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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Esempio 3.8: lo spazio L p (Ω) . Analogamente possiamo introdurre lo spazio più
generale L p (Ω) , costituito dalle funzioni v : Ω → R misurabili secondo Lebesgue e
tali che |v| p sia integrabile, pure munito del nuovo concetto di uguaglianza introdotto
sopra. In questo caso p è un numero reale verificante la disuguaglianza p ≥ 1 , senza
la quale non varrebbe la disuguaglianza triangolare della norma, detta in questo caso
disuguaglianza di Minkowski. Si ottiene effettivamente uno spazio vettoriale e lo si
munisce della norma
vp =
Ω
|v(x)| p 1/p dx
(3.3)
rispetto alla quale L p (Ω) diventa uno spazio di Banach. Il caso p = 2 è poi speciale: la
norma verifica la regola (I.3.23) del parallelogrammo, per cui è indotta da un prodotto
scalare. Questo è dato dalla formula
(u, v) =
Ω
u(x) v(x) dx (3.4)
e rende L 2 (Ω) spazio di Hilbert. Notiamo che per nessun altro valore di p vale la
regola del parallelogrammo, nemmeno per norme equivalenti alla norma (3.3), per cui
la topologia di L p (Ω) proprio è lontana dal caso hilbertiano se p = 2 .
Notiamo infine che, come abbiamo introdotto lo spazio ℓ 1 alla fine dell’esempio
precedente, possiamo introdurre ℓ p con p > 1 : si ottiene uno spazio di Banach, che è
di Hilbert se e solo se p = 2 .
Esempio 3.9: lo spazio L ∞ (Ω) . Se prendiamo una funzione v appartenente a
L p (Ω) per ogni p ≥ 1 e facciamo tendere p a +∞ nella (3.3), otteniamo
lim
p→+∞ vp = inf {M ≥ 0 : |v(x)| ≤ M per q.o. x } (3.5)
se effettivamente esiste M in tali condizioni e +∞ se un tale M non esiste. In
questo secondo caso conviene assumere comunque il secondo membro come notazione,
attribuendogli il valore +∞ . In ogni caso chiamiamo allora estremo superiore essenziale
di |v| il secondo membro della (3.5) e chiamiamo essenzialmente limitate le funzioni per
le quali esso è finito. Per semplicità, poi, si usa spesso omettere l’aggettivo “essenziale” e
l’avverbio “essenzialmente”. Si parla cioè direttamente di funzioni limitate e si introduce
il simbolo abituale sup |v| con il nuovo significato di secondo membro della (3.5).
Ebbene, denotiamo con L∞ (Ω) lo spazio delle funzioni v : Ω → R misurabili
secondo Lebesgue e (essenzialmente) limitate, consideriamo ancora il nuovo concetto di
ugualgianza dato dalla (3.1) e muniamo lo spazio considerato della norma definita dalla
formula
v∞ = sup |v(x)| (3.6)
x∈Ω
con l’intesa, ribadiamo, che il secondo membro della (3.6) sia semplicemente una notazione
più comoda per indicare il secondo membro della (3.5). Otteniamo uno spazio
di Banach (non hilbertizzabile).
Capitolo III: Completezza 33