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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Nel caso più semplice in cui p = 1 e Ω è un intervallo, l’integrale che compare nella formula si interpreta come l’area della parte di piano compresa fra i grafici di vn e di v , per cui si intuisce che, già in questo caso e a maggior ragione nel caso generale, non ci sono speranze di equivalenza della convergenza in media con convergenze di tipo puntuale. Notiamo subito che la convergenza puntuale nel senso letterale del termine non può nemmeno essere presa in considerazione, dato che stiamo trattando con classi di funzioni e non con funzioni vere e proprie a causa dell’identificazione (3.1). L’unica convergenza di tipo puntuale che è ragionevole considerare è la convergenza quasi ovunque, cioè quella data dalla condizione lim n→∞ vn(x) = v(x) per q.o. x . (3.8) Ebbene, non c’è equivalenza fra convergenza q.o. e convergenze in media ma le due nozioni sono strettamente collegate fra loro, come mostrano i risultati che ora enunciamo. Proposizione 3.11. Sia {vn} una successione di funzioni di L p (Ω) convergente q.o. a una funzione v . Se esiste ϕ ∈ L p (Ω) tale che |vn(x)| ≤ ϕ(x) q.o. per ogni n , allora v appartiene a L p (Ω) e la convergenza è anche in media, cioè nel senso della (3.7). Proposizione 3.12. Sia {vn} una successione di funzioni di L p (Ω) convergente in L p (Ω) a una funzione v . Allora esiste una sottosuccessione della successione data che converge a v q.o. Non è difficile dedurre che, se una successione {vn} di funzioni di L p (Ω) converge in L p (Ω) a una funzione v e q.o. a u , allora u = v q.o., per cui i due concetti di convergenza, anche se non sono equivalenti, sono compatibili fra loro. Allo stesso modo sono compatibili fra loro i concetti di convergenza relativi ai diversi valori di p . Terminiamo il paragrafo con la costruzione di un altro spazio di Hilbert e di uno spazio di Fréchet legato all’integrabilità anziché alla continuità. Esempio 3.13: funzioni periodiche. Fissato T > 0 , diciamo che una funzione misurabile v : R → R è T -periodica quando v(x + T ) = v(x) q.o. Consideriamo allora lo spazio V costituito dalle funzioni T -periodiche (sempre con l’uguaglianza data dalla (3.1)) tali che |v| 2 sia integrabile su (0, T ) munito del prodotto scalare (u, v) = T 0 u(x) v(x) dx. Si ottiene uno spazio di Hilbert isometricamente isomorfo a L 2 (0, T ) . Esempio 3.14: lo spazio L1 loc (Ω) ). Esso è lo spazio costituito dalle funzioni misurabili v : Ω → R , con il concetto di uguaglianza dato dalla (3.1), che sono integrabili su ogni sottoinsieme chiuso e limitato K ⊂ Ω . La sua topologia naturale è quella indotta dalla famiglia di seminorme |v|1,K = |v| dx ottenuta lasciando variare K fra i sottoinsiemi chiusi e limitati inclusi in Ω . Si ottiene (Ω) . uno spazio di Fréchet. Analogamente si può intodurre lo spazio di Fréchet L p loc Capitolo III: Completezza 35 K
Capitolo IV Qualche elemento di analisi funzionale In questo capitolo diamo qualche cenno sullo sviluppo della teoria degli spazi di Banach e di Hilbert. La ristrettezza ci costringere tuttavia a toccare solo alcuni punti. 1. Operatori lineari e continui Con il termine generico operatore intendiamo una funzione definita in uno spazio vettoriale a valori in un altro spazio vettoriale. L’operatore è poi chiamato abitualmente funzionale quando il codominio è lo spazio R degli scalari. Nel caso degli operatori lineari fra spazi euclidei non vi sono problemi: ogni operatore lineare, fissate le basi, si rappresenta per mezzo di una matrice e da questa rappresentazione si vede immediatamente che esso è continuo. Più in generale sono continui tutti gli operatori lineari da uno spazio normato di dimensione finita in un altro spazio normato. Le cose cambiano radicalmente se il dominio dell’operatore ha dimensione infinita, e basta già considerare i funzionali. Esempio 1.1. Consideriamo lo spazio V = C 0 [0, 1] munito della norma (I.3.9) considerato nell’Esempio I.3.7 e il funzionale lineare L : V → R definito dalla formula Lv = v(1) . Ebbene esso non è continuo. Infatti, se si prendono la successione {vn} di elementi di V definiti dalla formula vn(t) = t n , t ∈ [0, 1] , e la funzione nulla, che denotiamo con v , si controlla subito che {vn} converge a v nel senso della norma considerata. Eppure risulta che Lvn = 1 per ogni n e che Lv = 0 , per cui {Lvn} non converge a Lv . Più difficile, ma possibile con l’aiuto dell’assioma della scelta, è costruire un esempio analogo nel caso in cui il dominio sia uno spazio completo, il che non avviene nell’esempio precedente. In ogni caso, gli operatori lineari e non continui sono di interesse molto modesto, per cui conviene avere una caratterizzazione comoda della continuità di un operatore lineare. Teorema 1.2. Siano (V, · V ) e (W, · W ) due spazi normati e L : V → W un operatore lineare. Allora sono equivalenti le condizioni seguenti: (i) L è continuo; (ii) L è continuo nell’origine; (iii) esiste una costante M ≥ 0 tale che Lv W ≤ M v V per ogni v ∈ V. (1.1) Segnaliamo che la condizione (iii) si esprime comunemente dicendo che L è un operatore limitato. Essa equivale al fatto che L trasforma ogni sottoinsieme limitato di V in un sottoinsieme limitato di W , la nozione di limitatezza dei sottoinsiemi negli
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