topografia 3 divisione dei terreni
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Â<br />
S 1<br />
M<br />
B<br />
A N B<br />
B<br />
DIVISIONE DEI TERRENI
Prerequisiti<br />
Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in:<br />
. Matematica di base<br />
. Risoluzione di triangoli e quadrilateri<br />
. Calcolo delle aree<br />
. Tecniche di rilievo topografico
Indice<br />
Concetti generali<br />
Progetto di frazionamento<br />
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili<br />
Divisione <strong>terreni</strong> di forma triangolare con uguale valore unitario<br />
. Caso 11°<br />
dividente uscente da uno <strong>dei</strong> vertici<br />
. Caso 22°<br />
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro<br />
. Caso 33°<br />
dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
. Caso 44°<br />
dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
. Caso 55°<br />
dividente MN che forma un angolo dato con uno <strong>dei</strong> lati<br />
Divisione <strong>terreni</strong> di forma quadrilatera con uguale valore unitario<br />
. Caso 11°<br />
dividente uscente da uno <strong>dei</strong> vertici<br />
. Caso 22°<br />
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro<br />
. Caso 33°<br />
dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
. Caso 44°<br />
dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati
Concetti generali<br />
La <strong>divisione</strong> <strong>dei</strong> <strong>terreni</strong> consiste nel frazionare<br />
particelle di terreno mediante una o più<br />
dividenti che soddisfino particolari condizioni<br />
geometriche<br />
La <strong>divisione</strong> <strong>dei</strong> <strong>terreni</strong> riveste una notevole<br />
importanza pratica nell’attività professionale del<br />
geometra in quanto trova applicazione nelle<br />
divisioni per compravendita o successione<br />
ereditaria e nelle espropriazioni parziali
Concetti generali<br />
I <strong>terreni</strong> da dividere possono avere uguale<br />
valore unitario o valore unitario diverso diverso.<br />
Nel primo caso, la <strong>divisione</strong> viene effettuata<br />
attraverso la ripartizione della sua area. area<br />
Nel secondo, invece, per realizzare la<br />
<strong>divisione</strong> occorre ripartire il valore totale<br />
dell’appezzamento
Concetti generali<br />
I <strong>terreni</strong> possono avere forma forma:<br />
triangolare<br />
quadrilatera<br />
poligonale<br />
Le dividenti rettilinee possono possono:<br />
passare per un punto dato<br />
avere una direzione assegnata
Progetto di frazionamento<br />
Le divisioni <strong>dei</strong> <strong>terreni</strong> sono definiti dalla<br />
circ circ. 2/88 88 come atti di aggiornamento<br />
geometrico (tipi tipi di frazionamento<br />
frazionamento). La<br />
<strong>divisione</strong> delle particelle, modifica il foglio di<br />
mappa e quindi la<br />
la mappa particellare<br />
particellare, particellare<br />
particellare, uno<br />
degli atti fondamentali del catasto definiti<br />
dal DPR 650/72 650 72
Progetto di frazionamento<br />
Poichè la posizione di una dividente è definita da<br />
quella <strong>dei</strong> punti in cui essa taglia i confini<br />
dell’appezzamento, le incognite sono le distanze<br />
<strong>dei</strong> punti di intersezione dai vertici del confine<br />
A<br />
S 1<br />
S 2<br />
1<br />
B
Progetto di frazionamento<br />
eventuale rilievo planimetrico dell’appezzamento<br />
definizione delle quote di <strong>divisione</strong> in area o valore<br />
definizione della direzione della dividente<br />
individuazione grafo analitica della posizione della dividente<br />
posizionamento degli estremi della dividente sul terreno<br />
rilievo topografico<br />
redazione atto di aggiornamento geometrico (tipo di frazionamento)
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili<br />
triangoli aventi stessa base e uguale altezza<br />
relativa hanno stessa area<br />
triangoli aventi stessa altezza hanno le aree<br />
proporzionali alle base e viceversa<br />
poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali<br />
e le aree di poligoni simili sono proporzionali al<br />
quadrato <strong>dei</strong> lati omologhi<br />
D<br />
h h<br />
A<br />
C<br />
A B<br />
S ABC<br />
E<br />
C<br />
ABC : S EBF EBF = AB AB2 : EB EB2 F<br />
B
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE<br />
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 11°<br />
Dividente uscente da uno <strong>dei</strong> vertici<br />
Il problema consiste nel dividere l’appezzamento di<br />
area totale S in due aree parziali note S1 e S2 con<br />
una dividente rettilinea AM uscente da uno <strong>dei</strong><br />
vertici, in questo caso il vertice A. Solo nel caso in<br />
cui le due aree parziali risultino diverse tra loro<br />
dovrà essere data la loro posizione, ad esempio se<br />
S1 è vicina al vertice B o al lato AB. AB Poichè per<br />
dividere l’appezzamento in due parti M deve cadere<br />
necessariamente su BC, il problema si risolve<br />
calcolando le due distanze BM e CM CM. La distanza di<br />
M dai due vertici dipende ovviamente dalla<br />
dimensione delle due aree parziali S1 e S2 e dalla<br />
forma dell’appezzamento<br />
A<br />
S 1<br />
S<br />
S2 AM<br />
uscente dal vertice A<br />
S1 prossima al lato AC<br />
S 1<br />
S 2<br />
B<br />
C<br />
M
CASO 11°<br />
Dividente uscente da uno <strong>dei</strong> vertici<br />
Il problema, noti i lati lati AB e AC e l’angolo nel vertice<br />
A, si risolve come segue:<br />
St = 0,5 x AB x AC x sen A<br />
S1 = S 2 = 0,5 S St BC = √ ( AB AB2 BC = √ ( AB + AC 2 – 2 x AB x AC x cos A )<br />
C = sen -1 ( AB AB x sen A/BC A/BC )<br />
e sapendo che<br />
S1 = 0,5 x AC x CM x sen C<br />
si ottiene<br />
CM = 2 x S S1 / ( AC x sen C )<br />
A<br />
Â<br />
S 1<br />
S<br />
AM<br />
S 2<br />
uscente dal vertice A<br />
S1 prossima al lato AC<br />
S 1<br />
S 2<br />
B<br />
C<br />
M
CASO 22°<br />
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro<br />
Il vertice N della dividente può cadere sui lati<br />
AC o BC e la sua posizione dipende dalle<br />
dimensioni delle aree parziali. parziali Per risolvere il<br />
problema si deve calcolare un’area un’ area di paragone<br />
da confrontare con S1 e S2. L’area di paragone è<br />
quella del triangolo MAC che si ottiene<br />
congiungendo M con il vertice C<br />
Sp = 0,5 x AM x AC x sen A<br />
Possono verificarsi tre distinte situazioni:<br />
Se S S1 ‹ Sp Se S S1 › S P<br />
N è su AC<br />
N è su BC<br />
Se S S1 = S p N coincide con C<br />
S 1<br />
M<br />
S<br />
MN<br />
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)<br />
A<br />
Â<br />
S 2<br />
S1 prossima al lato AC<br />
S 1<br />
S S2 B<br />
C
CASO 22°<br />
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro<br />
Nel caso in cui S1 ‹ S p<br />
il problema di determinare la posizione di N<br />
su AC si può risolvere come nel primo caso.<br />
Infatti sappiamo che<br />
S1 = 0,5 x AM x AN x sen A<br />
con la formula inversa si ottiene<br />
AN = 2 x S S1 / ( AM x sen A )<br />
Nel caso invece che S1 › S P<br />
N è su BC<br />
in questo caso è conveniente lavorare nel<br />
triangolo MBN di area S S2 e dopo aver<br />
calcolato gli elementi necessari, determinare<br />
la distanza BN<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)<br />
A<br />
Â<br />
S 2<br />
S1 prossima al lato AC<br />
S 1<br />
M<br />
N<br />
S S2 B<br />
N ’<br />
C
CASO 33°<br />
Dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
È sicuramente il caso più semplice perchè si<br />
può risolvere considerando che i due triangoli<br />
ABC di area totale St e BMN di area parziale<br />
S1 sono tra loro simili simili. Sappiamo infatti che<br />
le aree di figure simili sono proporzionali ai<br />
quadrati <strong>dei</strong> lati omologhi e quindi<br />
St : S 1 = BA 2 : BM 2<br />
BM = BA x √ (S (S1 / S St )<br />
St : S 1 = BC 2 : BN 2<br />
BN = BC x √ (S (S1 / S St )<br />
A<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
parallela al lato AC<br />
S1 prossima al vertice B<br />
M<br />
S 2<br />
S 1<br />
B<br />
C<br />
N
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
In questo caso torna di nuovo il confonto con<br />
un’area di paragone paragone. Infatti la posizione di MN può<br />
essere alla sinistra o alla destra del vertice B e la<br />
sua posizione dipende dalle dimensioni dell’area<br />
parziale S1 e dalla forma del terreno terreno. L’area di<br />
paragone più conveniente è quella che si ottiene<br />
tracciando da da B l’altezza del triangolo BB’ parallela<br />
alla dividente MN MN. Il confronto può quindi<br />
effettuarsi dopo aver calcolato l’area del triangolo<br />
rettangolo ABB’ ABB’.<br />
se: S S1 < S P MN è alla sinistra di BB’<br />
S1 > S P MN e alla destra di BB’<br />
S1 = S P MN coincide con BB’<br />
A<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
B<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AC<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
N<br />
M<br />
B ‘<br />
N ’<br />
S 2<br />
M ‘<br />
C
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Nel caso siano noti i due lati AB e AC e<br />
l’angolo nel vertice A il problema può<br />
risolversi come segue<br />
ST = 0,5 x AB x AC x sen A<br />
SP = 0.,5 x AB’ x BB’<br />
Le<br />
Le due incognite AB’ e BB’ possono essere<br />
calcolate applicando le funzioni seno e coseno<br />
al triangolo rettangolo ABB’<br />
BB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos A<br />
Nota l’area S SP ipotizziamo per il momento che<br />
l’area S S1 sia inferiore e che MN si trovi alla<br />
sinistra del vertice B<br />
A<br />
Â<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AC<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
M<br />
B<br />
N B ‘
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Il problema può risolversi in due modi con la:<br />
similitudine tra due triangoli rettangoli<br />
funzione tangente in AMN di area SS1<br />
con la similitudine<br />
S1 : S P = AM 2 : AB 2<br />
AM = AB x √ (S (S1 / S SP )<br />
S1 : S P = AN 2 : AB’ 2<br />
AN = AB’ x √ (S1 / SP )<br />
A<br />
Â<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AC<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
M<br />
B<br />
N B ‘
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
con la funzione tangente<br />
Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo<br />
AMN è data da<br />
S1 = 0,5 x AN x MN<br />
Poichè AN e MN sono incognite è necessario<br />
che una delle due sia sostituita, ad esempio<br />
l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la<br />
tangente di A si ottiene<br />
tang A = MN /AN ---- > MN = AN x tang A<br />
sostituendo in S S1 S1 = 0,5 x AN 2 x tang A<br />
AN = √ (2 x S S1 / tang A)<br />
con la funzione coseno e possibile calcolare<br />
AM = AN / cos A<br />
A<br />
Â<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AC<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
M<br />
B<br />
N B ‘
CASO 55°<br />
Dividente MN che forma un angolo dato con uno <strong>dei</strong> lati<br />
In questo caso l’area di paragone si ottiene tracciando<br />
la dividente provvisoria BB’ parallela alla dividente MN MN.<br />
L’area di paragone in questo caso è quella del triangolo<br />
qualunque AB’B che può essere risolto applicando il t. <strong>dei</strong><br />
seni e di Carnot Carnot. L’area di paragone si ottiene dalla dalla:<br />
Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen A<br />
Ipotizzando che SS1 risulti minore di di Sp Sp (MN alla sinistra<br />
di BB’ il problema può essere risolto imponendo la<br />
similitudine tra i due triangoli AMN (di area S1 e AB’B<br />
(di area Sp): Sp)<br />
S1 : S P = AM 2 : AB’ 2<br />
AM = AB’ x √ (S (S1 / S SP )<br />
S1 : S P = AN 2 : AB 2<br />
AN = AB x √ (S (S1 / S SP )<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
che forma con AC un angolo dato (noto AMN)<br />
A<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
N<br />
M<br />
B<br />
B’<br />
S 2<br />
C
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA<br />
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 11°<br />
Dividente uscente da uno <strong>dei</strong> vertici<br />
La posizione dell’estremo M della dividente (se sul lato BC o<br />
sul lato CD), dipende dalla forma dell’appezzamento e dalla<br />
dimensione delle aree parziali. parziali Per risolvere il problema è<br />
utile determinare l’area di paragone del triangolo ABC ABC.<br />
Ipotizzando noti tutti gli elementi del quadrilatero possiamo<br />
scrivere scrivere: Sp = 0.5 x AB x BC x sen B. È possibile quindi<br />
confrontare l’area S 1 con l’area di di paragone Sp. Sp Se Se risulta<br />
S1 < Sp, l’estremo M della dividente è sul lato BC e la sua<br />
posizione si determina determina:<br />
S1 = 0.5 x AB x BM x sen B → BM = 2 x S1/(AB /(AB x sen B)<br />
Nel caso in cui risulti S1 > Sp, l’estremo M della dividente è<br />
su CD CD. In questo caso, per risolvere il problema, è meglio<br />
utilizzare l’area triangolare di area S2, scrivendo: scrivendo<br />
S2 = 0.5 x AD x DM’ x sen D → DM’ = 2 x S2/(AD /(AD x sen D)<br />
A<br />
S 1<br />
S<br />
S2 AM<br />
uscente dal vertice A<br />
S1 prossima al lato AB<br />
S2<br />
S1<br />
D<br />
M’<br />
B<br />
C<br />
M
CASO 22°<br />
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro<br />
In questo secondo caso, per determinare la posizione di N è<br />
necessario calcolare due aree di paragone paragone. La prima è quella<br />
del triangolo MAB, la seconda quella del quadrilatero MABC MABC.<br />
Ipotizzando noti tutti gli elementi, l’area del quadrilatero<br />
MABC può essere calcolata, dividendolo in due triangoli<br />
oppure con la formula di camminamento<br />
camminamento. Note le due aree di<br />
paragone è possibile il il confronto con l’area parziale S S1. 1. Se<br />
Se<br />
risulta S1 < S MAM allora N è su AB da cui cui:<br />
S1 = 0.5 x MA x AN x sen A → AN = 2 x S S1/(MA /(MA x sen A)<br />
Se invece S1 > SMABC SMABC allora N è su CD CD. In questo caso è<br />
meglio lavorare con S2 imponendo imponendo:<br />
S2 = 0.5 x MD x DN DN’’ ’’ x sen D → DN DN’’ ’’ = 2 x S S2/(MD /(MD x sen D)<br />
in cui ovviamente risulta MD = AD - AM<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)<br />
A<br />
M<br />
S 2<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
S 2<br />
D<br />
N<br />
N’’<br />
B<br />
C<br />
N’
CASO 22°<br />
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro<br />
Nel caso in cui risulti invece:<br />
SMAB MAB < S 1 < S MABC MABC<br />
allora N è sul lato BC<br />
in questa terza ipotesi il problema può risolversi in due maniere maniere: - la<br />
prima consiste nel risolvere il quarilatero MABN di area S1 dividendolo in<br />
due triangoli e determinando la<br />
la distanza di di N rispetto al<br />
al vertice B; - la<br />
la<br />
seconda consiste nell’applicare la formula di camminamento con incognita<br />
il lato BN: BN<br />
S1 = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x BN x sen B – MA x BN x sen (A + B)]<br />
BN = (2 x S S1 – MA x AB x sen A)/[(AB x sen B – MA x sen (A+B)] A<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)<br />
M<br />
S 2<br />
S1 prossima al vertice A<br />
S 1<br />
D<br />
S 2<br />
B<br />
N<br />
C
CASO 33°<br />
Dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Noti tutti gli elementi del quadrilatero e la sua area<br />
è necessario preliminarmente determinare la<br />
posizione della dividente MN (se N si muove su DC, M<br />
può trovarsi sul lato AB o sul lato BC) . Per far<br />
questo è necessario confrontare l’area S1 con l’area<br />
di paragone corrispondente al trapezio ABB’D, che si<br />
ottiene tracciando la dividente provvisoria BB’ avente<br />
le<br />
le stesse caratteristiche di di quella definitiva MN<br />
MN<br />
(parallela al lato AD). AD) L’area del trapezio può essere<br />
calcolata direttamente, oppure per differenza tra<br />
l’area del quadrilatero e quella del triangolo BB’C BB’C. Se<br />
risulta S1 < S ABB’D allora M è su AB e per determinare<br />
la posizione della dividente possono essere utilizzati i<br />
metodi metodi:<br />
Del trapezio<br />
Dei triangoli simili<br />
A<br />
M<br />
B<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
parallela al lato AD<br />
S1 prossima al lato AD<br />
S 1<br />
C<br />
B’<br />
N<br />
D
CASO 33°<br />
Dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
METODO DEL TRAPEZIO<br />
S1 = S AMND = 0.5 x (AD + MN) x h<br />
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h.<br />
Ma:<br />
MN = AD – (AM’ + N’D)<br />
tan  = h/AM’ --- ---> > AM’ = h/tan Â<br />
tan D = h/N’D --- ---> > N’D = h/tan<br />
ˆ Dˆ sostituendo:<br />
MN = AD – h x (1/tang  + 1/tang D ) ˆ<br />
e sostituendo in S S1 otteniamo:<br />
S1 = 0.5 x [AD + AD – h x (1/tan  + 1/tan D )] x h ˆ<br />
ordinando otteniamo una equazione di 22°<br />
grado avente<br />
come incognita l’altezza h del trapezio:<br />
h2 x (1/tan  +1/tan D ) – 2 x AD x h + 2 x S S1 = 0<br />
ˆ<br />
Delle due soluzioni dell’equazione si sceglie quella positiva; positiva<br />
se lo sono entrambe la soluzione è quella che più si avvicina<br />
al rapporto S1/AD /AD. Nota h, nei due triangoli rettangoli<br />
MAM’ e NDN’, con la funzione seno è possibile calcolare le<br />
due incognite del problema, AM e DN<br />
A<br />
M<br />
Â<br />
B<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
parallela al lato AD<br />
S1 prossima al lato AD<br />
h h<br />
S 1<br />
C<br />
B’<br />
M’ N’<br />
N<br />
D ˆ<br />
D
CASO 33°<br />
Dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
TRIANGOLI SIMILI<br />
Prolungando i lati AB e CD si traforma il quadrilatero nel<br />
triangolo ADE ADE. Per risolvere il problema è necessario<br />
calcolare tutti gli elementi del triangolo BCE BCE:<br />
Angolo B1 = 200 200c – B<br />
Angolo C1 = 200 200c – C<br />
Angolo E = 200 200c Angolo E = 200 – (B (B 1 + C C1) 1)<br />
Noto il lato BC è possibile calcolare con il t. <strong>dei</strong> seni i lati<br />
BE e EC EC. Noti lati e angoli è possibile il calcolo dell’area σ<br />
del triangolo triangolo. Per determinare la posizione di M e N può<br />
essere impostata la similitudine tra i due triangoli EBB’ (di<br />
area σ + area di paragone CBB’) e EMN (di area σ + S2) S EBB’ : SEMN EMN = EB EB2 : EM EM2 SEBB’ EBB’ : S EMN = EB’ 2 : EN EN2 Calcolati EM e EN, per differenza con i lati EB e EC si<br />
ottengono le due incognite BM e CN A<br />
M<br />
B<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
parallela al lato AD<br />
S1 prossima al lato AD<br />
σ<br />
E<br />
S 2<br />
S 1<br />
C<br />
B’<br />
N<br />
D
CASO 33°<br />
Dividente MN parallela ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Se risulta S1 > SABB’D ABB’D allora M è su BC e per determinare<br />
la posizione della dividente MN e possibile utilizzare la<br />
similitudine tra i due triangoli CMN (S 2) e CBB’ (area di<br />
paragone) impostando le proporzioni:<br />
proporzioni<br />
S2 : S CBB’ = CM CM2 : CB CB2 S2 : S CBB’ CBB’ = CN CN2 : CB’ 2<br />
Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN<br />
A<br />
B<br />
M<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
parallela al lato AD<br />
S1 prossima al lato AD<br />
S 2<br />
S 1<br />
C<br />
N<br />
B’<br />
D
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Anche questo caso può risolversi con le aree di paragone<br />
da confrontare con le aree parziali in cui deve essere<br />
diviso l’appezzamento<br />
l’appezzamento. Per determinare le aree di<br />
paragone devono essere tracciate dai vertici D e C due<br />
dividenti provvisorie perpendicolari al lato BC, aventi<br />
cioè le stesse caratteristiche di quella definitiva MN MN. Si<br />
ricordi ovviamente che la<br />
la posizione di di MN<br />
MN dipende dalla<br />
forma dell’appezzamento e dalla dimensione delle due<br />
aree parziali. parziali La prima area di paragone è quella del<br />
triangolo rettangolo ADD’, la seconda quella del poligono<br />
ADCC’A (composto dal triangolo rettangolo ADD’ e dal<br />
trapezio rettangolo D’DCC’) D’DCC’). Calcolate le aree di<br />
paragone si procede nel confronto con l’area S1 S 1<br />
N<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AB<br />
S1 prossima al vertice A<br />
D<br />
N’<br />
A M D’ M’ C’<br />
B<br />
C<br />
S 2
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
Nel caso in cui S1 < SADD’ ADD’ la dividente MN è alla sinistra di DD’ DD’. Il<br />
problema può essere risolto in due modi modi: - per similitudine tra i<br />
due triangoli AMN (di area S1) e SADD’ ADD’; - applicando la funzione<br />
tangente dell’angolo in A nel triangolo AMN (vedi vedi caso 4° della<br />
<strong>divisione</strong> <strong>dei</strong> <strong>terreni</strong> triangolari triangolari). In maniera del tutto analoga si<br />
procede nel caso in cui S1 > SADCC’A ADCC’A. In questo caso la dividente<br />
MN è alla destra di CC’ e conviene lavorare con i triangol BCC’ e<br />
BM’’N’’ (di area S2), ), applicando i due procedimenti precedenti<br />
precedenti. Più<br />
complessa risulta la risoluzione nel caso in cui cui:<br />
SADD’ ADD’ < S 1 < S ADCC’A ADCC’A<br />
In questo terzo caso la dividente MN è posta tra le due dividenti<br />
provvisorie DD’ e CC’ e per determinare la sua posizione il<br />
quadrilatero può essere trasformato in un triangolo<br />
S 1<br />
N<br />
S 1<br />
S<br />
MN<br />
S 2<br />
perpendicolare al lato AB<br />
S1 prossima al vertice A<br />
D<br />
N’<br />
A M D’ M’ C’ M’’<br />
B<br />
C<br />
N’’<br />
S 2
CASO 44°<br />
Dividente MN perpendicolare ad uno <strong>dei</strong> lati<br />
La traformazione in triangolo può effettuarsi prolungando i lati<br />
convergenti CD e AB in E. Risolto il triangolo EAD e calcolata la sua area σ<br />
è possibile imporre la similitudine tra il triangolo EDD’ (di area σ + SADD’ ADD’) e<br />
il triangolo ENM (di area σ + S1): (σ + S ADD’ ADD’) ) : ( (σ + S 1) ) = ED ED2 : EN<br />
EN 2<br />
EM 2<br />
(σ + S ADD’ ADD’) ) : ( (σ + S 1) ) = ED’ 2 : EM<br />
Calcolate EN<br />
EN e EM EM, dalle due proporzioni precedenti, per differenza di<br />
di<br />
ottengono le due distanze DN e AM dai vertici dell’appezzamento<br />
dell’appezzamento. Il<br />
problema può anche essere risolto applicando la funzione tangente<br />
dell’angolo in E, nel triangolo rettangolo ENM (di area σ + S1), ), calcolando il<br />
cateto EM e l’ipotenusa EN EN. Sempre per differenza si ottengono le due<br />
distanze dai vertici dell’appezzamento<br />
dell’appezzamento.<br />
E<br />
σ<br />
D<br />
S 1<br />
S<br />
S2 MN<br />
perpendicolare al lato AB<br />
S 1<br />
S1 prossima al vertice A<br />
N<br />
A D’ M C’<br />
B<br />
C<br />
S 2