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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
4. La separazione di Hausdorff
Se si tenta di dimostrare un teorema di unicità del limite di una successione in un
generico spazio topologico si trova un ostacolo. In effetti un risultato competamente
generale di questo tipo è falso e per convincersi basta pensare al caso di uno spazio X
con la topologia banale: ogni successione converge a ogni punto dello spazio.
Definizione 4.1. Si dice che uno spazio topologico X è uno spazio di Hausdorff
quando verifica la proprietà seguente, detta di separazione di Hausdorff: per ogni coppia
di punti distinti x, y ∈ X esistono un intorno di x e un intorno di y fra loro disgiunti.
Esistono altre proprietà di separazione, alcune più deboli di quella di Hausdorff,
altre più forti, ma noi non le prenderemo in considerazione. Per questo motivo parleremo
spesso di spazi topologici separatati, intendendo con ciò gli spazi di Hausdorff, senza
timore di ambiguità.
Proposizione 4.2. Ogni spazio topologico metrizzabile è separato.
Cenno della dimostrazione. Se x = y , posto r = d(x, y) , si considerano le palle
B r/2(x) e B r/2(y) .
In particolare sono separati gli spazi normati e, ancora più in particolare, quelli
prehilbertiani. Per il caso localmente convesso, invece, abbiamo il risultato che segue.
Proposizione 4.3. Siano V uno spazio vettoriale e F una famiglia di seminorme
in V . Allora F induce una topologia di Hausdorff se e solo se F è separata, cioè
verifica la condizione seguente: per ogni x = 0 esiste una seminorma | · | della famiglia
F tale che |x| > 0 .
Cenno della dimostrazione. Sia F separata e siano x, y ∈ V distinti. Scelta una
seminorma | · | ∈ F che non si annulla su x − y e posto r = |x − y| , sono disgiunti i
due intorni {z : |z − x| < r/2} e {z : |z − y| < r/2} .
Viceversa, la topologia sia di Hausdorff e sia x = 0 . Allora esiste un intorno I
di 0 che non contiene x . Ma I ⊇ {y : |y|i < r, i = 1, . . . , m} per certe seminorme
| · | i ∈ F e un certo r > 0 . Allora una di queste seminorme non si annulla su x .
Teorema 4.4. Siano X uno spazio di Hausdorff e {xn} una successione di punti di
X convergente a un punto x di X . Allora {xn} non converge ad alcun punto y ∈ X
diverso da x .
Cenno della dimostrazione. Per assurdo, la successione converga anche a y = x .
Presi due intorni di x e di y fra loro disgiunti e applicata la Definizione 3.1, si arriva
subito a una contraddizione.
Il risultato precedente ci autorizza a parlare del limite della successione e a usare la
notazione abituale limn→∞ xn . Questo simbolo non ha significato se la successione non
converge e denota l’unico limite in caso di convergenza. Nel caso di uno spazio normato
(o più in generale di uno spazio localmente convesso separato) possiamo analogamente
parlare della somma di una serie e usare il simbolo
n xn per denotarla.
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 20