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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
j1, . . . , jm di J e da tutti i numeri reali r > 0 . La topologia data in corrispondenza
dal Teorema 1.8 è detta topologia indotta dalla famiglia F .
Uno spazio vettoriale V dotato di una topologia è detto localmente convesso
quando esiste una famiglia di seminorme che ne induce la topologia e due famiglie
di seminorme in V si dicono topologicamente equivalenti quando inducono la stessa
topologia.
Osservazione 3.20. Anche se sarà necessario riprendere il discorso in seguito, possiamo
anticipare il motivo dell’aggettivo localmente convesso attribuito a gli spazi introdotti
nella definizione precedente. Ebbene non è difficile controllare che ciascuno
degli insiemi (3.29) è convesso (nel senso della definizione che per completezza diamo
di seguito), per cui gli spazi introdotti godono della proprietà seguente: ogni punto ha
una base di intorni convessi.
Vedremo in seguito che, viceversa, la topologia degli spazi di una certa categoria
(spazi vettoriali topologici separati) che godono di tale proprietà è necessariamente
indotta da una famiglia di seminorme.
Definizione 3.21. Se V è uno spazio vettoriale e x, y ∈ V , chiamiamo segmento di
estremi x e y l’immagine dell’applicazione t ↦→ x + t(y − x) , t ∈ [0, 1] , e diciamo
che un sottoinsieme C ⊆ V è convesso quando, dati comunque x, y ∈ C , il segmento
di estremi x e y è incluso in C .
Esempio 3.22: il caso degli spazi normati. Se · è una norma su uno spazio
vettoriale V e se consideriamo la famiglia F costituita dalla sola norma considerata,
la topologia indotta coincide con quella indotta dalla norma.
Ancora si pone il problema dell’equivalenza topologica e vale in proposito il risultato
che enunciamo di seguito e che generalizza il Teorema 3.3.
Teorema 3.23. Siano V uno spazio vettoriale e F ′ e F ′′ due famiglie di seminorme
in V . Allora F ′ e F ′′ inducono la stessa topologia se e solo se valgono la condizione
che enunciamo esplicitamente e l’analoga ottenuta scambiando i ruoli delle due famiglie.
Ecco la condizione richiesta: per ogni seminorma | · | ′′ ∈ F ′′ esistono un numero finito
| · | ′
jk
(k = 1, . . . , m) di seminorme di F ′ e una costante c > 0 tali che
|x| ′′ ≤ c max
k=1,...,m |x|′ jk
per ogni x ∈ V. (3.30)
Esempio 3.24: lo spazio euclideo (seguito). In R n possiamo considerare la
famiglia F costituita dalle n seminorme | · | i , i = 1, . . . , n , definite dalle formule
|x|i = |xi| se x = (x1, . . . , xn)
ove il simbolo al secondo membro è quello di modulo. Allora la topologia indotta da F
è la topologia euclidea, come si vede applicando il Teorema 3.23.
Esempio 3.25: lo spazio C 0 (a, b) . Esso è lo spazio vettoriale costituito dalle funzioni
v : (a, b) → R continue. In questo caso a e b non sono necessariamente finiti. La
Capitolo I: I concetti fondamentali 12