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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
con la convenzione 1/∞ = 0 . Tale p ′ è detto esponente coniugato di p . Si ha subito
(p ′ ) ′ = p per ogni p ammissibile, 1 ′ = ∞ , da cui ∞ ′ = 1 , e 2 ′ = 2 .
Teorema 2.1. Se u ∈ L p′
(Ω) e v ∈ L p (Ω) allora uv ∈ L 1 (Ω) e vale la disuguaglianza
Ω
uv dx
≤ up ′ vp detta disuguaglianza di Hölder.
Fissiamo ora u ∈ Lp′ (Ω) e poniamo Lu(v) =
Ω
(2.2)
uv dx . Se ci limitiamo a lasciar
variare v in L p (Ω) , vediamo che il valore Lu(v) è ben definito, per cui questa procedura
definisce un funzionale Lu sullo spazio L p (Ω) , funzionale che risulta ovviamente
lineare. Ebbene la disuguaglianza (2.2) di Hölder assicura che Lu è anche continuo.
Possiamo infatti prendere M = u p ′ nella (1.1). Dunque, per la definizione stessa di
norma duale, abbiamo anche Lu ∗ ≤ u p ′ .
Facciamo ora variare u e consideriamo dunque l’applicazione u ↦→ Lu da Lp′ (Ω)
nel duale di Lp (Ω) . Si vede facilmente che essa è lineare e la disuguaglianza appena
trovata assicura che essa è anche continua, dato che si può prendere M = 1 nella (1.1).
Allora il problema che naturalmente ci si pone è quello di stabilire se tale applicazione
è anche biiettiva. A questa domanda risponde il seguente Teorema di Riesz, il
quale assicura che, se p = ∞ , essa è un isomorfismo isometrico.
Teorema 2.2. Se 1 ≤ p < ∞ , per ogni L del duale di Lp (Ω) esiste una e una sola
u ∈ Lp (Ω) tale che
〈L, v〉 = uv dx per ogni v ∈ V. (2.3)
Risulta inoltre u p ′ = L ∗ .
Ω
Anche questo teorema, come la definizione stessa di L p , vale in un ambito più
vasto, l’aperto Ω potendo infatti essere sostituito da uno spazio di misura più generale.
Si noti poi che il caso p = 2 , nel quale lo spazio L p è di Hilbert, rientra come
caso particolare anche nel risultato successivo, pure dovuto a Riesz, al quale sarebbe
opportuno premettere qualche considerazione introduttiva analoga a quelle relative agli
spazi L p , ma possiamo procedere rapidamente.
Ora abbiamo uno spazio di Hilbert V e fissiamo u ∈ V . La definizione di
Lu è ora la seguente: Lu(v) = (u, v) , ove v varia in V e ( · , · ) è il prodotto
scalare di V . Il ruolo svolto prima dalla disuguaglianza di Hölder è giocato ora dalla
disuguaglianza (I.3.19) di Schwarz, per cui si vede che Lu ∈ V ′ e che l’applicazione
u ↦→ Lu è lineare e continua da V in V ′ .
Ancora si pone il problema della biiettività e quanto ora enunciamo assicura di più:
ogni spazio di Hilbert è isometricamente isomorfo al suo duale. Viene di conseguenza
che anche la norma duale verifica la regola (I.3.23) del parallelogrammo, per cui anche
il duale è uno spazio di Hilbert e non solo di Banach.
Teorema 2.3. Sia V uno spazio di Hilbert. Allora, per ogni L ∈ V ′ esiste uno e un
solo u ∈ V tale che
〈L, v〉 = (u, v) per ogni v ∈ V. (2.4)
Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 39