parseval, equivale a z ′ = 0 , cioè a w ∈ (Z ⊥ ) ⊥ , cioè a w ∈ Z . In particolare resta risolto il problema posto all’inizio quando l’appartenenza di w a Z è soddisfatta per ogni w ∈ V , cioè quando Z = V , vale a dire quando l’unione dei Vn genera un sottospazio denso. Osservazione 3.10. Particolarmente interessante è il caso in cui tutti i sottospazi Vn abbiano dimensione 1 . In tal caso, preso in ciascuno dei Vn un generatore wn e tenendo conto dell’Esempio 3.8, otteniamo la rappresentazione w = ∞ n=1 (w, wn) wn 2 wn + z ′ (3.10) il residuo z ′ essendo nullo se sono verificate le condizioni di cui abbiamo appena parlato. Notiamo che la serie che compare nella (3.10) è detta serie di Fourier di w rispetto al sistema di vettori {wn} . Le serie di Fourier classiche delle funzioni 2π -periodiche si ottengono come caso particolare: basta infatti applicare quanto ottenuto allo spazio dell’Esempio III.3.13 con T = 2π e al sistema costituito dalle funzione date dalle formule 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . Siccome si dimostra che l’unione dei corrispondenti sottospazi generati è densa, ogni funzione w dello spazio è rappresentabile in serie di Fourier. Naturalmente la convergenza della serie è nel senso della media quadratica. La convergenza è di tipo migliore, ad esempio uniforme, solo se w verifica ipotesi supplementari opportune. Tuttavia la nozione di serie di Fourier astratta ha applicazioni molto importanti in problemi lontanissimi dalle funzioni periodiche, ad esempio nell’ambito di vaste classi di problemi ai limiti per equazioni alle derivate parziali. Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 44
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Page 37 and 38: Capitolo IV Qualche elemento di ana
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Page 65 and 66: Capitolo VI Primi problemi ellittic

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