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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale chiusi. Fra gli spazi importanti vi sono gli spazi funzionali introdotti precedentemente, per i quali abbiamo parlato spesso di topologie naturali: esse sono le topologie che assicurano la completezza. Esempio 3.1: lo spazio C 0 [a, b] (seguito). Lo spazio C 0 [a, b] dell’Esempio I.3.6 è di Banach rispetto alla sua norma naturale, cioè alla norma del massimo data dalla formula (I.3.8) (o a una qualunque delle norme equivalenti), e considerazioni analoghe valgono per lo spazio C 0 (K) , ove K è come nell’esempio citato. La dimostrazione della completezza può basarsi sul Teorema 2.3 e sui ben noti risultati classici sulle serie di funzioni continue: il Criterio di Weierstrass sulla convergenza uniforme e la continuità della somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue. Al contrario, C 0 [a, b] non è completo rispetto a nessuna delle norme introdotte nell’Esempio I.3.7 e non equivalenti alla norma del massimo. Esempio 3.2: lo spazio C 1 [a, b] (seguito). Lo spazio C 1 [a, b] dell’Esempio I.3.8 è di Banach rispetto alla sua norma naturale, cioò a quella data dalla (I.3.11). Più in generale sono completi gli spazi C k (Ω) (si vedano gli Esempi I.3.9 e I.3.10) rispetto alle loro norme naturali. La proprietà di completezza di questi spazi coincide sostanzialmente con il risultato ben noto di derivazione del limite: se una successione di funzioni di classe C 1 converge uniformemente con quella delle sue derivate, allora il limite è di classe C 1 e la sua derivata è il limite delle derivate. Lo spazio C 1 [a, b] non è invece completo rispetto a nessuna delle norme (I.3.12). Se consideriamo lo spazio normato ottenuto munendo C 1 [a, b] della prima di queste due norme, il suo completamento è C 0 [a, b] con la norma del massimo. Infatti C 0 [a, b] è completo rispetto alla norma del massimo e si dimostra che C 1 [a, b] è un suo sottospazio denso, per cui le condizioni del Teorema 1.5 sono soddisfatte. Un altro sottospazio denso in C 0 [a, b] rispetto alla norma del massimo è C ∞ [a, b] . Un risultato fine, dovuto a Weierstrass, dice che addirittura lo spazio dei polinomi è denso in C 0 [a, b] , sempre rispetto alla norma del massimo. Il completamento di C 1 [a, b] rispetto alla seconda delle due norma (I.3.12) è invece uno spazio diverso: esso è denotato con W 1,1 (a, b) e rientra nella classe dei cosiddetti spazi di Sobolev. Esempio 3.3: lo spazio C 0 (a, b) (seguito). Lo spazio C 0 (a, b) , con la sua topologia naturale introdotta nell’Esempio I.3.25, è uno spazio di Fréchet. La stessa cosa vale per lo spazio C 0 (Ω) dell’Esempio I.3.26. Esempio 3.4: lo spazio C 1 (a, b) (seguito). Lo spazio C 1 (a, b) dell’Esempio I.3.27 è uno spazio di Fréchet rispetto alla sua topologia naturale. Analogamente per quanto riguarda lo spazio C k (a, b) , al quale nell’esempio citato si è solo accennato. Esempio 3.5: lo spazio C ∞ [a, b] (seguito). Lo spazio C ∞ [a, b] è uno spazio di Fréchet rispetto alla sua topologia naturale introdotta nell’Esempio I.3.28. Capitolo III: Completezza 31
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Esempio 3.6: lo spazio C ∞ (a, b) (seguito). Lo spazio C ∞ (a, b) è uno spazio di Fréchet rispetto alla sua topologia naturale introdotta nell’Esempio I.3.29. Per costruire invece spazi di Hilbert interessanti occorre introdurre classi di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Iniziamo dal caso più semplice. Vorremmo costruire uno spazio di funzioni v : (a, b) → R nel quale mettere la norma (I.3.9). Come abbiamo già osservato, le funzioni continue nell’intervallo chiuso [a, b] non bastano perché non otterremmo uno spazio completo. Allo stesso modo non bastano le funzioni continue nell’intervallo aperto e integrabili in qualche senso generalizzato: ancora non avremmo la completezza. Allora dobbiamo ripiegare su classi contenenti funzioni discontinue e qui sorge un problema: la (I.3.9) sarebbe solo una seminorma e non una norma. Questo inconveniente spiacevole si supera nel modo seguente: si identificano fra loro due funzioni u e v tali che u − v 1 = 0 (in termini più precisi occorre considerare il quoziente rispetto alla relazione di equivalenza data dalla condizione introdotta). Fatto ciò varie classi di funzioni sarebbero possibili candidate ma, per avere anche la completezza, occorre scegliere una classe molto ricca e quella che risulta conveniente è la classe delle funzioni integrabili secondo Lebesgue. Si ottiene lo spazio L 1 (a, b) , che è un caso particolare dello spazio che introduciamo fra breve. In modo alternativo, si potrebbe porre il problema del completamento dello spazio C 0 [a, b] rispetto alla norma (I.3.9). Uno spazio astratto esiste, grazie al Teorema 1.5, ma si vorrebbe avere uno suo modello concreto. Ebbene, il più semplice di questi è proprio lo spazio L 1 (a, b) , che però non è uno spazio di funzioni nel senso letterale del termine, ma uno spazio di classi di funzioni, a causa dell’identificazione di cui sopra. Notiamo che tale identificazione equivale alla condizione u(x) = v(x) per q.o. x (3.1) ove q.o. (quasi ogni) è inteso rispetto alla misura di Lebesgue: i punti eccezionali nei quali l’uguaglianza è violata costituiscono un insieme di misura nulla secondo Lebesgue. Esempio 3.7: lo spazio L1 (Ω) . Se Ω è un aperto di Rn , lo spazio L1 (Ω) è lo spazio costituito dalle funzioni v : Ω → R integrabili secondo Lebesgue, nel quale il concetto abituale di uguaglianza è sostituito dal seguente: due funzioni u e v sono uguali se e solo se vale la (3.1), ove x varia ora in Ω . La norma naturale è data dalla formula v1 = |v(x)| dx (3.2) Ω e rende L 1 (Ω) spazio di Banach. Più in generale, Ω può essere sostituito da uno spazio astratto di misura σ -finito, il che comprende diversi casi particolari interessanti. Uno di questi è il caso del bordo di un aperto (abbastanza regolare) di R n , con l’usuale misura superficiale. Un altro caso particolare è quello in cui prendiamo Ω = N munito della misura che conta: in questo caso le funzioni sono le successioni, che diventano tutte misurabili, gli integrali diventano serie e il corrispondente spazio L 1 (Ω) è denotato semplicemente con ℓ 1 . Capitolo III: Completezza 32
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