topografia 3 divisione dei terreni

Â
S 1
M
B
A N B
B
DIVISIONE DEI TERRENI

Prerequisiti
Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in:
. Matematica di base
. Risoluzione di triangoli e quadrilateri
. Calcolo delle aree
. Tecniche di rilievo topografico

Indice
Concetti generali
Progetto di frazionamento
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
Divisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitario
. Caso 11°
dividente uscente da uno dei vertici
. Caso 22°
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
. Caso 33°
dividente MN parallela ad uno dei lati
. Caso 44°
dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
. Caso 55°
dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
Divisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitario
. Caso 11°
dividente uscente da uno dei vertici
. Caso 22°
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
. Caso 33°
dividente MN parallela ad uno dei lati
. Caso 44°
dividente MN perpendicolare ad uno dei lati

Concetti generali
La divisione dei terreni consiste nel frazionare
particelle di terreno mediante una o più
dividenti che soddisfino particolari condizioni
geometriche
La divisione dei terreni riveste una notevole
importanza pratica nell’attività professionale del
geometra in quanto trova applicazione nelle
divisioni per compravendita o successione
ereditaria e nelle espropriazioni parziali

Concetti generali
I terreni da dividere possono avere uguale
valore unitario o valore unitario diverso diverso.
Nel primo caso, la divisione viene effettuata
attraverso la ripartizione della sua area. area
Nel secondo, invece, per realizzare la
divisione occorre ripartire il valore totale
dell’appezzamento

Concetti generali
I terreni possono avere forma forma:
triangolare
quadrilatera
poligonale
Le dividenti rettilinee possono possono:
passare per un punto dato
avere una direzione assegnata

Progetto di frazionamento
Le divisioni dei terreni sono definiti dalla
circ circ. 2/88 88 come atti di aggiornamento
geometrico (tipi tipi di frazionamento
frazionamento). La
divisione delle particelle, modifica il foglio di
mappa e quindi la
la mappa particellare
particellare, particellare
particellare, uno
degli atti fondamentali del catasto definiti
dal DPR 650/72 650 72

Progetto di frazionamento
Poichè la posizione di una dividente è definita da
quella dei punti in cui essa taglia i confini
dell’appezzamento, le incognite sono le distanze
dei punti di intersezione dai vertici del confine
A
S 1
S 2
1
B

Progetto di frazionamento
eventuale rilievo planimetrico dell’appezzamento
definizione delle quote di divisione in area o valore
definizione della direzione della dividente
individuazione grafo analitica della posizione della dividente
posizionamento degli estremi della dividente sul terreno
rilievo topografico
redazione atto di aggiornamento geometrico (tipo di frazionamento)

Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
triangoli aventi stessa base e uguale altezza
relativa hanno stessa area
triangoli aventi stessa altezza hanno le aree
proporzionali alle base e viceversa
poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali
e le aree di poligoni simili sono proporzionali al
quadrato dei lati omologhi
D
h h
A
C
A B
S ABC
E
C
ABC : S EBF EBF = AB AB2 : EB EB2 F
B

DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO

CASO 11°
Dividente uscente da uno dei vertici
Il problema consiste nel dividere l’appezzamento di
area totale S in due aree parziali note S1 e S2 con
una dividente rettilinea AM uscente da uno dei
vertici, in questo caso il vertice A. Solo nel caso in
cui le due aree parziali risultino diverse tra loro
dovrà essere data la loro posizione, ad esempio se
S1 è vicina al vertice B o al lato AB. AB Poichè per
dividere l’appezzamento in due parti M deve cadere
necessariamente su BC, il problema si risolve
calcolando le due distanze BM e CM CM. La distanza di
M dai due vertici dipende ovviamente dalla
dimensione delle due aree parziali S1 e S2 e dalla
forma dell’appezzamento
A
S 1
S
S2 AM
uscente dal vertice A
S1 prossima al lato AC
S 1
S 2
B
C
M

CASO 11°
Dividente uscente da uno dei vertici
Il problema, noti i lati lati AB e AC e l’angolo nel vertice
A, si risolve come segue:
St = 0,5 x AB x AC x sen A
S1 = S 2 = 0,5 S St BC = √ ( AB AB2 BC = √ ( AB + AC 2 – 2 x AB x AC x cos A )
C = sen -1 ( AB AB x sen A/BC A/BC )
e sapendo che
S1 = 0,5 x AC x CM x sen C
si ottiene
CM = 2 x S S1 / ( AC x sen C )
A
Â
S 1
S
AM
S 2
uscente dal vertice A
S1 prossima al lato AC
S 1
S 2
B
C
M

CASO 22°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
Il vertice N della dividente può cadere sui lati
AC o BC e la sua posizione dipende dalle
dimensioni delle aree parziali. parziali Per risolvere il
problema si deve calcolare un’area un’ area di paragone
da confrontare con S1 e S2. L’area di paragone è
quella del triangolo MAC che si ottiene
congiungendo M con il vertice C
Sp = 0,5 x AM x AC x sen A
Possono verificarsi tre distinte situazioni:
Se S S1 ‹ Sp Se S S1 › S P
N è su AC
N è su BC
Se S S1 = S p N coincide con C
S 1
M
S
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
A
Â
S 2
S1 prossima al lato AC
S 1
S S2 B
C

CASO 22°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
Nel caso in cui S1 ‹ S p
il problema di determinare la posizione di N
su AC si può risolvere come nel primo caso.
Infatti sappiamo che
S1 = 0,5 x AM x AN x sen A
con la formula inversa si ottiene
AN = 2 x S S1 / ( AM x sen A )
Nel caso invece che S1 › S P
N è su BC
in questo caso è conveniente lavorare nel
triangolo MBN di area S S2 e dopo aver
calcolato gli elementi necessari, determinare
la distanza BN
S 1
S
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
A
Â
S 2
S1 prossima al lato AC
S 1
M
N
S S2 B
N ’
C

CASO 33°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
È sicuramente il caso più semplice perchè si
può risolvere considerando che i due triangoli
ABC di area totale St e BMN di area parziale
S1 sono tra loro simili simili. Sappiamo infatti che
le aree di figure simili sono proporzionali ai
quadrati dei lati omologhi e quindi
St : S 1 = BA 2 : BM 2
BM = BA x √ (S (S1 / S St )
St : S 1 = BC 2 : BN 2
BN = BC x √ (S (S1 / S St )
A
S 1
S
MN
S 2
parallela al lato AC
S1 prossima al vertice B
M
S 2
S 1
B
C
N

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
In questo caso torna di nuovo il confonto con
un’area di paragone paragone. Infatti la posizione di MN può
essere alla sinistra o alla destra del vertice B e la
sua posizione dipende dalle dimensioni dell’area
parziale S1 e dalla forma del terreno terreno. L’area di
paragone più conveniente è quella che si ottiene
tracciando da da B l’altezza del triangolo BB’ parallela
alla dividente MN MN. Il confronto può quindi
effettuarsi dopo aver calcolato l’area del triangolo
rettangolo ABB’ ABB’.
se: S S1 < S P MN è alla sinistra di BB’
S1 > S P MN e alla destra di BB’
S1 = S P MN coincide con BB’
A
S 1
S
MN
B
S 2
perpendicolare al lato AC
S1 prossima al vertice A
S 1
N
M
B ‘
N ’
S 2
M ‘
C

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Nel caso siano noti i due lati AB e AC e
l’angolo nel vertice A il problema può
risolversi come segue
ST = 0,5 x AB x AC x sen A
SP = 0.,5 x AB’ x BB’
Le
Le due incognite AB’ e BB’ possono essere
calcolate applicando le funzioni seno e coseno
al triangolo rettangolo ABB’
BB’ = AB x sen A AB’ = AB x cos A
Nota l’area S SP ipotizziamo per il momento che
l’area S S1 sia inferiore e che MN si trovi alla
sinistra del vertice B
A
Â
S 1
S
MN
S 2
perpendicolare al lato AC
S1 prossima al vertice A
S 1
M
B
N B ‘

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Il problema può risolversi in due modi con la:
similitudine tra due triangoli rettangoli
funzione tangente in AMN di area SS1
con la similitudine
S1 : S P = AM 2 : AB 2
AM = AB x √ (S (S1 / S SP )
S1 : S P = AN 2 : AB’ 2
AN = AB’ x √ (S1 / SP )
A
Â
S 1
S
MN
S 2
perpendicolare al lato AC
S1 prossima al vertice A
S 1
M
B
N B ‘

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
con la funzione tangente
Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo
AMN è data da
S1 = 0,5 x AN x MN
Poichè AN e MN sono incognite è necessario
che una delle due sia sostituita, ad esempio
l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la
tangente di A si ottiene
tang A = MN /AN ---- > MN = AN x tang A
sostituendo in S S1 S1 = 0,5 x AN 2 x tang A
AN = √ (2 x S S1 / tang A)
con la funzione coseno e possibile calcolare
AM = AN / cos A
A
Â
S 1
S
MN
S 2
perpendicolare al lato AC
S1 prossima al vertice A
S 1
M
B
N B ‘

CASO 55°
Dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
In questo caso l’area di paragone si ottiene tracciando
la dividente provvisoria BB’ parallela alla dividente MN MN.
L’area di paragone in questo caso è quella del triangolo
qualunque AB’B che può essere risolto applicando il t. dei
seni e di Carnot Carnot. L’area di paragone si ottiene dalla dalla:
Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen A
Ipotizzando che SS1 risulti minore di di Sp Sp (MN alla sinistra
di BB’ il problema può essere risolto imponendo la
similitudine tra i due triangoli AMN (di area S1 e AB’B
(di area Sp): Sp)
S1 : S P = AM 2 : AB’ 2
AM = AB’ x √ (S (S1 / S SP )
S1 : S P = AN 2 : AB 2
AN = AB x √ (S (S1 / S SP )
S 1
S
MN
S 2
che forma con AC un angolo dato (noto AMN)
A
S1 prossima al vertice A
S 1
N
M
B
B’
S 2
C

DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO

CASO 11°
Dividente uscente da uno dei vertici
La posizione dell’estremo M della dividente (se sul lato BC o
sul lato CD), dipende dalla forma dell’appezzamento e dalla
dimensione delle aree parziali. parziali Per risolvere il problema è
utile determinare l’area di paragone del triangolo ABC ABC.
Ipotizzando noti tutti gli elementi del quadrilatero possiamo
scrivere scrivere: Sp = 0.5 x AB x BC x sen B. È possibile quindi
confrontare l’area S 1 con l’area di di paragone Sp. Sp Se Se risulta
S1 < Sp, l’estremo M della dividente è sul lato BC e la sua
posizione si determina determina:
S1 = 0.5 x AB x BM x sen B → BM = 2 x S1/(AB /(AB x sen B)
Nel caso in cui risulti S1 > Sp, l’estremo M della dividente è
su CD CD. In questo caso, per risolvere il problema, è meglio
utilizzare l’area triangolare di area S2, scrivendo: scrivendo
S2 = 0.5 x AD x DM’ x sen D → DM’ = 2 x S2/(AD /(AD x sen D)
A
S 1
S
S2 AM
uscente dal vertice A
S1 prossima al lato AB
S2
S1
D
M’
B
C
M

CASO 22°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
In questo secondo caso, per determinare la posizione di N è
necessario calcolare due aree di paragone paragone. La prima è quella
del triangolo MAB, la seconda quella del quadrilatero MABC MABC.
Ipotizzando noti tutti gli elementi, l’area del quadrilatero
MABC può essere calcolata, dividendolo in due triangoli
oppure con la formula di camminamento
camminamento. Note le due aree di
paragone è possibile il il confronto con l’area parziale S S1. 1. Se
Se
risulta S1 < S MAM allora N è su AB da cui cui:
S1 = 0.5 x MA x AN x sen A → AN = 2 x S S1/(MA /(MA x sen A)
Se invece S1 > SMABC SMABC allora N è su CD CD. In questo caso è
meglio lavorare con S2 imponendo imponendo:
S2 = 0.5 x MD x DN DN’’ ’’ x sen D → DN DN’’ ’’ = 2 x S S2/(MD /(MD x sen D)
in cui ovviamente risulta MD = AD - AM
S 1
S
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
A
M
S 2
S1 prossima al vertice A
S 1
S 2
D
N
N’’
B
C
N’

CASO 22°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
Nel caso in cui risulti invece:
SMAB MAB < S 1 < S MABC MABC
allora N è sul lato BC
in questa terza ipotesi il problema può risolversi in due maniere maniere: - la
prima consiste nel risolvere il quarilatero MABN di area S1 dividendolo in
due triangoli e determinando la
la distanza di di N rispetto al
al vertice B; - la
la
seconda consiste nell’applicare la formula di camminamento con incognita
il lato BN: BN
S1 = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x BN x sen B – MA x BN x sen (A + B)]
BN = (2 x S S1 – MA x AB x sen A)/[(AB x sen B – MA x sen (A+B)] A
S 1
S
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
M
S 2
S1 prossima al vertice A
S 1
D
S 2
B
N
C

CASO 33°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
Noti tutti gli elementi del quadrilatero e la sua area
è necessario preliminarmente determinare la
posizione della dividente MN (se N si muove su DC, M
può trovarsi sul lato AB o sul lato BC) . Per far
questo è necessario confrontare l’area S1 con l’area
di paragone corrispondente al trapezio ABB’D, che si
ottiene tracciando la dividente provvisoria BB’ avente
le
le stesse caratteristiche di di quella definitiva MN
MN
(parallela al lato AD). AD) L’area del trapezio può essere
calcolata direttamente, oppure per differenza tra
l’area del quadrilatero e quella del triangolo BB’C BB’C. Se
risulta S1 < S ABB’D allora M è su AB e per determinare
la posizione della dividente possono essere utilizzati i
metodi metodi:
Del trapezio
Dei triangoli simili
A
M
B
S 1
S
MN
S 2
parallela al lato AD
S1 prossima al lato AD
S 1
C
B’
N
D

CASO 33°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
METODO DEL TRAPEZIO
S1 = S AMND = 0.5 x (AD + MN) x h
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h.
Ma:
MN = AD – (AM’ + N’D)
tan  = h/AM’ --- ---> > AM’ = h/tan Â
tan D = h/N’D --- ---> > N’D = h/tan
ˆ Dˆ sostituendo:
MN = AD – h x (1/tang  + 1/tang D ) ˆ
e sostituendo in S S1 otteniamo:
S1 = 0.5 x [AD + AD – h x (1/tan  + 1/tan D )] x h ˆ
ordinando otteniamo una equazione di 22°
grado avente
come incognita l’altezza h del trapezio:
h2 x (1/tan  +1/tan D ) – 2 x AD x h + 2 x S S1 = 0
ˆ
Delle due soluzioni dell’equazione si sceglie quella positiva; positiva
se lo sono entrambe la soluzione è quella che più si avvicina
al rapporto S1/AD /AD. Nota h, nei due triangoli rettangoli
MAM’ e NDN’, con la funzione seno è possibile calcolare le
due incognite del problema, AM e DN
A
M
Â
B
S 1
S
MN
S 2
parallela al lato AD
S1 prossima al lato AD
h h
S 1
C
B’
M’ N’
N
D ˆ
D

CASO 33°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
TRIANGOLI SIMILI
Prolungando i lati AB e CD si traforma il quadrilatero nel
triangolo ADE ADE. Per risolvere il problema è necessario
calcolare tutti gli elementi del triangolo BCE BCE:
Angolo B1 = 200 200c – B
Angolo C1 = 200 200c – C
Angolo E = 200 200c Angolo E = 200 – (B (B 1 + C C1) 1)
Noto il lato BC è possibile calcolare con il t. dei seni i lati
BE e EC EC. Noti lati e angoli è possibile il calcolo dell’area σ
del triangolo triangolo. Per determinare la posizione di M e N può
essere impostata la similitudine tra i due triangoli EBB’ (di
area σ + area di paragone CBB’) e EMN (di area σ + S2) S EBB’ : SEMN EMN = EB EB2 : EM EM2 SEBB’ EBB’ : S EMN = EB’ 2 : EN EN2 Calcolati EM e EN, per differenza con i lati EB e EC si
ottengono le due incognite BM e CN A
M
B
S 1
S
MN
S 2
parallela al lato AD
S1 prossima al lato AD
σ
E
S 2
S 1
C
B’
N
D

CASO 33°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
Se risulta S1 > SABB’D ABB’D allora M è su BC e per determinare
la posizione della dividente MN e possibile utilizzare la
similitudine tra i due triangoli CMN (S 2) e CBB’ (area di
paragone) impostando le proporzioni:
proporzioni
S2 : S CBB’ = CM CM2 : CB CB2 S2 : S CBB’ CBB’ = CN CN2 : CB’ 2
Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN
A
B
M
S 1
S
MN
S 2
parallela al lato AD
S1 prossima al lato AD
S 2
S 1
C
N
B’
D

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Anche questo caso può risolversi con le aree di paragone
da confrontare con le aree parziali in cui deve essere
diviso l’appezzamento
l’appezzamento. Per determinare le aree di
paragone devono essere tracciate dai vertici D e C due
dividenti provvisorie perpendicolari al lato BC, aventi
cioè le stesse caratteristiche di quella definitiva MN MN. Si
ricordi ovviamente che la
la posizione di di MN
MN dipende dalla
forma dell’appezzamento e dalla dimensione delle due
aree parziali. parziali La prima area di paragone è quella del
triangolo rettangolo ADD’, la seconda quella del poligono
ADCC’A (composto dal triangolo rettangolo ADD’ e dal
trapezio rettangolo D’DCC’) D’DCC’). Calcolate le aree di
paragone si procede nel confronto con l’area S1 S 1
N
S 1
S
MN
S 2
perpendicolare al lato AB
S1 prossima al vertice A
D
N’
A M D’ M’ C’
B
C
S 2

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Nel caso in cui S1 < SADD’ ADD’ la dividente MN è alla sinistra di DD’ DD’. Il
problema può essere risolto in due modi modi: - per similitudine tra i
due triangoli AMN (di area S1) e SADD’ ADD’; - applicando la funzione
tangente dell’angolo in A nel triangolo AMN (vedi vedi caso 4° della
divisione dei terreni triangolari triangolari). In maniera del tutto analoga si
procede nel caso in cui S1 > SADCC’A ADCC’A. In questo caso la dividente
MN è alla destra di CC’ e conviene lavorare con i triangol BCC’ e
BM’’N’’ (di area S2), ), applicando i due procedimenti precedenti
precedenti. Più
complessa risulta la risoluzione nel caso in cui cui:
SADD’ ADD’ < S 1 < S ADCC’A ADCC’A
In questo terzo caso la dividente MN è posta tra le due dividenti
provvisorie DD’ e CC’ e per determinare la sua posizione il
quadrilatero può essere trasformato in un triangolo
S 1
N
S 1
S
MN
S 2
perpendicolare al lato AB
S1 prossima al vertice A
D
N’
A M D’ M’ C’ M’’
B
C
N’’
S 2

CASO 44°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
La traformazione in triangolo può effettuarsi prolungando i lati
convergenti CD e AB in E. Risolto il triangolo EAD e calcolata la sua area σ
è possibile imporre la similitudine tra il triangolo EDD’ (di area σ + SADD’ ADD’) e
il triangolo ENM (di area σ + S1): (σ + S ADD’ ADD’) ) : ( (σ + S 1) ) = ED ED2 : EN
EN 2
EM 2
(σ + S ADD’ ADD’) ) : ( (σ + S 1) ) = ED’ 2 : EM
Calcolate EN
EN e EM EM, dalle due proporzioni precedenti, per differenza di
di
ottengono le due distanze DN e AM dai vertici dell’appezzamento
dell’appezzamento. Il
problema può anche essere risolto applicando la funzione tangente
dell’angolo in E, nel triangolo rettangolo ENM (di area σ + S1), ), calcolando il
cateto EM e l’ipotenusa EN EN. Sempre per differenza si ottengono le due
distanze dai vertici dell’appezzamento
dell’appezzamento.
E
σ
D
S 1
S
S2 MN
perpendicolare al lato AB
S 1
S1 prossima al vertice A
N
A D’ M C’
B
C
S 2