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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
L’idea è la seguente: se le due metriche sono topologicamente equivalenti, allora
esse danno la stessa nozione di convergenza. Ma esse possono non dare la stessa nozione
di successione di Cauchy. Se ciò avviene e se X è completo rispetto a una delle metriche
considerate, allora X non può essere completo rispetto all’altra.
Una condizione sufficiente perché le classi delle successioni di Cauchy rispetto a
due metriche coincidano è la (I.2.7). La stessa condizione, dunque, assicura che la
completezza rispetto a una delle due metriche implica quella rispetto all’altra.
Esempio 1.4. Consideriamo la retta reale con le due metriche seguenti: d è la metrica
euclidea e d ′ è quella definita dalla formula
d ′ (x, y) = | arctan x − arctan y|.
Allora (R, d) è completo, (R, d ′ ) non lo è e le due metriche inducono la stessa topologia,
come ora mostriamo.
La prima affermazione è data dal Teorema 1.3. Per giustificare le altre due notiamo
che una successione {xn} converge rispetto alla metrica d ′ se e solo se la successione
{arctan xn} converge nella topologia euclidea dell’intervallo aperto (−π/2, π/2) . Allora,
siccome le funzioni arctan : R → (−π, π/2) e la sua inversa sono continue (rispetto
alla topologia euclidea), abbiamo un omeomorfismo e le due metriche inducono la stessa
topologia e la stessa nozione di convergenza delle successioni. D’altra parte, una successione
{xn} è di Cauchy rispetto alla metrica d ′ se e solo se la successione {arctan xn}
è di Cauchy rispetto alla metrica euclidea dell’intervallo aperto (−π/2, π/2) . Siccome
la successione {arctan n} converge a π/2 in senso euclideo e quindi è di Cauchy in tal
senso, deduciamo che la successione definita dalla formula xn = n è di Cauchy rispetto
alla metrica d ′ e non converge in tale metrica. Naturalmente essa non è di Cauchy
rispetto alla metrica euclidea.
Gli spazi metrici completi sono spazi “ricchi di elementi”. L’idea intuitiva è la
seguente. Immaginiamo di partire da uno spazio metrico completo e da un suo punto
di accumulazione x . Allora, per la Proposizione II.6.3, esiste una successione {xn}
di elementi di X \ {x} che converge a x . Tale successione è di Cauchy, per quanto
abbiamo detto all’inizio del paragrafo. Ora togliamo x da X . Resta il fatto che la
successione considerata è di Cauchy, ma ora tale successione non converge più.
Gli spazi metrici non completi, tuttavia, possono essere completati “aggiungendo
i limiti” delle successioni di Cauchy che non convergono, e ciò può essere fatto in modo
“unico”. Abbiamo naturalmente usato più volte le virgolette, dato che ad esempio
l’aggiunta comporta una costruzione opportuna, che rispetti tutti i crismi del rigore. Il
tutto è precisato nel risultato successivo.
Teorema 1.5. Sia (X, d) uno spazio metrico. Allora esiste uno spazio metrico
(X ′ , d ′ ) con le due proprietà seguenti: (i) (X ′ , d ′ ) è completo; (ii) esiste un’isometria
f : X → X ′ tale che f(X) sia denso in X ′ .
Inoltre, se (X ′′ , d ′′ ) è un altro spazio nelle stesse condizioni, allora (X ′ , d ′ ) e
(X ′′ , d ′′ ) sono isometrici.
I due risultati che seguono si riferiscono al “trasporto” della proprietà di completezza
tramite le costruzioni canoniche che abbiamo introdotto nel Paragrafo V.5.
Capitolo III: Completezza 27