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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
funzioni dispari. Sia ora w ∈ V e si considerino le due funzioni u e v date dalle
formule
u(x) = 1
1
(w(x) + w(−x)) e v(x) = (w(x) − w(−x)) per q.o. x ∈ R .
2 2
Siccome u ∈ Vp , v ∈ Vd e u + v = w , le funzioni u e v coincidono con le proiezioni
ortogonali di w su Vp e su Vd rispettivamente. In particolare esse sono, fra le funzioni
pari e le funzioni dispari rispettivamente, quelle più vicine di ogni altra a w nella
metrica di V .
Esempio 3.8. Siano V uno spazio di Hilbert e w0 un elemento non nullo di V .
Vogliamo calcolare la proiezione del generico elemento w ∈ V sul sottospazio V0 generato
da w0 , che è chiuso in quanto di dimensione 1 . Siccome questo è costituito da
tutti e soli i vettori del tipo u = cw0 con c ∈ R , la vera incognita è lo scalare c e
applicando la condizione w −u ∈ V ⊥
0 si ottiene facilmente la soluzione, che è data dalla
formula u = w0 −2 (w, w0) w0 .
Il Teorema di decomposizione può essere iterato: ad esempio, dopo una prima
applicazione, possiamo considerare come nuovo ambiente il sottospazio V0 (che è di
Hilbert in quanto sottospazio chiuso) e prendere un suo sottospazio chiuso V1 . In tal
modo si decompone il generico elemento di V nella somma di tre addendi fra loro
ortogonali. Nel caso (banale) di uno spazio di dimensione n l’iterazione di questa
procedura consente, fissati n sottospazi V1, . . . , Vn tutti di dimensione 1 e fra loro
ortogonali, di decomporre il generico w ∈ V nella somma di n vettori u1, . . . , un
appartenenti ai rispettivi sottospazi. Questi coincidono con le proiezioni ortogonali e
verificano una relazione pitagorica. Se per ogni i scegliamo ad arbitrio un vettore
wi ∈ Vi non nullo, abbiamo precisamente
ui =
(w, wi)
wi 2 wi e w 2 =
n
ui 2 .
Osservazione 3.9. Un’estensione importante riguarda il caso di una infinità numerabile
{Vn} di sottospazi chiusi dello spazio di Hilbert V a due a due ortogonali, caso al
quale accenniamo brevemente. La novità principale riguarda i problemi di convergenza,
dato che avremo serie anziché somme finite.
Supponiamo innanzi tutto di avere una successione {un} di elementi tali che
un ∈ Vn per ogni n . Il primo risultato, che sfrutta in modo determinante la mutua
ortogonalità dei vettori, afferma che
la serie ∞
n=1 un converge in V se e solo se ∞
n=1 un 2 < +∞ . (3.7)
Se tale condizione è soddisfatta, detta u la somma della serie di vettori, vale la conclusione
seguente: ciascuno degli un è la proiezione ortogonale di u sul sottospazio Vn .
Fissiamo ora w ∈ V e cerchiamo di rappresentare w come serie di elementi presi
nei rispettivi sottospazi Vn . Ciò non è di solito possibile e, in generale, vale il risultato
che ora illustriamo. Consideriamo il sottospazio generato dall’unione di tutti i Vn , che
Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 43
i=1