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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Supponiamo che le topologie di X ′ e X ′′ siano indotte dalle due metriche d ′
e d ′′ rispettivamente. Allora la topologia prodotto è indotta dalla metrica d definita
dalla formula
d((x ′ , x ′′ ), (y ′ , y ′′ )) = d ′ (x ′ , y ′ ) + d ′′ (x ′′ , y ′′ ). (5.1)
Metriche equivalenti a questa si ottengono prendendo il massimo anziché la somma nel
secondo membro, oppure prendendo la radice della somma dei quadrati. Dunque si vede
che non vi è una metrica privilegiata nel prodotto.
Lo stesso discorso si ripete nel caso di spazi normati. Se le topologie in due spazi
vettoriali V ′ e V ′′ sono indotte dalle due norme · ′ e · ′′ rispettivamente, allora
la topologia prodotto è indotta dalla norma · definita dalla formula
(x ′ , x ′′ ) = x ′ ′ + x ′′ ′′
(5.2)
e anche in questo caso possiamo prendere, ad esempio, il massimo oppure la radice della
somma dei quadrati: si ottiene ancora la topologia prodotto.
Le cose cambiano leggermente nel caso prehilbertiano, per trattare il quale denotiamo
momentaneamente con [ · , · ] le coppie, riservando la notazione ( · , · ) per il
prodotto scalare. Se le topologie in due spazi vettoriali V ′ e V ′′ sono indotte dai due
prodotti scalari ( · , · ) ′ e ( · , · ) ′′ , allora la topologia prodotto è indotta dal prodotto
scalare ( · , · ) definito dalla formula
([x ′ , y ′ ], [x ′′ , y ′′ ]) = (x ′ , y ′ ) ′ + (x ′′ , y ′′ ) ′′ . (5.3)
Si noti che, prendendo y ′ = x ′ e y ′′ = x ′′ , si ottengono i legami fra le norme
(x ′ , x ′′ ) 2 = (x ′ ′ ) 2 + (x ′′ ′′ ) 2
il che dice che in questo caso vi è una norma privilegiata.
Usiamo la nozione di prodotto per precisare la nozione di spazio vettoriale topologico
e riprendere l’Osservazione I.3.20. Nella definizione che segue è inteso che gli
spazi V 2 e R × V sono muniti delle topologie prodotto.
Definizione 5.7. Uno spazio vettoriale topologico è uno spazio vettoriale V munito
di una topologia di Hausdorff verificante la condizione seguente: le applicazioni
(x, y) ↦→ x + y, x, y ∈ V, e (c, x) ↦→ cx, c ∈ R, x ∈ V,
sono continue da V 2 in V e da R × V in V rispettivamente.
Proposizione 5.8. Sia V uno spazio vettoriale topologico. Allora sono equivalenti
le condizioni seguenti: (i) ogni punto ha una base di intorni convessi; (ii) l’origine
ha una base di intorni convessi; (iii) esiste una famiglia di seminorme che induce la
topologia.
Cenno della dimostrazione. L’equivalenza delle prime due condizioni è ovvia e il
fatto che la terza implica le altre è stato chiarito nell’Osservazione I.3.20. Rimane da
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 23