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Gianni Gilardi Elementi di Topologia e di Analisi Funzionale
La (3.17) si esprime dicendo che il prodotto scalare è lineare nel primo fattore.
Tenendo conto della simmetria data dalla (3.16), otteniamo l’analoga linearità nel secondo
fattore. Un prodotto scalare, dunque, è una applicazione di V 2 in R bilineare,
simmetrica e definita positiva.
Sia ora (V, ( · , · )) uno spazio prehilbertiano. Anche se la verifica non è banale, si
dimostra che la formula (che ha senso per la (3.14))
fornisce una norma in V .
x = (x, x) 1/2
(3.18)
Definizione 3.12. Sia (V, ( · , · )) uno spazio prehilbertiano. La norma definita
dalla (3.18) è detta norma indotta dal prodotto scalare considerato. La metrica e
la topologia indotte da tale norma sono chiamate indotte dal prodotto scalare. Uno
spazio vettoriale dotato di una topologia è detto prehilbertizzabile quando esiste un
prodotto scalare che ne induce la topologia. Infine due prodotti scalari in uno stesso
spazio vettoriale V si dicono topologicamente equivalenti quando inducono la stessa
topologia.
Anche l’aggettivo prehilbertizzabile è di uso poco frequente e si usa al suo posto
l’aggettivo prehilbertiano, anche in riferiferimento alla sola topologia indotta e non a un
prodotto scalare preciso. La verifica del fatto che la (3.18) effettivamente è una norma
si basa sul risultato che segue (nel quale il termine “norma indotta” è solo un modo
di dire finché non si sono effettivamente controllate le proprietà della norma) e che ha
anche un interesse autonomo.
Proposizione 3.13. Siano (V, ( · , · )) uno spazio prehilbertiano e · la corrispondente
norma indotta. Allora, per ogni x, y ∈ V , vale la disuguaglianza
detta disuguaglianza di Schwarz.
|(x, y)| ≤ x y (3.19)
Notiamo che due prodotti scalari che inducono la stessa norma devono necessariamente
coincidere. Valgono infatti le formule del binomio
Seguono varie formule, ad esempio
x ± y 2 = x 2 + y 2 ± 2(x, y). (3.20)
(x, y) = 1
2
x + y 2 − x 2 − y 2
. (3.21)
In particolare è possibile ricostruire, a partire dalla norma, del prodotto scalare che
induce la norma (3.18) stessa.
Notiamo inoltre che la disuguaglianza di Schwarz consente una definizione di angolo
fra due vettori x, y ∈ V non nulli. Essa, infatti, rende sensata la formula
xy = arccos
(x, y)
. (3.22)
x y
Capitolo I: I concetti fondamentali 9