Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute - Sede di Architettura

Prima Facoltà di Architettura “Ludovico Quaroni” 

Corso di Laurea 5 U.E. 

A.A. 2001/2002 - II semestre 

Note sulle lezioni del corso di 

STATICA 

tenute dal Prof. Luis Decanini 

Con la collaborazione del Dott. Laura Liberatore 

π1 

MOR MO1 

MO2 

P1 

V1 

Parte 1 

O 

CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE 

TEORIA DEI VETTORI 

SISTEMI DI FORZE 

V2 

P2 

10/03/2010 

π2

Corso di Statica e Teoria delle Strutture. Prof. Luis Decanini. Vettori e Forze 

INDICE 

1.1. Modello di corpo rigido...........................................................................................................4 

1.1.1. Punto materiale o particella ..................................................................................................5 

1.1.2. Corpo rigido..........................................................................................................................6 

1.1.3. Sistema rigido di punti materiali...........................................................................................6 

1.1.4. Corpo deformabile................................................................................................................7 

1.1.5. Circostanze capaci di influire sulla quiete o sul moto di un corpo .......................................7 

1.1.6. Modelli e realtà.....................................................................................................................8 

1.2. Concetto di forza.....................................................................................................................9 

1.2.1. Unità di misura delle forze .................................................................................................12 

1.2.2. Somma delle forze..............................................................................................................12 

1.3. Proprietà meccaniche dei materiali....................................................................................16 

1.3.1. Legge di Hooke (1678).......................................................................................................16 

1.3.2. Legami costitutivi...............................................................................................................18 

1.4. Teoria dei vettori ...................................................................................................................19 

1.4.1. Rappresentazione dei vettori...............................................................................................19 

1.4.2. Vettori liberi .......................................................................................................................20 

1.4.3. Vettori applicati ..................................................................................................................21 

1.4.4. Vettore opposto ..................................................................................................................21 

1.4.5. Vettori unitari (versori).......................................................................................................22 

1.4.6. Retta di applicazione o retta di azione................................................................................23 

1.4.7. Componente di un vettore secondo una retta orientata .......................................................23 

1.4.8. Componenti cartesiane di un vettore ..................................................................................26 

1.5. Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi ................................................................29 

1.5.1. Somma di due vettori..........................................................................................................29 

1.5.1.1. Differenza di due vettori............................................................................................31 

1.5.1.2. Somma di più vettori .................................................................................................32 

1.5.2. Prodotto di un vettore per uno scalare ................................................................................34 

1.5.3. Prodotto scalare ..................................................................................................................36 

1.5.3.1. Definizione del Prodotto Scalare ..............................................................................36 

1.5.3.2. Proprietà Distributiva del Prodotto Scalare.............................................................38 

1.5.3.3. Espressione matriciale del prodotto scalare.............................................................38 

1.5.3.4. Prodotto scalare – Lavoro di una forza ....................................................................39 

1.5.3.5. Esempio di applicazione del prodotto scalare. Calcolo del lavoro. .........................41 

1.5.4. Prodotto vettoriale ..............................................................................................................42 

1.5.4.1. Definizione del Prodotto Vettoriale ..........................................................................42 

1.5.4.2. Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori complanari)..........................44 

1.5.4.3. Prodotto vettoriale tra versori cartesiani .................................................................44 

1


1.5.4.4. Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico ..............................................46 

1.5.4.5. Espressione matriciale del prodotto vettoriale .........................................................48 

1.5.5. Prodotto misto ....................................................................................................................49 

1.5.5.1. Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori non complanari)...................50 

1.5.6. Effetti delle forze................................................................................................................51 

1.5.7. Momento polare..................................................................................................................52 

1.5.7.1. Espressione matriciale del momento polare .............................................................53 

1.5.7.2. Proprietà del momento polare ..................................................................................55 

1.5.8. Momento assiale di una forza .............................................................................................59 

1.6. Sistemi di forze......................................................................................................................60 

1.6.1. Momento risultante.............................................................................................................60 

1.6.2. Coppie ................................................................................................................................61 

1.6.2.1. Proprietà delle coppie...............................................................................................63 

Esercizio sulle coppie...................................................................................................................64 

1.7. Operazioni sulle forze e sui sistemi di forze .....................................................................67 

1.7.1. Trasporto di una forza.........................................................................................................67 

1.7.2. Riduzione di un sistema di forze al risultante più il momento risultante............................68 

1.7.3. Equivalenza statica di sistemi di forze applicate ..............................................................124 

1.7.4. Operazioni invariantive ....................................................................................................127 

1.8. Invariante scalare e asse centrale .....................................................................................71 

1.8.1. Invariante scalare di un sistema di forze.............................................................................71 

1.8.2. Asse centrale.......................................................................................................................74 

1.8.2.1. Asse centrale di un sistema di forze. Concetti preliminari........................................74 

1.8.3. Legame tra invariante scalare e asse centrale .....................................................................75 

1.8.4. Asse centrale. Sistemi piani di forze...................................................................................78 

1.8.4.1. Introduzione ..............................................................................................................78 

1.8.4.2. Asse Centrale di sistemi piani. Riduzione al solo Risultante ....................................79 

1.8.4.3. Equazione dell’Asse Centrale per i sistemi piani di forze.........................................82 

1.8.4.4. Sistemi piani di vettori (o forze). Deduzione vettoriale dell’Asse Centrale ..............84 

Esercizio: Asse Centrale nel piano ..............................................................................................85 

Esercizio: Asse Centrale di una trave di fondazione....................................................................87 

Esercizio: Asse Centrale di forze parallele complanari...............................................................90 

1.8.5. Asse centrale. Sistemi di forze nello spazio........................................................................92 

1.8.5.1. Asse Centrale di un sistema di forze parallele..........................................................92 

1.8.5.2. Asse Centrale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio......................94 

1.8.5.3. Ricerca analitica dell’Asse Centrale di un sistema spaziale.....................................95 

1.8.5.4. Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo .................................97 

Esercizio. Asse centrale di vettori paralleli nello spazio .............................................................99 

Esercizio. Asse centrale di vettori complanari nello spazio.......................................................103 

Esercizio. Asse centrale di vettori non complanari....................................................................105 

2


1.8.6. Teorema di Varignon (1725) ............................................................................................112 

1.8.6.1. Ricerca della posizione della risultante di un sistema di forze complanari e parallele 

mediante il teorema di Varignon................................................................................................118 

1.8.6.2. Esempi d’applicazione del teorema di Varignon ....................................................119 

Esercizio: applicazione del teorema di Varignon ad una trave di fondazione...........................121 

1.8.7. Sistemi di forze applicate. Sistema equilibrante ...............................................................128 

1.8.8. Sistema di forze nullo o equilibrato. Equazioni di equilibrio statico................................130 

Esercizio: equilibrio di un corpo rigido.....................................................................................131 

Esercizio: calcolo delle reazioni vincolari, ossia del sistema equilibrante ...............................133 

3


1.1. Modello di corpo rigido 

La schematizzazione e successiva formulazione di un problema meccanico implica 

l’adeguata scelta di un sistema di riferimento e la modellazione sia delle azioni esterne 

che dei corpi che intervengono. 

Le azioni esterne corrispondenti a forze vengono rappresentate da vettori (ente geome- 

trico atto a rappresentare grandezze dotate di intensità, direzione e verso). 

Per quanto riguarda i corpi (strutture, elementi strutturali, connessioni), al fine di sem- 

plificare e chiarire l’impostazione e la risoluzione dei problemi, si fanno astrazioni nelle 

quali i corpi reali vengono sostituiti con dei modelli. 

Un corpo ideale (modello), dotato di proprietà che lo rendono atto a rappresentare in 

modo semplice ed efficace il comportamento reale, viene scelto in funzione del tipo di 

problema esaminato e del grado di approssimazione che si desidera ottenere nella sua 

risoluzione. 

Nell’ambito della Statica viene assunto il modello di Corpo Rigido, cioè un corpo in 

cui si mantengono invariate le mutue distanze fra tutti i punti che lo costituiscono, per 

qualunque spostamento esso subisca o per qualsiasi sistema di forze che agisca su di es- 

so. 

Perciò nel corpo rigido non esistono deformazioni e quindi, come più avanti si vedrà, si 

deve soltanto esaminare l’effetto motrice del sistema di forze che agisce sul corpo. 

Nella realtà, tutti i materiali strutturali (muratura, legno, acciaio, cemento armato etc.) 

sono più o meno deformabili, conseguentemente il corpo rigido è un’astrazione, che si 

adatta però molto bene alla realtà per semplificare lo studio di diversi problemi della 

Meccanica. 

Sebbene le strutture reali siano sempre, in maggior o minor grado, deformabili, il mo- 

dello di corpo rigido risulta in molti casi un’approssimazione soddisfacente in vista di 

una soluzione adeguata dal punto di vista pratico, che consente la risoluzione del pro- 

blema dell’equilibrio e che, comunque, costituisce il passo iniziale per la realizzazione 

di studi più dettagliati. 

Le costruzioni in muratura o in pietra sono esempi di strutture che spesso risultano ben 

modellate dall’ipotesi di corpo rigido. 

Uno degli aspetti essenziali della sicurezza strutturale consiste nella verifica 

dell’equilibrio, cioè una struttura, nella sua totalità e nelle sue singole componenti, deve 

4


rimanere nello stato di quiete, ovvero il sistema costituito da tutte le forze agenti deve 

essere in equilibrio. 

Nel presente corso si esaminano le condizioni d’equilibrio dei sistemi isostatici adottan- 

do l’ipotesi di corpo rigido. 

La risoluzione dei sistemi iperstatici che richiedono altri modelli (corpi deformabili ela- 

stici o elastoplastici) e la verifica delle resistenze, vengono effettuati nell’ambito di cor- 

si successivi (Scienza delle Costruzioni, Tecnica delle Costruzioni). 

L’introduzione del concetto di “punto materiale” o “particella” ha notevole importanza, 

sia perché costituisce un elemento di partenza nelle formulazioni essenziali della Mec- 

canica, sia perché consente una prima trattazione di molti fenomeni. 

Lo studio del comportamento meccanico dei punti materiali risulta il primo passo 

nell’analisi di situazioni più complesse. 

Si intende per “punto materiale” una quantità molto piccola di materia concentrata at- 

torno ad un punto dello spazio. 

Tuttavia è opportuno segnalare che talvolta i corpi reali vengono modellati come “punti 

materiali” senza essere limitati a piccole quantità di materia. 

La modellazione con punti materiali comporta che le dimensioni e la forma dei corpi 

considerati non influenzano la soluzione del problema e si può ammettere che tutte le 

forze che agiscono sul corpo hanno il medesimo punto di applicazione. 

1.1.1. Punto materiale o particella 

Corpo di dimensioni molto piccole dotato di piccola quantità di materia che occupa un 

punto nello spazio. 

A volte corpi reali con particolari caratteristiche di dimensioni e forma possono model- 

larsi come “punti materiali”, purché tutte le forze che agiscono su di essi possano essere 

considerate applicate su uno stesso punto (ad esempio l’intero peso di un corpo applica- 

to nel baricentro, equivale all’insieme dei pesi elementari). 

G 

P 

5


1.1.2. Corpo rigido 

Insieme continuo o discreto di punti materiali, che mantengono inalterate le loro 

mutue distanze. 

Cioè si suppone che le distanze fra due qualsiasi punti del corpo siano invariabili per 

qualsiasi spostamento che subisce l’insieme e per qualunque sistema di forze che agisce 

sul corpo stesso. 

A 

a 

B 

a = costante L = costante 

1.1.3. Sistema rigido di punti materiali 

I nodi vengono considerati come punti materiali e le aste rappresentano vincoli inesten- 

sibili che mantengono invariabile (costante) la distanza tra due nodi. 

Sotto l’azione delle forze i corpi rigidi non subiscono alcuna deformazione. 

6 

A 

L 

B


1.1.4. Corpo deformabile 

Insieme continuo o discreto di punti materiali, in cui la distanza fra due punti qualsiasi 

si modifica per la presenza di un sistema di forze. 

L 

1.1.5. Circostanze capaci di influire sulla quiete o sul moto di 

un corpo 

L’espressione “sistema di forze in equilibrio” indica un sistema il cui “effetto motrice 

risultante” sul corpo materiale è nullo. 

Dal punto di vista dell’equilibrio le forze possono spostarsi lungo la loro retta d’azione 

senza cambiare le condizioni dell’equilibrio. Tuttavia, se si considera l’effetto defor- 

mante delle forze si vede chiaramente che la situazione cambia, infatti la deformazione 

del corpo dipende dai punti nei quali vengono applicate le forze. 

Nello studio dell’equilibrio dei corpi rigidi le forze possono spostarsi lungo la loro retta 

d’azione. Questa conclusione viene talvolta denominata, da alcuni autori, “Principio di 

Trasmissibilità”. 

Si consideri un sistema di due forze in equilibrio, condizione che può verificarsi soltan- 

to se le due forze hanno la stessa retta d’azione, la medesima intensità e versi opposti. 

Siano le due forze applicate inizialmente nel punto A. Se si modifica il sistema di forze 

che originariamente agivano sul punto A, in maniera che agiscano in due punti diversi A 

e B localizzati sulla retta di azione delle forze, il sistema continua a rimanere in equili- 

brio per quanto riguarda il moto del corpo, ma se il corpo è deformabile, la nuova situa- 

zione sarà differente da quella iniziale (il punto A si sposta in A’ e il punto B in B’). 

7 

L1 

L2


A 

A 

B 

corpo rigido 

la distanza tra i due punti 

rimane costante 

8 

A’ 

B’ 

corpo deformabile 

la distanza tra i due 

punti aumenta 

Da quanto esposto emerge che il principio di trasmissibilità risulta completamente certo 

nel caso dei corpi rigidi, ma non altrettanto nel caso di corpi deformabili. 

Questo principio può essere visto piuttosto come una proprietà dei corpi rigidi che come 

una proprietà delle forze. 

1.1.6. Modelli e realtà 

Come già precedentemente detto, gli elementi che costituiscono una struttura subiscono 

sempre delle deformazioni quando sono soggetti ad azioni esterne (forze, spostamenti 

impressi etc.) e l’entità di queste deformazioni dipende dalle caratteristiche del materia- 

le considerato. Ma avendo fatto l’ipotesi di corpo perfettamente rigido, possiamo trascu- 

rare l’aspetto deformativo ed indagare unicamente le condizioni d’equilibrio (esterno, 

interno) della struttura, rimandando a corsi posteriori il problema delle verifiche delle 

resistenze. 

La schematizzazione di un problema meccanico implica una opportuna scelta del siste- 

ma di riferimento e la modellazione del corpo o dei corpi che intervengono in funzione 

degli scopi dell’analisi che si sta conducendo. 

Di volta in volta, quindi, uno stesso corpo potrà essere ipotizzato come un punto mate- 

riale, come un sistema discreto di punti materiali connessi dal vincolo della rigidità, 

come un sistema continuo rigido oppure come un sistema continuo deformabile.


1.2. Concetto di forza 

Il concetto di “forza” ha un carattere intuitivo che soddisfa il senso comune, tale da faci- 

litarne l’apprendimento. Tuttavia, nella comune percezione una forza risulta spesso as- 

sociata all’idea di una “spinta” o di una “trazione” esercitata dai muscoli. Ad esempio il 

concetto di forza è messo in relazione all’azione necessaria per sollevare un corpo qual- 

siasi. 

Come accade con altre grandezze fisiche, nella Scienza la forza viene definita conside- 

rando gli effetti da essa generati e precisando i procedimenti che ne consentono la misu- 

ra, adottando una adeguata unità misura. 

Si tratta evidentemente di una definizione di tipo operativo piuttosto che di una precisa- 

zione della natura intrinseca della grandezza. 

Il concetto di forza rappresenta una efficace “invenzione” scientifica che permette di in- 

terpretare fenomeni fisici (naturali osservati o ideali derivati dall’astrazione teorica) ed 

inquadrarli in teorie e leggi di validità generale. 

Il concetto fisico di forza può esprimersi soltanto in funzione degli effetti che essa pro- 

voca su un corpo materiale. Tali effetti possono essere classificati in: 

1) Effetto Motrice 

2) Effetto Deformante 

1) Effetto Motrice (o Dinamico) 

Se un corpo è libero di spostarsi e si trova inizialmente in condizioni di quiete o di moto 

rettilineo uniforme, l’applicazione di una forza provoca un’accelerazione proporzionale 

alla forza applicata. 

Il legame tra causa (forza) ed effetto (accelerazione) costituisce la ben nota “II Legge di 

Newton” che postula: 

Una forza ( F ) agente su un corpo di massa (m), genera un‘accelerazione ( a ), nella di- 

rezione e nel verso della forza, legata a questa dalla espressione: F = m ⋅ a 

La massa (m) rappresenta una misura della inerzia del corpo ovvero della resistenza che 

esso oppone ad acquistare un’accelerazione sotto l’azione di una assegnata forza. 

Si consideri un carrello disposto su un piano orizzontale e si supponga che non esistano 

attriti (condizioni ideali). 

9


F1 a1 

m m 

(a) (b) 

All’applicazione della forza F 1 il carrello acquista l’accelerazione a 1 

10 

F2 a2 

m 

Applicando la forza F 2 il carrello acquista un’accelerazione pari ad a 2 . 

Ripetendo l’esperimento e cambiando unicamente il valore della forza, si trova che sus- 

siste la seguente relazione tra forza applicata e accelerazione prodotta: 

2) Effetto Deformante o Statico 

F 

a 

1 

1 

F 2 

= = .......... .. = 

a 2 

Se invece di un corpo libero si considera un corpo vincolato (tale che non sia permesso 

alcuno spostamento), l’applicazione di una forza F produce una deformazione del cor- 

po (ipotizzato non rigido) e sviluppa nel vincolo una forza reattiva R = −F 

in modo ta- 

le che il sistema rimane in stato di quiete (equilibrio). 

E’ chiaro che non si innesca un moto poiché al corpo si è applicato un sistema di forze il 

cui risultante è nullo. 

m 

F 

m 

R F 

m 

R 

F 

a 

n = 

n 

m 

(c) 

a) corpo deformabile b) corpo rigido 

Nel caso a) corpo deformabile si produce un accorciamento del carrello sotto l’azione 

concomitante delle forze F ed R . Naturalmente, se si ipotizza che il corpo è rigido (in- 

deformabile) l’unico effetto di F è l’immediato sviluppo della reazione R ed il corpo 

rimane in equilibrio. 

Un altro esempio dell’effetto deformante generato da una forza può considerarsi il caso 

di una molla (corpo deformabile) fissata al soffitto:


L 

11 

R 

P 

L + ∆L 

Supponendo trascurabile il peso della molla, ed applicando ad essa un peso P , si ha un 

allungamento di una quantità ∆L. 

L’azione del peso P genera immediatamente la reazione R = −P 

che mette in equili- 

brio il sistema. 

In sintesi, l’azione di una forza su un corpo materiale può produrre due tipi di effetti, se- 

condo le condizioni in cui si trova il corpo: 

a) se il corpo è libero, l’azione della forza provoca un’accelerazione; 

b) se il corpo è vincolato adeguatamente, l’applicazione di una forza genera una 

forza reattiva nel vincolo, in modo che perseverano le condizioni di equilibrio. 

Se il corpo non è rigido l’azione delle forze attiva e reattiva provoca deformazioni. 

Nell’ambito della Statica le situazioni esaminate ricadono nel caso b). 

Si osservi, inoltre, che il caso b) corrisponde ad una situazione particolare del caso a), 

quella in cui la risultante di tutte le forze applicate al corpo è nulla. 

Entrambi i tipi di effetti individuati precedentemente possono essere utilizzati per defi- 

nire e misurare una forza. 

Usualmente l’intensità di una forza viene misurata mediante la deformazione che pro- 

duce su una molla calibrata (dinamometro).


1.2.1. Unità di misura delle forze 

L’unità di misura della forza nel sistema S.I., si ottiene a partire dalla equazione fonda- 

mentale: 

F = m × a 

se m ed a assumono valore unitario, cioè 1 kg e 1 m/sec 2 , si può definire l’unità di for- 

za detta newton (N): 1 N è la forza capace di imprimere l’accelerazione di 1 m/sec 2 ad 

un corpo avente la massa di 1 kg. 

m 

a 

m 

F 

a = 1 m/sec 

m =1 kg 

1.2.2. Somma delle forze 

Dall’evidenza sperimentale si desume che due forze 1 

2 

12 

F = 1 N 

F ed 2 

F , agenti su un punto ma- 

teriale, possono essere sostituite da una sola forza F che produce sul punto gli stessi ef- 

fetti: 

F1 

F2 

La forza F è la risultante delle forze 1 F ed 2 

logramma che ha i lati uguali alle forze date 1 

F1 

F2 

F 

F = forza risultante 

F e si ottiene come diagonale del paralle- 

F ed 2 

F .


Questa costruzione geometrica costituisce la ben nota regola del parallelogramma delle 

forze, che risolve il problema della composizione e scomposizione dei vettori e quindi 

delle forze. 

La regola del parallelogramma delle forze costituisce un aspetto fondamentale della 

Meccanica e, derivando dalle osservazioni sperimentali, non può essere né dimostrata, 

né dedotta matematicamente, e non è altro che l’interpretazione di fatti osservati. 

Da quanto esposto segue che le forze non ubbidiscono alle leggi della somma algebrica, 

ma della somma che può essere denominata geometrica. 

Ad esempio due forze, una di 30 kN e l’altra di 40 kN, normali fra loro, sommate geo- 

metricamente danno un risultante di 50 kN e non di 70 kN, come si potrebbe ipotizzare 

erroneamente. 

F1 = 30 kN 

F2 = 40 kN 

13 

F = 50 kN 

Ad ogni modo, le forze non sono le uniche grandezze fisiche che seguono la regola del 

parallelogramma per la loro somma. Altre grandezze di questo tipo sono: accelerazione, 

velocità, spostamenti, momenti, etc. Come si vedrà, queste grandezze possono essere 

adeguatamente rappresentate dai vettori. 

Per determinare compiutamente l’effetto di una forza su un corpo è necessario conosce- 

re: l’intensità, la direzione, il verso ed il punto di applicazione della forza. 

Tutto ciò può essere adeguatamente rappresentato mediante i vettori. 

Ritornando all’equazione: F = m × a , può succedere che sul corpo (in questo caso è 

opportuno considerare il modello di “punto materiale”) agiscono non una ma più forze, 

in questa situazione F rappresenta la risultante di tutte le forze agenti sul punto. 

Da ciò si desume che l’accelerazione a , che un corpo acquista sotto l’effetto di più for- 

ze simultanee, è la risultante delle accelerazioni dovute alle singole forze. 

Nella Figura, per chiarezza, si sono considerate soltanto due forze, ma quanto detto è 

valido per un numero qualsiasi di forze.


Il principio del parallelogramma delle accelerazioni, enunciato da Newton come corol- 

lario alle leggi della Dinamica, postula che “l’accelerazione prodotta dall’azione con- 

giunta di due forze, è data dalla diagonale del parallelogramma delle accelerazioni pro- 

vocate dalle due forze.” 

F 1 provoca a 1 

F 2 provoca a 2 

Il punto materiale subisce un’accelerazione a data dalla diagonale del parallelogramma 

delle accelerazioni a 1 e a 2 

a1 

F1 

F1 

F2 

F2 

a2 

F 

equivale a 

le forze causano accelerazioni quindi: 

equivale a 

Se sul punto agiscono non due ma più forze, F sarà la risultante (geometrico) di tutte le 

forze agenti sul punto e l’accelerazione a è la risultante di tutte le accelerazioni dovute 

alle singole forze. 

14 

a1 

a 

a2 

F 

a


Essendo F 1 , F 2 , F 3 , …, F n le “n” forze simultanee ed F il loro risultante, 

l’accelerazione a , che il corpo acquista sotto l’azione di queste forze, è la risultante del- 

le accelerazioni a 1, 

a 2 , a 3 , …, a n provocate da ciascuna delle forze. 

F è la forza risultante capace di imprimere l’accelerazione risultante a : 

F = F 1 + F 2 + F 3 + .... + 

F n 

F = ma1 

+ ma 

2 + ma 

3 + .... + ma 

n = m( 

a1 

+ a 2 + a 3 + .... + a n ) = 

Si consideri un punto materiale di massa m soggetto a quattro forze F 1 , F 2 , F 3 , F 4 , 

se si compongono le forze (o le accelerazioni) a due a due mediante il parallelogramma 

delle forze, si può ottenere la risultante di tutte le forze (o accelerazioni): 

F4 

F4 

F3 

F3 

F2 

F1 

W2 

W1 

W 1 è la somma di F 1 e F 2 , W 2 è la somma di W 1 e F 3 , F è la somma di W 2 e F 4 e 

rappresenta la risultante di tutte le forze che agiscono sul punto di massa m. 

In altre parole la risultante è stato determinato mediante successive operazioni del paral- 

lelogramma delle forze, considerando le forze a due a due. 

Una costruzione simile si può realizzare considerando le accelerazioni al posto delle 

forze. 

Quanto esposto mette in luce il principio di sovrapposizione degli effetti, che non è altro 

che una generalizzazione del principio del parallelogramma delle accelerazioni. 

15 

F4 

F4 

F3 

F2 

F 

F1 

ma 

W2 

W1


1.3. Proprietà meccaniche dei materiali 

1.3.1. Legge di Hooke (1678) 

Stato iniziale Stato sotto carico 

* in questa figura non sono indicate 

L 

le deformazioni trasversali 

Secondo la legge di Hooke l’allungamento è proporzionale alla forza applicata: 

dove: 

L = lunghezza iniziale 

∆L = allungamento 

P = forza applicata 

E = Modulo di Elasticità 

A = area della sezione trasversale 

P 

σ = tensione = 

A 

∆ L 

ε = deformazione unitaria = 

L 

∆L 

⋅ E = 

L 

P ⋅ L 

∆ L = 

A ⋅ E 

P 

A 

16 

L 

∆L 

ε ⋅ E = σ 

P 

L + ∆L 

In campo elastico, il rapporto tensione su deformazione è costante per un dato materiale 

σ 

e pari al modulo di elasticità E: = E 

ε


P 

∆L 

17 

σ 

α 

1 

E 

Legame Costitutivo 

Elastico 

σ = E ε 

E = tg α 

L’applicazione del carico P produce, oltre ad un allungamento, delle deformazioni late- 

rali. La sezione trasversale di un elemento strutturale: 

y 

- diminuisce se l’elemento è soggetto a trazione 

- aumenta se è soggetto a compressione 

x 

P 

L 

∆L 

σ = P/A 

σ = P/A 

ε/2 

ε/2 

ε 

1 (lunghezza unitaria) 

Il rapporto tra contrazione laterale unitaria εx e allungamento assiale unitario εy è co- 

stante e pari al coefficiente di Poisson ν. 

− ε x = ν 

ε 

y 

Il coefficiente di Poisson dipende dal materiale considerato, ad esempio per l’acciaio si 

ha ν = 0.3, mentre per il calcestruzzo ν = 0.15÷0.20.


1.3.2. Legami costitutivi 

Il legame costitutivo di un dato materiale esprime il rapporto che intercorre tra tensioni 

e deformazioni, il legame costitutivo elastico è espresso, come visto, dalla legge di Ho- 

oke. 

Nelle seguenti figure sono riportati il legame elasto-fragile, elasto-plastico, rigido- 

fragile e rigido-plastico. 

σ 

σ 

R 

elasico - fragile 

R 

rigido - fragile 

R = punto di rottura 

ε 

ε 

18 

σ 

σ 

elasico - plastico 

(è un legame duttile) 

limite elastico 

rigido - plastico 

(è un legame duttile) 

R 

R 

ε 

ε


1.4. Teoria dei vettori 

Il problema dell’equilibrio e del moto dei corpi richiede di rappresentare in modo con- 

veniente e sintetico le cause che producono lo stato di quiete o il movimento di un corpo 

ed i fenomeni ad esso connessi. 

Un’adeguata rappresentazione di grandezze fisiche dotate di intensità, direzione e verso, 

si ottiene mediante enti geometrici denominati “vettori”. 

Il vettore è un ente geometrico caratterizzato da un’intensità (numero reale non negati- 

vo detto “modulo”), da una direzione e da un verso. 

Il concetto di vettore e l’introduzione di un corrispondente algoritmo costituisce la co- 

siddetta “Teoria dei vettori”. 

L’introduzione di questo ente geometrico risale alla prima metà del secolo XIX (Hamil- 

ton, Grassman, Bellavitis, etc.) 

L’algebra dei vettori comprende le operazioni di somma, differenza e prodotto, con cui 

possono essere rappresentati e risolti tutti i problemi della Meccanica in cui intervengo- 

no grandezze per la cui completa caratterizzazione risulta necessario precisare 

un’intensità ed un orientamento (direzione e verso). 

I primi concetti della Teoria dei vettori possono farsi risalire agli studi sul parallelo- 

gramma delle forze, condotti da Stevino (1548-1620), mentre lo sviluppo dell’attuale 

formulazione risale alla prima metà del secolo XIX. 

1.4.1. Rappresentazione dei vettori 

Un vettore si indica con una lettera in neretto, o con una lettera soprassegnata (o sottoli- 

neata) con un segmento o una freccia, oppure fra due parentesi graffe: V, V r , V , {V} 

Graficamente un vettore si rappresenta con un segmento orientato, la cui lunghezza è 

proporzionale al modulo del vettore. 

La direzione ed il verso (indicato da una freccia) del vettore sono quelli relativi al seg- 

mento orientato. 

19


punto A: origine 

punto P: estremità 

E’ inoltre di uso corrente indicare un vettore anche con: 

A 

α 

20 

V 

(P-A) = V 

P-A è il segmento orientato che rappresenta il vettore V con origine in A. 

Il modulo di un vettore rappresenta l’intensità della grandezza vettoriale ed è un numero 

reale non negativo e si indica: V ; V ; V 

1.4.2. Vettori liberi 

Un vettore libero rappresenta infiniti segmenti orientati equipollenti (stessa lunghezza, 

direzione e verso). 

Nello spazio i segmenti orientati equipollenti sono tanti quanti sono i punti, cioè ∞ 3 . 

Quindi un vettore libero non viene assegnato ad un determinato punto nello spazio, po- 

tendosi spostare liberamente purché si mantengano inalterati il modulo, la direzione ed 

il verso. 

x 

U 

U 

z 

Come si vedrà, nella meccanica i vettori liberi sono atti a rappresentare i momenti (pos- 

sono spostarsi nello spazio). 

V 

U 

V 

P 

V 

y


1.4.3. Vettori applicati 

I vettori applicati sono atti a rappresentare grandezze fisiche dotate di intensità, direzio- 

ne, verso e con un punto di applicazione. 

Quindi il vettore applicato risulta dall’associazione di un vettore libero e di un punto di 

applicazione: 

(P1; V ): V applicato in P1 



Lo stesso vettore libero V , applicato in tre punti distinti, definisce tre vettori applicati. 

Un vettore applicato è un vettore libero di cui si precisa l’origine (punto di applicazio- 

ne). 

In sintesi un vettore libero viene definito dal modulo, dalla direzione e dal verso, mentre 

un vettore applicato richiede anche la precisazione del punto di applicazione. 

Nella Meccanica il concetto di vettore applicato corrisponde a forze applicate ad un 

punto materiale o ad un corpo rigido. 

La Statica utilizza sostanzialmente i vettori forza (applicato), momento (libero), sposta- 

mento (applicato) e anche vettori rappresentativi di aree. 

1.4.4. Vettore opposto 

Dato il vettore V , il vettore -V , che ha lo stesso modulo, la stessa direzione, ma verso 

opposto, dicesi vettore “opposto” di V : 

P1 

x 

V 

21 

V 

z 

-V 

P2 

P3 

V 

V 

y


Due vettori applicati opposti, che abbiano la stessa retta di applicazione, si dicono diret- 

tamente opposti: 

1.4.5. Vettori unitari (versori) 

V 

Il versore è un vettore unitario, cioè con modulo uguale ad 1, introdotto con l’obiettivo 

di definire l’orientamento di una retta o di un vettore. 

I versori corrispondenti agli assi cartesiani spesso sono indicati come i r ; j r ; k r 

x 

i 

z 

k 

Un versore può essere utilizzato anche per individuare la giacitura di un piano, per e- 

sempio in figura n r è il versore caratterizzante la direzione ortogonale al piano π con 

verso uscente dal piano stesso. 

x 

z 

π 

22 

j 

n 

-V 

y 

y


1.4.6. Retta di applicazione o retta di azione 

Dato un vettore applicato (P1; V ) si chiama retta di azione, la retta alla quale il vettore 

appartiene. 

Ovviamente non ha senso parlare di retta di applicazione di un vettore libero: 

x 

z 

P1 

23 

V 

retta di azione 

1.4.7. Componente di un vettore secondo una retta orientata 

Si consideri una retta orientata “r” ed un assegnato vettore V definito dal segmento o- 

rientato (P-A). In generale retta e vettore possono essere sghembi, cioè non avere alcun 

punto in comune (proprio o improprio). 

Proiettando ortogonalmente l’estremo P e l’origine A sulla retta orientata “r”, si otten- 

gono i punti P’ ed A’. Per proiettare ortogonalmente un punto A sulla retta orientata “r”, 

si fa passare per A un piano perpendicolare ad “r”, l’intersezione A’ della retta orientata 

con detto piano sarà la proiezione ortogonale di A su “r”. 

Il segmento orientato (P’-A’ = V r ) costituisce la componente vettoriale di V secondo 

“r”. 

Il modulo di questo vettore V r (lunghezza del segmento orientato) è la componente sca- 

lare di V secondo la retta “r” e sarà positiva se il verso di V r è concorde con il verso di 

“r”, altrimenti sarà negativa. 

Indicando con ϕ l’angolo fra V e la retta “r” si può scrivere: Vr = V cos ϕ 

Usualmente la componente scalare Vr viene definita “componente” ed è uno scalare (po- 

sitivo o negativo) di dimensioni fisiche uguali a quelle del vettore proiettato. 

y


Risulta geometricamente evidente che se si sposta la retta “r” parallelamente a sé stessa 

in modo di far coincidere A con A’, la componente Vr non cambia: 

Vr 

P’ 

A’ 

ϕ 

P 

A V 

24 

r 

Vr = V cos ϕ 

Se il vettore e la retta sono complanari, le proiezioni dell’estremo e dell’origine di V si 

ottengono mediante due rette normali ad “r”. Considerando nel piano (2D) un vettore V 

ed una retta orientata “r”, si possono avere le seguenti situazioni: 

ϕ 

V 

Vr 

ϕ < 90° cos ϕ > 0 Vr > 0 

Vr è positivo, infatti ha la stessa 

direzione della retta orientata r 

r 

Vr 

V 

ϕ > 90° cos ϕ < 0 Vr < 0 

Vr è negativo, infatti ha direzione opposta 

a quella della retta orientata r 

Se il vettore V è perpendicolare alla retta “r”, la componente di V secondo “r” è nulla. 

Infatti, dall’espressione Vr = V cos ϕ discende che un vettore non nullo ha componente 

nulla secondo una retta orientata “r” soltanto se il vettore V è perpendicolare alla retta 

(ϕ = 90° o 270°). 

ϕ 

r


V 

Vr = 0 

ϕ = 90° 

r 

25 

Vr = 0 

V 

ϕ = 270° 

Nello spazio (3D) la componente di V secondo “r” è nulla se V è contenuto in un pia- 

no perpendicolare alla retta stessa. 

V appartiene 

al piano π 

V 

se π è perpendicolare ad “r” Vr = 0 

Se V è parallelo e concorde con “r” (cos ϕ = 1), si ha Vr = V ; se V è parallelo e di- 

scorde con “r” (cos ϕ = -1), risulta = −V 

. 

V ed r concordi 

V 

Vr = V 

ϕ = 0° 

V r 

r 

π 

V ed r discordi 

V 

Vr = -V 

r 

r 

ϕ = 180° 

r


1.4.8. Componenti cartesiane di un vettore 

Si consideri lo spazio (3D) riferito ad una terna ortogonale destrogira Oxyz. 

Gli assi coordinati individuano tre direzioni orientate, perciò dato un vettore è possibile 

considerare le componenti secondo x, y, z: 

x 

Vx 

z 

O 

Vz 

ϕ 3 

ϕ 1 

26 

V 

ϕ 2 

P 

Vy 

V = (P-O) 

Disponendo, per comodità di rappresentazione, l’origine del vettore V nell’origine O 

del sistema di assi, le coordinate (xp, yp, zp) dell’estremità P, definiscono le tre compo- 

nenti x V , V y e V z del vettore V . 

Inoltre si può notare che gli spigoli del parallelepipedo, che ha per diagonale V , sono le 

componenti x V , V y e V z . 

Nella figura sono stati indicati con ϕ1, ϕ2, e ϕ3 gli angoli che il vettore V forma con gli 

assi cartesiani, ricordando l’espressione della componente di un vettore secondo una ret- 

ta “r” (Vr = V cos ϕ), le componenti di V secondo gli assi “x”, “y” e “z” sono, in mo- 

dulo: 

Vx = V cos ϕ1 = V α 

(a) Vy = V cos ϕ2 = V β 

Vz = V cos ϕ3 = V γ 

y


essendo α, β e γ i coseni direttori del vettore V . Quadrando e sommando membro a 

membro queste espressioni, si ha: 

Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 = V 2 α 2 + V 2 β 2 + V 2 γ 2 

(b) Vx 2 + Vy 2 + Vz 2 = V 2 (α 2 + β 2 + γ 2 ) 

(α 2 + β 2 + γ 2 ) = 1 

V = V + V + V 

2 

x 

in tal modo si è ottenuto il modulo del vettore V in funzione delle sue componenti se- 

condo gli assi. 

Noto il modulo si possono ricavare i coseni direttori: 

(c) 

Vx 

α = = 

V 

β = 

V 

V 

y 

= 

Vz 

γ = = 

V 

V 

V 

V 

2 

x 

2 

x 

2 

x 

V 

x 

+ V 

V 

2 

y 

y 

+ V 

V 

z 

+ V 

2 

y 

2 

y 

+ V 

2 

z 

+ V 

+ V 

2 

z 

2 

z 

Prefissato un riferimento cartesiano è possibile, quindi, stabilire una corrispondenza 

biunivoca tra i vettori dello spazio e le terne di numeri reali, potendo, infatti, individuare 

le componenti cartesiane Vx, Vy e Vz di ogni vettore mediante le equazioni (a). 

Viceversa, dati tre numeri reali (non tutti nulli), che definiscono le componenti Vx, Vy, 

Vz è possibile individuare un vettore libero il cui modulo è dato dall’equazione (b) ed il 

cui unico orientamento resta definito dalle equazioni (c), che forniscono i coseni diretto- 

ri. 

In sintesi un vettore libero può essere definito dandone le tre componenti oppure il mo- 

dulo e l’orientamento. 

Il vettore V individuato dalle tre componenti cartesiane si indica: 

⎧Vx 

⎫ 

⎪ ⎪ 

V = ⎨V 

y ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩Vz 

⎭ 

E’ immediato che se V è unitario le sue componenti coincidono con i coseni direttori. 

Nel caso in cui si conoscano le coordinate dell’estremo P del vettore e dell’origine A, 

non coincidente con l’origine della terna cartesiana di riferimento, si ha: 

27 

2 

y 

2 

z


Vx = xP - xA 

Vy = yP - yA 

Vz = zP - zA 

il modulo del vettore sarà quindi uguale a: 

( ) ( ) ( ) 2 

2 

2 

x − x + y − y + z z 

V = 

− 

P 

ed i coseni direttori rispettivamente saranno: 

α = 

β = 

γ = 

xP x A 

V 

− 

yP y A 

V 

− 

zP z A 

V 

− 

A 

P 

A 

E’ evidente che, scelto un sistema di riferimento, le componenti di un assegnato vettore 

libero non cambiano al variare del punto di applicazione. 

Infatti le differenze tra le coordinate degli estremi del vettore non mutano benché cam- 

bino singolarmente tali coordinate. 

Esempio: Le componenti Vx, Vy e Vz del vettore V non cambiano al variare delle coor- 

dinate dei punti origine ed estremo che lo rappresentano nel sistema di riferimento car- 

tesiano: 

P1 (3,2,2) O (0,0,0) 

P2 (6,4,4) A (3,2,2) 

P3 (1,3,3) B (-2,1,1) 

in tutti e tre i casi si ha: 

Vx = 3 Vy = 2 Vz = 2 

28 

P 

A


1.5. Algebra dei vettori. Operazioni tra vettori liberi 

L’elenco delle operazioni tra vettori può essere così sintetizzato: 

- SOMMA 

- DIFFERENZA 

- PRODOTTI 

Vettore per uno scalare 

Prodotto di due vettori 

1.5.1. Somma di due vettori 

Siano V ed U due vettori liberi nello spazio. 

Combinazione Prodotto Scalare e Pro- 

dotto Vettoriale Prodotto Misto 

29 

Prodotto Scalare 

Prodotto Vettoria- 

In un punto A di tale spazio si immagini applicato il vettore U e nel suo estremo libero 

P si pensi applicato il vettore V , si chiama “vettore somma” W il vettore che va 

dall’origine A di U , all’estremo libero B di V : 

x 

z 

A 

U 

La somma di due vettori U e V è quindi l’operazione che associa ai due vettori dati, un 

terzo vettore W ottenuto nel modo seguente: scelto un punto qualsiasi A nello spazio si 

spostano i vettori mantenendoli paralleli a sé stessi e si fa coincidere l’origine di U con 

A e l’origine di V con l’estremità P di U , il vettore W risulta definito dal segmento o- 

W 

P 

V 

B 

le 

y


rientato con origine in A ed estremità in B. Allo stesso risultato si giunge prendendo in 

primo luogo V e aggiungendo successivamente U . 

La somma di due vettori si può ottenere anche applicando la “regola del parallelogram- 

ma”, trasportando i due vettori parallelamente a sé stessi e facendo coincidere l’origine 

di ciascuno con un punto A prefissato. 

A 

V 

U 

W 

30 

“regola del parallelogramma”: 

la diagonale del parallelogramma 

indivividuato da U e V è il 

vettore W = U + V 

La somma o risultante di due vettori viene individuata dalla diagonale orientata, che ha 

per lati i due vettori che si sommano. 

La somma di due vettori gode della proprietà commutativa, infatti si ottiene ugualmente 

il vettore W , sia aggiungendo al vettore U il vettore V (lato destro del parallelogram- 

ma), che aggiungendo a V il vettore U (lato sinistro). 

W = U + V 

W = V + U 

Come conseguenza della proprietà commutativa, le componenti di W secondo gli assi 

cartesiani, nel riferimento spaziale Oxyz, sono la somma delle componenti di U e V : 

Wx = Vx + Ux = αVV + αUU 

Wy = Vy + Uy = βVV + βUU 

Wz = Vz + Uz = γVV + γUU 

Nella seguente figura è rappresentato un esempio per il caso piano 

A 

V 

U 

W 

U 

V 

B


Wy 

Uy 

Vy 

y 

V 

Vx 

1.5.1.1.Differenza di due vettori 

La differenza di due vettori, W = V - U , si ottiene sommando al primo il secondo 

cambiato di verso, e ripetendo, quindi, quanto precedentemente fatto per la somma di 

due vettori: 

W = V + (- U ), 

V 

U 

Si potrebbe arrivare allo stesso risultato applicando la regola del parallelogramma, si 

vede così che la differenza dei due vettori è data dalla seconda diagonale del parallelo- 

gramma determinato dai vettori U e V , mentre la prima come già visto rappresenta la 

somma: 

V 

U 

-U 

W 

A 

31 

Wx 

V 

P 

U 

W 

W 

Ux 

A 

V 

U 

-U 

V 

B 

x 

somma 

sottrazione


1.5.1.2.Somma di più vettori 

La somma (o composizione) di più vettori si realizza ripetendo la procedura impiegata 

per sommare due vettori. 

Dati n vettori liberi V 1 , V 2 , … V n si sceglie un qualsiasi punto A dello spazio, che si 

suppone origine del vettore V 1 . Nell’estremo libero di V 1 si pensi applicato il vettore 

V 2 , nell’estremo libero di V 2 si consideri applicato V 3 e così via fino al vettore V n . Si 

costruisce in tal modo la “poligonale dei vettori”. Il vettore risultante R o somma geo- 

metrica dei vettori dati si ottiene congiungendo l’origine A del primo con l’estremo li- 

bero dell’ultimo. In altre parole il vettore somma o risultante è rappresentato dal lato di 

chiusura della poligonale dei vettori. 

La somma vettoriale si indica nel seguente modo: R = ∑ 

i= 

V1 

V2 

x 

V3 

z 

A 

Si può notare che se si cambia l’ordine dei vettori, cambia la forma della poligonale, ma 

non cambia la risultante. 

32 

R 

V1 

V4 

n 

1 

V i 

V2 

V4 

V3 

y


V1 

V2 

x 

V3 

z 

A 

Si osservi che nello spazio la poligonale dei vettori risulta sghemba se i vettori addendi 

non sono complanari. 

Può succedere che la poligonale dei vettori sia chiusa, in tal caso la risultante è nullo. 

V1 

V4 

V2 

x 

z 

A 

33 

R 

V1 

V1 

V3 

V4 

V4 

V3 

V2 

V2 

V3 

V4 

R = 0 

Il vettore R si può anche ottenere sommando a due a due i vettori di partenza, come già 

visto. 

A causa di una proprietà elementare delle poligonali, la lunghezza (modulo) della risul- 

tante è in genere minore della somma delle lunghezze (moduli) dei singoli vettori: 

R ≤ 

n 

∑ 

i= 

1 

V 

i 

l’uguaglianza si verificherà soltanto nel caso che i vettori siano tutti paralleli e concordi. 

y 

y


1.5.2. Prodotto di un vettore per uno scalare 

Il prodotto di un vettore V per uno scalare k è un vettore W che ha come modulo il 

prodotto del valore assoluto di k per il modulo di V , come direzione la stessa di V e il 

cui verso risulta definito dal segno di k: se lo scalare k è positivo il verso di W è uguale 

a quello di V , se k è negativo il verso di W è opposto a quello di V 

W = kV 

V 

W 

W 

34 

se k è posistivo 

se k è negativo 

W = k V 

La precedente definizione indica che un vettore qualsiasi V può essere considerato co- 

me il prodotto di uno scalare pari al modulo V per il versore r parallelo a V . 

V = V r 

V 

V r 

Il versore r di un vettore V si può esprimere nel seguente modo: 

V 

r = 

V 

r 

r = versore che definisce la 

direzione ed il verso di V 

Se i , j e k sono i versori corrispondenti agli assi x, y, e z di una terna cartesiana, un 

vettore V di componenti cartesiane Vx, Vy e Vz può essere espresso mediante la somma 

vettoriale: 

V = V x + y V + z V = Vx i + Vy j + Vz k


in cui è stata applicata la proprietà per la quale il prodotto di un versore per uno scalare 

è pari al vettore di modulo pari allo scalare e direzione e verso definiti dal versore. 

x 

Vx 

z 

k 

i 

Vy 

j 

V 

Vz 

35 

Vx = Vx i 

Vy = Vy j 

Vz = Vz k 

y


1.5.3. Prodotto scalare 

1.5.3.1.Definizione del Prodotto Scalare 

Si definisce prodotto scalare fra due vettori U e V , e lo si indica con il simbolo “×”, 

l’operazione che associa ai due vettori un numero reale W ottenuto dal prodotto del mo- 

dulo di U per il modulo di V per il coseno dell’angolo ϕ compreso fra le due direzioni: 

W = U × V = |U| |V| cos ϕ 

L’espressione “U × V ” si legge “U scalar V”. 

Quindi il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo 

compreso ϕ (con 0 ≤ ϕ ≤ π). 

ϕ 

U 

Applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, il prodotto scalare può essere 

espresso in due modi: 

U × V = |U| (|V| cos ϕ) 

U × V = |V| (|U| cos ϕ) 

si noti che il prodotto |V| cos ϕ non è altro che la componente di V secondo U , mentre 

il prodotto |U| cos ϕ è la componente di U secondo V 

ϕ 

U 

V 

V cos ϕ 

36 

V 

U cos ϕ 

ϕ 

U 

V


Pertanto il prodotto scalare tra due vettori è pari al prodotto del modulo di uno dei due 

vettori per la componente dell’altro vettore secondo la direzione orientata del primo. 

Dalle precedenti considerazioni si deduce che il prodotto scalare gode della proprietà 

commutativa: 

U × V = V × U 

Si può inoltre notare che: 

• Il prodotto scalare tra due vettori è nullo se i due vettori sono ortogonali tra loro 

(ϕ = π/2). 

• Il prodotto scalare tra due vettori risulta positivo se i due vettori formano tra loro 

un angolo acuto (ϕ < π/2). 

• Il prodotto scalare tra due vettori risulta negativo se i due vettori formano tra loro 

un angolo ottuso (ϕ > π/2). 

ϕ 

U 

V 

ϕ < π/2 cos ϕ > 0 

(U x V) positivo 

V 

ϕ 

37 

U 

ϕ = π/2 cos ϕ = 0 

(U x V) nullo 

V 

ϕ 

U 

ϕ > π/2 cos ϕ < 0 

(U x V) negativo


1.5.3.2.Proprietà Distributiva del Prodotto Scalare 

Si può dimostrare che il prodotto scalare gode della proprietà distributiva rispetto alla 

addizione fra vettori: 

( V + V ) = U × V 1 + U V 2 

U × 

× 

1 

2 

Considerato infatti U parallelo all’asse x e detto 

Si ha che 

Ma anche 

V V V + = 

× 

1 

2 

( V1 

+ V2 

) = U V1, 

x + U V2 

x 

U , 

U × V = U 

Vx 

Poiché per la definizione della somma di vettori 

V x V1 

, x V2, 

x + = 

Si è dimostrato quanto si intendeva. 

1.5.3.3.Espressione matriciale del prodotto scalare 

Se si esprimono U e V attraverso le loro componenti cartesiane moltiplicate per i ri- 

spettivi versori: 

U = U x i + U y j + U z k 

V = Vx 

i + Vy 

j + Vz 

k 

il prodotto scalare risulta: 

× V = ( U i + U j + U k) 

× ( V i + V j + V k) 

= 

U x y z x y z 

= 

U V i × i + U V i × j + U V i × k 

+ U 

x 

y 

V 

j × i + U 

V 

j × j + U 

j × k 

+ U V k × i + U V k × j + U V k × k 

z 

x 

x 

x 

x 

y 

z 

y 

y 

y 

x 

z 

y 

z 

V 

z 

z 

38


i prodotti scalari: i × i , j × j , k × k sono tutti e tre pari all’unità (1·1·cos 0 = 1), mentre 

tutti gli altri termini sono nulli in quanto prodotti scalari tra vettori perpendicolari, per- 

tanto si ha: 

U × V = U V + U V + U V 

x 

x 

y 

y 

z 

z 

In termini matriciali il prodotto scalare si può esprimere nella seguente forma: 

U × V = 

che nel piano diventa: 

U × V = 

T { U} 

⋅{ 

V} 

= { U U U } 

T { U} 

⋅{ 

V} 

= { U U } 

x 

x 

y 

y 

z 

⎧Vx 

⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩V 

y ⎭ 

⎧Vx 

⎫ 

⎪ ⎪ 

⎨V 

y ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩Vz 

⎭ 

Diverse sono le applicazioni del prodotto scalare fra due vettori, tra cui: modulo di un 

vettore, Invariante Scalare di un sistema di forze e Lavoro di una forza. 

1.5.3.4.Prodotto scalare – Lavoro di una forza 

Nella Meccanica l’esempio più frequente di applicazione del prodotto scalare è dato dal 

LAVORO compiuto da una forza F . Se il punto di applicazione P di una forza F (di 

intensità costante) subisce uno spostamento s , il lavoro compiuto dalla forza si defini- 

sce come il numero L dato dal prodotto scalare fra i vettori F e s : 

L = F × s 

Si osservi che lo spostamento di un punto ha intensità, direzione e verso e quindi può 

essere rappresentato da un vettore. 

Il lavoro della forza F nello spostamento s del suo punto di applicazione P è dato dal 

prodotto dell’intensità della forza per la componente dello spostamento nella direzione 

della forza. 

39


il punto P si sposta a P’ 

F 

P 

sf 

ϕ 

s 

P’ 

40 

L = F x s = F s cos ϕ = F sf 

sf = s cos ϕ = componente di s 

secondo la direzione orientata di F 

Dalla definizione di prodotto scalare si desume che il lavoro può anche essere visto co- 

me il prodotto del modulo dello spostamento per la componente della forza nella dire- 

zione dello spostamento. 

Fs 

ϕ 

P 

F 

s 

P’ 

L = F x s = F s cos ϕ = Fs s 

Fs = F cos ϕ = componente di F 

secondo la direzione orientata di s 

• Se il punto di applicazione della forza viene mosso in direzione ad essa ortogonale, 

la forza non compie lavoro. 

• Considerando un corpo rigido in equilibrio, lo spostamento s può essere provocato 

da una causa esterna non dipendente dalla forza (spostamento impresso reale o vir- 

tuale). 

Il calcolo del lavoro può essere eseguito in modo agevole se si conoscono le componen- 

ti cartesiane della forza (Fx, Fy, Fz) e dello spostamento (sx, sy, sz). Infatti, come visto, il 

prodotto scalare può essere calcolato come somma dei prodotti delle componenti omo- 

nime dei vettori, si ha pertanto: 

L = Fx sx + Fy sy + Fz sz


1.5.3.5.Esempio di applicazione del prodotto scalare. Calcolo del lavoro. 

Dato un corpo rigido, il punto P di applicazione della forza F (intensità 100 kN) subi- 

sce uno spostamento s di 60 mm di intensità. Le direzioni e i versi dei due vettori sono 

indicati in figura. Determinare il lavoro compiuto dalla forza. 

P 

a) L = F × s = |F|·|s|·cos ϕ = 100·60·cos 34° ≅ 4974 kN mm 

s 

P’ 

F 

Il lavoro è positivo, infatti il verso della forza e quello della componente dello sposta- 

mento nella direzione della forza sono concordi (ϕ < π/2) 

b) L = Fx sx + Fy sy 

41 

64° 

Fx = F cos 30° = 100 cos 30° = 86.60 kN 

Fy = F cos 60° = 100 cos 60° = 50.00 kN 

sx = s cos 64° = 60 cos 64° = 26.30 mm 

sy = s cos 26° = 60 cos 26° = 53.93 mm 

30° 

L = 86.60 × 26.30 + 50.00 × 53.93 ≅ 4974 kN mm 

50,00 

F (kN) 

s (mm) 

53,93 

s 

26,30 

34° 

30° 

86,60 

F 

F (kN) 

s (mm)


1.5.4. Prodotto vettoriale 

1.5.4.1.Definizione del Prodotto Vettoriale 

Si definisce prodotto vettoriale fra due vettori U e V , e lo si indica con il simbolo “∧”, 

l’operazione che associa ai due vettori un terzo vettore W così definito: 

in cui: 

W = U ∧V 

= r ⋅ U ⋅ V ⋅ senϕ 

• r è un versore normale al piano individuato dai vettori U e V , il verso di r è tale 

che una vite che ruota descrivendo l’angolo ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) avanza nel verso di r 

• ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) è l’angolo compreso tra i versi positivi di U e V 

W 

U 

ϕ 

V 

W è perpendicolare al piano 

individuato dai vettori U e V 

42 

r 

ϕ 

U 

V 

r è il versore che individua la 

direzione 

direzioen ed il verso di W 

• il modulo del vettore prodotto vettoriale ( U ⋅ V ⋅ senϕ 

) equivale all’area del paral- 

lelogramma individuato dai due vettori U e V 

W 

U 

ϕ 

V 

Ω 

Ω = area del parallelogramma 

Ω = |U| |V| senϕ 

U 

ϕ 

V 

|U| senϕ


L’espressione “ U ∧ V ” si legge “U vettor V”. 

In altre parole il prodotto vettoriale di due vettori U e V è un vettore W normale al pi- 

ano individuato dai primi due, avente per modulo il numero che esprime l’area del pa- 

rallelogramma individuato da U e V e per verso quello che va dai piedi alla testa di un 

osservatore che, disposto con i piedi sul piano, vede il primo vettore (U ) descrivere, in 

senso antiorario, l’angolo φ per sovrapporsi al secondo vettore (V ). 

W = U /\ V 

U 

ϕ 

V 

43 

Il verso di W è quello che va dai 

piedi alla testa di un osservatore 

che vede ruotare U in verso 

antioraio per sovrapporsi a V 

Il verso corretto si può ottenere anche utilizzando la mano destra. Facendo corrisponde- 

re U al pollice e V all’indice il verso di W sarà concorde con il medio. Una terna di vet- 

tori così disposta si dice destrogira. 

Il prodotto vettoriale non gode della proprietà commutativa. Infatti, cambiando l’ordine 

dei fattori cambia il verso del vettore prodotto: 

W = U /\ V 

U 

ϕ 

U /\ V 

U 

V 

V 

U ∧ V ≠ V ∧U 

ϕ - V 

U ∧ 

V = −V 

∧U 

ϕ 

U 

ϕ 

V 

Z = V /\ U 

-V /\ U 

U


1.5.4.2.Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori complanari) 

Il prodotto vettoriale gode della proprietà distributiva. Dati tre vettori complanari U , V 

e W risulta 

cioè 

dove 

U ∧ ( V + W ) = U ∧V 

+ U ∧W 

U ∧ S = U ∧V 

+ U ∧W 

S = ( V + W 

V 

U 

S 

) 

W 

modulo U ∧ S = area ABCD 

modulo U ∧ V = area ABFE 

modulo U ∧ W = area EFCD 

A 

V 

44 

E 

U 

W 

S 

B 

D 

F 

NB: i vettori sono complanari. 

ma area ABCD = area ABFE + area EFCD | U ∧ S | = | U ∧V 

| + | U ∧W 

| 

La dimostrazione generale, valida quindi anche per vettori non complanari, sarà data a 

pagina 50, dopo aver definito il prodotto misto. 

1.5.4.3.Prodotto vettoriale tra versori cartesiani 

Si considerino i versori i , j e k di una terna cartesiana x, y e z 

x 

i 

z 

k 

j 

y 

C


Dalla definizione di prodotto vettoriale si ottiene: 

i ∧ i = 0 

j ∧ j = 0 

k ∧ k = 0 

perché sono prodotti vettoriali tra vettori paralleli (ϕ = 0°, sen 0° = 0) 

Inoltre 

i ∧ j = 

j ∧ k = 

k ∧ i = 

k 

i 

j 

questi sono prodotti vettoriali tra vettori perpendicolari (ϕ = 90°, sen 90° = 1), pertanto 

il modulo del vettore prodotto vettoriale è unitario, mentre il verso e la direzione sono 

proprio quelli del versore complementare: 

x 

i 

z 

si ha inoltre: 

ϕ 

j ∧ i = −k 

k ∧ j = −i 

i ∧ 

k = − j 

k = i /\ j 

j 

y 

x 

k 

z 

i = j /\ k 

45 

ϕ 

j 

y 

x 

i 

z 

k 

j = k /\ i 

y


1.5.4.4.Prodotto vettoriale tramite il determinante simbolico 

Dati due vettori U e V definiti mediante le loro componenti: 

⎧U 

⎪ 

U = ⎨U 

⎪ 

⎩U 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

x 

y 

z 

⎧Vx 

⎫ 

⎪ ⎪ 

V = ⎨V 

y ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩Vz 

⎭ 

e indicando con i , j e k i versori diretti come gli assi x, y, z di una terna cartesiana, i 

vettori U e V si possono esprimere nella seguente forma: 

U = U x i + U y j + U z k 

V = Vx 

i + Vy 

j + Vz 

k 

il prodotto vettoriale di U e V è: 

= U ∧V 

= ( U i + U j + U k) 

∧ ( V i + V j + V k) 

W x y z x y z 

per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale sarà: 

ma essendo: 

W = U ∧V 

= ( U i ∧V 

i) 

+ ( U i ∧V 

j) 

+ ( U i ∧V 

k) 

( U 

j ∧V 

x 

+ ( U 

( U i ∧V 

i) 

= 0 

x 

y 

y 

j ∧V 

i) 

+ ( U 

j ∧V 

46 

j) 

+ ( U 

j ∧V 

k) 

+ ( U k ∧V 

i) 

+ ( U k ∧V 

j) 

+ ( U k ∧V 

k) 

j) 

= 0 

( U k ∧V 

k) 

= 0 

z 

x 

y 

z 

z 

in quanto prodotti vettoriali fra vettori paralleli, si ha: 

W = U ∧V 

= U V ( i ∧ j) 

+ U V ( i ∧ k) 

tenendo conto che: 

i ∧ j = 

k 

i ∧ 

k = − j 

x 

x 

x 

x 

+ U V ( j ∧ i) 

+ U V ( j ∧ k) 

y 

+ U V ( k ∧ i) 

+ U V ( k ∧ j) 

z 

y 

x 

x 

x 

x 

y 

z 

y 

z 

z 

z 

y 

y 

y 

y 

x 

z 

y 

z 

z 

z


si ottiene: 

j ∧ i = −k 

j ∧ k = 

k ∧ i = 

i 

j 

k ∧ j = −i 

W = U ∧V 

= U xVy 

k −U 

xVz 

j −U 

yVx 

k + U yVz 

i + U zVx 

j − U zVy 

i 

e, mettendo a fattore comune 

W y z z y z x x z 

x y y x 

= U ∧V 

= ( U V − U V ) i + ( U V −U 

V ) j + ( U V − U V ) k 

Questa espressione è uguale a quella che si ottiene risolvendo il seguente determinante 

detto “determinante simbolico”: 

da cui: 

W = U ∧V 

= U 

i 

V 

x 

x 

U 

V 

j 

y 

y 

k 

U 

V 

z 

z 

U 

= 

V 

y 

y 

U 

V 

47 

z 

z 

U 

i − 

V 

x 

x 

U 

V 

z 

z 

U 

j + 

V 

W y z z y z x x z 

x y y x 

= U ∧V 

= ( U V − U V ) i + ( U V −U 

V ) j + ( U V − U V ) k 

Indicando Wx, Wy, e Wz le componenti di W secondo gli assi cartesiani di riferimento si 

può pertanto scrivere: 

oppure: 

⎧Wx 

⎫ ⎧U 

yVz 

−U 

zV 

y ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎪ 

W = ⎨W 

y ⎬ = ⎨U 

zVx 

−U 

xVz 

⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎪ 

⎩Wz 

⎭ ⎩U 

xV 

y −U 

yVx 

⎭ 

U 

W x = 

V 

y 

y 

U 

V 

z 

z 

U 

Wy = − 

V 

Nel caso piano l’espressione si semplifica: 

i j k 

U 

= U ∧ V = U x U y 0 

= 0i 

− 0 j + 

V 

V V 0 

x 

x 

U 

V 

z 

z 

U 

W z = 

V 

U 

x 

x 

U 

V 

y 

y 

x 

x 

U 

V 

y 

y 

k 

k = ( U V −U 

V )k 

W 

x 

x 

y 

Vy 

x y y x 

x y


1.5.4.5.Espressione matriciale del prodotto vettoriale 

Indicando con W = U ∧V 

il prodotto vettoriale e con Wx, Wy, Wz le sue componenti se- 

condo gli assi di riferimento, si ha: = W i + W j + W k 

x 

dove, come precedentemente visto 

W 

W 

W 

x 

y 

z 

= U 

y 

= U V 

z 

= U V 

x 

V 

z 

x 

y 

−U 

V 

−U 

z 

x 

y 

V 

y 

−U 

V 

z 

x 

z 

W x y z 

48 

W 

Wy j 

Wz k 

Le quali possono essere ottenute anche mediante la seguente espressione matriciale: 

⎧Wx 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎪ ⎢ 

W = ⎨W 

y ⎬ = ⎢ U z 

⎪ ⎪ 

⎩W 

⎭ 

⎢ 

z ⎣− 

U 

che nel caso piano si riduce a: 

y 

−U 

0 

U 

⎧V 

⎫ 

W = 

y x ⎨ ⎬ y x + 

⎩V 

y ⎭ 

x 

{ −U 

U } = { −U 

V U V } 

x 

z 

Wx i 

U y ⎤⎧V 

x ⎫ ⎧U 

yVz 

−U 

zV 

y ⎫ 

⎥⎪ 

⎪ ⎪ 

⎪ 

−U 

x ⎥⎨V 

y ⎬ = ⎨U 

zVx 

−U 

xVz 

⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

z ⎭ ⎩U 

xVy 

−U 

yVx 

⎭ 

x 

y 

y


1.5.5. Prodotto misto 

Per prodotto misto si intende il prodotto scalare C fra due vettori U e Z , in cui 

quest’ultimo è ottenuto come prodotto vettoriale dei vettori V e W , si può quindi scri- 

vere: 

C = U × V ∧W 

= U × Z 

È naturale che nel prodotto misto occorre prima svolgere il prodotto vettoriale e poi 

quello scalare, viceversa si incorrerebbe in un prodotto vettoriale tra uno scalare ed un 

vettore, che per la definizione di prodotto vettoriale, non ha senso. 

Tenendo presente che il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti omo- 

loghe: 

C = U Z + U Z + U 

x 

x 

y 

y 

z 

Z 

z 

e che le componenti di Z sono i minori estratti dal determinante simbolico: 

Z = 

x 

V 

W 

y 

y 

V 

W 

z 

z 

V 

Z y = − 

W 

x 

x 

V 

W 

z 

z 

49 

Vx 

Z z = 

W 

si conclude che il prodotto misto è dato dallo sviluppo del seguente determinante: 

U x U y U z 

Vy 

Vz 

Vx 

Vz 

C = Vx 

Vz 

Vz 

= U x −U 

y + U 

Wy 

Wz 

Wx 

Wz 

W W W 

x 

y 

z 

Poiché il valore del determinante cambia segno se si scambiano fra loro due righe, ma 

rimane invariato se si operano due trasposizioni, si deduce che, permutando circolar- 

mente, i fattori il prodotto misto non cambia: 

C = U × V ∧W 

= V × W ∧U 

= W × U ∧V 

Il prodotto misto può essere interpretato geometricamente come il volume del parallele- 

pipedo non retto avente per spigoli i vettori U , V e W . Infatti il prodotto vettoriale fra 

V e W fornisce l’area del parallelogramma di lati i vettori fattori, base del parallelepi- 

pedo obliquo, che nel successivo prodotto scalare viene moltiplicata per l’altezza: proie- 

zione di U sulla direzione perpendicolare al piano definito da V e W . Ne consegue 

che se i tre vettori sono complanari il loro prodotto misto si annulla. Ecco perché 

l’annullarsi del prodotto misto è definita condizione di complanarità fra tre vettori. 

x 

z 

V 

W 

V 

W 

x 

x 

y 

y 

V 

W 

y 

y


L’interpretazione geometrica del prodotto misto come volume del parallelepipedo non 

retto di spigoli i tre vettori consente di illustrare efficacemente la proprietà della permu- 

tazione ciclica. Infatti è evidente che il volume del parallelepipedo sarà lo stesso anche 

se si scambia l’ordine degli spigoli, mentre il segno è conservato perché i tre vettori so- 

no considerati secondo una successione che ne mantiene la destrogirità (cioè: rispetto 

della regola della mano destra) o levogirità (cioè: mancato rispetto della regola della 

mano destra o disposizione secondo la mano sinistra) iniziale. 

1.5.5.1.Proprietà distributiva del prodotto vettoriale (vettori non complana- 

ri) 

Sfruttando la proprietà della permutazione ciclica del prodotto misto si può dimostrare 

la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, già dimostrata per vettori complanari a 

pagina 44 anche nel caso di vettori non complanari. 

Si consideri infatti il prodotto misto: 

1 

( V V ) 

U × V ∧ + 

2 

3 

Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha: 

1 

( V2 

+ V3 

) = V1 

× ( V2 

+ V3 

) ∧U 

= ( V2 

+ V3 

) × U V1 

U × V ∧ 

∧ 

Applicando ora la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma di vet- 

tori, si ha: 

( V2 + V3 

) × U ∧V1 

= V2 

× U ∧V1 

+ V3 

× U ∧V1 

Ricorrendo consecutivamente due volte alla permutazione ciclica, si ha: 

V × U ∧V 

+ V × U ∧V 

= V × V ∧U 

+ V × V ∧U 

= U × V ∧V 

+ U × V ∧V 

2 

1 

3 

Raccogliendo a fattor comune il vettore U si ottiene: 

1 

2 

1 

3 

1 

1 

2 

( V ∧V 

+ V V ) 

U × V ∧V 

+ U × V ∧V 

= U × 

∧ 

Confrontando con il prodotto di partenza è lecito scrivere l’equazione: 

1 

( V + V ) = U × ( V ∧V 

+ V V ) 

U × V ∧ 

∧ 

2 

E semplificando U si ottiene finalmente: 

3 

( V2 

+ V3 

) = V1 

∧V2 

+ V1 

V3 

V ∧ 

∧ 

1 

Che è quanto si voleva dimostrare. 

1 

2 

1 

1 

2 

50 

3 

1 

1 

3 

3 

1 

2 

1 

3


1.5.6. Effetti delle forze 

Gli effetti prodotti dalle forze dipendono da: 

• intensità, direzione e verso delle forze stesse 

• dalla loro posizione nello spazio, cioè dal loro punto di applicazione nel piano o nel- 

lo spazio. Ad esempio l’effetto di una forza su un corpo sarà diverso se tale forza è ap- 

plicata nel baricentro o in un altro punto; nel primo caso infatti l’effetto prodotto sarà 

una semplice traslazione del corpo stesso, mentre nel secondo caso si avrà anche un ef- 

fetto di rotazione: 

F 

G 

Traslazione Traslazione + Rotazione 

“Una forza applicata ad un corpo tende a causare la traslazione del corpo nella direzione 

della forza; dipendendo dalla ubicazione del punto di applicazione della forza, questa 

può anche tendere a far ruotare il corpo”. Il momento caratterizza la tendenza che una 

forza possiede per indurre un corpo a ruotare intorno ad un polo. 

F 

r 

O 

M = F x r 

La forza F tende a far ruotare 

il corpo intorno al polo O 

51 

F 

F 

G 

M = 0 

Se la retta d’azione di F passa 

per O, il momento della forza 

rispetto a quel punto si annulla 

(il braccio r è nullo) 

F


1.5.7. Momento polare 

Il momento polare di una forza rappresenta una importante applicazione del prodotto 

vettoriale. 

Sia dato un vettore V applicato in un punto P di una retta r e si consideri un altro punto 

O non appartenente ad r. Il momento polare di V rispetto ad O, o semplicemente il 

momento di V rispetto ad O, è dato dal seguente prodotto vettoriale: 

M O = ( P − O) 

∧V 

= D ∧V 

dove D = ( P − O) 

è il vettore posizione di P rispetto ad O. 

corpo rigido 

O 

d 

ϕ 

D 

O 

d 

M0 π 

Il modulo del momento polare rispetto ad O sarà: 

P 

V 

D 

P 

52 

ϕ 

V 

π 

r 

π: piano individuato da V e D 

r 

O = polo 

P = punto di applicazione 

d = braccio = D sen ϕ


|MO| = |D| |V| sen ϕ = |V| d 

dove d è il “braccio” del vettore V rispetto ad O, e rappresenta la minima distanza di O 

dalla retta di applicazione di V . Si può dire quindi che il modulo del momento rispetto 

al polo O è dato dal prodotto del modulo di V per il braccio d di V rispetto ad O. 

MO 

D 

ϕ 

V 

53 

|ΜΟ| = area del parallelogramma 

La direzione del momento è perpendicolare al piano individuato da V e D , mentre il 

verso è definito tramite la regola della vite o dell’osservatore. 

• Il verso del momento M O caratterizza il verso della rotazione che V tende ad im- 

primere al corpo rigido 

• L’intensità di M O misura la tendenza del vettore V ad imprimere un moto di rota- 

zione al corpo rigido attorno ad un asse che contiene M O . 

Se il vettore V è una forza, dimensionalmente il momento si può esprimere come una 

forza per una lunghezza |MO| = |F · L|, ad esempio MO [kN m]. 

1.5.7.1.Espressione matriciale del momento polare 

Si consideri una forza V i definita mediante le sue componenti in una terna cartesiana 

con origine in O applicata in un punto Pi di coordinate xi, yi, zi: 

⎧Vxi 

⎫ 

⎪ ⎪ 

V i = ⎨V 

yi ⎬ Pi = ( xi, yi, zi) 

⎪ ⎪ 

⎩Vzi 

⎭ 

Le componenti del vettore = ( P − O) 

, essendo il polo O l’origine del sistema di rife- 

rimento, sono: 

Di i


⎧Dxi 

⎫ ⎧xi 

− 0⎫ 

⎧xi 

⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

Di 

= ⎨Dyi 

⎬ = ⎨yi 

− 0⎬ 

= ⎨yi 

⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩Dzi 

⎭ ⎩zi 

− 0⎭ 

⎩zi 

⎭ 

x 

MOi 

O 

d 

z 

Di 

P (xi, yi, zi) 

Mediante l’espressione matriciale del prodotto vettoriale si può scrivere: 

M 

Oi 

= D 

i 

∧V 

i 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

zi 

⎢⎣ 

− y 

i 

− z 

0 

x 

i 

i 

54 

ϕ 

yi 

⎤⎧V 

⎪ 

− x 

⎥ 

i ⎥⎨V 

0 ⎥⎪ 

⎦⎩V 

Esprimendo poi le componenti del vettore V i in funzione del modulo e dei coseni diret- 

tori (αi, βi, γi) della retta di applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava: 

M 

Oi 

⎧M 

⎪ 

= ⎨M 

⎪ 

⎩M 

Oix 

Oiy 

Oiz 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎬ = 

⎢ 

zi 

⎪ 

⎭ ⎢⎣ 

− y 

i 

− z 

0 

x 

i 

i 

xi 

yi 

zi 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

Vi 

yi 

⎤⎧α 

iVi 

⎫ ⎧( 

−β 

i zi 

+ γ i yi 

) Vi 

⎫ 

⎥⎪ 

⎪ ⎪ 

⎪ 

− xi 

⎥⎨β 

iVi 

⎬ = ⎨ ( α i zi 

− γ i xi 

) Vi 

⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ 

⎪ 

⎦⎩γ 

iVi 

⎭ ⎩( 

−α 

i yi 

+ β i xi 

) Vi 

⎭ 

che fornisce le componenti del momento del vettore V i rispetto al polo O. Nel caso pia- 

no, con piano xy, essa si riduce a: 

M 

Oiz 

= 

{ − y x } 

i 

i 

⎧α 

iVi 

⎨ 

⎩β 

iVi 

⎫ 

⎬ 

⎭ 

y


1.5.7.2.Proprietà del momento polare 

1. Il momento polare non cambia se si sposta il punto di applicazione della forza (del 

vettore) lungo la propria retta d’azione r. 

Cioè se si fa scorrere V lungo la sua retta d’azione il momento polare rispetto ad un 

polo O non varia. Infatti, il braccio di V rispetto ad O, che rappresenta la distanza di 

O dalla retta r, non cambia. 

Se si considerano i due punti di applicazione P1 e P2, entrambi appartenenti alla retta 

r il momento polare vale: 

• se si considera P1 come punto d’applicazione 

M O1 ( P − O) 

∧V 

= D ∧V 

|MO1| = |D1| |V| sen ϕ1 = |V| d 

= 1 

1 

• se si considera P2 come punto d’applicazione 

M O2 = ( P − O) 

∧ V = D 2 ∧ V |MO2| = |D2| |V| sen ϕ2 = |V| d 

O 

D2 

2 

P2 

d 

D1 

ϕ 2 

V 

P1 

ϕ 1 

Esempio (vedi disegno alla pagina seguente): 

⎧ 10 ⎫ 

V = ⎨ ⎬ (componenti in kN) 

⎩−10⎭ 

a) applicato in P1 (3; 3) (in m) 

b) applicato in P2 (6; 0) (in m) 

i 

55 

V 

d = D1 senϕ1 = D2 senϕ2 

MO = V d 

a) M O = ( P − O) 

∧V 

= 3 3 0 = −30k 

− 30k 

= −60k 

1 

10 

j 

−10 

b) M O = 

( P − O) 

∧V 

= 6 0 0 = −60k 

2 

i 

10 

j 

−10 

k 

0 

k 

0


Il modulo del momento può anche essere calcolato come prodotto del modulo di V per 

il suo braccio rispetto ad O: 

2 ( −10 

) = 200 

2 

2 2 

V = 10 + 

d = 3 + 3 = 18 

M = 200 ⋅ 18 = 60 kN m 

O 

y 

d 

r 

il braccio “d” è ad r 

P1 (3, 3) 

V 

56 

r = retta d’azione di V: 

P2 (6, 0) 

y = - x + 6 

2. Il momento polare non cambia se si sposta il polo lungo una retta parallela a quella 

d’azione della forza. Anche in questo caso il braccio d rimane invariato, pertanto il 

momento polare non cambia 

r’ | | r 

O2 

r 

d 

O 

D2 

O1 

D 

i vettori posizione e l’angolo ϕ variano ma il braccio rimane costante 

d = D sen ϕ = D1 sen ϕ1 = D2 sen ϕ2 

D1 

P 

3. Il momento polare di una forza (vettore) rispetto ad un punto della sua retta d’azione 

è nullo: 

ϕ 1 

ϕ 2 

V 

ϕ 

V 

x


M O = ( P − O) 

∧V 

|MO| = |P-O| |V| sen ϕ = 0 in quanto ϕ = 0 sen ϕ = 0 

r 

O 

P 

V 

(P - O) | | V MO = 0 

4. Cambio del polo: il momento polare di una forza V rispetto ad un punto O* è anche 

uguale al momento di V rispetto al polo O aumentato del momento di V supposto 

in O rispetto a O* 

r 

(O-O*) 

O 

O* 

M O* = ( P − O*) 

∧V 

essendo 

risulta: 

D 

D* 

( P − O*) 

= ( P − O) 

+ ( O − O*) 

M O* = ( P − O*) 

∧V 

= [( P − O) 

+ ( O − O*)] 

∧V 

e, per la proprietà distributiva del prodotto vettoriale: 

M O 

O* = ( P − O) 

∧V 

+ ( O − O*) 

∧V 

= M + ( O − O*) 

∧V 

V 

P 

57 

V 

D* = (P-O*) 

D = (P-O) 

D* = (O-O*) + D 

il primo termine è il momento di V rispetto al polo O, mentre il secondo è momento 

di V supposto applicato in O rispetto a O*.


58


1.5.8. Momento assiale di una forza 

Dati un asse a e una forza V (non parallela né incidente ad a ) si definisce momento 

assiale di V rispetto ad a il momento polare della proiezione di V su un piano π nor- 

male all’asse a rispetto al punto O dato dall’intersezione di a con il piano π. 

Vπ = proiezione di V su π 

π 

( P − O) 

Vπ 

M a = ∧ 

“a” a 

il modulo del momento vale V ⋅b 

π 

M a 

= π 

59 

V 

Vπ O 

P 

b 

asse “a” a 

Quindi il momento di una forza rispetto ad un asse è il prodotto della proiezione della 

forza su un piano normale all’asse, per la sua minima distanza dall’asse. Il momento as- 

siale è nullo se la forza incontra l’asse o se è parallela ad esso, quindi se la forza ha in 

comune con l’asse un punto, sia proprio sia improprio. 

Il modulo del momento assiale di una forza si può ottenere anche come prodotto misto 

fra il versore dell’asse a , il vettore posizione (che va da un punto dell’asse al punto di 

applicazione della forza) e la forza stessa: 

M a 

O traccia di a su π 

= a × 

( P − O) 

∧V 

Se tale prodotto è positivo il momento sarà concorde con a , viceversa se negativo.


1.6. Sistemi di momenti 

1.6.1. Momento risultante 

Dati due vettori 1 V , applicato nel punto P1, e V 2 , applicato nel punto P2, si dice momen- 

to risultante M OR rispetto al polo O la somma vettoriale dei momenti dei singoli vettori 

rispetto ad O. 

π1 

M O1 = P1 

− O) 

∧ 

( V 

M O2 = P2 

− O) 

∧ 

( V 

I due vettori M O1 

e O2 

mento risultante M OR 

M + 

OR = M O1 

M O2 

MOR MO1 

MO2 

1 

2 

P1 

V1 

O 

V2 

60 

P2 

π2 

π1 contiene V1 e O 

π2 contiene V2 e O 

MO1 è perpendicolare a π1 

MO2 è perpendicolare a π2 

M possono essere sommati vettorialmente dando luogo al mo- 

Nel caso di n vettori V 1 , V 2 , V 3 ,…. V n il momento risultante rispetto al polo O sarà da- 

to dalla somma (vettoriale) dei momenti dei singoli vettori rispetto al polo O: 

n 

∑ 

i= 

1 

∑ 

M OR = M Oi = ( 

P − O) 

∧V 

n 

i= 

1 

i 

i


1.6.2. Coppie 

Due vettori applicati in due punti distinti formano una coppia se hanno la stessa intensi- 

tà, linee d’azione parallele e versi opposti. 

Cioè V = V 

1 , V 2 = −V 

R 

2 

= ∑ V i 

i= 

1 

. È chiaro che il Risultante di tale sistema è nullo. 

-V 

b P1 

= 0 

P2 

V 

61 

I due vettori che costituiscono 

la coppia sono complanari 

poichè per ipotesi sono paralleli 

Il momento risultante del sistema rispetto ad un qualsiasi punto nello spazio O vale: 

M O = P − O) 

∧V 

+ ( P − O) 

∧ ( −V 

) 

( 1 

2 

per la proprietà distributiva si ha: 

x 

M O = P − O) 

− ( P − O)] 

∧V 

[( 1 

2 

M O = ( D1 

− D 2 ) ∧V 

z 

D1 

ma la differenza tra i vettori posizione D 1 e 2 

P1 

V 

-V 

D2 

P2 

(P1 - P2) 

D è il vettore P − P ) , definito dai punti 

( 1 2 

di applicazione dei due vettori che formano la coppia, sostituendo si ottiene: 

( 1 

2 

M O = P − P ) ∧V 

y


in tale espressione non compare il polo O, pertanto il momento di una coppia non di- 

pende dal polo scelto. 

Se il punto O appartiene al piano definito dai vettori V e -V si ha una rappresentazione 

piana 

Il momento rispetto ad un polo O vale: 

O 

P1 

O’ 

M O = P − O) 

∧V 

+ ( P − O) 

∧ ( −V 

) 

( 1 

2 

M O = P − P ) ∧V 

( 1 2 

il momento risultante rispetto ad un altro punto O’ appartenente allo stesso piano vale 

M O' = P − O') 

∧V 

+ ( P − O') 

∧ ( −V 

) 

( 1 

2 

M = 

O' = ( P1 

− P2 

) ∧V 

M O 

cioè il momento non cambia qualsiasi sia il punto rispetto al quale si ricerca il momento 

risultante. 

Il modulo di M O vale: 

M O 

M O 

= P − P ⋅ V ⋅ senϕ 

1 

= V ⋅ b 

2 

dove ϕ è l’angolo compreso tra i due vettori P − P ) e V e b=( P − P ⋅ senϕ 

) è il 

braccio della coppia. 

62 

V 

-V 

( 1 2 

Quindi il modulo del momento della coppia è sempre dato dal prodotto del modulo di 

uno dei due vettori per il braccio della coppia, per qualsiasi punto rispetto al quale si 

calcola il momento. 

La direzione del momento della coppia è perpendicolare al piano individuato dai vettori 

( 1 2 

P − P ) e V , che corrisponde al piano individuato dai due vettori della coppia. 

P2 

b 

1 

2


Il verso del momento della coppia è antiorario (positivo) se la coppia tende ad imprime- 

re al corpo una rotazione antioraria, ed è orario (negativo) se la coppia tende ad impri- 

mere al corpo una rotazione oraria. 

MO 

momento positivo (antiorario) 

1.6.2.1.Proprietà delle coppie 

63 

MO 

momento negativo (orario) 

1. La coppia può essere rappresentata dal suo vettore momento (poiché la risultante è 

nullo). 

2. I due vettori che compongono la coppia possono essere ruotati intorno al loro punto 

di applicazione purché si cambi il modulo dei vettori che la compongono in modo 

che il modulo del momento che rappresenta la coppia rimanga costante. |V|·b = 

|V*|·b* 

V* 

V 

-V 

b* 

Quindi è possibile formare insiemi di coppie equivalenti modificando il braccio ed il 

modulo dei vettori. 

b 

-V*


V 

-V 

b 

1/2V -1/2V 

2b 

64 

1/3V -1/3V 

3. Una coppia può essere trasportata su un piano parallelo a quello su cui giace, senza 

modificazioni al campo di momento che essa induce. 

4. Una coppia può essere trasportata comunque nel piano in cui giace, senza modifica- 

zioni al campo di momento che essa induce. 

5. Le coppie possono essere sommate mediante la somma dei loro vettori momento. 

Esercizio sulle coppie 

Dati i vettori V 1 e V 2 , applicati nei punti P1 e P2, rispettivamente, definiti attraverso le 

loro componenti cartesiane 

⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 2 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩−1⎭ 

V 1 P1 = (1, 0, 4) 

⎧ 1 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 1 ⎭ 

V 2 P2 = (0, 4, 1) 

verificare che costituiscono una coppia. 

x 

P1 (1, 0, 4) 

π 

z 

V1 

B (1, 2, 2) 

V2 

A (0, 2, 3) 

P2 (0, 4, 1) 

Il piano π contiene la coppia 

y 

3b 

A: estremo di V1 

B: estremo di V2


Affinché i due vettori formino una coppia devono costituire un sistema con risultante 

nulla, cioè devono avere lo stesso modulo ed essere paralleli ma con verso opposto. 

V 

V 

1 

2 

= 

= 

2 2 2 

( −1) 

+ 2 + ( −1) 

= 6 

1 

2 

+ 

|V1| = |V2| 

2 2 ( − 2) 

+ 1 = 6 

−1 

2 −1 

inoltre = = = −1 

le componenti sono proporzionali a meno del segno i due 

1 − 2 1 

vettori sono paralleli ma con verso opposto. 

Calcolo del momento risultante rispetto all’origine O del sistema di riferimento: 

M 

M 

M 

O1 

O2 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

z1 

⎢⎣ 

− y 

1 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

z1 

⎢⎣ 

− y 

= M 

2 

+ 

− z 

0 

x 

1 

1 

− z 

0 

x 

O O1 

M O2 

2 

2 

y1 

⎤⎧V 

x1 

⎫ ⎡0 

⎪ ⎪ 

− x 

⎥ 

= 

⎢ 

1⎥⎨V 

y1⎬ 

⎢ 

4 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

⎭ ⎢ z1 

⎣0 

65 

− 4 

y2 

⎤⎧V 

x2 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎪ 

− x 

⎥ 

= 

⎢ 

2 ⎥⎨V 

y2 

⎬ ⎢ 

1 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

⎭ ⎢ z 2 ⎣− 

4 

0 

1 

⎧− 

8⎫ 

⎧ 6 ⎫ ⎧− 

2⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

= ⎨− 

3⎬ 

+ ⎨ 1 ⎬ = ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩ 2 ⎭ ⎩− 

4⎭ 

⎩− 

2⎭ 

−1 

0 

0 

0 ⎤⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

⎥⎨ 

2 ⎬ = 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩−1⎭ 

− 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

− 

8⎫ 

⎪ 

3⎬ 

⎪ 

⎭ 

2 

4⎤⎧ 

1 ⎫ ⎧ 6 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

0 

⎥ 

⎥⎨− 

2⎬ 

= ⎨ 1 ⎬ 

0⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩ 

1 ⎭ ⎩− 

4⎭ 

Il momento di una coppia è anche dato dalla seguente espressione: 

oppure 

( P − P ) V 1 

M O = ∧ 

1 

2 

( P − P ) V 2 

M O = ∧ 

2 

1 

Dalla prima, applicando ad esempio, il metodo del determinante simbolico, si ottiene: 

( P − P ) 

1 

2 

⎧1− 

0⎫ 

⎧ 1 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

= ⎨0 

− 4⎬ 

= ⎨− 

4⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩4 

−1⎭ 

⎩ 3 ⎭ 

V 

1 

⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 2 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩−1⎭


i j k 

− 4 3 1 3 1 − 4 

M O = 1 − 4 3 = i − j + k = −2i 

− 2 j − 2k 

2 −1 

−1 

−1 

−1 

2 

−1 

2 −1 

cioè 

M O 

⎧− 

2⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

2⎭ 

Dalla seconda si ottiene: 

( P − P ) 

2 

1 

⎧0 

−1⎫ 

⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

= ⎨4 

− 0⎬ 

= ⎨ 4 ⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩1− 

4⎭ 

⎩− 

3⎭ 

V 

2 

66 

⎧ 1 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 1 ⎭ 

i j k 

4 − 3 −1 

− 3 −1 

4 

M O = −1 

4 − 3 = i − j + k = −2i 

− 2 j − 2k 

− 2 1 1 1 1 − 2 

1 − 2 1 

che è lo stesso risultato ottenuto precedentemente. 

Il modulo del momento della coppia vale: 

M O 

= 

2 2 2 

( − 2) 

+ ( − 2) 

+ ( − 2) 

= 12 

L’equazione del piano su cui giace la coppia si ottiene tramite le coordinate di tre punti 

appartenenti al piano (ad es. P1, P2 ed A, vedi figura), tramite lo sviluppo del seguente 

determinante: 

x − x 

x 

x 

2 

A 

1 

− x 

1 

− x 

x −1 

0 −1 

0 −1 

1 

y − y 

y 

y 

2 

A 

y − 0 

4 − 0 

2 − 0 

1 

− y 

1 

− y 

1 

z − 4 

3 − 4 

z − z 

z 

z 

2 

A 

1 

− z 

1 

− z 

1 

= 0 

1− 

4 = x + y + z − 5 = 0 

x + y + z − 5 = 0 piano su cui giace la coppia


1.7. Operazioni sui vettori e sui sistemi di vettori 

1.7.1. Trasporto di un vettore 

Un vettore può essere trasporto parallelamente a se stesso e fatto passare per un punto 

qualunque, purché si aggiunga il momento che nasce da questo trasporto. In tal modo 

non cambia il campo di momento generato dal vettore. 

O 

P 

V 

67 

O 

MO 

V 

MO = (P-O) /\ V 

Dato un vettore V , applicato in P, è possibile spostare il punto di applicazione in O pur- 

ché si aggiunga il momento di trasporto M O = ( P − O) 

∧V 

. 

Per visualizzare la ragione dell’aggiunta del momento di trasporto si consideri il dise- 

gno seguente. 

O 

V 

P 

O 

-V 

V 

V V 

Nel punto O è possibile applicare due vettori, uno uguale a V e l’altro uguale a -V . Il 

sistema costituito da questi due vettori ha risultante e momento risultante nulli, pertanto 

non modifica l’azione del vettore originale sul corpo rigido. 

Si può notare che il vettore originale V applicato in P e il vettore -V applicato in O co- 

stituiscono una coppia M O giacente sul piano formato da (P-O) e V . La coppia M O si 

chiama “coppia di trasporto”. 

P 

MO 

P 

O 

P


Un esempio pratico di trasporto di un vettore è quello di un pilastro soggetto ad una for- 

za verticale applicata all’estremo P. È possibile applicare tale forza nel baricentro O 

purché venga aggiunto il momento di trasporto MO = V b/2 

O 

b/2 b/2 

V 

P 

68 

V 

O 

b/2 b/2 

MO = V b/2 

1.7.2. Riduzione di un sistema di vettori alla risultante più il 

momento risultante 

Scelto un polo O, un sistema di vettori V i applicati nei punti Pi si riduce ad un insieme 

di vettori concorrenti in O e di coppie M Oi . Questo perché ogni vettore del sistema può 

essere trasportato nel punto O aggiungendo la relativa coppia di trasporto. 

I vettori concorrenti in O possono essere sommati, originando la risultante R applicata 

in O. Anche le coppie M Oi posso essere sommate dando luogo al momento risultante 

M OR : 

V3 

O 

D3 

D1 

P3 

D2 

P2 

V1 

P1 

V2 

Vettori Forze comunque comunque 

orientati orientate nello spazio 

MO2 

V3 

MO1 

O 

MO3 

V1 

Vettori Forze concorrenti e e 

coppie di trasporto 

V2 O 

MOR 

P 

R 

Riduzione del 

sistema al polo O


R = 

n 

∑ V i 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

n 

∑ 

i= 

1 

( Pi 

− O) 

∧V 

i = ∑ 

M OR = M Oi = 

Di 

∧V 

n 

i= 

1 

Scelto un polo O ad arbitrio, si possono trasportare i singoli vettori in O aggiungendo le 

relative coppie di trasporto. Si riduce così il sistema di vettori dato ad un sistema di vet- 

tori concorrenti e di coppie generate dai trasporti. I vettori, essendo concorrenti, si com- 

porranno in un unico vettore R . Le coppie daranno origine ad un’unica coppia M OR . 

Pertanto, un sistema qualunque di vettori applicati ad un corpo rigido si può sempre ri- 

durre ad un vettore risultante R , passante per un punto arbitrariamente scelto O, e ad 

una coppia risultante M OR . 

La risultante R ha intensità, direzione e verso perfettamente determinati, indipendente- 

mente dalla scelta del polo di riduzione adottato. 

Invece la coppia M OR dipende dalla posizione del polo, perché è la somma dei vettori 

( P − O) 

i 

M = ∧ , che dipendono da O. 

Oi i V 

n 

OR M Oi 

La coppia risultante M = ∑ 

= 

zione della forza risultante R . 

i 1 

69 

i 

giacerà in generale su un piano obliquo alla dire- 

Esprimendo poi le componenti del vettore V i in funzione del modulo e dei coseni diret- 

tori (αi, βi, γi) della retta di applicazione (Vxi = αi Vi, Vyi = βi Vi, Vzi = γi Vi), si ricava: 

R = 

n 

∑ 

V 

= 

n 

∑ 

⎧V 

⎪ 

⎨V 

xi 

⎫ 

⎪ 

⎬ = 

n 

∑ 

⎧α 

iVi 

⎫ ⎧ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎨β 

V ⎬ = ⎨ 

∑ 

∑ 

∑ 

α iVi 

⎫ 

⎪ 

β V ⎬ 

i 

yi 

i i 

i i 

i= 

1 i= 

1 ⎪ ⎪ i= 

1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩Vzi 

⎭ ⎩γ 

iVi 

⎭ γ iVi 

⎭ 

le componenti della risultante saranno: 

⎧Rx 

⎫ ⎧ 

⎪ ⎪ ⎪ 

R = ⎨Ry 

⎬ = ⎨ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎩Rz 

⎭ ⎩ 

∑ 

∑ 

∑ 

α iVi 

⎫ 

⎪ 

β iVi 

⎬ 

γ ⎪ 

iVi 

⎭ 

Mentre per il momento risultante si ottiene: 

⎩


70 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

= 

= 

= ⎪ ⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

− 

− 

− 

= 

= 

n 

i 

iy 

i 

ix 

i 

iz 

i 

ix 

i 

iz 

i 

iy 

i 

iy 

i 

ix 

i 

iz 

i 

ix 

i 

iz 

i 

iy 

i 

n 

i 

iz 

iy 

ix 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

n 

i 

Oi 

OR 

V 

x 

V 

y 

V 

x 

V 

z 

V 

y 

V 

z 

V 

x 

V 

y 

V 

x 

V 

z 

V 

y 

V 

z 

V 

V 

V 

x 

y 

x 

z 

y 

z 

M 

M 

1 

1 

1 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

0 

0 

0 

oppure, utilizzando i coseni direttori: 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

= 

= 

= ⎪ ⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

⎥ 

⎥ 

⎥ 

⎦ 

⎤ 

⎢ 

⎢ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

− 

− 

− 

= 

= 

n 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

n 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

n 

i 

Oi 

OR 

V 

x 

y 

V 

x 

z 

V 

y 

z 

V 

x 

y 

V 

x 

z 

V 

y 

z 

V 

V 

V 

x 

y 

x 

z 

y 

z 

M 

M 

1 

1 

1 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

0 

0 

0 

β 

α 

γ 

α 

γ 

β 

β 

α 

γ 

α 

γ 

β 

γ 

β 

α 

quindi le componenti sono: 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

+ 

− 

− 

+ 

− 

= 

⎪ 

⎭ 

⎪ 

⎬ 

⎫ 

⎪ 

⎩ 

⎪ 

⎨ 

⎧ 

= 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

iy 

i 

ix 

i 

iz 

i 

ix 

i 

iz 

i 

iy 

i 

ORz 

ORy 

ORx 

OR 

V 

x 

y 

V 

x 

z 

V 

y 

z 

V 

x 

V 

y 

V 

x 

V 

z 

V 

y 

V 

z 

M 

M 

M 

M 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

) 

( 

β 

α 

γ 

α 

γ 

β


1.8. Invariante scalare e asse centrale 

1.8.1. Invariante scalare di un sistema di forze 

Dato un sistema di forze (vettori) applicate, il prodotto scalare del momento risultan- 

te rispetto ad un punto qualsiasi, per la risultante è sempre costante e non dipende 

dal polo. 

I = M OR × R = M O' 

R × R = ...... = M AR × R = cost 

Si può dire cioè che la componente del momento risultante secondo la direzione della 

risultante non cambia qualsiasi sia il polo scelto. Ricordando infatti la definizione di 

prodotto scalare si ha: 

|R| 

|MR| 

I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos ϕ A = cost 

MOR cos ϕ = MO’R cos ϕ‘ =……= MAR cos ϕ A = cost 

R 

r 

O 

MORN 

71 

R 

MOR MO’R 

ϕ ϕ’ 

MR MR 

M ≠ 

r 

O’ 

ORN ≠ M O' 

RN M ARN 

MO’RN 

Asse Centrale 

R 

r 

A ϕ = 0 

I = MOR R cos ϕ = MO’R R cos ϕ‘ =……= MAR R cos 0° = cost 

Si consideri un sistema di n forze applicate V i . La risultante del sistema è: 

R = 

n 

∑ V i 

i= 

1 

A 

MR = MAR 

MARN = 0


P1 

V1 

x 

O 

z 

Vn 

V5 

V4 

Pn 

P5 

Il momento risultante rispetto al polo O vale: 

n 

∑ 

i= 

1 

P4 

V2 

∑ 

i= 

1 

Vi 

Pi 

P2 

V3 

P3 

( P − O) 

M OR = M Oi = ∧ V 

n 

i 

y 

i 

x 

72 

z 

O 

R 

ϕ 

MOR 

O’ 

MOR = MO’R 

Assumendo un altro polo O’ e operando la riduzione (trasporto di tutte le forze in O’), la 

risultante R non cambia mentre varia il momento risultante M O' 

R poiché cambiano i 

momenti di trasporto delle forze: 

M 

n 

O'R = ∑M 

O'i 

n 

= ∑( 

Pi 

− O' 

) ∧V 

i 

i= 

1 

i= 

1 

Tuttavia, ricordando l’espressione del momento per il cambio di polo, si può scrivere: 

( O − O ) R 

M ' R = M OR + ' 

O ∧ 

M OR è il momento risultante rispetto ad O, mentre ( O O ) ∧ R 

di trasporto di R da O ad O’. 

Moltiplicando scalarmente M O' 

R per R risulta: 

R 

ϕ’ 

MO’R 

− ' rappresenta il momento 

[ R] 

( M OR + ( O − O') 

∧ R) 

= R × M + R × ( O − O ) 

R × M ' R = R × 

OR 

' 

Il prodotto misto ( O − O ) 

O ∧ 

[ R] 

R × ' ∧ è nullo poiché, i tre vettori sono complanari. Di ciò 

si ha conferma operando separatamente i prodotti scalare e vettoriale. Per la definizione 

di prodotto vettoriale, il vettore ( O O ) ∧ R 

lare tra due vettori perpendicolari è nullo. Pertanto risulta 

R 

− ' è perpendicolare ad R , ma il prodotto sca- 

× M O' R = R × M OR = 

invariante 

y


Si osservi che il momento risultante di un sistema di forze nello spazio, rispetto a qual- 

siasi polo O, O', O'' … può essere visto come la somma vettoriale di una componente 

M R secondo la direzione della risultante, che è invariante, e di una componente M ORN 

perpendicolare alla retta d’azione della risultante. Questa seconda componente è varia- 

bile al cambiare del polo. 

M + 

OR = M R M ORN 

INVARIANTE VARIABILE (dipende dal polo) 

L’invariante scalare I = MOR ·R · cos ϕ può assumere i seguenti valori: 

• I ≠ 0. Sistema spaziale di vettori. Nel caso più generale M OR ed R sono obliqui. 

Come caso particolare M OR ed R sono paralleli. 

• I = 0. Tale situazione si verifica nei seguenti casi 

1. M OR ed R sono perpendicolari. Ciò accade per i sistemi di vettori appli- 

cati complanari e per i sistemi spaziali di vettori concorrenti in un punto, 

proprio o improprio (vettori paralleli). Per questi sistemi di vettori vale il 

teorema di Varignon; 

2. M OR = 0 ed R = 0 . Il sistema è equilibrato; 

3. M OR ≠ 0 ed R = 0 . Il sistema è costituito da una coppia di vettori; 

4. M OR = 0 ed R ≠ 0 . Questo caso non è altro che il primo, quando il po- 

lo O rispetto al quale si sta calcolando il momento appartiene a una retta 

particolare detta asse centrale. 

73


1.8.2. Asse centrale 

1.8.2.1.Asse centrale di un sistema di forze. Concetti preliminari 

Innanzitutto vengono ricordati alcuni concetti fondamentali. 

Considerando il caso più generale di un sistema di forze comunque disposte nello spa- 

zio, la riduzione del sistema rispetto ad un punto O è intesa come l’insieme di operazio- 

ni necessarie per trovare un vettore risultante delle forze R ed un vettore momento ri- 

sultante M OR tali da costituire un sistema equivalente all’originario. 

La risultante è indipendente dal polo di riduzione scelto. Mentre intensità, direzione e 

verso del momento risultante (coppia) dipendono dal punto di riduzione. 

L’asse centrale è una retta rispetto ai cui punti la riduzione del sistema assume caratteri- 

stiche particolari. Infatti l’asse centrale è il luogo geometrico dei punti allineati ri- 

spetto ai quali il sistema di forze dato si riduce ad un risultante di forza più una 

coppia risultante che giace su un piano ortogonale alla direzione della risultante. 

Quindi sull’asse centrale il vettore risultante e il vettore momento risultante sono paral- 

leli: R || M OR . 

R 

x 

z 

MOR 

O 

R 

74 

MR 

A 

A: punto generico 

dell’asse centrale 

asse centrale 

Il modulo del vettore momento risultante calcolato rispetto a un punto dell’asse centrale 

diviene minimo per un generico sistema spaziale di vettori, nullo se i vettori concorro- 

no in punto proprio o improprio o se sono complanari. 

Considerando i punti dell’asse centrale il sistema viene ridotto a due vettori paralleli. 

Tale riduzione è possibile solo se l’invariante scalare è diverso da zero. Se l’invariante 

scalare è nullo si ricade in casi particolari che verranno studiati nel seguito. 

y


1.8.3. Legame tra invariante scalare e asse centrale 

Dall’espressione dell’invariante scalare I = M OR × R discende che la componente M R 

del momento risultante secondo la direzione della risultante delle forze è sempre costan- 

te qualsiasi sia il polo di riduzione scelto. A partire da questa considerazione e dalla 

stessa definizione dell’invariante scalare si può stabilire il legame esistente tra valore 

dell’invariante scalare e caratteristiche dell’asse centrale. 

a) Se I ≠ 0 MOR ·R · cos ϕ ≠ 0 cos ϕ ≠ 0 ϕ ≠ π/2 

i vettori M OR e R non sono perpendicolari ma obliqui (o paralleli se il polo ap- 

partiene all’asse centrale). Questa situazione corrisponde al caso più generale di for- 

ze spaziali comunque disposte. 

La riduzione del sistema ad un punto dell’asse centrale fornisce la risultante delle 

forze R ed il vettore momento risultante M OR (somma delle coppie di trasporto) 

parallelo ad R . Inoltre il modulo del momento risultante diviene minimo. 

b) Se I = 0 

MOR ·R · cos ϕ = 0 

cos ϕ = 0 ϕ = π/2 M OR e R sono perpendicolari 

R = 0 coppia 

Se nella riduzione ad un generico punto O, il vettore momento risultante M OR risul- 

ta ortogonale al risultante R , l’invariante scalare è nullo. È cioè nulla la componen- 

te del momento risultante secondo la direzione di R . 

MOR 

R 

ϕ = 90° 

x 

z 

O 

R 

75 

A 

y 

asse centrale 

MOR R 

I = 0


x 

x 

In tale situazione, se si effettua la riduzione rispetto ad un qualsiasi punto dell’asse 

centrale, il sistema si riduce al solo risultante R che agisce lungo l’asse centrale. 

L’asse centrale può essere identificato con la retta d’azione della risultante del si- 

stema (l’asse centrale individua la posizione della risultante delle forze). 

L’ortogonalità tra M OR e R si verifica nei seguenti casi: 

b.1) Sistemi di forze complanari (nello spazio tutte le forze sono contenute in un pi- 

ano). A questo caso sono riconducibili i sistemi piani di forze. 

z 

piano contenente 

le forze 

MOR R 

I = 0 

b.2) Sistemi spaziali di forze parallele 

z 

O 

y 

MOR 

I = 0 

y 

R 

76 

x 

y 

z 

O 

corpo rigido piano 

y 

x


b.3) Sistemi spaziali di forze concorrenti 

MOR 

I = 0 

R 

x 

z 

O 

77 

P 

y


1.8.4. Asse centrale. Sistemi piani di forze 

1.8.4.1.Introduzione 

L’analisi e la riduzione dei sistemi di forze spaziali frequentemente risultano complesse, 

ma tali difficoltà diminuiscono notevolmente quando le forze appartengono tutte ad uno 

stesso piano. 

Quasi tutte le costruzioni si configurano tridimensionalmente, tuttavia in numerose si- 

tuazioni è possibile ricondurre l’insieme strutturale ad una serie organizzata di strutture 

piane a cui vengono assegnate funzioni portanti precise ma compatibili con il compor- 

tamento dell’intera costruzione. 

Quando è possibile ipotizzare che le forze applicate su di una struttura (o su parte di es- 

sa) agiscono tutte in un medesimo piano, la risoluzione dei problemi della statica può 

essere realizzata agevolmente sia in modo analitico che grafico. Tuttavia questa astra- 

zione, che implica significative semplificazioni operative, deve essere meccanicamente 

lecita e adeguata a garantire la sicurezza. 

Da quanto detto si desume che lo studio delle riduzioni dei sistemi piani di forze e la de- 

terminazione dei corrispondenti assi centrali risulta di grande interesse per la risoluzione 

di un vasto numero di problemi. 

y 

trave 

corpo rigido piano 

x 

78 

sistema reticolare 

arco a tre cerniere


1.8.4.2.Asse Centrale di sistemi piani. Riduzione al solo Risultante 

Come detto, per i sistemi piani di forze è possibile ridurre il sistema al solo risultante. Si 

consideri un corpo rigido bidimensionale a cui è applicato un sistema di forze compla- 

nari F 1 , F 2 , F 3 e F 4 , giacenti sul piano della figura (Fig. a). 

y 

F1 

O 

F2 

Figura a) Sistema dato di forze complanari 

F3 

F4 

x 

79 

R 

F1 

F2 

Il poligono delle forze è 

aperto quindi il risultante è 

diverso da zero 

Il sistema dato può essere ridotto al polo O. La risultante R delle forze è complanare al 

sistema di forze dato. I vettori momenti di trasporto corrispondenti a ciascuna delle for- 

ze sono tutti perpendicolari al piano e quindi anche il momento risultante M OR è orto- 

gonale al piano delle forze (la coppia risultante giace nel piano). 

Il sistema dato è stato ridotto al risultante R applicato in O e al momento risultante 

4 

M OR (Fig. b) = ∑ F i 

i= 

1 

∑ 

∑ 

R M = M Oi = ( P − O) 

y 

O 

R 

4 

OR ∧ F 

MOR 

4 

i= 

1 i= 

1 

Figura b) Riduzione al polo O 

x 

i 

i 

R = Σ Fi 

F4 

MOR = Σ MOi 

MOR 

I = 0 

R 

F3


Essendo R ortogonale ad M OR , l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0 

Il sistema è riconducibile al solo risultante R . Infatti, traslando la risultante ortogonal- 

mente alla sua direzione si raggiunge una posizione in cui il momento risultante è nullo 

(Fig. c). Tale posizione corrisponde all’asse centrale del sistema dato, che si identifica 

con la retta d’azione della risultante. 

y 

O 

d 

Figura c) Riduzione ad una sola forza applicata lungo l’asse centrale 

A 

R 

A: punto generico 

dell’asse centrale 

x 

d = MOR / R 

l’asse centrale ha la direzione di R 

asse centrale 

80 

- R 

y 

O 

R 

A 

Trasporto di R applicata in A all’ 

origine O: R applicata in A e -R 

applicata in O costituiscono la 

coppia MOR 

Il sistema dato è così stato ridotto alla minima espressione (una sola forza che agisce 

lungo l’asse centrale). La distanza fra l’asse centrale ed il polo O è data dalla relazio- 

M 

ne: d = 

R 

OR 

La risultante considerato applicato in un punto qualsiasi dell’asse centrale provoca sul 

corpo rigido gli stessi effetti meccanici causati dal sistema di forze dato. Cioè: un siste- 

ma piano di forze con risultante non nullo è equivalente al solo vettore risultante appli- 

cato lungo l’asse centrale. 

Stabilita l’esistenza dell’asse centrale di un sistema piano di forze applicate, si possono 

rilevare le seguenti osservazioni: 

• L’asse centrale ha sempre la direzione della risultante delle forze R . 

• Dato un sistema piano di forze applicate, è nullo il momento risultante M AR rispetto 

ad un punto qualsiasi A appartenente all’asse centrale: M AR = 0 . Infatti, essendo 

R 

x


nullo il momento della risultante rispetto ad un punto della propria retta d’azione, 

deve essere nullo anche il momento risultante del sistema (somma dei momenti delle 

singole forze applicate) rispetto a quel punto. 

• La posizione nel piano della risultante R di un sistema di forze complanari può es- 

sere determinata ricercando l’asse centrale sia in modo analitico che grafico (poli- 

gono funicolare). 

• Se la risultante è nullo ( R = 0 ) ma non è nullo il momento risultante ( M OR ≠ 0 ) il 

sistema si riduce ad una coppia. In tale caso l’asse centrale non esiste. 

• In un sistema equilibrato ( M OR = 0 ed R = 0 ) l’asse centrale non esiste. Tutta- 

via è possibile distinguere l’asse centrale del sistema di forze attive e l’asse centrale 

del sistema di forze reattive, i due assi devono essere coincidenti. 

RO 

P1 

R R 

R A 

asse centrale forze attive P1 e P2 

RB 

81 

P2 

asse centrale forze reattive RO e RB 

Sistema equilibrato: 

R A = -R R 

assi centrali coincidenti


1.8.4.3.Equazione dell’Asse Centrale per i sistemi piani di forze 

Un sistema piano di forze è equivalente al risultante R posto sull’asse centrale. Sia A 

(xA, yA) un punto generico dell’asse centrale in cui si considera applicato la risultante. 

Scomponendo la risultante secondo le direzioni degli assi, R x e R y sostituiscono R 

= R x R y con x = ∑ Fxi 

R + 

y 

O 

A (xA, yA) 

asse centrale 

R 

x 

R R y ∑ F 

82 

= yi 

y 

yA 

asse centrale 

Ry 

A 

Rx 

xA 

O x 

La somma dei momenti, rispetto ad O, delle componenti della risultante deve essere u- 

guale al momento risultante del sistema dato (equivalenza dei sistemi), quindi: 

MOR = Ry · xA - Rx · yA 

Espressione che può scriversi: 

Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 equazione dell’asse centrale nel piano 

La precedente equazione di una retta rappresenta la condizione che devono soddisfare le 

coordinate xA e yA dei punti appartenenti all’asse centrale (retta d’azione della risultan- 

te) di un sistema piano. 

E’ possibile determinare le coordinate xA * e yA * corrispondenti alle intersezioni dell’asse 

centrale con gli assi cartesiani x e y: 

Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 

Punto A1 (xA * , 0) - Ry · xA * + MOR = 0 

Punto A2 (0, yA * ) Rx · yA * + MOR = 0 

* M 

x A = 

R 

OR 

y 

* 

M 

y A = − 

R 

OR 

x


y 

Ry 

O 

MOR 

Rx 

x 

y 

y*A 

y 

Ry 

A1 

x*A 

83 

x*A 

asse 

centrale 

Rx 

x 

x 

asse centrale 

y*A 

A2 

asse 

centrale 

E’ possibile determinare direttamente le coordinate xA * e yA * considerando che la coppia 

risultante MOR deve essere: 

- uguale al momento rispetto ad O della componente R y quando R è applicato in 

A1 (xA * , 0) MOR = Ry · xA * 

- uguale al momento rispetto ad O della componente R x quando R è applicato in 

A2 (0, yA * ) MOR = - Rx · yA * 

y 

Ry 

Rx 

x


1.8.4.4.Sistemi piani di vettori (o forze). Deduzione vettoriale dell’Asse Cen- 

trale 

Si consideri un sistema piano di vettori V i applicati nei punti Pi (xi, yi). 

y 

O 

P2 (x2, y2) 

Pi (xi, yi) 

84 

V2 

Vi V1 

P1 (x1, y1) 

Trattandosi di un sistema piano M OR⊥ R (il momento risultante rispetto all’origine ri- 

sulta perpendicolare al risultante), quindi l’invariante scalare è nullo I = M OR × R = 0 

Il momento risultante M AR rispetto ad qualsiasi punto dell’asse centrale è nullo. Sia A 

(xA, yA) un punto generico dell’asse centrale. Considerando l’espressione della trasposi- 

zione del polo, risulta: 

M OR 

( O − A) 

∧ = 0 

AR = M + R equazione vettoriale dell’asse centrale 

∑ ∑ ∑ 

= = 

= 

⎭ ⎬⎫ 

n 

n 

n 

xi 

i 

i i ⎨ 

V 

i 1 i 1 

i 1 

yi 

dove M OR = MOi 

= ( P − O) 

∧ Vi 

= { − y x } 

Utilizzando l’espressione matriciale del prodotto vettoriale applicata al caso piano e te- 

nendo presente che ( O − A) 

quindi: 

( O − A) 

∧ R = { y − x } 

A 

⎧0 

− xA 

⎫ ⎧− 

x A ⎫ 

= ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ si ha: 

⎩0 

− y A ⎭ ⎩− 

y A ⎭ 

A 

⎧Rx 

⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩R 

y ⎭ 

⎧V 

⎧Rx 

⎫ 

M AR = M OR + { y A − xA} 

⎨ ⎬ = 0 M OR + y A ⋅ Rx 

− xA 

⋅ Ry 

= 0 

⎩Ry 

⎭ 

che è l’equazione cartesiana dell’asse centrale precedentemente trovata. 

⎩ 

x


Esercizio: Asse Centrale nel piano 

Dati i vettori: 

⎧2⎫ 

V 1 = ⎨ ⎬ applicato in P1 = (2, 1) 

⎩2⎭ 

⎧−1⎫ 

V 2 = ⎨ ⎬ applicato in P2 = (1, 3) 

⎩ 1 ⎭ 

y 

5 

4 

3 

2 

1 

O 

V2 

P2 (1, 3) 

determinare l’asse centrale del sistema. 

R = V 

M 

M 

1 

+ V 

2 

P1 (2, 1) 

1 2 3 

⎧2⎫ 

⎧−1⎫ 

⎧1⎫ 

= ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ 

⎩2⎭ 

⎩ 1 ⎭ ⎩3⎭ 

⎧V 

⎧2⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩2⎭ 

x1 

{ − y x } = { −1 

2} 

{ 2} 

O1 

= 1 1 ⎨ ⎬ 

= 

Vy1 

⎩ 

⎧V 

⎫ 

⎭ 

⎧−1⎫ 

⎨ ⎬ 

⎩ 1 ⎭ 

85 

4 

V1 

x2 

{ − y x } = { − 3 1} 

{ 4} 

O2 

= 2 2 ⎨ ⎬ 

= 

Vy 

2 

⎩ 

{ 2 } + { 4} 

= { 6} 

M OR = 

M = 6 

MAR = Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 

⎫ 

⎭ 

yA - 3 · xA + 6 = 0 equazione dell’asse centrale 

Intersezioni con gli assi cartesiani: 

punto A1 (xA * , 0) sostituendo: - 3 · xA * + 6 = 0 xA * = 2 

punto A2 (0, yA * ) sostituendo: y A * + 6 = 0 yA * = -6 

OR 

5 

x


y 

5 

4 

3 

2 

1 

O 

-1 

-2 

-3 

-4 

-5 

-6 

V2 

P2 

P1 

Q 

1 2 3 

y*A 

x*A 

86 

V1 

4 

asse centrale 

Si noti che il punto Q di intersezione tra le rette d’azione di V 1 e V 2 soddisfa 

l’equazione dell’asse centrale: 

retta d’azione di V 1 

retta d’azione di V 2 

punto di intersezione Q (5/2, 3/2) 

x − P y − P 

x 

y x − 2 y −1 

= → = 

V V 

2 2 

x 

x −1 y − 3 

= 

−1 

1 

y 

5 

y = - x + 4 

x 

y = x – 1 

che soddisfa l’equazione dell’asse centrale yA - 3 · xA + 6 = 0 3/2 - 3 ·5/2 + 6 = 0 

Dati due vettori non paralleli nel piano, l’asse centrale deve sempre passare per 

l’intersezione delle loro rette d’azione. In tale punto il momento risultante è nullo (poi- 

ché sono nulli i bracci dei due vettori), quindi anche la retta d’azione della risultante do- 

vrà passare per quel punto.


Esercizio: Asse Centrale di una trave di fondazione 

Si consideri una trave rigida di fondazione soggetta ai carichi trasmessi dai pilastri, co- 

me indicato in figura. Si richiede di: 

a) Ridurre al polo O il sistema di forze applicate 

b) Determinare la posizione della retta di azione della risultante dei carichi (asse cen- 

trale) 

c) Definire la lunghezza totale della trave in modo da produrre tensioni uniformi nel 

terreno. 

a) Riduzione al polo O del sistema di forze applicate 

La trave in c.a. è intesa come corpo rigido. I carichi dei pilastri costituiscono un sistema 

piano di forze parallele. 

Struttura data 

Rappresentazione 

vettoriale 

300 

y 

- 300 j 

P1 

500 

P2 

3 m 3 m 4 m 

- 500 j 

87 

400 

P3 

- 400 j 

O B C 

D 

3 m 3 m 4 m 

R = ∑ Pi 

= −300 

j − 500 j − 400 j − 600 j = −1800 

j 

M Oi 

( − 500 j) 

+ 6i 

∧ ( − 400 j) 

+ 10i 

∧ ( j) 

OR = ∑ 

M = 3i ∧ 

− 600 

P4 

600 kN 

- 600 j 

⎧ 0 ⎫ 

R = ⎨ ⎬ 

⎩−1800⎭ 

x


M OR = −1500k 

− 2400k 

− 6000k 

= −9900k 

MOR = - 9900 

y 

O 

R = - 1800 j 

MOR = - 9900 k 

b) Determinazione dell’Asse Centrale 

B 

Applicando l’equazione cartesiana dell’asse centrale nel piano: 

Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 

1800 · xA - 9900 = 0 retta verticale 

xA = 5.5 m 

Applicando l’equazione vettoriale dell’asse centrale: 

M AR OR 

( O − A) 

∧ = 0 

= M + R 

C 

L’asse centrale deve essere parallelo ad R, quindi è verticale. Si sceglie come 

punto A dell’asse centrale quello di intersezione con l’asse x ( − A) 

= −x 

i 

( − x i) 

∧ ( −1800 

j) 

= −9900k 

+ 1800x 

0 

M AR 

A 

A 

= −9900 

k + 

k = 

− A 

9900 + 1800x 

= 0 xA = 5.5 m 

y 

O 

B 

xA = 5.5 m 

R 1800 kN 

A 

C 

88 

D 

D 

asse centrale 

x 

O A 

x


c) Dimensioni della trave. 

Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave di fondazione deve essere cen- 

trata rispetto ad R. 

asse centrale 

0.7 3 3 4 1.7 

5.5 m 

6.2 m 6.2 m 

89 

pilastro 

σt = tensione 

sul terreno 

trave di 

fondazione 

fonadazione


Esercizio: Asse Centrale di forze parallele complanari 

Con riferimento al sistema di vettori indicato in figura, determinare l’asse centrale. 

y 

O 

2 

V1 

A 

- 480 

- 800 

90 

V2 

V3 

B C 

5.5 m 4 3 

⎧ 0 ⎫ 

V 1 = ⎨ ⎬ applicato nel punto A (2, 0) 

⎩− 

480⎭ 

⎧ 0 ⎫ 

V 2 = ⎨ ⎬ applicato nel punto B (7.5, 0) 

⎩− 

800⎭ 

⎧ 0 ⎫ 

V 3 = ⎨ ⎬ applicato nel punto C (11.5, 0) 

⎩− 

500⎭ 

⎧ 0 ⎫ 

V 4 = ⎨ ⎬ applicato nel punto D (14.5, 0) 

⎩− 

400⎭ 

⎧Rx 

⎫ ⎧ 0 + 0 + 0 + 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫ 

R = ⎨ ⎬ = ⎨ 

⎬ = ⎨ ⎬ 

⎩Ry 

⎭ ⎩− 

480 −800 

− 500 − 400⎭ 

⎩− 

2180⎭ 

M + 

OR = M O1 

+ M O2 

+ M O3 

M O4 

( A − O) 

1 

M O ∧ 

1 = V 

Utilizzando il determinante simbolico si ha: 

i 

j 

M O1 = 2 0 0 = −960k 

0 

− 480 

k 

0 

Analogamente per gli altri vettori si ha: 

V4 

- 500 - 400 kN 

D 

x


i 

j 

M O2 = 7. 

5 0 0 = −6000k 

MO3 = 

0 

i 

11. 

5 

0 

i 

−800 

j 

0 

− 500 

j 

k 

0 

k 

0 = −5750k 

M O4 = 14. 

5 0 0 = −5800k 

0 

− 400 

0 

k 

0 

⎧ 0 ⎫ ⎧ 0 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

M OR = ⎨ 0 ⎬ = ⎨ 0 ⎬ = −18510k 

MOR = -18510 

⎪M 

⎪ ⎪ 

ORx 18510⎪ 

⎩ ⎭ ⎩− 

⎭ 

L’equazione cartesiana dell’asse centrale nel piano vale: 

Rx · yA - Ry · xA + MOR = 0 - 2180 xA + 18510 = 0 

L’equazione trovata per asse centrale rappresenta una retta verticale che dista dall’asse y 

della quantità xA = 18510/2180 = 8.49 m 

y 

O 

V1 

A 

x*A = 8.49 m 

91 

V2 

R 

V3 

B C 

asse centrale 

La posizione dell’asse centrale coincide ovviamente con la posizione della risultante de- 

terminata precedentemente tramite il teorema di Varignon (vedi esercizio di applicazio- 

ne del teorema di Varignon). 

V4 

D 

x


1.8.5. Asse centrale. Sistemi di forze nello spazio 

1.8.5.1.Asse Centrale di un sistema di forze parallele 

Si ipotizzi di avere un sistema di forze parallele all’asse z: la risultante del sistema sarà 

anch’esso parallelo a detto asse. 

Poiché il vettore M Oi della forza F i è ortogonale alla forza stessa, il momento rispetto 

al polo O di ciascuna delle forze del sistema e la loro somma (momento risultante) gia- 

ceranno sul piano xy. 

Il sistema ridotto in O è costituito dal risultante R e dal momento risultante M OR che 

sono ortogonali fra loro. Quindi 

M OR⊥ R I = M OR × R = 0 

Essendo R ≠ 0 il sistema può essere ridotto alla sola forza risultante. 

x 

F1 

F5 

z 

O 

F4 

F2 

F3 

y 

x 

x 

R 

MORx 

z 

O 

z 

R 

O 

92 

MOR 

y 

MOR 

x 

MORy 

xA 

z 

O 

y 

R 

yA 

y 

asse centrale


La riduzione del sistema alla sola forza R può effettuarsi traslando R ad un punto A di 

coordinate (xA, yA, 0) in modo tale che il momento di R applicato in A rispetto ad O sia 

uguale a M OR : 

( A − O) 

R 

M OR = ∧ 

tale equazione esprime l’uguaglianza tra momento risultante e momento della risultante 

rispetto al polo O, e quindi l’uguaglianza del sistema di forze dato con il solo risultante 

applicato in A. 

Le componenti di ( A − O) 

sono 

( A − O) 

x = xA 

( A − O) 

= y A 

y 

sviluppando il prodotto vettoriale si ottiene: 

i 

j 

( A − O) 

∧ R = x y 0 = y Ri 

x R j 

M OR = 

A A 

A − A 

M 

M 

ORx 

ORy 

0 

M ORx 

= y AR 

→ y A = 

R 

M 

= −x 

AR 

→ xA 

= − 

R 

0 

ORy 

k 

R 

Sono così state dedotte le coordinate di un punto A appartenente all’asse centrale, la cui 

direzione è nota in quanto deve essere la stessa della risultante (in questo esempio: ver- 

ticale). Pertanto l’asse centrale risulta completamente definito: una retta verticale che 

interseca il piano xy nel punto A di coordinate: 

M 

xA 

= − 

R 

M ORx y A = 

R 

z = 0 

A 

ORy 

93


1.8.5.2.Asse Centrale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio 

Nel caso più generale di un sistema di forze comunque disposte nello spazio l’invariante 

scalare è diverso da 0 

I = M OR × R ≠ 0 

Si ricordi che la componente del vettore momento risultante M OR nella direzione della 

risultante R è costante qualsiasi sia il polo scelto per la riduzione (l’invariante scalare è 

costante). 

Si consideri una sistema di n vettori V i non complanari. La riduzione del sistema forni- 

sce la risultante R e il momento risultante M OR 

⎧V 

⎪ 

= ⎨V 

⎪ 

⎩V 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

V i 

xi 

yi 

zi 

applicati nei punti Pi = ( xi, yi, zi) 

n 

R = ∑ V i 

i= 

1 

M 

M 

Oi 

= 

( P − O) 

n 

OR = ∑ M Oi 

i= 

1 

i 

∧V 

i 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

zi 

⎢⎣ 

− y 

i 

− z 

0 

x 

i 

i 

yi 

⎤⎧V 

⎪ 

− x 

⎥ 

i ⎥⎨V 

0 ⎥⎪ 

⎦⎩V 

Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0 , i vettori R e M OR non ri- 

sultano perpendicolari. 

R 

x 

z 

MOR 

O 

R 

A 

MR 

asse centrale 

y 

94 

x 

xi 

yi 

zi 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

z 

Vi 

V1 

V4 

V3 

V2 

y


Il vettore M OR (momento risultante rispetto al polo O) può essere decomposto in due 

componenti, una parallela ad R e l’altra perpendicolare: 

- M R parallelo ad R (componente invariante) non cambia al variare del polo O; 

- M ORN ortogonale alla direzione di R , varia cambiando il polo di riduzione. 

Traslando la retta d’azione di R parallelamente a sé stessa, esisterà una posizione nella 

quale la componente M ORN (normale alla retta d’azione di R ) si annulla. In questa po- 

sizione la retta è denominata asse centrale del sistema. 

Con riferimento ad un punto generico A dell’asse centrale il sistema si riduce al risul- 

tante e ad un momento risultante M R parallelo alla direzione di R (il cui modulo è il 

minimo possibile). 

In altre parole sull’asse centrale il sistema si riduce ad un vettore R più una coppia (di 

momento M R ) che giace su piano ad esso perpendicolare. 

r 

R 

r 

MR 

R 

MOR 

ϕ 

O 

r 

MR 

MORN 

95 

R 

MO’R 

ϕ’ 

O’ 

MR = MAR 

MO’RN 

A 

MARN = 0 

A ϕ = 0 

Asse Centrale 

1.8.5.3.Ricerca analitica dell’Asse Centrale di un sistema spaziale 

Se il sistema ammette l’invariante scalare I = M OR × R ≠ 0, si può ricavare l’equazione 

dell’asse centrale nel modo seguente. 

Essendo R la risultante del sistema ed M OR il momento risultante rispetto all’origine 

degli assi cartesiani di riferimento, si ha


n 

∑ 

i= 

1 

R = Vi 

M OR = ∑ M 

= 

i 

n 

1 

Oi 

Sia A (xA, yA, zA) un punto generico dell’asse centrale, il momento risultante rispetto ad 

A può esprimersi con la formula di trasposizione del polo: 

M = M OR + 

( O − A) 

R 

AR ∧ 

( O − A) 

⎧M 

⎪ 

⎨M 

⎪ 

⎩M 

 

ARx 

ARy 

ARz 

⎧0 

− x 

⎪ 

= ⎨0 

− y 

⎪ 

⎩0 

− z 

⎫ ⎧M 

⎪ ⎪ 

⎬ = ⎨M 

⎪ ⎪ 

⎭ ⎩M 

M 

M 

M 

ARx 

ARy 

ARz 

A 

A 

A 

ORx 

ORy 

ORz 

= M 

= M 

= M 

⎫ ⎧− 

x 

⎪ ⎪ 

⎬ = ⎨− 

y 

⎪ ⎪ 

⎭ ⎩− 

z 

A 

A 

A 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎬ + 

⎢ 

− z 

⎪ 

⎭ ⎢⎣ 

y A 

ORx 

ORy 

ORz 

+ z 

− z 

+ y 

dove le componenti di M OR sono: 

M 

OR 

= 

n 

∑ 

i= 

1 

M 

Oi 

⎧M 

⎪ 

⇒ ⎨M 

⎪ 

⎩M 

A 

A 

A 

ORx 

ORy 

ORz 

A 

R 

R 

R 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

y 

x 

x 

z 

A 

0 

− x 

− y 

+ x 

− x 

⎫ ⎧ 

⎪ ⎪ 

⎬ = ⎨ 

⎪ ⎪ 

⎭ ⎩ 

A 

A 

A 

A 

R 

R 

R 

∑ 

∑ 

∑ 

z 

z 

y 

M 

M 

M 

− y 

x 

Oix 

Oiy 

Oiz 

96 

A 

0 

A 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

⎤⎧R 

⎥⎪ 

⎥⎨R 

⎥⎪ 

⎦⎩R 

Se il punto A appartiene all’asse centrale, M AR deve essere parallelo ad R . La condi- 

zione di parallelismo tra due vettori comporta la proporzionalità tra le componenti se- 

condo gli assi cartesiani: 

M 

R 

 

ARx 

x 

M 

= 

R 

ARy 

y 

M 

= 

R 

ARz 

M ARx ARy 

= e 

R 

x 

M 

R 

y 

z 

M ARx = 

R 

x 

Ciascuna delle due equazioni rappresenta un piano. La retta d’intersezione dei due piani 

è l’asse centrale poiché contiene i punti che soddisfano entrambe le relazioni. 

Se l’invariante scalare è nullo, questa deduzione cade in difetto e sono necessarie altre 

considerazioni. 

M 

R 

ARz 

z 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

x 

y 

z


1.8.5.4.Asse Centrale nello spazio. Casi con invariante scalare nullo 

I = M OR × R = 0 

a) R = 0 il sistema si riduce ad una coppia, non esiste l’asse centrale 

b) M OR⊥ R la proiezione di M OR sull’asse centrale è nulla: M R = 0 

Poiché sull’asse centrale la componente M ARN (perpendicolare all’asse) è nulla, se si 

annulla anche la componente parallela M R il momento risultante del sistema rispetto a 

qualsiasi punto dell’asse centrale è nullo: M AR = 0. Pertanto, il sistema si riduce al so- 

lo vettore risultante sull’asse centrale. 

R 

z 

90° 

O 

x 

Sia A (xA, yA, zA) un punto generico dell’asse centrale, applicando la formula di traspo- 

97 

R 

MOR 

sizione del polo, il momento risultante rispetto ad A risulta: 

M AR OR 

( O − A) 

∧ = 0 

= M + R 

che svolgendo i passaggi come fatto nel precedente paragrafo, fornisce: 

M 

M 

M 

ARx 

ARy 

ARz 

= M 

= M 

= M 

ORx 

ORy 

ORz 

+ z R − y R = 0 

A 

A 

A 

y 

− z R + x R = 0 

x 

+ y R − x R = 0 

x 

Ponendo zA = 0 in queste equazioni si ottengono le coordinate 

( x , 

* 

A 

* 

y A, 

0) in cui l’asse interseca il piano xy 

A 

A 

A 

z 

z 

y 

A 

y 

* 

x A e 

asse centrale 

* 

y A del punto A *


M 

M 

ORx 

ORy 

− y 

+ x 

* 

A 

* 

A 

Essendo A * ( x , 

* 

A 

R 

R 

z 

z 

= 0 ⇒ y 

= 0 ⇒ x 

x 

* 

A 

* 

A 

M 

= 

R 

ORx 

z 

M 

= − 

R 

x*A 

ORy 

z 

z 

98 

y*A 

y 

asse centrale 

* 

y A, 

0) un punto dell’asse centrale, e dovendo quest’ultimo essere pa- 

rallelo ad R , l’equazione dell’asse centrale risulta: 

x − x 

R 

x 

* 

A 

y − y 

= 

R 

y 

* 

A 

z − z 

= 

R 

z 

* 

A 

Nella situazione b) ricade il caso di vettori complanari. Infatti, se tutti i vettori apparten- 

gono ad uno stesso piano, il momento di trasporto di ognuno sarà perpendicolare a detto 

piano perciò M OR sarà anch’esso normale al piano e quindi al vettore risultante R . 

x 

z 

π 

y 

vettori complanari 

nel piano π 

R 

x 

z 

90° 

O 

MOR 

y 

riduzione all’origine 

MOR R 

Il sistema si riduce al solo vettore R applicato lungo l’asse centrale. L’invariante scala- 

re risulta nullo e perciò sono applicabili le precedenti considerazioni sull’asse centrale.


Esercizio. Asse centrale di vettori paralleli nello spazio 

Riduzione di un sistema di vettori al risultante R più una coppia risultante M O e ricer- 

ca dell’asse centrale del sistema. 

Dato un sistema di cinque vettori: 

V 1 −3. 

5k 

= applicato in P1 (0; 1) 

V 2 −6. 

0k 

= applicato in P2 (1.5; 0.5) 

V 3 −4. 

0k 


V 4 −7. 

5k 


V 5 −3. 

0k 


rappresentanti forze applicate ad un corpo rigido, 

(1) ridurre il sistema nell’origine O e 

(2) determinare la posizione dell’asse centrale. 

L’unità di misura adottata per le forze é il kN (kilonewton), mentre le coordinate sono 

espresse in m (metri). 

0.5 

z y (m) 

O 

1.5 

1 

V1 

V2 

7.5 m 

(1) La risultante e la coppia risultante sono: 

R = 

5 

∑ V i 

i= 

1 

5 

∑ 

∑ 

i= 

1 i= 

1 

2 

( P − O) 

M 

O = M Oi = ∧ V 

5 

i 

4 

i 

V4 

0.5 

99 

V3 

V5 

2.5 

x (m) 

5 m 

corpo 

rigido


dove: ( P − O) 

= 0i 

+ 1 j 

1 

( P − O) 

= 1. 

5i 

+ 0. 

5 j 

2 

( P − O) 

= 7i 

+ 0 j 

3 

( P − O) 

= 4i 

+ 3 j 

4 

( P − O) 

= 5i 

+ 5 j 

5 

i ( Pi − O) 

V i M Oi = ( P − O) 

∧V 

i 

1 0 i + 1 j − 3. 

5k 

− 3. 

5i 

2 1 . 5i 

+ 0. 

5 j − 6. 

0k 

− 3 i + 9 j 

3 7 i + 0 j − 4. 

0k 

28 j 

4 4 i + 3 j − 7. 

5k 

− 22 . 5i 

+ 30 j 

5 5 i + 5 j − 3. 

0k 

− 15 i + 15 j 

∑ R = −24k 

M O = −44 

i + 82 j 

⎧ 0 ⎫ 

⎪ ⎪ 

R = ⎨ 0 ⎬ Rx = Ry = 0 Rz = - 24 kN |R| = 24 kN 

⎪ ⎪ 

⎩− 

24⎭ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

44⎫ 

⎪ 

⎬ 

0 ⎪ 

⎭ 

M O = 

⎧− 

82 MOx = - 44 kN m MOy = 82 kN m 

R = - 24 k 

z y 

O 

MOy = 82 j 

MOx = - 44 i 

100 

i 

|R| = 24 kN 

|MOx| = 44 kNm 

|MOy| = 82 kNm 

x


(2) Essendo il momento M O ortogonale ad R , il momento del sistema rispetto ad un 

punto dell’asse centrale è nullo. L’intero sistema si riduce al solo vettore risultante R 

nell’asse centrale. 

Se il punto A (xA; yA; 0) appartiene all’asse centrale (punto dell’asse centrale che inter- 

seca il piano xy) si ha: 

quindi 

M A O 

( O − A) 

∧ = 0 

= M + R 

( O − A) 

∧ R = −M 

O 

( O A) 

∧ R = 44i −82 

j 

− equazione (a) 

Le componenti del vettore ( O − A) 

sono: 

(O - A)x = - xA 

(O - A)y = - yA 

(O - A) z = 0 

sviluppando il prodotto vettoriale ( O A) 

∧ R 

ottiene: 

i 

j 

( − A) 

∧ R = − x − y 0 = 24y 

i − 24x 

j 

O A A 

A 

A 

( A) 

∧ R = 24y i − 24x 

j 

O A 

A 

0 

0 

− , utilizzando il determinante simbolico, si 

k 

− 24 

− equazione (b) 

Sostituendo nell’equazione (a) si ricavano i valori di xA e yA del punto A in cui l’asse 

centrale incontra il piano xy 

da cui: 

24 i − 24x 

j = 44i 

−82 

j 

y A A 

24 yA = 44 yA = 1.833 m 

- 24 xA = -82 xA = 3.417 m 

Si osservi che: 

M 

xA = − 

R 

Oy 

z 

M 

y A = 

R 

Ox 

z 

101


z 

O 

3.417 m 

R = - 24 k 

A 

y 

1.833 m 

102 

Riduzione all’asse centrale 

x


Esercizio. Asse centrale di vettori complanari nello spazio 

Dato il sistema costituito dai due vettori 

⎧ 1 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 5 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

6⎭ 

V 1 applicato in P1 (−1; 0; 6) 

⎧− 

⎪ 

= ⎨− 

⎪ 

⎩ 

4⎫ 

⎪ 

1⎬ 

5 ⎪ 

⎭ 

V 2 applicato in P2 (4; 1; 0) 

individuare l’asse centrale. 

x 

z 

V2 

P2 (4; 1; 0) 

P1 (- 1; 0; 6) 

⎧ 1 ⎫ ⎧− 

4⎫ 

⎧− 

3⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

R = ⎨ 5 ⎬ + ⎨− 

1⎬ 

= ⎨ 4 ⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩− 

6⎭ 

⎩ 5 ⎭ ⎩− 

1⎭ 

M + 

M 

M 

OR = M O1 

M O2 

O1 

O2 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

z1 

⎢⎣ 

− y 

1 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

z2 

⎢⎣ 

− y 

2 

− z 

0 

x 

1 

1 

− z 

0 

x 

2 

2 

V1 

y1 

⎤⎧V 

x1 

⎫ ⎡0 

⎪ ⎪ 

− x 

⎥ 

= 

⎢ 

1⎥⎨V 

y1⎬ 

⎢ 

6 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

⎭ ⎢ z1 

⎣0 

y2 

⎤⎧V 

x2 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎪ 

− x 

⎥ 

= 

⎢ 

2 ⎥⎨V 

y2 

⎬ ⎢ 

0 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

⎭ ⎢ z 2 ⎣−1 

103 

I vettori V1 e V2 sono contenuti 

nel piano x + y + z - 5 = 0 

(vedi equazione di un piano a p.63) 

− 6 

0 

−1 

0 

0 

4 

y 

0⎤⎧ 

1 ⎫ 

⎪ ⎪ 

1 

⎥ 

⎥⎨ 

5 ⎬ = 

0⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩− 

6⎭ 

− 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

30⎫ 

⎪ 

0 ⎬ 

5 ⎪ 

⎭ 

− 

1 ⎤⎧− 

4⎫ 

⎪ ⎪ 

− 4 

⎥ 

⎥⎨− 

1⎬ 

= 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩ 

5 ⎭ 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

− 

5 ⎫ 

⎪ 

20⎬ 

0 ⎪ 

⎭


M OR 

⎧− 

30⎫ 

⎧ 5 ⎫ ⎧− 

25⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

= ⎨ 0 ⎬ + ⎨− 

20⎬ 

= ⎨− 

20⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩ − 5 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ − 5 ⎭ 

L’invariante scalare del sistema vale: 

Essendo 

Essendo OR 

I = M OR × R = (− 3) (− 25) + (4) (− 20) + (− 1) (− 5) = 0 

y 

x 

R ≠ 0 

M OR 

≠ 0 

e I = 0 M OR⊥ R 

M perpendicolare ad R , si può determinare il punto A * ( 

* 

A 

* 

A 

M 

= 

R 

ORx 

z 

M 

= − 

R 

ORy 

z 

− 25 

= = 25 

−1 

20 

= = −20 

−1 

e l’equazione dell’asse centrale è: 

x − x 

R 

x 

* 

A 

y − y 

= 

R 

y 

* 

A 

z − z 

= 

R 

x + 20 y − 25 z 

= = 

− 3 4 −1 

z 

* 

A 

104 

x , 

* 

A 

* 

y A, 

0) 

Si noti che i vettori dati sono complanari, contenuti nel piano x + y + z − 5 = 0, anche 

l’asse centrale è contenuto in questo piano e le coordinate di A * (− 20, 25, 0) soddisfano 

l’equazione del piano.


Esercizio. Asse centrale di vettori non complanari 

Dato il sistema di due forze rappresentate dai due vettori V 1 e V 2 

determinare: 

⎧2⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩3⎭ 

V 1 applicato nel punto P1 (0; 2; 1) 

⎧− 

= 0 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

1⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

V 2 applicato nel punto P2 (3; 1; 2) 

2 

(1) Il vettore risultante R 

(2) Il momento rispetto all’origine O 

(3) Il momento rispetto al punto O’ (3; 1; 1) 

(4) L’asse centrale del sistema 

x 

(1) Risultante R 

V2z 

V2 

z 

P2 V2x 

V 1 = 2i 

+ 2 j + 3k 

V1x = 2 V1y = 2 V1z = 3 

V 2 = −i 

+ 2k 

V2x = − 1 V2y = 0 V2z = 2 

R = V 1 + V 2 = i + 2 j + 5k 

Rx = 1 Ry = 2 Rz = 5 

V1x 

105 

P1 

V1z 

V1 

V1y 

y


⎧1⎫ 

⎪ ⎪ 

2 2 2 2 2 2 

R = ⎨2⎬ 

R = Rx 

+ Ry 

+ Rz 

= 1 + 2 + 5 = 30 

⎪ ⎪ 

⎩5⎭ 

Noto il modulo di R e le componenti secondo gli assi cartesiani, si possono trovare i 

coseni direttori della direzione di R : 

α r 

β r 

γ r 

Rx = 

R 

Ry = 

R 

Rz = 

R 

= 

= 

= 

1 

= 

30 

0. 

1826 

2 

= 0. 

3651 

30 

5 

= 0. 

9129 

30 

e ricordando che la somma dei quadrati dei coseni direttori di una data retta deve essere 

sempre pari ad uno, si può effettuare il seguente controllo 

α 

β 

2 2 2 

r + r + r 

γ = 1 

0.1826 2 + 0.3651 2 + 0.9129 2 ≅ 1 

(2) Calcolo del momento risultante rispetto all’origine O 

Il momento risultante di un sistema di vettori applicati rispetto ad un punto O è la som- 

ma vettoriale dei vettori momento di ciascun vettore del sistema rispetto allo stesso pun- 

to O, cioè: 

( P − O) 

∧V 

1 + ( P − O) 

2 

M OR = M O1 

+ M O2 

= 1 

2 ∧V 

componenti di ( P − O) 

componenti di ( P − O) 

1 

2 

( P1 

− O) 

= x1 

= 0 

x 

( P1 

− O) 

= y1 

= 2 

y 

( P − O) 

= z = 1 

1 

z 

( P2 

− O) 

= x2 

= 3 

x 

( P2 

− O) 

= y2 

= 1 

y 

( P − O) 

= z = 2 

2 

z 

1 

2 

106 

vettore ( P − O) 

= 2 j + k 

1 

vettore ( P − O) 

= 3i 

+ j + 2k 

Ricordando che il prodotto vettoriale tra due vettori U e V può essere calcolato me- 

diante la seguente espressione (determinante simbolico) 

2


si ottiene 

U ∧ V = 

i 

U 

V 

x 

x 

U 

V 

j 

y 

y 

k 

U 

V 

( P − O) 

∧V 

1 + ( P − O) 

V 2 

M OR = 

∧ 

i 

1 

j 

k 

i 

z 

z 

2 

j 

k 

( 4i 

+ 2 j − 4k 

) + ( 2i 

− 8 j + k ) = 6i 

− 6 j k 

M OR = 0 2 1 + 3 1 2 = 

− 3 

2 

2 

3 

M OR = 6i − 6 j − 3k 

−1 

0 

M OR 

2 

⎧ 6 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

6⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

3⎭ 

Il calcolo del momento risultante si può effettuare anche mediante l’espressione matri- 

ciale, che fornisce le componenti del momento in funzione delle componenti del vettore 

V i e del vettore posizione che va dal polo al punto di applicazione Pi. Poiché il polo 

coincide con l’origine, tali componenti non sono altro che le coordinate dei punti di ap- 

plicazione Pi (xi; yi; zi). 

M 

Oi 

= 

( P − O) 

i 

∧V 

Nel caso in esame si ottiene: 

M 

M 

O1 

O2 

= 

= 

( P − O) 

1 

( P − O) 

M OR = M O + M 

2 

∧V 

i 

1 

∧V 

1 O2 

⎧M 

⎪ 

= ⎨M 

⎪ 

⎩M 

2 

⎧M 

⎪ 

= ⎨M 

⎪ 

⎩M 

Oix 

Oiy 

Oiz 

⎧M 

⎪ 

= ⎨M 

⎪ 

⎩M 

O1x 

O1y 

O1z 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎬ = 

⎢ 

zi 

⎪ 

⎭ ⎢⎣ 

− y 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎬ = 

⎢ 

1 

⎪ 

⎭ ⎢⎣ 

− 2 

O2 

x 

O2 

y 

O2 

z 

⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎢ 

⎬ = 

⎢ 

2 

⎪ 

⎭ ⎢⎣ 

−1 

⎧ 4 + 2 ⎫ ⎧ 6 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

= ⎨ 2 − 8 ⎬ = ⎨− 

6⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩− 

4 + 1⎭ 

⎩− 

3⎭ 

i 

107 

− z 

0 

x 

i 

−1 

0 

0 

i 

− 2 

che naturalmente è lo stesso ottenuto in precedenza. 

0 

3 

yi 

⎤⎧V 

⎪ 

− x 

⎥ 

i ⎥⎨V 

0 ⎥⎪ 

⎦⎩V 

xi 

yi 

zi 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

2⎤⎧2⎫ 

⎧ 4 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

0 

⎥ 

⎥⎨2⎬ 

= ⎨ 2 ⎬ 

0⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩3⎭ 

⎩− 

4⎭ 

1 ⎤⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ 

− 3 

⎥ 

⎥⎨ 

0 ⎬ = 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩ 

2 ⎭ 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

− 

2 

⎫ 

⎪ 

8⎬ 

⎪ 

⎭ 

1


(3) Calcolo del momento risultante rispetto al punto O’ 

Il momento risultante rispetto al polo O’ è la somma vettoriale dei vettori momento del- 

le singole forze rispetto ad O’, cioè: 

( P − O') 

∧V 

1 + ( P − O ) V 2 

M O'R = M O'1 

+ M O'2 

= 1 

2 ' ∧ 

componenti di ( P − O') 

( P − O') 

= −3i 

+ j 

1 

componenti di ( P − O') 

1 

i 

2 

j 

k 

( P1 

− O') 

x = x1 

− xO' 

= 0 − 3 = 

( P1 

− O') 

y = y1 

− yO' 

= 2 −1 

= 

( P − O') 

= z − z = 1− 

1 = 0 

1 

z 

1 

108 

O' 

−3 

( P2 

− O') 

= x2 

− x ' = 3 − 3 = 0 

x 

O 

( P2 

− O') 

= y2 

− y ' = 1− 

1 = 0 

y 

O 

( P − O') 

= z − z = 2 −1 

= 1 

i 

2 

j 

k 

z 

2 

O' 

1 

vettore 

( 3i 

+ 9 j −8k 

) + ( − j) 

= 3i 

+ 8 j k 

M 'R = − 3 1 0 + 0 0 1 = 

− 

M O'R 

O 8 

2 

⎧ 3 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 8 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

8⎭ 

2 

3 

−1 

0 

2 

vettore ( P − O') 

= k 

Il momento risultante rispetto al polo O’ si può anche determinare con la formula di tra- 

sposizione: 

( O − O ) R 

M ' R = M OR + ' 

O ∧ 

M OR : momento risultante rispetto all’origine 

( O O ) ∧ R 

− ' : momento rispetto ad O’ della risultante R supposto applicato in O 

M OR = 6i − 6 j − 3k 

R = i + 2 j + 5k 

componenti di ( O' −O) 

( O − O') 

x = −xO 

' = −3 

( O − O') 

y = −y 

O' 

= −1 

( O − O') 

= −z 

= −1 

quindi lo sviluppo della formula di trasposizione fornisce: 

z 

O' 

2


i 

j 

k 

( 6i 

− 6 j − 3k) 

+ − 3 −1 

−1 

= ( 6i 

− 6 j − 3k) 

+ ( − 3i 

+ 14 j k) 

M 'R = 

− 

M R 

O 5 

O' = 3i 

+ 8 j −8k 

M O'R 

⎧ 3 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 8 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

8⎭ 

come ottenuto precedentemente. 

(4) Ricerca dell’asse centrale del sistema 

⎧2⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩3⎭ 

V 1 applicata nel punto P1 (0; 2; 1) 

⎧− 

= 0 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

1⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

V 2 applicata nel punto P2 (3; 1; 2) 

2 

1 

Il momento risultante rispetto ad un generico punto A (xA; yA; zA) vale: 

dove 

quindi si ha: 

2 

5 

( P − A) 

∧V 

1 + ( P − A) 

2 

M AR = M A1 

+ M A2 

= 1 

2 ∧V 

⎧0 

− x 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩1− 

z 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

( P1 

− A) 

= 2 − y A ( P2 

− A) 

M 

i 

A 

A 

⎧3 

− x 

⎪ 

= ⎨1 

− y 

⎪ 

⎩2 

− z 

( 0 − x ) ( 2 − y ) ( 1− 

z ) + ( 3 − x ) ( 1− 

y ) ( 2 − ) 

AR = A 

A 

A 

A 

A z A 

2 

j 

2 

k 

3 

109 

A 

A 

A 

⎫ 

⎪ 

⎬ 

⎪ 

⎭ 

i 

−1 

sviluppando e mettendo a fattor comune si ottiene: 

( − 5y + 2z 

+ 6) 

i + ( 5x 

− z − 6) 

j + ( − 2x 

+ y − )k 

M = 

A A 

A A 

A A 

AR 3 

j 

0 

k 

2


M 

M 

M 

ARx 

ARy 

ARz 

= 

= 

= 

( − 5y 

A + 2z 

A + 6) 

( 5xA 

− zA 

− 6) 

( − 2x 

+ y − 3) 

A 

A 

Se il punto A (xA; yA; zA) appartiene all’asse centrale, il vettore M AR deve essere paral- 

lelo al vettore risultante R . La condizione di parallelismo implica la proporzionalità tra 

le componenti di M AR e quelle di R : 

M 

R 

ARx 

x 

M 

= 

R 

ARy 

y 

M 

= 

R 

nel caso in esame risulta: 

ARz 

z 

( 5y + 2z 

+ 6) 

( 5x 

− z − 6) 

( − 2x 

+ y − 3) 

− A A 

A A 

A A 

da cui si ricavano le equazioni: 

a) 

b) 

1 

( 5y + 2z 

+ 6) 

( 5x 

− z − 6) 

− A A 

A A 

1 

= 

= 

2 

2 

18 

x A + 2 y A − z A − = 0 equazione di un piano che contiene A 

5 

( 5y + 2z 

+ 6) 

( − 2x 

+ y − 3) 

− A A 

A A 

1 

= 

5 

33 

x A −13 y A + 5z 

A + = 0 equazione di un piano che contiene A 

2 

= 

La retta d’intersezione dei piani a) e b) contiene punti che soddisfano le due equazioni 

ed è dunque l’asse centrale del sistema. 

asse centrale 

⎧ 

⎪ 

x 

⎨ 

⎪x 

⎩ 

A 

A 

18 

+ 2y 

A − z A − = 0 

5 

33 

−13y 

A + 5z 

A + = 0 

2 

L’equazione della retta d’intersezione dei due piani si può determinare conoscendo due 

punti (A1 e A2) della stessa. 

Assegnando un valore zA1 = 0 (A1 intersezione della retta con il piano xy) il sistema di- 

viene: 

110 

5


⎧ 

⎪ 

x 

⎨ 

⎪x 

⎩ 

A1 

A1 

+ 2y 

A1 

−13y 

A1 

18 

− = 0 

5 

33 

+ = 0 

2 

che fornisce xA1 ≅ 0.92 yA1 ≅ 1.34 

Punto A1 dell’asse centrale A1 (0.92; 1.34; 0) 

Assegnando un valore yA2 = 0 (A2 intersezione della retta con il piano xz) il sistema di- 

viene: 

⎧ 

⎪ 

x 

⎨ 

⎪x 

⎩ 

A2 

A2 

18 

− z A2 

− = 0 

5 

33 

+ 5z 

A2 

+ = 0 

2 

che fornisce xA2 ≅ 0.25 zA2 ≅ − 3.35 

Punto A2 dell’asse centrale A2 (0.25; 0; − 3.35) 

L’equazione della retta passante per A1 e A2 è: 

x − x 

x − x 

A2 

A1 

A1 

y − y 

= 

y − y 

A2 

A1 

A1 

z − z 

= 

z − z 

A2 

x − 0. 

92 y −1. 

34 z 

= = 

− 0. 

67 −1. 

34 − 3. 

35 

A1 

A1 

equazione dell’asse centrale 

Analoga espressione si può ottenere considerando l’equazione della retta passante per 

un punto dell’asse, per esempio A1 (0.92; 1.34; 0), e parallela alla direzione della risul- 

tante 

⎧1⎫ 

⎪ ⎪ 

R = ⎨2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩5⎭ 

− 

R 

x xA1 

y y A1 

z z A1 

x 

= 

− 

R 

y 

= 

− 

R 

x − 0. 92 y −1. 

34 z 

= = 

1 2 5 

z 

che equivale alla precedente (come si evince dividendo tutti i membri per – 0.67) 

111


1.9. Teorema di Varignon (1725) 

Un’importantissima proprietà riguardante i sistemi di forze (e più in generale, di vettori) 

complanari è stata originariamente formulata dal matematico francese Pierre Varignon 

(1654-1722), per essere pubblicata postuma nel 1725. Tale proprietà non è limitata sol- 

tanto ai sistemi di forze complanari, ma anche a quelli tridimensionali di vettori aventi 

in comune un punto proprio o improprio (vettori paralleli). Tali sistemi hanno in comu- 

ne il fatto di possedere risultante diversa da zero e invariante scalare uguale a zero. Per- 

tanto si può enunciare il seguente teorema: 

Dato un sistema di vettori avente risultante non nulla e invariante scalare nulla, il 

momento risultante rispetto a un polo qualsiasi è uguale al momento della risultan- 

te, applicato in punto dell’asse centrale, rispetto allo stesso polo 

( P − O) 

∧ F = ( A − O) 

∧ R R 

M = ∑ 

= 

dove 

OR i 

i 

M 

R ∑ F 

i 

= 

Nel caso di un sistema di forze complanari, la dimostrazione si realizza inizialmente per 

il caso di due forze concorrenti e successivamente si estende al caso di più forze com- 

planari. 

Siano F 1 ed F 2 due forze complanari applicate nei punti P1 e P2 e sia Q il punto di in- 

tersezione delle loro rette d’azione. Se P1, P2 e Q appartengono ad un corpo rigido, le 

forze F 1 e F 2 si possono far scorrere lungo le rispettive rette d’azione (operazione in- 

variantiva) fino a considerarle applicate in Q. 

112


y 

O 

F1 

P1 

Q 

113 

R12 

P2 

F2 

retta d’azione del risultante R12 

Se O è un punto generico in cui si colloca l’origine degli assi di riferimento, il momento 

del sistema formato da F 1 e F 2 rispetto ad O è: 

M OR = M O1 

+ M O2 

= 

( Q − O) 

∧ F1 

+ ( Q − O) 

∧ F2 

Applicando la proprietà distributiva del prodotto vettoriale, si ottiene 

( Q − O) 

∧ + ( F + F ) = ( Q − O) 

∧ + R12 

M OR = 1 2 

con 12 1 2 

x 

R = F + F 

Quindi il momento rispetto ad O di due forze concorrenti è uguale al momento del- 

la risultante rispetto allo stesso polo. 

La forza R12 applicata nel punto Q è equivalente al sistema costituito dalle due forze F 1 

e F 2 poiché hanno lo stesso risultante e lo stesso momento risultante rispetto ad O. 

Quindi si può affermare che la risultante di un sistema di forze complanari, applicate su 

punti appartenenti a un corpo rigido, è la forza che agendo in una definita posizione 

produce sul corpo rigido gli stessi effetti meccanici che producono le forze date. E’ op- 

portuno osservare che se le forze agiscono invece su un corpo deformabile, la risultante 

non produce, in generale, i medesimi effetti delle forze che compongono il sistema di 

partenza. 

La precedente formulazione desunta per due forze concorrenti può essere generalizzata 

al calcolo di più forze complanari comunque disposte. Infatti operando allo stesso modo 

considerando come forze R 12 e F 3 si ottiene la risultante R 123 applicato in T (punto di


intersezione delle rette d’azione di R 12 e F 3 ), poi si considera una quarta forza F 4 e 

così via fino ad arrivare al risultante R dell’intero sistema applicato in A. 

y 

O 

Fi 

F1 

P1 

Pi 

Q 

R12 

Si perviene cioè alla seguente espressione: 

T 

R12 

114 

P2 

F2 

R123 

= ∑ ( Pi 

− O) 

∧ F = ( A − O) 

R con ∑ R 

M OR i ∧ 

P3 

F3 

= i F 

Nella forma generalizzata per i sistemi piani il teorema di Varignon dice: la somma dei 

momenti di un sistema di forze complanari rispetto ad un polo del piano è uguale 

al momento della risultante, applicata in un punto dell’asse centrale, rispetto allo 

stesso polo. 

somma dei momenti delle 

singole forze rispetto ad O 

Si può dimostrare che la formulazione di Varignon è valida per i sistemi di forze paral- 

lele (sia piani sia spaziali, § 1.8.5.1). 

F4 

momento della risultante ri- 

spetto ad O 

P4 

x


y 

O 

F1 

R 

F2 

Fi 

x 

x 

Il teorema di Varignon è anche valido per i sistemi spaziali di forze concorrenti in pun- 

to. 

x 

z 

O 

V1 

Infatti se tutte le forze V i applicate nei punti Pi sono concorrenti in un punto P, è possi- 

bile far scorrere le singole forze lungo la loro retta d’azione fino ad applicarle in P, per 

cui il momento risultante diventa: 

cioè 

n 

∑ 

i= 

1 

∑ 

( P − O) 

∧V 

= ( P − O) 

M OR = 

∧V 

OR 

i 

i 

n 

i= 

1 

( P − O) 

∧V1 

+ ( P − O) 

∧V2 

+ ( P − O) 

∧V 

+ ..... ( P − O) 

Vn 

M ∧ 

115 

i 

P 

z 

O 

Vi 

V2 

= 3 

e, per la proprietà invariantiva del prodotto vettoriale 

M 

n 

OR = ∑ ∧ 

i=1 

( P − O) 

∧ V i = ( P − O) 

R 

F2 

F1 

V3 

R 

R 

y 

F3 

Fi 

y


che è proprio il momento della risultante rispetto ad O. Perciò, dato un sistema di vettori 

concorrenti, la somma dei loro momenti rispetto ad un polo qualsiasi è uguale al mo- 

mento della risultante rispetto allo stesso polo. 

Esempio sui vettori concorrenti: dati i vettori V 1 , V 2 e V 3 applicati nel punto P 

V 1 

⎧3⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩1⎭ 

V 

2 

⎧ 0 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 3 ⎭ 

⎧−1⎫ 

⎪ ⎪ 

V 3 = ⎨ 4 ⎬ P (1, 2, 0) 

⎪ ⎪ 

⎩− 

2⎭ 

si calcolano a) il momento risultante e b) il momento della risultante 

a) il momento rispetto all’origine O di un sistema di riferimento cartesiano dei singoli 

vettori può essere calcolato tramite l’espressione matriciale del prodotto vettoriale: 

M 

O 

M O1 

M O2 

M O3 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

z1 

⎢⎣ 

− y 

1 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

− 2 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

− 2 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

− 2 

− z 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

x 

1 

1 

y1 

⎤⎧V 

x ⎫ 

⎪ ⎪ 

− x 

⎥ 

1⎥⎨V 

y ⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩V 

z ⎭ 

2 ⎤⎧3⎫ 

⎧ 2 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

⎥⎨2⎬ 

= ⎨− 

1⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩1⎭ 

⎩− 

4⎭ 

2 ⎤⎧ 

0 ⎫ ⎧ 6 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

⎥⎨− 

2⎬ 

= ⎨− 

3⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩ 

3 ⎭ ⎩− 

2⎭ 

2 ⎤⎧− 

1⎫ 

⎧− 4⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

⎥⎨ 

4 ⎬ = ⎨ 2 ⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩− 

2⎭ 

⎩ 6 ⎭ 

il momento risultante è dato dalla somma dei singoli momenti: 

M 

= M 

+ M 

+ 

OR O1 

O2 

M O3 

⎧ 4 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

2⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 0 ⎭ 

b) per il momento rispetto ad O della risultante, applicato in P, si ha: 

⎧3 

+ 0 −1⎫ 

⎧2⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

R 

= ⎨2 

− 2 + 4⎬ 

= ⎨4⎬ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

⎩1+ 

3 − 2 ⎭ ⎩2⎭ 

116


M 

OR 

⎡ 0 

= 

⎢ 

⎢ 

0 

⎢⎣ 

− 2 

0 

0 

1 

2 ⎤⎧R 

x ⎫ ⎡ 0 

⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

= 

⎢ 

⎥⎨R 

y ⎬ ⎢ 

0 

0 ⎥⎪ 

⎪ 

⎦⎩R 

⎭ ⎢ z ⎣− 

2 

0 

0 

1 

117 

2 ⎤⎧2⎫ 

⎧ 4 ⎫ 

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 

−1 

⎥ 

⎥⎨4⎬ 

= ⎨− 

2⎬ 

0 ⎥⎪ 

⎪ ⎪ ⎪ 

⎦⎩2⎭ 

⎩ 0 ⎭ 

che è lo stesso ottenuto per il momento risultante. E’ così nuovamente verificato il teo- 

rema di Varignon per i vettori concorrenti. 

In generale, il teorema di Varignon è applicabile a tutti i casi in cui il sistema di forze 

dato può essere ridotto al solo risultante delle forze R . 

La formulazione di Varignon consente la rapida determinazione della posizione della 

risultante. In particolare, il calcolo può essere agevolato considerando la componenti 

delle forze secondo gli assi di riferimento. 

y 

O 

Fyi 

Fxi 

Fi 

F1 

Fx1 

Fy1 

x


1.9.1.1.Ricerca della posizione della risultante di un sistema di forze com- 

planari e parallele mediante il teorema di Varignon. 

Dato un sistema di forze complanari parallele F 1, 

F 2 , e F 3 applicate nei punti P1, P2 e 

P3, la risultante R ha la direzione delle forze, perciò per definire la posizione di R è 

sufficiente determinare le coordinate di un punto della sua retta d’azione. 

y 

O Fx1 

b1 

P1 

F1 

P2 

B1 Fx2 B2 Rx 

Fx3 B3 

Fy1 

b2 

d 

r 

Fy2 

b3 

R 

F2 

r 

retta di azione del risultante 

A 

118 

Ry 

Fy3 

R = F1 + F2 + F3 

Assunto un sistema di assi di riferimento, si possono spostare le forze F 1, 

F 2 , e F 3 

lungo la loro retta d’azione fino a portarle nei punti B1, B2 e B3 d’intersezione con l’asse 

x (operazione invariantiva). Inoltre ogni forza può essere sostituita dalle rispettive com- 

ponenti cartesiane F xi e F yi (altra operazione invariantiva). 

P3 

F3 

r 

x


Secondo il teorema di Varignon, il momento della risultante rispetto all’origine O è u- 

guale alla somma dei momenti, rispetto allo stesso polo, di ciascuna delle forze. Inoltre 

il momento rispetto ad O di una singola forza F i è uguale alla somma dei momenti del- 

le sue componenti F xi e F yi , sempre rispetto allo stesso polo. 

Si può poi osservare che le componenti F xi hanno braccio nullo rispetto ad O in quanto 

la loro retta d’azione è incidente in O. Quindi il momento rispetto ad O della generica 

forza F i applicata in Bi è uguale al momento della sua componente F yi (il momento 

della componente F xi è nullo). 

Adottando la notazione indicata in figura, si può quindi scrivere: 

M OR Fyi 

⋅ bi 

= Fy1 

⋅ b1 

+ Fy 

2 ⋅ b2 

+ Fy3 

= ∑ 

La retta d’azione della risultante R interseca l’asse x in un punto A di coordinate (xA, 

0). Sostituendo la risultante con le sue componenti cartesiane si ottiene: 

119 

⋅ b 

OR = Ry 

⋅ d = Ry 

x A con ∑ = R y Fyi 

M ⋅ 

Dalle precedenti espressioni si ricava: 

d 

= 

M 

R 

OR 

y 

∑ ⋅ Fyi 

bi 

= 

F 

∑ 

yi 

Noto d risulta determinata la posizione della retta d’azione della risultante del sistema 

dato (come si vedrà più avanti tale retta è l’asse centrale). 

1.9.1.2.Esempi d’applicazione del teorema di Varignon 

• Sistema di forze complanari parallele Determinazione posizione della risultante 

dei carichi verticali agenti su un semiarco in muratura. 

y 

P6 

P5 

R 

P4 P3 

P2 

P1 

3 

R = Σ Pi 

x 

x


• Sistema di forze complanari comunque disposte Determinazione posizione della 

risultante delle forze agenti su una diga di calcestruzzo massivo (corpo rigido). La 

stabilità è legata al peso dell’opera stessa. 

R = P1 + P2 + P3 + S 

y 

O 

P2 

R 

120 

P1 

P3 

S 

S = spinta dell’acqua 

• Sistema spaziale di forze parallele Determinazione posizione della risultante dei 

carichi verticali dei pilastri agenti su platea rigida di fondazione. 

x 

V1 

z 

V2 

R 

V3 

V4 

y 

x 

R = V1 + V2 + V3 + V4


Esercizio: applicazione del teorema di Varignon ad una trave di fondazione. 

Dati i quattro pilastri con carichi assiali 

V1 = 480 kN, V2 = 800 kN, V3 = 500 kN, V4 = 400 kN 

nelle posizioni indicate in figura, determinare le dimensioni della trave di fondazione 

con tensioni uniformi nel terreno. Si consideri la trave di fondazione come un corpo ri- 

gido. 

Assumendo l’origine del sistema di riferimento nel punto A, si ha 

b2 = 5.50 m, b3 = 9.50 m, b4 = 12.5 m, b1 =0 

y 

30 

- 480 kN 

30 

V1 

30 

45 

- 800 

V2 

121 

30 

- 500 

30 

V3 

5.5 m 4 3 

30 

- 400 

30 

V4 

A B C D 

dimensioni trasversali dei 

pilastri in cm 

Si determina innanzitutto la posizione della risultante R mediante il teorema di Vari- 

gnon 

Risultante R = – 480 – 800 – 500 – 400 = – 2180 

Momento risultante MAR = – (V2·b2) – (V3·b3) – (V4·b4) (verso orario nega- 

tivi) 

MAR = –(800·5.50) –(500·9.50) –(400·12.50) = – 14150 kN m (o- 

rario) 

La somma dei momenti delle singole forze rispetto ad A è uguale al momento della ri- 

sultante rispetto allo stesso punto: 

M −14150 

= m 

R − 2180 

AR Momento della risultante MAR = R·d d = ≅ 6. 

49 

x


y 

A 

V1 

V2 

d = 6.49 m 

R 

V3 

6.01 m 

V4 

122 

x 

La somma dei momenti delle 

singole forze rispetto ad A è 

uguale al momento del risultante 

rispetto allo stesso punto 

Affinché le tensioni nel terreno siano uniformi, la trave di fondazione deve essere 

centrata rispetto ad R. 

per ragioni 

costruttive 

0.50 

V1 

30 

V2 

45 

R 

14.28 m 

V3 

5.5 4.0 3.0 

5.125 

3.625 

30 

2.7 

7.14 7.14 

V4 

30 

0.98 

1 m 

per centrare la trave 

di fondazione con R


1 m 

7.14 

14.28 m 

Peso della trave di fondazione F = 14.28 × 1.00 × 1.00 × 25 ≅ 357 kN ≈ 360 kN 

(peso specifico del calcestruzzo armato γC.A. = 25 kN/m 3 ) 

123 

1 m 

Carico totale sul terreno di fondazione R* = R + F = 2180 + 360 = 2540 kN 

Superficie di contatto terreno-fondazione S = 14.28 × 1.00 = 14.28 m 2 

2540 

Tensione sul terreno σ t = = = 177. 

9 kN/ m 

S 14. 

28 

2 

σt = 177.9 kN/m 2 

R * 

14.28 m 

R* = 2540 kN 

1 m


1.10. Sistemi di forze applicate 

1.10.1. Equivalenza statica 

Il concetto di equivalenza statica risulta fondamentale per trattare numerosi problemi 

della statica. 

Quando un sistema di forze applicate ad un corpo rigido può essere sostituito da 

un altro sistema di forze applicate allo stesso corpo senza provocare alcun cam- 

biamento negli effetti meccanici (tendenza alla traslazione e alla rotazione) i due si- 

stemi di forze si definiscono staticamente equivalenti. 

Più brevemente, due sistemi di forze applicate si dicono equivalenti se tendono a provo- 

care gli stessi effetti meccanici sul corpo rigido cui sono applicati. 

Ad esempio la forza R applicata in P è staticamente equivalente al sistema di forze 

concorrenti V ed H applicate nello stesso punto P. Le tendenze alla traslazione e alla 

rotazione indotte dal sistema costituito da V ed H sono uguali a quelle provocate da 

R . 

Deve cioè risultare: 

• R = V + H (uguale tendenza alla traslazione) 

• 

I II 

OR M OR 

M = il momento risultante del primo sistema deve essere uguale al momen- 

h 

to risultante del secondo (uguale tendenza alla rotazione) 

Sistema I 

O 

v 

v = braccio della forza V rispetto ad O 

h = braccio della forza H rispetto ad O 

Nel caso piano della figura deve essere: 

V 

P 

H 

124 

d 

Sistema II 

O 

d = braccio della forza R rispetto ad O 

P 

R


R·d = V·v - H·h 

I 

II 

essendo M = R ⋅ d M = V ⋅ v − H ⋅h 

OR 

OR 

Più in generale dati due sistemi S e S* di forze applicate ad un corpo rigido che hanno 

come risultanti R e 

M OR e M OR 

* 

* 

R , e come momenti risultanti rispetto ad un polo qualsiasi O 

, tali sistemi si definiscono equivalenti se e solo se hanno il medesimo ri- 

sultante (forza) e lo stesso momento risultante (coppia) rispetto ad un qualsiasi polo. 

Quindi si può affermare che due sistemi di forze applicate sono equivalenti se entrambi 

possono essere ridotti allo stesso sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risul- 

tante) in un generico punto O. 

Si ricordi che un dato sistema di forze che agisce su di un corpo rigido può essere ridot- 

to in un punto qualsiasi ad un sistema Forza-Coppia (Risultante e Momento Risultante) 

che caratterizza completamente gli effetti del sistema dato sul corpo. 

Sistema S 

R 

M OR 

EQUIVALENTI 

SE 

R = 

* 

R 

M OR = M OR 

* 

125 

Sistema S* 

* 

R 

M OR 

* 

Condizioni vettoriali 

per l’equivalenza dei 

due sistemi dati


x 

F5 

Fi 

z 

O 

Sistema S 

F4 

MOR 

R = Σ Fi 

F1 

R 

F3 

MOR = Σ MOi 

F2 

y 

126 

x 

F*5 

F*4 

F*6 

Riduzione ad O del sistema S R , M OR 

Riduzione ad O del sistema S* 

S è equivalente a S* se R = 

Sistema S* 

z 

O 

M*OR R* 

F*3 

R* = Σ F*i 

F*i 

M*OR = Σ M*Oi 

* 

R , M OR 

* 

* 

R e M OR = M OR 

* 

A partire dalla definizione di equivalenza espressa vettorialmente 

R = 

* 

* 

R ∑ F i = ∑ F i 

M OR = M OR 

* 

* 

∑ Oi = M Oi 

M ∑ 

e operando con le componenti cartesiane, si ottiene: 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

F 

F 

F 

xi 

yi 

M 

M 

zi 

M 

= 

= 

= 

Oxi 

Oyi 

Ozi 

∑ 

∑ 

∑ 

= 

= 

= 

F 

F 

F 

* 

xi 

* 

yi 

* 

zi 

∑ 

∑ 

∑ 

⇒ R 

⇒ R 

⇒ R 

M 

M 

M 

* 

Oxi 

* 

Oyi 

* 

Ozi 

x 

y 

z 

= R 

= R 

= R 

⇒ M 

⇒ M 

⇒ M 

* 

x 

* 

y 

* 

z 

ORx 

ORy 

ORz 

= M 

= M 

= M 

* 

ORx 

* 

ORy 

* 

ORz 

Quindi due sistemi sono equivalenti se tendono a provocare la stessa traslazione secon- 

do gli assi x, y e z e la stessa rotazione attorno agli assi x, y e z. 

F*2 

F*1 

y


Dovendo essere uguali i campi vettoriali dei momenti generati da due sistemi equivalen- 

ti, risulta che l’uno può essere ricavato dall’altro mediante operazioni invariantive (ope- 

razioni che non modificano il campo dei momenti) 

1.10.2. Operazioni invariantive 

Sono quelle operazioni che non modificano il campo dei momenti stabilito dal siste- 

ma di forze applicate. Quindi queste operazioni non cambiano gli effetti meccanici delle 

forze applicate ad un corpo rigido. 

Le seguenti operazioni sono invariantive: 

1. Spostare il punto di applicazione di una forza lungo la propria retta d’azione. 

2. Aggiungere due forze uguali ed opposte agenti sulla stessa retta d’azione (tali forze 

costituiscono una coppia di momento nullo). 

3. Sostituire più forze agenti su rette d’azione concorrenti in un punto con il loro risul- 

tante applicato in tale punto. Viceversa si può decomporre una forza secondo più di- 

rezioni. 

4. Spostare un forza in direzione perpendicolare alla sua retta d’azione aggiungendo la 

corrispondente coppia di trasporto. 

5. Sostituire più coppie con una sola coppia che ha come momento il momento risul- 

tante dei vettori momento di ciascuna delle coppie date. 

6. Trasportare una coppia su un piano parallelo a quello su cui giace. 

127


1.10.3. Sistema equilibrante 

Dato un sistema S A di forze applicate avente risultante 

128 

A 

R e momento risultante 

A 

M OR 

rispetto ad un polo O qualsiasi, si da il nome di sistema equilibrante (del sistema dato) 

al sistema S R di risultante 

che si verifichi: 

+ R A 

R R = 0 

M OR + M OR = 0 

x 

A 

z 

R 

Sistema dato S A 

R 

A 

A 

MOR 

y 

R 

R e momento risultante 

A 

R e 

A 

M OR e 

x 

R 

R sono forze opposte 

R 

MOR 

R 

M OR sono coppie opposte 

Sistema equilibrante S R 

z 

R 

R 

R 

M OR rispetto allo stesso polo tale 

y 

x 

Sistema equilibrato 

Si può dire che il sistema S R è equilibrante di S A se il sistema formato da tutte le forze 

appartenenti a S A e a S R costituisce un sistema nullo. Quindi il sistema equilibrante 

sommato al sistema dato produce un sistema equilibrato (risultante e momento risultante 

nulli). 

Sistema dato 

S A 

Sistema equilibrante 

+ = 

In genere, data un corpo rigido vincolato, sono note le forze attive applicate in diversi 

punti del corpo, mentre sono incognite le forze reattive agenti nei vincoli. Se l’insieme è 

S R 

R 

MOR 

Sistema nullo o equilibrato 

FORZE ATTIVE + 

FORZE REATTIVE EQUILIBRIO 

z 

R 

R 

R 

A 

A 

MOR 

y


in equilibrio, le reazioni vincolari devono costituire un sistema equilibrante il sistema 

delle forze attive. Pertanto, la determinazione delle reazioni vincolari può essere vista 

come la ricerca del sistema equilibrante delle forze attive. 

129


1.10.4. Sistema di forze nullo o equilibrato. Equazioni di 

equilibrio statico 

Quando la risultante R e il momento risultante M OR di un dato sistema di forze appli- 

cate sono uguali a zero si dice che il sistema dato è nullo o equilibrato. Questa situazio- 

ne rappresenta un caso particolare di notevole importanza riguardante la riduzione dei 

sistemi. 

Dal punto di vista meccanico, un sistema nullo non provoca nessun effetto sul corpo ri- 

gido su cui agisce. Infatti non è presente alcuna tendenza alla traslazione o alla rotazio- 

ne, quindi il corpo rigido rimane in stato di quiete o di equilibrio. 

x 

F5 

Fi 

z 

O 

Fn 

F4 

F1 

F3 

F2 

y 

x 

130 

z 

O 

R = Σ Fi = 0 

MOR = Σ MOi = 0 

se il sistema di forze applicate è un 

sistema nullo il corpo rigido è in equilibrio 

Si può affermare che un corpo rigido è in equilibrio quando le forze agenti sul corpo co- 

stituiscono un sistema nullo (o equivalente a zero), cioè, condizione necessaria e suffi- 

ciente per l’equilibrio di un corpo inteso come rigido è che le forze agenti su di esso co- 

stituiscano un sistema nullo 

R = 0 (la risultante delle forze agenti è nullo) 

M OR = 0 (il momento risultante è nullo rispetto ad un polo qualsiasi) 

queste equazioni rappresentano, in forma vettoriale, le equazioni cardinali della stati- 

ca. 

Operando con le componenti cartesiane si ricavano le equazioni in forma scalare. Nello 

spazio si ha: 

y


⎧R 

⎪ 

⎨R 

⎪ 

⎩R 

x 

y 

z 

⎧M 

⎪ 

⎨M 

⎪ 

⎩M 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

ORx 

ORy 

ORz 

∑ 

∑ 

∑ 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

F 

F 

F 

xi 

yi 

zi 

∑ 

∑ 

∑ 

= 0 

= 0 

= 0 

M 

M 

M 

Oxi 

Oyi 

Ozi 

= 0 

= 0 

= 0 

dove le sommatorie ∑ M Oxi , ∑ M Oyi, 

∑M 

Ozi possono essere viste come la somma dei 

momenti delle forze rispetto agli assi x, y e z. 

Nel piano le equazioni cardinali della statica si riducono a: 

⎪⎧ 

R 

⎨ 

⎪⎩ R 

M 

x 

y 

ORz 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

= 0 ⇒ 

∑ 

∑ 

∑ 

F 

F 

xi 

yi 

M 

= 0 

= 0 

Ozi 

= 0 

Esercizio: equilibrio di un corpo rigido 

Verificare se il corpo libero OABCDE è in equilibrio sotto l’azione delle forze F 1 , F 2 , 

F 3 e F 4 . 

x 

6 m 

F4 

C 

A 

z 

E 

O 

F3 

B 

D 

F1 

4 m 

F2 

3 m 

131 

3 m 

12 m 

y 

Coordinate vertici corpo 

O (0, 0, 0) 

A (6, 0, 0) 

B (3, 4, 0) 

C (6, 0, 12) 

D (3, 4, 12) 

E (0, 0, 12)


F 1 

⎧144⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨192⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 0 ⎭ 

F 2 

⎧ 0 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨− 

384⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩ 576 ⎭ 

F 1 applicata in D (3, 4, 12) 

F 2 applicata in B (3, 4, 0) 

F 3 applicata in O (0, 0, 0) 

F 4 applicata in A (6, 0, 0) 

F 3 

⎧ 0 ⎫ 

⎪ ⎪ 

= ⎨ 0 ⎬ 

⎪ ⎪ 

⎩− 

576⎭ 

132 

F 4 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

144⎫ 

⎪ 

⎬ 

0 ⎪ 

⎭ 

⎧− 

= 192 

Le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del corpo rigido sono: 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

∑ 

F 

F 

F 

F 

F 

F 

xi 

yi 

zi 

xi 

yi 

zi 

M 

M 

M 

= 0 

= 0 

= 0 

= F 

= F 

= F 

Oxi 

Oyi 

Ozi 

x1 

y1 

z 2 

= F 

⎧ 

⎪ 

⎨ 

⎪ 

⎩ 

+ F 

= −F 

+ F 

+ F 

= −F 

x1 

y1 

∑ 

∑ 

∑ 

x4 

⋅ z 

x1 

y2 

z3 

⋅ z 

D 

⋅ y 

M 

M 

M 

Oxi 

Oyi 

Ozi 

+ F 

= 0 

= 0 

= 0 

= 144 −144 

= 0 

y4 

= 192 − 384 + 192 = 0 

= 576 − 576 = 0 

D 

+ F 

− F 

D 

z2 

+ F 

z 2 

⋅ x 

y1 

⋅ y 

B 

⋅ x 

B 

= −192⋅12 

+ 576⋅ 

4 = 0 

= 144⋅12 

− 576⋅ 

3 = 0 

D 

− F 

y2 

⋅ x 

B 

+ F 

y4 

⋅ x 

A 

= −114⋅ 

4 + 192⋅ 

3 − 384⋅ 

3+ 

192⋅ 

6 = 0 

Essendo verificate le sei condizioni, si conclude che il corpo rigido OABCDE è in equi- 

librio. 

Dal punto di vista operativo, può essere conveniente considerare alternativamente la 

condizione vettoriale per il momento risultante M OR : 

M OR 

= 0 

M OR = M O1 

+ M O2 

+ M O4 

= 0 (è evidente che M O3 

= 0 ) 

i 

j 

( D − O) 

∧ F 1 = 3 4 12 = −2304i 

j 

M O1 = 

+ 1728 

144 

i 

192 

j 

( B − O) 

∧ F 2 = 3 4 0 = 2304i 

−1728 

j k 

M O2 = 

−1152 

0 

− 384 

k 

0 

k 

576


i 

( A − O) 

∧ F 4 = 6 0 0 k 

M O4 = 

= 1152 

M OR 

O 

−144 

j 

192 

k 

0 

= M O1 

+ M O2 

+ M 4 = −2304i 

+ 1728 j + 2304i 

−1728 

j −1152k 

+ 1152k 

= 0 

Esercizio: calcolo delle reazioni vincolari, ossia del sistema equilibrante 

Data la trave riportata in figura, determinare le reazioni vincolari applicando il concetto 

di sistema equilibrante. 

O 

y 

RO 

L 

A 

P1 = 3 P 

Le forze P1 = −3P 

j e P 2 = −P 

j costituiscono il sistema attivo 

Le forze O = R j e B = R j costituiscono il sistema reattivo 

R O 

R B 

Si effettua la riduzione al polo O delle forze attive 

R A 

= P1 

+ P 2 = −3P 

j − P j = −4P 

j 

A 

OR = M O1 

M O2 

M + 

( A − O) 

∧ ( − P j) 

+ ( C − O) 

∧ ( P j) 

M A 

OR = 3 

− 

M A 

L 

133 

B 

RB 

( − 3P j) 

+ 3Li 

∧ ( − P j) 

= −3PLk 

− 3PLk 

= − PLk 

L 

C 

P2 = P 

OR = Li 

∧ 

6 (verso orario) 

x


O 

Riduzione al punto O delle forze attive 

R A = - 4P j 

A 

MOR = - 6PL k 

Il sistema equilibrante costituito da R O e R B deve avere risultante e momento risultante 

opposti a quelli del sistema attivo, cioè deve essere: 

R 

R = RO 

+ R B = 4P 

j 

M R 

OR = 6PLk 

calcolando il momento delle forze reattive rispetto ad O si ottiene: 

( B − O) 

∧ R j = 2 Li 

∧ R j = LR k 

R 

M OR = 

B 

B 2 B 

ma dovendo anche essere OR = 6PLk 

si ha 

2 k = 6PLk 

LR B 

M R 

da cui si ricava il modulo della reazione in B 

R B 

Dovendo poi essere 

R 

= 3P 

R B = 3P 

j 

R = RO 

+ R B = 4P 

j 

si ottiene la reazione in O 

RO + 3 P j = 4P 

j RO = P j 

La procedura applicata per la determinazione delle reazioni nei vincoli utilizzando il si- 

stema equilibrante e la risoluzione delle equazioni vettoriali può essere semplificata 

mediante l’impiego diretto delle equazioni cardinali della statica, che nel caso piano so- 

no: 

1) 

2) 

3) 

∑ ∑∑ 

F 

= 0 

F 

M 

x 

y 

O 

= 0 

= 0 

134


La direzione di R B è nota in quanto deve risultare ortogonale al piano in cui giace il 

carrello (direzione verticale). Essendo verticali tutte le forze attive, anche R O sarà ver- 

ticale. 

Dalla equazione 1) risulta infatti: R = 0 

equazione 2) – 3P – P + RO + RB = 0 RO + RB = 4P 

equazione 3) – 3P ·L – P ·3L + RB ·2L = 0 RB 2L= 6PL 

Ox 

RB = 3P (il modulo di RB è risultato positivo, pertanto il verso ipotiz- 

zato per la reazione è corretto) 

Sostituendo nella equazione 2): RO + 3P = 4P 

RO = P (anche il verso supposto per RO è corretto) 

135

Note sulle lezioni del corso di STATICA tenute - Sede di Architettura

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