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Capitolo II
Alcuni punti della teoria
Ci occupiamo di definire i concetti collegati alla nozione di intorno, come quelli di aperto
e di funzione continua, di qualche costruzione canonica e di qualche categoria importante
di spazi topologici.
1. I concetti topologici abituali
Essi costituiscono la naturale estensione al caso generale di spazi topologici di concetti
ben noti nel caso dello spazio euclideo. Ecco le definizioni principali.
Definizione 1.1. Siano X uno spazio topologico, E ⊆ X e x ∈ X . Diciamo che x
è interno a E , esterno a E , di frontiera per E , di aderenza per E , di accumulazione
per E quando, rispettivamente, sono soddisfatte le condizioni seguenti:
esiste un intorno di x incluso in E (1.1)
esiste un intorno di x disgiunto da E (1.2)
x non è né interno a E né esterno a E (1.3)
ogni intorno di x interseca E (1.4)
ogni intorno di x interseca E \ {x}. (1.5)
Osservazione 1.2. In relazione alla definizione precedente, si vede facilmente che, se
B(x) è una base di intorni di x , si ottengono gli stessi concetti sostituendo le parole
intorno di x con elemento di B(x) .
Definizione 1.3. Siano X uno spazio topologico e E ⊆ X . L’interno di E , l’esterno
di E , la frontiera di E , la chiusura di E e il derivato di E sono, rispettivamente,
l’insieme dei punti interni a E , l’insieme dei punti esterni a E , l’insieme dei punti
di frontiera per E , l’insieme dei punti di aderenza per E e l’insieme dei punti di
accumulazione per E .
Definizione 1.4. Sia X uno spazio topologico. Un sottoinsieme E ⊆ X è detto
aperto, chiuso, denso quando, rispettivamente, sono soddisfatte le condizioni seguenti:
ogni punto di E è interno a E (1.6)
ogni punto di X \ E è esterno a E (1.7)
la chiusura di E è X. (1.8)