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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
2. Spazi di Banach, di Hilbert, di Fréchet
Definizione 2.1. Uno spazio di Banach è uno spazio normato che è completo rispetto
alla metrica indotta dalla norma e uno spazio di Hilbert è uno spazio prehilbertiano che
è di Banach rispetto alla norma indotta dal prodotto scalare.
Osservazione 2.2. Grazie al Teorema I.3.3, abbiamo che la condizione (I.2.7) è automaticamente
soddisfatta se le distanze sono quelle indotte da due norme topologicamente
equivalenti, per cui la nozione di completezza diventa “più topologica”: essa
riguarda infatti solo la topologia se ci si limita a considerare metriche indotte da norme
che inducono la topologia data.
Teorema 2.3. Uno spazio normato (V, · ) è uno spazio di Banach se e solo se vale
la condizione seguente: data comunque una successione {xn} di V tale che
n vn
converga, converge in V la serie
n vn .
Cenno della dimostrazione. Si osserva preliminarmente che la condizione di Cauchy
per la successione delle ridotte di una serie del tipo
n xn si può esprimere nella forma
seguente: per ogni ε > 0 esiste m tale che
n+p
≤ ε per ogni n ≥ m e per ogni p > 0 .
k=n
xk
Allora la necessità della condizione data nell’enunciato si dimostra facilmente confrontando
la condizione di Cauchy per la serie considerata con la condizione di Cauchy
per la serie delle norme.
Più complessa è la sufficienza. Si osserva che perché una successione di Cauchy
converga è sufficiente che essa abbia una sottosuccessione convergente. Allora, data una
successione {xn} di Cauchy, con un procedimento ricorsivo si costruiscono gli indici
crescenti nk in modo che xnk+1 − xnk ≤ 2−k per ogni k e si applica la condizione
dell’enunciato alla serie di termine generale xnk+1 − xnk . Questo porta alla convergenza
della sottosuccessione costruita.
Il caso localmente convesso è più complicato e merita qualche considerazione aggiuntiva.
Supponiamo che V sia uno spazio localmente convesso metrizzabile. Allora,
per il Teorema II.6.2, esiste una famiglia numerabile di seminorme che induce la topologia
e una metrica che induce la stessa topologia è data dalla (II.6.1). Ebbene, se si
prendono due famiglie numerabili e topologicamente equivalenti di seminorme, le due
metriche che si ottengono non verificano necessariamente la condizione (I.2.7). Dunque
occorre cautela e si può procedere come segue.
Data una famiglia F di seminorme che induce la topologia, diciamo che una
successione {xn} è di Cauchy rispetto a F quando, per ogni seminorma | · | di F ,
vale la condizione
per ogni ε > 0 esiste m tale che |xn ′ − xn ′′| ≤ ε per ogni n′ , n ′′ ≥ m. (2.1)
Usando la condizione (I.3.30) data dal Teorema I.3.23, non è difficile controllare che
due famiglie di seminorme che inducono la stessa topologia inducono anche la stessa
Capitolo III: Completezza 29