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Capitolo I I concetti fondamentali Nelle impostazioni tradizionali la nozione di spazio topologico e le proprietà di tipo topologico della teoria che ne consegue vengono basate sulla nozione di aperto. Ragioni di opportunità, legate al fatto che gli spazi topologici che maggiormente ci interessano sono spazi funzionali, ci inducono invece a privilegiare le nozione di intorno di un punto e di base di intorni per un punto. Successivamente introdurremo le nozioni fondamentali collegate, fra le quali quella di aperto. 1. Intorni e basi di intorni Sia X un insieme non vuoto. Assegnare una topologia su X significa scegliere, per ogni x ∈ X , i sottoinsiemi di X da chiamare intorni di x . Tuttavia, perché ne segua una teoria soddisfacente, tale scelta non può essere arbitraria e va in qualche modo regolamentata. Le proprietà che imponiamo conducono, nel caso dell’usuale topologia euclidea, alla nozione di soprainsieme di una palla, come sarà chiaro fra un attimo. Ecco quanto richiediamo per ogni punto x ∈ X : (i) x ha almeno un intorno (ii) ogni intorno di x contiene x (iii) ogni soprainsieme di un intorno di x è ancora un intorno di x (iv) l’intersezione di due intorni di x è ancora un intorno di x (v) ogni intorno I di x contiene un intorno I0 di x che è anche intorno di ogni suo punto. Formalizziamo il tutto nella definizione che segue. Definizione 1.1. Uno spazio topologico è una coppia (X, I) costituita da un insieme non vuoto X e da una applicazione I che a ogni x ∈ X associa una famiglia I(x) di sottoinsiemi di X in modo che, per ogni x ∈ X , valgano le proprietà seguenti: I(x) = ∅ (1.1) I ∋ x per ogni I ∈ I(x) (1.2) I ∈ I(x) e Y ⊇ I implicano Y ∈ I(x) (1.3) I ′ ∈ I(x) e I ′′ ∈ I(x) implicano I ′ ∩ I ′′ ∈ I(x) (1.4) per ogni I ∈ I(x) esiste I0 ∈ I(x) tale che I0 ⊆ I e I0 ∈ I(y) per ogni y ∈ I0. (1.5) Nella (1.3) è sottinteso che Y ⊆ X . Si noti poi che le proprietà elencate poco sopra si riottengono usando la frase I è un intorno di x come sostitutiva di I ∈ I(x) .

Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Osservazione 1.2. Occorre ribadire che, fissato l’insieme X , la topologia, che possiamo formalmente definire come l’applicazione I che determina la nozione di intorno, è frutto di una scelta. Anche se in alcuni casi vi è una scelta “più naturale” di altre, ogni applicazione I nelle condizioni dette è ugualmente legittima. Dunque, in generale, su uno stesso insieme X si possono assegnare più topologie, ciascuna delle quali attribuisce un significato diverso alla parola intorno. Ciò nonostante, si usa spesso la notazione semplice X anziché (X, I) per denotare uno spazio topologico. In tali casi si intende che X è l’insieme su cui lo spazio è costruito e che effettivamente è stata scelta la nozione di intorno, senza tuttavia introdurre una notazione al riguardo. Esempio 1.3: lo spazio euclideo. Quanto detto sopra si applica allo spazio R n , nel quale vi è una topologia privilegiata, detta topologia euclidea e definita come segue. Per x = (x1, . . . , xn) ∈ R n e r > 0 poniamo n |x| = i=1 x 2 i 1/2 e Br(x) = {y ∈ R n : |x − y| < r} (1.6) e chiamiamo Br(x) palla di centro x e raggio r . Allora un sottoinsieme I ⊆ R n è un intorno del punto x ∈ R n se e solo se esiste r > 0 tale che I ⊇ Br(x) . Effettivamente si ottiene una topologia, come si controlla senza difficoltà (per quanto riguarda la (1.5) si prenda come I0 la palla Br(x) della definizione stessa di intorno). Se non si dice nulla, resta inteso che la topologia di R n è quella appena definita. Tuttavia altre topologie sono possibili, come mostrano gli esempi “estremi” che seguono, nei quali si può prendere, in particolare, X = R n . Esempio 1.4: la topologia banale. Essa si può definire su un qualunque insieme X non vuoto ponendo I(x) = {X} per ogni x ∈ X . Esempio 1.5: la topologia discreta. Anche questa si può definire su un qualunque insieme X non vuoto denotando, per ogni x ∈ X , con I(x) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X che contengono x . Per assegnare una topologia, come abbiamo detto, occorre dire quali sono gli intorni dei vari punti. Siccome ciò può risultare gravoso, è opportuno avere la possibilità di assegnare solo famiglie più ridotte e maneggevoli, detta basi di intorni. Definizione 1.6. Siano X uno spazio topologico e x un punto di X . Una famiglia B(x) di sottoinsiemi di X è una base di intorni di x quando: (i) ogni elemento B ∈ B(x) è un intorno di x (ii) per ogni intorno I di x esiste B ∈ B(x) tale che B ⊆ I. Proposizione 1.7. Sia X uno spazio topologico e, per ogni x ∈ X , sia assegnata una base B(x) di intorni di x . Allora, per ogni x ∈ X , valgono le condizioni B(x) = ∅ (1.7) Capitolo I: I concetti fondamentali 2

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