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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
vedere la parte difficile: la (ii) implica la (iii) . La procedura può essere la seguente.
A partire da una base B di intorni convessi di 0 si costruisce un’altra base B ′ di
intorni convessi di 0 che sono anche aperti e simmetrici. Per B ∈ B ′ si considera il
cosiddetto funzionale di Minkowski di B definito dalla formula
|x| B = inf {λ > 0 : x/λ ∈ B}
e, sfruttando le proprietà di B , si verifica che esso è una seminorma e che B è l’insieme
dei punti x tali che |x| B < 1 . Si prende allora la famiglia F = {| · | B : B ∈ B ′ } e si
controlla che questa genera la topologia data verificando che la base di intorni dell’origine
naturalmente associata a F e B ′ verificano le condizioni dell’Osservazione I.1.9. Il fatto
che V è uno spazio vettoriale topologico viene sfruttato in vari punti della costruzione,
ad esempio per garantire che l’interno di un convesso è esso stesso convesso.
6. Basi numerabili di intorni
Una categoria notevole di spazi topologici è quella dei cosiddetti spazi a basi numerabili
di intorni. Per spazi di questo tipo le proprietà topologiche si possono esprimere per
mezzo delle successioni.
Definizione 6.1. Diciamo che uno spazio topologico è uno spazio a basi numerabili
di intorni quando ogni suo punto ha una base di intorni al più numerabile.
Sono a basi numerabili di intorni tutti gli spazi metrizzabili, in particolare gli
spazi normati e, ancora più in particolare, gli spazi prehilbertiani. Il caso localmente
convesso, invece, riserva qualche sorpresa. In generale abbiamo il risultato seguente:
Proposizione 6.2. Sia V uno spazio localmente convesso separato. Allora sono
equivalenti le condizioni seguenti: (i) V è uno spazio a base numerabile di intorni;
(ii) l’origine ha una base numerabile di intorni; (iii) esiste una famiglia numerabile di
seminorme che induce la topologia; (iv) la topologia è metrizzabile.
Si può precisare meglio il caso in cui sono soddisfatte le condizioni del risultato
precedente: una metrica che induce la topologia è data dalla formula
d(x, y) =
∞
2 −k ϕ(|x − y|k) (6.1)
k=1
ove {| · | k } è una famiglia numerabile di seminorme di cui al punto (iii) e ϕ è una
qualunque funzione [0, +∞) → R limitata, continua, concava, strettamente crescente
e tale che ϕ(0) = 0 .
Notiamo che sono in queste condizioni tutti gli spazi localmente convessi che abbiamo
introdotto nei vari esempi (I.3.6 e successivi).
Notiamo infine che vale un risultato molto più generale: uno spazio vettoriale
topologico è metrizzabile se e solo se è a basi numerabili di intorni.
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 24