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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
Nel caso del limite di una funzione f : X → Y si ha una situazione analoga: per
avere unicità del limite di f(x) al tendere di x a un punto x0 , oltre a richiedere che
x0 sia un punto di accumulazione per X , dobbiamo imporre a Y di essere uno spazio
di Hausdorff.
5. Due costruzioni canoniche
Ci limitiamo al caso del sottospazio e a quello del prodotto di due spazi. Naturalmente
poi, per iterazione, si arriva al prodotto di un numero finito di spazi. Il caso del prodotto
di infiniti spazi, invece, non verrà trattato.
Partendo dal caso del sottospazio, supponiamo di avere uno spazio topologico X e
un suo sottoinsieme non vuoto X0 . Per ogni x ∈ X0 consideriamo la famiglia costituita
da tutte le intersezioni I ∩ X0 ottenuta facendo variare I fra gli intorni di X . Non è
difficile verificare che in tal modo si ottiene una topologia per X0 .
Definizione 5.1. Siano (X, I) uno spazio topologico e X0 un sottoinsieme non vuoto
di X . Chiamiamo topologia indotta da I su X0 la topologia I0 definita dalla condizione
seguente: se x ∈ X0 e I0 ⊆ X0 , diciamo che I0 ∈ I0(x) se e solo se esiste
I ∈ I(x) tale che I0 = I ∩ X0 .
Quando X0 è munito della topologia indotta si dice che X0 è un sottospazio dello
spazio topologico dato. Si vede poi facilmente che la stessa costruzione fatta a partire
da basi di intorni porta a basi di intorni per la topologia indotta.
Esempio 5.2. Consideriamo l’intervallo [0, 1] e costruiamo la topologia indotta su
di esso dalla topologia euclidea di R . Essa è quella che ha le seguenti basi di intorni:
se x ∈ (0, 1) una base di intorni di x si ottiene prendendo tutti gli intervalli aperti che
contengono x e sono inclusi in (0, 1) ; una base di intorni di 0 è costituita da tutti gli
intervalli del tipo [0, b) con 0 < b < 1 ; una base di intorni di 1 è costituita da tutti
gli intervalli del tipo (a, 1] con 0 < a < 1 .
Esempio 5.3. Consideriamo la retta estesa introdotta nell’Osservazione 3.3. Allora
la topologia indotta su R è la topologia euclidea.
Osservazione 5.4. Di particolare interesse sono i casi di spazi topologici la cui topologia
è indotta da altre strutture. Per tali spazi gradiremmo esprimere la topologia indotta
su un sottoinsieme direttamente in termini della struttura preesistente. Iniziamo dal
caso degli spazi metrici.
Se (X, d) è uno spazio metrico e X0 è un sottoinsieme non vuoto di X , si vede
subito che la restrizione d0 di d a X 2 0 , cioè la funzione (x, y) ↦→ d(x, y) , x, y ∈ X0 ,
è una metrica in X0 . Denotiamo con I la topologia in X indotta da d . Ebbene
la topologia indotta in X0 dalla metrica d0 coincide con la topologia indotta su X0
dalla topologia I .
Considerazioni sostanzialmente identiche si possono fare nel caso degli spazi normati,
prehilbertiani, localmente convessi: la sola precauzione aggiuntiva è che il sottoinsieme
deve essere un sottospazio vettoriale, dato che senza questa struttura non
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 21