Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute - Sede di Architettura
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Prima Facoltà <strong>di</strong> <strong>Architettura</strong> “Ludovico Quaroni”<br />
Corso <strong>di</strong> Laurea 5 U.E.<br />
A.A. 2001/2002 - II semestre<br />
<strong>Note</strong> <strong>sulle</strong> <strong>lezioni</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong><br />
<strong>STATICA</strong><br />
<strong>tenute</strong> dal Prof. Luis Decanini<br />
Con la collaborazione <strong>del</strong> Dott. Laura Liberatore<br />
π1<br />
MOR MO1<br />
MO2<br />
P1<br />
V1<br />
Parte 1<br />
O<br />
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE<br />
TEORIA DEI VETTORI<br />
SISTEMI DI FORZE<br />
V2<br />
P2<br />
10/03/2010<br />
π2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
INDICE<br />
1.1. Mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> corpo rigido...........................................................................................................4<br />
1.1.1. Punto materiale o particella ..................................................................................................5<br />
1.1.2. Corpo rigido..........................................................................................................................6<br />
1.1.3. Sistema rigido <strong>di</strong> punti materiali...........................................................................................6<br />
1.1.4. Corpo deformabile................................................................................................................7<br />
1.1.5. Circostanze capaci <strong>di</strong> influire sulla quiete o sul moto <strong>di</strong> un corpo .......................................7<br />
1.1.6. Mo<strong>del</strong>li e realtà.....................................................................................................................8<br />
1.2. Concetto <strong>di</strong> forza.....................................................................................................................9<br />
1.2.1. Unità <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le forze .................................................................................................12<br />
1.2.2. Somma <strong>del</strong>le forze..............................................................................................................12<br />
1.3. Proprietà meccaniche dei materiali....................................................................................16<br />
1.3.1. Legge <strong>di</strong> Hooke (1678).......................................................................................................16<br />
1.3.2. Legami costitutivi...............................................................................................................18<br />
1.4. Teoria dei vettori ...................................................................................................................19<br />
1.4.1. Rappresentazione dei vettori...............................................................................................19<br />
1.4.2. Vettori liberi .......................................................................................................................20<br />
1.4.3. Vettori applicati ..................................................................................................................21<br />
1.4.4. Vettore opposto ..................................................................................................................21<br />
1.4.5. Vettori unitari (versori).......................................................................................................22<br />
1.4.6. Retta <strong>di</strong> applicazione o retta <strong>di</strong> azione................................................................................23<br />
1.4.7. Componente <strong>di</strong> un vettore secondo una retta orientata .......................................................23<br />
1.4.8. Componenti cartesiane <strong>di</strong> un vettore ..................................................................................26<br />
1.5. Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi ................................................................29<br />
1.5.1. Somma <strong>di</strong> due vettori..........................................................................................................29<br />
1.5.1.1. Differenza <strong>di</strong> due vettori............................................................................................31<br />
1.5.1.2. Somma <strong>di</strong> più vettori .................................................................................................32<br />
1.5.2. Prodotto <strong>di</strong> un vettore per uno scalare ................................................................................34<br />
1.5.3. Prodotto scalare ..................................................................................................................36<br />
1.5.3.1. Definizione <strong>del</strong> Prodotto Scalare ..............................................................................36<br />
1.5.3.2. Proprietà Distributiva <strong>del</strong> Prodotto Scalare.............................................................38<br />
1.5.3.3. Espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto scalare.............................................................38<br />
1.5.3.4. Prodotto scalare – Lavoro <strong>di</strong> una forza ....................................................................39<br />
1.5.3.5. Esempio <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong> prodotto scalare. Calcolo <strong>del</strong> lavoro. .........................41<br />
1.5.4. Prodotto vettoriale ..............................................................................................................42<br />
1.5.4.1. Definizione <strong>del</strong> Prodotto Vettoriale ..........................................................................42<br />
1.5.4.2. Proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale (vettori complanari)..........................44<br />
1.5.4.3. Prodotto vettoriale tra versori cartesiani .................................................................44<br />
1
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.4.4. Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico ..............................................46<br />
1.5.4.5. Espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto vettoriale .........................................................48<br />
1.5.5. Prodotto misto ....................................................................................................................49<br />
1.5.5.1. Proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale (vettori non complanari)...................50<br />
1.5.6. Effetti <strong>del</strong>le forze................................................................................................................51<br />
1.5.7. Momento polare..................................................................................................................52<br />
1.5.7.1. Espressione matriciale <strong>del</strong> momento polare .............................................................53<br />
1.5.7.2. Proprietà <strong>del</strong> momento polare ..................................................................................55<br />
1.5.8. Momento assiale <strong>di</strong> una forza .............................................................................................59<br />
1.6. Sistemi <strong>di</strong> forze......................................................................................................................60<br />
1.6.1. Momento risultante.............................................................................................................60<br />
1.6.2. Coppie ................................................................................................................................61<br />
1.6.2.1. Proprietà <strong>del</strong>le coppie...............................................................................................63<br />
Esercizio <strong>sulle</strong> coppie...................................................................................................................64<br />
1.7. Operazioni <strong>sulle</strong> forze e sui sistemi <strong>di</strong> forze .....................................................................67<br />
1.7.1. Trasporto <strong>di</strong> una forza.........................................................................................................67<br />
1.7.2. Riduzione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze al risultante più il momento risultante............................68<br />
1.7.3. Equivalenza statica <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong> forze applicate ..............................................................124<br />
1.7.4. Operazioni invariantive ....................................................................................................127<br />
1.8. Invariante scalare e asse centrale .....................................................................................71<br />
1.8.1. Invariante scalare <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze.............................................................................71<br />
1.8.2. Asse centrale.......................................................................................................................74<br />
1.8.2.1. Asse centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze. Concetti preliminari........................................74<br />
1.8.3. Legame tra invariante scalare e asse centrale .....................................................................75<br />
1.8.4. Asse centrale. Sistemi piani <strong>di</strong> forze...................................................................................78<br />
1.8.4.1. Introduzione ..............................................................................................................78<br />
1.8.4.2. Asse Centrale <strong>di</strong> sistemi piani. Riduzione al solo Risultante ....................................79<br />
1.8.4.3. Equazione <strong>del</strong>l’Asse Centrale per i sistemi piani <strong>di</strong> forze.........................................82<br />
1.8.4.4. Sistemi piani <strong>di</strong> vettori (o forze). Deduzione vettoriale <strong>del</strong>l’Asse Centrale ..............84<br />
Esercizio: Asse Centrale nel piano ..............................................................................................85<br />
Esercizio: Asse Centrale <strong>di</strong> una trave <strong>di</strong> fondazione....................................................................87<br />
Esercizio: Asse Centrale <strong>di</strong> forze parallele complanari...............................................................90<br />
1.8.5. Asse centrale. Sistemi <strong>di</strong> forze nello spazio........................................................................92<br />
1.8.5.1. Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze parallele..........................................................92<br />
1.8.5.2. Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze comunque <strong>di</strong>sposte nello spazio......................94<br />
1.8.5.3. Ricerca analitica <strong>del</strong>l’Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema spaziale.....................................95<br />
1.8.5.4. Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo .................................97<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori paralleli nello spazio .............................................................99<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori complanari nello spazio.......................................................103<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori non complanari....................................................................105<br />
2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8.6. Teorema <strong>di</strong> Varignon (1725) ............................................................................................112<br />
1.8.6.1. Ricerca <strong>del</strong>la posizione <strong>del</strong>la risultante <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze complanari e parallele<br />
me<strong>di</strong>ante il teorema <strong>di</strong> Varignon................................................................................................118<br />
1.8.6.2. Esempi d’applicazione <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Varignon ....................................................119<br />
Esercizio: applicazione <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Varignon ad una trave <strong>di</strong> fondazione...........................121<br />
1.8.7. Sistemi <strong>di</strong> forze applicate. Sistema equilibrante ...............................................................128<br />
1.8.8. Sistema <strong>di</strong> forze nullo o equilibrato. Equazioni <strong>di</strong> equilibrio statico................................130<br />
Esercizio: equilibrio <strong>di</strong> un corpo rigido.....................................................................................131<br />
Esercizio: calcolo <strong>del</strong>le reazioni vincolari, ossia <strong>del</strong> sistema equilibrante ...............................133<br />
3
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.1. Mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> corpo rigido<br />
La schematizzazione e successiva formulazione <strong>di</strong> un problema meccanico implica<br />
l’adeguata scelta <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> riferimento e la mo<strong>del</strong>lazione sia <strong>del</strong>le azioni esterne<br />
che dei corpi che intervengono.<br />
Le azioni esterne corrispondenti a forze vengono rappresentate da vettori (ente geome-<br />
trico atto a rappresentare grandezze dotate <strong>di</strong> intensità, <strong>di</strong>rezione e verso).<br />
Per quanto riguarda i corpi (strutture, elementi strutturali, connessioni), al fine <strong>di</strong> sem-<br />
plificare e chiarire l’impostazione e la risoluzione dei problemi, si fanno astrazioni nelle<br />
quali i corpi reali vengono sostituiti con dei mo<strong>del</strong>li.<br />
Un corpo ideale (mo<strong>del</strong>lo), dotato <strong>di</strong> proprietà che lo rendono atto a rappresentare in<br />
modo semplice ed efficace il comportamento reale, viene scelto in funzione <strong>del</strong> tipo <strong>di</strong><br />
problema esaminato e <strong>del</strong> grado <strong>di</strong> approssimazione che si desidera ottenere nella sua<br />
risoluzione.<br />
Nell’ambito <strong>del</strong>la Statica viene assunto il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> Corpo Rigido, cioè un corpo in<br />
cui si mantengono invariate le mutue <strong>di</strong>stanze fra tutti i punti che lo costituiscono, per<br />
qualunque spostamento esso subisca o per qualsiasi sistema <strong>di</strong> forze che agisca su <strong>di</strong> es-<br />
so.<br />
Perciò nel corpo rigido non esistono deformazioni e quin<strong>di</strong>, come più avanti si vedrà, si<br />
deve soltanto esaminare l’effetto motrice <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze che agisce sul corpo.<br />
Nella realtà, tutti i materiali strutturali (muratura, legno, acciaio, cemento armato etc.)<br />
sono più o meno deformabili, conseguentemente il corpo rigido è un’astrazione, che si<br />
adatta però molto bene alla realtà per semplificare lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> <strong>di</strong>versi problemi <strong>del</strong>la<br />
Meccanica.<br />
Sebbene le strutture reali siano sempre, in maggior o minor grado, deformabili, il mo-<br />
<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> corpo rigido risulta in molti casi un’approssimazione sod<strong>di</strong>sfacente in vista <strong>di</strong><br />
una soluzione adeguata dal punto <strong>di</strong> vista pratico, che consente la risoluzione <strong>del</strong> pro-<br />
blema <strong>del</strong>l’equilibrio e che, comunque, costituisce il passo iniziale per la realizzazione<br />
<strong>di</strong> stu<strong>di</strong> più dettagliati.<br />
Le costruzioni in muratura o in pietra sono esempi <strong>di</strong> strutture che spesso risultano ben<br />
mo<strong>del</strong>late dall’ipotesi <strong>di</strong> corpo rigido.<br />
Uno degli aspetti essenziali <strong>del</strong>la sicurezza strutturale consiste nella verifica<br />
<strong>del</strong>l’equilibrio, cioè una struttura, nella sua totalità e nelle sue singole componenti, deve<br />
4
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
rimanere nello stato <strong>di</strong> quiete, ovvero il sistema costituito da tutte le forze agenti deve<br />
essere in equilibrio.<br />
Nel presente <strong>corso</strong> si esaminano le con<strong>di</strong>zioni d’equilibrio dei sistemi isostatici adottan-<br />
do l’ipotesi <strong>di</strong> corpo rigido.<br />
La risoluzione dei sistemi iperstatici che richiedono altri mo<strong>del</strong>li (corpi deformabili ela-<br />
stici o elastoplastici) e la verifica <strong>del</strong>le resistenze, vengono effettuati nell’ambito <strong>di</strong> cor-<br />
si successivi (Scienza <strong>del</strong>le Costruzioni, Tecnica <strong>del</strong>le Costruzioni).<br />
L’introduzione <strong>del</strong> concetto <strong>di</strong> “punto materiale” o “particella” ha notevole importanza,<br />
sia perché costituisce un elemento <strong>di</strong> partenza nelle formulazioni essenziali <strong>del</strong>la Mec-<br />
canica, sia perché consente una prima trattazione <strong>di</strong> molti fenomeni.<br />
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong> comportamento meccanico dei punti materiali risulta il primo passo<br />
nell’analisi <strong>di</strong> situazioni più complesse.<br />
Si intende per “punto materiale” una quantità molto piccola <strong>di</strong> materia concentrata at-<br />
torno ad un punto <strong>del</strong>lo spazio.<br />
Tuttavia è opportuno segnalare che talvolta i corpi reali vengono mo<strong>del</strong>lati come “punti<br />
materiali” senza essere limitati a piccole quantità <strong>di</strong> materia.<br />
La mo<strong>del</strong>lazione con punti materiali comporta che le <strong>di</strong>mensioni e la forma dei corpi<br />
considerati non influenzano la soluzione <strong>del</strong> problema e si può ammettere che tutte le<br />
forze che agiscono sul corpo hanno il medesimo punto <strong>di</strong> applicazione.<br />
1.1.1. Punto materiale o particella<br />
Corpo <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni molto piccole dotato <strong>di</strong> piccola quantità <strong>di</strong> materia che occupa un<br />
punto nello spazio.<br />
A volte corpi reali con particolari caratteristiche <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni e forma possono mo<strong>del</strong>-<br />
larsi come “punti materiali”, purché tutte le forze che agiscono su <strong>di</strong> essi possano essere<br />
considerate applicate su uno stesso punto (ad esempio l’intero peso <strong>di</strong> un corpo applica-<br />
to nel baricentro, equivale all’insieme dei pesi elementari).<br />
G<br />
P<br />
5
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.1.2. Corpo rigido<br />
Insieme continuo o <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti materiali, che mantengono inalterate le loro<br />
mutue <strong>di</strong>stanze.<br />
Cioè si suppone che le <strong>di</strong>stanze fra due qualsiasi punti <strong>del</strong> corpo siano invariabili per<br />
qualsiasi spostamento che subisce l’insieme e per qualunque sistema <strong>di</strong> forze che agisce<br />
sul corpo stesso.<br />
A<br />
a<br />
B<br />
a = costante L = costante<br />
1.1.3. Sistema rigido <strong>di</strong> punti materiali<br />
I no<strong>di</strong> vengono considerati come punti materiali e le aste rappresentano vincoli inesten-<br />
sibili che mantengono invariabile (costante) la <strong>di</strong>stanza tra due no<strong>di</strong>.<br />
Sotto l’azione <strong>del</strong>le forze i corpi rigi<strong>di</strong> non subiscono alcuna deformazione.<br />
6<br />
A<br />
L<br />
B
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.1.4. Corpo deformabile<br />
Insieme continuo o <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti materiali, in cui la <strong>di</strong>stanza fra due punti qualsiasi<br />
si mo<strong>di</strong>fica per la presenza <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze.<br />
L<br />
1.1.5. Circostanze capaci <strong>di</strong> influire sulla quiete o sul moto <strong>di</strong><br />
un corpo<br />
L’espressione “sistema <strong>di</strong> forze in equilibrio” in<strong>di</strong>ca un sistema il cui “effetto motrice<br />
risultante” sul corpo materiale è nullo.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista <strong>del</strong>l’equilibrio le forze possono spostarsi lungo la loro retta d’azione<br />
senza cambiare le con<strong>di</strong>zioni <strong>del</strong>l’equilibrio. Tuttavia, se si considera l’effetto defor-<br />
mante <strong>del</strong>le forze si vede chiaramente che la situazione cambia, infatti la deformazione<br />
<strong>del</strong> corpo <strong>di</strong>pende dai punti nei quali vengono applicate le forze.<br />
Nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>l’equilibrio dei corpi rigi<strong>di</strong> le forze possono spostarsi lungo la loro retta<br />
d’azione. Questa conclusione viene talvolta denominata, da alcuni autori, “Principio <strong>di</strong><br />
Trasmissibilità”.<br />
Si consideri un sistema <strong>di</strong> due forze in equilibrio, con<strong>di</strong>zione che può verificarsi soltan-<br />
to se le due forze hanno la stessa retta d’azione, la medesima intensità e versi opposti.<br />
Siano le due forze applicate inizialmente nel punto A. Se si mo<strong>di</strong>fica il sistema <strong>di</strong> forze<br />
che originariamente agivano sul punto A, in maniera che agiscano in due punti <strong>di</strong>versi A<br />
e B localizzati sulla retta <strong>di</strong> azione <strong>del</strong>le forze, il sistema continua a rimanere in equili-<br />
brio per quanto riguarda il moto <strong>del</strong> corpo, ma se il corpo è deformabile, la nuova situa-<br />
zione sarà <strong>di</strong>fferente da quella iniziale (il punto A si sposta in A’ e il punto B in B’).<br />
7<br />
L1<br />
L2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
A<br />
A<br />
B<br />
corpo rigido<br />
la <strong>di</strong>stanza tra i due punti<br />
rimane costante<br />
8<br />
A’<br />
B’<br />
corpo deformabile<br />
la <strong>di</strong>stanza tra i due<br />
punti aumenta<br />
Da quanto esposto emerge che il principio <strong>di</strong> trasmissibilità risulta completamente certo<br />
nel caso dei corpi rigi<strong>di</strong>, ma non altrettanto nel caso <strong>di</strong> corpi deformabili.<br />
Questo principio può essere visto piuttosto come una proprietà dei corpi rigi<strong>di</strong> che come<br />
una proprietà <strong>del</strong>le forze.<br />
1.1.6. Mo<strong>del</strong>li e realtà<br />
Come già precedentemente detto, gli elementi che costituiscono una struttura subiscono<br />
sempre <strong>del</strong>le deformazioni quando sono soggetti ad azioni esterne (forze, spostamenti<br />
impressi etc.) e l’entità <strong>di</strong> queste deformazioni <strong>di</strong>pende dalle caratteristiche <strong>del</strong> materia-<br />
le considerato. Ma avendo fatto l’ipotesi <strong>di</strong> corpo perfettamente rigido, possiamo trascu-<br />
rare l’aspetto deformativo ed indagare unicamente le con<strong>di</strong>zioni d’equilibrio (esterno,<br />
interno) <strong>del</strong>la struttura, rimandando a corsi posteriori il problema <strong>del</strong>le verifiche <strong>del</strong>le<br />
resistenze.<br />
La schematizzazione <strong>di</strong> un problema meccanico implica una opportuna scelta <strong>del</strong> siste-<br />
ma <strong>di</strong> riferimento e la mo<strong>del</strong>lazione <strong>del</strong> corpo o dei corpi che intervengono in funzione<br />
degli scopi <strong>del</strong>l’analisi che si sta conducendo.<br />
Di volta in volta, quin<strong>di</strong>, uno stesso corpo potrà essere ipotizzato come un punto mate-<br />
riale, come un sistema <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti materiali connessi dal vincolo <strong>del</strong>la rigi<strong>di</strong>tà,<br />
come un sistema continuo rigido oppure come un sistema continuo deformabile.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.2. Concetto <strong>di</strong> forza<br />
Il concetto <strong>di</strong> “forza” ha un carattere intuitivo che sod<strong>di</strong>sfa il senso comune, tale da faci-<br />
litarne l’appren<strong>di</strong>mento. Tuttavia, nella comune percezione una forza risulta spesso as-<br />
sociata all’idea <strong>di</strong> una “spinta” o <strong>di</strong> una “trazione” esercitata dai muscoli. Ad esempio il<br />
concetto <strong>di</strong> forza è messo in relazione all’azione necessaria per sollevare un corpo qual-<br />
siasi.<br />
Come accade con altre grandezze fisiche, nella Scienza la forza viene definita conside-<br />
rando gli effetti da essa generati e precisando i proce<strong>di</strong>menti che ne consentono la misu-<br />
ra, adottando una adeguata unità misura.<br />
Si tratta evidentemente <strong>di</strong> una definizione <strong>di</strong> tipo operativo piuttosto che <strong>di</strong> una precisa-<br />
zione <strong>del</strong>la natura intrinseca <strong>del</strong>la grandezza.<br />
Il concetto <strong>di</strong> forza rappresenta una efficace “invenzione” scientifica che permette <strong>di</strong> in-<br />
terpretare fenomeni fisici (naturali osservati o ideali derivati dall’astrazione teorica) ed<br />
inquadrarli in teorie e leggi <strong>di</strong> vali<strong>di</strong>tà generale.<br />
Il concetto fisico <strong>di</strong> forza può esprimersi soltanto in funzione degli effetti che essa pro-<br />
voca su un corpo materiale. Tali effetti possono essere classificati in:<br />
1) Effetto Motrice<br />
2) Effetto Deformante<br />
1) Effetto Motrice (o Dinamico)<br />
Se un corpo è libero <strong>di</strong> spostarsi e si trova inizialmente in con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> quiete o <strong>di</strong> moto<br />
rettilineo uniforme, l’applicazione <strong>di</strong> una forza provoca un’accelerazione proporzionale<br />
alla forza applicata.<br />
Il legame tra causa (forza) ed effetto (accelerazione) costituisce la ben nota “II Legge <strong>di</strong><br />
Newton” che postula:<br />
Una forza ( F ) agente su un corpo <strong>di</strong> massa (m), genera un‘accelerazione ( a ), nella <strong>di</strong>-<br />
rezione e nel verso <strong>del</strong>la forza, legata a questa dalla espressione: F = m ⋅ a<br />
La massa (m) rappresenta una misura <strong>del</strong>la inerzia <strong>del</strong> corpo ovvero <strong>del</strong>la resistenza che<br />
esso oppone ad acquistare un’accelerazione sotto l’azione <strong>di</strong> una assegnata forza.<br />
Si consideri un carrello <strong>di</strong>sposto su un piano orizzontale e si supponga che non esistano<br />
attriti (con<strong>di</strong>zioni ideali).<br />
9
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
F1 a1<br />
m m<br />
(a) (b)<br />
All’applicazione <strong>del</strong>la forza F 1 il carrello acquista l’accelerazione a 1<br />
10<br />
F2 a2<br />
m<br />
Applicando la forza F 2 il carrello acquista un’accelerazione pari ad a 2 .<br />
Ripetendo l’esperimento e cambiando unicamente il valore <strong>del</strong>la forza, si trova che sus-<br />
siste la seguente relazione tra forza applicata e accelerazione prodotta:<br />
2) Effetto Deformante o Statico<br />
F<br />
a<br />
1<br />
1<br />
F 2<br />
= = .......... .. =<br />
a 2<br />
Se invece <strong>di</strong> un corpo libero si considera un corpo vincolato (tale che non sia permesso<br />
alcuno spostamento), l’applicazione <strong>di</strong> una forza F produce una deformazione <strong>del</strong> cor-<br />
po (ipotizzato non rigido) e sviluppa nel vincolo una forza reattiva R = −F<br />
in modo ta-<br />
le che il sistema rimane in stato <strong>di</strong> quiete (equilibrio).<br />
E’ chiaro che non si innesca un moto poiché al corpo si è applicato un sistema <strong>di</strong> forze il<br />
cui risultante è nullo.<br />
m<br />
F<br />
m<br />
R F<br />
m<br />
R<br />
F<br />
a<br />
n =<br />
n<br />
m<br />
(c)<br />
a) corpo deformabile b) corpo rigido<br />
Nel caso a) corpo deformabile si produce un accorciamento <strong>del</strong> carrello sotto l’azione<br />
concomitante <strong>del</strong>le forze F ed R . Naturalmente, se si ipotizza che il corpo è rigido (in-<br />
deformabile) l’unico effetto <strong>di</strong> F è l’imme<strong>di</strong>ato sviluppo <strong>del</strong>la reazione R ed il corpo<br />
rimane in equilibrio.<br />
Un altro esempio <strong>del</strong>l’effetto deformante generato da una forza può considerarsi il caso<br />
<strong>di</strong> una molla (corpo deformabile) fissata al soffitto:
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
L<br />
11<br />
R<br />
P<br />
L + ∆L<br />
Supponendo trascurabile il peso <strong>del</strong>la molla, ed applicando ad essa un peso P , si ha un<br />
allungamento <strong>di</strong> una quantità ∆L.<br />
L’azione <strong>del</strong> peso P genera imme<strong>di</strong>atamente la reazione R = −P<br />
che mette in equili-<br />
brio il sistema.<br />
In sintesi, l’azione <strong>di</strong> una forza su un corpo materiale può produrre due tipi <strong>di</strong> effetti, se-<br />
condo le con<strong>di</strong>zioni in cui si trova il corpo:<br />
a) se il corpo è libero, l’azione <strong>del</strong>la forza provoca un’accelerazione;<br />
b) se il corpo è vincolato adeguatamente, l’applicazione <strong>di</strong> una forza genera una<br />
forza reattiva nel vincolo, in modo che perseverano le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio.<br />
Se il corpo non è rigido l’azione <strong>del</strong>le forze attiva e reattiva provoca deformazioni.<br />
Nell’ambito <strong>del</strong>la Statica le situazioni esaminate ricadono nel caso b).<br />
Si osservi, inoltre, che il caso b) corrisponde ad una situazione particolare <strong>del</strong> caso a),<br />
quella in cui la risultante <strong>di</strong> tutte le forze applicate al corpo è nulla.<br />
Entrambi i tipi <strong>di</strong> effetti in<strong>di</strong>viduati precedentemente possono essere utilizzati per defi-<br />
nire e misurare una forza.<br />
Usualmente l’intensità <strong>di</strong> una forza viene misurata me<strong>di</strong>ante la deformazione che pro-<br />
duce su una molla calibrata (<strong>di</strong>namometro).
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.2.1. Unità <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>le forze<br />
L’unità <strong>di</strong> misura <strong>del</strong>la forza nel sistema S.I., si ottiene a partire dalla equazione fonda-<br />
mentale:<br />
F = m × a<br />
se m ed a assumono valore unitario, cioè 1 kg e 1 m/sec 2 , si può definire l’unità <strong>di</strong> for-<br />
za detta newton (N): 1 N è la forza capace <strong>di</strong> imprimere l’accelerazione <strong>di</strong> 1 m/sec 2 ad<br />
un corpo avente la massa <strong>di</strong> 1 kg.<br />
m<br />
a<br />
m<br />
F<br />
a = 1 m/sec<br />
m =1 kg<br />
1.2.2. Somma <strong>del</strong>le forze<br />
Dall’evidenza sperimentale si desume che due forze 1<br />
2<br />
12<br />
F = 1 N<br />
F ed 2<br />
F , agenti su un punto ma-<br />
teriale, possono essere sostituite da una sola forza F che produce sul punto gli stessi ef-<br />
fetti:<br />
F1<br />
F2<br />
La forza F è la risultante <strong>del</strong>le forze 1 F ed 2<br />
logramma che ha i lati uguali alle forze date 1<br />
F1<br />
F2<br />
F<br />
F = forza risultante<br />
F e si ottiene come <strong>di</strong>agonale <strong>del</strong> paralle-<br />
F ed 2<br />
F .
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Questa costruzione geometrica costituisce la ben nota regola <strong>del</strong> parallelogramma <strong>del</strong>le<br />
forze, che risolve il problema <strong>del</strong>la composizione e scomposizione dei vettori e quin<strong>di</strong><br />
<strong>del</strong>le forze.<br />
La regola <strong>del</strong> parallelogramma <strong>del</strong>le forze costituisce un aspetto fondamentale <strong>del</strong>la<br />
Meccanica e, derivando dalle osservazioni sperimentali, non può essere né <strong>di</strong>mostrata,<br />
né dedotta matematicamente, e non è altro che l’interpretazione <strong>di</strong> fatti osservati.<br />
Da quanto esposto segue che le forze non ubbi<strong>di</strong>scono alle leggi <strong>del</strong>la somma algebrica,<br />
ma <strong>del</strong>la somma che può essere denominata geometrica.<br />
Ad esempio due forze, una <strong>di</strong> 30 kN e l’altra <strong>di</strong> 40 kN, normali fra loro, sommate geo-<br />
metricamente danno un risultante <strong>di</strong> 50 kN e non <strong>di</strong> 70 kN, come si potrebbe ipotizzare<br />
erroneamente.<br />
F1 = 30 kN<br />
F2 = 40 kN<br />
13<br />
F = 50 kN<br />
Ad ogni modo, le forze non sono le uniche grandezze fisiche che seguono la regola <strong>del</strong><br />
parallelogramma per la loro somma. Altre grandezze <strong>di</strong> questo tipo sono: accelerazione,<br />
velocità, spostamenti, momenti, etc. Come si vedrà, queste grandezze possono essere<br />
adeguatamente rappresentate dai vettori.<br />
Per determinare compiutamente l’effetto <strong>di</strong> una forza su un corpo è necessario conosce-<br />
re: l’intensità, la <strong>di</strong>rezione, il verso ed il punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza.<br />
Tutto ciò può essere adeguatamente rappresentato me<strong>di</strong>ante i vettori.<br />
Ritornando all’equazione: F = m × a , può succedere che sul corpo (in questo caso è<br />
opportuno considerare il mo<strong>del</strong>lo <strong>di</strong> “punto materiale”) agiscono non una ma più forze,<br />
in questa situazione F rappresenta la risultante <strong>di</strong> tutte le forze agenti sul punto.<br />
Da ciò si desume che l’accelerazione a , che un corpo acquista sotto l’effetto <strong>di</strong> più for-<br />
ze simultanee, è la risultante <strong>del</strong>le accelerazioni dovute alle singole forze.<br />
Nella Figura, per chiarezza, si sono considerate soltanto due forze, ma quanto detto è<br />
valido per un numero qualsiasi <strong>di</strong> forze.
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Il principio <strong>del</strong> parallelogramma <strong>del</strong>le accelerazioni, enunciato da Newton come corol-<br />
lario alle leggi <strong>del</strong>la Dinamica, postula che “l’accelerazione prodotta dall’azione con-<br />
giunta <strong>di</strong> due forze, è data dalla <strong>di</strong>agonale <strong>del</strong> parallelogramma <strong>del</strong>le accelerazioni pro-<br />
vocate dalle due forze.”<br />
F 1 provoca a 1<br />
F 2 provoca a 2<br />
Il punto materiale subisce un’accelerazione a data dalla <strong>di</strong>agonale <strong>del</strong> parallelogramma<br />
<strong>del</strong>le accelerazioni a 1 e a 2<br />
a1<br />
F1<br />
F1<br />
F2<br />
F2<br />
a2<br />
F<br />
equivale a<br />
le forze causano accelerazioni quin<strong>di</strong>:<br />
equivale a<br />
Se sul punto agiscono non due ma più forze, F sarà la risultante (geometrico) <strong>di</strong> tutte le<br />
forze agenti sul punto e l’accelerazione a è la risultante <strong>di</strong> tutte le accelerazioni dovute<br />
alle singole forze.<br />
14<br />
a1<br />
a<br />
a2<br />
F<br />
a
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Essendo F 1 , F 2 , F 3 , …, F n le “n” forze simultanee ed F il loro risultante,<br />
l’accelerazione a , che il corpo acquista sotto l’azione <strong>di</strong> queste forze, è la risultante <strong>del</strong>-<br />
le accelerazioni a 1,<br />
a 2 , a 3 , …, a n provocate da ciascuna <strong>del</strong>le forze.<br />
F è la forza risultante capace <strong>di</strong> imprimere l’accelerazione risultante a :<br />
F = F 1 + F 2 + F 3 + .... +<br />
F n<br />
F = ma1<br />
+ ma<br />
2 + ma<br />
3 + .... + ma<br />
n = m(<br />
a1<br />
+ a 2 + a 3 + .... + a n ) =<br />
Si consideri un punto materiale <strong>di</strong> massa m soggetto a quattro forze F 1 , F 2 , F 3 , F 4 ,<br />
se si compongono le forze (o le accelerazioni) a due a due me<strong>di</strong>ante il parallelogramma<br />
<strong>del</strong>le forze, si può ottenere la risultante <strong>di</strong> tutte le forze (o accelerazioni):<br />
F4<br />
F4<br />
F3<br />
F3<br />
F2<br />
F1<br />
W2<br />
W1<br />
W 1 è la somma <strong>di</strong> F 1 e F 2 , W 2 è la somma <strong>di</strong> W 1 e F 3 , F è la somma <strong>di</strong> W 2 e F 4 e<br />
rappresenta la risultante <strong>di</strong> tutte le forze che agiscono sul punto <strong>di</strong> massa m.<br />
In altre parole la risultante è stato determinato me<strong>di</strong>ante successive operazioni <strong>del</strong> paral-<br />
lelogramma <strong>del</strong>le forze, considerando le forze a due a due.<br />
Una costruzione simile si può realizzare considerando le accelerazioni al posto <strong>del</strong>le<br />
forze.<br />
Quanto esposto mette in luce il principio <strong>di</strong> sovrapposizione degli effetti, che non è altro<br />
che una generalizzazione <strong>del</strong> principio <strong>del</strong> parallelogramma <strong>del</strong>le accelerazioni.<br />
15<br />
F4<br />
F4<br />
F3<br />
F2<br />
F<br />
F1<br />
ma<br />
W2<br />
W1
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1.3. Proprietà meccaniche dei materiali<br />
1.3.1. Legge <strong>di</strong> Hooke (1678)<br />
Stato iniziale Stato sotto carico<br />
* in questa figura non sono in<strong>di</strong>cate<br />
L<br />
le deformazioni trasversali<br />
Secondo la legge <strong>di</strong> Hooke l’allungamento è proporzionale alla forza applicata:<br />
dove:<br />
L = lunghezza iniziale<br />
∆L = allungamento<br />
P = forza applicata<br />
E = Modulo <strong>di</strong> Elasticità<br />
A = area <strong>del</strong>la sezione trasversale<br />
P<br />
σ = tensione =<br />
A<br />
∆ L<br />
ε = deformazione unitaria =<br />
L<br />
∆L<br />
⋅ E =<br />
L<br />
P ⋅ L<br />
∆ L =<br />
A ⋅ E<br />
P<br />
A<br />
16<br />
L<br />
∆L<br />
ε ⋅ E = σ<br />
P<br />
L + ∆L<br />
In campo elastico, il rapporto tensione su deformazione è costante per un dato materiale<br />
σ<br />
e pari al modulo <strong>di</strong> elasticità E: = E<br />
ε
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P<br />
∆L<br />
17<br />
σ<br />
α<br />
1<br />
E<br />
Legame Costitutivo<br />
Elastico<br />
σ = E ε<br />
E = tg α<br />
L’applicazione <strong>del</strong> carico P produce, oltre ad un allungamento, <strong>del</strong>le deformazioni late-<br />
rali. La sezione trasversale <strong>di</strong> un elemento strutturale:<br />
y<br />
- <strong>di</strong>minuisce se l’elemento è soggetto a trazione<br />
- aumenta se è soggetto a compressione<br />
x<br />
P<br />
L<br />
∆L<br />
σ = P/A<br />
σ = P/A<br />
ε/2<br />
ε/2<br />
ε<br />
1 (lunghezza unitaria)<br />
Il rapporto tra contrazione laterale unitaria εx e allungamento assiale unitario εy è co-<br />
stante e pari al coefficiente <strong>di</strong> Poisson ν.<br />
− ε x = ν<br />
ε<br />
y<br />
Il coefficiente <strong>di</strong> Poisson <strong>di</strong>pende dal materiale considerato, ad esempio per l’acciaio si<br />
ha ν = 0.3, mentre per il calcestruzzo ν = 0.15÷0.20.
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1.3.2. Legami costitutivi<br />
Il legame costitutivo <strong>di</strong> un dato materiale esprime il rapporto che intercorre tra tensioni<br />
e deformazioni, il legame costitutivo elastico è espresso, come visto, dalla legge <strong>di</strong> Ho-<br />
oke.<br />
Nelle seguenti figure sono riportati il legame elasto-fragile, elasto-plastico, rigido-<br />
fragile e rigido-plastico.<br />
σ<br />
σ<br />
R<br />
elasico - fragile<br />
R<br />
rigido - fragile<br />
R = punto <strong>di</strong> rottura<br />
ε<br />
ε<br />
18<br />
σ<br />
σ<br />
elasico - plastico<br />
(è un legame duttile)<br />
limite elastico<br />
rigido - plastico<br />
(è un legame duttile)<br />
R<br />
R<br />
ε<br />
ε
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1.4. Teoria dei vettori<br />
Il problema <strong>del</strong>l’equilibrio e <strong>del</strong> moto dei corpi richiede <strong>di</strong> rappresentare in modo con-<br />
veniente e sintetico le cause che producono lo stato <strong>di</strong> quiete o il movimento <strong>di</strong> un corpo<br />
ed i fenomeni ad esso connessi.<br />
Un’adeguata rappresentazione <strong>di</strong> grandezze fisiche dotate <strong>di</strong> intensità, <strong>di</strong>rezione e verso,<br />
si ottiene me<strong>di</strong>ante enti geometrici denominati “vettori”.<br />
Il vettore è un ente geometrico caratterizzato da un’intensità (numero reale non negati-<br />
vo detto “modulo”), da una <strong>di</strong>rezione e da un verso.<br />
Il concetto <strong>di</strong> vettore e l’introduzione <strong>di</strong> un corrispondente algoritmo costituisce la co-<br />
siddetta “Teoria dei vettori”.<br />
L’introduzione <strong>di</strong> questo ente geometrico risale alla prima metà <strong>del</strong> secolo XIX (Hamil-<br />
ton, Grassman, Bellavitis, etc.)<br />
L’algebra dei vettori comprende le operazioni <strong>di</strong> somma, <strong>di</strong>fferenza e prodotto, con cui<br />
possono essere rappresentati e risolti tutti i problemi <strong>del</strong>la Meccanica in cui intervengo-<br />
no grandezze per la cui completa caratterizzazione risulta necessario precisare<br />
un’intensità ed un orientamento (<strong>di</strong>rezione e verso).<br />
I primi concetti <strong>del</strong>la Teoria dei vettori possono farsi risalire agli stu<strong>di</strong> sul parallelo-<br />
gramma <strong>del</strong>le forze, condotti da Stevino (1548-1620), mentre lo sviluppo <strong>del</strong>l’attuale<br />
formulazione risale alla prima metà <strong>del</strong> secolo XIX.<br />
1.4.1. Rappresentazione dei vettori<br />
Un vettore si in<strong>di</strong>ca con una lettera in neretto, o con una lettera soprassegnata (o sottoli-<br />
neata) con un segmento o una freccia, oppure fra due parentesi graffe: V, V r , V , {V}<br />
Graficamente un vettore si rappresenta con un segmento orientato, la cui lunghezza è<br />
proporzionale al modulo <strong>del</strong> vettore.<br />
La <strong>di</strong>rezione ed il verso (in<strong>di</strong>cato da una freccia) <strong>del</strong> vettore sono quelli relativi al seg-<br />
mento orientato.<br />
19
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punto A: origine<br />
punto P: estremità<br />
E’ inoltre <strong>di</strong> uso corrente in<strong>di</strong>care un vettore anche con:<br />
A<br />
α<br />
20<br />
V<br />
(P-A) = V<br />
P-A è il segmento orientato che rappresenta il vettore V con origine in A.<br />
Il modulo <strong>di</strong> un vettore rappresenta l’intensità <strong>del</strong>la grandezza vettoriale ed è un numero<br />
reale non negativo e si in<strong>di</strong>ca: V ; V ; V<br />
1.4.2. Vettori liberi<br />
Un vettore libero rappresenta infiniti segmenti orientati equipollenti (stessa lunghezza,<br />
<strong>di</strong>rezione e verso).<br />
Nello spazio i segmenti orientati equipollenti sono tanti quanti sono i punti, cioè ∞ 3 .<br />
Quin<strong>di</strong> un vettore libero non viene assegnato ad un determinato punto nello spazio, po-<br />
tendosi spostare liberamente purché si mantengano inalterati il modulo, la <strong>di</strong>rezione ed<br />
il verso.<br />
x<br />
U<br />
U<br />
z<br />
Come si vedrà, nella meccanica i vettori liberi sono atti a rappresentare i momenti (pos-<br />
sono spostarsi nello spazio).<br />
V<br />
U<br />
V<br />
P<br />
V<br />
y
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1.4.3. Vettori applicati<br />
I vettori applicati sono atti a rappresentare grandezze fisiche dotate <strong>di</strong> intensità, <strong>di</strong>rezio-<br />
ne, verso e con un punto <strong>di</strong> applicazione.<br />
Quin<strong>di</strong> il vettore applicato risulta dall’associazione <strong>di</strong> un vettore libero e <strong>di</strong> un punto <strong>di</strong><br />
applicazione:<br />
(P1; V ): V applicato in P1<br />
(P2; V ): V applicato in P2<br />
(P3; V ): V applicato in P3<br />
Lo stesso vettore libero V , applicato in tre punti <strong>di</strong>stinti, definisce tre vettori applicati.<br />
Un vettore applicato è un vettore libero <strong>di</strong> cui si precisa l’origine (punto <strong>di</strong> applicazio-<br />
ne).<br />
In sintesi un vettore libero viene definito dal modulo, dalla <strong>di</strong>rezione e dal verso, mentre<br />
un vettore applicato richiede anche la precisazione <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione.<br />
Nella Meccanica il concetto <strong>di</strong> vettore applicato corrisponde a forze applicate ad un<br />
punto materiale o ad un corpo rigido.<br />
La Statica utilizza sostanzialmente i vettori forza (applicato), momento (libero), sposta-<br />
mento (applicato) e anche vettori rappresentativi <strong>di</strong> aree.<br />
1.4.4. Vettore opposto<br />
Dato il vettore V , il vettore -V , che ha lo stesso modulo, la stessa <strong>di</strong>rezione, ma verso<br />
opposto, <strong>di</strong>cesi vettore “opposto” <strong>di</strong> V :<br />
P1<br />
x<br />
V<br />
21<br />
V<br />
z<br />
-V<br />
P2<br />
P3<br />
V<br />
V<br />
y
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Due vettori applicati opposti, che abbiano la stessa retta <strong>di</strong> applicazione, si <strong>di</strong>cono <strong>di</strong>ret-<br />
tamente opposti:<br />
1.4.5. Vettori unitari (versori)<br />
V<br />
Il versore è un vettore unitario, cioè con modulo uguale ad 1, introdotto con l’obiettivo<br />
<strong>di</strong> definire l’orientamento <strong>di</strong> una retta o <strong>di</strong> un vettore.<br />
I versori corrispondenti agli assi cartesiani spesso sono in<strong>di</strong>cati come i r ; j r ; k r<br />
x<br />
i<br />
z<br />
k<br />
Un versore può essere utilizzato anche per in<strong>di</strong>viduare la giacitura <strong>di</strong> un piano, per e-<br />
sempio in figura n r è il versore caratterizzante la <strong>di</strong>rezione ortogonale al piano π con<br />
verso uscente dal piano stesso.<br />
x<br />
z<br />
π<br />
22<br />
j<br />
n<br />
-V<br />
y<br />
y
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1.4.6. Retta <strong>di</strong> applicazione o retta <strong>di</strong> azione<br />
Dato un vettore applicato (P1; V ) si chiama retta <strong>di</strong> azione, la retta alla quale il vettore<br />
appartiene.<br />
Ovviamente non ha senso parlare <strong>di</strong> retta <strong>di</strong> applicazione <strong>di</strong> un vettore libero:<br />
x<br />
z<br />
P1<br />
23<br />
V<br />
retta <strong>di</strong> azione<br />
1.4.7. Componente <strong>di</strong> un vettore secondo una retta orientata<br />
Si consideri una retta orientata “r” ed un assegnato vettore V definito dal segmento o-<br />
rientato (P-A). In generale retta e vettore possono essere sghembi, cioè non avere alcun<br />
punto in comune (proprio o improprio).<br />
Proiettando ortogonalmente l’estremo P e l’origine A sulla retta orientata “r”, si otten-<br />
gono i punti P’ ed A’. Per proiettare ortogonalmente un punto A sulla retta orientata “r”,<br />
si fa passare per A un piano perpen<strong>di</strong>colare ad “r”, l’intersezione A’ <strong>del</strong>la retta orientata<br />
con detto piano sarà la proiezione ortogonale <strong>di</strong> A su “r”.<br />
Il segmento orientato (P’-A’ = V r ) costituisce la componente vettoriale <strong>di</strong> V secondo<br />
“r”.<br />
Il modulo <strong>di</strong> questo vettore V r (lunghezza <strong>del</strong> segmento orientato) è la componente sca-<br />
lare <strong>di</strong> V secondo la retta “r” e sarà positiva se il verso <strong>di</strong> V r è concorde con il verso <strong>di</strong><br />
“r”, altrimenti sarà negativa.<br />
In<strong>di</strong>cando con ϕ l’angolo fra V e la retta “r” si può scrivere: Vr = V cos ϕ<br />
Usualmente la componente scalare Vr viene definita “componente” ed è uno scalare (po-<br />
sitivo o negativo) <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni fisiche uguali a quelle <strong>del</strong> vettore proiettato.<br />
y
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Risulta geometricamente evidente che se si sposta la retta “r” parallelamente a sé stessa<br />
in modo <strong>di</strong> far coincidere A con A’, la componente Vr non cambia:<br />
Vr<br />
P’<br />
A’<br />
ϕ<br />
P<br />
A V<br />
24<br />
r<br />
Vr = V cos ϕ<br />
Se il vettore e la retta sono complanari, le proiezioni <strong>del</strong>l’estremo e <strong>del</strong>l’origine <strong>di</strong> V si<br />
ottengono me<strong>di</strong>ante due rette normali ad “r”. Considerando nel piano (2D) un vettore V<br />
ed una retta orientata “r”, si possono avere le seguenti situazioni:<br />
ϕ<br />
V<br />
Vr<br />
ϕ < 90° cos ϕ > 0 Vr > 0<br />
Vr è positivo, infatti ha la stessa<br />
<strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la retta orientata r<br />
r<br />
Vr<br />
V<br />
ϕ > 90° cos ϕ < 0 Vr < 0<br />
Vr è negativo, infatti ha <strong>di</strong>rezione opposta<br />
a quella <strong>del</strong>la retta orientata r<br />
Se il vettore V è perpen<strong>di</strong>colare alla retta “r”, la componente <strong>di</strong> V secondo “r” è nulla.<br />
Infatti, dall’espressione Vr = V cos ϕ <strong>di</strong>scende che un vettore non nullo ha componente<br />
nulla secondo una retta orientata “r” soltanto se il vettore V è perpen<strong>di</strong>colare alla retta<br />
(ϕ = 90° o 270°).<br />
ϕ<br />
r
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V<br />
Vr = 0<br />
ϕ = 90°<br />
r<br />
25<br />
Vr = 0<br />
V<br />
ϕ = 270°<br />
Nello spazio (3D) la componente <strong>di</strong> V secondo “r” è nulla se V è contenuto in un pia-<br />
no perpen<strong>di</strong>colare alla retta stessa.<br />
V appartiene<br />
al piano π<br />
V<br />
se π è perpen<strong>di</strong>colare ad “r” Vr = 0<br />
Se V è parallelo e concorde con “r” (cos ϕ = 1), si ha Vr = V ; se V è parallelo e <strong>di</strong>-<br />
scorde con “r” (cos ϕ = -1), risulta = −V<br />
.<br />
V ed r concor<strong>di</strong><br />
V<br />
Vr = V<br />
ϕ = 0°<br />
V r<br />
r<br />
π<br />
V ed r <strong>di</strong>scor<strong>di</strong><br />
V<br />
Vr = -V<br />
r<br />
r<br />
ϕ = 180°<br />
r
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1.4.8. Componenti cartesiane <strong>di</strong> un vettore<br />
Si consideri lo spazio (3D) riferito ad una terna ortogonale destrogira Oxyz.<br />
Gli assi coor<strong>di</strong>nati in<strong>di</strong>viduano tre <strong>di</strong>rezioni orientate, perciò dato un vettore è possibile<br />
considerare le componenti secondo x, y, z:<br />
x<br />
Vx<br />
z<br />
O<br />
Vz<br />
ϕ 3<br />
ϕ 1<br />
26<br />
V<br />
ϕ 2<br />
P<br />
Vy<br />
V = (P-O)<br />
Disponendo, per como<strong>di</strong>tà <strong>di</strong> rappresentazione, l’origine <strong>del</strong> vettore V nell’origine O<br />
<strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> assi, le coor<strong>di</strong>nate (xp, yp, zp) <strong>del</strong>l’estremità P, definiscono le tre compo-<br />
nenti x V , V y e V z <strong>del</strong> vettore V .<br />
Inoltre si può notare che gli spigoli <strong>del</strong> parallelepipedo, che ha per <strong>di</strong>agonale V , sono le<br />
componenti x V , V y e V z .<br />
Nella figura sono stati in<strong>di</strong>cati con ϕ1, ϕ2, e ϕ3 gli angoli che il vettore V forma con gli<br />
assi cartesiani, ricordando l’espressione <strong>del</strong>la componente <strong>di</strong> un vettore secondo una ret-<br />
ta “r” (Vr = V cos ϕ), le componenti <strong>di</strong> V secondo gli assi “x”, “y” e “z” sono, in mo-<br />
dulo:<br />
Vx = V cos ϕ1 = V α<br />
(a) Vy = V cos ϕ2 = V β<br />
Vz = V cos ϕ3 = V γ<br />
y
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essendo α, β e γ i coseni <strong>di</strong>rettori <strong>del</strong> vettore V . Quadrando e sommando membro a<br />
membro queste espressioni, si ha:<br />
Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 = V 2 α 2 + V 2 β 2 + V 2 γ 2<br />
(b) Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 = V 2 (α 2 + β 2 + γ 2 )<br />
(α 2 + β 2 + γ 2 ) = 1 <br />
V = V + V + V<br />
2<br />
x<br />
in tal modo si è ottenuto il modulo <strong>del</strong> vettore V in funzione <strong>del</strong>le sue componenti se-<br />
condo gli assi.<br />
Noto il modulo si possono ricavare i coseni <strong>di</strong>rettori:<br />
(c)<br />
Vx<br />
α = =<br />
V<br />
β =<br />
V<br />
V<br />
y<br />
=<br />
Vz<br />
γ = =<br />
V<br />
V<br />
V<br />
V<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x<br />
2<br />
x<br />
V<br />
x<br />
+ V<br />
V<br />
2<br />
y<br />
y<br />
+ V<br />
V<br />
z<br />
+ V<br />
2<br />
y<br />
2<br />
y<br />
+ V<br />
2<br />
z<br />
+ V<br />
+ V<br />
2<br />
z<br />
2<br />
z<br />
Prefissato un riferimento cartesiano è possibile, quin<strong>di</strong>, stabilire una corrispondenza<br />
biunivoca tra i vettori <strong>del</strong>lo spazio e le terne <strong>di</strong> numeri reali, potendo, infatti, in<strong>di</strong>viduare<br />
le componenti cartesiane Vx, Vy e Vz <strong>di</strong> ogni vettore me<strong>di</strong>ante le equazioni (a).<br />
Viceversa, dati tre numeri reali (non tutti nulli), che definiscono le componenti Vx, Vy,<br />
Vz è possibile in<strong>di</strong>viduare un vettore libero il cui modulo è dato dall’equazione (b) ed il<br />
cui unico orientamento resta definito dalle equazioni (c), che forniscono i coseni <strong>di</strong>retto-<br />
ri.<br />
In sintesi un vettore libero può essere definito dandone le tre componenti oppure il mo-<br />
dulo e l’orientamento.<br />
Il vettore V in<strong>di</strong>viduato dalle tre componenti cartesiane si in<strong>di</strong>ca:<br />
⎧Vx<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
V = ⎨V<br />
y ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩Vz<br />
⎭<br />
E’ imme<strong>di</strong>ato che se V è unitario le sue componenti coincidono con i coseni <strong>di</strong>rettori.<br />
Nel caso in cui si conoscano le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong>l’estremo P <strong>del</strong> vettore e <strong>del</strong>l’origine A,<br />
non coincidente con l’origine <strong>del</strong>la terna cartesiana <strong>di</strong> riferimento, si ha:<br />
27<br />
2<br />
y<br />
2<br />
z
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Vx = xP - xA<br />
Vy = yP - yA<br />
Vz = zP - zA<br />
il modulo <strong>del</strong> vettore sarà quin<strong>di</strong> uguale a:<br />
( ) ( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
x − x + y − y + z z<br />
V =<br />
−<br />
P<br />
ed i coseni <strong>di</strong>rettori rispettivamente saranno:<br />
α =<br />
β =<br />
γ =<br />
xP x A<br />
V<br />
−<br />
yP y A<br />
V<br />
−<br />
zP z A<br />
V<br />
−<br />
A<br />
P<br />
A<br />
E’ evidente che, scelto un sistema <strong>di</strong> riferimento, le componenti <strong>di</strong> un assegnato vettore<br />
libero non cambiano al variare <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione.<br />
Infatti le <strong>di</strong>fferenze tra le coor<strong>di</strong>nate degli estremi <strong>del</strong> vettore non mutano benché cam-<br />
bino singolarmente tali coor<strong>di</strong>nate.<br />
Esempio: Le componenti Vx, Vy e Vz <strong>del</strong> vettore V non cambiano al variare <strong>del</strong>le coor-<br />
<strong>di</strong>nate dei punti origine ed estremo che lo rappresentano nel sistema <strong>di</strong> riferimento car-<br />
tesiano:<br />
P1 (3,2,2) O (0,0,0)<br />
P2 (6,4,4) A (3,2,2)<br />
P3 (1,3,3) B (-2,1,1)<br />
in tutti e tre i casi si ha:<br />
Vx = 3 Vy = 2 Vz = 2<br />
28<br />
P<br />
A
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5. Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi<br />
L’elenco <strong>del</strong>le operazioni tra vettori può essere così sintetizzato:<br />
- SOMMA<br />
- DIFFERENZA<br />
- PRODOTTI<br />
Vettore per uno scalare<br />
Prodotto <strong>di</strong> due vettori<br />
1.5.1. Somma <strong>di</strong> due vettori<br />
Siano V ed U due vettori liberi nello spazio.<br />
Combinazione Prodotto Scalare e Pro-<br />
dotto Vettoriale Prodotto Misto<br />
29<br />
Prodotto Scalare<br />
Prodotto Vettoria-<br />
In un punto A <strong>di</strong> tale spazio si immagini applicato il vettore U e nel suo estremo libero<br />
P si pensi applicato il vettore V , si chiama “vettore somma” W il vettore che va<br />
dall’origine A <strong>di</strong> U , all’estremo libero B <strong>di</strong> V :<br />
x<br />
z<br />
A<br />
U<br />
La somma <strong>di</strong> due vettori U e V è quin<strong>di</strong> l’operazione che associa ai due vettori dati, un<br />
terzo vettore W ottenuto nel modo seguente: scelto un punto qualsiasi A nello spazio si<br />
spostano i vettori mantenendoli paralleli a sé stessi e si fa coincidere l’origine <strong>di</strong> U con<br />
A e l’origine <strong>di</strong> V con l’estremità P <strong>di</strong> U , il vettore W risulta definito dal segmento o-<br />
W<br />
P<br />
V<br />
B<br />
le<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
rientato con origine in A ed estremità in B. Allo stesso risultato si giunge prendendo in<br />
primo luogo V e aggiungendo successivamente U .<br />
La somma <strong>di</strong> due vettori si può ottenere anche applicando la “regola <strong>del</strong> parallelogram-<br />
ma”, trasportando i due vettori parallelamente a sé stessi e facendo coincidere l’origine<br />
<strong>di</strong> ciascuno con un punto A prefissato.<br />
A<br />
V<br />
U<br />
W<br />
30<br />
“regola <strong>del</strong> parallelogramma”:<br />
la <strong>di</strong>agonale <strong>del</strong> parallelogramma<br />
in<strong>di</strong>vividuato da U e V è il<br />
vettore W = U + V<br />
La somma o risultante <strong>di</strong> due vettori viene in<strong>di</strong>viduata dalla <strong>di</strong>agonale orientata, che ha<br />
per lati i due vettori che si sommano.<br />
La somma <strong>di</strong> due vettori gode <strong>del</strong>la proprietà commutativa, infatti si ottiene ugualmente<br />
il vettore W , sia aggiungendo al vettore U il vettore V (lato destro <strong>del</strong> parallelogram-<br />
ma), che aggiungendo a V il vettore U (lato sinistro).<br />
W = U + V<br />
W = V + U<br />
Come conseguenza <strong>del</strong>la proprietà commutativa, le componenti <strong>di</strong> W secondo gli assi<br />
cartesiani, nel riferimento spaziale Oxyz, sono la somma <strong>del</strong>le componenti <strong>di</strong> U e V :<br />
Wx = Vx + Ux = αVV + αUU<br />
Wy = Vy + Uy = βVV + βUU<br />
Wz = Vz + Uz = γVV + γUU<br />
Nella seguente figura è rappresentato un esempio per il caso piano<br />
A<br />
V<br />
U<br />
W<br />
U<br />
V<br />
B
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Wy<br />
Uy<br />
Vy<br />
y<br />
V<br />
Vx<br />
1.5.1.1.Differenza <strong>di</strong> due vettori<br />
La <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> due vettori, W = V - U , si ottiene sommando al primo il secondo<br />
cambiato <strong>di</strong> verso, e ripetendo, quin<strong>di</strong>, quanto precedentemente fatto per la somma <strong>di</strong><br />
due vettori:<br />
W = V + (- U ),<br />
V<br />
U<br />
Si potrebbe arrivare allo stesso risultato applicando la regola <strong>del</strong> parallelogramma, si<br />
vede così che la <strong>di</strong>fferenza dei due vettori è data dalla seconda <strong>di</strong>agonale <strong>del</strong> parallelo-<br />
gramma determinato dai vettori U e V , mentre la prima come già visto rappresenta la<br />
somma:<br />
V<br />
U<br />
-U<br />
W<br />
A<br />
31<br />
Wx<br />
V<br />
P<br />
U<br />
W<br />
W<br />
Ux<br />
A<br />
V<br />
U<br />
-U<br />
V<br />
B<br />
x<br />
somma<br />
sottrazione
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.1.2.Somma <strong>di</strong> più vettori<br />
La somma (o composizione) <strong>di</strong> più vettori si realizza ripetendo la procedura impiegata<br />
per sommare due vettori.<br />
Dati n vettori liberi V 1 , V 2 , … V n si sceglie un qualsiasi punto A <strong>del</strong>lo spazio, che si<br />
suppone origine <strong>del</strong> vettore V 1 . Nell’estremo libero <strong>di</strong> V 1 si pensi applicato il vettore<br />
V 2 , nell’estremo libero <strong>di</strong> V 2 si consideri applicato V 3 e così via fino al vettore V n . Si<br />
costruisce in tal modo la “poligonale dei vettori”. Il vettore risultante R o somma geo-<br />
metrica dei vettori dati si ottiene congiungendo l’origine A <strong>del</strong> primo con l’estremo li-<br />
bero <strong>del</strong>l’ultimo. In altre parole il vettore somma o risultante è rappresentato dal lato <strong>di</strong><br />
chiusura <strong>del</strong>la poligonale dei vettori.<br />
La somma vettoriale si in<strong>di</strong>ca nel seguente modo: R = ∑<br />
i=<br />
V1<br />
V2<br />
x<br />
V3<br />
z<br />
A<br />
Si può notare che se si cambia l’or<strong>di</strong>ne dei vettori, cambia la forma <strong>del</strong>la poligonale, ma<br />
non cambia la risultante.<br />
32<br />
R<br />
V1<br />
V4<br />
n<br />
1<br />
V i<br />
V2<br />
V4<br />
V3<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
V1<br />
V2<br />
x<br />
V3<br />
z<br />
A<br />
Si osservi che nello spazio la poligonale dei vettori risulta sghemba se i vettori adden<strong>di</strong><br />
non sono complanari.<br />
Può succedere che la poligonale dei vettori sia chiusa, in tal caso la risultante è nullo.<br />
V1<br />
V4<br />
V2<br />
x<br />
z<br />
A<br />
33<br />
R<br />
V1<br />
V1<br />
V3<br />
V4<br />
V4<br />
V3<br />
V2<br />
V2<br />
V3<br />
V4<br />
R = 0<br />
Il vettore R si può anche ottenere sommando a due a due i vettori <strong>di</strong> partenza, come già<br />
visto.<br />
A causa <strong>di</strong> una proprietà elementare <strong>del</strong>le poligonali, la lunghezza (modulo) <strong>del</strong>la risul-<br />
tante è in genere minore <strong>del</strong>la somma <strong>del</strong>le lunghezze (moduli) dei singoli vettori:<br />
R ≤<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
V<br />
i<br />
l’uguaglianza si verificherà soltanto nel caso che i vettori siano tutti paralleli e concor<strong>di</strong>.<br />
y<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.2. Prodotto <strong>di</strong> un vettore per uno scalare<br />
Il prodotto <strong>di</strong> un vettore V per uno scalare k è un vettore W che ha come modulo il<br />
prodotto <strong>del</strong> valore assoluto <strong>di</strong> k per il modulo <strong>di</strong> V , come <strong>di</strong>rezione la stessa <strong>di</strong> V e il<br />
cui verso risulta definito dal segno <strong>di</strong> k: se lo scalare k è positivo il verso <strong>di</strong> W è uguale<br />
a quello <strong>di</strong> V , se k è negativo il verso <strong>di</strong> W è opposto a quello <strong>di</strong> V<br />
W = kV<br />
V<br />
W<br />
W<br />
34<br />
se k è posistivo<br />
se k è negativo<br />
W = k V<br />
La precedente definizione in<strong>di</strong>ca che un vettore qualsiasi V può essere considerato co-<br />
me il prodotto <strong>di</strong> uno scalare pari al modulo V per il versore r parallelo a V .<br />
V = V r<br />
V<br />
V r<br />
Il versore r <strong>di</strong> un vettore V si può esprimere nel seguente modo:<br />
V<br />
r =<br />
V<br />
r<br />
r = versore che definisce la<br />
<strong>di</strong>rezione ed il verso <strong>di</strong> V<br />
Se i , j e k sono i versori corrispondenti agli assi x, y, e z <strong>di</strong> una terna cartesiana, un<br />
vettore V <strong>di</strong> componenti cartesiane Vx, Vy e Vz può essere espresso me<strong>di</strong>ante la somma<br />
vettoriale:<br />
V = V x + y V + z V = Vx i + Vy j + Vz k
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
in cui è stata applicata la proprietà per la quale il prodotto <strong>di</strong> un versore per uno scalare<br />
è pari al vettore <strong>di</strong> modulo pari allo scalare e <strong>di</strong>rezione e verso definiti dal versore.<br />
x<br />
Vx<br />
z<br />
k<br />
i<br />
Vy<br />
j<br />
V<br />
Vz<br />
35<br />
Vx = Vx i<br />
Vy = Vy j<br />
Vz = Vz k<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.3. Prodotto scalare<br />
1.5.3.1.Definizione <strong>del</strong> Prodotto Scalare<br />
Si definisce prodotto scalare fra due vettori U e V , e lo si in<strong>di</strong>ca con il simbolo “×”,<br />
l’operazione che associa ai due vettori un numero reale W ottenuto dal prodotto <strong>del</strong> mo-<br />
dulo <strong>di</strong> U per il modulo <strong>di</strong> V per il coseno <strong>del</strong>l’angolo ϕ compreso fra le due <strong>di</strong>rezioni:<br />
W = U × V = |U| |V| cos ϕ<br />
L’espressione “U × V ” si legge “U scalar V”.<br />
Quin<strong>di</strong> il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli per il coseno <strong>del</strong>l’angolo<br />
compreso ϕ (con 0 ≤ ϕ ≤ π).<br />
ϕ<br />
U<br />
Applicando la proprietà associativa <strong>del</strong>la moltiplicazione, il prodotto scalare può essere<br />
espresso in due mo<strong>di</strong>:<br />
U × V = |U| (|V| cos ϕ)<br />
U × V = |V| (|U| cos ϕ)<br />
si noti che il prodotto |V| cos ϕ non è altro che la componente <strong>di</strong> V secondo U , mentre<br />
il prodotto |U| cos ϕ è la componente <strong>di</strong> U secondo V<br />
ϕ<br />
U<br />
V<br />
V cos ϕ<br />
36<br />
V<br />
U cos ϕ<br />
ϕ<br />
U<br />
V
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Pertanto il prodotto scalare tra due vettori è pari al prodotto <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> uno dei due<br />
vettori per la componente <strong>del</strong>l’altro vettore secondo la <strong>di</strong>rezione orientata <strong>del</strong> primo.<br />
Dalle precedenti considerazioni si deduce che il prodotto scalare gode <strong>del</strong>la proprietà<br />
commutativa:<br />
U × V = V × U<br />
Si può inoltre notare che:<br />
• Il prodotto scalare tra due vettori è nullo se i due vettori sono ortogonali tra loro<br />
(ϕ = π/2).<br />
• Il prodotto scalare tra due vettori risulta positivo se i due vettori formano tra loro<br />
un angolo acuto (ϕ < π/2).<br />
• Il prodotto scalare tra due vettori risulta negativo se i due vettori formano tra loro<br />
un angolo ottuso (ϕ > π/2).<br />
ϕ<br />
U<br />
V<br />
ϕ < π/2 cos ϕ > 0<br />
(U x V) positivo<br />
V<br />
ϕ<br />
37<br />
U<br />
ϕ = π/2 cos ϕ = 0<br />
(U x V) nullo<br />
V<br />
ϕ<br />
U<br />
ϕ > π/2 cos ϕ < 0<br />
(U x V) negativo
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.3.2.Proprietà Distributiva <strong>del</strong> Prodotto Scalare<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare che il prodotto scalare gode <strong>del</strong>la proprietà <strong>di</strong>stributiva rispetto alla<br />
ad<strong>di</strong>zione fra vettori:<br />
( V + V ) = U × V 1 + U V 2<br />
U ×<br />
×<br />
1<br />
2<br />
Considerato infatti U parallelo all’asse x e detto<br />
Si ha che<br />
Ma anche<br />
V V V + =<br />
×<br />
1<br />
2<br />
( V1<br />
+ V2<br />
) = U V1,<br />
x + U V2<br />
x<br />
U ,<br />
U × V = U<br />
Vx<br />
Poiché per la definizione <strong>del</strong>la somma <strong>di</strong> vettori<br />
V x V1<br />
, x V2,<br />
x + =<br />
Si è <strong>di</strong>mostrato quanto si intendeva.<br />
1.5.3.3.Espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto scalare<br />
Se si esprimono U e V attraverso le loro componenti cartesiane moltiplicate per i ri-<br />
spettivi versori:<br />
U = U x i + U y j + U z k<br />
V = Vx<br />
i + Vy<br />
j + Vz<br />
k<br />
il prodotto scalare risulta:<br />
× V = ( U i + U j + U k)<br />
× ( V i + V j + V k)<br />
=<br />
U x y z x y z<br />
=<br />
U V i × i + U V i × j + U V i × k<br />
+ U<br />
x<br />
y<br />
V<br />
j × i + U<br />
V<br />
j × j + U<br />
j × k<br />
+ U V k × i + U V k × j + U V k × k<br />
z<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y<br />
z<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
V<br />
z<br />
z<br />
38
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
i prodotti scalari: i × i , j × j , k × k sono tutti e tre pari all’unità (1·1·cos 0 = 1), mentre<br />
tutti gli altri termini sono nulli in quanto prodotti scalari tra vettori perpen<strong>di</strong>colari, per-<br />
tanto si ha:<br />
U × V = U V + U V + U V<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
z<br />
In termini matriciali il prodotto scalare si può esprimere nella seguente forma:<br />
U × V =<br />
che nel piano <strong>di</strong>venta:<br />
U × V =<br />
T { U}<br />
⋅{<br />
V}<br />
= { U U U }<br />
T { U}<br />
⋅{<br />
V}<br />
= { U U }<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
⎧Vx<br />
⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩V<br />
y ⎭<br />
⎧Vx<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎨V<br />
y ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩Vz<br />
⎭<br />
Diverse sono le applicazioni <strong>del</strong> prodotto scalare fra due vettori, tra cui: modulo <strong>di</strong> un<br />
vettore, Invariante Scalare <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze e Lavoro <strong>di</strong> una forza.<br />
1.5.3.4.Prodotto scalare – Lavoro <strong>di</strong> una forza<br />
Nella Meccanica l’esempio più frequente <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong> prodotto scalare è dato dal<br />
LAVORO compiuto da una forza F . Se il punto <strong>di</strong> applicazione P <strong>di</strong> una forza F (<strong>di</strong><br />
intensità costante) subisce uno spostamento s , il lavoro compiuto dalla forza si defini-<br />
sce come il numero L dato dal prodotto scalare fra i vettori F e s :<br />
L = F × s<br />
Si osservi che lo spostamento <strong>di</strong> un punto ha intensità, <strong>di</strong>rezione e verso e quin<strong>di</strong> può<br />
essere rappresentato da un vettore.<br />
Il lavoro <strong>del</strong>la forza F nello spostamento s <strong>del</strong> suo punto <strong>di</strong> applicazione P è dato dal<br />
prodotto <strong>del</strong>l’intensità <strong>del</strong>la forza per la componente <strong>del</strong>lo spostamento nella <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>del</strong>la forza.<br />
39
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
il punto P si sposta a P’<br />
F<br />
P<br />
sf<br />
ϕ<br />
s<br />
P’<br />
40<br />
L = F x s = F s cos ϕ = F sf<br />
sf = s cos ϕ = componente <strong>di</strong> s<br />
secondo la <strong>di</strong>rezione orientata <strong>di</strong> F<br />
Dalla definizione <strong>di</strong> prodotto scalare si desume che il lavoro può anche essere visto co-<br />
me il prodotto <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>lo spostamento per la componente <strong>del</strong>la forza nella <strong>di</strong>re-<br />
zione <strong>del</strong>lo spostamento.<br />
Fs<br />
ϕ<br />
P<br />
F<br />
s<br />
P’<br />
L = F x s = F s cos ϕ = Fs s<br />
Fs = F cos ϕ = componente <strong>di</strong> F<br />
secondo la <strong>di</strong>rezione orientata <strong>di</strong> s<br />
• Se il punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza viene mosso in <strong>di</strong>rezione ad essa ortogonale,<br />
la forza non compie lavoro.<br />
• Considerando un corpo rigido in equilibrio, lo spostamento s può essere provocato<br />
da una causa esterna non <strong>di</strong>pendente dalla forza (spostamento impresso reale o vir-<br />
tuale).<br />
Il calcolo <strong>del</strong> lavoro può essere eseguito in modo agevole se si conoscono le componen-<br />
ti cartesiane <strong>del</strong>la forza (Fx, Fy, Fz) e <strong>del</strong>lo spostamento (sx, sy, sz). Infatti, come visto, il<br />
prodotto scalare può essere calcolato come somma dei prodotti <strong>del</strong>le componenti omo-<br />
nime dei vettori, si ha pertanto:<br />
L = Fx sx + Fy sy + Fz sz
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.3.5.Esempio <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong> prodotto scalare. Calcolo <strong>del</strong> lavoro.<br />
Dato un corpo rigido, il punto P <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza F (intensità 100 kN) subi-<br />
sce uno spostamento s <strong>di</strong> 60 mm <strong>di</strong> intensità. Le <strong>di</strong>rezioni e i versi dei due vettori sono<br />
in<strong>di</strong>cati in figura. Determinare il lavoro compiuto dalla forza.<br />
P<br />
a) L = F × s = |F|·|s|·cos ϕ = 100·60·cos 34° ≅ 4974 kN mm<br />
s<br />
P’<br />
F<br />
Il lavoro è positivo, infatti il verso <strong>del</strong>la forza e quello <strong>del</strong>la componente <strong>del</strong>lo sposta-<br />
mento nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la forza sono concor<strong>di</strong> (ϕ < π/2)<br />
b) L = Fx sx + Fy sy<br />
41<br />
64°<br />
Fx = F cos 30° = 100 cos 30° = 86.60 kN<br />
Fy = F cos 60° = 100 cos 60° = 50.00 kN<br />
sx = s cos 64° = 60 cos 64° = 26.30 mm<br />
sy = s cos 26° = 60 cos 26° = 53.93 mm<br />
30°<br />
L = 86.60 × 26.30 + 50.00 × 53.93 ≅ 4974 kN mm<br />
50,00<br />
F (kN)<br />
s (mm)<br />
53,93<br />
s<br />
26,30<br />
34°<br />
30°<br />
86,60<br />
F<br />
F (kN)<br />
s (mm)
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.4. Prodotto vettoriale<br />
1.5.4.1.Definizione <strong>del</strong> Prodotto Vettoriale<br />
Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori U e V , e lo si in<strong>di</strong>ca con il simbolo “∧”,<br />
l’operazione che associa ai due vettori un terzo vettore W così definito:<br />
in cui:<br />
W = U ∧V<br />
= r ⋅ U ⋅ V ⋅ senϕ<br />
• r è un versore normale al piano in<strong>di</strong>viduato dai vettori U e V , il verso <strong>di</strong> r è tale<br />
che una vite che ruota descrivendo l’angolo ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) avanza nel verso <strong>di</strong> r<br />
• ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) è l’angolo compreso tra i versi positivi <strong>di</strong> U e V<br />
W<br />
U<br />
ϕ<br />
V<br />
W è perpen<strong>di</strong>colare al piano<br />
in<strong>di</strong>viduato dai vettori U e V<br />
42<br />
r<br />
ϕ<br />
U<br />
V<br />
r è il versore che in<strong>di</strong>vidua la<br />
<strong>di</strong>rezione<br />
<strong>di</strong>rezioen ed il verso <strong>di</strong> W<br />
• il modulo <strong>del</strong> vettore prodotto vettoriale ( U ⋅ V ⋅ senϕ<br />
) equivale all’area <strong>del</strong> paral-<br />
lelogramma in<strong>di</strong>viduato dai due vettori U e V<br />
W<br />
U<br />
ϕ<br />
V<br />
Ω<br />
Ω = area <strong>del</strong> parallelogramma<br />
Ω = |U| |V| senϕ<br />
U<br />
ϕ<br />
V<br />
|U| senϕ
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
L’espressione “ U ∧ V ” si legge “U vettor V”.<br />
In altre parole il prodotto vettoriale <strong>di</strong> due vettori U e V è un vettore W normale al pi-<br />
ano in<strong>di</strong>viduato dai primi due, avente per modulo il numero che esprime l’area <strong>del</strong> pa-<br />
rallelogramma in<strong>di</strong>viduato da U e V e per verso quello che va dai pie<strong>di</strong> alla testa <strong>di</strong> un<br />
osservatore che, <strong>di</strong>sposto con i pie<strong>di</strong> sul piano, vede il primo vettore (U ) descrivere, in<br />
senso antiorario, l’angolo φ per sovrapporsi al secondo vettore (V ).<br />
W = U /\ V<br />
U<br />
ϕ<br />
V<br />
43<br />
Il verso <strong>di</strong> W è quello che va dai<br />
pie<strong>di</strong> alla testa <strong>di</strong> un osservatore<br />
che vede ruotare U in verso<br />
antioraio per sovrapporsi a V<br />
Il verso corretto si può ottenere anche utilizzando la mano destra. Facendo corrisponde-<br />
re U al pollice e V all’in<strong>di</strong>ce il verso <strong>di</strong> W sarà concorde con il me<strong>di</strong>o. Una terna <strong>di</strong> vet-<br />
tori così <strong>di</strong>sposta si <strong>di</strong>ce destrogira.<br />
Il prodotto vettoriale non gode <strong>del</strong>la proprietà commutativa. Infatti, cambiando l’or<strong>di</strong>ne<br />
dei fattori cambia il verso <strong>del</strong> vettore prodotto:<br />
W = U /\ V<br />
U<br />
ϕ<br />
U /\ V<br />
U<br />
V<br />
V<br />
U ∧ V ≠ V ∧U<br />
ϕ - V<br />
U ∧<br />
V = −V<br />
∧U<br />
ϕ<br />
U<br />
ϕ<br />
V<br />
Z = V /\ U<br />
-V /\ U<br />
U
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.4.2.Proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale (vettori complanari)<br />
Il prodotto vettoriale gode <strong>del</strong>la proprietà <strong>di</strong>stributiva. Dati tre vettori complanari U , V<br />
e W risulta<br />
cioè<br />
dove<br />
U ∧ ( V + W ) = U ∧V<br />
+ U ∧W<br />
U ∧ S = U ∧V<br />
+ U ∧W<br />
S = ( V + W<br />
V<br />
U<br />
S<br />
)<br />
W<br />
modulo U ∧ S = area ABCD<br />
modulo U ∧ V = area ABFE<br />
modulo U ∧ W = area EFCD<br />
A<br />
V<br />
44<br />
E<br />
U<br />
W<br />
S<br />
B<br />
D<br />
F<br />
NB: i vettori sono complanari.<br />
ma area ABCD = area ABFE + area EFCD | U ∧ S | = | U ∧V<br />
| + | U ∧W<br />
|<br />
La <strong>di</strong>mostrazione generale, valida quin<strong>di</strong> anche per vettori non complanari, sarà data a<br />
pagina 50, dopo aver definito il prodotto misto.<br />
1.5.4.3.Prodotto vettoriale tra versori cartesiani<br />
Si considerino i versori i , j e k <strong>di</strong> una terna cartesiana x, y e z<br />
x<br />
i<br />
z<br />
k<br />
j<br />
y<br />
C
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Dalla definizione <strong>di</strong> prodotto vettoriale si ottiene:<br />
i ∧ i = 0<br />
j ∧ j = 0<br />
k ∧ k = 0<br />
perché sono prodotti vettoriali tra vettori paralleli (ϕ = 0°, sen 0° = 0)<br />
Inoltre<br />
i ∧ j =<br />
j ∧ k =<br />
k ∧ i =<br />
k<br />
i<br />
j<br />
questi sono prodotti vettoriali tra vettori perpen<strong>di</strong>colari (ϕ = 90°, sen 90° = 1), pertanto<br />
il modulo <strong>del</strong> vettore prodotto vettoriale è unitario, mentre il verso e la <strong>di</strong>rezione sono<br />
proprio quelli <strong>del</strong> versore complementare:<br />
x<br />
i<br />
z<br />
si ha inoltre:<br />
ϕ<br />
j ∧ i = −k<br />
k ∧ j = −i<br />
i ∧<br />
k = − j<br />
k = i /\ j<br />
j<br />
y<br />
x<br />
k<br />
z<br />
i = j /\ k<br />
45<br />
ϕ<br />
j<br />
y<br />
x<br />
i<br />
z<br />
k<br />
j = k /\ i<br />
y
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1.5.4.4.Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico<br />
Dati due vettori U e V definiti me<strong>di</strong>ante le loro componenti:<br />
⎧U<br />
⎪<br />
U = ⎨U<br />
⎪<br />
⎩U<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎧Vx<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
V = ⎨V<br />
y ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩Vz<br />
⎭<br />
e in<strong>di</strong>cando con i , j e k i versori <strong>di</strong>retti come gli assi x, y, z <strong>di</strong> una terna cartesiana, i<br />
vettori U e V si possono esprimere nella seguente forma:<br />
U = U x i + U y j + U z k<br />
V = Vx<br />
i + Vy<br />
j + Vz<br />
k<br />
il prodotto vettoriale <strong>di</strong> U e V è:<br />
= U ∧V<br />
= ( U i + U j + U k)<br />
∧ ( V i + V j + V k)<br />
W x y z x y z<br />
per la proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale sarà:<br />
ma essendo:<br />
W = U ∧V<br />
= ( U i ∧V<br />
i)<br />
+ ( U i ∧V<br />
j)<br />
+ ( U i ∧V<br />
k)<br />
( U<br />
j ∧V<br />
x<br />
+ ( U<br />
( U i ∧V<br />
i)<br />
= 0<br />
x<br />
y<br />
y<br />
j ∧V<br />
i)<br />
+ ( U<br />
j ∧V<br />
46<br />
j)<br />
+ ( U<br />
j ∧V<br />
k)<br />
+ ( U k ∧V<br />
i)<br />
+ ( U k ∧V<br />
j)<br />
+ ( U k ∧V<br />
k)<br />
j)<br />
= 0<br />
( U k ∧V<br />
k)<br />
= 0<br />
z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
z<br />
in quanto prodotti vettoriali fra vettori paralleli, si ha:<br />
W = U ∧V<br />
= U V ( i ∧ j)<br />
+ U V ( i ∧ k)<br />
tenendo conto che:<br />
i ∧ j =<br />
k<br />
i ∧<br />
k = − j<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
+ U V ( j ∧ i)<br />
+ U V ( j ∧ k)<br />
y<br />
+ U V ( k ∧ i)<br />
+ U V ( k ∧ j)<br />
z<br />
y<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
y<br />
z<br />
y<br />
z<br />
z<br />
z<br />
y<br />
y<br />
y<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
z<br />
z
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
si ottiene:<br />
j ∧ i = −k<br />
j ∧ k =<br />
k ∧ i =<br />
i<br />
j<br />
k ∧ j = −i<br />
W = U ∧V<br />
= U xVy<br />
k −U<br />
xVz<br />
j −U<br />
yVx<br />
k + U yVz<br />
i + U zVx<br />
j − U zVy<br />
i<br />
e, mettendo a fattore comune<br />
W y z z y z x x z<br />
x y y x<br />
= U ∧V<br />
= ( U V − U V ) i + ( U V −U<br />
V ) j + ( U V − U V ) k<br />
Questa espressione è uguale a quella che si ottiene risolvendo il seguente determinante<br />
detto “determinante simbolico”:<br />
da cui:<br />
W = U ∧V<br />
= U<br />
i<br />
V<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
j<br />
y<br />
y<br />
k<br />
U<br />
V<br />
z<br />
z<br />
U<br />
=<br />
V<br />
y<br />
y<br />
U<br />
V<br />
47<br />
z<br />
z<br />
U<br />
i −<br />
V<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
z<br />
z<br />
U<br />
j +<br />
V<br />
W y z z y z x x z<br />
x y y x<br />
= U ∧V<br />
= ( U V − U V ) i + ( U V −U<br />
V ) j + ( U V − U V ) k<br />
In<strong>di</strong>cando Wx, Wy, e Wz le componenti <strong>di</strong> W secondo gli assi cartesiani <strong>di</strong> riferimento si<br />
può pertanto scrivere:<br />
oppure:<br />
⎧Wx<br />
⎫ ⎧U<br />
yVz<br />
−U<br />
zV<br />
y ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
W = ⎨W<br />
y ⎬ = ⎨U<br />
zVx<br />
−U<br />
xVz<br />
⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎩Wz<br />
⎭ ⎩U<br />
xV<br />
y −U<br />
yVx<br />
⎭<br />
U<br />
W x =<br />
V<br />
y<br />
y<br />
U<br />
V<br />
z<br />
z<br />
U<br />
Wy = −<br />
V<br />
Nel caso piano l’espressione si semplifica:<br />
i j k<br />
U<br />
= U ∧ V = U x U y 0<br />
= 0i<br />
− 0 j +<br />
V<br />
V V 0<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
z<br />
z<br />
U<br />
W z =<br />
V<br />
U<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
y<br />
y<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
y<br />
y<br />
k<br />
k = ( U V −U<br />
V )k<br />
W<br />
x<br />
x<br />
y<br />
Vy<br />
x y y x<br />
x y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.4.5.Espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto vettoriale<br />
In<strong>di</strong>cando con W = U ∧V<br />
il prodotto vettoriale e con Wx, Wy, Wz le sue componenti se-<br />
condo gli assi <strong>di</strong> riferimento, si ha: = W i + W j + W k<br />
x<br />
dove, come precedentemente visto<br />
W<br />
W<br />
W<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= U<br />
y<br />
= U V<br />
z<br />
= U V<br />
x<br />
V<br />
z<br />
x<br />
y<br />
−U<br />
V<br />
−U<br />
z<br />
x<br />
y<br />
V<br />
y<br />
−U<br />
V<br />
z<br />
x<br />
z<br />
W x y z<br />
48<br />
W<br />
Wy j<br />
Wz k<br />
Le quali possono essere ot<strong>tenute</strong> anche me<strong>di</strong>ante la seguente espressione matriciale:<br />
⎧Wx<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪ ⎢<br />
W = ⎨W<br />
y ⎬ = ⎢ U z<br />
⎪ ⎪<br />
⎩W<br />
⎭<br />
⎢<br />
z ⎣−<br />
U<br />
che nel caso piano si riduce a:<br />
y<br />
−U<br />
0<br />
U<br />
⎧V<br />
⎫<br />
W =<br />
y x ⎨ ⎬ y x +<br />
⎩V<br />
y ⎭<br />
x<br />
{ −U<br />
U } = { −U<br />
V U V }<br />
x<br />
z<br />
Wx i<br />
U y ⎤⎧V<br />
x ⎫ ⎧U<br />
yVz<br />
−U<br />
zV<br />
y ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
−U<br />
x ⎥⎨V<br />
y ⎬ = ⎨U<br />
zVx<br />
−U<br />
xVz<br />
⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
z ⎭ ⎩U<br />
xVy<br />
−U<br />
yVx<br />
⎭<br />
x<br />
y<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.5. Prodotto misto<br />
Per prodotto misto si intende il prodotto scalare C fra due vettori U e Z , in cui<br />
quest’ultimo è ottenuto come prodotto vettoriale dei vettori V e W , si può quin<strong>di</strong> scri-<br />
vere:<br />
C = U × V ∧W<br />
= U × Z<br />
È naturale che nel prodotto misto occorre prima svolgere il prodotto vettoriale e poi<br />
quello scalare, viceversa si incorrerebbe in un prodotto vettoriale tra uno scalare ed un<br />
vettore, che per la definizione <strong>di</strong> prodotto vettoriale, non ha senso.<br />
Tenendo presente che il prodotto scalare è la somma dei prodotti <strong>del</strong>le componenti omo-<br />
loghe:<br />
C = U Z + U Z + U<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
z<br />
Z<br />
z<br />
e che le componenti <strong>di</strong> Z sono i minori estratti dal determinante simbolico:<br />
Z =<br />
x<br />
V<br />
W<br />
y<br />
y<br />
V<br />
W<br />
z<br />
z<br />
V<br />
Z y = −<br />
W<br />
x<br />
x<br />
V<br />
W<br />
z<br />
z<br />
49<br />
Vx<br />
Z z =<br />
W<br />
si conclude che il prodotto misto è dato dallo sviluppo <strong>del</strong> seguente determinante:<br />
U x U y U z<br />
Vy<br />
Vz<br />
Vx<br />
Vz<br />
C = Vx<br />
Vz<br />
Vz<br />
= U x −U<br />
y + U<br />
Wy<br />
Wz<br />
Wx<br />
Wz<br />
W W W<br />
x<br />
y<br />
z<br />
Poiché il valore <strong>del</strong> determinante cambia segno se si scambiano fra loro due righe, ma<br />
rimane invariato se si operano due trasposizioni, si deduce che, permutando circolar-<br />
mente, i fattori il prodotto misto non cambia:<br />
C = U × V ∧W<br />
= V × W ∧U<br />
= W × U ∧V<br />
Il prodotto misto può essere interpretato geometricamente come il volume <strong>del</strong> parallele-<br />
pipedo non retto avente per spigoli i vettori U , V e W . Infatti il prodotto vettoriale fra<br />
V e W fornisce l’area <strong>del</strong> parallelogramma <strong>di</strong> lati i vettori fattori, base <strong>del</strong> parallelepi-<br />
pedo obliquo, che nel successivo prodotto scalare viene moltiplicata per l’altezza: proie-<br />
zione <strong>di</strong> U sulla <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare al piano definito da V e W . Ne consegue<br />
che se i tre vettori sono complanari il loro prodotto misto si annulla. Ecco perché<br />
l’annullarsi <strong>del</strong> prodotto misto è definita con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> complanarità fra tre vettori.<br />
x<br />
z<br />
V<br />
W<br />
V<br />
W<br />
x<br />
x<br />
y<br />
y<br />
V<br />
W<br />
y<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
L’interpretazione geometrica <strong>del</strong> prodotto misto come volume <strong>del</strong> parallelepipedo non<br />
retto <strong>di</strong> spigoli i tre vettori consente <strong>di</strong> illustrare efficacemente la proprietà <strong>del</strong>la permu-<br />
tazione ciclica. Infatti è evidente che il volume <strong>del</strong> parallelepipedo sarà lo stesso anche<br />
se si scambia l’or<strong>di</strong>ne degli spigoli, mentre il segno è conservato perché i tre vettori so-<br />
no considerati secondo una successione che ne mantiene la destrogirità (cioè: rispetto<br />
<strong>del</strong>la regola <strong>del</strong>la mano destra) o levogirità (cioè: mancato rispetto <strong>del</strong>la regola <strong>del</strong>la<br />
mano destra o <strong>di</strong>sposizione secondo la mano sinistra) iniziale.<br />
1.5.5.1.Proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale (vettori non complana-<br />
ri)<br />
Sfruttando la proprietà <strong>del</strong>la permutazione ciclica <strong>del</strong> prodotto misto si può <strong>di</strong>mostrare<br />
la proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale, già <strong>di</strong>mostrata per vettori complanari a<br />
pagina 44 anche nel caso <strong>di</strong> vettori non complanari.<br />
Si consideri infatti il prodotto misto:<br />
1<br />
( V V )<br />
U × V ∧ +<br />
2<br />
3<br />
Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha:<br />
1<br />
( V2<br />
+ V3<br />
) = V1<br />
× ( V2<br />
+ V3<br />
) ∧U<br />
= ( V2<br />
+ V3<br />
) × U V1<br />
U × V ∧<br />
∧<br />
Applicando ora la proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto scalare rispetto alla somma <strong>di</strong> vet-<br />
tori, si ha:<br />
( V2 + V3<br />
) × U ∧V1<br />
= V2<br />
× U ∧V1<br />
+ V3<br />
× U ∧V1<br />
Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha:<br />
V × U ∧V<br />
+ V × U ∧V<br />
= V × V ∧U<br />
+ V × V ∧U<br />
= U × V ∧V<br />
+ U × V ∧V<br />
2<br />
1<br />
3<br />
Raccogliendo a fattor comune il vettore U si ottiene:<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
( V ∧V<br />
+ V V )<br />
U × V ∧V<br />
+ U × V ∧V<br />
= U ×<br />
∧<br />
Confrontando con il prodotto <strong>di</strong> partenza è lecito scrivere l’equazione:<br />
1<br />
( V + V ) = U × ( V ∧V<br />
+ V V )<br />
U × V ∧<br />
∧<br />
2<br />
E semplificando U si ottiene finalmente:<br />
3<br />
( V2<br />
+ V3<br />
) = V1<br />
∧V2<br />
+ V1<br />
V3<br />
V ∧<br />
∧<br />
1<br />
Che è quanto si voleva <strong>di</strong>mostrare.<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
50<br />
3<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.6. Effetti <strong>del</strong>le forze<br />
Gli effetti prodotti dalle forze <strong>di</strong>pendono da:<br />
• intensità, <strong>di</strong>rezione e verso <strong>del</strong>le forze stesse<br />
• dalla loro posizione nello spazio, cioè dal loro punto <strong>di</strong> applicazione nel piano o nel-<br />
lo spazio. Ad esempio l’effetto <strong>di</strong> una forza su un corpo sarà <strong>di</strong>verso se tale forza è ap-<br />
plicata nel baricentro o in un altro punto; nel primo caso infatti l’effetto prodotto sarà<br />
una semplice traslazione <strong>del</strong> corpo stesso, mentre nel secondo caso si avrà anche un ef-<br />
fetto <strong>di</strong> rotazione:<br />
F<br />
G<br />
Traslazione Traslazione + Rotazione<br />
“Una forza applicata ad un corpo tende a causare la traslazione <strong>del</strong> corpo nella <strong>di</strong>rezione<br />
<strong>del</strong>la forza; <strong>di</strong>pendendo dalla ubicazione <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza, questa<br />
può anche tendere a far ruotare il corpo”. Il momento caratterizza la tendenza che una<br />
forza possiede per indurre un corpo a ruotare intorno ad un polo.<br />
F<br />
r<br />
O<br />
M = F x r<br />
La forza F tende a far ruotare<br />
il corpo intorno al polo O<br />
51<br />
F<br />
F<br />
G<br />
M = 0<br />
Se la retta d’azione <strong>di</strong> F passa<br />
per O, il momento <strong>del</strong>la forza<br />
rispetto a quel punto si annulla<br />
(il braccio r è nullo)<br />
F
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.7. Momento polare<br />
Il momento polare <strong>di</strong> una forza rappresenta una importante applicazione <strong>del</strong> prodotto<br />
vettoriale.<br />
Sia dato un vettore V applicato in un punto P <strong>di</strong> una retta r e si consideri un altro punto<br />
O non appartenente ad r. Il momento polare <strong>di</strong> V rispetto ad O, o semplicemente il<br />
momento <strong>di</strong> V rispetto ad O, è dato dal seguente prodotto vettoriale:<br />
M O = ( P − O)<br />
∧V<br />
= D ∧V<br />
dove D = ( P − O)<br />
è il vettore posizione <strong>di</strong> P rispetto ad O.<br />
corpo rigido<br />
O<br />
d<br />
ϕ<br />
D<br />
O<br />
d<br />
M0 π<br />
Il modulo <strong>del</strong> momento polare rispetto ad O sarà:<br />
P<br />
V<br />
D<br />
P<br />
52<br />
ϕ<br />
V<br />
π<br />
r<br />
π: piano in<strong>di</strong>viduato da V e D<br />
r<br />
O = polo<br />
P = punto <strong>di</strong> applicazione<br />
d = braccio = D sen ϕ
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
|MO| = |D| |V| sen ϕ = |V| d<br />
dove d è il “braccio” <strong>del</strong> vettore V rispetto ad O, e rappresenta la minima <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> O<br />
dalla retta <strong>di</strong> applicazione <strong>di</strong> V . Si può <strong>di</strong>re quin<strong>di</strong> che il modulo <strong>del</strong> momento rispetto<br />
al polo O è dato dal prodotto <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> V per il braccio d <strong>di</strong> V rispetto ad O.<br />
MO<br />
D<br />
ϕ<br />
V<br />
53<br />
|ΜΟ| = area <strong>del</strong> parallelogramma<br />
La <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> momento è perpen<strong>di</strong>colare al piano in<strong>di</strong>viduato da V e D , mentre il<br />
verso è definito tramite la regola <strong>del</strong>la vite o <strong>del</strong>l’osservatore.<br />
• Il verso <strong>del</strong> momento M O caratterizza il verso <strong>del</strong>la rotazione che V tende ad im-<br />
primere al corpo rigido<br />
• L’intensità <strong>di</strong> M O misura la tendenza <strong>del</strong> vettore V ad imprimere un moto <strong>di</strong> rota-<br />
zione al corpo rigido attorno ad un asse che contiene M O .<br />
Se il vettore V è una forza, <strong>di</strong>mensionalmente il momento si può esprimere come una<br />
forza per una lunghezza |MO| = |F · L|, ad esempio MO [kN m].<br />
1.5.7.1.Espressione matriciale <strong>del</strong> momento polare<br />
Si consideri una forza V i definita me<strong>di</strong>ante le sue componenti in una terna cartesiana<br />
con origine in O applicata in un punto Pi <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate xi, yi, zi:<br />
⎧Vxi<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
V i = ⎨V<br />
yi ⎬ Pi = ( xi, yi, zi)<br />
⎪ ⎪<br />
⎩Vzi<br />
⎭<br />
Le componenti <strong>del</strong> vettore = ( P − O)<br />
, essendo il polo O l’origine <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> rife-<br />
rimento, sono:<br />
Di i
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
⎧Dxi<br />
⎫ ⎧xi<br />
− 0⎫<br />
⎧xi<br />
⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
Di<br />
= ⎨Dyi<br />
⎬ = ⎨yi<br />
− 0⎬<br />
= ⎨yi<br />
⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩Dzi<br />
⎭ ⎩zi<br />
− 0⎭<br />
⎩zi<br />
⎭<br />
x<br />
MOi<br />
O<br />
d<br />
z<br />
Di<br />
P (xi, yi, zi)<br />
Me<strong>di</strong>ante l’espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto vettoriale si può scrivere:<br />
M<br />
Oi<br />
= D<br />
i<br />
∧V<br />
i<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
zi<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
i<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
i<br />
i<br />
54<br />
ϕ<br />
yi<br />
⎤⎧V<br />
⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
i ⎥⎨V<br />
0 ⎥⎪<br />
⎦⎩V<br />
Esprimendo poi le componenti <strong>del</strong> vettore V i in funzione <strong>del</strong> modulo e dei coseni <strong>di</strong>ret-<br />
tori (αi, βi, γi) <strong>del</strong>la retta <strong>di</strong> applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava:<br />
M<br />
Oi<br />
⎧M<br />
⎪<br />
= ⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
Oix<br />
Oiy<br />
Oiz<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ =<br />
⎢<br />
zi<br />
⎪<br />
⎭ ⎢⎣<br />
− y<br />
i<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
i<br />
i<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
Vi<br />
yi<br />
⎤⎧α<br />
iVi<br />
⎫ ⎧(<br />
−β<br />
i zi<br />
+ γ i yi<br />
) Vi<br />
⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
− xi<br />
⎥⎨β<br />
iVi<br />
⎬ = ⎨ ( α i zi<br />
− γ i xi<br />
) Vi<br />
⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩γ<br />
iVi<br />
⎭ ⎩(<br />
−α<br />
i yi<br />
+ β i xi<br />
) Vi<br />
⎭<br />
che fornisce le componenti <strong>del</strong> momento <strong>del</strong> vettore V i rispetto al polo O. Nel caso pia-<br />
no, con piano xy, essa si riduce a:<br />
M<br />
Oiz<br />
=<br />
{ − y x }<br />
i<br />
i<br />
⎧α<br />
iVi<br />
⎨<br />
⎩β<br />
iVi<br />
⎫<br />
⎬<br />
⎭<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.7.2.Proprietà <strong>del</strong> momento polare<br />
1. Il momento polare non cambia se si sposta il punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza (<strong>del</strong><br />
vettore) lungo la propria retta d’azione r.<br />
Cioè se si fa scorrere V lungo la sua retta d’azione il momento polare rispetto ad un<br />
polo O non varia. Infatti, il braccio <strong>di</strong> V rispetto ad O, che rappresenta la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong><br />
O dalla retta r, non cambia.<br />
Se si considerano i due punti <strong>di</strong> applicazione P1 e P2, entrambi appartenenti alla retta<br />
r il momento polare vale:<br />
• se si considera P1 come punto d’applicazione<br />
M O1 ( P − O)<br />
∧V<br />
= D ∧V<br />
|MO1| = |D1| |V| sen ϕ1 = |V| d<br />
= 1<br />
1<br />
• se si considera P2 come punto d’applicazione<br />
M O2 = ( P − O)<br />
∧ V = D 2 ∧ V |MO2| = |D2| |V| sen ϕ2 = |V| d<br />
O<br />
D2<br />
2<br />
P2<br />
d<br />
D1<br />
ϕ 2<br />
V<br />
P1<br />
ϕ 1<br />
Esempio (ve<strong>di</strong> <strong>di</strong>segno alla pagina seguente):<br />
⎧ 10 ⎫<br />
V = ⎨ ⎬ (componenti in kN)<br />
⎩−10⎭<br />
a) applicato in P1 (3; 3) (in m)<br />
b) applicato in P2 (6; 0) (in m)<br />
i<br />
55<br />
V<br />
d = D1 senϕ1 = D2 senϕ2<br />
MO = V d<br />
a) M O = ( P − O)<br />
∧V<br />
= 3 3 0 = −30k<br />
− 30k<br />
= −60k<br />
1<br />
10<br />
j<br />
−10<br />
b) M O =<br />
( P − O)<br />
∧V<br />
= 6 0 0 = −60k<br />
2<br />
i<br />
10<br />
j<br />
−10<br />
k<br />
0<br />
k<br />
0
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Il modulo <strong>del</strong> momento può anche essere calcolato come prodotto <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong> V per<br />
il suo braccio rispetto ad O:<br />
2 ( −10<br />
) = 200<br />
2<br />
2 2<br />
V = 10 +<br />
d = 3 + 3 = 18<br />
M = 200 ⋅ 18 = 60 kN m<br />
O<br />
y<br />
d<br />
r<br />
il braccio “d” è ad r<br />
P1 (3, 3)<br />
V<br />
56<br />
r = retta d’azione <strong>di</strong> V:<br />
P2 (6, 0)<br />
y = - x + 6<br />
2. Il momento polare non cambia se si sposta il polo lungo una retta parallela a quella<br />
d’azione <strong>del</strong>la forza. Anche in questo caso il braccio d rimane invariato, pertanto il<br />
momento polare non cambia<br />
r’ | | r<br />
O2<br />
r<br />
d<br />
O<br />
D2<br />
O1<br />
D<br />
i vettori posizione e l’angolo ϕ variano ma il braccio rimane costante<br />
d = D sen ϕ = D1 sen ϕ1 = D2 sen ϕ2<br />
D1<br />
P<br />
3. Il momento polare <strong>di</strong> una forza (vettore) rispetto ad un punto <strong>del</strong>la sua retta d’azione<br />
è nullo:<br />
ϕ 1<br />
ϕ 2<br />
V<br />
ϕ<br />
V<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
M O = ( P − O)<br />
∧V<br />
|MO| = |P-O| |V| sen ϕ = 0 in quanto ϕ = 0 sen ϕ = 0<br />
r<br />
O<br />
P<br />
V<br />
(P - O) | | V MO = 0<br />
4. Cambio <strong>del</strong> polo: il momento polare <strong>di</strong> una forza V rispetto ad un punto O* è anche<br />
uguale al momento <strong>di</strong> V rispetto al polo O aumentato <strong>del</strong> momento <strong>di</strong> V supposto<br />
in O rispetto a O*<br />
r<br />
(O-O*)<br />
O<br />
O*<br />
M O* = ( P − O*)<br />
∧V<br />
essendo<br />
risulta:<br />
D<br />
D*<br />
( P − O*)<br />
= ( P − O)<br />
+ ( O − O*)<br />
M O* = ( P − O*)<br />
∧V<br />
= [( P − O)<br />
+ ( O − O*)]<br />
∧V<br />
e, per la proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale:<br />
M O<br />
O* = ( P − O)<br />
∧V<br />
+ ( O − O*)<br />
∧V<br />
= M + ( O − O*)<br />
∧V<br />
V<br />
P<br />
57<br />
V<br />
D* = (P-O*)<br />
D = (P-O)<br />
D* = (O-O*) + D<br />
il primo termine è il momento <strong>di</strong> V rispetto al polo O, mentre il secondo è momento<br />
<strong>di</strong> V supposto applicato in O rispetto a O*.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
58
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.5.8. Momento assiale <strong>di</strong> una forza<br />
Dati un asse a e una forza V (non parallela né incidente ad a ) si definisce momento<br />
assiale <strong>di</strong> V rispetto ad a il momento polare <strong>del</strong>la proiezione <strong>di</strong> V su un piano π nor-<br />
male all’asse a rispetto al punto O dato dall’intersezione <strong>di</strong> a con il piano π.<br />
Vπ = proiezione <strong>di</strong> V su π<br />
π<br />
( P − O)<br />
Vπ<br />
M a = ∧<br />
“a” a<br />
il modulo <strong>del</strong> momento vale V ⋅b<br />
π<br />
M a<br />
= π<br />
59<br />
V<br />
Vπ O<br />
P<br />
b<br />
asse “a” a<br />
Quin<strong>di</strong> il momento <strong>di</strong> una forza rispetto ad un asse è il prodotto <strong>del</strong>la proiezione <strong>del</strong>la<br />
forza su un piano normale all’asse, per la sua minima <strong>di</strong>stanza dall’asse. Il momento as-<br />
siale è nullo se la forza incontra l’asse o se è parallela ad esso, quin<strong>di</strong> se la forza ha in<br />
comune con l’asse un punto, sia proprio sia improprio.<br />
Il modulo <strong>del</strong> momento assiale <strong>di</strong> una forza si può ottenere anche come prodotto misto<br />
fra il versore <strong>del</strong>l’asse a , il vettore posizione (che va da un punto <strong>del</strong>l’asse al punto <strong>di</strong><br />
applicazione <strong>del</strong>la forza) e la forza stessa:<br />
M a<br />
O traccia <strong>di</strong> a su π<br />
= a ×<br />
( P − O)<br />
∧V<br />
Se tale prodotto è positivo il momento sarà concorde con a , viceversa se negativo.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.6. Sistemi <strong>di</strong> momenti<br />
1.6.1. Momento risultante<br />
Dati due vettori 1 V , applicato nel punto P1, e V 2 , applicato nel punto P2, si <strong>di</strong>ce momen-<br />
to risultante M OR rispetto al polo O la somma vettoriale dei momenti dei singoli vettori<br />
rispetto ad O.<br />
π1<br />
M O1 = P1<br />
− O)<br />
∧<br />
( V<br />
M O2 = P2<br />
− O)<br />
∧<br />
( V<br />
I due vettori M O1<br />
e O2<br />
mento risultante M OR<br />
M +<br />
OR = M O1<br />
M O2<br />
MOR MO1<br />
MO2<br />
1<br />
2<br />
P1<br />
V1<br />
O<br />
V2<br />
60<br />
P2<br />
π2<br />
π1 contiene V1 e O<br />
π2 contiene V2 e O<br />
MO1 è perpen<strong>di</strong>colare a π1<br />
MO2 è perpen<strong>di</strong>colare a π2<br />
M possono essere sommati vettorialmente dando luogo al mo-<br />
Nel caso <strong>di</strong> n vettori V 1 , V 2 , V 3 ,…. V n il momento risultante rispetto al polo O sarà da-<br />
to dalla somma (vettoriale) dei momenti dei singoli vettori rispetto al polo O:<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
M OR = M Oi = (<br />
P − O)<br />
∧V<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
i
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.6.2. Coppie<br />
Due vettori applicati in due punti <strong>di</strong>stinti formano una coppia se hanno la stessa intensi-<br />
tà, linee d’azione parallele e versi opposti.<br />
Cioè V = V<br />
1 , V 2 = −V<br />
R<br />
2<br />
= ∑ V i<br />
i=<br />
1<br />
. È chiaro che il Risultante <strong>di</strong> tale sistema è nullo.<br />
-V<br />
b P1<br />
= 0<br />
P2<br />
V<br />
61<br />
I due vettori che costituiscono<br />
la coppia sono complanari<br />
poichè per ipotesi sono paralleli<br />
Il momento risultante <strong>del</strong> sistema rispetto ad un qualsiasi punto nello spazio O vale:<br />
M O = P − O)<br />
∧V<br />
+ ( P − O)<br />
∧ ( −V<br />
)<br />
( 1<br />
2<br />
per la proprietà <strong>di</strong>stributiva si ha:<br />
x<br />
M O = P − O)<br />
− ( P − O)]<br />
∧V<br />
[( 1<br />
2<br />
M O = ( D1<br />
− D 2 ) ∧V<br />
z<br />
D1<br />
ma la <strong>di</strong>fferenza tra i vettori posizione D 1 e 2<br />
P1<br />
V<br />
-V<br />
D2<br />
P2<br />
(P1 - P2)<br />
D è il vettore P − P ) , definito dai punti<br />
( 1 2<br />
<strong>di</strong> applicazione dei due vettori che formano la coppia, sostituendo si ottiene:<br />
( 1<br />
2<br />
M O = P − P ) ∧V<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
in tale espressione non compare il polo O, pertanto il momento <strong>di</strong> una coppia non <strong>di</strong>-<br />
pende dal polo scelto.<br />
Se il punto O appartiene al piano definito dai vettori V e -V si ha una rappresentazione<br />
piana<br />
Il momento rispetto ad un polo O vale:<br />
O<br />
P1<br />
O’<br />
M O = P − O)<br />
∧V<br />
+ ( P − O)<br />
∧ ( −V<br />
)<br />
( 1<br />
2<br />
M O = P − P ) ∧V<br />
( 1 2<br />
il momento risultante rispetto ad un altro punto O’ appartenente allo stesso piano vale<br />
M O' = P − O')<br />
∧V<br />
+ ( P − O')<br />
∧ ( −V<br />
)<br />
( 1<br />
2<br />
M =<br />
O' = ( P1<br />
− P2<br />
) ∧V<br />
M O<br />
cioè il momento non cambia qualsiasi sia il punto rispetto al quale si ricerca il momento<br />
risultante.<br />
Il modulo <strong>di</strong> M O vale:<br />
M O<br />
M O<br />
= P − P ⋅ V ⋅ senϕ<br />
1<br />
= V ⋅ b<br />
2<br />
dove ϕ è l’angolo compreso tra i due vettori P − P ) e V e b=( P − P ⋅ senϕ<br />
) è il<br />
braccio <strong>del</strong>la coppia.<br />
62<br />
V<br />
-V<br />
( 1 2<br />
Quin<strong>di</strong> il modulo <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la coppia è sempre dato dal prodotto <strong>del</strong> modulo <strong>di</strong><br />
uno dei due vettori per il braccio <strong>del</strong>la coppia, per qualsiasi punto rispetto al quale si<br />
calcola il momento.<br />
La <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la coppia è perpen<strong>di</strong>colare al piano in<strong>di</strong>viduato dai vettori<br />
( 1 2<br />
P − P ) e V , che corrisponde al piano in<strong>di</strong>viduato dai due vettori <strong>del</strong>la coppia.<br />
P2<br />
b<br />
1<br />
2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Il verso <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la coppia è antiorario (positivo) se la coppia tende ad imprime-<br />
re al corpo una rotazione antioraria, ed è orario (negativo) se la coppia tende ad impri-<br />
mere al corpo una rotazione oraria.<br />
MO<br />
momento positivo (antiorario)<br />
1.6.2.1.Proprietà <strong>del</strong>le coppie<br />
63<br />
MO<br />
momento negativo (orario)<br />
1. La coppia può essere rappresentata dal suo vettore momento (poiché la risultante è<br />
nullo).<br />
2. I due vettori che compongono la coppia possono essere ruotati intorno al loro punto<br />
<strong>di</strong> applicazione purché si cambi il modulo dei vettori che la compongono in modo<br />
che il modulo <strong>del</strong> momento che rappresenta la coppia rimanga costante. |V|·b =<br />
|V*|·b*<br />
V*<br />
V<br />
-V<br />
b*<br />
Quin<strong>di</strong> è possibile formare insiemi <strong>di</strong> coppie equivalenti mo<strong>di</strong>ficando il braccio ed il<br />
modulo dei vettori.<br />
b<br />
-V*
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
V<br />
-V<br />
b<br />
1/2V -1/2V<br />
2b<br />
64<br />
1/3V -1/3V<br />
3. Una coppia può essere trasportata su un piano parallelo a quello su cui giace, senza<br />
mo<strong>di</strong>ficazioni al campo <strong>di</strong> momento che essa induce.<br />
4. Una coppia può essere trasportata comunque nel piano in cui giace, senza mo<strong>di</strong>fica-<br />
zioni al campo <strong>di</strong> momento che essa induce.<br />
5. Le coppie possono essere sommate me<strong>di</strong>ante la somma dei loro vettori momento.<br />
Esercizio <strong>sulle</strong> coppie<br />
Dati i vettori V 1 e V 2 , applicati nei punti P1 e P2, rispettivamente, definiti attraverso le<br />
loro componenti cartesiane<br />
⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 2 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−1⎭<br />
V 1 P1 = (1, 0, 4)<br />
⎧ 1 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 1 ⎭<br />
V 2 P2 = (0, 4, 1)<br />
verificare che costituiscono una coppia.<br />
x<br />
P1 (1, 0, 4)<br />
π<br />
z<br />
V1<br />
B (1, 2, 2)<br />
V2<br />
A (0, 2, 3)<br />
P2 (0, 4, 1)<br />
Il piano π contiene la coppia<br />
y<br />
3b<br />
A: estremo <strong>di</strong> V1<br />
B: estremo <strong>di</strong> V2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Affinché i due vettori formino una coppia devono costituire un sistema con risultante<br />
nulla, cioè devono avere lo stesso modulo ed essere paralleli ma con verso opposto.<br />
V<br />
V<br />
1<br />
2<br />
=<br />
=<br />
2 2 2<br />
( −1)<br />
+ 2 + ( −1)<br />
= 6<br />
1<br />
2<br />
+<br />
|V1| = |V2|<br />
2 2 ( − 2)<br />
+ 1 = 6<br />
−1<br />
2 −1<br />
inoltre = = = −1<br />
le componenti sono proporzionali a meno <strong>del</strong> segno i due<br />
1 − 2 1<br />
vettori sono paralleli ma con verso opposto.<br />
Calcolo <strong>del</strong> momento risultante rispetto all’origine O <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento:<br />
M<br />
M<br />
M<br />
O1<br />
O2<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
z1<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
1<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
z1<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
= M<br />
2<br />
+<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
1<br />
1<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
O O1<br />
M O2<br />
2<br />
2<br />
y1<br />
⎤⎧V<br />
x1<br />
⎫ ⎡0<br />
⎪ ⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
1⎥⎨V<br />
y1⎬<br />
⎢<br />
4<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
⎭ ⎢ z1<br />
⎣0<br />
65<br />
− 4<br />
y2<br />
⎤⎧V<br />
x2<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
2 ⎥⎨V<br />
y2<br />
⎬ ⎢<br />
1<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
⎭ ⎢ z 2 ⎣−<br />
4<br />
0<br />
1<br />
⎧−<br />
8⎫<br />
⎧ 6 ⎫ ⎧−<br />
2⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
3⎬<br />
+ ⎨ 1 ⎬ = ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩ 2 ⎭ ⎩−<br />
4⎭<br />
⎩−<br />
2⎭<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0 ⎤⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎨<br />
2 ⎬ =<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩−1⎭<br />
−<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
−<br />
8⎫<br />
⎪<br />
3⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
2<br />
4⎤⎧<br />
1 ⎫ ⎧ 6 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
0<br />
⎥<br />
⎥⎨−<br />
2⎬<br />
= ⎨ 1 ⎬<br />
0⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩<br />
1 ⎭ ⎩−<br />
4⎭<br />
Il momento <strong>di</strong> una coppia è anche dato dalla seguente espressione:<br />
oppure<br />
( P − P ) V 1<br />
M O = ∧<br />
1<br />
2<br />
( P − P ) V 2<br />
M O = ∧<br />
2<br />
1<br />
Dalla prima, applicando ad esempio, il metodo <strong>del</strong> determinante simbolico, si ottiene:<br />
( P − P )<br />
1<br />
2<br />
⎧1−<br />
0⎫<br />
⎧ 1 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
= ⎨0<br />
− 4⎬<br />
= ⎨−<br />
4⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩4<br />
−1⎭<br />
⎩ 3 ⎭<br />
V<br />
1<br />
⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 2 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−1⎭
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
i j k<br />
− 4 3 1 3 1 − 4<br />
M O = 1 − 4 3 = i − j + k = −2i<br />
− 2 j − 2k<br />
2 −1<br />
−1<br />
−1<br />
−1<br />
2<br />
−1<br />
2 −1<br />
cioè<br />
M O<br />
⎧−<br />
2⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
2⎭<br />
Dalla seconda si ottiene:<br />
( P − P )<br />
2<br />
1<br />
⎧0<br />
−1⎫<br />
⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
= ⎨4<br />
− 0⎬<br />
= ⎨ 4 ⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩1−<br />
4⎭<br />
⎩−<br />
3⎭<br />
V<br />
2<br />
66<br />
⎧ 1 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 1 ⎭<br />
i j k<br />
4 − 3 −1<br />
− 3 −1<br />
4<br />
M O = −1<br />
4 − 3 = i − j + k = −2i<br />
− 2 j − 2k<br />
− 2 1 1 1 1 − 2<br />
1 − 2 1<br />
che è lo stesso risultato ottenuto precedentemente.<br />
Il modulo <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la coppia vale:<br />
M O<br />
=<br />
2 2 2<br />
( − 2)<br />
+ ( − 2)<br />
+ ( − 2)<br />
= 12<br />
L’equazione <strong>del</strong> piano su cui giace la coppia si ottiene tramite le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> tre punti<br />
appartenenti al piano (ad es. P1, P2 ed A, ve<strong>di</strong> figura), tramite lo sviluppo <strong>del</strong> seguente<br />
determinante:<br />
x − x<br />
x<br />
x<br />
2<br />
A<br />
1<br />
− x<br />
1<br />
− x<br />
x −1<br />
0 −1<br />
0 −1<br />
1<br />
y − y<br />
y<br />
y<br />
2<br />
A<br />
y − 0<br />
4 − 0<br />
2 − 0<br />
1<br />
− y<br />
1<br />
− y<br />
1<br />
z − 4<br />
3 − 4<br />
z − z<br />
z<br />
z<br />
2<br />
A<br />
1<br />
− z<br />
1<br />
− z<br />
1<br />
= 0<br />
1−<br />
4 = x + y + z − 5 = 0<br />
x + y + z − 5 = 0 piano su cui giace la coppia
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1.7. Operazioni sui vettori e sui sistemi <strong>di</strong> vettori<br />
1.7.1. Trasporto <strong>di</strong> un vettore<br />
Un vettore può essere trasporto parallelamente a se stesso e fatto passare per un punto<br />
qualunque, purché si aggiunga il momento che nasce da questo trasporto. In tal modo<br />
non cambia il campo <strong>di</strong> momento generato dal vettore.<br />
O<br />
P<br />
V<br />
67<br />
O<br />
MO<br />
V<br />
MO = (P-O) /\ V<br />
Dato un vettore V , applicato in P, è possibile spostare il punto <strong>di</strong> applicazione in O pur-<br />
ché si aggiunga il momento <strong>di</strong> trasporto M O = ( P − O)<br />
∧V<br />
.<br />
Per visualizzare la ragione <strong>del</strong>l’aggiunta <strong>del</strong> momento <strong>di</strong> trasporto si consideri il <strong>di</strong>se-<br />
gno seguente.<br />
O<br />
V<br />
P<br />
O<br />
-V<br />
V<br />
V V<br />
Nel punto O è possibile applicare due vettori, uno uguale a V e l’altro uguale a -V . Il<br />
sistema costituito da questi due vettori ha risultante e momento risultante nulli, pertanto<br />
non mo<strong>di</strong>fica l’azione <strong>del</strong> vettore originale sul corpo rigido.<br />
Si può notare che il vettore originale V applicato in P e il vettore -V applicato in O co-<br />
stituiscono una coppia M O giacente sul piano formato da (P-O) e V . La coppia M O si<br />
chiama “coppia <strong>di</strong> trasporto”.<br />
P<br />
MO<br />
P<br />
O<br />
P
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Un esempio pratico <strong>di</strong> trasporto <strong>di</strong> un vettore è quello <strong>di</strong> un pilastro soggetto ad una for-<br />
za verticale applicata all’estremo P. È possibile applicare tale forza nel baricentro O<br />
purché venga aggiunto il momento <strong>di</strong> trasporto MO = V b/2<br />
O<br />
b/2 b/2<br />
V<br />
P<br />
68<br />
V<br />
O<br />
b/2 b/2<br />
MO = V b/2<br />
1.7.2. Riduzione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> vettori alla risultante più il<br />
momento risultante<br />
Scelto un polo O, un sistema <strong>di</strong> vettori V i applicati nei punti Pi si riduce ad un insieme<br />
<strong>di</strong> vettori concorrenti in O e <strong>di</strong> coppie M Oi . Questo perché ogni vettore <strong>del</strong> sistema può<br />
essere trasportato nel punto O aggiungendo la relativa coppia <strong>di</strong> trasporto.<br />
I vettori concorrenti in O possono essere sommati, originando la risultante R applicata<br />
in O. Anche le coppie M Oi posso essere sommate dando luogo al momento risultante<br />
M OR :<br />
V3<br />
O<br />
D3<br />
D1<br />
P3<br />
D2<br />
P2<br />
V1<br />
P1<br />
V2<br />
Vettori Forze comunque comunque<br />
orientati orientate nello spazio<br />
MO2<br />
V3<br />
MO1<br />
O<br />
MO3<br />
V1<br />
Vettori Forze concorrenti e e<br />
coppie <strong>di</strong> trasporto<br />
V2 O<br />
MOR<br />
P<br />
R<br />
Riduzione <strong>del</strong><br />
sistema al polo O
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R =<br />
n<br />
∑ V i<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
( Pi<br />
− O)<br />
∧V<br />
i = ∑<br />
M OR = M Oi =<br />
Di<br />
∧V<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
Scelto un polo O ad arbitrio, si possono trasportare i singoli vettori in O aggiungendo le<br />
relative coppie <strong>di</strong> trasporto. Si riduce così il sistema <strong>di</strong> vettori dato ad un sistema <strong>di</strong> vet-<br />
tori concorrenti e <strong>di</strong> coppie generate dai trasporti. I vettori, essendo concorrenti, si com-<br />
porranno in un unico vettore R . Le coppie daranno origine ad un’unica coppia M OR .<br />
Pertanto, un sistema qualunque <strong>di</strong> vettori applicati ad un corpo rigido si può sempre ri-<br />
durre ad un vettore risultante R , passante per un punto arbitrariamente scelto O, e ad<br />
una coppia risultante M OR .<br />
La risultante R ha intensità, <strong>di</strong>rezione e verso perfettamente determinati, in<strong>di</strong>pendente-<br />
mente dalla scelta <strong>del</strong> polo <strong>di</strong> riduzione adottato.<br />
Invece la coppia M OR <strong>di</strong>pende dalla posizione <strong>del</strong> polo, perché è la somma dei vettori<br />
( P − O)<br />
i<br />
M = ∧ , che <strong>di</strong>pendono da O.<br />
Oi i V<br />
n<br />
OR M Oi<br />
La coppia risultante M = ∑<br />
=<br />
zione <strong>del</strong>la forza risultante R .<br />
i 1<br />
69<br />
i<br />
giacerà in generale su un piano obliquo alla <strong>di</strong>re-<br />
Esprimendo poi le componenti <strong>del</strong> vettore V i in funzione <strong>del</strong> modulo e dei coseni <strong>di</strong>ret-<br />
tori (αi, βi, γi) <strong>del</strong>la retta <strong>di</strong> applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava:<br />
R =<br />
n<br />
∑<br />
V<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
⎧V<br />
⎪<br />
⎨V<br />
xi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬ =<br />
n<br />
∑<br />
⎧α<br />
iVi<br />
⎫ ⎧<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎨β<br />
V ⎬ = ⎨<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
α iVi<br />
⎫<br />
⎪<br />
β V ⎬<br />
i<br />
yi<br />
i i<br />
i i<br />
i=<br />
1 i=<br />
1 ⎪ ⎪ i=<br />
1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩Vzi<br />
⎭ ⎩γ<br />
iVi<br />
⎭ γ iVi<br />
⎭<br />
le componenti <strong>del</strong>la risultante saranno:<br />
⎧Rx<br />
⎫ ⎧<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
R = ⎨Ry<br />
⎬ = ⎨<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩Rz<br />
⎭ ⎩<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
α iVi<br />
⎫<br />
⎪<br />
β iVi<br />
⎬<br />
γ ⎪<br />
iVi<br />
⎭<br />
Mentre per il momento risultante si ottiene:<br />
⎩
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70<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
=<br />
=<br />
= ⎪ ⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
n<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
n<br />
i<br />
iz<br />
iy<br />
ix<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i<br />
Oi<br />
OR<br />
V<br />
x<br />
V<br />
y<br />
V<br />
x<br />
V<br />
z<br />
V<br />
y<br />
V<br />
z<br />
V<br />
x<br />
V<br />
y<br />
V<br />
x<br />
V<br />
z<br />
V<br />
y<br />
V<br />
z<br />
V<br />
V<br />
V<br />
x<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
M<br />
M<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
0<br />
0<br />
oppure, utilizzando i coseni <strong>di</strong>rettori:<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
=<br />
=<br />
= ⎪ ⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎡<br />
−<br />
−<br />
−<br />
=<br />
=<br />
n<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i<br />
Oi<br />
OR<br />
V<br />
x<br />
y<br />
V<br />
x<br />
z<br />
V<br />
y<br />
z<br />
V<br />
x<br />
y<br />
V<br />
x<br />
z<br />
V<br />
y<br />
z<br />
V<br />
V<br />
V<br />
x<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
z<br />
M<br />
M<br />
1<br />
1<br />
1<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
0<br />
0<br />
0<br />
β<br />
α<br />
γ<br />
α<br />
γ<br />
β<br />
β<br />
α<br />
γ<br />
α<br />
γ<br />
β<br />
γ<br />
β<br />
α<br />
quin<strong>di</strong> le componenti sono:<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
+<br />
−<br />
−<br />
+<br />
−<br />
=<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎧<br />
=<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
ix<br />
i<br />
iz<br />
i<br />
iy<br />
i<br />
ORz<br />
ORy<br />
ORx<br />
OR<br />
V<br />
x<br />
y<br />
V<br />
x<br />
z<br />
V<br />
y<br />
z<br />
V<br />
x<br />
V<br />
y<br />
V<br />
x<br />
V<br />
z<br />
V<br />
y<br />
V<br />
z<br />
M<br />
M<br />
M<br />
M<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
)<br />
(<br />
β<br />
α<br />
γ<br />
α<br />
γ<br />
β
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8. Invariante scalare e asse centrale<br />
1.8.1. Invariante scalare <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze<br />
Dato un sistema <strong>di</strong> forze (vettori) applicate, il prodotto scalare <strong>del</strong> momento risultan-<br />
te rispetto ad un punto qualsiasi, per la risultante è sempre costante e non <strong>di</strong>pende<br />
dal polo.<br />
I = M OR × R = M O'<br />
R × R = ...... = M AR × R = cost<br />
Si può <strong>di</strong>re cioè che la componente <strong>del</strong> momento risultante secondo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la<br />
risultante non cambia qualsiasi sia il polo scelto. Ricordando infatti la definizione <strong>di</strong><br />
prodotto scalare si ha:<br />
|R|<br />
|MR|<br />
I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos ϕ A = cost<br />
MOR cos ϕ = MO’R cos ϕ‘ =……= MAR cos ϕ A = cost<br />
R<br />
r<br />
O<br />
MORN<br />
71<br />
R<br />
MOR MO’R<br />
ϕ ϕ’<br />
MR MR<br />
M ≠<br />
r<br />
O’<br />
ORN ≠ M O'<br />
RN M ARN<br />
MO’RN<br />
Asse Centrale<br />
R<br />
r<br />
A ϕ = 0<br />
I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos 0° = cost<br />
Si consideri un sistema <strong>di</strong> n forze applicate V i . La risultante <strong>del</strong> sistema è:<br />
R =<br />
n<br />
∑ V i<br />
i=<br />
1<br />
A<br />
MR = MAR<br />
MARN = 0
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
P1<br />
V1<br />
x<br />
O<br />
z<br />
Vn<br />
V5<br />
V4<br />
Pn<br />
P5<br />
Il momento risultante rispetto al polo O vale:<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
P4<br />
V2<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
Vi<br />
Pi<br />
P2<br />
V3<br />
P3<br />
( P − O)<br />
M OR = M Oi = ∧ V<br />
n<br />
i<br />
y<br />
i<br />
x<br />
72<br />
z<br />
O<br />
R<br />
ϕ<br />
MOR<br />
O’<br />
MOR = MO’R<br />
Assumendo un altro polo O’ e operando la riduzione (trasporto <strong>di</strong> tutte le forze in O’), la<br />
risultante R non cambia mentre varia il momento risultante M O'<br />
R poiché cambiano i<br />
momenti <strong>di</strong> trasporto <strong>del</strong>le forze:<br />
M<br />
n<br />
O'R = ∑M<br />
O'i<br />
n<br />
= ∑(<br />
Pi<br />
− O'<br />
) ∧V<br />
i<br />
i=<br />
1<br />
i=<br />
1<br />
Tuttavia, ricordando l’espressione <strong>del</strong> momento per il cambio <strong>di</strong> polo, si può scrivere:<br />
( O − O ) R<br />
M ' R = M OR + '<br />
O ∧<br />
M OR è il momento risultante rispetto ad O, mentre ( O O ) ∧ R<br />
<strong>di</strong> trasporto <strong>di</strong> R da O ad O’.<br />
Moltiplicando scalarmente M O'<br />
R per R risulta:<br />
R<br />
ϕ’<br />
MO’R<br />
− ' rappresenta il momento<br />
[ R]<br />
( M OR + ( O − O')<br />
∧ R)<br />
= R × M + R × ( O − O )<br />
R × M ' R = R ×<br />
OR<br />
'<br />
Il prodotto misto ( O − O )<br />
O ∧<br />
[ R]<br />
R × ' ∧ è nullo poiché, i tre vettori sono complanari. Di ciò<br />
si ha conferma operando separatamente i prodotti scalare e vettoriale. Per la definizione<br />
<strong>di</strong> prodotto vettoriale, il vettore ( O O ) ∧ R<br />
lare tra due vettori perpen<strong>di</strong>colari è nullo. Pertanto risulta<br />
R<br />
− ' è perpen<strong>di</strong>colare ad R , ma il prodotto sca-<br />
× M O' R = R × M OR =<br />
invariante<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Si osservi che il momento risultante <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze nello spazio, rispetto a qual-<br />
siasi polo O, O', O'' … può essere visto come la somma vettoriale <strong>di</strong> una componente<br />
M R secondo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la risultante, che è invariante, e <strong>di</strong> una componente M ORN<br />
perpen<strong>di</strong>colare alla retta d’azione <strong>del</strong>la risultante. Questa seconda componente è varia-<br />
bile al cambiare <strong>del</strong> polo.<br />
M +<br />
OR = M R M ORN<br />
INVARIANTE VARIABILE (<strong>di</strong>pende dal polo)<br />
L’invariante scalare I = MOR ·R · cos ϕ può assumere i seguenti valori:<br />
• I ≠ 0. Sistema spaziale <strong>di</strong> vettori. Nel caso più generale M OR ed R sono obliqui.<br />
Come caso particolare M OR ed R sono paralleli.<br />
• I = 0. Tale situazione si verifica nei seguenti casi<br />
1. M OR ed R sono perpen<strong>di</strong>colari. Ciò accade per i sistemi <strong>di</strong> vettori appli-<br />
cati complanari e per i sistemi spaziali <strong>di</strong> vettori concorrenti in un punto,<br />
proprio o improprio (vettori paralleli). Per questi sistemi <strong>di</strong> vettori vale il<br />
teorema <strong>di</strong> Varignon;<br />
2. M OR = 0 ed R = 0 . Il sistema è equilibrato;<br />
3. M OR ≠ 0 ed R = 0 . Il sistema è costituito da una coppia <strong>di</strong> vettori;<br />
4. M OR = 0 ed R ≠ 0 . Questo caso non è altro che il primo, quando il po-<br />
lo O rispetto al quale si sta calcolando il momento appartiene a una retta<br />
particolare detta asse centrale.<br />
73
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8.2. Asse centrale<br />
1.8.2.1.Asse centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze. Concetti preliminari<br />
Innanzitutto vengono ricordati alcuni concetti fondamentali.<br />
Considerando il caso più generale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze comunque <strong>di</strong>sposte nello spa-<br />
zio, la riduzione <strong>del</strong> sistema rispetto ad un punto O è intesa come l’insieme <strong>di</strong> operazio-<br />
ni necessarie per trovare un vettore risultante <strong>del</strong>le forze R ed un vettore momento ri-<br />
sultante M OR tali da costituire un sistema equivalente all’originario.<br />
La risultante è in<strong>di</strong>pendente dal polo <strong>di</strong> riduzione scelto. Mentre intensità, <strong>di</strong>rezione e<br />
verso <strong>del</strong> momento risultante (coppia) <strong>di</strong>pendono dal punto <strong>di</strong> riduzione.<br />
L’asse centrale è una retta rispetto ai cui punti la riduzione <strong>del</strong> sistema assume caratteri-<br />
stiche particolari. Infatti l’asse centrale è il luogo geometrico dei punti allineati ri-<br />
spetto ai quali il sistema <strong>di</strong> forze dato si riduce ad un risultante <strong>di</strong> forza più una<br />
coppia risultante che giace su un piano ortogonale alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la risultante.<br />
Quin<strong>di</strong> sull’asse centrale il vettore risultante e il vettore momento risultante sono paral-<br />
leli: R || M OR .<br />
R<br />
x<br />
z<br />
MOR<br />
O<br />
R<br />
74<br />
MR<br />
A<br />
A: punto generico<br />
<strong>del</strong>l’asse centrale<br />
asse centrale<br />
Il modulo <strong>del</strong> vettore momento risultante calcolato rispetto a un punto <strong>del</strong>l’asse centrale<br />
<strong>di</strong>viene minimo per un generico sistema spaziale <strong>di</strong> vettori, nullo se i vettori concorro-<br />
no in punto proprio o improprio o se sono complanari.<br />
Considerando i punti <strong>del</strong>l’asse centrale il sistema viene ridotto a due vettori paralleli.<br />
Tale riduzione è possibile solo se l’invariante scalare è <strong>di</strong>verso da zero. Se l’invariante<br />
scalare è nullo si ricade in casi particolari che verranno stu<strong>di</strong>ati nel seguito.<br />
y
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1.8.3. Legame tra invariante scalare e asse centrale<br />
Dall’espressione <strong>del</strong>l’invariante scalare I = M OR × R <strong>di</strong>scende che la componente M R<br />
<strong>del</strong> momento risultante secondo la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la risultante <strong>del</strong>le forze è sempre costan-<br />
te qualsiasi sia il polo <strong>di</strong> riduzione scelto. A partire da questa considerazione e dalla<br />
stessa definizione <strong>del</strong>l’invariante scalare si può stabilire il legame esistente tra valore<br />
<strong>del</strong>l’invariante scalare e caratteristiche <strong>del</strong>l’asse centrale.<br />
a) Se I ≠ 0 MOR ·R · cos ϕ ≠ 0 cos ϕ ≠ 0 ϕ ≠ π/2<br />
i vettori M OR e R non sono perpen<strong>di</strong>colari ma obliqui (o paralleli se il polo ap-<br />
partiene all’asse centrale). Questa situazione corrisponde al caso più generale <strong>di</strong> for-<br />
ze spaziali comunque <strong>di</strong>sposte.<br />
La riduzione <strong>del</strong> sistema ad un punto <strong>del</strong>l’asse centrale fornisce la risultante <strong>del</strong>le<br />
forze R ed il vettore momento risultante M OR (somma <strong>del</strong>le coppie <strong>di</strong> trasporto)<br />
parallelo ad R . Inoltre il modulo <strong>del</strong> momento risultante <strong>di</strong>viene minimo.<br />
b) Se I = 0<br />
MOR ·R · cos ϕ = 0<br />
cos ϕ = 0 ϕ = π/2 M OR e R sono perpen<strong>di</strong>colari<br />
R = 0 coppia<br />
Se nella riduzione ad un generico punto O, il vettore momento risultante M OR risul-<br />
ta ortogonale al risultante R , l’invariante scalare è nullo. È cioè nulla la componen-<br />
te <strong>del</strong> momento risultante secondo la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R .<br />
MOR<br />
R<br />
ϕ = 90°<br />
x<br />
z<br />
O<br />
R<br />
75<br />
A<br />
y<br />
asse centrale<br />
MOR R<br />
I = 0
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x<br />
x<br />
In tale situazione, se si effettua la riduzione rispetto ad un qualsiasi punto <strong>del</strong>l’asse<br />
centrale, il sistema si riduce al solo risultante R che agisce lungo l’asse centrale.<br />
L’asse centrale può essere identificato con la retta d’azione <strong>del</strong>la risultante <strong>del</strong> si-<br />
stema (l’asse centrale in<strong>di</strong>vidua la posizione <strong>del</strong>la risultante <strong>del</strong>le forze).<br />
L’ortogonalità tra M OR e R si verifica nei seguenti casi:<br />
b.1) Sistemi <strong>di</strong> forze complanari (nello spazio tutte le forze sono con<strong>tenute</strong> in un pi-<br />
ano). A questo caso sono riconducibili i sistemi piani <strong>di</strong> forze.<br />
z<br />
piano contenente<br />
le forze<br />
MOR R<br />
I = 0<br />
b.2) Sistemi spaziali <strong>di</strong> forze parallele<br />
z<br />
O<br />
y<br />
MOR<br />
I = 0<br />
y<br />
R<br />
76<br />
x<br />
y<br />
z<br />
O<br />
corpo rigido piano<br />
y<br />
x
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b.3) Sistemi spaziali <strong>di</strong> forze concorrenti<br />
MOR<br />
I = 0<br />
R<br />
x<br />
z<br />
O<br />
77<br />
P<br />
y
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1.8.4. Asse centrale. Sistemi piani <strong>di</strong> forze<br />
1.8.4.1.Introduzione<br />
L’analisi e la riduzione dei sistemi <strong>di</strong> forze spaziali frequentemente risultano complesse,<br />
ma tali <strong>di</strong>fficoltà <strong>di</strong>minuiscono notevolmente quando le forze appartengono tutte ad uno<br />
stesso piano.<br />
Quasi tutte le costruzioni si configurano tri<strong>di</strong>mensionalmente, tuttavia in numerose si-<br />
tuazioni è possibile ricondurre l’insieme strutturale ad una serie organizzata <strong>di</strong> strutture<br />
piane a cui vengono assegnate funzioni portanti precise ma compatibili con il compor-<br />
tamento <strong>del</strong>l’intera costruzione.<br />
Quando è possibile ipotizzare che le forze applicate su <strong>di</strong> una struttura (o su parte <strong>di</strong> es-<br />
sa) agiscono tutte in un medesimo piano, la risoluzione dei problemi <strong>del</strong>la statica può<br />
essere realizzata agevolmente sia in modo analitico che grafico. Tuttavia questa astra-<br />
zione, che implica significative semplificazioni operative, deve essere meccanicamente<br />
lecita e adeguata a garantire la sicurezza.<br />
Da quanto detto si desume che lo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le riduzioni dei sistemi piani <strong>di</strong> forze e la de-<br />
terminazione dei corrispondenti assi centrali risulta <strong>di</strong> grande interesse per la risoluzione<br />
<strong>di</strong> un vasto numero <strong>di</strong> problemi.<br />
y<br />
trave<br />
corpo rigido piano<br />
x<br />
78<br />
sistema reticolare<br />
arco a tre cerniere
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1.8.4.2.Asse Centrale <strong>di</strong> sistemi piani. Riduzione al solo Risultante<br />
Come detto, per i sistemi piani <strong>di</strong> forze è possibile ridurre il sistema al solo risultante. Si<br />
consideri un corpo rigido bi<strong>di</strong>mensionale a cui è applicato un sistema <strong>di</strong> forze compla-<br />
nari F 1 , F 2 , F 3 e F 4 , giacenti sul piano <strong>del</strong>la figura (Fig. a).<br />
y<br />
F1<br />
O<br />
F2<br />
Figura a) Sistema dato <strong>di</strong> forze complanari<br />
F3<br />
F4<br />
x<br />
79<br />
R<br />
F1<br />
F2<br />
Il poligono <strong>del</strong>le forze è<br />
aperto quin<strong>di</strong> il risultante è<br />
<strong>di</strong>verso da zero<br />
Il sistema dato può essere ridotto al polo O. La risultante R <strong>del</strong>le forze è complanare al<br />
sistema <strong>di</strong> forze dato. I vettori momenti <strong>di</strong> trasporto corrispondenti a ciascuna <strong>del</strong>le for-<br />
ze sono tutti perpen<strong>di</strong>colari al piano e quin<strong>di</strong> anche il momento risultante M OR è orto-<br />
gonale al piano <strong>del</strong>le forze (la coppia risultante giace nel piano).<br />
Il sistema dato è stato ridotto al risultante R applicato in O e al momento risultante<br />
4<br />
M OR (Fig. b) = ∑ F i<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
∑<br />
R M = M Oi = ( P − O)<br />
y<br />
O<br />
R<br />
4<br />
OR ∧ F<br />
MOR<br />
4<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
Figura b) Riduzione al polo O<br />
x<br />
i<br />
i<br />
R = Σ Fi<br />
F4<br />
MOR = Σ MOi<br />
MOR<br />
I = 0<br />
R<br />
F3
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Essendo R ortogonale ad M OR , l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0<br />
Il sistema è riconducibile al solo risultante R . Infatti, traslando la risultante ortogonal-<br />
mente alla sua <strong>di</strong>rezione si raggiunge una posizione in cui il momento risultante è nullo<br />
(Fig. c). Tale posizione corrisponde all’asse centrale <strong>del</strong> sistema dato, che si identifica<br />
con la retta d’azione <strong>del</strong>la risultante.<br />
y<br />
O<br />
d<br />
Figura c) Riduzione ad una sola forza applicata lungo l’asse centrale<br />
A<br />
R<br />
A: punto generico<br />
<strong>del</strong>l’asse centrale<br />
x<br />
d = MOR / R<br />
l’asse centrale ha la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R<br />
asse centrale<br />
80<br />
- R<br />
y<br />
O<br />
R<br />
A<br />
Trasporto <strong>di</strong> R applicata in A all’<br />
origine O: R applicata in A e -R<br />
applicata in O costituiscono la<br />
coppia MOR<br />
Il sistema dato è così stato ridotto alla minima espressione (una sola forza che agisce<br />
lungo l’asse centrale). La <strong>di</strong>stanza fra l’asse centrale ed il polo O è data dalla relazio-<br />
M<br />
ne: d =<br />
R<br />
OR<br />
La risultante considerato applicato in un punto qualsiasi <strong>del</strong>l’asse centrale provoca sul<br />
corpo rigido gli stessi effetti meccanici causati dal sistema <strong>di</strong> forze dato. Cioè: un siste-<br />
ma piano <strong>di</strong> forze con risultante non nullo è equivalente al solo vettore risultante appli-<br />
cato lungo l’asse centrale.<br />
Stabilita l’esistenza <strong>del</strong>l’asse centrale <strong>di</strong> un sistema piano <strong>di</strong> forze applicate, si possono<br />
rilevare le seguenti osservazioni:<br />
• L’asse centrale ha sempre la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la risultante <strong>del</strong>le forze R .<br />
• Dato un sistema piano <strong>di</strong> forze applicate, è nullo il momento risultante M AR rispetto<br />
ad un punto qualsiasi A appartenente all’asse centrale: M AR = 0 . Infatti, essendo<br />
R<br />
x
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nullo il momento <strong>del</strong>la risultante rispetto ad un punto <strong>del</strong>la propria retta d’azione,<br />
deve essere nullo anche il momento risultante <strong>del</strong> sistema (somma dei momenti <strong>del</strong>le<br />
singole forze applicate) rispetto a quel punto.<br />
• La posizione nel piano <strong>del</strong>la risultante R <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze complanari può es-<br />
sere determinata ricercando l’asse centrale sia in modo analitico che grafico (poli-<br />
gono funicolare).<br />
• Se la risultante è nullo ( R = 0 ) ma non è nullo il momento risultante ( M OR ≠ 0 ) il<br />
sistema si riduce ad una coppia. In tale caso l’asse centrale non esiste.<br />
• In un sistema equilibrato ( M OR = 0 ed R = 0 ) l’asse centrale non esiste. Tutta-<br />
via è possibile <strong>di</strong>stinguere l’asse centrale <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze attive e l’asse centrale<br />
<strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze reattive, i due assi devono essere coincidenti.<br />
RO<br />
P1<br />
R R<br />
R A<br />
asse centrale forze attive P1 e P2<br />
RB<br />
81<br />
P2<br />
asse centrale forze reattive RO e RB<br />
Sistema equilibrato:<br />
R A = -R R<br />
assi centrali coincidenti
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1.8.4.3.Equazione <strong>del</strong>l’Asse Centrale per i sistemi piani <strong>di</strong> forze<br />
Un sistema piano <strong>di</strong> forze è equivalente al risultante R posto sull’asse centrale. Sia A<br />
(xA, yA) un punto generico <strong>del</strong>l’asse centrale in cui si considera applicato la risultante.<br />
Scomponendo la risultante secondo le <strong>di</strong>rezioni degli assi, R x e R y sostituiscono R<br />
= R x R y con x = ∑ Fxi<br />
R +<br />
y<br />
O<br />
A (xA, yA)<br />
asse centrale<br />
R<br />
x<br />
R R y ∑ F<br />
82<br />
= yi<br />
y<br />
yA<br />
asse centrale<br />
Ry<br />
A<br />
Rx<br />
xA<br />
O x<br />
La somma dei momenti, rispetto ad O, <strong>del</strong>le componenti <strong>del</strong>la risultante deve essere u-<br />
guale al momento risultante <strong>del</strong> sistema dato (equivalenza dei sistemi), quin<strong>di</strong>:<br />
MOR = Ry · xA - Rx · yA<br />
Espressione che può scriversi:<br />
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 equazione <strong>del</strong>l’asse centrale nel piano<br />
La precedente equazione <strong>di</strong> una retta rappresenta la con<strong>di</strong>zione che devono sod<strong>di</strong>sfare le<br />
coor<strong>di</strong>nate xA e yA dei punti appartenenti all’asse centrale (retta d’azione <strong>del</strong>la risultan-<br />
te) <strong>di</strong> un sistema piano.<br />
E’ possibile determinare le coor<strong>di</strong>nate xA * e yA * corrispondenti alle intersezioni <strong>del</strong>l’asse<br />
centrale con gli assi cartesiani x e y:<br />
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0<br />
Punto A1 (xA * , 0) - Ry · xA * + MOR = 0 <br />
Punto A2 (0, yA * ) Rx · yA * + MOR = 0 <br />
* M<br />
x A =<br />
R<br />
OR<br />
y<br />
*<br />
M<br />
y A = −<br />
R<br />
OR<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
y<br />
Ry<br />
O<br />
MOR<br />
Rx<br />
x<br />
y<br />
y*A<br />
y<br />
Ry<br />
A1<br />
x*A<br />
83<br />
x*A<br />
asse<br />
centrale<br />
Rx<br />
x<br />
x<br />
asse centrale<br />
y*A<br />
A2<br />
asse<br />
centrale<br />
E’ possibile determinare <strong>di</strong>rettamente le coor<strong>di</strong>nate xA * e yA * considerando che la coppia<br />
risultante MOR deve essere:<br />
- uguale al momento rispetto ad O <strong>del</strong>la componente R y quando R è applicato in<br />
A1 (xA * , 0) MOR = Ry · xA *<br />
- uguale al momento rispetto ad O <strong>del</strong>la componente R x quando R è applicato in<br />
A2 (0, yA * ) MOR = - Rx · yA *<br />
y<br />
Ry<br />
Rx<br />
x
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1.8.4.4.Sistemi piani <strong>di</strong> vettori (o forze). Deduzione vettoriale <strong>del</strong>l’Asse Cen-<br />
trale<br />
Si consideri un sistema piano <strong>di</strong> vettori V i applicati nei punti Pi (xi, yi).<br />
y<br />
O<br />
P2 (x2, y2)<br />
Pi (xi, yi)<br />
84<br />
V2<br />
Vi V1<br />
P1 (x1, y1)<br />
Trattandosi <strong>di</strong> un sistema piano M OR⊥ R (il momento risultante rispetto all’origine ri-<br />
sulta perpen<strong>di</strong>colare al risultante), quin<strong>di</strong> l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0<br />
Il momento risultante M AR rispetto ad qualsiasi punto <strong>del</strong>l’asse centrale è nullo. Sia A<br />
(xA, yA) un punto generico <strong>del</strong>l’asse centrale. Considerando l’espressione <strong>del</strong>la trasposi-<br />
zione <strong>del</strong> polo, risulta:<br />
M OR<br />
( O − A)<br />
∧ = 0<br />
AR = M + R equazione vettoriale <strong>del</strong>l’asse centrale<br />
∑ ∑ ∑<br />
= =<br />
=<br />
⎭ ⎬⎫<br />
n<br />
n<br />
n<br />
xi<br />
i<br />
i i ⎨<br />
V<br />
i 1 i 1<br />
i 1<br />
yi<br />
dove M OR = MOi<br />
= ( P − O)<br />
∧ Vi<br />
= { − y x }<br />
Utilizzando l’espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto vettoriale applicata al caso piano e te-<br />
nendo presente che ( O − A)<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
( O − A)<br />
∧ R = { y − x }<br />
A<br />
⎧0<br />
− xA<br />
⎫ ⎧−<br />
x A ⎫<br />
= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ si ha:<br />
⎩0<br />
− y A ⎭ ⎩−<br />
y A ⎭<br />
A<br />
⎧Rx<br />
⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩R<br />
y ⎭<br />
⎧V<br />
⎧Rx<br />
⎫<br />
M AR = M OR + { y A − xA}<br />
⎨ ⎬ = 0 M OR + y A ⋅ Rx<br />
− xA<br />
⋅ Ry<br />
= 0<br />
⎩Ry<br />
⎭<br />
che è l’equazione cartesiana <strong>del</strong>l’asse centrale precedentemente trovata.<br />
⎩<br />
x
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Esercizio: Asse Centrale nel piano<br />
Dati i vettori:<br />
⎧2⎫<br />
V 1 = ⎨ ⎬ applicato in P1 = (2, 1)<br />
⎩2⎭<br />
⎧−1⎫<br />
V 2 = ⎨ ⎬ applicato in P2 = (1, 3)<br />
⎩ 1 ⎭<br />
y<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
O<br />
V2<br />
P2 (1, 3)<br />
determinare l’asse centrale <strong>del</strong> sistema.<br />
R = V<br />
M<br />
M<br />
1<br />
+ V<br />
2<br />
P1 (2, 1)<br />
1 2 3<br />
⎧2⎫<br />
⎧−1⎫<br />
⎧1⎫<br />
= ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬<br />
⎩2⎭<br />
⎩ 1 ⎭ ⎩3⎭<br />
⎧V<br />
⎧2⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩2⎭<br />
x1<br />
{ − y x } = { −1<br />
2}<br />
{ 2}<br />
O1<br />
= 1 1 ⎨ ⎬<br />
=<br />
Vy1<br />
⎩<br />
⎧V<br />
⎫<br />
⎭<br />
⎧−1⎫<br />
⎨ ⎬<br />
⎩ 1 ⎭<br />
85<br />
4<br />
V1<br />
x2<br />
{ − y x } = { − 3 1}<br />
{ 4}<br />
O2<br />
= 2 2 ⎨ ⎬<br />
=<br />
Vy<br />
2<br />
⎩<br />
{ 2 } + { 4}<br />
= { 6}<br />
M OR =<br />
M = 6<br />
MAR = Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0<br />
⎫<br />
⎭<br />
yA - 3 · xA + 6 = 0 equazione <strong>del</strong>l’asse centrale<br />
Intersezioni con gli assi cartesiani:<br />
punto A1 (xA * , 0) sostituendo: - 3 · xA * + 6 = 0 xA * = 2<br />
punto A2 (0, yA * ) sostituendo: y A * + 6 = 0 yA * = -6<br />
OR<br />
5<br />
x
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y<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
O<br />
-1<br />
-2<br />
-3<br />
-4<br />
-5<br />
-6<br />
V2<br />
P2<br />
P1<br />
Q<br />
1 2 3<br />
y*A<br />
x*A<br />
86<br />
V1<br />
4<br />
asse centrale<br />
Si noti che il punto Q <strong>di</strong> intersezione tra le rette d’azione <strong>di</strong> V 1 e V 2 sod<strong>di</strong>sfa<br />
l’equazione <strong>del</strong>l’asse centrale:<br />
retta d’azione <strong>di</strong> V 1<br />
retta d’azione <strong>di</strong> V 2<br />
punto <strong>di</strong> intersezione Q (5/2, 3/2)<br />
x − P y − P<br />
x<br />
y x − 2 y −1<br />
= → =<br />
V V<br />
2 2<br />
x<br />
x −1 y − 3<br />
=<br />
−1<br />
1<br />
y<br />
5<br />
y = - x + 4<br />
x<br />
y = x – 1<br />
che sod<strong>di</strong>sfa l’equazione <strong>del</strong>l’asse centrale yA - 3 · xA + 6 = 0 3/2 - 3 ·5/2 + 6 = 0<br />
Dati due vettori non paralleli nel piano, l’asse centrale deve sempre passare per<br />
l’intersezione <strong>del</strong>le loro rette d’azione. In tale punto il momento risultante è nullo (poi-<br />
ché sono nulli i bracci dei due vettori), quin<strong>di</strong> anche la retta d’azione <strong>del</strong>la risultante do-<br />
vrà passare per quel punto.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Esercizio: Asse Centrale <strong>di</strong> una trave <strong>di</strong> fondazione<br />
Si consideri una trave rigida <strong>di</strong> fondazione soggetta ai carichi trasmessi dai pilastri, co-<br />
me in<strong>di</strong>cato in figura. Si richiede <strong>di</strong>:<br />
a) Ridurre al polo O il sistema <strong>di</strong> forze applicate<br />
b) Determinare la posizione <strong>del</strong>la retta <strong>di</strong> azione <strong>del</strong>la risultante dei carichi (asse cen-<br />
trale)<br />
c) Definire la lunghezza totale <strong>del</strong>la trave in modo da produrre tensioni uniformi nel<br />
terreno.<br />
a) Riduzione al polo O <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze applicate<br />
La trave in c.a. è intesa come corpo rigido. I carichi dei pilastri costituiscono un sistema<br />
piano <strong>di</strong> forze parallele.<br />
Struttura data<br />
Rappresentazione<br />
vettoriale<br />
300<br />
y<br />
- 300 j<br />
P1<br />
500<br />
P2<br />
3 m 3 m 4 m<br />
- 500 j<br />
87<br />
400<br />
P3<br />
- 400 j<br />
O B C<br />
D<br />
3 m 3 m 4 m<br />
R = ∑ Pi<br />
= −300<br />
j − 500 j − 400 j − 600 j = −1800<br />
j <br />
M Oi<br />
( − 500 j)<br />
+ 6i<br />
∧ ( − 400 j)<br />
+ 10i<br />
∧ ( j)<br />
OR = ∑<br />
M = 3i ∧<br />
− 600<br />
P4<br />
600 kN<br />
- 600 j<br />
⎧ 0 ⎫<br />
R = ⎨ ⎬<br />
⎩−1800⎭<br />
x
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M OR = −1500k<br />
− 2400k<br />
− 6000k<br />
= −9900k<br />
MOR = - 9900<br />
y<br />
O<br />
R = - 1800 j<br />
MOR = - 9900 k<br />
b) Determinazione <strong>del</strong>l’Asse Centrale<br />
B<br />
Applicando l’equazione cartesiana <strong>del</strong>l’asse centrale nel piano:<br />
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0<br />
1800 · xA - 9900 = 0 retta verticale<br />
xA = 5.5 m<br />
Applicando l’equazione vettoriale <strong>del</strong>l’asse centrale:<br />
M AR OR<br />
( O − A)<br />
∧ = 0<br />
= M + R<br />
C<br />
L’asse centrale deve essere parallelo ad R, quin<strong>di</strong> è verticale. Si sceglie come<br />
punto A <strong>del</strong>l’asse centrale quello <strong>di</strong> intersezione con l’asse x ( − A)<br />
= −x<br />
i<br />
( − x i)<br />
∧ ( −1800<br />
j)<br />
= −9900k<br />
+ 1800x<br />
0<br />
M AR<br />
A<br />
A<br />
= −9900<br />
k +<br />
k =<br />
− A<br />
9900 + 1800x<br />
= 0 xA = 5.5 m<br />
y<br />
O<br />
B<br />
xA = 5.5 m<br />
R 1800 kN<br />
A<br />
C<br />
88<br />
D<br />
D<br />
asse centrale<br />
x<br />
O A<br />
x
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c) Dimensioni <strong>del</strong>la trave.<br />
Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave <strong>di</strong> fondazione deve essere cen-<br />
trata rispetto ad R.<br />
asse centrale<br />
0.7 3 3 4 1.7<br />
5.5 m<br />
6.2 m 6.2 m<br />
89<br />
pilastro<br />
σt = tensione<br />
sul terreno<br />
trave <strong>di</strong><br />
fondazione<br />
fonadazione
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Esercizio: Asse Centrale <strong>di</strong> forze parallele complanari<br />
Con riferimento al sistema <strong>di</strong> vettori in<strong>di</strong>cato in figura, determinare l’asse centrale.<br />
y<br />
O<br />
2<br />
V1<br />
A<br />
- 480<br />
- 800<br />
90<br />
V2<br />
V3<br />
B C<br />
5.5 m 4 3<br />
⎧ 0 ⎫<br />
V 1 = ⎨ ⎬ applicato nel punto A (2, 0)<br />
⎩−<br />
480⎭<br />
⎧ 0 ⎫<br />
V 2 = ⎨ ⎬ applicato nel punto B (7.5, 0)<br />
⎩−<br />
800⎭<br />
⎧ 0 ⎫<br />
V 3 = ⎨ ⎬ applicato nel punto C (11.5, 0)<br />
⎩−<br />
500⎭<br />
⎧ 0 ⎫<br />
V 4 = ⎨ ⎬ applicato nel punto D (14.5, 0)<br />
⎩−<br />
400⎭<br />
⎧Rx<br />
⎫ ⎧ 0 + 0 + 0 + 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫<br />
R = ⎨ ⎬ = ⎨<br />
⎬ = ⎨ ⎬<br />
⎩Ry<br />
⎭ ⎩−<br />
480 −800<br />
− 500 − 400⎭<br />
⎩−<br />
2180⎭<br />
M +<br />
OR = M O1<br />
+ M O2<br />
+ M O3<br />
M O4<br />
( A − O)<br />
1<br />
M O ∧<br />
1 = V<br />
Utilizzando il determinante simbolico si ha:<br />
i<br />
j<br />
M O1 = 2 0 0 = −960k<br />
0<br />
− 480<br />
k<br />
0<br />
Analogamente per gli altri vettori si ha:<br />
V4<br />
- 500 - 400 kN<br />
D<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
i<br />
j<br />
M O2 = 7.<br />
5 0 0 = −6000k<br />
MO3 =<br />
0<br />
i<br />
11.<br />
5<br />
0<br />
i<br />
−800<br />
j<br />
0<br />
− 500<br />
j<br />
k<br />
0<br />
k<br />
0 = −5750k<br />
M O4 = 14.<br />
5 0 0 = −5800k<br />
0<br />
− 400<br />
0<br />
k<br />
0<br />
⎧ 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
M OR = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ = −18510k<br />
MOR = -18510<br />
⎪M<br />
⎪ ⎪<br />
ORx 18510⎪<br />
⎩ ⎭ ⎩−<br />
⎭<br />
L’equazione cartesiana <strong>del</strong>l’asse centrale nel piano vale:<br />
Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 - 2180 xA + 18510 = 0<br />
L’equazione trovata per asse centrale rappresenta una retta verticale che <strong>di</strong>sta dall’asse y<br />
<strong>del</strong>la quantità xA = 18510/2180 = 8.49 m<br />
y<br />
O<br />
V1<br />
A<br />
x*A = 8.49 m<br />
91<br />
V2<br />
R<br />
V3<br />
B C<br />
asse centrale<br />
La posizione <strong>del</strong>l’asse centrale coincide ovviamente con la posizione <strong>del</strong>la risultante de-<br />
terminata precedentemente tramite il teorema <strong>di</strong> Varignon (ve<strong>di</strong> esercizio <strong>di</strong> applicazio-<br />
ne <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Varignon).<br />
V4<br />
D<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8.5. Asse centrale. Sistemi <strong>di</strong> forze nello spazio<br />
1.8.5.1.Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze parallele<br />
Si ipotizzi <strong>di</strong> avere un sistema <strong>di</strong> forze parallele all’asse z: la risultante <strong>del</strong> sistema sarà<br />
anch’esso parallelo a detto asse.<br />
Poiché il vettore M Oi <strong>del</strong>la forza F i è ortogonale alla forza stessa, il momento rispetto<br />
al polo O <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le forze <strong>del</strong> sistema e la loro somma (momento risultante) gia-<br />
ceranno sul piano xy.<br />
Il sistema ridotto in O è costituito dal risultante R e dal momento risultante M OR che<br />
sono ortogonali fra loro. Quin<strong>di</strong><br />
M OR⊥ R I = M OR × R = 0<br />
Essendo R ≠ 0 il sistema può essere ridotto alla sola forza risultante.<br />
x<br />
F1<br />
F5<br />
z<br />
O<br />
F4<br />
F2<br />
F3<br />
y<br />
x<br />
x<br />
R<br />
MORx<br />
z<br />
O<br />
z<br />
R<br />
O<br />
92<br />
MOR<br />
y<br />
MOR<br />
x<br />
MORy<br />
xA<br />
z<br />
O<br />
y<br />
R<br />
yA<br />
y<br />
asse centrale
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
La riduzione <strong>del</strong> sistema alla sola forza R può effettuarsi traslando R ad un punto A <strong>di</strong><br />
coor<strong>di</strong>nate (xA, yA, 0) in modo tale che il momento <strong>di</strong> R applicato in A rispetto ad O sia<br />
uguale a M OR :<br />
( A − O)<br />
R<br />
M OR = ∧<br />
tale equazione esprime l’uguaglianza tra momento risultante e momento <strong>del</strong>la risultante<br />
rispetto al polo O, e quin<strong>di</strong> l’uguaglianza <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> forze dato con il solo risultante<br />
applicato in A.<br />
Le componenti <strong>di</strong> ( A − O)<br />
sono<br />
( A − O)<br />
x = xA<br />
( A − O)<br />
= y A<br />
y<br />
sviluppando il prodotto vettoriale si ottiene:<br />
i<br />
j<br />
( A − O)<br />
∧ R = x y 0 = y Ri<br />
x R j<br />
M OR =<br />
A A<br />
A − A<br />
M<br />
M<br />
ORx<br />
ORy<br />
0<br />
M ORx<br />
= y AR<br />
→ y A =<br />
R<br />
M<br />
= −x<br />
AR<br />
→ xA<br />
= −<br />
R<br />
0<br />
ORy<br />
k<br />
R<br />
Sono così state dedotte le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto A appartenente all’asse centrale, la cui<br />
<strong>di</strong>rezione è nota in quanto deve essere la stessa <strong>del</strong>la risultante (in questo esempio: ver-<br />
ticale). Pertanto l’asse centrale risulta completamente definito: una retta verticale che<br />
interseca il piano xy nel punto A <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate:<br />
M<br />
xA<br />
= −<br />
R<br />
M ORx y A =<br />
R<br />
z = 0<br />
A<br />
ORy<br />
93
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8.5.2.Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze comunque <strong>di</strong>sposte nello spazio<br />
Nel caso più generale <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze comunque <strong>di</strong>sposte nello spazio l’invariante<br />
scalare è <strong>di</strong>verso da 0<br />
I = M OR × R ≠ 0<br />
Si ricor<strong>di</strong> che la componente <strong>del</strong> vettore momento risultante M OR nella <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la<br />
risultante R è costante qualsiasi sia il polo scelto per la riduzione (l’invariante scalare è<br />
costante).<br />
Si consideri una sistema <strong>di</strong> n vettori V i non complanari. La riduzione <strong>del</strong> sistema forni-<br />
sce la risultante R e il momento risultante M OR<br />
⎧V<br />
⎪<br />
= ⎨V<br />
⎪<br />
⎩V<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
V i<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
applicati nei punti Pi = ( xi, yi, zi)<br />
n<br />
R = ∑ V i<br />
i=<br />
1<br />
M<br />
M<br />
Oi<br />
=<br />
( P − O)<br />
n<br />
OR = ∑ M Oi<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
∧V<br />
i<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
zi<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
i<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
i<br />
i<br />
yi<br />
⎤⎧V<br />
⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
i ⎥⎨V<br />
0 ⎥⎪<br />
⎦⎩V<br />
Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0 , i vettori R e M OR non ri-<br />
sultano perpen<strong>di</strong>colari.<br />
R<br />
x<br />
z<br />
MOR<br />
O<br />
R<br />
A<br />
MR<br />
asse centrale<br />
y<br />
94<br />
x<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
z<br />
Vi<br />
V1<br />
V4<br />
V3<br />
V2<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Il vettore M OR (momento risultante rispetto al polo O) può essere decomposto in due<br />
componenti, una parallela ad R e l’altra perpen<strong>di</strong>colare:<br />
- M R parallelo ad R (componente invariante) non cambia al variare <strong>del</strong> polo O;<br />
- M ORN ortogonale alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R , varia cambiando il polo <strong>di</strong> riduzione.<br />
Traslando la retta d’azione <strong>di</strong> R parallelamente a sé stessa, esisterà una posizione nella<br />
quale la componente M ORN (normale alla retta d’azione <strong>di</strong> R ) si annulla. In questa po-<br />
sizione la retta è denominata asse centrale <strong>del</strong> sistema.<br />
Con riferimento ad un punto generico A <strong>del</strong>l’asse centrale il sistema si riduce al risul-<br />
tante e ad un momento risultante M R parallelo alla <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R (il cui modulo è il<br />
minimo possibile).<br />
In altre parole sull’asse centrale il sistema si riduce ad un vettore R più una coppia (<strong>di</strong><br />
momento M R ) che giace su piano ad esso perpen<strong>di</strong>colare.<br />
r<br />
R<br />
r<br />
MR<br />
R<br />
MOR<br />
ϕ<br />
O<br />
r<br />
MR<br />
MORN<br />
95<br />
R<br />
MO’R<br />
ϕ’<br />
O’<br />
MR = MAR<br />
MO’RN<br />
A<br />
MARN = 0<br />
A ϕ = 0<br />
Asse Centrale<br />
1.8.5.3.Ricerca analitica <strong>del</strong>l’Asse Centrale <strong>di</strong> un sistema spaziale<br />
Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0, si può ricavare l’equazione<br />
<strong>del</strong>l’asse centrale nel modo seguente.<br />
Essendo R la risultante <strong>del</strong> sistema ed M OR il momento risultante rispetto all’origine<br />
degli assi cartesiani <strong>di</strong> riferimento, si ha
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
R = Vi<br />
M OR = ∑ M<br />
=<br />
i<br />
n<br />
1<br />
Oi<br />
Sia A (xA, yA, zA) un punto generico <strong>del</strong>l’asse centrale, il momento risultante rispetto ad<br />
A può esprimersi con la formula <strong>di</strong> trasposizione <strong>del</strong> polo:<br />
M = M OR +<br />
( O − A)<br />
R<br />
AR ∧<br />
( O − A)<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
<br />
ARx<br />
ARy<br />
ARz<br />
⎧0<br />
− x<br />
⎪<br />
= ⎨0<br />
− y<br />
⎪<br />
⎩0<br />
− z<br />
⎫ ⎧M<br />
⎪ ⎪<br />
⎬ = ⎨M<br />
⎪ ⎪<br />
⎭ ⎩M<br />
M<br />
M<br />
M<br />
ARx<br />
ARy<br />
ARz<br />
A<br />
A<br />
A<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
= M<br />
= M<br />
= M<br />
⎫ ⎧−<br />
x<br />
⎪ ⎪<br />
⎬ = ⎨−<br />
y<br />
⎪ ⎪<br />
⎭ ⎩−<br />
z<br />
A<br />
A<br />
A<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ +<br />
⎢<br />
− z<br />
⎪<br />
⎭ ⎢⎣<br />
y A<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
+ z<br />
− z<br />
+ y<br />
dove le componenti <strong>di</strong> M OR sono:<br />
M<br />
OR<br />
=<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
M<br />
Oi<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⇒ ⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
A<br />
A<br />
A<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
A<br />
R<br />
R<br />
R<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
y<br />
x<br />
x<br />
z<br />
A<br />
0<br />
− x<br />
− y<br />
+ x<br />
− x<br />
⎫ ⎧<br />
⎪ ⎪<br />
⎬ = ⎨<br />
⎪ ⎪<br />
⎭ ⎩<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
R<br />
R<br />
R<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
z<br />
z<br />
y<br />
M<br />
M<br />
M<br />
− y<br />
x<br />
Oix<br />
Oiy<br />
Oiz<br />
96<br />
A<br />
0<br />
A<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎤⎧R<br />
⎥⎪<br />
⎥⎨R<br />
⎥⎪<br />
⎦⎩R<br />
Se il punto A appartiene all’asse centrale, M AR deve essere parallelo ad R . La con<strong>di</strong>-<br />
zione <strong>di</strong> parallelismo tra due vettori comporta la proporzionalità tra le componenti se-<br />
condo gli assi cartesiani:<br />
M<br />
R<br />
<br />
ARx<br />
x<br />
M<br />
=<br />
R<br />
ARy<br />
y<br />
M<br />
=<br />
R<br />
ARz<br />
M ARx ARy<br />
= e<br />
R<br />
x<br />
M<br />
R<br />
y<br />
z<br />
M ARx =<br />
R<br />
x<br />
Ciascuna <strong>del</strong>le due equazioni rappresenta un piano. La retta d’intersezione dei due piani<br />
è l’asse centrale poiché contiene i punti che sod<strong>di</strong>sfano entrambe le relazioni.<br />
Se l’invariante scalare è nullo, questa deduzione cade in <strong>di</strong>fetto e sono necessarie altre<br />
considerazioni.<br />
M<br />
R<br />
ARz<br />
z<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
x<br />
y<br />
z
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.8.5.4.Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo<br />
I = M OR × R = 0<br />
a) R = 0 il sistema si riduce ad una coppia, non esiste l’asse centrale<br />
b) M OR⊥ R la proiezione <strong>di</strong> M OR sull’asse centrale è nulla: M R = 0<br />
Poiché sull’asse centrale la componente M ARN (perpen<strong>di</strong>colare all’asse) è nulla, se si<br />
annulla anche la componente parallela M R il momento risultante <strong>del</strong> sistema rispetto a<br />
qualsiasi punto <strong>del</strong>l’asse centrale è nullo: M AR = 0. Pertanto, il sistema si riduce al so-<br />
lo vettore risultante sull’asse centrale.<br />
R<br />
z<br />
90°<br />
O<br />
x<br />
Sia A (xA, yA, zA) un punto generico <strong>del</strong>l’asse centrale, applicando la formula <strong>di</strong> traspo-<br />
97<br />
R<br />
MOR<br />
sizione <strong>del</strong> polo, il momento risultante rispetto ad A risulta:<br />
M AR OR<br />
( O − A)<br />
∧ = 0<br />
= M + R<br />
che svolgendo i passaggi come fatto nel precedente paragrafo, fornisce:<br />
M<br />
M<br />
M<br />
ARx<br />
ARy<br />
ARz<br />
= M<br />
= M<br />
= M<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
+ z R − y R = 0<br />
A<br />
A<br />
A<br />
y<br />
− z R + x R = 0<br />
x<br />
+ y R − x R = 0<br />
x<br />
Ponendo zA = 0 in queste equazioni si ottengono le coor<strong>di</strong>nate<br />
( x ,<br />
*<br />
A<br />
*<br />
y A,<br />
0) in cui l’asse interseca il piano xy<br />
A<br />
A<br />
A<br />
z<br />
z<br />
y<br />
A<br />
y<br />
*<br />
x A e<br />
asse centrale<br />
*<br />
y A <strong>del</strong> punto A *
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
M<br />
M<br />
ORx<br />
ORy<br />
− y<br />
+ x<br />
*<br />
A<br />
*<br />
A<br />
Essendo A * ( x ,<br />
*<br />
A<br />
R<br />
R<br />
z<br />
z<br />
= 0 ⇒ y<br />
= 0 ⇒ x<br />
x<br />
*<br />
A<br />
*<br />
A<br />
M<br />
=<br />
R<br />
ORx<br />
z<br />
M<br />
= −<br />
R<br />
x*A<br />
ORy<br />
z<br />
z<br />
98<br />
y*A<br />
y<br />
asse centrale<br />
*<br />
y A,<br />
0) un punto <strong>del</strong>l’asse centrale, e dovendo quest’ultimo essere pa-<br />
rallelo ad R , l’equazione <strong>del</strong>l’asse centrale risulta:<br />
x − x<br />
R<br />
x<br />
*<br />
A<br />
y − y<br />
=<br />
R<br />
y<br />
*<br />
A<br />
z − z<br />
=<br />
R<br />
z<br />
*<br />
A<br />
Nella situazione b) ricade il caso <strong>di</strong> vettori complanari. Infatti, se tutti i vettori apparten-<br />
gono ad uno stesso piano, il momento <strong>di</strong> trasporto <strong>di</strong> ognuno sarà perpen<strong>di</strong>colare a detto<br />
piano perciò M OR sarà anch’esso normale al piano e quin<strong>di</strong> al vettore risultante R .<br />
x<br />
z<br />
π<br />
y<br />
vettori complanari<br />
nel piano π<br />
R<br />
x<br />
z<br />
90°<br />
O<br />
MOR<br />
y<br />
riduzione all’origine<br />
MOR R<br />
Il sistema si riduce al solo vettore R applicato lungo l’asse centrale. L’invariante scala-<br />
re risulta nullo e perciò sono applicabili le precedenti considerazioni sull’asse centrale.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori paralleli nello spazio<br />
Riduzione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> vettori al risultante R più una coppia risultante M O e ricer-<br />
ca <strong>del</strong>l’asse centrale <strong>del</strong> sistema.<br />
Dato un sistema <strong>di</strong> cinque vettori:<br />
V 1 −3.<br />
5k<br />
= applicato in P1 (0; 1)<br />
V 2 −6.<br />
0k<br />
= applicato in P2 (1.5; 0.5)<br />
V 3 −4.<br />
0k<br />
= applicato in P3 (7; 0)<br />
V 4 −7.<br />
5k<br />
= applicato in P4 (4; 3)<br />
V 5 −3.<br />
0k<br />
= applicato in P5 (5; 5)<br />
rappresentanti forze applicate ad un corpo rigido,<br />
(1) ridurre il sistema nell’origine O e<br />
(2) determinare la posizione <strong>del</strong>l’asse centrale.<br />
L’unità <strong>di</strong> misura adottata per le forze é il kN (kilonewton), mentre le coor<strong>di</strong>nate sono<br />
espresse in m (metri).<br />
0.5<br />
z y (m)<br />
O<br />
1.5<br />
1<br />
V1<br />
V2<br />
7.5 m<br />
(1) La risultante e la coppia risultante sono:<br />
R =<br />
5<br />
∑ V i<br />
i=<br />
1<br />
5<br />
∑<br />
∑<br />
i=<br />
1 i=<br />
1<br />
2<br />
( P − O)<br />
M<br />
O = M Oi = ∧ V<br />
5<br />
i<br />
4<br />
i<br />
V4<br />
0.5<br />
99<br />
V3<br />
V5<br />
2.5<br />
x (m)<br />
5 m<br />
corpo<br />
rigido
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
dove: ( P − O)<br />
= 0i<br />
+ 1 j<br />
1<br />
( P − O)<br />
= 1.<br />
5i<br />
+ 0.<br />
5 j<br />
2<br />
( P − O)<br />
= 7i<br />
+ 0 j<br />
3<br />
( P − O)<br />
= 4i<br />
+ 3 j<br />
4<br />
( P − O)<br />
= 5i<br />
+ 5 j<br />
5<br />
i ( Pi − O)<br />
V i M Oi = ( P − O)<br />
∧V<br />
i<br />
1 0 i + 1 j − 3.<br />
5k<br />
− 3.<br />
5i<br />
2 1 . 5i<br />
+ 0.<br />
5 j − 6.<br />
0k<br />
− 3 i + 9 j<br />
3 7 i + 0 j − 4.<br />
0k<br />
28 j<br />
4 4 i + 3 j − 7.<br />
5k<br />
− 22 . 5i<br />
+ 30 j<br />
5 5 i + 5 j − 3.<br />
0k<br />
− 15 i + 15 j<br />
∑ R = −24k<br />
M O = −44<br />
i + 82 j<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
R = ⎨ 0 ⎬ Rx = Ry = 0 Rz = - 24 kN |R| = 24 kN<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
24⎭<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
44⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
0 ⎪<br />
⎭<br />
M O =<br />
⎧−<br />
82 MOx = - 44 kN m MOy = 82 kN m<br />
R = - 24 k<br />
z y<br />
O<br />
MOy = 82 j<br />
MOx = - 44 i<br />
100<br />
i<br />
|R| = 24 kN<br />
|MOx| = 44 kNm<br />
|MOy| = 82 kNm<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
(2) Essendo il momento M O ortogonale ad R , il momento <strong>del</strong> sistema rispetto ad un<br />
punto <strong>del</strong>l’asse centrale è nullo. L’intero sistema si riduce al solo vettore risultante R<br />
nell’asse centrale.<br />
Se il punto A (xA; yA; 0) appartiene all’asse centrale (punto <strong>del</strong>l’asse centrale che inter-<br />
seca il piano xy) si ha:<br />
quin<strong>di</strong><br />
M A O<br />
( O − A)<br />
∧ = 0<br />
= M + R<br />
( O − A)<br />
∧ R = −M<br />
O<br />
( O A)<br />
∧ R = 44i −82<br />
j<br />
− equazione (a)<br />
Le componenti <strong>del</strong> vettore ( O − A)<br />
sono:<br />
(O - A)x = - xA<br />
(O - A)y = - yA<br />
(O - A) z = 0<br />
sviluppando il prodotto vettoriale ( O A)<br />
∧ R<br />
ottiene:<br />
i<br />
j<br />
( − A)<br />
∧ R = − x − y 0 = 24y<br />
i − 24x<br />
j<br />
O A A<br />
A<br />
A<br />
( A)<br />
∧ R = 24y i − 24x<br />
j<br />
O A<br />
A<br />
0<br />
0<br />
− , utilizzando il determinante simbolico, si<br />
k<br />
− 24<br />
− equazione (b)<br />
Sostituendo nell’equazione (a) si ricavano i valori <strong>di</strong> xA e yA <strong>del</strong> punto A in cui l’asse<br />
centrale incontra il piano xy<br />
da cui:<br />
24 i − 24x<br />
j = 44i<br />
−82<br />
j<br />
y A A<br />
24 yA = 44 yA = 1.833 m<br />
- 24 xA = -82 xA = 3.417 m<br />
Si osservi che:<br />
M<br />
xA = −<br />
R<br />
Oy<br />
z<br />
M<br />
y A =<br />
R<br />
Ox<br />
z<br />
101
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
z<br />
O<br />
3.417 m<br />
R = - 24 k<br />
A<br />
y<br />
1.833 m<br />
102<br />
Riduzione all’asse centrale<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori complanari nello spazio<br />
Dato il sistema costituito dai due vettori<br />
⎧ 1 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 5 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
6⎭<br />
V 1 applicato in P1 (−1; 0; 6)<br />
⎧−<br />
⎪<br />
= ⎨−<br />
⎪<br />
⎩<br />
4⎫<br />
⎪<br />
1⎬<br />
5 ⎪<br />
⎭<br />
V 2 applicato in P2 (4; 1; 0)<br />
in<strong>di</strong>viduare l’asse centrale.<br />
x<br />
z<br />
V2<br />
P2 (4; 1; 0)<br />
P1 (- 1; 0; 6)<br />
⎧ 1 ⎫ ⎧−<br />
4⎫<br />
⎧−<br />
3⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
R = ⎨ 5 ⎬ + ⎨−<br />
1⎬<br />
= ⎨ 4 ⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
6⎭<br />
⎩ 5 ⎭ ⎩−<br />
1⎭<br />
M +<br />
M<br />
M<br />
OR = M O1<br />
M O2<br />
O1<br />
O2<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
z1<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
1<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
z2<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
2<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
1<br />
1<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
2<br />
2<br />
V1<br />
y1<br />
⎤⎧V<br />
x1<br />
⎫ ⎡0<br />
⎪ ⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
1⎥⎨V<br />
y1⎬<br />
⎢<br />
6<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
⎭ ⎢ z1<br />
⎣0<br />
y2<br />
⎤⎧V<br />
x2<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
2 ⎥⎨V<br />
y2<br />
⎬ ⎢<br />
0<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
⎭ ⎢ z 2 ⎣−1<br />
103<br />
I vettori V1 e V2 sono contenuti<br />
nel piano x + y + z - 5 = 0<br />
(ve<strong>di</strong> equazione <strong>di</strong> un piano a p.63)<br />
− 6<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
4<br />
y<br />
0⎤⎧<br />
1 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
1<br />
⎥<br />
⎥⎨<br />
5 ⎬ =<br />
0⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩−<br />
6⎭<br />
−<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
30⎫<br />
⎪<br />
0 ⎬<br />
5 ⎪<br />
⎭<br />
−<br />
1 ⎤⎧−<br />
4⎫<br />
⎪ ⎪<br />
− 4<br />
⎥<br />
⎥⎨−<br />
1⎬<br />
=<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩<br />
5 ⎭<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
−<br />
5 ⎫<br />
⎪<br />
20⎬<br />
0 ⎪<br />
⎭
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
M OR<br />
⎧−<br />
30⎫<br />
⎧ 5 ⎫ ⎧−<br />
25⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
= ⎨ 0 ⎬ + ⎨−<br />
20⎬<br />
= ⎨−<br />
20⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩ − 5 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ − 5 ⎭<br />
L’invariante scalare <strong>del</strong> sistema vale:<br />
Essendo<br />
Essendo OR<br />
I = M OR × R = (− 3) (− 25) + (4) (− 20) + (− 1) (− 5) = 0<br />
y<br />
x<br />
R ≠ 0<br />
M OR<br />
≠ 0<br />
e I = 0 M OR⊥ R<br />
M perpen<strong>di</strong>colare ad R , si può determinare il punto A * (<br />
*<br />
A<br />
*<br />
A<br />
M<br />
=<br />
R<br />
ORx<br />
z<br />
M<br />
= −<br />
R<br />
ORy<br />
z<br />
− 25<br />
= = 25<br />
−1<br />
20<br />
= = −20<br />
−1<br />
e l’equazione <strong>del</strong>l’asse centrale è:<br />
x − x<br />
R<br />
x<br />
*<br />
A<br />
y − y<br />
=<br />
R<br />
y<br />
*<br />
A<br />
z − z<br />
=<br />
R<br />
x + 20 y − 25 z<br />
= =<br />
− 3 4 −1<br />
z<br />
*<br />
A<br />
104<br />
x ,<br />
*<br />
A<br />
*<br />
y A,<br />
0)<br />
Si noti che i vettori dati sono complanari, contenuti nel piano x + y + z − 5 = 0, anche<br />
l’asse centrale è contenuto in questo piano e le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> A * (− 20, 25, 0) sod<strong>di</strong>sfano<br />
l’equazione <strong>del</strong> piano.
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Esercizio. Asse centrale <strong>di</strong> vettori non complanari<br />
Dato il sistema <strong>di</strong> due forze rappresentate dai due vettori V 1 e V 2<br />
determinare:<br />
⎧2⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩3⎭<br />
V 1 applicato nel punto P1 (0; 2; 1)<br />
⎧−<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
1⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
V 2 applicato nel punto P2 (3; 1; 2)<br />
2<br />
(1) Il vettore risultante R<br />
(2) Il momento rispetto all’origine O<br />
(3) Il momento rispetto al punto O’ (3; 1; 1)<br />
(4) L’asse centrale <strong>del</strong> sistema<br />
x<br />
(1) Risultante R<br />
V2z<br />
V2<br />
z<br />
P2 V2x<br />
V 1 = 2i<br />
+ 2 j + 3k<br />
V1x = 2 V1y = 2 V1z = 3<br />
V 2 = −i<br />
+ 2k<br />
V2x = − 1 V2y = 0 V2z = 2<br />
R = V 1 + V 2 = i + 2 j + 5k<br />
Rx = 1 Ry = 2 Rz = 5<br />
V1x<br />
105<br />
P1<br />
V1z<br />
V1<br />
V1y<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
⎧1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
2 2 2 2 2 2<br />
R = ⎨2⎬<br />
R = Rx<br />
+ Ry<br />
+ Rz<br />
= 1 + 2 + 5 = 30<br />
⎪ ⎪<br />
⎩5⎭<br />
Noto il modulo <strong>di</strong> R e le componenti secondo gli assi cartesiani, si possono trovare i<br />
coseni <strong>di</strong>rettori <strong>del</strong>la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R :<br />
α r<br />
β r<br />
γ r<br />
Rx =<br />
R<br />
Ry =<br />
R<br />
Rz =<br />
R<br />
=<br />
=<br />
=<br />
1<br />
=<br />
30<br />
0.<br />
1826<br />
2<br />
= 0.<br />
3651<br />
30<br />
5<br />
= 0.<br />
9129<br />
30<br />
e ricordando che la somma dei quadrati dei coseni <strong>di</strong>rettori <strong>di</strong> una data retta deve essere<br />
sempre pari ad uno, si può effettuare il seguente controllo<br />
α<br />
β<br />
2 2 2<br />
r + r + r<br />
γ = 1<br />
0.1826 2 + 0.3651 2 + 0.9129 2 ≅ 1<br />
(2) Calcolo <strong>del</strong> momento risultante rispetto all’origine O<br />
Il momento risultante <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> vettori applicati rispetto ad un punto O è la som-<br />
ma vettoriale dei vettori momento <strong>di</strong> ciascun vettore <strong>del</strong> sistema rispetto allo stesso pun-<br />
to O, cioè:<br />
( P − O)<br />
∧V<br />
1 + ( P − O)<br />
2<br />
M OR = M O1<br />
+ M O2<br />
= 1<br />
2 ∧V<br />
componenti <strong>di</strong> ( P − O)<br />
componenti <strong>di</strong> ( P − O)<br />
1<br />
2<br />
( P1<br />
− O)<br />
= x1<br />
= 0<br />
x<br />
( P1<br />
− O)<br />
= y1<br />
= 2<br />
y<br />
( P − O)<br />
= z = 1<br />
1<br />
z<br />
( P2<br />
− O)<br />
= x2<br />
= 3<br />
x<br />
( P2<br />
− O)<br />
= y2<br />
= 1<br />
y<br />
( P − O)<br />
= z = 2<br />
2<br />
z<br />
1<br />
2<br />
106<br />
vettore ( P − O)<br />
= 2 j + k<br />
1<br />
vettore ( P − O)<br />
= 3i<br />
+ j + 2k<br />
Ricordando che il prodotto vettoriale tra due vettori U e V può essere calcolato me-<br />
<strong>di</strong>ante la seguente espressione (determinante simbolico)<br />
2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
si ottiene<br />
U ∧ V =<br />
i<br />
U<br />
V<br />
x<br />
x<br />
U<br />
V<br />
j<br />
y<br />
y<br />
k<br />
U<br />
V<br />
( P − O)<br />
∧V<br />
1 + ( P − O)<br />
V 2<br />
M OR =<br />
∧<br />
i<br />
1<br />
j<br />
k<br />
i<br />
z<br />
z<br />
2<br />
j<br />
k<br />
( 4i<br />
+ 2 j − 4k<br />
) + ( 2i<br />
− 8 j + k ) = 6i<br />
− 6 j k<br />
M OR = 0 2 1 + 3 1 2 =<br />
− 3<br />
2<br />
2<br />
3<br />
M OR = 6i − 6 j − 3k<br />
−1<br />
0<br />
M OR<br />
2<br />
⎧ 6 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
6⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
3⎭<br />
Il calcolo <strong>del</strong> momento risultante si può effettuare anche me<strong>di</strong>ante l’espressione matri-<br />
ciale, che fornisce le componenti <strong>del</strong> momento in funzione <strong>del</strong>le componenti <strong>del</strong> vettore<br />
V i e <strong>del</strong> vettore posizione che va dal polo al punto <strong>di</strong> applicazione Pi. Poiché il polo<br />
coincide con l’origine, tali componenti non sono altro che le coor<strong>di</strong>nate dei punti <strong>di</strong> ap-<br />
plicazione Pi (xi; yi; zi).<br />
M<br />
Oi<br />
=<br />
( P − O)<br />
i<br />
∧V<br />
Nel caso in esame si ottiene:<br />
M<br />
M<br />
O1<br />
O2<br />
=<br />
=<br />
( P − O)<br />
1<br />
( P − O)<br />
M OR = M O + M<br />
2<br />
∧V<br />
i<br />
1<br />
∧V<br />
1 O2<br />
⎧M<br />
⎪<br />
= ⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
2<br />
⎧M<br />
⎪<br />
= ⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
Oix<br />
Oiy<br />
Oiz<br />
⎧M<br />
⎪<br />
= ⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
O1x<br />
O1y<br />
O1z<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ =<br />
⎢<br />
zi<br />
⎪<br />
⎭ ⎢⎣<br />
− y<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ =<br />
⎢<br />
1<br />
⎪<br />
⎭ ⎢⎣<br />
− 2<br />
O2<br />
x<br />
O2<br />
y<br />
O2<br />
z<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ =<br />
⎢<br />
2<br />
⎪<br />
⎭ ⎢⎣<br />
−1<br />
⎧ 4 + 2 ⎫ ⎧ 6 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
= ⎨ 2 − 8 ⎬ = ⎨−<br />
6⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
4 + 1⎭<br />
⎩−<br />
3⎭<br />
i<br />
107<br />
− z<br />
0<br />
x<br />
i<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
i<br />
− 2<br />
che naturalmente è lo stesso ottenuto in precedenza.<br />
0<br />
3<br />
yi<br />
⎤⎧V<br />
⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
i ⎥⎨V<br />
0 ⎥⎪<br />
⎦⎩V<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
2⎤⎧2⎫<br />
⎧ 4 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
0<br />
⎥<br />
⎥⎨2⎬<br />
= ⎨ 2 ⎬<br />
0⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩3⎭<br />
⎩−<br />
4⎭<br />
1 ⎤⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
− 3<br />
⎥<br />
⎥⎨<br />
0 ⎬ =<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩<br />
2 ⎭<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
−<br />
2<br />
⎫<br />
⎪<br />
8⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
1
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
(3) Calcolo <strong>del</strong> momento risultante rispetto al punto O’<br />
Il momento risultante rispetto al polo O’ è la somma vettoriale dei vettori momento <strong>del</strong>-<br />
le singole forze rispetto ad O’, cioè:<br />
( P − O')<br />
∧V<br />
1 + ( P − O ) V 2<br />
M O'R = M O'1<br />
+ M O'2<br />
= 1<br />
2 ' ∧<br />
componenti <strong>di</strong> ( P − O')<br />
( P − O')<br />
= −3i<br />
+ j<br />
1<br />
componenti <strong>di</strong> ( P − O')<br />
1<br />
i<br />
2<br />
j<br />
k<br />
( P1<br />
− O')<br />
x = x1<br />
− xO'<br />
= 0 − 3 =<br />
( P1<br />
− O')<br />
y = y1<br />
− yO'<br />
= 2 −1<br />
=<br />
( P − O')<br />
= z − z = 1−<br />
1 = 0<br />
1<br />
z<br />
1<br />
108<br />
O'<br />
−3<br />
( P2<br />
− O')<br />
= x2<br />
− x ' = 3 − 3 = 0<br />
x<br />
O<br />
( P2<br />
− O')<br />
= y2<br />
− y ' = 1−<br />
1 = 0<br />
y<br />
O<br />
( P − O')<br />
= z − z = 2 −1<br />
= 1<br />
i<br />
2<br />
j<br />
k<br />
z<br />
2<br />
O'<br />
1<br />
vettore<br />
( 3i<br />
+ 9 j −8k<br />
) + ( − j)<br />
= 3i<br />
+ 8 j k<br />
M 'R = − 3 1 0 + 0 0 1 =<br />
−<br />
M O'R<br />
O 8<br />
2<br />
⎧ 3 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 8 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
8⎭<br />
2<br />
3<br />
−1<br />
0<br />
2<br />
vettore ( P − O')<br />
= k<br />
Il momento risultante rispetto al polo O’ si può anche determinare con la formula <strong>di</strong> tra-<br />
sposizione:<br />
( O − O ) R<br />
M ' R = M OR + '<br />
O ∧<br />
M OR : momento risultante rispetto all’origine<br />
( O O ) ∧ R<br />
− ' : momento rispetto ad O’ <strong>del</strong>la risultante R supposto applicato in O<br />
M OR = 6i − 6 j − 3k<br />
R = i + 2 j + 5k<br />
componenti <strong>di</strong> ( O' −O)<br />
( O − O')<br />
x = −xO<br />
' = −3<br />
( O − O')<br />
y = −y<br />
O'<br />
= −1<br />
( O − O')<br />
= −z<br />
= −1<br />
quin<strong>di</strong> lo sviluppo <strong>del</strong>la formula <strong>di</strong> trasposizione fornisce:<br />
z<br />
O'<br />
2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
i<br />
j<br />
k<br />
( 6i<br />
− 6 j − 3k)<br />
+ − 3 −1<br />
−1<br />
= ( 6i<br />
− 6 j − 3k)<br />
+ ( − 3i<br />
+ 14 j k)<br />
M 'R =<br />
−<br />
M R<br />
O 5<br />
O' = 3i<br />
+ 8 j −8k<br />
M O'R<br />
⎧ 3 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 8 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
8⎭<br />
come ottenuto precedentemente.<br />
(4) Ricerca <strong>del</strong>l’asse centrale <strong>del</strong> sistema<br />
⎧2⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩3⎭<br />
V 1 applicata nel punto P1 (0; 2; 1)<br />
⎧−<br />
= 0<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
1⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
V 2 applicata nel punto P2 (3; 1; 2)<br />
2<br />
1<br />
Il momento risultante rispetto ad un generico punto A (xA; yA; zA) vale:<br />
dove<br />
quin<strong>di</strong> si ha:<br />
2<br />
5<br />
( P − A)<br />
∧V<br />
1 + ( P − A)<br />
2<br />
M AR = M A1<br />
+ M A2<br />
= 1<br />
2 ∧V<br />
⎧0<br />
− x<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩1−<br />
z<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
( P1<br />
− A)<br />
= 2 − y A ( P2<br />
− A)<br />
M<br />
i<br />
A<br />
A<br />
⎧3<br />
− x<br />
⎪<br />
= ⎨1<br />
− y<br />
⎪<br />
⎩2<br />
− z<br />
( 0 − x ) ( 2 − y ) ( 1−<br />
z ) + ( 3 − x ) ( 1−<br />
y ) ( 2 − )<br />
AR = A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A z A<br />
2<br />
j<br />
2<br />
k<br />
3<br />
109<br />
A<br />
A<br />
A<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
i<br />
−1<br />
sviluppando e mettendo a fattor comune si ottiene:<br />
( − 5y + 2z<br />
+ 6)<br />
i + ( 5x<br />
− z − 6)<br />
j + ( − 2x<br />
+ y − )k<br />
M =<br />
A A<br />
A A<br />
A A<br />
AR 3<br />
j<br />
0<br />
k<br />
2
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
M<br />
M<br />
M<br />
ARx<br />
ARy<br />
ARz<br />
=<br />
=<br />
=<br />
( − 5y<br />
A + 2z<br />
A + 6)<br />
( 5xA<br />
− zA<br />
− 6)<br />
( − 2x<br />
+ y − 3)<br />
A<br />
A<br />
Se il punto A (xA; yA; zA) appartiene all’asse centrale, il vettore M AR deve essere paral-<br />
lelo al vettore risultante R . La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> parallelismo implica la proporzionalità tra<br />
le componenti <strong>di</strong> M AR e quelle <strong>di</strong> R :<br />
M<br />
R<br />
ARx<br />
x<br />
M<br />
=<br />
R<br />
ARy<br />
y<br />
M<br />
=<br />
R<br />
nel caso in esame risulta:<br />
ARz<br />
z<br />
( 5y + 2z<br />
+ 6)<br />
( 5x<br />
− z − 6)<br />
( − 2x<br />
+ y − 3)<br />
− A A<br />
A A<br />
A A<br />
da cui si ricavano le equazioni:<br />
a)<br />
b)<br />
1<br />
( 5y + 2z<br />
+ 6)<br />
( 5x<br />
− z − 6)<br />
− A A<br />
A A<br />
1<br />
=<br />
=<br />
2<br />
2<br />
18<br />
x A + 2 y A − z A − = 0 equazione <strong>di</strong> un piano che contiene A<br />
5<br />
( 5y + 2z<br />
+ 6)<br />
( − 2x<br />
+ y − 3)<br />
− A A<br />
A A<br />
1<br />
=<br />
5<br />
33<br />
x A −13 y A + 5z<br />
A + = 0 equazione <strong>di</strong> un piano che contiene A<br />
2<br />
=<br />
La retta d’intersezione dei piani a) e b) contiene punti che sod<strong>di</strong>sfano le due equazioni<br />
ed è dunque l’asse centrale <strong>del</strong> sistema.<br />
asse centrale<br />
⎧<br />
⎪<br />
x<br />
⎨<br />
⎪x<br />
⎩<br />
A<br />
A<br />
18<br />
+ 2y<br />
A − z A − = 0<br />
5<br />
33<br />
−13y<br />
A + 5z<br />
A + = 0<br />
2<br />
L’equazione <strong>del</strong>la retta d’intersezione dei due piani si può determinare conoscendo due<br />
punti (A1 e A2) <strong>del</strong>la stessa.<br />
Assegnando un valore zA1 = 0 (A1 intersezione <strong>del</strong>la retta con il piano xy) il sistema <strong>di</strong>-<br />
viene:<br />
110<br />
5
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
⎧<br />
⎪<br />
x<br />
⎨<br />
⎪x<br />
⎩<br />
A1<br />
A1<br />
+ 2y<br />
A1<br />
−13y<br />
A1<br />
18<br />
− = 0<br />
5<br />
33<br />
+ = 0<br />
2<br />
che fornisce xA1 ≅ 0.92 yA1 ≅ 1.34<br />
Punto A1 <strong>del</strong>l’asse centrale A1 (0.92; 1.34; 0)<br />
Assegnando un valore yA2 = 0 (A2 intersezione <strong>del</strong>la retta con il piano xz) il sistema <strong>di</strong>-<br />
viene:<br />
⎧<br />
⎪<br />
x<br />
⎨<br />
⎪x<br />
⎩<br />
A2<br />
A2<br />
18<br />
− z A2<br />
− = 0<br />
5<br />
33<br />
+ 5z<br />
A2<br />
+ = 0<br />
2<br />
che fornisce xA2 ≅ 0.25 zA2 ≅ − 3.35<br />
Punto A2 <strong>del</strong>l’asse centrale A2 (0.25; 0; − 3.35)<br />
L’equazione <strong>del</strong>la retta passante per A1 e A2 è:<br />
x − x<br />
x − x<br />
A2<br />
A1<br />
A1<br />
y − y<br />
=<br />
y − y<br />
A2<br />
A1<br />
A1<br />
z − z<br />
=<br />
z − z<br />
A2<br />
x − 0.<br />
92 y −1.<br />
34 z<br />
= =<br />
− 0.<br />
67 −1.<br />
34 − 3.<br />
35<br />
A1<br />
A1<br />
equazione <strong>del</strong>l’asse centrale<br />
Analoga espressione si può ottenere considerando l’equazione <strong>del</strong>la retta passante per<br />
un punto <strong>del</strong>l’asse, per esempio A1 (0.92; 1.34; 0), e parallela alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la risul-<br />
tante<br />
⎧1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
R = ⎨2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩5⎭<br />
−<br />
R<br />
x xA1<br />
y y A1<br />
z z A1<br />
x<br />
=<br />
−<br />
R<br />
y<br />
=<br />
−<br />
R<br />
x − 0. 92 y −1.<br />
34 z<br />
= =<br />
1 2 5<br />
z<br />
che equivale alla precedente (come si evince <strong>di</strong>videndo tutti i membri per – 0.67)<br />
111
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.9. Teorema <strong>di</strong> Varignon (1725)<br />
Un’importantissima proprietà riguardante i sistemi <strong>di</strong> forze (e più in generale, <strong>di</strong> vettori)<br />
complanari è stata originariamente formulata dal matematico francese Pierre Varignon<br />
(1654-1722), per essere pubblicata postuma nel 1725. Tale proprietà non è limitata sol-<br />
tanto ai sistemi <strong>di</strong> forze complanari, ma anche a quelli tri<strong>di</strong>mensionali <strong>di</strong> vettori aventi<br />
in comune un punto proprio o improprio (vettori paralleli). Tali sistemi hanno in comu-<br />
ne il fatto <strong>di</strong> possedere risultante <strong>di</strong>versa da zero e invariante scalare uguale a zero. Per-<br />
tanto si può enunciare il seguente teorema:<br />
Dato un sistema <strong>di</strong> vettori avente risultante non nulla e invariante scalare nulla, il<br />
momento risultante rispetto a un polo qualsiasi è uguale al momento <strong>del</strong>la risultan-<br />
te, applicato in punto <strong>del</strong>l’asse centrale, rispetto allo stesso polo<br />
( P − O)<br />
∧ F = ( A − O)<br />
∧ R R<br />
M = ∑<br />
=<br />
dove<br />
OR i<br />
i<br />
M<br />
R ∑ F<br />
i<br />
=<br />
Nel caso <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze complanari, la <strong>di</strong>mostrazione si realizza inizialmente per<br />
il caso <strong>di</strong> due forze concorrenti e successivamente si estende al caso <strong>di</strong> più forze com-<br />
planari.<br />
Siano F 1 ed F 2 due forze complanari applicate nei punti P1 e P2 e sia Q il punto <strong>di</strong> in-<br />
tersezione <strong>del</strong>le loro rette d’azione. Se P1, P2 e Q appartengono ad un corpo rigido, le<br />
forze F 1 e F 2 si possono far scorrere lungo le rispettive rette d’azione (operazione in-<br />
variantiva) fino a considerarle applicate in Q.<br />
112
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
y<br />
O<br />
F1<br />
P1<br />
Q<br />
113<br />
R12<br />
P2<br />
F2<br />
retta d’azione <strong>del</strong> risultante R12<br />
Se O è un punto generico in cui si colloca l’origine degli assi <strong>di</strong> riferimento, il momento<br />
<strong>del</strong> sistema formato da F 1 e F 2 rispetto ad O è:<br />
M OR = M O1<br />
+ M O2<br />
=<br />
( Q − O)<br />
∧ F1<br />
+ ( Q − O)<br />
∧ F2<br />
Applicando la proprietà <strong>di</strong>stributiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale, si ottiene<br />
( Q − O)<br />
∧ + ( F + F ) = ( Q − O)<br />
∧ + R12<br />
M OR = 1 2<br />
con 12 1 2<br />
x<br />
R = F + F<br />
Quin<strong>di</strong> il momento rispetto ad O <strong>di</strong> due forze concorrenti è uguale al momento <strong>del</strong>-<br />
la risultante rispetto allo stesso polo.<br />
La forza R12 applicata nel punto Q è equivalente al sistema costituito dalle due forze F 1<br />
e F 2 poiché hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad O.<br />
Quin<strong>di</strong> si può affermare che la risultante <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze complanari, applicate su<br />
punti appartenenti a un corpo rigido, è la forza che agendo in una definita posizione<br />
produce sul corpo rigido gli stessi effetti meccanici che producono le forze date. E’ op-<br />
portuno osservare che se le forze agiscono invece su un corpo deformabile, la risultante<br />
non produce, in generale, i medesimi effetti <strong>del</strong>le forze che compongono il sistema <strong>di</strong><br />
partenza.<br />
La precedente formulazione desunta per due forze concorrenti può essere generalizzata<br />
al calcolo <strong>di</strong> più forze complanari comunque <strong>di</strong>sposte. Infatti operando allo stesso modo<br />
considerando come forze R 12 e F 3 si ottiene la risultante R 123 applicato in T (punto <strong>di</strong>
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
intersezione <strong>del</strong>le rette d’azione <strong>di</strong> R 12 e F 3 ), poi si considera una quarta forza F 4 e<br />
così via fino ad arrivare al risultante R <strong>del</strong>l’intero sistema applicato in A.<br />
y<br />
O<br />
Fi<br />
F1<br />
P1<br />
Pi<br />
Q<br />
R12<br />
Si perviene cioè alla seguente espressione:<br />
T<br />
R12<br />
114<br />
P2<br />
F2<br />
R123<br />
= ∑ ( Pi<br />
− O)<br />
∧ F = ( A − O)<br />
R con ∑ R<br />
M OR i ∧<br />
P3<br />
F3<br />
= i F<br />
Nella forma generalizzata per i sistemi piani il teorema <strong>di</strong> Varignon <strong>di</strong>ce: la somma dei<br />
momenti <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze complanari rispetto ad un polo <strong>del</strong> piano è uguale<br />
al momento <strong>del</strong>la risultante, applicata in un punto <strong>del</strong>l’asse centrale, rispetto allo<br />
stesso polo.<br />
somma dei momenti <strong>del</strong>le<br />
singole forze rispetto ad O<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare che la formulazione <strong>di</strong> Varignon è valida per i sistemi <strong>di</strong> forze paral-<br />
lele (sia piani sia spaziali, § 1.8.5.1).<br />
F4<br />
momento <strong>del</strong>la risultante ri-<br />
spetto ad O<br />
P4<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
y<br />
O<br />
F1<br />
R<br />
F2<br />
Fi<br />
x<br />
x<br />
Il teorema <strong>di</strong> Varignon è anche valido per i sistemi spaziali <strong>di</strong> forze concorrenti in pun-<br />
to.<br />
x<br />
z<br />
O<br />
V1<br />
Infatti se tutte le forze V i applicate nei punti Pi sono concorrenti in un punto P, è possi-<br />
bile far scorrere le singole forze lungo la loro retta d’azione fino ad applicarle in P, per<br />
cui il momento risultante <strong>di</strong>venta:<br />
cioè<br />
n<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
∑<br />
( P − O)<br />
∧V<br />
= ( P − O)<br />
M OR =<br />
∧V<br />
OR<br />
i<br />
i<br />
n<br />
i=<br />
1<br />
( P − O)<br />
∧V1<br />
+ ( P − O)<br />
∧V2<br />
+ ( P − O)<br />
∧V<br />
+ ..... ( P − O)<br />
Vn<br />
M ∧<br />
115<br />
i<br />
P<br />
z<br />
O<br />
Vi<br />
V2<br />
= 3<br />
e, per la proprietà invariantiva <strong>del</strong> prodotto vettoriale<br />
M<br />
n<br />
OR = ∑ ∧<br />
i=1<br />
( P − O)<br />
∧ V i = ( P − O)<br />
R<br />
F2<br />
F1<br />
V3<br />
R<br />
R<br />
y<br />
F3<br />
Fi<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
che è proprio il momento <strong>del</strong>la risultante rispetto ad O. Perciò, dato un sistema <strong>di</strong> vettori<br />
concorrenti, la somma dei loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi è uguale al mo-<br />
mento <strong>del</strong>la risultante rispetto allo stesso polo.<br />
Esempio sui vettori concorrenti: dati i vettori V 1 , V 2 e V 3 applicati nel punto P<br />
V 1<br />
⎧3⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩1⎭<br />
V<br />
2<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 3 ⎭<br />
⎧−1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
V 3 = ⎨ 4 ⎬ P (1, 2, 0)<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
2⎭<br />
si calcolano a) il momento risultante e b) il momento <strong>del</strong>la risultante<br />
a) il momento rispetto all’origine O <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> riferimento cartesiano dei singoli<br />
vettori può essere calcolato tramite l’espressione matriciale <strong>del</strong> prodotto vettoriale:<br />
M<br />
O<br />
M O1<br />
M O2<br />
M O3<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
z1<br />
⎢⎣<br />
− y<br />
1<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
− z<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
x<br />
1<br />
1<br />
y1<br />
⎤⎧V<br />
x ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
− x<br />
⎥<br />
1⎥⎨V<br />
y ⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩V<br />
z ⎭<br />
2 ⎤⎧3⎫<br />
⎧ 2 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎨2⎬<br />
= ⎨−<br />
1⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩1⎭<br />
⎩−<br />
4⎭<br />
2 ⎤⎧<br />
0 ⎫ ⎧ 6 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎨−<br />
2⎬<br />
= ⎨−<br />
3⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩<br />
3 ⎭ ⎩−<br />
2⎭<br />
2 ⎤⎧−<br />
1⎫<br />
⎧− 4⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎨<br />
4 ⎬ = ⎨ 2 ⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩−<br />
2⎭<br />
⎩ 6 ⎭<br />
il momento risultante è dato dalla somma dei singoli momenti:<br />
M<br />
= M<br />
+ M<br />
+<br />
OR O1<br />
O2<br />
M O3<br />
⎧ 4 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 0 ⎭<br />
b) per il momento rispetto ad O <strong>del</strong>la risultante, applicato in P, si ha:<br />
⎧3<br />
+ 0 −1⎫<br />
⎧2⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
R<br />
= ⎨2<br />
− 2 + 4⎬<br />
= ⎨4⎬<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
⎩1+<br />
3 − 2 ⎭ ⎩2⎭<br />
116
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
M<br />
OR<br />
⎡ 0<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
0<br />
⎢⎣<br />
− 2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
2 ⎤⎧R<br />
x ⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
⎥⎨R<br />
y ⎬ ⎢<br />
0<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩R<br />
⎭ ⎢ z ⎣−<br />
2<br />
0<br />
0<br />
1<br />
117<br />
2 ⎤⎧2⎫<br />
⎧ 4 ⎫<br />
⎪ ⎪ ⎪ ⎪<br />
−1<br />
⎥<br />
⎥⎨4⎬<br />
= ⎨−<br />
2⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩2⎭<br />
⎩ 0 ⎭<br />
che è lo stesso ottenuto per il momento risultante. E’ così nuovamente verificato il teo-<br />
rema <strong>di</strong> Varignon per i vettori concorrenti.<br />
In generale, il teorema <strong>di</strong> Varignon è applicabile a tutti i casi in cui il sistema <strong>di</strong> forze<br />
dato può essere ridotto al solo risultante <strong>del</strong>le forze R .<br />
La formulazione <strong>di</strong> Varignon consente la rapida determinazione <strong>del</strong>la posizione <strong>del</strong>la<br />
risultante. In particolare, il calcolo può essere agevolato considerando la componenti<br />
<strong>del</strong>le forze secondo gli assi <strong>di</strong> riferimento.<br />
y<br />
O<br />
Fyi<br />
Fxi<br />
Fi<br />
F1<br />
Fx1<br />
Fy1<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.9.1.1.Ricerca <strong>del</strong>la posizione <strong>del</strong>la risultante <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze com-<br />
planari e parallele me<strong>di</strong>ante il teorema <strong>di</strong> Varignon.<br />
Dato un sistema <strong>di</strong> forze complanari parallele F 1,<br />
F 2 , e F 3 applicate nei punti P1, P2 e<br />
P3, la risultante R ha la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>le forze, perciò per definire la posizione <strong>di</strong> R è<br />
sufficiente determinare le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto <strong>del</strong>la sua retta d’azione.<br />
y<br />
O Fx1<br />
b1<br />
P1<br />
F1<br />
P2<br />
B1 Fx2 B2 Rx<br />
Fx3 B3<br />
Fy1<br />
b2<br />
d<br />
r<br />
Fy2<br />
b3<br />
R<br />
F2<br />
r<br />
retta <strong>di</strong> azione <strong>del</strong> risultante<br />
A<br />
118<br />
Ry<br />
Fy3<br />
R = F1 + F2 + F3<br />
Assunto un sistema <strong>di</strong> assi <strong>di</strong> riferimento, si possono spostare le forze F 1,<br />
F 2 , e F 3<br />
lungo la loro retta d’azione fino a portarle nei punti B1, B2 e B3 d’intersezione con l’asse<br />
x (operazione invariantiva). Inoltre ogni forza può essere sostituita dalle rispettive com-<br />
ponenti cartesiane F xi e F yi (altra operazione invariantiva).<br />
P3<br />
F3<br />
r<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Secondo il teorema <strong>di</strong> Varignon, il momento <strong>del</strong>la risultante rispetto all’origine O è u-<br />
guale alla somma dei momenti, rispetto allo stesso polo, <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le forze. Inoltre<br />
il momento rispetto ad O <strong>di</strong> una singola forza F i è uguale alla somma dei momenti <strong>del</strong>-<br />
le sue componenti F xi e F yi , sempre rispetto allo stesso polo.<br />
Si può poi osservare che le componenti F xi hanno braccio nullo rispetto ad O in quanto<br />
la loro retta d’azione è incidente in O. Quin<strong>di</strong> il momento rispetto ad O <strong>del</strong>la generica<br />
forza F i applicata in Bi è uguale al momento <strong>del</strong>la sua componente F yi (il momento<br />
<strong>del</strong>la componente F xi è nullo).<br />
Adottando la notazione in<strong>di</strong>cata in figura, si può quin<strong>di</strong> scrivere:<br />
M OR Fyi<br />
⋅ bi<br />
= Fy1<br />
⋅ b1<br />
+ Fy<br />
2 ⋅ b2<br />
+ Fy3<br />
= ∑<br />
La retta d’azione <strong>del</strong>la risultante R interseca l’asse x in un punto A <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate (xA,<br />
0). Sostituendo la risultante con le sue componenti cartesiane si ottiene:<br />
119<br />
⋅ b<br />
OR = Ry<br />
⋅ d = Ry<br />
x A con ∑ = R y Fyi<br />
M ⋅<br />
Dalle precedenti espressioni si ricava:<br />
d<br />
=<br />
M<br />
R<br />
OR<br />
y<br />
∑ ⋅ Fyi<br />
bi<br />
=<br />
F<br />
∑<br />
yi<br />
Noto d risulta determinata la posizione <strong>del</strong>la retta d’azione <strong>del</strong>la risultante <strong>del</strong> sistema<br />
dato (come si vedrà più avanti tale retta è l’asse centrale).<br />
1.9.1.2.Esempi d’applicazione <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Varignon<br />
• Sistema <strong>di</strong> forze complanari parallele Determinazione posizione <strong>del</strong>la risultante<br />
dei carichi verticali agenti su un semiarco in muratura.<br />
y<br />
P6<br />
P5<br />
R<br />
P4 P3<br />
P2<br />
P1<br />
3<br />
R = Σ Pi<br />
x<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
• Sistema <strong>di</strong> forze complanari comunque <strong>di</strong>sposte Determinazione posizione <strong>del</strong>la<br />
risultante <strong>del</strong>le forze agenti su una <strong>di</strong>ga <strong>di</strong> calcestruzzo massivo (corpo rigido). La<br />
stabilità è legata al peso <strong>del</strong>l’opera stessa.<br />
R = P1 + P2 + P3 + S<br />
y<br />
O<br />
P2<br />
R<br />
120<br />
P1<br />
P3<br />
S<br />
S = spinta <strong>del</strong>l’acqua<br />
• Sistema spaziale <strong>di</strong> forze parallele Determinazione posizione <strong>del</strong>la risultante dei<br />
carichi verticali dei pilastri agenti su platea rigida <strong>di</strong> fondazione.<br />
x<br />
V1<br />
z<br />
V2<br />
R<br />
V3<br />
V4<br />
y<br />
x<br />
R = V1 + V2 + V3 + V4
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Esercizio: applicazione <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Varignon ad una trave <strong>di</strong> fondazione.<br />
Dati i quattro pilastri con carichi assiali<br />
V1 = 480 kN, V2 = 800 kN, V3 = 500 kN, V4 = 400 kN<br />
nelle posizioni in<strong>di</strong>cate in figura, determinare le <strong>di</strong>mensioni <strong>del</strong>la trave <strong>di</strong> fondazione<br />
con tensioni uniformi nel terreno. Si consideri la trave <strong>di</strong> fondazione come un corpo ri-<br />
gido.<br />
Assumendo l’origine <strong>del</strong> sistema <strong>di</strong> riferimento nel punto A, si ha<br />
b2 = 5.50 m, b3 = 9.50 m, b4 = 12.5 m, b1 =0<br />
y<br />
30<br />
- 480 kN<br />
30<br />
V1<br />
30<br />
45<br />
- 800<br />
V2<br />
121<br />
30<br />
- 500<br />
30<br />
V3<br />
5.5 m 4 3<br />
30<br />
- 400<br />
30<br />
V4<br />
A B C D<br />
<strong>di</strong>mensioni trasversali dei<br />
pilastri in cm<br />
Si determina innanzitutto la posizione <strong>del</strong>la risultante R me<strong>di</strong>ante il teorema <strong>di</strong> Vari-<br />
gnon<br />
Risultante R = – 480 – 800 – 500 – 400 = – 2180<br />
Momento risultante MAR = – (V2·b2) – (V3·b3) – (V4·b4) (verso orario nega-<br />
tivi)<br />
MAR = –(800·5.50) –(500·9.50) –(400·12.50) = – 14150 kN m (o-<br />
rario)<br />
La somma dei momenti <strong>del</strong>le singole forze rispetto ad A è uguale al momento <strong>del</strong>la ri-<br />
sultante rispetto allo stesso punto:<br />
M −14150<br />
= m<br />
R − 2180<br />
AR Momento <strong>del</strong>la risultante MAR = R·d d = ≅ 6.<br />
49<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
y<br />
A<br />
V1<br />
V2<br />
d = 6.49 m<br />
R<br />
V3<br />
6.01 m<br />
V4<br />
122<br />
x<br />
La somma dei momenti <strong>del</strong>le<br />
singole forze rispetto ad A è<br />
uguale al momento <strong>del</strong> risultante<br />
rispetto allo stesso punto<br />
Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave <strong>di</strong> fondazione deve essere<br />
centrata rispetto ad R.<br />
per ragioni<br />
costruttive<br />
0.50<br />
V1<br />
30<br />
V2<br />
45<br />
R<br />
14.28 m<br />
V3<br />
5.5 4.0 3.0<br />
5.125<br />
3.625<br />
30<br />
2.7<br />
7.14 7.14<br />
V4<br />
30<br />
0.98<br />
1 m<br />
per centrare la trave<br />
<strong>di</strong> fondazione con R
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1 m<br />
7.14<br />
14.28 m<br />
Peso <strong>del</strong>la trave <strong>di</strong> fondazione F = 14.28 × 1.00 × 1.00 × 25 ≅ 357 kN ≈ 360 kN<br />
(peso specifico <strong>del</strong> calcestruzzo armato γC.A. = 25 kN/m 3 )<br />
123<br />
1 m<br />
Carico totale sul terreno <strong>di</strong> fondazione R* = R + F = 2180 + 360 = 2540 kN<br />
Superficie <strong>di</strong> contatto terreno-fondazione S = 14.28 × 1.00 = 14.28 m 2<br />
2540<br />
Tensione sul terreno σ t = = = 177.<br />
9 kN/ m<br />
S 14.<br />
28<br />
2<br />
σt = 177.9 kN/m 2<br />
R *<br />
14.28 m<br />
R* = 2540 kN<br />
1 m
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.10. Sistemi <strong>di</strong> forze applicate<br />
1.10.1. Equivalenza statica<br />
Il concetto <strong>di</strong> equivalenza statica risulta fondamentale per trattare numerosi problemi<br />
<strong>del</strong>la statica.<br />
Quando un sistema <strong>di</strong> forze applicate ad un corpo rigido può essere sostituito da<br />
un altro sistema <strong>di</strong> forze applicate allo stesso corpo senza provocare alcun cam-<br />
biamento negli effetti meccanici (tendenza alla traslazione e alla rotazione) i due si-<br />
stemi <strong>di</strong> forze si definiscono staticamente equivalenti.<br />
Più brevemente, due sistemi <strong>di</strong> forze applicate si <strong>di</strong>cono equivalenti se tendono a provo-<br />
care gli stessi effetti meccanici sul corpo rigido cui sono applicati.<br />
Ad esempio la forza R applicata in P è staticamente equivalente al sistema <strong>di</strong> forze<br />
concorrenti V ed H applicate nello stesso punto P. Le tendenze alla traslazione e alla<br />
rotazione indotte dal sistema costituito da V ed H sono uguali a quelle provocate da<br />
R .<br />
Deve cioè risultare:<br />
• R = V + H (uguale tendenza alla traslazione)<br />
•<br />
I II<br />
OR M OR<br />
M = il momento risultante <strong>del</strong> primo sistema deve essere uguale al momen-<br />
h<br />
to risultante <strong>del</strong> secondo (uguale tendenza alla rotazione)<br />
Sistema I<br />
O<br />
v<br />
v = braccio <strong>del</strong>la forza V rispetto ad O<br />
h = braccio <strong>del</strong>la forza H rispetto ad O<br />
Nel caso piano <strong>del</strong>la figura deve essere:<br />
V<br />
P<br />
H<br />
124<br />
d<br />
Sistema II<br />
O<br />
d = braccio <strong>del</strong>la forza R rispetto ad O<br />
P<br />
R
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
R·d = V·v - H·h<br />
I<br />
II<br />
essendo M = R ⋅ d M = V ⋅ v − H ⋅h<br />
OR<br />
OR<br />
Più in generale dati due sistemi S e S* <strong>di</strong> forze applicate ad un corpo rigido che hanno<br />
come risultanti R e<br />
M OR e M OR<br />
*<br />
*<br />
R , e come momenti risultanti rispetto ad un polo qualsiasi O<br />
, tali sistemi si definiscono equivalenti se e solo se hanno il medesimo ri-<br />
sultante (forza) e lo stesso momento risultante (coppia) rispetto ad un qualsiasi polo.<br />
Quin<strong>di</strong> si può affermare che due sistemi <strong>di</strong> forze applicate sono equivalenti se entrambi<br />
possono essere ridotti allo stesso sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risul-<br />
tante) in un generico punto O.<br />
Si ricor<strong>di</strong> che un dato sistema <strong>di</strong> forze che agisce su <strong>di</strong> un corpo rigido può essere ridot-<br />
to in un punto qualsiasi ad un sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risultante)<br />
che caratterizza completamente gli effetti <strong>del</strong> sistema dato sul corpo.<br />
Sistema S<br />
R<br />
M OR<br />
EQUIVALENTI<br />
SE<br />
R =<br />
*<br />
R<br />
M OR = M OR<br />
*<br />
125<br />
Sistema S*<br />
*<br />
R<br />
M OR<br />
*<br />
Con<strong>di</strong>zioni vettoriali<br />
per l’equivalenza dei<br />
due sistemi dati
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
x<br />
F5<br />
Fi<br />
z<br />
O<br />
Sistema S<br />
F4<br />
MOR<br />
R = Σ Fi<br />
F1<br />
R<br />
F3<br />
MOR = Σ MOi<br />
F2<br />
y<br />
126<br />
x<br />
F*5<br />
F*4<br />
F*6<br />
Riduzione ad O <strong>del</strong> sistema S R , M OR<br />
Riduzione ad O <strong>del</strong> sistema S* <br />
S è equivalente a S* se R =<br />
Sistema S*<br />
z<br />
O<br />
M*OR R*<br />
F*3<br />
R* = Σ F*i<br />
F*i<br />
M*OR = Σ M*Oi<br />
*<br />
R , M OR<br />
*<br />
*<br />
R e M OR = M OR<br />
*<br />
A partire dalla definizione <strong>di</strong> equivalenza espressa vettorialmente<br />
R =<br />
*<br />
*<br />
R ∑ F i = ∑ F i<br />
M OR = M OR<br />
*<br />
*<br />
∑ Oi = M Oi<br />
M ∑<br />
e operando con le componenti cartesiane, si ottiene:<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
F<br />
F<br />
F<br />
xi<br />
yi<br />
M<br />
M<br />
zi<br />
M<br />
=<br />
=<br />
=<br />
Oxi<br />
Oyi<br />
Ozi<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
=<br />
=<br />
=<br />
F<br />
F<br />
F<br />
*<br />
xi<br />
*<br />
yi<br />
*<br />
zi<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
⇒ R<br />
⇒ R<br />
⇒ R<br />
M<br />
M<br />
M<br />
*<br />
Oxi<br />
*<br />
Oyi<br />
*<br />
Ozi<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= R<br />
= R<br />
= R<br />
⇒ M<br />
⇒ M<br />
⇒ M<br />
*<br />
x<br />
*<br />
y<br />
*<br />
z<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
= M<br />
= M<br />
= M<br />
*<br />
ORx<br />
*<br />
ORy<br />
*<br />
ORz<br />
Quin<strong>di</strong> due sistemi sono equivalenti se tendono a provocare la stessa traslazione secon-<br />
do gli assi x, y e z e la stessa rotazione attorno agli assi x, y e z.<br />
F*2<br />
F*1<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
Dovendo essere uguali i campi vettoriali dei momenti generati da due sistemi equivalen-<br />
ti, risulta che l’uno può essere ricavato dall’altro me<strong>di</strong>ante operazioni invariantive (ope-<br />
razioni che non mo<strong>di</strong>ficano il campo dei momenti)<br />
1.10.2. Operazioni invariantive<br />
Sono quelle operazioni che non mo<strong>di</strong>ficano il campo dei momenti stabilito dal siste-<br />
ma <strong>di</strong> forze applicate. Quin<strong>di</strong> queste operazioni non cambiano gli effetti meccanici <strong>del</strong>le<br />
forze applicate ad un corpo rigido.<br />
Le seguenti operazioni sono invariantive:<br />
1. Spostare il punto <strong>di</strong> applicazione <strong>di</strong> una forza lungo la propria retta d’azione.<br />
2. Aggiungere due forze uguali ed opposte agenti sulla stessa retta d’azione (tali forze<br />
costituiscono una coppia <strong>di</strong> momento nullo).<br />
3. Sostituire più forze agenti su rette d’azione concorrenti in un punto con il loro risul-<br />
tante applicato in tale punto. Viceversa si può decomporre una forza secondo più <strong>di</strong>-<br />
rezioni.<br />
4. Spostare un forza in <strong>di</strong>rezione perpen<strong>di</strong>colare alla sua retta d’azione aggiungendo la<br />
corrispondente coppia <strong>di</strong> trasporto.<br />
5. Sostituire più coppie con una sola coppia che ha come momento il momento risul-<br />
tante dei vettori momento <strong>di</strong> ciascuna <strong>del</strong>le coppie date.<br />
6. Trasportare una coppia su un piano parallelo a quello su cui giace.<br />
127
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.10.3. Sistema equilibrante<br />
Dato un sistema S A <strong>di</strong> forze applicate avente risultante<br />
128<br />
A<br />
R e momento risultante<br />
A<br />
M OR<br />
rispetto ad un polo O qualsiasi, si da il nome <strong>di</strong> sistema equilibrante (<strong>del</strong> sistema dato)<br />
al sistema S R <strong>di</strong> risultante<br />
che si verifichi:<br />
+ R A<br />
R R = 0 <br />
M OR + M OR = 0 <br />
x<br />
A<br />
z<br />
R<br />
Sistema dato S A<br />
R<br />
A<br />
A<br />
MOR<br />
y<br />
R<br />
R e momento risultante<br />
A<br />
R e<br />
A<br />
M OR e<br />
x<br />
R<br />
R sono forze opposte<br />
R<br />
MOR<br />
R<br />
M OR sono coppie opposte<br />
Sistema equilibrante S R<br />
z<br />
R<br />
R<br />
R<br />
M OR rispetto allo stesso polo tale<br />
y<br />
x<br />
Sistema equilibrato<br />
Si può <strong>di</strong>re che il sistema S R è equilibrante <strong>di</strong> S A se il sistema formato da tutte le forze<br />
appartenenti a S A e a S R costituisce un sistema nullo. Quin<strong>di</strong> il sistema equilibrante<br />
sommato al sistema dato produce un sistema equilibrato (risultante e momento risultante<br />
nulli).<br />
Sistema dato<br />
S A<br />
Sistema equilibrante<br />
+ =<br />
In genere, data un corpo rigido vincolato, sono note le forze attive applicate in <strong>di</strong>versi<br />
punti <strong>del</strong> corpo, mentre sono incognite le forze reattive agenti nei vincoli. Se l’insieme è<br />
S R<br />
R<br />
MOR<br />
Sistema nullo o equilibrato<br />
FORZE ATTIVE +<br />
FORZE REATTIVE EQUILIBRIO<br />
z<br />
R<br />
R<br />
R<br />
A<br />
A<br />
MOR<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
in equilibrio, le reazioni vincolari devono costituire un sistema equilibrante il sistema<br />
<strong>del</strong>le forze attive. Pertanto, la determinazione <strong>del</strong>le reazioni vincolari può essere vista<br />
come la ricerca <strong>del</strong> sistema equilibrante <strong>del</strong>le forze attive.<br />
129
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
1.10.4. Sistema <strong>di</strong> forze nullo o equilibrato. Equazioni <strong>di</strong><br />
equilibrio statico<br />
Quando la risultante R e il momento risultante M OR <strong>di</strong> un dato sistema <strong>di</strong> forze appli-<br />
cate sono uguali a zero si <strong>di</strong>ce che il sistema dato è nullo o equilibrato. Questa situazio-<br />
ne rappresenta un caso particolare <strong>di</strong> notevole importanza riguardante la riduzione dei<br />
sistemi.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista meccanico, un sistema nullo non provoca nessun effetto sul corpo ri-<br />
gido su cui agisce. Infatti non è presente alcuna tendenza alla traslazione o alla rotazio-<br />
ne, quin<strong>di</strong> il corpo rigido rimane in stato <strong>di</strong> quiete o <strong>di</strong> equilibrio.<br />
x<br />
F5<br />
Fi<br />
z<br />
O<br />
Fn<br />
F4<br />
F1<br />
F3<br />
F2<br />
y<br />
x<br />
130<br />
z<br />
O<br />
R = Σ Fi = 0<br />
MOR = Σ MOi = 0<br />
se il sistema <strong>di</strong> forze applicate è un<br />
sistema nullo il corpo rigido è in equilibrio<br />
Si può affermare che un corpo rigido è in equilibrio quando le forze agenti sul corpo co-<br />
stituiscono un sistema nullo (o equivalente a zero), cioè, con<strong>di</strong>zione necessaria e suffi-<br />
ciente per l’equilibrio <strong>di</strong> un corpo inteso come rigido è che le forze agenti su <strong>di</strong> esso co-<br />
stituiscano un sistema nullo<br />
R = 0 (la risultante <strong>del</strong>le forze agenti è nullo)<br />
M OR = 0 (il momento risultante è nullo rispetto ad un polo qualsiasi)<br />
queste equazioni rappresentano, in forma vettoriale, le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la stati-<br />
ca.<br />
Operando con le componenti cartesiane si ricavano le equazioni in forma scalare. Nello<br />
spazio si ha:<br />
y
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
⎧R<br />
⎪<br />
⎨R<br />
⎪<br />
⎩R<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
ORx<br />
ORy<br />
ORz<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
F<br />
F<br />
F<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 0<br />
M<br />
M<br />
M<br />
Oxi<br />
Oyi<br />
Ozi<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 0<br />
dove le sommatorie ∑ M Oxi , ∑ M Oyi,<br />
∑M<br />
Ozi possono essere viste come la somma dei<br />
momenti <strong>del</strong>le forze rispetto agli assi x, y e z.<br />
Nel piano le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica si riducono a:<br />
⎪⎧<br />
R<br />
⎨<br />
⎪⎩ R<br />
M<br />
x<br />
y<br />
ORz<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
= 0 ⇒<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
F<br />
F<br />
xi<br />
yi<br />
M<br />
= 0<br />
= 0<br />
Ozi<br />
= 0<br />
Esercizio: equilibrio <strong>di</strong> un corpo rigido<br />
Verificare se il corpo libero OABCDE è in equilibrio sotto l’azione <strong>del</strong>le forze F 1 , F 2 ,<br />
F 3 e F 4 .<br />
x<br />
6 m<br />
F4<br />
C<br />
A<br />
z<br />
E<br />
O<br />
F3<br />
B<br />
D<br />
F1<br />
4 m<br />
F2<br />
3 m<br />
131<br />
3 m<br />
12 m<br />
y<br />
Coor<strong>di</strong>nate vertici corpo<br />
O (0, 0, 0)<br />
A (6, 0, 0)<br />
B (3, 4, 0)<br />
C (6, 0, 12)<br />
D (3, 4, 12)<br />
E (0, 0, 12)
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
F 1<br />
⎧144⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨192⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 0 ⎭<br />
F 2<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨−<br />
384⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ 576 ⎭<br />
F 1 applicata in D (3, 4, 12)<br />
F 2 applicata in B (3, 4, 0)<br />
F 3 applicata in O (0, 0, 0)<br />
F 4 applicata in A (6, 0, 0)<br />
F 3<br />
⎧ 0 ⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨ 0 ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩−<br />
576⎭<br />
132<br />
F 4<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
144⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
0 ⎪<br />
⎭<br />
⎧−<br />
= 192<br />
Le con<strong>di</strong>zioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio <strong>del</strong> corpo rigido sono:<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
xi<br />
yi<br />
zi<br />
M<br />
M<br />
M<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 0<br />
= F<br />
= F<br />
= F<br />
Oxi<br />
Oyi<br />
Ozi<br />
x1<br />
y1<br />
z 2<br />
= F<br />
⎧<br />
⎪<br />
⎨<br />
⎪<br />
⎩<br />
+ F<br />
= −F<br />
+ F<br />
+ F<br />
= −F<br />
x1<br />
y1<br />
∑<br />
∑<br />
∑<br />
x4<br />
⋅ z<br />
x1<br />
y2<br />
z3<br />
⋅ z<br />
D<br />
⋅ y<br />
M<br />
M<br />
M<br />
Oxi<br />
Oyi<br />
Ozi<br />
+ F<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 0<br />
= 144 −144<br />
= 0<br />
y4<br />
= 192 − 384 + 192 = 0<br />
= 576 − 576 = 0<br />
D<br />
+ F<br />
− F<br />
D<br />
z2<br />
+ F<br />
z 2<br />
⋅ x<br />
y1<br />
⋅ y<br />
B<br />
⋅ x<br />
B<br />
= −192⋅12<br />
+ 576⋅<br />
4 = 0<br />
= 144⋅12<br />
− 576⋅<br />
3 = 0<br />
D<br />
− F<br />
y2<br />
⋅ x<br />
B<br />
+ F<br />
y4<br />
⋅ x<br />
A<br />
= −114⋅<br />
4 + 192⋅<br />
3 − 384⋅<br />
3+<br />
192⋅<br />
6 = 0<br />
Essendo verificate le sei con<strong>di</strong>zioni, si conclude che il corpo rigido OABCDE è in equi-<br />
librio.<br />
Dal punto <strong>di</strong> vista operativo, può essere conveniente considerare alternativamente la<br />
con<strong>di</strong>zione vettoriale per il momento risultante M OR :<br />
M OR<br />
= 0<br />
M OR = M O1<br />
+ M O2<br />
+ M O4<br />
= 0 (è evidente che M O3<br />
= 0 )<br />
i<br />
j<br />
( D − O)<br />
∧ F 1 = 3 4 12 = −2304i<br />
j<br />
M O1 =<br />
+ 1728<br />
144<br />
i<br />
192<br />
j<br />
( B − O)<br />
∧ F 2 = 3 4 0 = 2304i<br />
−1728<br />
j k<br />
M O2 =<br />
−1152<br />
0<br />
− 384<br />
k<br />
0<br />
k<br />
576
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
i<br />
( A − O)<br />
∧ F 4 = 6 0 0 k<br />
M O4 =<br />
= 1152<br />
M OR<br />
O<br />
−144<br />
j<br />
192<br />
k<br />
0<br />
= M O1<br />
+ M O2<br />
+ M 4 = −2304i<br />
+ 1728 j + 2304i<br />
−1728<br />
j −1152k<br />
+ 1152k<br />
= 0<br />
Esercizio: calcolo <strong>del</strong>le reazioni vincolari, ossia <strong>del</strong> sistema equilibrante<br />
Data la trave riportata in figura, determinare le reazioni vincolari applicando il concetto<br />
<strong>di</strong> sistema equilibrante.<br />
O<br />
y<br />
RO<br />
L<br />
A<br />
P1 = 3 P<br />
Le forze P1 = −3P<br />
j e P 2 = −P<br />
j costituiscono il sistema attivo<br />
Le forze O = R j e B = R j costituiscono il sistema reattivo<br />
R O<br />
R B<br />
Si effettua la riduzione al polo O <strong>del</strong>le forze attive<br />
R A<br />
= P1<br />
+ P 2 = −3P<br />
j − P j = −4P<br />
j<br />
A<br />
OR = M O1<br />
M O2<br />
M +<br />
( A − O)<br />
∧ ( − P j)<br />
+ ( C − O)<br />
∧ ( P j)<br />
M A<br />
OR = 3<br />
−<br />
M A<br />
L<br />
133<br />
B<br />
RB<br />
( − 3P j)<br />
+ 3Li<br />
∧ ( − P j)<br />
= −3PLk<br />
− 3PLk<br />
= − PLk<br />
L<br />
C<br />
P2 = P<br />
OR = Li<br />
∧<br />
6 (verso orario)<br />
x
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
O<br />
Riduzione al punto O <strong>del</strong>le forze attive<br />
R A = - 4P j<br />
A<br />
MOR = - 6PL k<br />
Il sistema equilibrante costituito da R O e R B deve avere risultante e momento risultante<br />
opposti a quelli <strong>del</strong> sistema attivo, cioè deve essere:<br />
R<br />
R = RO<br />
+ R B = 4P<br />
j<br />
M R<br />
OR = 6PLk<br />
calcolando il momento <strong>del</strong>le forze reattive rispetto ad O si ottiene:<br />
( B − O)<br />
∧ R j = 2 Li<br />
∧ R j = LR k<br />
R<br />
M OR =<br />
B<br />
B 2 B<br />
ma dovendo anche essere OR = 6PLk<br />
si ha<br />
2 k = 6PLk<br />
LR B<br />
M R<br />
da cui si ricava il modulo <strong>del</strong>la reazione in B<br />
R B<br />
Dovendo poi essere<br />
R<br />
= 3P<br />
R B = 3P<br />
j<br />
R = RO<br />
+ R B = 4P<br />
j<br />
si ottiene la reazione in O<br />
RO + 3 P j = 4P<br />
j RO = P j<br />
La procedura applicata per la determinazione <strong>del</strong>le reazioni nei vincoli utilizzando il si-<br />
stema equilibrante e la risoluzione <strong>del</strong>le equazioni vettoriali può essere semplificata<br />
me<strong>di</strong>ante l’impiego <strong>di</strong>retto <strong>del</strong>le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica, che nel caso piano so-<br />
no:<br />
1)<br />
2)<br />
3)<br />
∑ ∑∑<br />
F<br />
= 0<br />
F<br />
M<br />
x<br />
y<br />
O<br />
= 0<br />
= 0<br />
134
Corso <strong>di</strong> Statica e Teoria <strong>del</strong>le Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze<br />
La <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R B è nota in quanto deve risultare ortogonale al piano in cui giace il<br />
carrello (<strong>di</strong>rezione verticale). Essendo verticali tutte le forze attive, anche R O sarà ver-<br />
ticale.<br />
Dalla equazione 1) risulta infatti: R = 0<br />
equazione 2) – 3P – P + RO + RB = 0 RO + RB = 4P<br />
equazione 3) – 3P ·L – P ·3L + RB ·2L = 0 RB 2L= 6PL<br />
Ox<br />
RB = 3P (il modulo <strong>di</strong> RB è risultato positivo, pertanto il verso ipotiz-<br />
zato per la reazione è corretto)<br />
Sostituendo nella equazione 2): RO + 3P = 4P<br />
RO = P (anche il verso supposto per RO è corretto)<br />
135