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Capitolo II Alcuni punti della teoria Ci occupiamo di definire i concetti collegati alla nozione di intorno, come quelli di aperto e di funzione continua, di qualche costruzione canonica e di qualche categoria importante di spazi topologici. 1. I concetti topologici abituali Essi costituiscono la naturale estensione al caso generale di spazi topologici di concetti ben noti nel caso dello spazio euclideo. Ecco le definizioni principali. Definizione 1.1. Siano X uno spazio topologico, E ⊆ X e x ∈ X . Diciamo che x è interno a E , esterno a E , di frontiera per E , di aderenza per E , di accumulazione per E quando, rispettivamente, sono soddisfatte le condizioni seguenti: esiste un intorno di x incluso in E (1.1) esiste un intorno di x disgiunto da E (1.2) x non è né interno a E né esterno a E (1.3) ogni intorno di x interseca E (1.4) ogni intorno di x interseca E \ {x}. (1.5) Osservazione 1.2. In relazione alla definizione precedente, si vede facilmente che, se B(x) è una base di intorni di x , si ottengono gli stessi concetti sostituendo le parole intorno di x con elemento di B(x) . Definizione 1.3. Siano X uno spazio topologico e E ⊆ X . L’interno di E , l’esterno di E , la frontiera di E , la chiusura di E e il derivato di E sono, rispettivamente, l’insieme dei punti interni a E , l’insieme dei punti esterni a E , l’insieme dei punti di frontiera per E , l’insieme dei punti di aderenza per E e l’insieme dei punti di accumulazione per E . Definizione 1.4. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme E ⊆ X è detto aperto, chiuso, denso quando, rispettivamente, sono soddisfatte le condizioni seguenti: ogni punto di E è interno a E (1.6) ogni punto di X \ E è esterno a E (1.7) la chiusura di E è X. (1.8)
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale Si potrebbe fare un lungo elenco di proprietà di facile dimostrazione, ma per questo rimandiamo ai testi specializzati e ci limitiamo a osservare che un sottoinsieme è chiuso se e solo se il suo complementare è aperto (1.9) e a enunciare i risultati che seguono, i quali consentono in particolare di vedere come la nozione di spazio topologico può essere data in modo alternativo. Proposizione 1.5. Siano (X, I) uno spazio topologico e A la famiglia degli aperti. Allora valgono le condizioni seguenti: ∅, X ∈ A (1.10) se Ai ∈ A per ogni i di un certo insieme di indici, allora i Ai ∈ A (1.11) se A1, A2 ∈ A, allora A1 ∩ A2 ∈ A. (1.12) Inoltre, per ogni x ∈ X e I ⊆ X , risulta I ∈ I(x) se e solo se esiste A ∈ A tale che x ∈ A e A ⊆ I . (1.13) Teorema 1.6. Siano X un insieme non vuoto e A una famiglia di sottoinsiemi di X verificante le condizioni (1.10–12). Allora esiste una e una sola topologia su X la cui famiglia di aperti sia A . Tale topologia si ottiene definendo le famiglie di intorni nel modo seguente: se x ∈ X e I ⊆ X , diciamo che I è un intorno di x se e solo se vale la condizione (1.13). Tenendo conto della (1.9) si vede immediatamente che la famiglia C dei chiusi verifica le proprietà ∅, X ∈ C (1.14) se Ci ∈ C per ogni i di un certo insieme di indici, allora i Ci ∈ C (1.15) se C1, C2 ∈ C, allora C1 ∪ C2 ∈ C (1.16) e che, viceversa, data comunque una famiglia C di sottoinsiemi di X in queste condizioni, esiste una e una sola topologia per la quale C è la famiglia dei chiusi. Dunque una topologia può essere assegnata scegliendo indifferentemente una delle cose seguenti (ciascuna con le dovute proprietà, ben inteso): (i) le famiglie degli intorni dei vari punti; (ii) famiglie di basi di intorni dei vari punti; (iii) la famiglia degli aperti; (iv) la famiglia dei chiusi. In particolare viene recuperata l’impostazione tradizionale secondo la quale uno spazio topologico è una coppia (X, A) ove X è un insieme non vuoto e A è una famiglia di sottoinsiemi di X , detti aperti, verificante le condizioni (1.10–12). Capitolo II: Alcuni punti della teoria 16
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