(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

More documents

Recommendations

Info

Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale con la convenzione 1/∞ = 0 . Tale p ′ è detto esponente coniugato di p . Si ha subito (p ′ ) ′ = p per ogni p ammissibile, 1 ′ = ∞ , da cui ∞ ′ = 1 , e 2 ′ = 2 . Teorema 2.1. Se u ∈ L p′ (Ω) e v ∈ L p (Ω) allora uv ∈ L 1 (Ω) e vale la disuguaglianza Ω uv dx ≤ up ′ vp detta disuguaglianza di Hölder. Fissiamo ora u ∈ Lp′ (Ω) e poniamo Lu(v) = Ω (2.2) uv dx . Se ci limitiamo a lasciar variare v in L p (Ω) , vediamo che il valore Lu(v) è ben definito, per cui questa procedura definisce un funzionale Lu sullo spazio L p (Ω) , funzionale che risulta ovviamente lineare. Ebbene la disuguaglianza (2.2) di Hölder assicura che Lu è anche continuo. Possiamo infatti prendere M = u p ′ nella (1.1). Dunque, per la definizione stessa di norma duale, abbiamo anche Lu ∗ ≤ u p ′ . Facciamo ora variare u e consideriamo dunque l’applicazione u ↦→ Lu da Lp′ (Ω) nel duale di Lp (Ω) . Si vede facilmente che essa è lineare e la disuguaglianza appena trovata assicura che essa è anche continua, dato che si può prendere M = 1 nella (1.1). Allora il problema che naturalmente ci si pone è quello di stabilire se tale applicazione è anche biiettiva. A questa domanda risponde il seguente Teorema di Riesz, il quale assicura che, se p = ∞ , essa è un isomorfismo isometrico. Teorema 2.2. Se 1 ≤ p < ∞ , per ogni L del duale di Lp (Ω) esiste una e una sola u ∈ Lp (Ω) tale che 〈L, v〉 = uv dx per ogni v ∈ V. (2.3) Risulta inoltre u p ′ = L ∗ . Ω Anche questo teorema, come la definizione stessa di L p , vale in un ambito più vasto, l’aperto Ω potendo infatti essere sostituito da uno spazio di misura più generale. Si noti poi che il caso p = 2 , nel quale lo spazio L p è di Hilbert, rientra come caso particolare anche nel risultato successivo, pure dovuto a Riesz, al quale sarebbe opportuno premettere qualche considerazione introduttiva analoga a quelle relative agli spazi L p , ma possiamo procedere rapidamente. Ora abbiamo uno spazio di Hilbert V e fissiamo u ∈ V . La definizione di Lu è ora la seguente: Lu(v) = (u, v) , ove v varia in V e ( · , · ) è il prodotto scalare di V . Il ruolo svolto prima dalla disuguaglianza di Hölder è giocato ora dalla disuguaglianza (I.3.19) di Schwarz, per cui si vede che Lu ∈ V ′ e che l’applicazione u ↦→ Lu è lineare e continua da V in V ′ . Ancora si pone il problema della biiettività e quanto ora enunciamo assicura di più: ogni spazio di Hilbert è isometricamente isomorfo al suo duale. Viene di conseguenza che anche la norma duale verifica la regola (I.3.23) del parallelogrammo, per cui anche il duale è uno spazio di Hilbert e non solo di Banach. Teorema 2.3. Sia V uno spazio di Hilbert. Allora, per ogni L ∈ V ′ esiste uno e un solo u ∈ V tale che 〈L, v〉 = (u, v) per ogni v ∈ V. (2.4) Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 39
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Risulta inoltre u = L ∗ . Si può aggiungere qualcosa di interessante. L’unico u dato dal Teorema di Riesz è anche l’unica soluzione di un altro problema. A questo proposito, introduciamo il funzionale quadratico J : V → R definito dalla formula J(v) = 1 2 v2 − 〈L, v〉 , v ∈ V. (2.5) Ci poniamo il problema di vedere se esso ha minimo. La traccia della dimostrazione del risultato che ora enunciamo dimostra anche il Teorema 2.3 di Riesz. Teorema 2.4. Siano V uno spazio di Hilbert e L ∈ V ′ . Allora il funzionale J definito dalla (2.5) ha uno e un solo punto di minimo u ∈ V e questo è anche l’unico elemento u ∈ V che verifica la (2.4). Cenno della dimostrazione. Il procedimento può essere il seguente: (i) esiste almeno un punto u ∈ V di minimo per J ; (ii) ogni punto di minimo per J verifica la (2.4); (iii) vi è al massimo un elemento u ∈ V che verifica la (2.4). Il terzo punto è del tutto immediato, mentre il primo offre qualche difficoltà. Si procede come segue. Si pone λ = inf J e, controllato che λ > −∞ , si costruisce facilmente una successione {xn} tale che J(xn) ≤ λ + 1/n per ogni n . Usando la regola del parallelogrammo, scrivendo la somma xn+xm come doppio della semisomma ed esprimendo i quadrati delle norme che intervengono per mezzo del funzionale J , si arriva a controllare che {xn} è di Cauchy. Non è poi difficile vedere che il suo limite, che esiste per l’ipotesi di completezza, è un punto di minimo per J . Per verificare il punto (ii) , infine, si pone ϕ(t) = J(u + tv) per t ∈ R , ove u è il punto di minimo considerato e v ∈ V è fissato ad arbitrio. Si controlla che t = 0 è un punto di minimo per ϕ e si vede che la (2.4) segue dalla condizione ϕ ′ (0) = 0 . 3. Proiezioni ortogonali Come abbiamo già anticipato, nell’ambito degli spazi prehilbertiani si può parlare di angoli, dunque di ortogonalità. Siccome la completezza sarà indispensabile per altri motivi, la richiediamo comunque, per semplicità, e supponiamo fin dall’inizio che lo spazio in esame sia di Hilbert. Definizione 3.1. Sia V uno spazio di Hilbert. Due elementi u, v ∈ V si dicono ortogonali fra loro quando (u, v) = 0 . Due sottoinsiemi non vuoti A, B ⊆ V si dicono ortogonali fra loro quando (u, v) = 0 per ogni u ∈ A e v ∈ B . L’ortogonale di un sottoinsieme E ⊆ V non vuoto è l’insieme definito dalla formula E ⊥ = {u ∈ V : (u, v) = 0 per ogni v ∈ V } . (3.1) Proposizione 3.2. Siano V uno spazio di Hilbert e E un sottoinsieme non vuoto di V . L’ortogonale E ⊥ di E è un sottospazio chiuso di V e coincide con il più grande sottoinsieme di V ortogonale a E . Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 40
Page 1 and 2: Elementi di Topologia e di Analisi
Page 3 and 4: Gianni Gilardi Elementi di Topologi
Page 27 and 28: Capitolo III Completezza La nozione
Page 37 and 38: Capitolo IV Qualche elemento di ana
Page 39: Gianni Gilardi Elementi di Topologi
Page 65 and 66: Capitolo VI Primi problemi ellittic

(pp. 0-80).pdf - Dipartimento di Matematica

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?