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Capitolo III
Completezza
La nozione di completezza non può essere data nell’ambito generale degli spazi topologici.
Anche se è possibile parlare di completezza di uno spazio vettoriale topologico,
noi ci limitiamo al caso degli spazi metrici.
1. Spazi metrici completi
Siano (X, d) uno spazio metrico e {xn} una successione di elementi di X . Supponiamo
per un istante che la successione converga a un certo punto x ∈ X . Allora si vede
facilmente che vale la condizione seguente:
per ogni ε > 0 esiste m tale che d(xn ′, xn ′′) ≤ ε per ogni n′ , n ′′ ≥ m. (1.1)
Il problema principale che ci si pone è il seguente: la condizione (1.1), necessaria per la
convergenza, è anche sufficiente? La risposta è negativa.
Definizione 1.1. Sia (X, d) uno spazio metrico. Si dice che una successione {xn}
di elementi di X è una successione di Cauchy quando verifica la condizione (1.1).
Definizione 1.2. Uno spazio metrico (X, d) è completo quando tutte le successioni
di Cauchy di elementi di X convergono in X .
Tenendo conto di quanto è stato detto all’inizio del paragrafo abbiamo che: gli
spazi metrici completi sono quelli nei quali la classe delle successioni convergenti coincide
con quella delle successioni di Cauchy.
Teorema 1.3. La retta reale R è completa rispetto alla metrica euclidea.
Questo risultato è strettamente connesso con l’altra ben nota proprietà di completezza
di R : ogni sottoinsieme non vuoto e limitato di R ha estremo inferiore e
estremo superiore.
Va notato subito che la completezza non è un concetto topologico e dipende dalla
metrica precisa che si considera. Infatti può accadere che due metriche in uno stesso
insieme X siano topologicamente equivalenti e che X risulti completo rispetto a una
sola delle due, come mostra l’esempio successivo. Allo stesso modo possiamo dire che
uno spazio isometrico a uno completo è completo (1.2)
mentre un omeomorfismo può non conservare la completezza.