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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
considerata e la cosa si generalizza: tutte le successioni reali divergenti a +∞ o a −∞
nel senso elementare comune ora convergono.
Anche per quanto riguarda la definizione di convergenza di una successione possiamo
limitarci a considerare solo basi di intorni anziché le intere famiglie degli intorni.
Ciò è particolarmente utile quando la topologia è indotta da altre strutture, nel qual
caso vi sono basi di intorni privilegiate legate alla struttura preesistente. Queste considerazioni
conducono a dimostrazioni semplici dei risultati dati di seguito, nei quali la
convergenza di una successione è espressa in termini di convergenza a 0 di successioni
di numeri reali.
Proposizione 3.4. Siano (X, d) uno spazio metrico, {xn} una successione di elementi
di X e x ∈ X . Allora {xn} converge a x se e solo se limn→∞ d(xn, x) = 0 .
Proposizione 3.5. Siano V uno spazio vettoriale, F una famiglia di seminorme
in V , {xn} una successione di elementi di V e x ∈ V . Allora {xn} converge a x
nella topologia indotta da F se e solo se limn→∞ |xn − x| = 0 per ogni seminorma | · |
della famiglia F .
Il caso degli spazi normati rientra in entrambi i risultati enunciati. In tal caso la
condizione di convergenza diventa limn→∞ xn − x = 0 .
Esempio 3.6: lo spazio C 0 [a, b] (seguito). Consideriamo, in particolare, lo spazio
V = C 0 [a, b] , restando inteso che la topologia è quella indotta dalla norma (I.3.8) del
massimo. Allora una successione {vn} di elementi di V converge all’elemento v ∈ V
se e solo se
lim
n→∞ max {|vn(t) − v(t)| : 0 ≤ t ≤ 1} = 0. (3.1)
Siccome la condizione (3.1) coincide con la convergenza uniforme, si usa dire che la
topologia naturale di C 0 [a, b] è quella della convergenza uniforme.
Esempio 3.7: lo spazio C 0 (a, b) (seguito). Consideriamo invece lo spazio V =
C 0 (a, b) con la sua topologia naturale introdotta nell’Esempio I.3.25. In questo caso
la Proposizione 3.5 dice che la convergenza coincide con la convergenza uniforme su
ogni intervallo chiuso e limitato incluso in (a, b) . Per questo motivo si usa dire che la
topologia naturale di C 0 (a, b) è quella della convergenza uniforme sugli intervalli chiusi
e limitati.
Esempio 3.8: lo spazio C ∞ (a, b) (seguito). Riprendiamo l’Esempio I.3.29. La
convergenza in questo spazio localmente convesso significa allora convergenza uniforme
della successione di funzioni e di quelle delle derivate di ogni ordine in tutti gli intervalli
chiusi e limitati inclusi in (a, b) . Notiamo che, nel caso particolare (a, b) = (−r, r) con
r > 0 finito o meno, proprio in questo senso convergono tutte le serie di potenze aventi
r come raggio di convergenza.
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 19