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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
B ∋ x per ogni B ∈ B(x) (1.8)
per ogni B ′ , B ′′ ∈ B(x) esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ B ′ ∩ B ′′
(1.9)
per ogni B ∈ B(x) esiste I0 ⊆ B tale che (1.10)
per ogni y ∈ I0 esista B ′ ∈ B(y) tale che B ′ ⊆ I0 . (1.11)
Viceversa, vale il risultato dato di seguito, il quale ci autorizza, nel definire una
topologia, a introdurre solo gli intorni che dovranno formare la base.
Teorema 1.8. Sia X un insieme non vuoto e, per ogni x ∈ X , sia assegnata una
famiglia B(x) di sottoinsiemi di X in modo che, per ogni x ∈ X , valgano le proprietà
(1.7–11). Allora esiste una e una sola topologia su X per la quale, per ogni
x ∈ X , la famiglia B(x) è una base di intorni di x . Tale topologia è definita dalla
condizione seguente: un sottoinsieme I ⊆ X è un intorno del punto x ∈ X se e solo se
esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ I . (1.12)
Osservazione 1.9. Supponiamo ora di avere, per ogni x ∈ X , due famiglie B ′ (x) e
B ′′ (x) verificanti le condizioni (1.7–11). Allora, semplicemente applicando la (1.12), si
vede che le due topologie date dal teorema precedente sono la stessa se e solo se, per
ogni x ∈ X , valgono le condizioni
per ogni B ′ ∈ B ′ (x) esiste B ′′ ∈ B ′′ (x) tale che B ′′ ⊆ B ′
per ogni B ′′ ∈ B ′′ (x) esiste B ′ ∈ B ′ (x) tale che B ′ ⊆ B ′′ .
Il risultato precedente è particolarmente utile quando si vuole introdurre una
topologia a partire da qualche altra struttura. Ciò è l’oggetto dei paragrafi successivi.
2. Spazi metrici e spazi metrizzabili
Il primo e più importante esempio di topologia indotta da una struttura preesistente è
quella di spazio topologico metrizzabile, la cui topologia è indotta da una metrica.
Definizione 2.1. Sia X un insieme non vuoto. Una metrica in X è una funzione
d : X 2 → R verificante, per ogni x, y, z ∈ X , le condizioni
d(x, y) ≥ 0 (2.1)
d(x, y) = 0 se e solo se x = y (2.2)
d(x, y) = d(y, x) (2.3)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). (2.4)
Se x, y ∈ X , il numero reale d(x, y) si dice distanza di x da y e, se x ∈ X e r > 0 ,
l’insieme
Br(x) = {y ∈ X : d(x, y) < r} (2.5)
Capitolo I: I concetti fondamentali 3