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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Come abbiamo detto all’inizio del paragrafo, la categoria di spazi topologici che stiamo esaminando è importante perché i concetti topologici si possono esprimere per mezzo delle successioni. Ci limitiamo a qualche risultato di facile dimostrazione. Proposizione 6.3. Sia X uno spazio a basi numerabili di intorni. Allora un punto x ∈ X è di accumulazione per X se e solo se esiste una successione di elementi di X \ {x} che converge a x . Proposizione 6.4. Sia X uno spazio a basi numerabili di intorni. Allora un sottoinsieme C di X è chiuso se solo se vale la condizione seguente: se {xn} è una successione di elementi di C convergente a un punto x ∈ X , allora x appartiene a C . Proposizione 6.5. Sia X uno spazio a basi numerabili di intorni. Allora un sottoinsieme E di X è denso se solo se vale la condizione seguente: per ogni x ∈ X esiste una successione {xn} di elementi di E convergente a x . Definizione 6.6. Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y . Diciamo che f è continua per successioni, o sequenzialmente continua, quando vale la condizione seguente: dalla convergenza di {xn} a x nella topologia di X segue la convergenza di {f(xn)} a f(x) nella topologia di Y . Si vede facilmente che la continuità implica la continuità sequenziale. Il viceversa, invece, è falso in generale, anche se non è banale costruire un controesempio. Abbiamo però i risultati enunciati di seguito. Il primo si dimostra facilmente e il secondo (che sarebbe falso senza l’ipotesi imposta sulle topologie) si ottiene semplicemente applicando il primo alla funzione identità e poi scambiando il ruolo delle due topologie. Proposizione 6.7. Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y . Se X è a basi numerabili di intorni allora f è continua se e solo se è continua per successioni. Corollario 6.8. Sia X un insieme non vuoto e si considerino in X due topologie. Se ciascuna di queste è a basi numerabili di intorni, allora esse coincidono se e solo se inducono lo stesso concetto di convergenza delle successioni. Ribadiamo che l’ipotesi che entrambe le topologie siano a basi numerabili di intorni fatta nel corollario è essenziale e che il caso metrizzabile rientra. Il corollario implica allora il fatto seguente: se due topologie inducono la stessa nozione di convergenza delle successioni e sono diverse fra loro, allora almeno una di esse non può essere metrizzabile. Capitolo II: Alcuni punti della teoria 25
Capitolo III Completezza La nozione di completezza non può essere data nell’ambito generale degli spazi topologici. Anche se è possibile parlare di completezza di uno spazio vettoriale topologico, noi ci limitiamo al caso degli spazi metrici. 1. Spazi metrici completi Siano (X, d) uno spazio metrico e {xn} una successione di elementi di X . Supponiamo per un istante che la successione converga a un certo punto x ∈ X . Allora si vede facilmente che vale la condizione seguente: per ogni ε > 0 esiste m tale che d(xn ′, xn ′′) ≤ ε per ogni n′ , n ′′ ≥ m. (1.1) Il problema principale che ci si pone è il seguente: la condizione (1.1), necessaria per la convergenza, è anche sufficiente? La risposta è negativa. Definizione 1.1. Sia (X, d) uno spazio metrico. Si dice che una successione {xn} di elementi di X è una successione di Cauchy quando verifica la condizione (1.1). Definizione 1.2. Uno spazio metrico (X, d) è completo quando tutte le successioni di Cauchy di elementi di X convergono in X . Tenendo conto di quanto è stato detto all’inizio del paragrafo abbiamo che: gli spazi metrici completi sono quelli nei quali la classe delle successioni convergenti coincide con quella delle successioni di Cauchy. Teorema 1.3. La retta reale R è completa rispetto alla metrica euclidea. Questo risultato è strettamente connesso con l’altra ben nota proprietà di completezza di R : ogni sottoinsieme non vuoto e limitato di R ha estremo inferiore e estremo superiore. Va notato subito che la completezza non è un concetto topologico e dipende dalla metrica precisa che si considera. Infatti può accadere che due metriche in uno stesso insieme X siano topologicamente equivalenti e che X risulti completo rispetto a una sola delle due, come mostra l’esempio successivo. Allo stesso modo possiamo dire che uno spazio isometrico a uno completo è completo (1.2) mentre un omeomorfismo può non conservare la completezza.
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