LEZIONI DI TOPOLOGIA - Aracne editrice

ASSUNTA RUSSO
LEZIONI DI TOPOLOGIA
Spazi topologici, gruppo fondamentale, omologia singolare
ARACNE

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00173 Roma, via R. Garofalo, 133 A–B
tel. (39) 06 93781065 telefax (39) 06 7268427
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ISBN: 88–7999–311–9
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Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: novembre 2002

INDICE
. INTRODUZIONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. AVVERTENZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Capitolo 1. Generalità sugli spazi topologici . . . . . . . . . . 15
1 Definizione di spazio topologico, esempi, generalità . . . . . . . . 16
1.1. Topologia su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3. Topologia naturale di R ediRn . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Insiemi chiusi. Chiusura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Basi. Sottobasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Intorni. Basi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Punti aderenti, d’accumulazione, di frontiera . . . . . . . . . 35
5 Sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C.1. Richiami sui numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
C.2. Generalità sugli spazi metrici . . . . . . . . . . . . . . . . 46
C.3. Il reticolo delle topologie su un insieme . . . . . . . . . . . 52
Capitolo 2. Continuità e convergenza . . . . . . . . . . . . . . 65
1 Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.1. Funzioni continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.2. Funzioni continue in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.3. Le algebre C(S) eC∗ (S) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2 Omeomorfismi. Immersioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1. Funzioni aperte. Funzioni chiuse . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.2. Omeomorfismi: generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3. Alcuni esempi notevoli di omeomorfismi . . . . . . . . . . . 84
2.4. Immersioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3 Convergenza (di successioni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
C.1. Topologie deboli. Topologie forti . . . . . . . . . . . . . . 98
C.2. Famiglie localmente finite . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
C.3. Reti e filtri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
C.4. Spazi metrici completi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5

6 INDICE
Capitolo 3. Spazi prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2 Prodotto topologico di due spazi . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3 Continuità e spazi prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.1. Prodotti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.2. Spazi T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
C.3. Spazi immergibili in uno spazio prodotto . . . . . . . . . . . 149
C.4.
C.5.
Spazi di Tychonoff (o T3 1
/2 ) . . . . . . . . . . . . . . . .
Spazi T4. Teorema di metrizzazione di Urysohn . . . . . . . .
152
157
Capitolo 4. Spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
2 Topologia quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.1. Rappresentazione di spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . 171
3 Esempi di spazi quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.1.
3.2.
La circonferenza S1 come quoziente di I . . . . . . . . . . .
Il cilindro S1 × Icome quoziente del quadrato I
173
2 3.3.
. . . . . . .
Il toro S1 × S1 come quoziente del quadrato I
173
2 . . . . . . . . 174
3.4. Il piano proiettivo reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.5. Spazi ottenuti per collasso di un sottoinsieme di uno spazio a
un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.6. Sospensione di uno spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.7. Spazi d’attaccamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.8. Wedge (o bouquet) di spazi . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.9. Nastro di Möbius e bottiglia di Klein . . . . . . . . . . . . . 181
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.1. Funzioni quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
C.2. Ulteriori applicazioni del teorema di rappresentazione . . . . . 185
C.3. Spazi quoziente e topologie forti . . . . . . . . . . . . . . 196
Capitolo 5. Connessione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
1 Definizione e proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2 Connessione in R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
2.1. Una caratterizzazione dei connessi di R . . . . . . . . . . . . 206
2.2. Connessione per poligonali . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
3 Componenti connesse. Insiemi che sconnettono. Punti di taglio . . . 212
4 Connessione per cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

INDICE 7
4.1. Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
4.2. Connessione per cammini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
C.1. Connessione e prodotti infiniti . . . . . . . . . . . . . . . 224
C.2. Spazi di Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Capitolo 6. Compattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
1 Definizione, esempi, proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
2 Compattezza in R n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
3 Compattezza locale. Spazi di Baire . . . . . . . . . . . . . . . 246
4 Compattificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
C.1. Assioma di Hausdorff e quozienti . . . . . . . . . . . . . . 256
C.2.
C.3.
Il teorema di Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
La compattificazione di Stone– Čech . . . . . . . . . . . . .
259
261
C.4. k–spazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
C.5. Topologia “compatto–aperto” . . . . . . . . . . . . . . . . 265
C.6. Numero di Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Capitolo 7. Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
1 Varietà topologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2 Superfici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
2.1. Somma connessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3 Classificazione delle superfici compatte . . . . . . . . . . . . . 288
3.1. Triangolazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.2. Orientabilità e caratteristica di Eulero . . . . . . . . . . . . 292
3.3. Classificazione delle superfici compatte . . . . . . . . . . . . 295
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
C.1. Immergibilità delle varietà compatte in uno spazio euclideo . . . 297
C.2. Varietà con bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
C.3. Sulla somma connessa di due superfici . . . . . . . . . . . . 302
Capitolo 8. Gruppo fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . 309
1 Omotopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
2 Retratti. Retratti di deformazione. Spazi aventi lo stesso tipo omotopico
(o omotopicamente equivalenti) . . . . . . . . . . . . 314
3 Gruppo fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.1. Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
3.2. Gruppo fondamentale di uno spazio in un fissato punto . . . . . 330

8 INDICE
4 Il gruppo fondamentale della circonferenza. Applicazioni . . . . . . 339
4.1. Calcolo del gruppo fondamentale di S1 . . . . . . . . . . . . 339
4.2. Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
5 Il teorema di Seifert–Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . 352
6 Gruppo fondamentale delle superfici compatte (connesse) e loro
classificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
C.1. Proprietà di prolungamento dell’omotopia . . . . . . . . . . 365
C.2. Rivestimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Capitolo 9. Omologia singolare . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
1 Complessi di catene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
1.1. Premesse e definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
1.2. Omologia di un complesso di catene . . . . . . . . . . . . . 392
1.3. Omotopia di morfismi di catene . . . . . . . . . . . . . . . 394
1.4. Successione esatta in omologia . . . . . . . . . . . . . . . 394
1.5. Sottocomplessi, complessi quoziente, somma diretta di complessi . 397
2 Omologia singolare di uno spazio . . . . . . . . . . . . . . . . 398
2.1. Il complesso singolare di uno spazio e relativa omologia . . . . . 399
3 Primi esempi di calcolo in omologia . . . . . . . . . . . . . . . 403
4 Omomorfismo indotto in omologia da una funzione continua . . . . 405
4.1. Invarianza omotopica dell’omologia . . . . . . . . . . . . . 406
5 Omologia ridotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
5.1. Omomorfismo indotto in omologia ridotta da una funzione continua
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
6 La successione di Mayer–Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . 411
7 Successione di Mayer–Vietoris: applicazioni . . . . . . . . . . . 416
7.1. Omologia delle sfere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.2. Grado di Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.3. Teorema di separazione di Jordan–Brouwer e teorema d’invarianza
del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
8 Relazione tra gruppo fondamentale e primo gruppo d’omologia . . . 428
8.1. Il complesso S ′ (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
8.2. L’omomorfismo di Hurewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
8.3. Isomorfismo tra il primo gruppo d’omologia e l’abelianizzato del
gruppo fondamentale di uno spazio connesso per cammini . . . 433
9 Omologia delle superfici compatte . . . . . . . . . . . . . . . 434
C Complementi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
C.1. Sulle successioni corte esatte . . . . . . . . . . . . . . . . 437

INDICE 9
Appendice Richiami di algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 445
1 Prodotto cartesiano e prodotto diretto di gruppi . . . . . . . . . 445
2 Abelianizzato di un gruppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
3 Elementi periodici (o di torsione) . . . . . . . . . . . . . . . . 446
4 Gruppo libero su un insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
5 Presentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
6 Gruppi abeliani liberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
7 Prodotto libero e prodotto libero con amalgama . . . . . . . . . 451
BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Indice analitico
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

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INTRODUZIONE
Questo libro consta di due parti la prima della quali, suddivisa in sette
capitoli, comprende i seguenti argomenti: nozioni base sugli spazi topologici e
metrici, continuità e convergenza, spazi prodotto, spazi quoziente, connessione
e connessione per cammini, compattezza, e — in aggiunta — una breve
trattazione (dal punto di vista topologico) delle superfici compatte.
Quanto alla seconda parte, articolata in due capitoli concernenti rispettivamente
il gruppo fondamentale e l’omologia singolare, il criterio adottato
è stato quello di mirare a risultati compiuti e di un qualche rilievo,
che da un lato giustificassero l’apparato tecnico introdotto, e dall’altro
fossero dimostrabili senza far uso di ulteriori, e più sofisticati, strumenti.
Nel decidere gli argomenti da includere nel testo e il taglio da dare all’esposizione,
ho tenuto conto di due caratteristiche delle strutture topologiche:
– L’atipicità (rispetto ad altre strutture geometriche) derivante dall’esistenza
— per i sottospazi — di omeomorfismi intrinseci, che rende interessanti
e profondi (ma proprio per questo di difficile dimostrazione) risultati,
quali il teorema di separazione di Jordan–Brouwer e il teorema d’invarianza
del dominio, altrimenti banali.
– La contiguità con gli altri settori della matematica (in particolare con
l’Analisi e la Geometria), che rende ampio e variegato lo spettro degli
argomenti degni di essere trattati.
Proprio l’ultima circostanza mi ha suggerito l’inserimento, alla fine di ciascun
capitolo, di una sezione “Complementi”: in essa trovano posto argomenti
e/o singoli risultati che ineriscono al capitolo stesso e che, pur esulando
dagli obbiettivi del testo, non potevano, data la loro rilevanza, non essere
menzionati.
11

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AVVERTENZE
I simboli N, Z, Q, R, C denotano, nell’ordine, l’insieme degli interi
positivi, degli interi, dei razionali, dei reali, dei complessi. Il simbolo N0
denota l’insieme degli interi non negativi. La cardinalità di un insieme S è
denotata con |S|. Per gli altri simboli adottati si rinvia all’indice analitico.
13

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Capitolo 1
Generalità sugli spazi topologici
Le origini della Topologia generale, per lo meno in quanto disciplina a
sé stante, risalgono agli inizi del ’900 1 . In quel periodo molti matematici,
concentrando i loro interessi su questioni che oggi definiremmo topologiche,
concorsero alla fondazione della nuova disciplina e resero palese l’esigenza di
una formalizzazione dell’idea (a quel tempo in embrione) di spazio topologico.
Formalizzazione cui pervenne poi Hausdorff che — nel suo fondamentale
lavoro del 1914 2 — definì “spazio topologico” un qualunque insieme in ciascun
punto del quale fosse assegnato un insieme di parti (gli “intorni” del punto),
in modo che valessero gli assiomi:
Un punto appartiene a ogni suo intorno.
L’intersezione di due intorni di un punto è un intorno di quel punto.
Ciascun intorno di un punto ne contiene uno che è intorno di ogni suo punto.
Due punti distinti sono separati da intorni disgiunti.
(Attualmente si preferisce introdurre gli spazi topologici assegnando
inizialmente gli “aperti” —eirelativi assiomi —, e senza richiedere che valga
un analogo del quarto assioma).
Un’ampia e significativa classe di spazi topologici è costituita dagli spazi
metrici 3 , e il loro minore livello d’astrazione (rispetto ai primi) potrebbe
indurre a limitare ad essi, quantomeno inizialmente, lo studio della topologia
generale. In realtà questo modo di procedere non semplificherebbe un granché;
la presenza di una metrica potrebbe anzi costituire elemento di disturbo
quando si trattasse di dover distinguere tra nozioni ad essa inerenti e nozioni
topologiche. Inoltre ci si imbatterebbe comunque (per passaggio, ad esempio,
al quoziente e—intaluni casi — al prodotto) in spazi topologici che non
sono, come si suol dire, metrizzabili e che, pur non essendolo, possono tuttavia
risultare significativi sotto altri aspetti.
1 Naturalmente le origini più remote vanno ricercate nel secolo precedente: chi volesse
documentarsi in tal senso, può consultare il testo di Manheim, The Genesis of Point Set
Topology, Pergamon Press, Oxford.
2 Ci riferiamo al lavoro dal titolo Grundzüge der Mengenlehre.
3 Introdotti da Fréchet nel 1906.
15

16 Capitolo 1. GENERALITÀ SUGLI SPAZI TOPOLOGICI
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1. Definizione di spazio topologico, esempi, generalità
1.1. Topologia su un insieme
Una famiglia A di parti di un insieme S è detta topologia per S se gode
delle seguenti proprietà:
1A) ∅, S ∈A
2A) A è stabile rispetto alle intersezioni finite (nel senso che, per ogni n ∈ N,
A1, ...,An ∈A⇒A1 ∩···∩An ∈A).
3A) A è stabile rispetto alle unioni (cioè se{Ai}i∈I è un’arbitraria famiglia di
elementi di A, allora
i∈I Ai ∈A).
Un insieme S dotato di una topologia A è detto spazio (topologico), e
viene denotato con (S, A) (o con S); ogni elemento di A è detto aperto di S,
gli elementi di S sono detti punti. L’insieme S prende il nome di sostegno dello
spazio.
OSSERVAZIONE t1
La proprietà 2A) equivale a richiedere che l’intersezione di due arbitrari
elementi di A sia un elemento di A. (Se infatti la 2A) è vera, essa è vera anche
per n = 2; se, viceversa, essa è vera per n =2,sipuò supporre, per induzione,
che sia vera per n − 1 arbitrari elementi di A: considerati allora n elementi,
A1, ...,An, diA, sihaA1 ∩···∩An =(A1 ∩···∩An−1) ∩ An, e dall’ipotesi
induttiva e dal caso n = 2 si deduce A1 ∩···∩An ∈A).
ESEMPI
1.1. Qualunque sia l’insieme S, l’insieme di parti {S, ∅} è evidentemente una
topologia per S (topologia banale). Il risultante spazio topologico è detto spazio
banalespazio, banale.
1.2. Qualunque sia l’insieme S, P(S)è una topologia per S (topologia discreta):
in essa sono aperti tutti i sottoinsiemi di S. Il risultante spazio topologico è
detto spazio discreto. (Stante la 3A), è evidente che affinché uno spazio sia
discreto, è sufficiente che tutti i suoi singleton siano aperti).
La topologia banale e quella discreta su uno stesso insieme, coincidono
solo nel caso in cui l’insieme stesso si riduca a un unico elemento.
1.3. Su ogni insieme S con almeno due elementi è possibile introdurre topologie
diverse dalla banale e dalla discreta: se infatti X è una parte propria e non
vuota di S, l’insieme di parti {∅,S,X} è una topologia per S (topologia con

§ 1.2 Interno 17
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tre aperti). Le topologie di S con tre aperti sono tante quante le parti proprie
e non vuote di S.
1.4. Nell’insieme R dei numeri reali, l’insieme delle semirette sinistre aperte4 (a
cui si aggiungano R e ∅) è una topologia. [La 1A) e la 2A) sono evidentemente
verificate. Quanto alla 3A), si consideri un insieme S = {] −∞,ai[}i∈I di
semirette sinistre aperte, e si osservi che essa è banalmente verificata se S
ricopre R. Se invece
] −∞,ai[ R, esiste un numero reale r ≥ ai per
i∈I
ogni i ∈ I. Cioè r è un maggiorante dell’insieme dei vertici delle semirette in
questione, che è quindi dotato (in R) di estremo superiore c (cfr. sez. C.1). Si
ha evidentemente
] −∞,ai[ ⊆ ] −∞,c[; d’altra parte, se x ∈ ] −∞,c[ (se
i∈I
è cioè x

18 Capitolo 1. GENERALITÀ SUGLI SPAZI TOPOLOGICI
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OSSERVAZIONE t2
Affinché un sottoinsieme X di uno spazio abbia interno non vuoto, è
necessario e sufficiente che X contenga qualche aperto non vuoto.
Proposizione 1. Sia S uno spazio e siano X e Y sottoinsiemi di S.
1.1) L’interno di X è un aperto, è incluso in X, edèil massimo aperto
incluso in X (nel senso che ogni aperto incluso in X è incluso in ◦
X).
1.2) X = ◦
X ⇔ X è aperto.
1.3) X ⊆ Y ⇒ ◦
X ⊆ ◦
Y .
1.4) (X ∩ Y ) ◦ = ◦
X ∩ ◦
1.5)
Y .
◦
X ∪ ◦
Y ⊆ (X ∪ Y ) ◦ .
Dimostrazione. 1.1) ◦
X è un aperto (in quanto unione di aperti (cfr. 3A)) e, per
come è definito, è evidentemente incluso in X. È inoltre chiaro che un aperto
incluso in X è contenuto nell’unione di tutti gli aperti inclusi in X, cioè in ◦
X.
1.2) Se X = ◦
X, allora X è un aperto (in quanto lo è ◦
X (cfr. 1.1)). Se X
è aperto, esso chiaramente è il massimo aperto incluso in X, cioè X = ◦
X (cfr.
1.1)).
1.3) Se X ⊆ Y , allora ◦
X ⊆ Y (perché ◦
X ⊆ X), cioè ◦
X è un aperto incluso
in Y . Ne segue ◦
X ⊆ ◦
Y (cfr. 1.1)).
1.4) ◦
X ∩ ◦
Y è un aperto (perché intersezione di due aperti) ed è incluso in
X ∩ Y (perché ◦
X ⊆ X e ◦
Y ⊆ Y ). Si ha dunque ◦
X ∩ ◦
Y ⊆ (X ∩ Y ) ◦ (cfr. 1.1)).
D’altra parte, essendo X ∩ Y incluso in X einY ,siha(X∩ Y ) ◦ ⊆ ◦
X e
(X ∩ Y ) ◦ ⊆ ◦
Y (cfr. 1.3)), da cui (X ∩ Y ) ◦ ⊆ ◦
X ∩ ◦
Y e dunque la tesi.
1.5) ◦
X ∪ ◦
Y è un aperto (perché unione di aperti) ed è incluso in X ∪ Y
(essendo ◦
X ⊆ X e ◦
Y ⊆ Y ). Ne segue ◦
X ∪ ◦
Y ⊆ (X ∪ Y ) ◦ (cfr. 1.1)).
ESEMPI
(Nel determinare l’interno di un sottoinsieme, si tenga presente che esso va
ovviamente ricercato tra gli aperti dello spazio inclusi nel sottoinsieme stesso,
e che l’intero spazio e l’insieme vuoto coincidono con il proprio interno).
1.7. In uno spazio banale l’interno di ogni sottoinsieme proprio è vuoto (cfr.
oss. t2). In uno spazio discreto ogni sottoinsieme, essendo aperto, coincide col
proprio interno.

§ 1.3 Topologia naturale di R ediR n 19
c○ 88-7999-311-9
In uno spazio con tre aperti — S, ∅,X — l’interno di un sottoinsieme
Y = S è X se X ⊆ Y , altrimenti è vuoto.
1.8. In (R, ←) l’interno di un sottoinsieme X è non vuoto se e solo se X
contiene qualche semiretta sinistra aperta (cfr. oss. t2) (e in tal caso è l’unione
delle semirette sinistre aperte incluse in X).
Ad esempio, l’interno di ]0, 1[edi]− 3, +∞[ è vuoto, l’interno di ] −∞, 0]
è]−∞, 0[, l’interno di R −{0} è]−∞, 0[.
1.9. Se A e A ′ sono topologie sullo stesso insieme S, con A meno fine di A ′ ,
si ha, per ogni X ⊆ S, ◦
X A ⊆ ◦
X A′
.
1.3. Topologia naturale di R ediR n
Si consideri la famiglia A di parti R costituita dalle unioni di intervalli
aperti (e dall’insieme vuoto). Essa, come ora proveremo, è una topologia per
R, che prende il nome di topologia naturale di R.
Proposizione 2. La famiglia di parti A, dianzi definita, è una topologia per R.
Dimostrazione.La1A)è verificata in quanto R è unione di tutti i suoi intervalli
aperti, e inoltre ∅∈A.
Per provare la 2A), si osservi che un sottoinsieme X di R appartiene ad A
se e solo se per ogni x ∈ X esiste un intervallo aperto passante per x e incluso
in X. Supponiamo allora che A e A ′ appartengano ad A (e che A ∩ A ′ = ∅).
Se x ∈ A ∩ A ′ , esistono (per quanto osservato) intervalli aperti ]a, b[, ]c, d[
tali che x ∈ ]a, b[⊆ A e x ∈ ]c, d[⊆ A ′ , da cui x ∈ ]a, b[∩]c, d[⊆ A ∩ A ′ . Essendo
]a, b[∩]c, d[ un intervallo aperto, ne segue A ∩ A ′ ∈A.
Dunque A è stabile rispetto alle intersezioni finite (cfr. oss. t1).
Infine, è verificata anche la 3A) in quanto, evidentemente, un’unione di
unioni di intervalli aperti è a sua volta un’unione di intervalli aperti.
L’insieme R dei numeri reali, dotato della topologia naturale, sarà
denotato con (R, nat.)
OSSERVAZIONE t3
Tra gli aperti della topologia naturale di R vi sono, ovviamente, tutti gli
intervalli aperti.
È inoltre chiaro che affinché un sottoinsieme X (= ∅) diR sia aperto
in (R, nat.), è necessario (anche se non sufficiente) che X contenga qualche
intervallo aperto e quindi che X abbia la potenza del continuo (cfr. sez. C.1).
Infine, ogni aperto (non vuoto) di (R, nat.), dovendo contenere intervalli
(aperti), contiene sia numeri razionali che irrazionali (cfr. sez. C.1).

20 Capitolo 1. GENERALITÀ SUGLI SPAZI TOPOLOGICI
c○ 88-7999-311-9
OSSERVAZIONE t4
La topologia naturale di R coincide con la topologia indotta su R dalla
metrica euclidea (i dischi aperti rispetto a tale metrica essendo gli intervalli
aperti) (cfr. sez. C.2).
ESEMPI
1.10. In (R, nat.) ciascuna semiretta aperta (sinistra o destra) è un aperto
(perché unione degli intervalli aperti in essa contenuti).
Dunque la topologia naturale di R èpiù fine di quella delle semirette
sinistre aperte e di quella delle semirette destre aperte (cfr. es. 1.4).
1.11. Per ogni x ∈ R, l’insieme R −{x} è aperto in (R, nat.) (avendosi
R−{x} =]−∞,x[∪]x, +∞[ (cfr. es. 1.10)). Ne segue che, per ogni parte finita
F di R, l’insieme R−F è aperto in (R, nat.) (avendosi R−F =
x∈F (R−{x}),
essendo cioè R − F intersezione finita di aperti).
1.12. Gli intervalli del tipo [a, b[ non sono aperti in (R, nat.) (non esistendo
alcun intervallo aperto passante per l’estremo a e incluso in [a, b[). Analogo
discorso per gli intervalli del tipo ]a, b] o[a, b]. Il loro interno coincide con
l’intervallo aperto ]a, b[.
1.13. I sottoinsiemi finiti o numerabili di R non sono aperti in (R, nat.) (cfr.
seconda parte dell’oss. t3). In particolare non sono aperti N, Z, Q, {1/n}n∈N, e
tutti i loro sottoinsiemi non vuoti. L’interno di ciascuno di essi è perciò vuoto.
1.14. L’insieme R − Q degli irrazionali — e ogni suo sottoinsieme — non è
aperto in (R, nat.) (in quanto non contiene intervalli aperti (cfr. oss. t3)). Ne
segue che (R − Q) ◦ = ∅.
1.15. R − N è aperto in (R, nat.) (avendosi R − N =]−∞, 1[∪(
]n, n + 1[)
(cfr. prop. 13.1)).
Analogamente, R − N0 e R − Z sono aperti in (R, nat.).
1.16. R −{1/n}n∈N non è aperto in (R, nat.). (Infatti il dato insieme, pur
contenendo 0, non contiene alcun intervallo aperto passante per 0 (cfr. prop.
13.2)).
R − ({1/n}n∈N ∪{0}) è aperto in (R, nat.) (denotando con X il dato
insieme, si ha infatti X = ] −∞, 0[∪
∪]1, +∞[ (cfr. prop.
13.2)), ed è l’interno di R −{1/n}n∈N.
n∈N
1
n+1
, 1
n
n∈N

§ 1.3 Topologia naturale di R ediR n 21
c○ 88-7999-311-9
Chiameremo topologia naturale di R n la topologia indotta in R n dalla
metrica euclidea d (cfr. sez. C.2). I suoi aperti sono quindi i sottoinsiemi di
R n ciascuno dei quali è unione di dischi aperti. Questo spazio topologico sarà
denotato con (R n , nat.) (e la notazione comprenderà anche il caso n = 1 (cfr.
oss. t4)).
OSSERVAZIONE t5
Affinché un sottinsieme (non vuoto) X di R n sia aperto nella topologia
naturale, è necessario e sufficiente che, per ogni x ∈ X, esista un disco aperto
passante per x e incluso in X. (In particolare ogni disco aperto è un aperto).
Inoltre, affinché un sottoinsieme di R n sia aperto in (R n , nat.), è necessario
(ma non, ovviamente, sufficiente) che esso abbia la potenza del continuo
(dovendo contenere qualche disco aperto (cfr. oss. t29)).
ESEMPI
1.17. Ogni sottoinsieme di R n del tipo ]a1,b1[×···×]an,bn[ è aperto nella
topologia naturale. [Cfr. es. C.18].
1.18. Per ogni x ∈ R n , l’insieme R n −{x} è aperto in (R n , nat.) (infatti per
ogni y ∈ R n −{x}, il disco aperto di centro y e raggio r ≤ d(x, y), è incluso in
R n −{x}).
Ne segue che, per ogni parte finita F di R n , l’insieme R n − F è aperto
(avendosi R n − F =
x∈F (Rn −{x}), essendo cioè R n − F intersezione finita
di aperti).
1.19. Se C(x, r) è un disco aperto di R n e X è la circonferenza di centro x
e raggio r, l’insieme C ∪ Y , con ∅ = Y ⊆ X, non è aperto nella topologia
naturale (infatti se y ∈ Y , non esiste alcun disco aperto passante per y e
incluso in C ∪ Y ), e si ha pertanto (C ∪ Y ) ◦ = C.
1.20. I sottoinsiemi finiti o numerabili di R n non sono aperti nella topologia
naturale (cfr. ultima parte dell’oss. t5). Non lo sono, in particolare N n , Z n ,
Q n , e tutti i loro sottoinsiemi non vuoti; l’interno di ciascuno di essi è perciò
vuoto.
OSSERVAZIONE t6
La topologia naturale di R n rientra tra le topologie prodotto (cfr. Cap.
3), e molte sue importanti proprietà sono più facilmente ottenibili se si tiene
conto di questa circostanza. Riprenderemo perciò il suo studio nei successivi
capitoli.

22 Capitolo 1. GENERALITÀ SUGLI SPAZI TOPOLOGICI
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OSSERVAZIONE t7
Una topologia non è, in generale, stabile rispetto alle intersezioni infinite.
Per convincersene, basta ragionare sulla topologia naturale di R, osservando
che si ha
] − 1/n, 1/n[= {0} (cfr. prop. 11): dunque, pur essendo tutti gli
n∈N
intervalli ] − 1/n, 1/n[ aperti, la loro intersezione non lo è. (Il lettore è invitato
a fornire analoghi controesempi in (R n , nat.) e, eventualmente, in qualcun
altro degli spazi introdotti).
Una topologia che sia stabile rispetto alle intersezioni è detta principale.
Le topologie principali sono state studiate in [31].
2. Insiemi chiusi. Chiusura
Un sottoinsieme X di uno spazio S si dice chiusosottoinsieme, chiuso se
il suo complemento S − X è aperto.
Proposizione 3. L’insieme C dei chiusi di uno spazio S soddisfa le proprietà:
1C) ∅, S ∈C.
2C) C è stabile rispetto alle unioni finite.
3C) C è stabile rispetto alle intersezioni.
Dimostrazione.
1C) Basta tener presente che ∅ = S − S e S = S −∅, ricordando che S e ∅
sono aperti.
2C) Segue dalla relazione di de Morgan S − h
Xi =
i=1
h
(S − Xi) e da 2A).
i=1
3C) Segue dalla relazione di de Morgan S −
Xi =
(S − Xi) e da 3A).
OSSERVAZIONE t8
In ogni spazio topologico S esistono sottoinsiemi che sono simultaneamente
aperti e chiusi: almeno S e ∅. (Vedremo in seguito che, per una
classe molto importante di spazi, S e ∅ sono gli unici sottoinsiemi aperti
e chiusi (cfr. Cap. 5)). D’altra parte, può accadere che un sottoinsieme
di S non sia né aperto né chiuso, come provato da alcuni dei prossimi esempi.
i∈I
i∈I

§ 2 Insiemi chiusi. Chiusura 23
c○ 88-7999-311-9
ESEMPI
2.1. In uno spazio discreto ogni sottoinsieme è sia aperto che chiuso.
In uno spazio banale S gli unici chiusi (e gli unici aperti) sono S e ∅.
Se S è un insieme con più di un punto, nella topologia con tre aperti
{S, ∅,X} (determinata da un sottoinsieme X — proprio e non vuoto —
di S), i chiusi sono S, ∅, S − X.
2.2. In (R, ←) i chiusi sono R, ∅ e le semirette destre chiuse.
2.3. In (R, nat.) ogni parte finita è un chiuso (cfr. es. 1.11). Sono chiusi altresì
N, Z, {1/n}n∈N ∪{0} (cfr. es. 1.15 e 1.16), mentre Q, R − Q, {1/n}n∈N non
sono né aperti né chiusi (cfr. es. 1.13, 1.14, 1.16).
2.4. Ogni parte finita di R n è un chiuso di (R n , nat.) (cfr. es. 1.18), al pari di
ogni disco chiuso (cfr. eser. C.8).
OSSERVAZIONE t9
Siano A e A ′ topologie sullo stesso insieme, C e C ′ le rispettive famiglie
dei chiusi. Allora A è meno fine di A ′ se e solo se C⊆C ′ .
OSSERVAZIONE t10
Se S èuninsieme, una famiglia C di parti di S che verifichi le 1C), 2C),
3C) di cui alla proposizione 3, è sempre la famiglia dei chiusi di una e una
sola topologia di S: quella i cui aperti sono i complementi (rispetto a S) degli
elementi di C.
In altre parole, una topologia su un insieme si può introdurre assegnando
inizialmente, anziché gli aperti, i chiusi.
ESEMPI
2.5. Sia S un insieme e sia C l’insieme di parti di S costituito da S e dai
sottoinsiemi finiti di S. Si prova facilmente che C è l’insieme dei chiusi di una
topologia di S (cfr. oss. t10), che prende il nome di topologia cofinita: in essa
gli aperti sono (oltre all’insieme vuoto) i sottoinsiemi di S il cui complemento
rispetto a S è un insieme finito (detti anche insiemi cofiniti di S).
Se S è finito — e solo in questo caso —, la topologia cofinita di S coincide
con la discreta (essendo in questo caso — e solo in questo — tutte le parti di
S finite).