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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
spazi normati essendo quella data di seguito. Cogliamo l’occasione per dare anche la
definizione di successione limitata.
Definizione 1.3. Diciamo che un sottoinsieme E di uno spazio normato V è limitato
quando esiste una palla che lo include e diciamo che una successione {xn} di elementi
di V è limitata quando è limitato il suo insieme immagine.
Si richiede dunque l’esistenza di una costante M > 0 tale che x ≤ M e
xn ≤ M rispettivamente per ogni x ∈ E e per ogni n .
Si noti che la nozione di limitatezza che abbiamo dato fa intervenire la norma o la
la metrica indotta dalla norma. Ciò nonostante, essa dipende solo dalla topologia dello
spazio, dato che essa non cambia significato se si cambia la norma in un’altra equivalente
(ma bisogna considerare solo metriche compatibili con la topologia e indotte da norme,
altrimenti succedono pasticci). Se si riprende l’Esempio 1.1, non è difficile controllare
direttamente che l’operatore L considerato non è limitato.
Definizione 1.4. Siano V e W due spazi normati. Si denota con L(V ; W ) lo spazio
vettoriale costituito da tutti gli operatori L : V → W lineari e continui.
Nel caso particolare in cui W = R , lo spazio L(V ; W ) viene denotato con V ′ e
detto spazio duale dello spazio normato V .
Specialmente nel caso dello spazio duale V ′ , alla notazione Lv si preferisce la
seguente: 〈L, v〉 . Si pone cioè
〈L, v〉 = Lv per ogni L ∈ V ′ e v ∈ V . (1.2)
Questa notazione è aderente al fatto che l’applicazione (L, v) ↦→ 〈L, v〉 è bilineare
dal prodotto V ′ × V in R . Vedremo che essa è anche continua non appena avremo
introdotto in V ′ una topologia.
Consideriamo ora un operatore L ∈ L(V ; W ) . Allora è non vuoto l’insieme delle
costanti M verificanti la (1.1) e possiamo prenderne l’estremo inferiore. Usiamo la
notazione
L L(V ;W ) = inf {M ≥ 0 : Lv W ≤ M v V per ogni v ∈ V } . (1.3)
Ebbene, non è difficile verificare che con la (1.3) si è definita una norma nello spazio
L(V ; W ) , norma che verifica le formule (che, dunque, ne costituiscono definizioni alternative)
L L(V ;W ) = sup {Lv W / v V : v ∈ V, v = 0}
= sup {Lv W : v ∈ V, v V ≤ 1} .
= sup {Lv W : v ∈ V, v V = 1} . (1.4)
Si è così introdotta una topologia in L(V ; W ) , detta topologia uniforme dello spazio
degli operatori. Il motivo di questo nome è il seguente: una successione {Ln} di
Capitolo IV: Qualche elemento di analisi funzionale 37