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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
2. Continuità
Passiamo ora alle nozioni di continuità e di limite e ai concetti a questi collegati. Ancora
privilegiamo l’impostazione basata sugli intorni.
Definizione 2.1. Siano X e Y due spazi topologici, f : X → Y e x0 ∈ X . Diciamo
che f è continua in x0 quando per ogni intorno I di f(x0) esiste un intorno J di
x0 tale che f(x) ∈ I per ogni x ∈ J . Diciamo poi che f è continua quando essa è
continua in ogni punto di X .
Anche in questo caso possiamo sostituire le famiglie di intorni di x0 e di f(x0)
con basi di intorni di tali punti senza che il concetto venga alterato. Se, in particolare,
facciamo ciò nel caso in cui le due topologie di X e Y sono indotte da due metriche dX
e dY rispettivamente e come basi di intorni prendiamo le famiglie costituite dalle palle,
otteniamo la generalizzazione della classica formulazione della continuità in termini di
ε e δ : la funzione f è continua in x0 se e solo se per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale
che dY (f(x), f(x0)) < ε per ogni x ∈ X verificante dX(x, x0) < δ .
Osservazione 2.2. Fissati gli insiemi X e Y e la funzione f : X → Y , per parlare
di continuità di f occorre fissare le topologie e il concetto che si ottiene dipende dalle
topologie considerate. Consideriamo ad esempio il caso semplicissimo in cui X e Y
coincidono con un insieme contenente almeno due punti e f(x) = x per ogni x ∈ X .
Se X e Y sono dotati della stessa topologia, allora f è continua in ogni punto,
ovviamente. Se invece Y è dotato della topologia banale e Y di quella discreta, allora
f non è continua in alcun punto di X .
Le (I.2.6), (I.3.6) e (I.3.28) assicurano che, se la topologia considerata in un insieme
X è indotta da una metrica d o, nel caso vettoriale, da una norma · o da una
famiglia F di seminorme, allora sono continue rispettivamente le funzioni a valori in R
(euclideo) date dalle formule
x ↦→ d(x, y), x ↦→ x , x ↦→ |x|
ove y ∈ X è fissato ad arbitrio e | · | è una qualunque seminorma di F .
Enunciamo ora due risultati, il primo dei quali è una caratterizzazione della continuità
in termini di aperti (spesso assunta come definizione di continuità). Analogamente
si potrebbe dare una caratterizzazione in termini di chiusi.
Proposizione 2.3. Siano X e Y due spazi topologici e f : X → Y . Allora f è
continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X .
Teorema 2.4. Siano X , Y e Z tre spazi topologici e f : X → Y e g : Y → Z due
funzioni continue. Allora anche g ◦ f è continua.
In modo del tutto analogo si definisce la nozione di limite di una funzione f fra
due spazi topologici X e Y . La definizione viene data in modo che valga la proprietà
seguente: f tende a f(x0) per x tendente a x0 se e solo se essa è continua in x0 .
Eventualmente si richiede tutto ciò solo nel caso in cui x0 sia un punto di accumulazione
Capitolo II: Alcuni punti della teoria 17