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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
sua topologia “naturale” è quella indotta dalla famiglia delle seminorme definite dalle
formule
|v|∞,K = max |v(t)| (3.31)
t∈K
ottenuta facendo variare K nella classe degli intervalli chiusi e limitati inclusi in (a, b) .
Notiamo che non esiste alcuna norma che induce tale topologia.
Nel caso in cui a e b sono finiti, una famiglia equivalente e, si badi bene, numerabile
si ottiene considerando, fra le seminorme precedenti, solo quelle relative a intervalli
del tipo K = [a + 1/k, b − 1/k] con k intero positivo tale che a + 1/k < b − 1/k .
Famiglie numerabili equivalenti a quella standard si possono però scrivere facilmente
nel caso di intervalli (a, b) non limitati. Ad esempio, nel caso (a, b) = R ,
possiamo limitarci agli intervalli del tipo K = [−k, k] con k intero positivo.
Esempio 3.26: lo spazio C 0 (Ω) . Come nel caso dell’Esempio 3.6, l’intervallo (a, b)
può essere variamente sostituito. Possiamo così considerare lo spazio C 0 (Ω) costituito
dalle funzioni v : Ω → R continue, ove Ω è un aperto non vuoto di R n . La sua
topologia naturale è quella indotta dalla famiglia costituita dalle seminorme definite
dalla formula (3.31), ove ora K varia fra i sottoinsiemi chiusi e limitati inclusi in Ω .
Anche in questo caso è possibile costruire una famiglia numerabile di seminorme
equivalente a quella considerata. Infatti, come si vede facilmente applicando il Teorema
3.23, si ottiene una famiglia equivalente prendendo le seminorme considerate ma
limitatamente agli insiemi K presi in una famiglia K di sottoinsiemi chiusi e limitati di
Ω che gode della proprietà seguente: per ogni K ⊆ Ω chiuso e limitato esiste K ′ ∈ K
tale che K ′ ⊇ K . Ebbene, detta Br la palla chiusa di R n di centro 0 e raggio r > 0 ,
una famiglia numerabile K nelle condizioni dette si ottiene prendendo gli insiemi Ki ,
i = 1, 2, . . . , definiti come segue. Se Ω = R n poniamo Ki = Bi ; se Ω = R n definiamo
Ki come l’insieme dei punti x ∈ Ω ∩ Bi che distano al massimo 1/i dal bordo di Ω .
Esempio 3.27: lo spazio C 1 (a, b) . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni
v : (a, b) → R di classe C 1 . Anche in questo caso a e b non sono necessariamente
finiti. La sua topologia naturale è quella indotta dalla famiglia delle seminorme definite,
con la notazione (3.31), dalle formule
|v|K = |v|∞,K + |v ′ |∞,K
(3.32)
ottenuta facendo variare K nella classe degli intervalli chiusi e limitati inclusi in (a, b) .
Anche in questo caso non esiste alcuna norma che induce tale topologia ed è possibile
costruire famiglie numerabili equivalenti.
Tutto ciò vale poi anche per lo spazio C 1 (Ω) , ottenuto, come abbiamo fatto nella
costruzione dell’Esempio 3.25, sostituendo (a, b) con un generico aperto Ω ⊆ R n .
In modo analogo si costruisce la topologia naturale dello spazio C k (Ω) costituito
dalle funzioni di classe C k , ove k è un intero positivo fissato ad arbitrio.
Esempio 3.28: lo spazio C ∞ [a, b] . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle
funzioni v : [a, b] → R di classe C ∞ e la sua topologia naturale è definita dalla
famiglia numerabile di seminorme (di fatto norme)
|v|k = v (k) ∞ , k = 0, 1, . . . (3.33)
Capitolo I: I concetti fondamentali 13