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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
nozione di successione di Cauchy. D’altra parte, fissata una famiglia numerabile F
di seminorme e considerata la metrica d data dalla (II.6.1) in corrispondenza a una
scelta ammissibile della funzione ϕ , si vede che la condizione di Cauchy rispetto alla
metrica d equivale alla condizione di Cauchy rispetto alla famiglia F di seminorme
considerata. Allora la nozione di successione di Cauchy è la stessa per tutte le metriche
ottenute mediante la (II.6.1) a partire da famiglie numerabili di seminorme che inducono
la topologia e da funzioni ϕ ammissibili e ha senso la definizione data di seguito.
Definizione 2.4. Uno spazio di Fréchet è uno spazio localmente convesso, metrizzabile
e completo rispetto alla metrica (II.6.1), ove {| · | k } è una famiglia numerabile
di seminorme di che induce la topologia e ϕ : [0, +∞) → R è una funzione limitata,
continua, concava, strettamente crescente e tale che ϕ(0) = 0 .
Naturalmente, nei casi concreti, sono più maneggevoli le famiglie di seminorme
rispetto alla metrica. Così, in riferimento all’Esempio I.3.25, una successione {vn} di
elementi di C 0 (a, b) è di Cauchy se e solo se, per ogni intervallo K chiuso e limitato
incluso in (a, b) , vale la condizione: per ogni ε > 0 esiste m tale che |vn ′ −vn ′′|∞,K ≤ ε
per ogni n ′ , n ′′ ≥ m , ove si è utilizzata la notazione (I.3.31).
Osservazione 2.5. I risultati del paragrafo precedente hanno corrispondenti per spazi
di Banach e di Hilbert. Così il completamento di uno spazio normato è di Banach e il
completamento di uno spazio prehilbertiano è di Hilbert.
Un commento particolare merita invece il Teorema 1.6. Se V è uno spazio di
Banach oppure di Hilbert e se V0 è un suo sottospazio vettoriale che sia anche un
sottoinsieme chiuso, allora V0 è esso stesso uno spazio di Banach o, rispettivamente, di
Hilbert, naturalmente rispetto alla restrizione della norma o del prodotto scalare.
Se invece X0 è solo un sottoinsieme chiuso ma non un sottospazio vettoriale, allora
viene persa la possibilità di parlare di norme e di prodotti scalari in X0 , ma resta il
fatto che X0 è uno spazio metrico completo rispetto alla metrica naturale.
Teorema 2.6. Ogni spazio normato di dimensione finita è di Banach. Esso risulta
uno spazio di Hilbert rispetto a una norma equivalente.
Cenno della dimostrazione. Il risultato si dimostra facilmente combinando i risultati
precedenti I.3.4, 1.3 e 1.8.
Il risultato vale, in particolare, per lo spazio euclideo R n . Segue inoltre che, se V
è uno spazio di Banach e V0 è un suo sottospazio vettoriale di dimensione finita, allora
V0 è anche chiuso.
Notiamo più in generale che la topologia di ogni spazio localmente convesso separato
di dimensione finita è indotta da una norma, per cui, di fatto, ogni spazio di quel
tipo è sostanzialmente uno spazio di Banach, anzi di Hilbert per una norma equivalente.
3. Spazi funzionali importanti
Il discorso cambia radicalmente per quanto riguarda gli spazi normati o localmente
convessi di dimensione infinita: non tutti sono completi e non tutti i loro sottospazi sono
Capitolo III: Completezza 30