appunti Foglio 1 e Foglio 2 - Cartesio.dima.unige.it

Gli appunti si riferiscono al corso tenuto da Boero negli anni precedenti e sono stati integrati.
In grassetto i numeri delle schede, che sono stati sostituiti in modo da farli corrispondere a quelli
delle schede svolte quest’anno.
LA PROBABILITA’
Il tema della probabilità, ci spiega il professor Boero, non è di facile comprensione, specialmente
perché nell’ambito della scuola primaria è trattato in modo superficiale e non sempre corretto.
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Alcune premesse a livello adulto
In teoria della probabilità si parla di variabile casuale (o variabile aleatoria o variabile stocastica
o random variable). Veramente si dovrebbe parlare di funzione aleatoria cioè funzione dipendente
dal caso, dal verificarsi o meno di determinati eventi, ma, per ragioni storiche, ormai il termine
variabile è entrato nell'uso comune ed è universalmente accettato.
ATTENZIONE: ciò che è casuale (aleatorio) è, per esempio, l’esito del lancio del dado e non il
valore di probabilità p associato che è perfettamente determinato, come vedremo in seguito.
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Esecuzione in classe della scheda n 1- probabilità. “Si lanciano due dadi, ogni volta si sommano i
numeri ottenuti. Per vincere scommettendo sulla somma, conviene puntare sul pari o sul dispari,
oppure è indifferente? Perché?”
Le soluzioni che emergono durante la correzione sono a favore del pari e dell’indifferente, nessuno
ha indicato dispari.
Riflessione sulla scheda n 1-probabilità:
Il professore dice che SE ci conformassimo alla definizione che quasi tutti i libri della scuola
primaria danno di probabilità (ossia probabilità uguale al rapporto tra numero casi favorevoli e
numero casi possibili), sarebbe ragionevole puntare sul pari.
Infatti SE consideriamo la somma dei numeri usciti sulle facce superiori, ci sono più possibilità di
uscita del pari come numeri somma: i casi favorevoli alle somme pari sono sei (2,4,6,8 10,12)
contro cinque somme dispari (1,3,5,7,9,11); i casi possibili di uscite sono undici
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12), quindi SEMBRA che
P(esce somma pari) = 6/11, mentre P(esce somma dispari) = 5/11
Ma .... una ragazza interviene dicendo che ha motivato pari seguendo un ragionamento diverso da
quello appena citato del professore. Procedimento della compagna:
P+P= P ; D+P= D ; D+D= P
dove P sta per pari e D per dispari.
Quindi ci sarebbero due casi di pari su tre possibili, il pari risulterebbe predominante.
A questo punto un’altra ragazza (che sostiene “indifferente”) esprime la sua posizione a riguardo
(intervento molto importante): ”se tu ragioni in termini di vincita ciò che conta è il risultato, ma
se ragioni in termini di uscite osservi semplicemente i dadi come escono” (tale affermazione è
analoga a quella espressa nell’allegato alle scheda 2 di quest’anno).
Se infatti consideriamo i numeri-risultato conviene puntare sul pari, se invece consideriamo la
dinamica del gioco ossia i modi in cui otteniamo i numeri-somma mi rendo conto che il 2, come
somma, non esce tanto quanto il 5 (poiché 2 viene solo come somma 1+1, mentre 5 può venire in
diversi modi: 1+4, 4+1, 2+3, 3+2).

Da ciò si deduce che la definizione di probabilità data su molti libri di testo è sbagliata: la
condizione imprescindibile nel calcolo del rapporto di probabilità è che i casi possibili siano
EGUALMENTE possibili.
Quindi bisogna considerare anche l’opzione P+D=D, oltre a D+P= D e, in questo modo,
aggiungendo un’ulteriore possibilità di calcolo, le somme pari risultano uguali a quelle dispari ed
è indifferente puntare su di un numero pari o dispari.
Inizialmente non è chiaro a molti perché occorra considerare anche P+D (visto che vale la
proprietà commutativa dell'addizione: 2+3=3+2), ma poi è chiarito che nelle uscite dei dadi conta
anche il dado su cui leggo l’uscita.
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Approfondimento teorico a livello adulto:
chi ci assicura che P+P = P, D+P= D, D+D= P valga SEMPRE ?
vedi scheda “Proprietà dei numeri”
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A questo punto riprendiamo i modi in cui possiamo ottenere le somme pari e le somme dispari.
Una compagna ha fatto notare che nelle 11 somme possibili alcune hanno più opportunità di
combinazioni. Non è la stessa cosa, quindi, considerare, somme quali il 2 (che si forma solo con
1+1) o il 3, piuttosto che somme quali il 7 (che può venir fuori in tanti modi: 2+5, 3+4, 1+6...) o l’8.
Il professore allora guida ad una possibile soluzione, chiedendo alla classe quante sono le possibili
somme con due dadi. Alcune risposte sono discordanti, ma infine giungiamo al numero 36 (6x6).
La verifica di ciò si può ottenere considerando tutti i modi in cui si possono ottenere i numerisomma:
casi possibili equiprobabili sono 36 (1+1, 1+2, 2+1, 1+3, 3+1, 2+2, 1+4, 4+1, 2+3, 3+2,
ecc.), quelli favorevoli sono 18 (1+1, 1+3, 3+1, 2+2, ecc.), quindi la probabilità del pari è
P(pari)= 18/36=1/2 = P(dispari)
Oppure organizzando in tabella tutte le possibili somme:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Pertanto la risposta corretta alla scheda è: INDIFFERENTE.
Esaminando le somme ottenute si può osservare che si
trovano 36 combinazioni diverse.
18 di esse danno luogo a risultati pari e 18 dispari.
I casi possibili equipossibili sono 36, quelli favorevoli
sono 18 quindi P(pari)= 18/36=1/2 = P(dispari)
In generale: al fine del calcolo della probabilità occorre
sempre accertare che la scelta dei casi possibili dia luogo a
casi EGUALMENTE possibili.
Una collega dichiara di avere motivato la sua risposta “indifferente” in altro modo.
Ha scelto un numero dispari su di un dado, ad esempio1, e ha considerato tutte le possibilità
sull’altro dado (da 1 a 6), ha osservato che le somme pari (1+1, 1+3, 1+5) sono quante le dispari
(1+2, 1+4, 1+6).
Un ragionamento analogo si può fare se si sceglie un numero pari su un dado.
Fra tutte le motivazioni, questa è la migliore per sostenere l’indifferenza tra pari e dispari.

Un primo approccio alla definizione di probabilità può essere realizzato già nelle classi terze della
primaria (se in precedenza i bambini hanno discusso varie situazioni aleatorie), con
approfondimenti nelle classi successive.
NB: quest’anno non è stata svolta la scheda che segue
La lezione inizia con la correzione della scheda che riportava il seguente testo:
“Valutare le seguenti spiegazioni (prodotte lo scorso anno e due anni fa) del perché, per vincere
quando si lanciano 2 dadi e si punta sul pari o sul dispari per la somma dei numeri usciti, è
indifferente puntare sul pari o sul dispari, distinguendo tra testi esaurienti, testi che
richiederebbero spiegazioni ulteriori e testi che non spiegano il perché”.
Si trattava di considerare il lancio di due dadi insieme, al fine di considerare la somma dei numeri
usciti sulle facce superiori, e per questo si potrebbe pensare che nella somma ci sono più possibilità
di uscita dei pari come numeri-somma (ci sono 6 possibili somme pari: 2, 4, 6, 8, 10, 12, contro 5
somme dispari: 1, 3, 5, 7, 9, 11), ma in realtà ci sono alcuni numeri somma che sono molto più
probabili di altri: numeri somma come ad esempio il numero 5 che può essere dato da 1+4, 4+1,
2+3, 3+2 mentre il 2 è dato solo da 1+1.
Pertanto bisogna modificare quella che si chiama base di eventi ossia andare a considerare
effettivamente gli eventi equipossibili e considerare le 36 modalità egualmente possibili, 18 con
risultato pari e 18 con risultato dispari.
Successivamente la richiesta della scheda era di spiegare il motivo per cui è indifferente puntare sul
pari o sul dispari.
Spiegazione A: “Il pari viene tante volte quanto il dispari, lo si vede se si prova a fare
pari+dispari”.
Non è una spiegazione accettabile in quanto si limita ad affermare che il pari esce tanto quanto il
dispari, ma non ne spiega il motivo.
Spiegazione B: “I modi possibili di uscire del pari e del dispari sono tanti quanto i modi possibili
di uscire del dispari, perché il pari si può ottenere sommando pari+pari oppure dispari+dispari,
mentre il dispari si può ottenere sommando dispari+pari oppure pari+dispari”.
E’ corretta e ragionevole per quanto c'è scritto, ma incompleta come spiegazione.
Decidiamo di lasciare in sospeso questa risposta per tornare a ragionarci dopo lo svolgimento di un
altro esercizio.
Spiegazione C: “I modi di uscire del pari sono 18: 1+1, 1+3,3+1, 1+5, 5+1, 3+3, 3+5, 5+3, 5+5,
2+2, 2+4, 4+2, 2+6, 6+2, 4+4, 4+6, 6+4, 6+6, tanti quanti i modi di uscire del dispari: 1+2, 2+1,
1+4, 4+1, 1+6, 6+1, 2+3, 3+2, 2+5, 5+2, 3+4, 4+3, 3+6, 6+3, 4+5, 5+4, 5+6, 6+5”.
Questa spiegazione elenca tutti i casi, è una spiegazione accettabile, esaurisce le possibilità, la "base
di eventi" è costituita da tutti i casi equamente possibili.
Spiegazione D: “Il pari può uscire tante volte quanto il dispari in quanto i numeri pari sono tanti
quanti i numeri dispari: infatti dopo ogni numero pari c’è un numero dispari”.
Questa spiegazione dà una motivazione che non ha nulla a che fare con ciò che stiamo esaminando,
non è assolutamente pertinente.
Spiegazione E: “Il pari esce tanto quanto il dispari perché le somme pari (2, 4, 6, 8, 10, 12) è vero
che sono di più delle somme dispari (3, 5, 7, 9, 11), ma vengono meno volte e quindi le somme
dispari (che vengono più volte) compensano quelle pari”.

Questa spiegazione dà un buon motivo per puntare sull’indifferente, ma non ne spiega il motivo,
non è una spiegazione conclusiva.
In conclusione solo la spiegazione C è pienamente accettabile.
Successivamente si passa alla correzione della scheda (per quest’anno scheda P2, scheda n 2-
probabilità) riguardante un frammento di discussione in una classe III di scuola primaria che sin
dalla I ha lavorato sulle probabilità. Hanno lavorato con la discussione di risposte dei bambini a
domande del tipo “come sarà il tempo domani”, per poi passare (tra fine I e inizio II) a studiare
situazioni aleatorie su cui si sono raccolti dati (ad esempio, sorteggi settimanali per attribuzioni
compiti, sorteggi per eseguire calcoli a mente, ecc.) e giungendo progressivamente in terza allo
studio dei lanci di un dado... fino a rispondere allo stesso quesito proposto a noi (per quest’anno
scheda P1) (quesito proposto senza aver prima fatto esperienze sul lancio di due dadi).
Il professore nota come tutti noi abbiamo individuato il ruolo centrale dell’insegnante che indirizza
la discussione, facendo le giuste domande. Non abbiamo però colto l’importanza della
collaborazione tra i bambini (collaborazione tra pari) per giungere alla soluzione: considerando
situazioni di altre classi che hanno svolto la stessa attività si vede che lavorando e ragionando
individualmente nessun bambino arriva da solo alla risposta corretta conclusiva.
Infatti, mentre Giulia si concentra sulla somma dei due numeri (dai numeri dei due dadi, alla loro
somma) l’attenzione di Roberto si sposta dal risultato ai due singoli numeri-addendi che possono
essere diversi:
4+3= 7 diventa 7=4+3=5+2 ecc.
È avvenuto in effetti un importante cambiamento di struttura della frase … un cambiamento da
forma attiva a forma passiva, cioè da “4 e 3 fanno 7” a “7 è formato da”, operato da Roberto, e
questo aiuta Giulia a concludere il ragionamento, sfruttando l’input lanciato dal compagno;
abbiamo, così, concluso che questo è un esempio di situazione in cui la collaborazione tra compagni
è decisamente più costruttiva rispetto al lavoro individuale, in quanto la collaborazione offre un
aiuto ed un supporto non solo a livello emotivo ed affettivo ma anche a livello cognitivo.
Il professore fa, a questo punto, un'ulteriore riflessione: composizione additiva (4+3=7) e
scomposizione additiva (7=4+3) sono equivalenti dal punto di vista matematico ma non sono la
stessa cosa dal punto di vista cognitivo in quanto sono due modi diversi di pensare l’addizione.
Così, riflettendo ulteriormente su questo specifico aspetto, ci viene ancora ricordata l’importanza e
l’utilità del lavoro con le monete, in quanto esso obbliga a tener conto dell’addizione intesa sia
come composizione che come scomposizione (infatti, nel momento in cui ho un prezzo da pagare
occorre prima scomporre tale prezzo in relazione alle monete disponibili - ad esempio: 6=5+1,
mentre se ho due oggetti da pagare devo eseguire un’"addizione compositiva").