Incentivazione nel rapporto principale$agente: teoria ed esercizio

Incentivazione nel rapporto principale-agente:
teoria ed esercizio
Massimo A. De Francesco
Dipartimento di Economia Politica e Statistica, Università di Siena
April 18, 2013
1 La situazione di …rst best
In queste lezioni sull’incentivazione nel modello principale-agente facciamo uso
quanto più possibile della formalizzazione e speci…cazione di quel modello che si
trova nel volume di De Paola, Scoppa (Economia del personale, Carocci), consigliato
nella bibliogra…a di questo corso. Rispetto alla trattazione in quel volume,
presentiamo tuttavia diversi approfondimenti su alcuni aspetti dell’incentivazione
nel modello principale-agente.
In quanto segue, supponiamo che il ricavo per il principale sia esprimibile
come y = e + ", dove e è l’impegno dell’agente, è un parametro positivo ed "
è una variabile casuale con valore atteso E" = 0 e varianza V ar(")
2 . Si noti
che Ey = E( e+") = e e V ar(y) = V ar( e+") = 0+V ar(") = 2 . Come nel
volume di De Paola e Scoppa, supponiamo che l’impegno comporti per l.agente
un costo quanti…cabile in termini monetari in C(e) = 2 e2 . Il principale è neutrale
al rischio, quindi il suo equivalente certo è il pro…tto atteso, mentre l’agente
ha un coe¢ ciente costante di assoluta avversione al rischio, che indichiamo con
a. De…niamo come ECag l’equivalente certo di riserva dell’agente.
In questa sezione determiniamo il livello di impegno di …rst-best. Con situazione
di …rst-best intendiamo la situazione nella quale l’equivalente certo totale
è al suo livello massimo "in linea di principio" raggiungibile. 1 L’equivalente
certo totale è, per de…nizione, ECT = ECpr + ECag = Ey Ew + Ew 2 e2 1
1
1
e2 e2
2 aV ar(w) = Ey 2
2 aV ar(w) = e 2
2
aV ar(w): Si vede immediata-
mente come, per ogni dato e, l’equivalente certo totale risulta tanto maggiore
quanto minore è V ar(w). Pertanto, V ar(w) = 0 è una condizione necessaria
a¢ nché l’equivalente certo totale sia al suo livello massimo "in linea di principio"
raggiungibile. Ponendo V ar(w) = 0, l’espressione dell’equivalente certo
1 Alternativamente ma equivalentemente, la situazione di …rst best è identi…cabile con la
procedura svolta a lezione, vale a dire, massimizzando l’equivalente certo del principale sotto
il vincolo di un dato equivalente certo per l’agente, ignorando vincoli di incentivazione sul
comportamento dell’agente.
1

totale diventa ECT = e 2 e2 : Applicando la condizione del primo ordine per
un massimo, d
de ECT = e e = 0, si ottiene
e = = e :
Sostituendo tale valore nell’espressione dell’equivalente certo totale (quando
V ar(w) = 0) si ottiene il massimo per l’equivalente certo totale:
EC T =
2
2 :
Va sottolineato che si tratta del massimo "in linea di principio" raggiungibile.
Questa quali…cazione è importante in quanto, come vedremo più avanti, quando
l’impegno dell’agente non è osservabile dal principale, porre V ar(w) = 0 ha come
risultato di non incentivare l’agente ad impegnarsi, il che ovviamente impedisce
il raggiungimento del massimo sopra determinato.
1.1 La situazione di …rst-best è raggiungibile quando l’impegno
è osservabile dal principale
Passiamo ora ad una analisi positiva della determinazione del contratto principaleagente.
Supporremo, qui come più avanti, che sia il principale a proporre i termini
del contratto mentre l’agente può solo accettare o ri…utare la proposta del
principale. In questa sezione determiniamo il contratto nell’ipotesi che l’impegno
profuso dall’agente sia osservabile senza costi dal principale (e veri…cabile pure
senza costi da una terza parte che venisse chiamata a dirimere eventuali dispute
tra principale e agente riguardanti l’impegno che è stato e¤ettivamente
esercitato dall’agente).
Il principale ha l’obiettivo di massimizzare il suo equivalente certo, ECpr =
Ey Ew = e Ew. Il principale deve tenere conto del "vincolo di partecipazione":
per poter essere accettato dall’agente, il contratto deve o¤rire all’agente
un equivalente certo non inferiore a ECag, l’equivalente certo che l’agente otterrebbe
laddove ri…utasse la proposta. Il vincolo di partecipazione stabilisce perciò
2 1
Ew 2 e 2aV ar(w) = ECag + (con 0), ovvero Ew = 2 e2 + 1
2aV ar(w)+
ECag + . Sostituendo il vincolo di partecipazione nella funzione obiettivo del
principale, il problema di massimo del principale può essere riscritto come
max
e; ;V ar(w) ECpr = e
2 e2 1
2 aV ar(w) ECag .
Notiamo quanto segue. Posto che le variabili e; ; V ar(w) possano essere determinate
in modo indipendente le une dalle altre, la massimizzazione di ECpr
richiede V ar(w) = 0 (un salario certo per il dipendente) e = 0 (un equivalente
certo per l’agente esattamente uguale al suo equivalente certo di riserva). Vedremo
tra breve come questa ipotesi di indipendenza nella determinazione di e;
e V ar(w) sia giusti…cata nel contesto di questa sezione: vedremo infatti come,
grazie all’osservabilità dell’impegno, il principale possa sgravare l’agente di ogni
2

ischio, fornire all’agente un equivalente certo esattamente uguale a quello di
riserva e al tempo stesso indurre l’agente a esercitare la quantità di impegno
desiderata. Poniamo quindi V ar(w) = = 0: il problema di massimo del
principale diventa così
max
e
e
2 e2 ECag:
Imponendo la condizione del primo ordine per un massimo (uguaglianza a zero
della derivata) si ottiene d
de e 2 e2 ECag = e = 0; da cui si ricava
e = e = = .
Ma vediamo ora come concretamente il principale incentivi l’agente ad esercitare
il livello di impegno appena determinato. A questo scopo, il principale
stabilisce una appropriata struttura salariale (w je= = ; w je< = ), dove w je= =
è il salario corrisposto laddove l’agente abbia esercitato un impegno e = =
e w je< = è il salario corrisposto laddove l’agente abbia esercitato un impegno
e < = . Questa struttura di salari deve essere tale che l’agente preferisca
esercitare il livello di impegno e = = piuttosto che un qualunque livello di
impegno e < = . Pertanto, (w je= = ; w je< = ) dovrà essere tale che
ECag(e = e ) = ECag
ECag(e < e ) < ECag
2
Applicando la prima condizione, deve essere wje= = 2 = ECag da cui
wje= = = ECag + 2
2 . Applicando la seconda condizione, deve essere che,
per qualunque e < = risulti wje< = 2 e2 < ECag, vale a dire, wje< = <
ECag + 2 e2 . Tale condizione è certamente soddisfatta se è soddisfatta per e = 0,
il che accade ponendo wje< = < ECag.
Quindi, il principale massimizza il pro…tto atteso mediante il contratto (wje= = =
ECag + 2
2 ; wje< = < ECag) Con tale contratto, l’equivalente certo del principale
risulterà pari a wje= = = 2
ECag
2
2 =
2
2
ECag; l’equivalente
certo dell’agente risulterà pari ovviamente a ECag.
In conclusione, con osservabilità dell’impegno da parte del principale, il
contratto - per ipotesi, determinato unilateralmente dal principale, quindi con
l’obiettivo di massimizzare il suo equivalente certo - conduce al tempo stesso alla
massimizzazione dell’equivalente certo totale, cioè alla situazione di …rst-best,
quale è stata individuata nella prima sezione.
E’importante anche osservare come la perfetta osservabilità dell’impegno da
parte del principale (e la perfetta veri…cabilità dell’impegno da parte di terzi)
abbia consentito la stipulazione di un "contratto completo", un contratto cioè
contenente clausole contingenti alle diverse circostanze rilevanti per i contraenti:
in e¤etti, il contatto stabilisce la corresponsione di distinti livelli salariali, a
seconda del livello di impegno che l’agente ha e¤ettivamente esercitato.
3

2 L’incentivazione quando l’impegno non è osservabile
dal principale
Ovviamente il contratto completo sopra esaminato non è fattibile quando l’impegno
non è osservabile dal principale (o osservabile solo a costi proibitivi; o anche
se, pur essendo osservabile dal principale, non è facilmente veri…cabile
da una terza parte che fosse chiamata a dirimere controversie tra principale
e agente). Supponiamo allora che, con impegno non osservabile, il principale
adotti uno schema di incentivazione lineare, w = s + by, dove s è la parte …ssa
del salario e by la parte variabile, legata al risultato (il ricavo, y). Il fatto
che y.tenda ad essere tanto maggiore quanto maggiore è l’impegno e esercitato
dall’agente fa sì, come vedremo, che l’impegno dell’agente venga incentivato
mediante la …ssazione di un coe¢ ciente b su¢ cientemente elevato. D’altro
canto, y dipende, oltre che dall’impegno, anche da circostanze di natura casuale,
per cui la retribuzione dell’agente diventa una variabile casuale quando
b > 0. Infatti: w = s + by = s + b( e + "), per cui Ew = s + b e e
V ar(w) = V ar(s + by) = 0 + b 2 V ar(y) = b 2 V ar(") = b 2 2 :
Vediamo come vengono determinati i parametri s e b del salario di incentivazione
w = s+by. Come sopra, supponiamo che sia il principale a determinare
unilateralmente i termini del contratto, mentre l’agente può solo accettare o
ri…utare. Obiettivo del principale è massimizzare ECpr = Ey Ew = e Ew,
tenuto conto dei vincoli "di incentvazione" e di "partecipazione". In base al
vincolo di incentivazione, il contratto deve fornire all’agente un equivalente
certo non inferiore al suo equivalente certo di riserva. Il vincolo di incentivazione
deriva dal fatto che il livello di impegno che l’agente decide di esercitare
dipende dal "coe¢ ciente di incentivazione" b. L’equivalente certo dell’agente è
1
ECag = Ew 2
e2
2 aV ar(w) = s + be 2
e2 1
2 ab2 2 : quindi, dati s e
b, l’agente sceglie il livello di impegno così da risolvere il seguente problema di
massimo:
max s +
e
be
2 e2 1
2 ab2 2 .
Dalla condizione del primo ordine, dECag=de = e = 0, si ricava
e = b, "Vincolo di incentivazione"
Il vincolo di partecipazione stabilisce che ECag = ECag + , (con 0), vale a
dire
Ew 2 e 2 1
2 ab2 2 = ECag + , "Vincolo di partecipazione"
che può essere riscritto come Ew = ECag + + 2 e 2 + 1
2 ab2 2 . Sostituendo i
due vincoli nell’espressione per ECpr = e Ew, il problema di massimo del
principale può essere riscritto come
4

max
b;
2
b ECag
2
2 b2 1 2
ab2
2
Una ovvia condizione necessaria per il massimo è = 0 (vale a dire, ECag =
ECag piuttosto che ECag > ECag). L’altra condizione è che la derivata rispetto
a b sia pari a zero, cioè
2 2
b a 2b = 0, e quindi
b =
2
2 + a 2
Si ha perciò, dato il vincolo incentivazione,
: (1)
e = b : (2)
E’importante notare dalla (1) che, quando a > 0, vale a dire, quando l’agente è
avverso al rischio, allora b < 1 (l’intensità di incentivazione è tale che all’agente
venga attribuita una frazione del ricavo minore dell’unità) e di conseguenza
e < e = . Quindi, rispetto all’esito di …rst-best - esito determinato nella
prima sezione e che si è visto viene raggiunto quando l’impegno è osservabile
dal principale - quando l’impegno non è osservabile verrà esercitato un livello di
impegno minore. Dalla (1) si vede anche come il coe¢ ciente di incentivazione b
risulti tanto minore (e quindi, per la (2), e tanto minore) quanto maggiore è il
coe¢ ciente di assoluta avversione al rischio dell’agente e quanto maggiore è 2
(cioè la varianza di "); per contro, b risulta tanto maggiore (e quindi e tanto
maggiore) quanto maggiore è . E’anche importante notare come l’equivalente
certo totale ECT risulta ovviamente minore di ECT = 2
2 , essendo ECT
appunto il massimo valore in linea di principio possibile per ECT:
Rimane da determinare s, la parte …ssa del salario. La si determina sulla
base del vincolo di partecipazione, cioè imponendo Ew 2
2 e 1
2 b2 2 = ECag,
1
cioè s+b e 2
e2
2b2 2 = ECag e sostituendo in tale equazione i valori trovati
per b ed e. Si trova che
s = s = b e + 2 (e ) 2 + 1
2 b 2 2 + ECag
Si deve in…ne sottolineare che il modello è compatibile anche con un risultato
s < 0. In questo caso, l’agente paga una somma F = s (un a¢ tto o una
"royalty") per il diritto a trattenere una quota b del ricavo y. (Si pensi, per
esempio, ad un contratto di franchising, in cui l’a¢ liato (che possiamo interpretare
come l’agente del nostro modello) potrebbe dover pagare all’a¢ liante
una royalty …ssa F (corrispondente a s, nella terminologia del modello) oltre
ad una quota del ricavo (la quota 1 b, nella terminologia del modello).
3 Il caso di agente neutrale al rischio
Dall’equazione (1) vediamo che, se l’agente è neutrale al rischio (a = 0), il
coe¢ ciente di incentivazione risulterà b = 1 e quindi, per la (2), risulterà
5

e = In altre parole, quando l’agente è neutrale al rischio, il contratto sarà
tale che tutto il ricavo venga attribuito all’agente e il livello di impegno esercitato
dall’agente risulterà esattamente quello di …rst-best.
Naturalmente, in queste circostanze, risulta certamente s < 0 vale a dire,
l’agente paga al principale una somma …ssa F (pari a s > 0, nella terminologia
del modello). Infatti, per ipotesi, è il principale a stabilire i termini del contratto,
con l’obiettivo di massimizzare il proprio equivalente certo: quindi il principale
vorrà essere pagato per concedere all’agente il diritto a trattere tutto il ricavo
y).
4 Stimatore e¢ ciente
Torniamo al caso in cui l’agente sia avverso al rischio (a > 0). Come dovrebbe
essere chiaro dalla presentazione precedente, in condizioni di non osservabilità
dell’impegno, l’incentivazione dell’agente comporta al tempo stesso che su questi
ricada parte del rischio. Possiamo misurare il rischio sopportato dall’agente
come la varianza del suo reddito: V ar(w) = V ar(s+by) = V ar(by) = b 2 V ar( e+
") = b 2 V ar(") = b 2 2 . Si noti come il rischio sostenuto dall’agente sia tanto
maggiore quanto maggiore è il coe¢ ciente di incentivazione scelto e quanto maggiore
è 2 (cioè la varianza di " o, ciò che è la stessa cosa, la varianza di y).
Prima di proseguire, ricordiamo che y è un indicatore dell’impegno e esercitato
dall’agente, dato che y = e + ". Per la precisione, osserviamo come y=
sia uno stimatore dell’impegno (e) dell’agente. 2 In e¤etti, E( y ) = E( e+" ) =
E(e+ " ) = e: in altre parole, y è quello che si de…nisce uno stimatore "corretto"
(o "non distorto") di e. Naturalmente, il valore osservato per y= può di¤erire
in misura più o meno elevata da e a seconda del valore assunto (positivo o negativo)
dalla variabile casuale ", non osservabile dal principale. Da qui deriva il
rischio al quale è esposto l’agente quando la sua retribuzione contiene una parte
legata al risultato. Ci si chiede allora se non sia possibile migliorare la stima
dell’impegno costruendo un nuovo indicatore.
Idealmente, questo nuovo indicatore può essere costruito con la seguente
procedura. Supponiamo che Ys sia una variabile casuale tale che EYs = 0 e
Cov("; Ys) 6= 0. Un nuovo e miglior indicatore dell’impegno (migliore cioè di
quanto non sia y) è allora ey = y+ Ys, quando il parametro venga determinato
nel modo che vedremo tra breve. Notiamo innanzitutto come ey sia anch’esso, al
pari di y= , uno stimatore corretto di e. Risulta infatti: E ey = E( y+ Ys ) =
E y + Ys = e + E(Ys) = e.
Vediamo ora come, stabilendo in modo opportuno, si possa far sì che la
varianza di ey sia la più bassa possibile. Si noti che V ar(ey) = V ar( e+"+ Ys) =
V ar(") + 2 V ar(Ys) + 2 Cov("; Ys) = V ar(") + 2 V ar(Ys) + 2 Cov("; Ys): Ap-
2 Si ricordi che y è osservabile dal principale e è noto al principale. Ciò che non è
osservabile dal principale sono il livello di impegno esercitato dall’agente e il valore assunto
dalla variabile casuale ": per questo motivo, il principale non può osservare quanto il valore
osservato di y dipenda da e e quanto dipenda dalla realizzazione di ":
6

plicando la condizione del primo ordine per un minimo si ottiene: 2 V ar(Ys) +
2Cov("; Ys) = 0, da cui
= (Cov("; Ys)
V ar(Ys) :
Quindi, possiamo utilizzare una nuova misura della performance dell’agente
ey = y + e Ys; con e =
(Cov("; Ys)
V ar(Ys) :
Quando si adotti questo diverso indicatore dell’impegno dell’agente, ne risulteranno
modi…cati i parametri del salario incentivante, salario che possiamo ora
scrivere come w = s + bey. Il parametro b del contratto sarà …ssato al livello b ,
tale da soddisfare la seguente condizione
b =
2
2 + a 2 ey
; (3)
dove 2 ey è la varianza del nuovo indicatore ey, vale a dire 2 ey = V ar(") +
e 2
V ar(Ys) + 2 e Cov("; Ys). Il livello di impegno sarà perciò
e = b (4)
Confrontando la (3) con la (1) si noterà che b > b (essendo 2 ey < 2 ); pertanto,
si vede anche, confrontando la (4) con la (2), che e > e .
In conclusione, l’utilizzo del nuovo indicatore (ey) dell’impegno dell’agente
(a¤etto da minore varianza rispetto a y), riducendo coeteris paribus il rischio al
quale l’agente viene ad essere esposto, 3 consente di scegliere un coe¢ ciente di
incentivazione maggiore.
Vedremo nell’Esercizio 2 come Ys possa essere interpretato come un indicatore
congiunturale, per ipotesi positivamente correlato con ".
5 Esercizio 1
Un rivenditore di automobili di una certa casa automobilistica (il principale)
intende assumere un dipendente da adibire alle vendite (agente). Il valore delle
vendite dipende dal livello di impegno e profuso dall’agente, secondo la funzione
y = 4e + ", dove " è una variabile casuale con la seguente distribuzione di
probabilità
" p(")
1 1=2
+1 1=2
3 Con il nuovo indicatore, la varianza del salario è V ar(s + bey) = b 2 2 ey : questa è maggiore,
per ogni dato b; maggiore della varianza del salario con il vecchio indicatore, quest’ultima
essendo V ar(s + by) = b 2 2 .
7

Si noti che E" = 0 e V ar(") = 1. L’impegno comporta per l’agente un costo
C(e) = 2e 2 . (Ciò signi…ca, nei termini dell’analisi teorica sopra presentata, che
= 4.) Il principale è neutrale al rischio mentre l’agente è avverso al rischio
con un coe¢ ciente di assoluta avversione al rischio pari ad a = 1. L’equivalente
certo di riserva dell’agente è pari a ECag = 1; 2.
(a) Determiniamo il livello di …rst-best dell’impegno e il massimo equivalente
certo totale.
(b) Determiniamo come viene determinato il contratto nel caso in cui l’impegno
dell’agente sia perfettamente osservabile dal principale (e veri…cabile da terzi).
Nel fare questo, supponiamo che sia il principale a stabilire i termini del contratto,
contratto che l’agente può solo accettare o ri…utare.
(c) Si supponga ora che l’impegno non sia osservabile dal principale e che
questi stabilisca un contratto che prevede uno schema di incentivazione lineare.
Si determinino i parametri dello schema retributivo.
(d) Si misuri il rischio che ricade sull’agente nella situazione di cui al punto
(c).
(e) Determiniamo la "perdita netta" che deriva dalla non osservabilità dell’impegno.
SOLUZIONE
(a) Con situazione di …rst-best, ricordiamo, si intende la situazione nella
quale l’equivalente certo totale è al suo livello massimo in linea di principio
raggiungibile. 4 L’equivalente certo totale è ECT = ECpr + ECag = Ey Ew +
1
Ew C(e) aV ar(w): Nel nostro esempio, Ey = 4e
2aV ar(w) = Ey C(e) 1
2
2 1
ed a = 1, per cui ECT = 4e 2e 2V ar(w).
Si vede immediatamente come, per ogni dato e, l’equivalente certo totale
risulta tanto maggiore quanto minore è V ar(w). Poniamo perciò V ar(w) = 0, 5
ottenendo ECT = 4e 2e2 : Applicando la condizione del primo ordine per un
massimo, d
deECT = 0, si ottiene 4 4e = 0 da cui e = 1. Sostituendo tale valore
nell’espressione dell’equivalente certo totale (quando V ar(w) = 0) si ottiene il
massimo equivalente certo totale: ECT = 2.
(b) Il principale vuole massimizzare ECpr = Ey Ew = 4e Ew. Deve
2 1
tenere conto del "vincolo di partecipazione": Ew 2e 2V ar(w) = 1; 2 +
(con 0), ovvero Ew = 2e2 + 1
2V ar(w) + 1; 2 + . Sostituendo il vincolo
nell’equivalente certo del principale, il problema di massimo diventa
max
e; ;V ar(w) 4e 2e2 1
V ar(w) 1; 2 .
2
Notiamo quanto segue. Posto che le variabili e; ; V ar(w) possano essere determinate
in modo indipendente le une dalle altre, la massimizzazione richiede che
V ar(w) = 0 e = 0. Poniamo quindi V ar(w) = = 0: il problema di massimo
diventa così
4 Si veda quanto scritto sopra a questo riguardo.
5 Si veda quanto scritto sopra a questo proposito.
8

max 4e 2e2
e
Dalla condizione del primo ordine per un massimo, d
de 4e 2e2 1; 2 = 4
4e = 0, si ricava e = e = 1.
Per ottenere questo livello di impegno, il principale stabilisce nel contratto
una appropriata struttura salariale (w je=1; w je

Il vincolo di partecipazione stabilisce che ECag = ECag + , (con 0), vale a
dire,
Ew 2e 2 1
2 b2 = ECag +
Sostituendo i due vincoli nell’espressione per l’ECpr, il problema di massimo
del principale può essere riscritto come
max
b; 4b ECag 2b 2 1
2 b2
Una ovvia condizione per il massimo è = 0. L’altra condizione è che la derivata
rispetto a b sia pari a zero, cioè 4 4b b = 4 5b = 0; e quindi b = 0; 8. Si
ha perciò, dato il vincolo incentivazione, e = 0; 8.
Rimane da determinare s, la parte …ssa del salario. La si determina sulla
2 1
base del vincolo di partecipazione, cioè imponendo Ew 2e 2b2 = ECag,
2 1
cioè s + 4be 2e 2b2 2 1
= s + 4 0; 8 0; 8 2 0; 8 20; 82 = 1; 2, da cui
s = 0; 32.
In conclusione, il salario dell’agente è w = 0; 32 + 0; 8y:
(d) Il bonus, B = 0; 8y è una variabile casuale, data la sua dipendenza da ".
La distribuzione di probabilità del bonus B = by è rappresentata nella tabella
seguente
by p(by)
1; 76 1=2
3; 36 1=2
sicché E(by) = 2; 56 mentre V ar(by) = 0; 64, come si può facilmente veri…care.
Il salario w = s + by risulta perciò esso stesso una variabile casuale, con
la seguente distribuzione di probabilità
w = s + by p(w)
2; 08 1=2
3; 68 1=2
per cui il salario atteso è Ew = 2; 88; come è ovvio, e come è molto facile
veri…care, V ar(w) = V ar(by) = 0; 64. Ciò misura il rischio che lo schema di
incentivazione impone all’agente.
(e) De…niamo come "perdita netta" dovuta alla non osservabilità dell’impegno
la di¤erenza tra il massimo equivalente certo totale in linea di principio raggiungibile
e il livello dell’equivalente certo totale che viene raggiunto con il contratto
di incentivazione. Con tale contratto, l’equivalente certo del principale
è Ey Ew = 4 0; 8 2; 88 = 0; 32, mentre l’equivalente certo dell’agente
è pari al suo equivalente certo di riserva (1,2). Pertanto, l’equivalente certo
totale risulta pari a ECT = 0; 32 + 1; 2 = 1; 52. La perdita netta è perciò
ECT ECT = 2 1; 52 = 0; 48.
10

6 Esercizio 2
Si riprenda la situazione dell’esercizio 1 nell’ipotesi che l’impegno dell’agente
non sia osservabile dal principale. Il principale vuole migliorare lo stimatore
dell’impegno dell’agente (al quale collegare il bonus) tenendo conto della "congiuntura".
Per …ssare le idee, la congiuntura è rappresentata dal livello totale
delle vendite di aumobili nella regione, Y . Il principale per ipotesi conosce
la distribuzione di probabilità congiunta di (Y ; "), rappresentata nella tabella
sottostante.
" n Y 90 110 p(")
1 6=16 2=16 1=2
+1 2=16 6=16 1=2
p(Y ) 1=2 1=2 1
(a) Si determini lo stimatore e¢ ciente, tra tutti quelli che fanno uso della
congiuntura. Si determini la varianza del nuovo stimatore.
(b) Si determini il livello di b stabilito dal contratto di incentivazione quando
viene adottato tale nuovo stimatore.
(c) Si determini, con tale nuovo stimatore, la distribuzione di probabilità del
bonus e la sua varianza.
(d) Si mostri che, con il nuovo stimatore, si ha un aumento dell’equivalente
certo totale.
SOLUZIONE
(a) Si noti che EY = 100 e V ar(Y ) = 100. Può essere opportuno notare
preliminarmente che " (quindi y) e Y sono tra loro statisticamente dipendenti.
Consideriamo, per esempio, la probabilità che " risulti pari a -1. La probabilità
non condizionale è p(" = 1) = 1=2; le probabilità condizionali sono invece:
p(" = 1 j Y = 90) = 3=4 e p(" = 1 j Y = 110) = 1=4. Esprimiamo ora il
valore delle vendite nella regione in termini di scarto dal valore atteso: de…niamo
cioè Ys = Y EY = Y 100. Ovviamente, EYs = 0 e V ar(Ys) = V ar(Y ) = 100.
Chiaramente la distribuzione di probabilità della variabile casuale ("; Ys) è data
da una tabella del tutto identica alla precedente
( 1)( 10) 6
16
" n Ys 10 +10 p(")
1 6=16 2=16 1=2
+1 2=16 6=16 1=2
p(Ys) 1=2 1=2 1
Cov(Ys; ") = Ef[" E"][Ys EYs]g = E["Ys]. Pertanto, Cov(Ys; ") =
2
2
6 120 40 80
+ ( 1)(10) 16 + (1)( 10) 16 + (1)(10) 16 = 16 16 = 16 = 5:
Sulla base della teoria, il nuovo indicatore è ey = y+ eYs, con e = (Cov(";Ys)
V ar(Ys) =
5
100 = 0; 05. Quindi: ey = y 0; 05Ys.
11

La varianza dello stimatore ey, che chiamiamo 2 ey , è: V ar(y 0; 05Ys) =
V ar(") + ( 0; 05) 2 V ar(Ys) + 2 ( 0; 05) (Cov("; Ys) = 1 + 0; 25 0; 5 = 0; 75:
Quindi, 2 ey = 0; 75; ovviamente minore di 2 y = 1:
(b) Possiamo qui evitare di ripetere ancora una volta tutta la procedura
per il calcolo di b ed e con il nuovo stimatore ey. Applicando le formule, si ha
2
b = =
= 0; 842105263. Il livello di impegno sarà
2 +a 2
ey
e = b = 16
19
16
16+4 0;75
= 0; 842105263.
= 16
19
(c) In conclusione, il salario dell’agente è w = s + b ey = s + 16
19 ey: Il bonus
ey ha la seguente distribuzione di probabilità
B = 16
19
16
19 ey 16 p( 19 ey)
1; 573407203 2=16
2; 415512466 6=16
3; 257617729 6=16
4; 099722992 2=16
sicché E( 16
19 ey) = 2; 836565097. La varianza del bonus (che ovviamente è
anche la varianza del salario complessivo) la si può determinare direttamente
applicando la formula: V ar( 16 16
19 ey) = ( 19 )2V ar(ey) = 0; 5318559555. Vediamo
quindi che, con il nuovo stimatore, il rischio si è drasticamente ridotto per
ey) = 0; 5318559555.
l’agente (in precedenza era V ar(0; 8y) = 0; 64; ora è V ar( 16
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(d) Possiamo determinare il valore assunto dall’equivalente certo totale applicando
la formula per l’equivalente certo totale e inserendovi i valori trovati
2 1
per b ; e ; V ar(w): ECT = ECpr +ECag = Ey Ew +Ew 2e aV ar(w) =
2 1
4e 2e
2b2 16
16 2 1
V ar(w) = 4 19 2 19 2
0; 5318559555 = 1; 684210526.
Si vede quindi che l’equivalente certo totale è aumentato rispetto al caso in
cui l’indicatore utilizzato era y. Ovviamente, rispetto a quel caso, l’equivalente
certo del principale è aumentato, in quanto l’equivalente certo totale è aumentato
mentre l’equivalente certo dell’agente è sempre 1; 2.
Non determiniamo qui la parte …ssa del salario s: lo studente può sempre
farlo, inserendo i valori trovati nel vincolo di partecipazione.
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