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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale sua topologia “naturale” è quella indotta dalla famiglia delle seminorme definite dalle formule |v|∞,K = max |v(t)| (3.31) t∈K ottenuta facendo variare K nella classe degli intervalli chiusi e limitati inclusi in (a, b) . Notiamo che non esiste alcuna norma che induce tale topologia. Nel caso in cui a e b sono finiti, una famiglia equivalente e, si badi bene, numerabile si ottiene considerando, fra le seminorme precedenti, solo quelle relative a intervalli del tipo K = [a + 1/k, b − 1/k] con k intero positivo tale che a + 1/k di intervalli (a, b) non limitati. Ad esempio, nel caso (a, b) = R , possiamo limitarci agli intervalli del tipo K = [−k, k] con k intero positivo. Esempio 3.26: lo spazio C 0 (Ω) . Come nel caso dell’Esempio 3.6, l’intervallo (a, b) può essere variamente sostituito. Possiamo così considerare lo spazio C 0 (Ω) costituito dalle funzioni v : Ω → R continue, ove Ω è un aperto non vuoto di R n . La sua topologia naturale è quella indotta dalla famiglia costituita dalle seminorme definite dalla formula (3.31), ove ora K varia fra i sottoinsiemi chiusi e limitati inclusi in Ω . Anche in questo caso è possibile costruire una famiglia numerabile di seminorme equivalente a quella considerata. Infatti, come si vede facilmente applicando il Teorema 3.23, si ottiene una famiglia equivalente prendendo le seminorme considerate ma limitatamente agli insiemi K presi in una famiglia K di sottoinsiemi chiusi e limitati di Ω che gode della proprietà seguente: per ogni K ⊆ Ω chiuso e limitato esiste K ′ ∈ K tale che K ′ ⊇ K . Ebbene, detta Br la palla chiusa di R n di centro 0 e raggio r > 0 , una famiglia numerabile K nelle condizioni dette si ottiene prendendo gli insiemi Ki , i = 1, 2, . . . , definiti come segue. Se Ω = R n poniamo Ki = Bi ; se Ω = R n definiamo Ki come l’insieme dei punti x ∈ Ω ∩ Bi che distano al massimo 1/i dal bordo di Ω . Esempio 3.27: lo spazio C 1 (a, b) . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : (a, b) → R di classe C 1 . Anche in questo caso a e b non sono necessariamente finiti. La sua topologia naturale è quella indotta dalla famiglia delle seminorme definite, con la notazione (3.31), dalle formule |v|K = |v|∞,K + |v ′ |∞,K (3.32) ottenuta facendo variare K nella classe degli intervalli chiusi e limitati inclusi in (a, b) . Anche in questo caso non esiste alcuna norma che induce tale topologia ed è possibile costruire famiglie numerabili equivalenti. Tutto ciò vale poi anche per lo spazio C 1 (Ω) , ottenuto, come abbiamo fatto nella costruzione dell’Esempio 3.25, sostituendo (a, b) con un generico aperto Ω ⊆ R n . In modo analogo si costruisce la topologia naturale dello spazio C k (Ω) costituito dalle funzioni di classe C k , ove k è un intero positivo fissato ad arbitrio. Esempio 3.28: lo spazio C ∞ [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : [a, b] → R di classe C ∞ e la sua topologia naturale è definita dalla famiglia numerabile di seminorme (di fatto norme) |v|k = v (k) ∞ , k = 0, 1, . . . (3.33) Capitolo I: I concetti fondamentali 13
Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale sempre con la notazione (3.8). Anche in questo caso non esiste una norma che induce la topologia considerata. Le stesse considerazioni valgono poi (con le difficoltà segnalate nell’Esempio 3.9) se [a, b] è sostituito dalla chiusura di un aperto limitato Ω ⊆ R n , eventualmente in ipotesi ragionevoli su Ω . Si ottiene lo spazio localmente convesso C ∞ (Ω) . Esempio 3.29: lo spazio C ∞ (a, b) . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni v : (a, b) → R di classe C ∞ e la sua topologia naturale è definita dalla famiglia di seminorme |v|k,K = v (k) ∞,K (con la notazione (3.31)) ottenuta facendo variare K , come nel caso di C 0 (a, b) , nella classe degli intervalli chiusi e limitati inclusi in (a, b) e k fra gli interi non negativi. Anche in questo caso possiamo limitarci a un’infinità numerabile di insiemi K , dunque a un’infinità numerabile di seminorme, senza alterare la topologia. Anche questo spazio non è normabile. Le stesse cose si ripetono poi per lo spazio C ∞ (Ω) , ottenuto prendendo un aperto Ω ⊆ R n anziché un intervallo di R . Capitolo I: I concetti fondamentali 14
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