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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Inoltre, l’ortogonale (E ⊥ ) ⊥ dell’ortogonale E ⊥ di E coincide con la chiusura del sottospazio vettoriale generato da E . In particolare esso coincide con E se e solo se E è esso stesso un sottospazio chiuso di V . Il problema che ora ci poniamo è il seguente: dati un sottoinsieme E di V e un punto w ∈ V , trovare il punto u ∈ V di minima distanza da w . Tale punto in generale non esiste oppure può non essere unico, come mostrano esempi banali in R . Quando tale punto esiste ed è unico, esso viene chiamato proiezione ortogonale di w su E . Il risultato che segue, detto Teorema delle proiezioni, vale nell’ambito hilbertiano e non ha corrispondenti nell’ambito generale degli spazi di Banach, nemmeno nella sua parte che non fa intervenire il prodotto scalare. Teorema 3.3. Siano V uno spazio di Hilbert, V0 un suo sottospazio chiuso e w ∈ V . Allora esiste uno e un solo punto u ∈ V tale che u − w ≤ v − w per ogni v ∈ V. (3.2) Inoltre tale u è anche l’unico punto di V tale che w − u ∈ V ⊥ 0 . Cenno della dimostrazione. Si può applicare il Teorema 2.4 allo spazio di Hilbert V0 e al funzionale L definito da 〈L, v〉 = (w, v) . Si vede che l’unico punto di minimo per J è l’unico u che risolve la (3.2) e che la (2.4) equivale alla condizione w − u ∈ V ⊥ 0 . Se si riprende la dimostrazione del Teorema 2.4 nella situazione particolare del Teorema delle proiezioni si vede che si arriva senza fatica alla seguente generalizzazione interessante: Teorema 3.4. Siano V uno spazio di Hilbert, C un convesso chiuso e non vuoto di V e w ∈ V . Allora esiste uno e un solo u ∈ C tale che u − w ≤ v − w per ogni v ∈ C. (3.3) Inoltre tale u è anche l’unico punto di V tale che (u, u − v) ≤ (w, u − v) per ogni v ∈ C. (3.4) Infine, se ui è la soluzione corrispondente a wi per i = 1, 2 allora u1 − u2 ≤ w1 − w2 . (3.5) Cenno della dimostrazione. Basta, come si è detto, riprendere la dimostrazione del Teorema 2.4. Per il controllo della condizione di Cauchy del punto (i) è sufficiente la condizione seguente: se x, y ∈ C allora (x + y)/2 ∈ C . Ebbene ciò è vero se C è convesso. Alla fine del punto (i) serve poi concludere che il limite di {xn} appartiene a C , e ciò è vero se C è chiuso. Il punto (ii) , invece, ora è diverso. Dato v ∈ C , si definisce la funzione ϕ mediante ϕ(t) = J(u + t(v − u)) , t ∈ [0, 1] , sfruttando la convessità di C . Ancora Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 41
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale t = 0 è un punto di minimo, ma ora la condizione di minimalità diventa ϕ ′ (0) ≥ 0 , che fornisce la (3.4). Si noti che questa, almeno nel caso non banale in cui u = w , si può esprimere dicendo che, per ogni v ∈ C \ {u} , l’angolo ω dei due vettori w − u e v−u (si veda la (I.3.22)) verifica la disuguaglianza ω ≥ π/2 , il che è geometricamente evidente nel caso V = R 2 . Il punto (iii) , infine, è meno immediato e ora può essere dedotto dall’ultima affermazione dell’enunciato, che si dimostra come segue: si scrive la (3.4) con w = wi , u = ui e v = vj per (i, j) = (1, 2) e per (i, j) = (2, 1) , si sommano le due disuguaglianze ottenute e si usa la disuguaglianza di Schwarz. Combinando opportunamente il Teorema delle proiezioni con la Proposizione 3.2, si deduce il risultato successivo, che è detto Teorema di decomposizione e che assicura la decomposizione V = V0 ⊕ V ⊥ 0 di V in somma diretta di due sottospazi ortogonali. Teorema 3.5. Siano V uno spazio di Hilbert e V0 un suo sottospazio chiuso. Allora ogni elemento w ∈ V si decompone in uno e in un solo modo nella somma w = u + v con u ∈ V0 e v ∈ V ⊥ 0 . Inoltre tali u e v coincidono con le proiezioni ortogonali di w su V0 e su V ⊥ 0 rispettivamente. Con le notazioni del teorema precedente calcoliamo w 2 . Tenendo conto della formula (I.3.20) del binomio e ricordando che u e v sono ortogonali fra loro, deduciamo la relazione pitagorica w 2 = u 2 + v 2 (3.6) che lega la norma di un elemento qualunque a quelle delle sue proiezioni su due sottospazi chiusi che siano l’uno l’ortogonale dell’altro. Esempio 3.6. Fissiamo un sottoinsieme misurabile A ⊆ Ω e, per non cadere nel banale, supponiamo che sia A sia il suo complementare abbiano misura positiva. Consideriamo il sottoinsieme V0 di L 2 (Ω) costituito dalle funzioni v che si annullano q.o. in A . Come si vede facilmente, esso è un sottospazio chiuso. Ora, se w ∈ L 2 (Ω) e v ∈ V0 , risulta w − v 2 2 = |w − v| Ω\A 2 + |w| A 2 per cui è chiaro che si ottiene la minima distanza prendendo l’unica v ∈ V0 che verifica v = w in Ω \ A . Tale funzione è dunque la proiezione ortogonale di w su V0 . Osserviamo ora che l’ortogonale di V0 è l’analogo sottospazio chiuso di L 2 (Ω) costituito dalle funzioni v che si annullano q.o. in Ω\A , per cui, per quanto riguarda la proiezione su V ⊥ 0 , vale lo stesso discorso, con lo scambio fra A e il suo complementare. Risulta poi evidente che la somma delle due proiezioni è proprio w , in accordo con il Teorema di decomposizione. Esempio 3.7. Prendiamo V = L 2 (R) e come V0 il sottospazio Vp delle funzioni pari, cioè degli elementi u ∈ V che verificano u(−x) = u(x) q.o. Si verifica che V0 è un sottospazio chiuso. Il suo ortogonale coincide con il sottospazio chiuso Vd delle Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 42
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