appunti Foglio 1 e Foglio 2 - Cartesio.dima.unige.it
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Gli <strong>appunti</strong> si riferiscono al corso tenuto da Boero negli anni precedenti e sono stati integrati.<br />
In grassetto i numeri delle schede, che sono stati sost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>i in modo da farli corrispondere a quelli<br />
delle schede svolte quest’anno.<br />
LA PROBABILITA’<br />
Il tema della probabil<strong>it</strong>à, ci spiega il professor Boero, non è di facile comprensione, specialmente<br />
perché nell’amb<strong>it</strong>o della scuola primaria è trattato in modo superficiale e non sempre corretto.<br />
_________________________________<br />
Alcune premesse a livello adulto<br />
In teoria della probabil<strong>it</strong>à si parla di variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica<br />
o random variable). Veramente si dovrebbe parlare di funzione aleatoria cioè funzione dipendente<br />
dal caso, dal verificarsi o meno di determinati eventi, ma, per ragioni storiche, ormai il termine<br />
variabile è entrato nell'uso comune ed è universalmente accettato.<br />
ATTENZIONE: ciò che è casuale (aleatorio) è, per esempio, l’es<strong>it</strong>o del lancio del dado e non il<br />
valore di probabil<strong>it</strong>à p associato che è perfettamente determinato, come vedremo in segu<strong>it</strong>o.<br />
______________________________<br />
Esecuzione in classe della scheda n 1- probabil<strong>it</strong>à. “Si lanciano due dadi, ogni volta si sommano i<br />
numeri ottenuti. Per vincere scommettendo sulla somma, conviene puntare sul pari o sul dispari,<br />
oppure è indifferente? Perché?”<br />
Le soluzioni che emergono durante la correzione sono a favore del pari e dell’indifferente, nessuno<br />
ha indicato dispari.<br />
Riflessione sulla scheda n 1-probabil<strong>it</strong>à:<br />
Il professore dice che SE ci conformassimo alla definizione che quasi tutti i libri della scuola<br />
primaria danno di probabil<strong>it</strong>à (ossia probabil<strong>it</strong>à uguale al rapporto tra numero casi favorevoli e<br />
numero casi possibili), sarebbe ragionevole puntare sul pari.<br />
Infatti SE consideriamo la somma dei numeri usc<strong>it</strong>i sulle facce superiori, ci sono più possibil<strong>it</strong>à di<br />
usc<strong>it</strong>a del pari come numeri somma: i casi favorevoli alle somme pari sono sei (2,4,6,8 10,12)<br />
contro cinque somme dispari (1,3,5,7,9,11); i casi possibili di usc<strong>it</strong>e sono undici<br />
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), quindi SEMBRA che<br />
P(esce somma pari) = 6/11, mentre P(esce somma dispari) = 5/11<br />
Ma .... una ragazza interviene dicendo che ha motivato pari seguendo un ragionamento diverso da<br />
quello appena c<strong>it</strong>ato del professore. Procedimento della compagna:<br />
P+P= P ; D+P= D ; D+D= P<br />
dove P sta per pari e D per dispari.<br />
Quindi ci sarebbero due casi di pari su tre possibili, il pari risulterebbe predominante.<br />
A questo punto un’altra ragazza (che sostiene “indifferente”) esprime la sua posizione a riguardo<br />
(intervento molto importante): ”se tu ragioni in termini di vinc<strong>it</strong>a ciò che conta è il risultato, ma<br />
se ragioni in termini di usc<strong>it</strong>e osservi semplicemente i dadi come escono” (tale affermazione è<br />
analoga a quella espressa nell’allegato alle scheda 2 di quest’anno).<br />
Se infatti consideriamo i numeri-risultato conviene puntare sul pari, se invece consideriamo la<br />
dinamica del gioco ossia i modi in cui otteniamo i numeri-somma mi rendo conto che il 2, come<br />
somma, non esce tanto quanto il 5 (poiché 2 viene solo come somma 1+1, mentre 5 può venire in<br />
diversi modi: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2).
Da ciò si deduce che la definizione di probabil<strong>it</strong>à data su molti libri di testo è sbagliata: la<br />
condizione imprescindibile nel calcolo del rapporto di probabil<strong>it</strong>à è che i casi possibili siano<br />
EGUALMENTE possibili.<br />
Quindi bisogna considerare anche l’opzione P+D=D, oltre a D+P= D e, in questo modo,<br />
aggiungendo un’ulteriore possibil<strong>it</strong>à di calcolo, le somme pari risultano uguali a quelle dispari ed<br />
è indifferente puntare su di un numero pari o dispari.<br />
Inizialmente non è chiaro a molti perché occorra considerare anche P+D (visto che vale la<br />
proprietà commutativa dell'addizione: 2+3=3+2), ma poi è chiar<strong>it</strong>o che nelle usc<strong>it</strong>e dei dadi conta<br />
anche il dado su cui leggo l’usc<strong>it</strong>a.<br />
___________________________________<br />
Approfondimento teorico a livello adulto:<br />
chi ci assicura che P+P = P, D+P= D, D+D= P valga SEMPRE ?<br />
vedi scheda “Proprietà dei numeri”<br />
___________________________________<br />
A questo punto riprendiamo i modi in cui possiamo ottenere le somme pari e le somme dispari.<br />
Una compagna ha fatto notare che nelle 11 somme possibili alcune hanno più opportun<strong>it</strong>à di<br />
combinazioni. Non è la stessa cosa, quindi, considerare, somme quali il 2 (che si forma solo con<br />
1+1) o il 3, piuttosto che somme quali il 7 (che può venir fuori in tanti modi: 2+5, 3+4, 1+6...) o l’8.<br />
Il professore allora guida ad una possibile soluzione, chiedendo alla classe quante sono le possibili<br />
somme con due dadi. Alcune risposte sono discordanti, ma infine giungiamo al numero 36 (6x6).<br />
La verifica di ciò si può ottenere considerando tutti i modi in cui si possono ottenere i numerisomma:<br />
casi possibili equiprobabili sono 36 (1+1, 1+2, 2+1, 1+3, 3+1, 2+2, 1+4, 4+1, 2+3, 3+2,<br />
ecc.), quelli favorevoli sono 18 (1+1, 1+3, 3+1, 2+2, ecc.), quindi la probabil<strong>it</strong>à del pari è<br />
P(pari)= 18/36=1/2 = P(dispari)<br />
Oppure organizzando in tabella tutte le possibili somme:<br />
1 2 3 4 5 6<br />
1 2 3 4 5 6 7<br />
2 3 4 5 6 7 8<br />
3 4 5 6 7 8 9<br />
4 5 6 7 8 9 10<br />
5 6 7 8 9 10 11<br />
6 7 8 9 10 11 12<br />
Pertanto la risposta corretta alla scheda è: INDIFFERENTE.<br />
Esaminando le somme ottenute si può osservare che si<br />
trovano 36 combinazioni diverse.<br />
18 di esse danno luogo a risultati pari e 18 dispari.<br />
I casi possibili equipossibili sono 36, quelli favorevoli<br />
sono 18 quindi P(pari)= 18/36=1/2 = P(dispari)<br />
In generale: al fine del calcolo della probabil<strong>it</strong>à occorre<br />
sempre accertare che la scelta dei casi possibili dia luogo a<br />
casi EGUALMENTE possibili.<br />
Una collega dichiara di avere motivato la sua risposta “indifferente” in altro modo.<br />
Ha scelto un numero dispari su di un dado, ad esempio1, e ha considerato tutte le possibil<strong>it</strong>à<br />
sull’altro dado (da 1 a 6), ha osservato che le somme pari (1+1, 1+3, 1+5) sono quante le dispari<br />
(1+2, 1+4, 1+6).<br />
Un ragionamento analogo si può fare se si sceglie un numero pari su un dado.<br />
Fra tutte le motivazioni, questa è la migliore per sostenere l’indifferenza tra pari e dispari.
Un primo approccio alla definizione di probabil<strong>it</strong>à può essere realizzato già nelle classi terze della<br />
primaria (se in precedenza i bambini hanno discusso varie s<strong>it</strong>uazioni aleatorie), con<br />
approfondimenti nelle classi successive.<br />
NB: quest’anno non è stata svolta la scheda che segue<br />
La lezione inizia con la correzione della scheda che riportava il seguente testo:<br />
“Valutare le seguenti spiegazioni (prodotte lo scorso anno e due anni fa) del perché, per vincere<br />
quando si lanciano 2 dadi e si punta sul pari o sul dispari per la somma dei numeri usc<strong>it</strong>i, è<br />
indifferente puntare sul pari o sul dispari, distinguendo tra testi esaurienti, testi che<br />
richiederebbero spiegazioni ulteriori e testi che non spiegano il perché”.<br />
Si trattava di considerare il lancio di due dadi insieme, al fine di considerare la somma dei numeri<br />
usc<strong>it</strong>i sulle facce superiori, e per questo si potrebbe pensare che nella somma ci sono più possibil<strong>it</strong>à<br />
di usc<strong>it</strong>a dei pari come numeri-somma (ci sono 6 possibili somme pari: 2, 4, 6, 8, 10, 12, contro 5<br />
somme dispari: 1, 3, 5, 7, 9, 11), ma in realtà ci sono alcuni numeri somma che sono molto più<br />
probabili di altri: numeri somma come ad esempio il numero 5 che può essere dato da 1+4, 4+1,<br />
2+3, 3+2 mentre il 2 è dato solo da 1+1.<br />
Pertanto bisogna modificare quella che si chiama base di eventi ossia andare a considerare<br />
effettivamente gli eventi equipossibili e considerare le 36 modal<strong>it</strong>à egualmente possibili, 18 con<br />
risultato pari e 18 con risultato dispari.<br />
Successivamente la richiesta della scheda era di spiegare il motivo per cui è indifferente puntare sul<br />
pari o sul dispari.<br />
Spiegazione A: “Il pari viene tante volte quanto il dispari, lo si vede se si prova a fare<br />
pari+dispari”.<br />
Non è una spiegazione accettabile in quanto si lim<strong>it</strong>a ad affermare che il pari esce tanto quanto il<br />
dispari, ma non ne spiega il motivo.<br />
Spiegazione B: “I modi possibili di uscire del pari e del dispari sono tanti quanto i modi possibili<br />
di uscire del dispari, perché il pari si può ottenere sommando pari+pari oppure dispari+dispari,<br />
mentre il dispari si può ottenere sommando dispari+pari oppure pari+dispari”.<br />
E’ corretta e ragionevole per quanto c'è scr<strong>it</strong>to, ma incompleta come spiegazione.<br />
Decidiamo di lasciare in sospeso questa risposta per tornare a ragionarci dopo lo svolgimento di un<br />
altro esercizio.<br />
Spiegazione C: “I modi di uscire del pari sono 18: 1+1, 1+3,3+1, 1+5, 5+1, 3+3, 3+5, 5+3, 5+5,<br />
2+2, 2+4, 4+2, 2+6, 6+2, 4+4, 4+6, 6+4, 6+6, tanti quanti i modi di uscire del dispari: 1+2, 2+1,<br />
1+4, 4+1, 1+6, 6+1, 2+3, 3+2, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3, 3+6, 6+3, 4+5, 5+4, 5+6, 6+5”.<br />
Questa spiegazione elenca tutti i casi, è una spiegazione accettabile, esaurisce le possibil<strong>it</strong>à, la "base<br />
di eventi" è cost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>a da tutti i casi equamente possibili.<br />
Spiegazione D: “Il pari può uscire tante volte quanto il dispari in quanto i numeri pari sono tanti<br />
quanti i numeri dispari: infatti dopo ogni numero pari c’è un numero dispari”.<br />
Questa spiegazione dà una motivazione che non ha nulla a che fare con ciò che stiamo esaminando,<br />
non è assolutamente pertinente.<br />
Spiegazione E: “Il pari esce tanto quanto il dispari perché le somme pari (2, 4, 6, 8, 10, 12) è vero<br />
che sono di più delle somme dispari (3, 5, 7, 9, 11), ma vengono meno volte e quindi le somme<br />
dispari (che vengono più volte) compensano quelle pari”.
Questa spiegazione dà un buon motivo per puntare sull’indifferente, ma non ne spiega il motivo,<br />
non è una spiegazione conclusiva.<br />
In conclusione solo la spiegazione C è pienamente accettabile.<br />
Successivamente si passa alla correzione della scheda (per quest’anno scheda P2, scheda n 2-<br />
probabil<strong>it</strong>à) riguardante un frammento di discussione in una classe III di scuola primaria che sin<br />
dalla I ha lavorato sulle probabil<strong>it</strong>à. Hanno lavorato con la discussione di risposte dei bambini a<br />
domande del tipo “come sarà il tempo domani”, per poi passare (tra fine I e inizio II) a studiare<br />
s<strong>it</strong>uazioni aleatorie su cui si sono raccolti dati (ad esempio, sorteggi settimanali per attribuzioni<br />
comp<strong>it</strong>i, sorteggi per eseguire calcoli a mente, ecc.) e giungendo progressivamente in terza allo<br />
studio dei lanci di un dado... fino a rispondere allo stesso ques<strong>it</strong>o proposto a noi (per quest’anno<br />
scheda P1) (ques<strong>it</strong>o proposto senza aver prima fatto esperienze sul lancio di due dadi).<br />
Il professore nota come tutti noi abbiamo individuato il ruolo centrale dell’insegnante che indirizza<br />
la discussione, facendo le giuste domande. Non abbiamo però colto l’importanza della<br />
collaborazione tra i bambini (collaborazione tra pari) per giungere alla soluzione: considerando<br />
s<strong>it</strong>uazioni di altre classi che hanno svolto la stessa attiv<strong>it</strong>à si vede che lavorando e ragionando<br />
individualmente nessun bambino arriva da solo alla risposta corretta conclusiva.<br />
Infatti, mentre Giulia si concentra sulla somma dei due numeri (dai numeri dei due dadi, alla loro<br />
somma) l’attenzione di Roberto si sposta dal risultato ai due singoli numeri-addendi che possono<br />
essere diversi:<br />
4+3= 7 diventa 7=4+3=5+2 ecc.<br />
È avvenuto in effetti un importante cambiamento di struttura della frase … un cambiamento da<br />
forma attiva a forma passiva, cioè da “4 e 3 fanno 7” a “7 è formato da”, operato da Roberto, e<br />
questo aiuta Giulia a concludere il ragionamento, sfruttando l’input lanciato dal compagno;<br />
abbiamo, così, concluso che questo è un esempio di s<strong>it</strong>uazione in cui la collaborazione tra compagni<br />
è decisamente più costruttiva rispetto al lavoro individuale, in quanto la collaborazione offre un<br />
aiuto ed un supporto non solo a livello emotivo ed affettivo ma anche a livello cogn<strong>it</strong>ivo.<br />
Il professore fa, a questo punto, un'ulteriore riflessione: composizione add<strong>it</strong>iva (4+3=7) e<br />
scomposizione add<strong>it</strong>iva (7=4+3) sono equivalenti dal punto di vista matematico ma non sono la<br />
stessa cosa dal punto di vista cogn<strong>it</strong>ivo in quanto sono due modi diversi di pensare l’addizione.<br />
Così, riflettendo ulteriormente su questo specifico aspetto, ci viene ancora ricordata l’importanza e<br />
l’util<strong>it</strong>à del lavoro con le monete, in quanto esso obbliga a tener conto dell’addizione intesa sia<br />
come composizione che come scomposizione (infatti, nel momento in cui ho un prezzo da pagare<br />
occorre prima scomporre tale prezzo in relazione alle monete disponibili - ad esempio: 6=5+1,<br />
mentre se ho due oggetti da pagare devo eseguire un’"addizione compos<strong>it</strong>iva").