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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Nel caso più semplice in cui p = 1 e Ω è un intervallo, l’integrale che compare nella
formula si interpreta come l’area della parte di piano compresa fra i grafici di vn e
di v , per cui si intuisce che, già in questo caso e a maggior ragione nel caso generale,
non ci sono speranze di equivalenza della convergenza in media con convergenze di tipo
puntuale. Notiamo subito che la convergenza puntuale nel senso letterale del termine
non può nemmeno essere presa in considerazione, dato che stiamo trattando con classi di
funzioni e non con funzioni vere e proprie a causa dell’identificazione (3.1). L’unica convergenza
di tipo puntuale che è ragionevole considerare è la convergenza quasi ovunque,
cioè quella data dalla condizione
lim
n→∞ vn(x) = v(x) per q.o. x . (3.8)
Ebbene, non c’è equivalenza fra convergenza q.o. e convergenze in media ma le due
nozioni sono strettamente collegate fra loro, come mostrano i risultati che ora enunciamo.
Proposizione 3.11. Sia {vn} una successione di funzioni di L p (Ω) convergente q.o.
a una funzione v . Se esiste ϕ ∈ L p (Ω) tale che |vn(x)| ≤ ϕ(x) q.o. per ogni n , allora
v appartiene a L p (Ω) e la convergenza è anche in media, cioè nel senso della (3.7).
Proposizione 3.12. Sia {vn} una successione di funzioni di L p (Ω) convergente in
L p (Ω) a una funzione v . Allora esiste una sottosuccessione della successione data che
converge a v q.o.
Non è difficile dedurre che, se una successione {vn} di funzioni di L p (Ω) converge
in L p (Ω) a una funzione v e q.o. a u , allora u = v q.o., per cui i due concetti di
convergenza, anche se non sono equivalenti, sono compatibili fra loro. Allo stesso modo
sono compatibili fra loro i concetti di convergenza relativi ai diversi valori di p .
Terminiamo il paragrafo con la costruzione di un altro spazio di Hilbert e di uno
spazio di Fréchet legato all’integrabilità anziché alla continuità.
Esempio 3.13: funzioni periodiche. Fissato T > 0 , diciamo che una funzione
misurabile v : R → R è T -periodica quando v(x + T ) = v(x) q.o. Consideriamo
allora lo spazio V costituito dalle funzioni T -periodiche (sempre con l’uguaglianza
data dalla (3.1)) tali che |v| 2 sia integrabile su (0, T ) munito del prodotto scalare
(u, v) =
T
0
u(x) v(x) dx.
Si ottiene uno spazio di Hilbert isometricamente isomorfo a L 2 (0, T ) .
Esempio 3.14: lo spazio L1 loc (Ω) ). Esso è lo spazio costituito dalle funzioni misurabili
v : Ω → R , con il concetto di uguaglianza dato dalla (3.1), che sono integrabili su
ogni sottoinsieme chiuso e limitato K ⊂ Ω . La sua topologia naturale è quella indotta
dalla famiglia di seminorme
|v|1,K = |v| dx
ottenuta lasciando variare K fra i sottoinsiemi chiusi e limitati inclusi in Ω . Si ottiene
(Ω) .
uno spazio di Fréchet. Analogamente si può intodurre lo spazio di Fréchet L p
loc
Capitolo III: Completezza 35
K