Teoremi della trigonometria

I TEOREMI
della
TRIGONOMETRIA PIANA
Sedda Anna Rita - Topografia e fotogrammetria - A.S. 2010-2011

A
c
B
b
TRIANGOLI QUALUNQUE
a
C
Relazioni geometriche già note
La somma degli angoli di un triangolo è uguale
all’angolo piatto: + + = 200 c .
Relazioni trigonometriche da studiare
teorema dei seni;
teorema del coseno (o di Carnot).
Ciascun lato è minore della somma degli altri due e
maggiore della loro differenza.
Una relazione d’ordine tra due lati vale anche tra i
rispettivi angoli opposti.
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2

A
B
RIPASSO DI GEOMETRIA
O
C
PROPRIETA’ 1
Per tre punti non allineati passa sempre
una circonferenza ed una sola.
Tenendo fermo il lato AB, facciamo
spostare il punto C, mantenendolo sulla
circonferenza
PROPRIETA’ 2
Tutti gli angoli alla circonferenza che
insistono sulla corda AB sono uguali ().
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3

A
B
RIPASSO DI GEOMETRIA
2
O
Se la corda AB passa per il centro (diametro 2R)
l’angolo al centro è piatto, quindi l’angolo alla
circonferenza è retto.
PROPRIETA’ 3
Data una corda AB, il suo angolo al
centro è sempre doppio del
corrispondente angolo alla circonferenza.
A
200 c
100 c
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R
R
B
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TEOREMA DEI SENI
Dato un triangolo ABC, si disegna la circonferenza che passa per i tre vertici
(PROPRIETA’ 1).
A
c
B
100 c
O
C
C 1
Tenendo ferma la corda AB si sposta il punto C
sino alla posizione C 1 in modo che AC 1 passi
per il centro O:
L’angolo non cambia (PROPRIETA’ 2).
Il triangolo ABC 1 è rettangolo in B
(PROPRIETA’ 3).
AC 1 = ipotenusa = diametro = 2R
AB = cateto = c
QUINDI, tenendo fermo il lato AB = c si ottiene:
2R
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c
sin
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TEOREMA DEI SENI
Il ragionamento sarebbe identico se si tenesse fermo il lato BC e, ancora,
tenendo fermo il lato AC.
Tenendo fermo il lato AB = c
Tenendo fermo il lato BC = a
Tenendo fermo il lato AC = b
2R
2R
2R
c
sin
a
sin
b
sin
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TEOREMA DEI SENI
ENUNCIATO DEL TEOREMA (da imparare a memoria)
IN UN TRIANGOLO QUALUNQUE IL RAPPORTO TRA UN LATO E IL SENO
DELL’ANGOLO OPPOSTO È COSTANTE ED È UGUALE AL DIAMETRO DEL
CERCHIO CIRCOSCRITTO AL TRIANGOLO.
A
c
B
b
a
R
C
a
sin
b
sin
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c
sin
2R
7

Il teorema dei seni può servire per calcolare i lati
sin
sin
a b c
sin
sin
Il teorema dei seni può anche servire per calcolare gli angoli
a a
arcsin sin
arcsin sin
b c
TEOREMA DEI SENI
formule inverse
sin
sin
b a c
sin
sin
b b
arcsin sin
arcsin sin
a c
c c
arcsin sin
arcsin sin
a b
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sin
sin
c a b
sin
sin
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PRECISAZIONE DI GONIOMETRIA
RICORDA:
A Y
y P
O
r
x P
P
X
sen xP
cos y
r 1
Quindi, grazie a Pitagora
1
2
2
1
sin cos
P
2
E’ la prima relazione della goniometria
La somma dei quadrati di seno e coseno dello
stesso angolo vale sempre 1
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A
c
TEOREMA DI CARNOT (DEL COSENO)
Dato un triangolo ABC, si disegna l’altezza AH rispetto alla base BC.
B
b
H
a
C
Per il triangolo rettangolo ABH si può scrivere:
2 2 2
c HB
AH
D’altra parte è anche (triangolo rettangolo ACH):
HB
a
HC
a
bcos
AH
b
sin
Sostituendo, sviluppando il quadrato del binomio, raccogliendo a
fattore comune, si ottiene:
2 2
2
c a
bcos
bsin
c
c
2
2
2
2 2
2 2
a 2 a b cos b cos b sin
2 2 2 2
a b
sin cos
2a
b
cos
1
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TEOREMA DI CARNOT (DEL COSENO)
Infine, applicando la prima
relazione fondamentale della
goniometria, si ottiene:
Ripetendo la stessa procedura
rispetto al lato b e rispetto al
lato a, si otterrebbe
analogamente:
c
b
a
2
2
2
2 2
a b
2abcos
2 2
a c
2accos
2 2
b c
2bccos
ENUNCIATO DEL TEOREMA (da imparare a memoria)
IN UN TRIANGOLO QUALUNQUE, IL QUADRATO DI UN LATO È UGUALE
ALLA SOMMA DEI QUADRATI DEGLI ALTRI DUE LATI, DIMINUITO DEL
LORO DOPPIO PRODOTTO PER IL COSENO DELL’ANGOLO COMPRESO.
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TEOREMA DI CARNOT (DEL COSENO)
formule inverse
Il teorema del coseno può servire per calcolare i lati
2 2
a b c
2bccos
b
arccos
2 2
b a c 2accos
2
2
c
2bc
2 2
c a b
2abcos
Il teorema del coseno può anche servire per calcolare gli angoli
a
2
a
arccos
2
2
c
2ac
b
2
a
arccos
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2
2
b
2ab
c
2
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