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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
di X . Nel caso opposto, nel quale si dice che x0 è un punto isolato di X , la continuità
di f è automatica e sta al gusto di ciascuno dare o meno la definizione di limite.
Definizione 2.5. Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y . Si dice che f è
un omomorfismo se f è biiettiva e se f e f −1 sono continue. Si dice poi che X e Y
sono omeomorfi quando esiste un omeomorfismo f : X → Y .
Siano (X, d ′ ) e (Y, d ′′ ) due spazi metrici e f : X → Y . Si dice che f è
un’isometria se d ′′ (f(x), f(z)) = d ′ (x, z) per ogni x, z ∈ X e si dice che i due spazi
sono isometrici quando esiste un’isometria f : X → Y che sia anche suriettiva.
Siano V e W due spazi normati e f : V → W . Si dice che f è un isomorfismo se
f è un omemomorfismo ed è anche lineare. L’isomorfismo è detto isometrico quando è
anche un’isometria. Si dice poi che V e W sono isomorfi quando esiste un isomorfismo
f : V → W e che V e W sono isometricamente isomorfi quando esiste un isomorfismo
isometrico f : V → W .
Notiamo il fatto seguente, di verifica banale: due topologie in uno stesso insieme
X coincidono se e solo se l’applicazione identica è un omeomorfismo di uno dei due
spazi topologici nell’altro.
Notiamo poi che tutte le isometrie sono iniettive e che ogni isometria suriettiva è
anche un omeomorfismo rispetto alle topologie indotte dalle metriche considerate.
Notiamo infine che un isomorfismo fra due spazi normati è isometrico se e solo se
conserva le norme, dato che le metriche e le norme corrispondenti sono ricostruibili le une
a partire dalle altre. Nel caso di spazi prehilbertiani, poi, un isomorfismo è isometrico
se e solo se conserva i prodotti scalari, dato che questi e le norme corrispondenti sono
ricostruibili gli uni a partire dalle altre.
3. Convergenza di una successione
Anche la nozione di convergenza di una successione ha carattere topologico e può essere
data nel quadro generale che stiamo trattando.
Definizione 3.1. Siano X uno spazio topologico, {xn} una successione di elementi
di X e x un punto di X . Diciamo che {xn} converge a x quando per ogni intorno
I di x esiste un indice m tale che xn ∈ I per ogni n ≥ m .
Osservazione 3.2. Quando l’ambiente è anche uno spazio vettoriale oltre che uno
spazio topologico, come avviene ad esempio nel caso degli spazi normati, abbiamo sia
la nozione di somma che quella di limite e possiamo definire il concetto di serie come
limite della successione delle somme parziali.
Osservazione 3.3. Consideriamo la retta estesa X = [−∞, +∞] e, usando il Teorema
I.1.8, introduciamo in X l’unica topologia che ha le seguenti basi di intorni: se
x ∈ R denotiamo con B(x) l’insieme costituito dagli intervalli aperti (a, b) che contengono
x ; denotiamo con B(+∞) l’insieme degli intervalli del tipo (a, +∞] con
a ∈ R ; denotiamo infine con B(−∞) l’insieme degli intervalli del tipo [−∞, b) con
b ∈ R . Allora la successione data dalla formula xn = n converge a +∞ nella topologia
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 18