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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Osservazione 1.2. Occorre ribadire che, fissato l’insieme X , la topologia, che possiamo
formalmente definire come l’applicazione I che determina la nozione di intorno, è
frutto di una scelta. Anche se in alcuni casi vi è una scelta “più naturale” di altre, ogni
applicazione I nelle condizioni dette è ugualmente legittima. Dunque, in generale, su
uno stesso insieme X si possono assegnare più topologie, ciascuna delle quali attribuisce
un significato diverso alla parola intorno.
Ciò nonostante, si usa spesso la notazione semplice X anziché (X, I) per denotare
uno spazio topologico. In tali casi si intende che X è l’insieme su cui lo spazio è costruito
e che effettivamente è stata scelta la nozione di intorno, senza tuttavia introdurre una
notazione al riguardo.
Esempio 1.3: lo spazio euclideo. Quanto detto sopra si applica allo spazio R n ,
nel quale vi è una topologia privilegiata, detta topologia euclidea e definita come segue.
Per x = (x1, . . . , xn) ∈ R n e r > 0 poniamo
n |x| =
i=1
x 2 i
1/2
e Br(x) = {y ∈ R n : |x − y| < r} (1.6)
e chiamiamo Br(x) palla di centro x e raggio r . Allora un sottoinsieme I ⊆ R n è un
intorno del punto x ∈ R n se e solo se esiste r > 0 tale che I ⊇ Br(x) . Effettivamente
si ottiene una topologia, come si controlla senza difficoltà (per quanto riguarda la (1.5)
si prenda come I0 la palla Br(x) della definizione stessa di intorno). Se non si dice
nulla, resta inteso che la topologia di R n è quella appena definita. Tuttavia altre
topologie sono possibili, come mostrano gli esempi “estremi” che seguono, nei quali si
può prendere, in particolare, X = R n .
Esempio 1.4: la topologia banale. Essa si può definire su un qualunque insieme
X non vuoto ponendo I(x) = {X} per ogni x ∈ X .
Esempio 1.5: la topologia discreta. Anche questa si può definire su un qualunque
insieme X non vuoto denotando, per ogni x ∈ X , con I(x) l’insieme di tutti i
sottoinsiemi di X che contengono x .
Per assegnare una topologia, come abbiamo detto, occorre dire quali sono gli
intorni dei vari punti. Siccome ciò può risultare gravoso, è opportuno avere la possibilità
di assegnare solo famiglie più ridotte e maneggevoli, detta basi di intorni.
Definizione 1.6. Siano X uno spazio topologico e x un punto di X . Una famiglia
B(x) di sottoinsiemi di X è una base di intorni di x quando:
(i) ogni elemento B ∈ B(x) è un intorno di x
(ii) per ogni intorno I di x esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ I.
Proposizione 1.7. Sia X uno spazio topologico e, per ogni x ∈ X , sia assegnata
una base B(x) di intorni di x . Allora, per ogni x ∈ X , valgono le condizioni
B(x) = ∅ (1.7)
Capitolo I: I concetti fondamentali 2