Appunti del corso di Dinamica e controllo d'assetto Parte 2: Sistemi ...

Appunti del corso di
Dinamica e controllo d’assetto
tenuto presso il Politecnico di Milano
dal Prof. Franco Bernelli Zazzera
Parte 2:
Sistemi di determinazione e controllo d’assetto

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Nota per il lettore
Questi appunti rappresentano un ausilio per la preparazione dell’esame di “Dinamica e controllo
d’assetto”, ma non sono intesi come sostitutivi dei libri di testo consigliati nel programma ufficiale
del corso, di cui si suggerisce vivamente la consultazione.
L’evoluzione tecnologica rende disponibili con continuità nuovi modelli di sensori utilizzati per la
misura dell’assetto di un satellite. In queste note, pertanto, verranno illustrati i concetti di base ed i
principi di funzionamento dei principali sensori, e si raccomanda al lettore di consultare i cataloghi
dei produttori per avere informazioni sugli effettivi schemi costruttivi. Tra i tanti, si citano i
seguenti siti internet, disponibili al momento della stesura di queste note (dicembre 2004):
www.aeroastro.com, www.astrofein.com, www.ball.com, www.dynacon.ca, www.esidirectory.org,
www.honeywellaerospace.com, www.northropgrumman.com, www.oss.goodrich.com, www.ssc.se,
www.sodern.fr, www.galileoavionica.it, www.sunspace.co.za, www.teldix.de, www.zarmtechnik.de.
Ringraziamenti
Esprimo un sentito e doveroso ringraziamento a Ivan Ferrario e Mauro Massari, il cui diligente
lavoro di trascrittura di alcune mie lezioni ha dato un impulso decisivo alla stesura di questi appunti.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Indice
Sensori di assetto..................................................................................................................................1
Sensori di sole ..................................................................................................................................1
Sensori di presenza di sole...........................................................................................................2
Sensori di posizione di sole..........................................................................................................4
Uso di sensori di presenza di Sole su satelliti spinnati ................................................................9
Sensori di orizzonte o di Terra.......................................................................................................12
Sensore di campo magnetico..........................................................................................................15
Sensori di stelle ..............................................................................................................................20
Uso di ricevitori GPS per la misura di assetto ...............................................................................23
Sensori giroscopici.........................................................................................................................25
Sensori giroscopici meccanici....................................................................................................25
Sensori giroscopici laser ............................................................................................................27
Sensori giroscopici piezoelettrici...............................................................................................28
Determinazione dell’assetto...............................................................................................................30
Metodi geometrici..........................................................................................................................30
Metodi algebrici .............................................................................................................................32
Metodi statistici..............................................................................................................................34
Attuatori per il controllo di assetto ....................................................................................................36
Razzetti per il controllo d’assetto...................................................................................................36
Ruote d’inerzia e di reazione .........................................................................................................39
Attuatori magnetici ........................................................................................................................45
Esempio di sistema di controllo di un satellite con ruote d’inerzia e di reazione..........................48
Generalizzazione del problema di controllo ..................................................................................52
Manovre in tempo minimo.............................................................................................................57
Controllo non lineare tramite attuatori a getto a spinta costante....................................................62
Sistemi di smorzamento passivo....................................................................................................66
Smorzamento della velocità di spin all’espulsione dal lanciatore .................................................71

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori di assetto
Sensori di sole
Sono basati su materiali che emettono una corrente quando vengono illuminati dai raggi luminosi.
Misurando le correnti emesse è possibile ricavare l’angolo di incidenza dei raggi luminosi sul
materiale:
θ
I 0
= I cosϑ
= αSW
cosθ
dove S è la superficie, α un coefficiente e W l’intensità della
radiazione incidente
In genere si posizionano le superfici con angoli opportuni per ottenere differenti informazioni.
Possiamo distinguere questi sensori in tre categorie:
• quelli di presenza di sole in una certa zona che non danno la posizione se non in modo
approssimato
• quelli che danno la posizione del sole
• quelli fini che danno la posizione del sole in modo molto preciso
Ogni sensore ha un certo campo di vista che parte dalla direzione normale al sensore come zero.
Inoltre la misura fatta nel sistema di riferimento del sensore deve essere portata in un unico sistema
di riferimento per il satellite (assi principali d’inerzia).
Z
X
1
Satellite
Sensore
Y
Campo di vista
Il sensore di sole può essere calibrato in funzione del tipo di missione che il satellite deve compiere.
In orbite geocentriche il sensore vede il sole sempre sotto un angolo di circa 0,53°, diametro
apparente del sole ad 1AU, mentre con orbite interplanetarie l’angolo varia in funzione della
posizione. In genere i sensori di sole vengono calibrati per orbite geocentriche.
Sono diffusissimi e vengono utilizzati oltre che per determinare l’assetto anche per orientare i
pannelli solari e proteggere o esporre alla radiazione solare parti del satellite (strumenti).

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori di presenza di sole
Vediamo ora alcune geometrie tipiche dei sensori di presenza di sole. Sono sensori di tipo binario: o
il sole c’è o non c’è. La legge del coseno non va bene perché ad alcune incidenze la fotocellula non
è completamente illuminata a causa per esempio dei supporti. Allora si usano più celle orientate in
modo opportuno, come per esempio il seguente caso:
Quando il sole si sposta si illumina una sola cella o entrambe o nessuna. Compiendo quindi una
lettura comparativa dei segnali delle due celle otteniamo l’informazione sulla presenza del sole ed
anche sulla posizione approssimativa.
Possiamo pensare di usare la rifrazione con un prisma:
γ
Se n sin γ = 1,
essendo n l’indice di rifrazione del prisma, la radiazione non passa nella fotocellula
perché è rifratta dal prisma. Se la radiazione è inclinata su una fotocellula l’incidenza sarà maggiore
di γ e sull’altra sarà minore, quindi su un lato è assorbita e sull’altro è riflessa.
Vediamo un’altra geometria:
fotocellule
specchi
2
γ
specchi
fotocellule

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Quando il sole si sposta, la superficie riflettente colpita è sempre maggiore fino a quando tutto il
sole si sposta sulla superficie riflettente. Da questo punto in poi il segnale fornito dal sensore è
sempre lo stesso anche se il sole si sposta, in questa situazione si dice che il sensore è saturo.
Vediamo ora un altro sensore binario:
Fotocellula
3
Fessure
Quando il raggio di luce passa in entrambe le fessure allora il sole è nel piano delle due fessure e in
un certo angolo dato dal campo di vista del sensore, come si nota da questa vista laterale:

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori di posizione di sole
Se ne individuano due categorie: sensori analogici e sensori digitali. Consideriamo per primi quelli
analogici.
Usando la legge del coseno non distinguiamo gli angoli positivi da quelli negativi e inoltre piccoli
errori vicino allo zero del sensore (verticale) ci danno grandi errori sulla valutazione dell’angolo
perché la variazione del coseno è molto piccola vicino a zero:
θ
Il problema si può risolvere usando due fotocellule inclinate di un angolo rispetto alla verticale
(zero):
+θ
α α
1 2
4
-θ
I
schermi
Vediamo l’intensità di corrente emessa dalle due fotocellule, supponendo che ci siano degli schermi
il segnale viene troncato agli estremi del campo:
I
2 1
-α α θ
Se ora facciamo la differenza tra il segnale di sinistra e quello di destra avremo:
θ

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
La curva ottenuta è:
cos
I
( θ −α ) − cos(
θ + α ) = cosθ
cosα
+ sinθsinα − cosθ
cosα
+ sinθsinα
= 2sinθsinα
= cost
⋅ sinθ
dove la costante 2sinα dipende dalla geometria del sensore. L’uscita è quindi sinusoidale.
Se l’angolo α è grande allora il campo di funzionamento si restringe. Quando i dati sono nel campo
esterno allora non devo usare il sensore.
Con due celle ricavo informazioni sulla posizione del sole nel piano delle celle, mentre per ottenere
informazioni sulla posizione nello spazio devo usare quattro celle in posizione opportuna:
2 1
3 4
I lati proiettano un’ombra sulle celle. Vi è in alternativa la possibilità di non avere i lati della scatola
ma uno schermo su supporti posto centralmente.
Per avere informazioni ogni cella deve essere illuminata.
Per ogni cella vale:
I = cA
A
0
= f
5
⋅i
⋅ n
( ϑ,
ϕ)
A0 è l’area illuminata ed è funzione della direzione a causa della geometria. Leggendo i dati si può
risalire agli angoli, infatti se una cella è sempre illuminata da essa si ricava il prodotto i n e dalle
altre ricavo le A0 e quindi gli angoli grazie alla geometria.
Esistono anche sensori digitali che danno una informazione di tipo binario. Vediamo quindi come
decodificare da analogico a binario:
0
θ

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Analogico Binario Analogico Binario
0 0000 8 1000
1 0001 9 1001
2 0010 10 1010
3 0011 11 1011
4 0100 12 1100
5 0101 13 1101
6 0110 14 1110
7 0111 15 1111
Vediamo quindi come costruire il sensore (ogni striscia corrisponde ad un bit):
6
Metà striscia
Le celle sono tutte uguali ma si mascherano opportunamente e in questo modo, mettendole sul
fondo di una scatola su cui è stata fatta una fessura, il raggio di sole proietta una linea sulle strisce e
questa fa produrre alle celle della corrente che può essere interpretata come la presenza di un uno
nel bit. La striscia con la griglia più fine è il bit meno significativo (LSB), quella con la griglia più
grossolana è il bit più significativo (MSB).
Questo sensore funziona quando il sole è nel piano perpendicolare alla fessura poiché altrimenti
potremmo avere fotocellule non illuminate anche se non legate alla posizione del sole e quindi si
affianca ad un sensore di presenza di sole a fessura con la fessura ortogonale a quella di questo
sensore.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Se quello con fessura verticale vede il sole comanda la lettura del secondo sensore.
Il sole è visto sotto un angolo di circa mezzo grado, quindi la striscia proiettata è larga circa mezzo
grado, perciò la grigliatura delle strisce deve essere grande quanto l’immagine della fessura, quindi
la grigliatura del LSB deve essere di mezzo grado. Il campo di vista del sensore dipende quindi dal
numero di strisce, ovvero dalla quantità di numeri binari rappresentabili con le strisce (7 bit per 64°
8 bit per 128°, quindi non si superano gli otto bit perché andremmo oltre i 180°).
Il primo bit però raramente riesce a dare un segnale nullo, perché è sempre parzialmente illuminato,
devo quindi aggiungere una ulteriore striscia detta ATA (regolatore automatico di soglia).
La striscia ATA è larga la metà delle altre ed è sempre scoperta. Confrontando l’uscita del LSB con
quella dell’ATA, ottengo 1 quando quella dell’LSB è maggiore di quella dell’ATA. L’uscita
dell’ATA è metà di quella massima dell’LSB e quindi ottengo un 1 se LSB è illuminato per più di
metà.
Infatti sia j l’altezza della grigliatura del LSB, k la larghezza dell’LSB e k/2 la larghezza dell’ATA.
Si ottiene:
I
I
ata
lsb
jk
= α cosθ
2
= αxk
cosθ
dove x è la porzione di bit dell’LSB illuminata. Se Iata>Ibit significa che k/2>x quindi il bit viene
posto a zero perché l’LSB è illuminata per meno di metà. Viceversa se Iata

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
In modo analogo, ciascuna striscia può essere confrontata con il segnale ATA per decidere se il bit
corrispondente vada interpretato come 0 piuttosto che come 1.
Questo mi permette di risolvere i problemi legati all’accavallamento e alla legge del coseno, ma
quando l’immagine della fessura è esattamente a cavallo di due bit gli errori mi danno dei risultati
casuali.
Se ad esempio la striscia di sole fosse al centro la lettura vera dovrebbe essere 0111 oppure 1000,
ovvero 7 oppure 8. Se però il sole si sposta tra la lettura di una striscia e l’altra il risultato sarà in
realtà 1111 oppure 0000, ovvero 15 oppure 0. Questo accade perché vi sono numeri decimali
consecutivi che in codifica binaria differiscono in tutti i bit.
Per evitare questo devo fare in modo che i bit non cambino mai tutti insieme ma uno alla volta:
Analogico Binario Gray
0 0000 0000
1 0001 0001
2 0010 0011
3 0011 0010
4 0100 0110
5 0101 0111
6 0110 0101
7 0111 0100
8 1000 1100
Questo è il codice Gray che ha un grigliatura grande il doppio rispetto al codice binario e consente
di avere al massimo errori di un bit, ovvero di 0.5°:
LSB MSB ATA
Posizionando una striscia identica al bit meno significativo vicino ad esso, ma sfalsata di mezza
unità, si migliora la risoluzione del sensore. Si leggono prima le strisce di base, si identifica l’intero
e si legge poi separatamente quella dell’LSB e quella sfalsata; se queste danno la stessa lettura
l’intero era corretto, altrimenti viene corretto di mezza unità, pari a ¼ di grado. È possibile
aggiungere altre strisce sfalsate di quantità diverse, ma in genere non se ne usano più di tre,
8

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ottenendo cosi una risoluzione di un ottavo di grado. Per ottenere risoluzioni maggiori si studiano i
problemi in particolare cercando soluzioni personalizzate.
Per avere un campo di vista di 180° devo usare due sensori, ma agli estremi del campo di vista il
segnale è debole e gli errori sono più grandi:
Uso di sensori di presenza di Sole su satelliti spinnati
Consideriamo ora un satellite spinnato con un sensore di presenza di sole a fessura sulla superficie
laterale. Ad ogni giro del satellite si ricava un segnale dal sensore a meno che il sole non sia fuori
dal cono visivo del sensore:
9
I
È possibile ricostruire la posizione del sole sfruttando l’intervallo di tempo fra i segnali di più
sensori o sfruttando un sensore con due fessure inclinate in modo diverso:
∆t
t

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
2 1
Durante la rotazione dobbiamo proiettare la sfera celeste sulle coordinate del satellite:
campo di vista 1 I1
campo di vista 2
to
Sole
θ θ T
O I2
A B
t1 τ
Il sistema di riferimento è centrato nel sensore e l’equatore è perpendicolare al sensore stesso.
Notiamo inoltre che la linea di vista del sensore 1 è perpendicolare all’equatore.
L’intervallo T è legato alla velocità angolare, mentre l’intervallo τ è legato sia alla velocità angolare
che all’inclinazione delle fessure.
Osserviamo ora il triangolo sferico OABS:
Abbiamo che:
O β B
β ˆ
S
10
θ
A
equatore

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ω =
AB = ωτ
π
B
2
π
Â
2
ˆ = −ϑ
=
11
2π
/ T
Con il teorema dei coseni si risale a β. Quindi ricavando τ e ω si ricava β, inoltre se le fessure
hanno un certo campo di vista ci sono delle limitazioni dovute all’inclinazione della seconda
fessura.
Quindi abbiamo delle relazioni per elaborare l’uscita del sensore, a partire dalla misura
dell’intervallo di tempo τ:
⎛ π ⎞ tgϑ
tg⎜
− β⎟
=
⎝ 2 ⎠ sin(
ωτ)
quindi
cotg β
tg ϑ
=
sin
( ωτ)
Se volessimo, ad esempio in sede di simulazione, prevedere il comportamento dello strumento e
modellarne il segnale in uscita, allora dovremmo valutare l’intervallo di tempo τ tramite la relazione
τ =
1
sin
ω
−1
( tgβ
tg ϑ)
Occorre interrogare il sensore con una discretizzazione temporale inferiore alla durata dell’impulso,
inoltre il τ misurato non è un impulso infinitesimo ma ha una durata. Abbiamo poi una relazione
che tiene conto degli errori:
dove:
2 ⎡ tg
cotg β = ⎢
⎣
( ϑ + ∆ϑ
+ ε)
− tgε cos(
ωτ − δ)
sin(
ωτ − δ)
2
⎤
⎥
⎦
+ tg
∆ ϑ errore sulla posizione relativa delle due fessure (non noto)
δ errore di allineamento tra la fessura 1 e l’asse di spin
ε errore sulla rotazione nel suo piano della fessura 1
In genere si usa l’espressione con gli errori per modellare il sensore e quella semplice per elaborare
i risultati, tenendo inoltre conto dei problemi legati alla frequenza di campionamento.
2
ε

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori di orizzonte o di Terra
Qualora il satellite sia in orbita attorno ad un corpo esteso, sapere che questo corpo si trova nel
campo di vista del sensore non è sufficiente per ottenere informazioni sull’assetto, ma occorre
individuare il centro del corpo celeste. I sensori di orizzonte funzionano basandosi
sull’individuazione delle zone del campo di vista non illuminate (spazio profondo), e in genere non
lavorano nel campo della radiazione visibile perché in esso vi sono molte interferenze; inoltre la
differenza di segnale fra zona illuminata e non è molto grande e potrebbe dare problemi. Per un
orbita bassa la Terra occupa il 40% della sfera celeste, è quindi importante individuarne il centro:
12
B
A C
O
Per individuare il centro sono necessarie due corde, quindi il sensore deve essere in grado di
individuare quattro punti sull’orizzonte della terra. Il campo di vista del sensore è in genere limitato
a pochi gradi (2°), ma esso è in grado di ruotare e quando il sensore interseca l’orizzonte della terra
comincia ad emettere un segnale che svanisce non appena il sensore lascia la terra:
soglia
D
A B t
Dato un riferimento sul satellite è possibile conoscere la posizione dei punti A e B e in modo
analogo ricavare i punti C e D e quindi il centro della terra. Ovviamente vi sono dei punti critici,
infatti i punti A e B non sono ben individuabili poiché vi è un transitorio a causa del sensore e
dell’interferenza dell’atmosfera. A questo problema si può ovviare considerando un valore di soglia
oltre il quale si considera il segnale, in questo modo i punti A e B si trovano dove si ha
l’attraversamento del valore di soglia. Il valore di soglia non è in genere assoluto ma dipende dal
valore massimo del segnale del sensore, questo per ovviare ai problemi dovuti alla notte e al giorno.
La parte del segnale compresa fra i punti A e B non è in realtà piatta perché in generale la distanza
tra il sensore e la zona del pianeta nel campo di vista non è costante durante la scansione, e quindi il
segnale è di intensità variabile.
Vediamo ora meglio come viene individuato il centro della Terra ovvero l’arco CE nel disegno,
quando la scansione del sensore non avviene sull’equatore locale del satellite:

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
C meridiano passante per la mezzeria
scansione
A D B Ω/2
O E A
disco terrestre E
O
sfera celeste
Abbiamo il triangolo sferico CAEO di cui conosciamo CA e l’angolo Ĉ . Conoscendo la quota è
noto anche l’arco AE che è il raggio apparente della Terra, ed essendo θ l’angolo di inclinazione
del sensore rispetto all’orizzonte del satellite si ha:
Si ricava dalla geometria dei triangoli sferici che:
π
CA = γ ( latitudine)
= − θ
2
Ω ω∆t
Ĉ = = spazzato dal sensore = arco AD
2 2
AE = ρ
Ω −1⎛
cosρ
− cos γ cosη
⎞
= cos ⎜
⎟
2 ⎝ sin γsin
η ⎠
da cui η =
CE
Un sensore di questo tipo è però molto pesante perché deve essere messo in rotazione con una
velocità molto superiore a quella del satellite sull’orbita.
Esistono anche sensori fissi che vedono il disco terrestre nella sua interezza ed individuano il centro
con due diametri:
13
C

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Z
4 3
Quando la Terra è nel centro del campo di vista i quattro sensori danno uscite uguali quindi:
14
1
2
( 1)
− ( 2)
= 0
( 3)
− ( 4)
= 0
Se il disco è scentrato i sensori danno la traslazione del disco terrestre in due direzioni ortogonali
fra loro:
( 1)
− ( 2)
= ∆z
proporzionale
a αy
( 3)
− ( 4)
= ∆yproporzionale
a αz
y
Sensore x
z
Per satelliti a semplice o doppio spin, con momento della quantità di moto nominale diretto come
l’asse z, αz è sempre necessario perché l’equazione z è disaccoppiata da quelle x ed y; essendo
queste ultime accoppiate basta la conoscenza di αx oppure di αy per risalire a quello mancante.
Se il satellite è un puntatore terrestre e le rotazioni sono piccole questo sensore mi permette di
misurare gli angoli di disallineamento αy e αz.
Un sensore di questo genere non è in grado però di individuare rotazioni attorno ad x, inoltre è in
grado di funzionare solo in un certo campo limitato di quote perché il corpo visto deve essere
grande circa la metà dell’intero campo di vista per permettere spostamenti della Terra in entrambi le
direzioni lungo i due assi, quindi in genere non è utilizzato su orbite ellittiche.
Y

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensore di campo magnetico
Esso è in grado di dare una informazione di carattere vettoriale. Il suo funzionamento si basa sulla
conoscenza di un modello del campo magnetico terrestre, infatti conoscendo la posizione del
satellite si può ricavare il vettore di campo magnetico, misurato rispetto alla terra, dal modello e,
confrontandolo con quello misurato rispetto al satellite, ricavare l’assetto.
Bm misurato
B=A Bm
dove A è l’assetto incognito
Non è però semplice misurare un campo magnetico fisso, infatti è necessario usare corpi che si
muovono in esso per ottenere delle misure (in genere si usano corpi rotanti). Inoltre una volta
misurato il campo magnetico non è possibile ricavare una soluzione esatta per la matrice A dal
confronto della misura con il modello, infatti la misura è affetta da errori di misura, mentre il
modello è affetto da errori dovuti alle approssimazioni. È quindi probabile che i due vettori da
confrontare non abbiano nemmeno lo stesso modulo e quindi una soluzione esatta è impensabile.
La precisione sulla soluzione dipende quindi anche dall’accuratezza del modello del campo
magnetico, quindi per avere una buona misura d’assetto è necessario un modello molto accurato del
campo magnetico. Per misurare il campo magnetico faccio ruotare un avvolgimento e misuro la
corrente indotta in esso dal campo magnetico:
dφ
=
dt
I B
dove φB è il flusso di campo magnetico e µ è la permeabilità magnetica.
Asse di rotazione
Misurando la corrente nella spira si ottiene una misura di questo tipo:
15
µ
B

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Dovendo poi misurare la pendenza della curva per ricavare il campo magnetico il procedimento
risulta troppo complicato.
Vediamo allora un metodo alternativo. Consideriamo due nuclei di materiale ferromagnetico con
degli avvolgimenti fatti come in figura:
Vp
Hp1
Ip nucleo 1
Hp2
Hest Vs
16
nucleo 2
Nella parte di sinistra i due avvolgimenti sono avvolti in modo da indurre due campi uguali ed
opposti nei 2 nuclei ferromagnetici, ed essendo:
dφ
V = −
s
( B + B )
la tensione dovrebbe essere sempre nulla perché i due campi sono uguali ed opposti. Se però
sommiamo ai due campi il campo magnetico terrestre nella parte destra il campo totale non è nullo
e quindi induce una tensione.
Le spire creano un vettore induzione H che in seguito crea il vettore campo magnetico B. Nel caso
reale il legame fra i due è lineare con saturazione ed isteresi, ma noi consideriamo solo la
saturazione.
Sappiamo valere la seguente relazione:
B
1
dt
di dH
V =
L = −
dt dt
2
H

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Quindi per ottenere il vettore induzione si alimenta in corrente e non in tensione. Usando una forma
d’onda triangolare così da avere le derivate costanti e quindi Vs costante a tratti:
i vettori induzione nei due nuclei ferromagnetici valgono:
Hp1 Hp2
Ip
Occorre però introdurre la saturazione ed il campo esterno:
H1
Sat.
Hest
quindi i campi magnetici risultano:
B1
t t
17
H2
B2
t

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Possiamo ora sommare i due campi magnetici per trovare il campo nella parte destra:
B1+B2
zona in cui uno tra B1 o B2 è saturo
zona in cui B1 e B2 non sono saturi
zona in cui sia B1 che B2 sono saturi
La tensione sull’avvolgimento della parte destra è invece data dalla derivata del flusso di campo
magnetico:
Vs
Dalla cadenza e dalla posizione degli impulsi posso ricavare Hest e quindi anche il campo magnetico
esterno nella direzione dei nuclei. L’altezza della risposta dipende dal valore della corrente di
alimentazione
Notiamo che occorre conoscere il valore approssimativo del campo magnetico esterno per calibrare
la saturazione. In effetti la durata dell’impulso ottenuto in risposta dipende dalla differenza di tempo
in cui un nucleo è saturo e l’altro non lo è. Se entrambi sono saturi o entrambi non sono saturi Vs
risulta nulla. Si può quindi pensare di regolare a bordo l’intensità di corrente di alimentazione in
base alle misure precedentemente del campo esterno, in modo da garantire la saturazione.
Disponendo quindi tre coppie di nuclei come gli assi coordinati faccio misure dell’intero vettore di
campo magnetico e realizzo un sensore a tre assi:
18

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Occorre ora risalire all’assetto. Si conosce il Bx,y,z in assi corpo e il Bm del modello in un sistema di
riferimento standard, probabilmente raggio, longitudine e latitudine Br,ϕ,θ. Prima dobbiamo
trasformare il Bm nelle coordinate rispetto a cui misuro l’assetto, poi cerco la rotazione che mi porta
Bx,y,z a coincidere con Bm:
B
x,
y,
z
= A1A
2B
r,
ϕ,
ϑ
Il sensore è sicuramente affetto da errori (trascuriamo l’isteresi), inoltre il B del modello non è
esattamente uguale a quello esterno. Per ricavare la matrice di rotazione è necessario minimizzare la
differenza fra i due vettori componente per componente:
B
x,
y,
z
− ABr,
ϕ,
ϑ
19
⎧e
⎪
= ⎨e
⎪
⎩e
La soluzione non ci dà però una A sicuramente ortogonale; lo sarebbe se fosse risolta
analiticamente e non numericamente (solitamente si utilizza un metodo di Newton usando la A
calcolata al tempo precedente come condizione iniziale del passo successivo).
Anche trovando la matrice A corretta rimane comunque l’errore sui moduli che però può essere
annullato ragionando con i versori:
B
B
x,
y,
z
x,
y,
z
B
− A
B
r,
ϕ,
ϑ
r,
ϕ,
ϑ
x
z
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
y
⎧ex
⎫
⎪ ⎪
= ⎨e
y ⎬
⎪ ⎪
⎩e
z ⎭
Inoltre va osservato che, col procedimento appena visto, la rotazione attorno alla direzione del
vettore B resta indeterminata. Potremmo usare il modulo di B per ricavare la posizione sull’orbita,
che però senza l’aiuto della meccanica orbitale non sarebbe univoca, quindi è necessario usare
entrambe le informazioni. Con questi sensori non si hanno precisioni superiori agli 0.2°.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori di stelle
Con un sensore di sole si ottengono precisioni fino ad 1/8 di grado e vi sono sensori fini ancora
migliori; non è però detto che il sole sia sempre visibile se si ha una parte dell’orbita in eclissi.
Con i sensori di stelle invece è possibile risolvere questo problema, infatti scegliendo le stelle giuste
non si trovano mai in eclissi; sono però molto costosi, non solo costruttivamente, ma anche in
termini di operazioni da compiere per ottenere l’informazione.
Le operazioni che deve compiere un sensore di stelle sono:
fase 1: acquisizione dell’informazione
fase 2: posizionamento dell’informazione nello spazio
fase 3: interpretazione dell’informazione ( capire che stella ha visto) che richiede interazione con la
mappa del cielo
fase 4: calcolo dell’assetto
La fase di interpretazione in un sensore di stelle è molto pesante ed ha bisogno di molte risorse di
calcolo e di energia, inoltre è necessario avere memorizzata una mappa del cielo che dia
informazioni di posizione, luminosità e spettro di radiazione delle stelle.
Il sensore di stelle è intrinsecamente preciso, ma è necessario fare un sensore molto sensibile che se
usato con corpi molto luminosi si deteriora rapidamente. È possibile usare un sensore di presenza di
sole per disattivare il sensore di stelle quando è illuminato dal sole, ci sono però problemi legati
anche alla riflessione della radiazione ad opera di altre parti del satellite. Essendo la radiazione
piccola gli strumenti sono complicati ed è possibile usare materiali fotomoltiplicatori per
amplificare i segnali.
I sensori moderni sono costruiti con una matrice di celle fotosensibili su cui viene proiettata
l’immagine delle stelle:
Anche con un campo di vista piccolo le stelle proiettate sono molte, allora si può pensare di
ancorare una stella e portarne l’immagine sullo zero.
Il sensore si deve poter muovere, nel caso in cui il satellite si stia muovendo, ed è chiamato
inseguitore di stelle (start tracker). Un’altra possibilità è quella di tenere il sensore fisso e ricostruire
la mappa del settore di cielo osservato, ottenendo cosi uno star mapper. Il problema è quello di
avere una matrice fotosensibile sufficientemente fine.
L’identificazione dell’assetto dipende dall’aver capito quale stella si stia guardando, vediamo quindi
come identificare una stella.
20

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Supponiamo di avere S stelle nel catalogo e O osservazioni del sensore, devo riuscire a trovare la
trasformazione che mi porta dal sistema di riferimento dell’osservazione a quello del catalogo.
Ô
1
2
3
n
A
Ô →O
→ S
A
Ô →O
→ S
A
A
1
2
3
→O
n
1
Ô →O
→ S
M
M
M
2
3
→ S
n
21
Ô
O
i
i
sistema locale
sistema inerziale
Occorre avere una previsione della matrice A per poi affinare la rotazione.
Y
O Ô
S
Una volta ruotato Ô in O si misura la differenza fra O ed S ed si affina la rotazione A, ma questa
operazione però sottintende che si sappia che O è l’immagine di S, e non di un’altra stella.
Per identificare una stella si ricerca una geometria relativa:
Y
S2
X ˆ
O1 O2
ε
S1
S3 O3 O4
Si cerca la stella in un intorno di O1 fino a quando non se ne incontra una; si confrontano allora con
le stelle del catalogo e dovrebbero sovrapporsi tutte se O1 è quella corretta. Questo è il metodo della
sovrapposizione diretta di stelle. Si possono però avere problemi come in O2 dove si ha
un’identificazione ambigua perché vi sono due stelle nell’intorno, o come in O3 dove non ci sono
X
S4

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
stelle nell’intorno, o come in O4 dove l’identificazione è sbagliata. Aumentando il raggio
dell’intorno migliora la situazione di O3 perché identifica la stella, e la situazione di O4 perché passa
da un identificazione ambigua ad una non ambigua, però si potrebbero avere problemi con O1 che
potrebbe passare da univoca ad ambigua. Non si può quindi aumentare troppo il raggio dell’intorno
perché si corre il rischio di trovare tutte identificazioni ambigue.
Occorre quindi cercare il raggio che massimizza la probabilità di avere una identificazione corretta.
P P P
ε ε ε
Corretta Nessuna Ambigua e Sbagliata
P
Il valore di ε dipende dalla completezza del catalogo e dalla densità di stelle della stessa categoria
nella stessa zona. Zone del cielo con una luminosità diffusa possono creare problemi perché la
matrice integra in punti. Potremmo cercare di sfruttare particolari geometrie nelle configurazioni e
usare delle sovrapposizioni poligonali, ma questo è molto dispendioso e va bene se la geometria è
particolare e se l’assetto iniziale è conosciuto molto male.
Potremmo compiere una scansione di una corona della sfera celeste cercare di farla coincidere con
la corona nel catalogo facendo coincidere il maggio numero di stelle possibile. Questo funziona se
le stelle non sono equispaziate e se non si fanno troppe osservazioni e soprattutto se già conosciamo
l’altezza.
22
εok

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Uso di ricevitori GPS per la misura di assetto
Per valutare l’assetto del satellite tramite GPS, sono necessarie almeno tre antenne per ricevere il
segnale GPS.
S
slave linea di base b master
23
fronte d’onda segnale GPS
λ lunghezza d’onda
La slave e la master sono due antenne a bordo del satellite. Se si conosce la distanza b si può risalire
all’orientazione del segmento nello spazio. Se proiettiamo b nella direzione S di propagazione del
segnale GPS si ottiene la differenza di cammino del segnale:
S b
T
Se calcoliamo questa misura con una combinazione di rilevamenti ricaviamo l’assetto, infatti
conosciamo la posizione del nostro satellite e del satellite GPS tramite l’antenna master e quindi
ricaviamo S in assi inerziali.
Conosciamo poi la differenza di cammino del segnale:
∆ r = S
Trasformiamo poi S da assi inerziali in assi corpo:
S = AS
∆r
= S
In questo modo possiamo ricavare la matrice di rotazione. In realtà non misuriamo ∆r bensì:
T
T
A
b
T
b
∆ϕ = ∆r 2π/λ
Occorre utilizzare due satelliti GPS diversi e due linee base diverse, ovvero tre antenne, per ottenere
l’assetto. Le misure che vengono compiute sono:
∆r
∆r
∆r
∆r
11
21
12
22
= S
T
1
= S
= S
T
2
T
1
= S
T
2
A
A
A
A
T
T
T
T
b
b
b
b
1
1
2
2
linea di base 1satellite
GPS1
linea di base 1satellite
GPS2
linea di base 2 satelliteGPS
1
linea di base 2 satellite GPS2

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Occorre usare almeno due linee di base per misurare le rotazioni attorno ad un asse coincidente con
la prima linea di base, inoltre per minimizzare gli errori della misura si compiono misure con un
secondo satellite e si minimizzare la seguente grandezza:
J =
Gli errori risultano da misure di sfasamento:
∆ϕ
N.
S N.
b
T T
∑∑(
∆rij
− Si
A bJ
)
i=
1 j=
1
=
( ∆r
+ Kλ)
+ ν
Occorre conoscere il valore dell’intero K e dobbiamo poter modellare il rumore di misura ν
derivante ad esempio dalle riflessioni di altre parti del satellite. L’intero K è calcolato in genere dal
ricevitore una volta per tutte e poi viene in seguito aggiustato.
Si tenta in genere di ridurre gli errori ponendo le due linee di base ortogonalmente e facendo in
modo che la loro lunghezza sia multipla della lunghezza d’onda del segnale GPS. Si ottengono così
precisioni dell’ordine del decimo di grado.
24
2π
λ

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sensori giroscopici
Sensori giroscopici meccanici
Vediamo ora gli strumenti giroscopici usati per le misure di velocità angolare. Un giroscopio
classico è fatto come in figura:
O = Z (uscita)
θ
25
ωr
armatura
S = Y (spin)
I = X (ingresso)
Il corpo rotante del giroscopio ruota con asse S , mentre i supporti e l’armatura rispetto a cui ruota il
corpo rotante possono ruotare attorno all’asse O. Il momento della quantità di moto espresso in assi
corpo è dato dalla seguente espressione:
Scriviamo ora le equazioni di Eulero:
h
I
J
T
R
Z
= I ω
R
rotore
R
y + J ϑ&
z
z
rotore + armature + supporti
h & + ω∧
h = M
dove ω è la velocità angolare del satellite a cui il giroscopio è fissato più la velocità angolare del
giroscopio rispetto al satellite:
ω =
⎧ ωx
⎫
⎪ ⎪
⎨ ωy
⎬
⎪ ⎪
⎩ω
+ ϑ&
z ⎭
Il rotore, essendo interno, non è visto dai supporti e quindi ωr non compare.
Le equazioni di Eulero per questo oggetto risultano essere:
( ω + ϑ&
)
⎧ωyJ
ϑ&
z − I RωR
z
⎪
⎨I
ω&
R R −ω
x J zϑ&
= M
⎪
⎩
J zϑ&
& + I RωR
ωx
= M
y
z
= M
x

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
L’equazione fondamentale per la determinazione di ωx è la terza, mentre le prime due sono utili per
fornire indicazioni sulle reazioni vincolari dei supporti del giroscopio. Nel caso in cui Mz sia nullo
dalla terza equazione, misurando la derivata seconda di θ, otteniamo ωx. In genere però, al fine di
non avere un’accelerazione costante intorno all’asse z, si impone una coppia Mz che mantenga
costante θ e per fare ciò si utilizza una molla e uno smorzatore:
La terza equazione diviene allora:
z
M z
= −kϑ
− cϑ&
J ϑ& & + cϑ&
+ kϑ
= −I
ω ω
La soluzione è oscillante, ma essendoci lo smorzamento sicuramente si arriverà ad una soluzione di
regime che è quella che interessa, ovvero:
da cui:
ϑ =
ω
x
−
26
R
k
ω ω
R
I R x
kθ
= −
I ω
quindi leggendo la rotazione a regime si ricava la velocità attorno all’asse x. Questo strumento è
detto RATE GYRO (RG). In modo analogo se togliamo la molla otteniamo a regime una velocità di
rotazione di θ costante che mi permette ancora di misurare la velocità attorno all’asse x:
da cui:
ϑ = − &
x
r
r
I R x
R
c
ω ω
cθ&
= −
I ω
Questo strumento è detto RATE INTEGRATING GYRO (RIG).
ω
La parte dinamica dell’equazione influisce sui tempi di risposta del sensore, è infatti influenzata dal
tempo in cui l’oscillazione si smorza.
Con tre giroscopi si possono misurare tre componenti di velocità angolare, ma, variando θ, l’asse di
sensibilità del giroscopio varia e quindi non si possono misurare le componenti in assi principali.
Per ovviare a questo problema si fa variare Mz in modo che annulli la rotazione θ e in questo modo
misurando la coppia si ottiene la velocità, sempre sullo stesso asse:
r
r
R
x

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
M
ω
x
z
( ϑ)
M z =
I ω
R
27
= I
Possiamo pensare di far rimanere l’asse I sempre fermo, in questo modo funziona la piattaforma
inerziale. Misurando gli angoli che la piattaforma deve compiere per mantenere fisso I misuro
l’assetto rispetto al sistema inerziale.
La precisione del giroscopio dipende da IRωR; più è grande più il fondo scala è piccolo, ma lo
strumento risulta più preciso, inoltre la frequenza dell’oscillazione della parte dinamica dipende da
Jz infatti:
λ =
Per avere quindi delle risposte veloci occorre avere una frequenza alta e quindi ridurre Jz e di
conseguenza anche IR. Dobbiamo quindi aumentare ωR ma questo può dare problemi perché la
velocità di rotazione non rimane costante a causa delle dissipazioni, quindi il fattore di scala si
modifica con il tempo causando una deriva della misura. Quindi è necessario azzerare lo strumento
con altri tipi di misure.
Se le velocità angolari sono basse allora gli attriti nelle parti meccaniche alterano le misure
provocando valori di soglia molto bassi (velocità misurabili alte).
Sensori giroscopici laser
Il sensore giroscopico laser può essere schematizzato tramite un generatore/ricevitore di segnali
coerenti ed un percorso ottico che verrà seguito dai segnali, qui rappresentato per semplicità da una
circonferenza.
- +
+
-
Il giroscopio laser emette due segnali (+ e -) in direzione opposta lungo la circonferenza. Essendo il
giroscopio in rotazione quando vengono ricevuti un segnale ha fatto un percorso più lungo e quindi
non sono ricevuti simultaneamente:
I due tempi di ricezione sono quindi:
ct
ct
−
+
R
( ϑ)
R
ω
k
J z
ω
R
R
ω
− ( 2π
− ωt
)
x
= R
+
= ( 2π
+ ωt
)R

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
t
t
−
+
2πR
=
c + ωR
2πR
=
c − ωR
Misurando la differenza di tempi ricaviamo la velocità angolare:
∆t
=
ω =
2
+ − 2πR
( ) ( c + ωR)
− 2πR(
c − ωR)
4πR
ω
t − t =
=
2 2 2
2 2 2
( c − ω R ) ( c − ω R )
∆t
c
4A
2
Questo strumento è detto RING LASER GYRO (RLG).
28
2
4πR
ω 4Aω
≅ = 2
2
c c
Se invece il percorso ottico è costruito tramite fibre ottiche, è possibile fare più giri migliorando
così la sensibilità dello strumento, e si ottiene il FIBER OPTIC GYRO (FOG). Questi giroscopi
danno la misura nel loro sistema di riferimento che è fisso, e non sono affetti da attriti.
Sensori giroscopici piezoelettrici
Vi è un altro strumento per le misure di velocità, schematizzato tramite due forchette di materiale
piezoelettrico.
ω
forchetta materiale piezoelettrico
alimentata
forchetta
di misura
I due pezzi piezoelettrici si deformano se alimentati elettricamente, viceversa producono un segnale
elettrico se deformati. Se il sistema ruota con velocità ω, e le due anime della forchetta superiore
sono alimentate in controfase, per effetto della forza di Coriolis che è perpendicolare al foglio si
crea una coppia, che trasmessa ai supporti può essere misurata registrando il segnale elettrico
prodotto dalla forchetta piezoelettrica inferiore.
F =
−2ω
∧ v
c
r

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ω ω
Fc
vr Mc vr
Anche in questo strumento la misura è fissa e non ci sono parti mobili, ma variazioni di temperatura
causano variazioni di dimensioni e quindi errori nella misura.
29
Fc

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Determinazione dell’assetto
Dai sensori giunge un’informazione, ad esempio un angolo, che deve essere riportata all’assetto
reale del satellite. È sufficiente determinare due assi da cui è noto il terzo.
Metodi geometrici
Supponiamo di conoscere l’angolo del sole o della Terra nel sistema di coordinate satellitari, da cui
otteniamo il luogo dei possibili assetti, che corrisponde ad un cono di giacitura dell’asse ottico del
sensore:
β
sfera celeste
sole
30
luogo dei possibili assetti
Ciò poiché qualunque rotazione di un angolo β a partire dai punti della circonferenza riporta l’asse
ottico sul sole.
Si individua dunque un altro corpo, ovvero un altro cono. Intersecando i due coni si ottengono due
soluzioni possibili:
Terra
η
β
Sole
possibili soluzioni
Poiché spesso si usano satelliti spinnati, se si compiono due successive misurazioni delle posizioni
del sole e della Terra a breve distanza di tempo, l’asse di spin rimane nella stessa posizione a meno
di grossi disturbi. Quindi un punto delle due intersezioni sarà rimasto praticamente fermo, mentre le
due circonferenze ruotano attorno ad esso, poiché la posizione relativa al satellite di Terra e sole è
cambiata. L’altra soluzione sarà variata molto, e sarà quella da scartare.
Questo metodo dipende dalla geometria dei sensori.
In realtà si compie un’intersezione di due corone circolari, poiché le misure sono affette da errori.
L’asse di riferimento è dunque noto all’interno di un quadrilatero:

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
errore su β errore su η
possibili posizioni dell’asse
L’errore sulla posizione dell’asse è dunque maggiore dell’errore dei singoli sensori. Se poi le due
corone sono quasi tangenti l’errore è elevato:
è una situazione che dipende dalla posizione relativa dei due corpi, e si verifica se si trovano sullo
stesso piano. Occorre individuare quindi due corpi che riducano la probabilità di questo evento, che
è indipendente dalla precisione dei sensori.
Si può pensare in alternativa di misurare la posizione di uno solo dei due corpi e l’angolo tra il
primo ed il secondo corpo:
satellite Terra
β ψ
sole
Il luogo dei possibili punti è molto più complesso:
31
null

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
e dipende da ψ. Il punto null è un punto singolare, che nasce quando l’angolo tra i due corpi è pari
all’angolo tra il satellite ed il primo corpo.
L’intersezione del luogo con la circonferenza data dalla determinazione della posizione assoluta del
primo corpo ci darà la posizione dell’asse.
Metodi algebrici
Si è visto come da due misure scalari, gli angoli, si possa valutare la direzione di un asse. Non
sappiamo però nulla della posizione reale dell’intera terna principale. È come avere l’asse di Eulero
ma non l’angolo, quindi utile solo per conoscere la direzione dell’asse di spin ma non la fase.
A parte i casi del GPS che ci dà la matrice di rotazione o del sensore di Terra nel campo lineare che
ci dà αy ed αz, si misurano due, tre o più posizioni vettoriali di corpi per ottenere la posizione
dell’intera terna.
Siano si i versori misurati dai sensori, quindi in assi corpo, vi i versori analoghi riferiti ad un sistema
inerziale o comunque un sistema noto, contenenti le tre componenti, allora:
s = Av
i
Troviamo quindi i casi con due misure s1 e s2, tre misure s1, s2 ed s3 o più di tre misure. Il caso più
semplice è quello con tre misure poiché si ottiene direttamente la matrice di rotazione A:
ovvero:
[ s s s ] = A[
v v v ]
1
2
3
S = AV
A = SV
V è però invertibile se i vi sono linearmente indipendenti, ovvero se i vettori vi non sono allineati.
Occorre quindi scegliere i tre corpi correttamente, in modo tale da evitare la singolarità e da
migliorare l’invertibilità, ovvero l’errore sull’inversione della matrice, scegliendo i vettori ben
separati. Il risultato migliore si otterrebbe prendendo tre vettori ortogonali tra loro.
Se vi sono quattro misure:
32
i
1
−1
[ s s s s ] = A[
v v v v ]
1
2
3
4
Il sistema è sovrabbondante e V non può essere invertita e occorre utilizzare la pseudo inversa:
chiamata la pseudo inversa:
SV
SV
T
T
1
= AVV
T
2
2
T − 1
( VV ) = A
*
V =
V
T
( ) 1 T −
VV
3
3
4

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
si ottiene:
*
A = SV
Potremmo evitare di usarla se prendessimo tre delle quattro misure separate meglio. Il suo utilizzo è
però indicato per mediare gli errori casuali. Numericamente non si implementa la pseudo inversa
perché spesso V * V non è un’identità ma si utilizza un metodo iterativo per risolvere il sistema in
modo da ottenere un risultato preciso.
Se si hanno solo due misure il metodo della pseudo inversa darà un risultato che però è
probabilmente errato, avendo due equazioni e tre incognite.
Ricaviamo allora da s1 ed s2 tre vettori significativi: si abbiano due misure p e q, e le corrispondenti
misure nel sistema inerziale a e b, e sia:
s
s
s
1
v
v
v
2
3
1
2
3
= p
p ∧ q
=
p ∧ q
= p ∧ s
= a
=
33
2
a ∧ b
a ∧ b
= a ∧ v
Essendo i 3 versori s1, s2, s3 e v1,v2, v3 ortogonali tra loro, possiamo scrivere:
V
−1
= V
A = SV
T
−1
2
= SV
p deve essere misurato con la migliore precisione possibile, q deve essere il più possibile ortogonale
a p per migliorare la precisione del prodotto vettoriale e deve essere preciso come o poco meno di p.
Se p e q fossero allineati, ad esempio se usassimo un sensore di Terra e di campo magnetico se il
campo diventasse radiale come ai poli, non potremmo risalire all’assetto.
Si potrebbero mediare gli errori se si prendono:
p
q
*
*
p + q
=
2
p − q
=
2
In pratica abbiamo usato l’informazione geometrica per ottenere il piano dei due vettori e quindi la
normale al piano.
T

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Metodi statistici
Un altro metodo possibile prevede di prendere:
1
J =
2
N
∑
i=
1
34
i
i
2
i
α s − Av
dove N è arbitrario e αi è una costante che identifica la precisione del sensore, quindi se è maggiore
pesa di più la misura nella sommatoria. La soluzione reale è quella che minimizza J. Ovvero, poiché
si sa che vi sono errori nelle misure, cerchiamo di ridurli al minimo invece di cercare di risolvere
analiticamente il sistema. Anche in questo caso sono necessarie almeno due misure di direzioni.
1
J =
2
N
∑
i=
1
α
i
T T T T
( s s + v A Av − 2s Av )
i
i
Poiché A è una matrice di rotazione A T A è una matrice identità, e poiché si e vi sono versori, i primi
due termini della parentesi sono pari a 1, si ottiene:
J = 1−
N
∑
i=
1
i
α
i
i
T ( s Av )
La soluzione ottima minimizza J(A), e di conseguenza massimizza
~
J
N
= ∑
i=
1
dove tr indica l’operatore traccia e la matrice B vale
α
i
B
i
T
T
( s Av ) = tr(
AB )
i
= ∑
=
N
i 1
α
i
T
isivi Se ad A sostituiamo la sua rappresentazione in quaternioni
la funzione da massimizzare diventa
( 2 T ) T
q − q q I + 2qq
− 2q [ ∧]
A 4
4
= q
~ T
J = q
dove la matrice K, quadrata di ordine 4, si costruisce nel modo seguente
N
= ∑
i=
1
T
i
B α s v =
i
i
[ b ]
ij
Kq
i
i
i
matrice quadrata di ordine 3

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
T +
S = B B
matrice quadrata di ordine 3
[ ] T
b23
− b32
, b31
− b13
, b12
b21
tr(
B)
z = − vettore di ordine 3
σ = scalare
⎡S − σI
K = ⎢ T
⎣ z
z⎤
σ
⎥
⎦
matrice quadrata di ordine 4
Per minimizzare la funzione J ~ , occorre aggiungere il vincolo q q 1
T = , e minimizzare senza vincoli
la funzione G q Kq - λ(
q q -1)
~ T T
= , dove λ rappresenta il moltiplicatore di Lagrange. Differenziando
G ~ ed uguagliando a zero le derivate si ottiene
e sostituendo nell’espressione di J ~ si ottiene
J(q)
= q
Kq = λq
~ T T
Kq = q
35
λq = λ
che risulta massima in corrispondenza del massimo autovalore della matrice K. Di conseguenza,
l’assetto ottimale, ovvero statisticamente migliore, corrisponde al quaternione che rappresentato
all’autovettore associato al massimo autovalore di K.
In condizioni normali, ovvero con i sensori funzionanti regolarmente, è lecito attendersi che gli
errori nella determinazione di assetto non siano troppo consistenti, pertanto la funzione J da
minimizzare sarà prossima a zero. In tali condizioni, la funzione J ~ sarà prossima all’unità, pertanto
ci si aspetta che il massimo autovalore della matrice K sia unitario. Volendo evitare di risolvere il
problema di determinazione d’assetto calcolando autovalori ed autovettori della matrice K, si può
ricorrere ad una soluzione approsimata ma di rapida implementazione, che conduce alla stima del
vettore di Gibbs rappresentante l’assetto del satellite.
Per far ciò, occorre riscrivere l’equazione Kq=λq in forma partizionata, considerando l’espressione
della matrice K. Ne risultano le due equazioni
( S − σI)
z
T
q + zq
q + σq
4
4
= λ
= λ
MAX
MAX
Dividendo la prima equazione per q4 e approssimando λMAX=1, si ottiene
q
( S − σI − I)
g + z = 0
che rappresenta un sistema lineare nell’incognita g, con vettore dei termini noti z e matrice dei
coefficienti (S-σI-I). Risolvendo il sistema lineare si valuta il vettore di Gibbs che rappresenta una
stima approssimata dell’assetto del satellite.
4
q

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Attuatori per il controllo di assetto
Razzetti per il controllo d’assetto
Il modo più semplice per creare delle coppie è creare forze disallineate dal baricentro, e per fare ciò
si usa l’espulsione di massa. Con i motori a getto vi sono problemi dovuti ai transitori di accensione
e spegnimento, inoltre è difficile modulare la forza, quindi questi tipi di motori non sono adatti ad
un controllo preciso dell’assetto. Inoltre per il controllo d’assetto servono coppie piccole (millesimi
di newton-metro), mentre la propulsione chimica fornisce forze di qualche newton. Per risolvere
questo problema si azionano i razzi per brevi istanti, ma ciò fa aumentare i problemi relativi ai
transitori di accensione e spegnimento.
Questi problemi si possono risolvere semplicemente con la propulsione elettrica che si basa
sull’accelerazione mediante un campo magnetico di un propellente ionizzato, che in seguito deve
esseri deionizzato per evitare l’accumulo di cariche elettriche di un tipo sul satellite. Questi motori
permettono una modulazione della spinta molto precisa e semplice, inoltre hanno un impulso
specifico molto elevato (oltre 3000) che permette un consumo di combustibile più contenuto. Danno
spinte da qualche newton a 10 -6 newton e quindi sono adatti ad un controllo fine dell’assetto.
Purtroppo questi motori consumano molto dal punto di vista elettrico, infatti è necessario mantenere
il propellente ionizzato, cioè pronto per essere usato (90% del consumo per questa funzione). Per il
controllo d’assetto servono poi quattro motori per asse (dodici in tutto) e quindi i consumi salgono.
Con i propulsori tradizionali non è possibile modulare la spinta ed essi possono solo essere accesi o
spenti. Inoltre l’andamento non è impulsivo, ci sono ritardi dovuti all’idraulica ed alla meccanica
del propulsore, e questi sono inoltre diversi al momento dell’accensione e dello spegnimento.
Per un buon utilizzo di questi propulsori è necessario modellare bene la funzione di attivazione:
F
36
t
ideale
reale
Nel caso del satellite spinnato per regolare la velocità angolare di spin sono necessari razzi sulla
superficie laterale:
Sempre nel caso di satellite spinnato, il controllo della direzione dell’asse di spin è più critico. Esso
richiede spinte parallele all’asse stesso, ma in questo caso i ritardi non danno errori sul modulo di h
I ω& =
M

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
bensì sulla sua direzione; infatti se si applica la forza al momento sbagliato il satellite, essendo
spinnato, è ruotato rispetto alla posizione che si prevedeva e la coppia è applicata in un piano
diverso, quindi la direzione finale di h è drasticamente diversa:
∆ϕ
= ω∆t
dM = FR cosϕ
dϕi
F(t)
R ω
F(t+∆t) C(t+∆t)
Ci
C(t)
Se la forza è costante, ed è applicata per un angolo pari a 2ϕ, anche la coppia è costante e per un
angolo pari a ϕ è diretta come la direzione media della coppia nel tempo, e perpendicolare ad F:
MTOT
2∫
FR cos d i 2FR
sin i
ϕ
= ϕ ϕ = ϕ
perché è simmetrica rispetto alla direzione media dell’angolo.
0
Per sapere quale è la direzione di i è necessario saper valutare quale è il baricentro della funzione
che dà la spinta nel tempo. Il risultato dipenderà dunque dal profilo di spinta, cioè da come è
applicata F.
Se quindi si tiene acceso il razzo per un giro intero, ovvero per ϕ pari a π, MTOT è nulla. Non
abbiamo ottenuto nulla e abbiamo speso propellente. Il massimo effetto si ha per ϕ pari a π/2,
ovvero il razzo andrebbe acceso e spento ogni mezzo giro.
Non è però efficiente perché per angoli elevati gli effetti tendono ad annullarsi agli estremi
dell’impulso; conviene compiere quindi brevi e frequenti accensioni in modo tale da avere coppie
vicine a quelle medie ed elevare così l’efficienza.
Essendo:
ϕ
=
ω
d
dt
poiché la coppia massima vale FR l’impulso della coppia vale:
mentre l’impulso della forza è:
I
c
t
ϕ dϕ
2FR
= 2∫
FR cosϕ
dt = 2∫
FR cos ϕ = sin ϕ
0
0 ω ω
I
F
RI
= 2
F
=
∫
t
0
Fdt ⇒
2R
∫
t
0
Fdt = 2R
37
ϕ dϕ
2FR
F = ϕ
0 ω ω
∫

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Facendo il rapporto di questi due valori si ottiene un indice dell’efficienza:
Ic/RIF
1
Ic
RI
F
38
ϕ
=
ϕ
sin
2π ϕ
Ci dice quanta coppia stiamo ottenendo nella direzione media rispetto alla coppia spesa in totale. Se
ϕ tende a zero l’efficienza tende a 1. È chiaro che la coppia ottenuta è bassa, ma calibrando nel
tempo molte brevi accensioni, una al giro, si ottengono coppie totali elevate. La massima coppia si
ottiene invece per ϕ = π.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Ruote d’inerzia e di reazione
Questi attuatori si basano su accelerazioni e decelerazioni di rotori. Le ruote che hanno velocità
angolare nominale nulla si dicono ruote di reazione, mentre quelle che hanno velocità diversa da
zero sono dette ruote d’inerzia. Esistono anche ruote che non vengono accelerate, ma ne viene fatto
ruotare l’asse di rotazione, sono dette ruote giroscopiche perché funzionano con lo stesso principio
dei giroscopi. Queste ruote possono essere considerate tutte insieme perché scambiano momento
della quantità di moto con il satellite, infatti tutte le coppie applicate sulle ruote sono applicate
uguali e contrarie sul satellite, come si vede dalle equazioni di Eulero in assenza di coppie esterne:
I ω&
I
r
z
r
ω&
z
39
= M
r
= −I
ω&
Il termine Mr è in genere fornito da motori elettrici che hanno caratteristiche di funzionamento di
questo tipo:
M
Le curve variano da motore a motore, ma hanno una caratteristica in comune, infatti hanno tutte
coppia nulla per una data velocità di rotazione detta di sincronismo. Se il rotore giunge a questa
velocità di rotazione non si può più considerarlo, infatti ogni valore di energia fornita al motore non
fa variare comunque la velocità di rotazione. La curva di funzionamento viene in genere
schematizzata così:
M
In genere si cerca di rimanere nel campo di velocità angolari che garantisce la coppia costante,
inoltre se dobbiamo fornire una coppia sinusoidale dobbiamo assicurarci che la velocità rimanga nel
campo in cui la coppia è lineare.
Se occorre compensare un disturbo armonico più una parte costante allora prima o poi arriveremo
alla velocità di sincronismo. In questo caso il rotore si dice saturo. Per desaturare il rotore occorre
frenarlo usando però un principio che ci permetta di staccarlo dal satellite, cioè di non trasmettere
r
r
ω
ω

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
momento della quantità di moto al satellite. Per fare questo si possono usare dei razzetti sul rotore
che danno una coppia esterna e quindi non scambiano momento della quantità di moto. Se il
problema deriva da un disturbo costante allora sarà necessario desaturare più volte i rotori. Le ruote
d’inerzia e di reazione presentano questo problema e anche le ruote giroscopiche sono soggette ad
un problema analogo sulla rotazione del loro asse. Queste ultime sono più complicate sia da
realizzare che da gestire, ma garantiscono coppie di un ordine di grandezza superiore rispetto alle
ruote di reazione. Se la desaturazione viene studiata a parte (equazioni aggiunte), allora per studiare
il controllo si possono usare solo le equazioni di Eulero.
Per risolvere il problema con n rotori di tipo diverso si può usare un'unica equazione generale.
Definiamo il momento della quantità di moto del satellite includendo il contributo dei rotori
h = Iω
+ A
dove A è una matrice composta da tre righe e da tante colonne quanti sono i rotori, ed ogni colonna
rappresenta i coseni direttori dell’asse di rotazione di un rotore. Il vettore hr ha tanti elementi quanti
sono i rotori e i suoi elementi sono gli scalari che esprimono il momento angolare di ogni rotore sul
suo asse, misurato relativamente agli assi principali di inerzia del satellite.
Vediamo quindi le equazioni di Eulero, in cui il termine Iω viene valutato considerando la presenza
dei rotori, ma con velocità angolare relativa nulla, e T rappresenta le coppie di disturbo:
40
h r
Iω& + ω∧
Iω
+ I&
ω+
A&
h r + Ah&
r + ω∧
Ah
r = T
Vanno poi aggiunte le equazioni di funzionamento dei rotori:
Analizziamo ora i vari termini dell’equazione:
A h + Ah
= M & &
r
r
I& ω esiste solo se ci sono ruote giroscopiche, e può essere trascurato se queste
sono piccole
Ah r
& esiste solo se ci sono ruote giroscopiche (variazione di assetto relativo)
Ah r
& in genere non esiste per ruote giroscopiche perché hanno velocità angolare
costante
ω ∧ Ah
r esiste per ogni tipo di rotore, tranne che per le ruote di reazione che in
condizioni nominali hanno hr = 0
Questi quattro termini possono essere raggruppati in un unico termine che rappresenta le coppie di
controllo, in modo da semplificare la soluzione del problema di controllo. Una volta ricavato quanto
valgono le coppie di controllo sarà necessario trovare come queste vengono ricavate e quindi quali
sono i termini corrispondenti ai vari rotori.
Vediamo il caso in cui siano presenti termini di accoppiamento con ruote di reazione:
r

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Otteniamo quindi:
⎧Iω&
+ ω∧
Iω
+ ω∧
Ah
r + Ah&
r
⎪
⎨M
c = −ω
∧ Ah
r − Ah&
r
⎪I
r ω&
r = M r ⎩
I ω& + ω∧
Iω
= T + M
Con tecniche di controllo ricaviamo Mc e in seguito Mr, ovvero h& r = I ω&
r con le seguenti relazioni:
Ah&
r = −M
h&
*
= −A
r
c
( M + ω∧
Ah
)
41
− ω∧
Ah
dove A * è una pseudo-inversa che coincide con l’inversa solo nel caso che A sia quadrata di ordine
3 e i rotori abbiano assi di rotazione tutti distinti tra loro.
Per calcolare la pseudo-inversa si procede nel modo seguente:
T
Se ( n, 3A
3,
n ) n,
n
A è invertibile allora:
A
A
3,
n
T
n,
3
x
A
n,
1
3,
n
= y
x
n,
1
T
T
( A n,
3A
3,
n ) x n,
1 = A n,
3y
3,
1
n,
n
c
3,
1
= A
T
n,
3
y
r
3,
1
c
r
= T
T −1
T
T
( A n,
3A
3,
n ) ( A n,
3A
3,
n ) x n,
1 = ( A n,
3A
3,
n )
n,
n
n,
n
x
T
= ( A A
−1
) T
A y
x
n,
1
n,
1
= A
n,
3
*
n,
3
y
3,
n
3,
1
n,
n
n,
3
3,
1
Sarebbero sufficienti tre rotori, ma in realtà se ne usano di più per ridondanza. Però per risparmiare
peso si usano tutti e si accetta un degrado delle prestazioni nel caso in cui uno si guasti.
Per questo occorre fare in modo che, con qualunque combinazione di 3 rotori, sia possibile
comandare coppie secondo i 3 assi principali. Chiaramente questo implica che non vi possano
essere rotori con il medesimo asse di rotazione.
Il modo migliore di montare i rotori è in una configurazione a tetraedro o a grappolo, anche se è
possibile montarne tre diretti come gli assi e uno come la trisettrice. La configurazione a grappolo è
la migliore perché nessuna direzione è privilegiata.
−1
n,
n
A
r
T
n,
3
y
3,
1

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Tre assi e trisettrice grappolo o tetraedro
Vediamo ora il sistema con 3 ruote dirette come gli assi principali ed una quarta diretta come la
trisettrice e cioè formando angoli uguali con le altre tre:
⎡1
⎢
A = ⎢0
⎢
⎣
0
0
1
0
Con una ruota qualsiasi guasta la matrice A rimane comunque invertibile. Vediamo ora la pseudoinversa:
Il sistema è risolto da:
A *
⎡ 5/
6
⎢
−1/
6
=
−1/
6
⎢
⎢
⎢
⎣1/
2
3
42
0
0
1
1/
1/
1/
−1/
6
5/
6
−1/
6
1/
2
3
3⎤
⎥
3⎥
3⎥
⎦
−1/
6 ⎤
−1/
6
⎥
5/
6
1/
2
⎥
⎥
⎥
3⎦
*
( M c + ω∧
Ah
r ) A M e
*
M r = −A
=
Supponendo che il vettore delle coppie di controllo sia diretto lungo l’asse x, ovvero moltiplicando
A * per il vettore {1,0,0} T , ci accorgiamo di dover far funzionare comunque tutti i rotori ed in modo
molto disomogeneo e non solo quello in direzione x.
Per avere un idea dell’energia facciamo la norma del vettore Mr :
M
M
c
r
M
⎧1⎫
⎪ ⎪
=
⎨0⎬
⎪0⎪
⎩ ⎭
⎧ 5/
6 ⎫
⎪
1/
6
⎪
⎪ − ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ −1/
6 ⎪
⎪⎩
1/
2 3⎪⎭
r
=
27
36
+
1
12
=
30
36

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Se non avessimo usato il quarto rotore avremmo ottenuto una norma unitaria del vettore Mr. Quindi
l’uso della pseudo-inversa minimizza la norma di Mr.
Vediamo ora la disposizione in cui i rotori sono diretti tutti come le trisettrici:
x
La pseudo-inversa risulta essere:
z
43
y
2 1
y x
⎡− a
A =
⎢
− a
⎢
⎢⎣
a
a
− a
a
a
a
a
− a⎤
a
⎥
⎥
a ⎥⎦
a =
1
3
A *
b =
⎡−
b
⎢
b
= ⎢
⎢ b
⎢
⎣−
b
3
4
− b
− b
b
b
b⎤
b
⎥
⎥
b⎥
⎥
b⎦
3 4
Se il vettore delle coppie di controllo è allineato con l’asse x, ovvero moltiplicando A * per il vettore
{1,0,0} T , si vede che tutti i rotori lavorano allo stesso modo (stesso modulo e segno diverso).
Calcolando la norma si ottiene:
M r =
Risulta minore che nel caso precedente, quindi questa configurazione risulta più equilibrata.
Se uno dei rotori si guasta otteniamo comunque matrici abbastanza omogenee, infatti nel caso in cui
il rotore 4 non ci sia otteniamo:
3
4

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
−
A 1
1 , 2,
3
⎡ 3
⎢−
⎢
2
⎢ 3
=
⎢ 2
⎢
⎢ 0
⎢⎣
44
0
3
−
2
3
2
−
3 ⎤
⎥
2
Per ogni coppia lavorano solo due rotori, ed inoltre in modo uguale.
È meglio lavorare con le ruote d’inerzia perché con le ruote di reazione bisogna far fronte all’attrito
statico necessario a metterle in rotazione. Inoltre è necessario che il momento della quantità di moto
dei rotori sia allineato con quello desiderato per il satellite, quindi le ruote d’inerzia vanno avviate
con opportune velocità nominali. I rotori non ruotano tutti alla stessa velocità e questo potrebbe
essere un problema.
Se i rotori a grappolo ruotano tutti con la stessa velocità, allora vi è solo la componente z di h e
quindi possiamo fare il controllo come se i rotori simulassero una ruota d’inerzia su z e due ruote di
reazione su x e y. In realtà, essendo il moto su x e y accoppiato, è necessario simulare solo una
ruota di reazione per x e y. Necessito quindi di una coppia in meno da modellare.
Accelerando 3 e 4 e frenando 1 e 2 si ottiene una ruota di reazione attorno ad y, frenando 2 e 3 ed
accelerando 1 e 4 si ottiene una ruota di reazione attorno ad x.
Aumentando la velocità dei rotori aumenta la frequenza di oscillazione su x e y, quindi un errore su
x si trasmette rapidamente ad y e possiamo fare il controllo solo su y anche per controllare disturbi
su x. È necessario che i sensori diano quella componente nominale necessaria affinché il sensore
riesca a ricavare da y errori su x.
Lavorando con le ruote d’inerzia vi è il problema di mettere in rotazione i rotori all’istante iniziale
senza provocare una rotazione contraria sul satellite. Per evitare che il satellite vari il suo momento
della quantità di moto è necessario mettere in rotazione i rotori con metodi come i sistemi a getto o
gli attuatori magnetici che forniscono coppie esterne.
0
3
2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Attuatori magnetici
Generano una coppia inducendo un campo magnetico in una spira immersa nel campo magnetico
terrestre.
Essi generano un momento magnetico D:
D = µ nSI
µ =
n =
S = area racchiusa
I =
permeabilità
numero di spire
intensità
45
magnetica
di corrente
Le coppie sono poi date dal prodotto vettoriale di questo momento magnetico per il campo
magnetico terrestre:
M = D ∧ B
L’efficacia di questi attuatori varia con l’orbita a causa del campo magnetico, inoltre forniscono
coppie di 10 -3 ÷ 10 -6 Nm. Possiamo però sempre aumentare il numero di spire o l’area racchiusa.
Il vettore delle coppie è ortogonale sia al momento magnetico generato che al campo magnetico
terrestre, quindi la sua direzione è legata al campo magnetico esterno e non sempre sono disponibili
tutte e tre le componenti. Però se si hanno a disposizione la coppia lungo z e una delle altre due, e se
è garantito l’accoppiamento fra x e y, è possibile controllare comunque il satellite.
Negli attuatori magnetici M è sempre ortogonale a B:
quindi:
L’incognita è D quindi scriviamo:
Ma [ ∧]
M = D ∧ B = −B
∧ D
⎧M
x ⎫ ⎡ 0
⎪ ⎪ ⎢
⎨M
y ⎬ = ⎢−
Bz
⎪ ⎪
⎩M
⎭
⎢
z ⎣ By
D =
B
0
z
− B
x
−1
[ − B ∧]
M
− By
⎤⎧D
x ⎫
⎥⎪
⎪
Bx
⎥⎨D
y ⎬
0 ⎥⎪
⎪
⎦⎩D
z ⎭
− B è una matrice singolare, quindi il calcolo di D non può essere fatto con questa relazione.
Per risolvere il problema possiamo pensare di trovare due componenti invece di tre, cioè portando a
coincidere z con B garantiamo che le componenti siano solo due e risolviamo il problema. Questo
metodo però è molto laborioso poiché occorre trovare la soluzione esatta nel sistema di riferimento

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ruotato e quindi ruotare di nuovo la soluzione nel sistema precedente; tutto ciò ogni istante. Inoltre
le equazioni di Eulero nel sistema ruotato sono completamente accoppiate.
Possiamo però pensare di usare solo due componenti di coppia per controllare il satellite perché x
ed y sono accoppiati, scriviamo quindi:
⎧ 0 ⎫ ⎡ 0
⎪ ⎪ ⎢
⎨M
y ⎬ =
⎢
− Bz
⎪ ⎪
⎩M
⎭ ⎢ z ⎣ By
46
B
0
z
− B
Inoltre imponendo Dx = 0 si ottengono le seguenti relazioni:
M
M
y
z
= B
x
= −B
Si ottiene però un Mx residuo dalla prima equazione:
D
x
z
D
y
⇒
⇒
B
x
D
z
M xr = −M
z −
Bx
z
D
− By
⎤⎧D
x ⎫
⎥⎪
⎪
Bx
⎥⎨D
y ⎬
0 ⎥⎪
⎪
⎦⎩D
z ⎭
M
=
B
y
M
x
y
M
= −
B
La coppia residua non è richiesta dal controllo ma è prodotta dall’interazione tra B e D necessaria a
creare My ed Mz.
In genere però si usa questo sistema annullando Mz e quindi usando la componente di beccheggio
del campo magnetico. È necessario però aggiungere un altro attuatore sull’asse z che è
disaccoppiato dalle altre due equazioni:
D
D
y
x
M
= −
B
z
M
= −
B
Potremmo usare il gradiente di gravità per dare stabilità passiva all’asse z, ma in genere si usa una
ruota d’inerzia, nel qual caso avremmo:
ovvero:
⎧M
⎪
⎨M
⎪
⎩M
x
y
z
⎫ ⎡ 0
⎪ ⎢
⎬ =
⎢
− B
⎪
⎭ ⎢
⎣ By
⎧M
⎪
⎨M
⎪
⎩M
x
y
z
z
B
0
z
− B
⎫ ⎡ 0
⎪ ⎢
⎬ = ⎢−
B
⎪
⎭
⎢
⎣
By
z
x
z
x
y
y
B
B
y
x
− By
⎤⎧D
x ⎫ ⎧ 0 ⎫
⎥⎪
⎪ ⎪ ⎪
Bx
⎥⎨D
y ⎬ + ⎨ 0 ⎬
0 ⎥⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎦⎩
0 ⎭ ⎩−
h&
z ⎭
B
0
z
− B
x
z
x
0⎤⎧
Dx
⎫
⎥⎪
⎪
0⎥⎨
D y ⎬
1⎥⎪
⎪
⎦⎩−
h&
z ⎭

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
La matrice è quindi divenuta invertibile ed è possibile calcolare i comandi da dare per ottenere le
coppie di controllo:
⎧ Dx
⎫
⎪ ⎪ 1
⎨ Dy
⎬ =
⎪ ⎪ B
⎩ h&
z ⎭
⎡ 0 −1
⎢
⎢ 1 0
⎢
⎣Bx
By
47
0 ⎤⎧M
x ⎫
⎥⎪
⎪
0 ⎥⎨M
y ⎬
B ⎥⎪
⎪
z ⎦⎩M
⎭
z
− z
È quindi possibile risolvere il problema se Bz è diverso da zero.
Vediamo un altro modo di calcolare D. Essendo:
M = D ∧ B
B ∧ M =
B ∧ M =
B ∧ ( D ∧ B)
( B⋅
B)
D − ( D ⋅ B)B
Possiamo fare in modo di generare D sempre ortogonale a B così da non avere componenti parallele
a B, allora essendo:
si ottiene:
Essendo però:
B ∧ M = B
2
D ⋅ B =
D
→
0
1
M = ∧
2
B
B ∧ M
D = 2
B
( B ∧ M)
B
solo se M è realmente ortogonale a B otteniamo le coppie volute, ovverosia, il che è lo stesso, se D
è ortogonale a B ricaviamo solo la componente di M ortogonale sia a B che a D:
B
D Me
Questo avviene perché avendo usato il prodotto vettore abbiamo limitato la soluzione su di un piano
perpendicolare a B, quindi questo metodo funziona bene se le coppie di controllo sono già quasi
ortogonali al campo magnetico.
Mc

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Esempio di sistema di controllo di un satellite con ruote d’inerzia e di reazione
Vediamo ora un esempio di satellite con una ruota d’inerzia diretta come l’asse z e una ruota di
reazione sugli altri due assi.
Scriviamo le equazioni di Eulero:
⎪⎧
Iω&
+ ω∧
Iω
+ h&
⎨
⎪⎩ h&
r = M c
48
r
+ ω∧
Sono 6 equazioni e i rotori sono diretti come gli assi, dunque A è una matrice identità. Poiché in
genere vogliamo controllare gli angoli e non solo la velocità, è necessario aggiungere una
parametrizzazione d’assetto:
( α, α&
, ω)
0
f =
Vediamo il caso in cui siamo in assi corpo e la parametrizzazione è riferita alla terna orbitale.
Consideriamo come posizione di equilibrio una velocità nominale attorno a z e una velocità dei
rotori. Sviluppiamo quindi le equazioni:
⎧ωx
⎫ ⎡ 1
⎪ ⎪ ⎢
⎨ωy
⎬ = ⎢−
α
⎪ ⎪
⎩ω
⎭
⎢
z ⎣ α y
z
α
1
z
− α
x
− α
α
1
x
h
y
r
= M
d
⎤⎧
α&
x ⎫
⎥⎪
⎪
⎥⎨
α&
y ⎬
⎥⎪
⎪
⎦⎩α&
z + n⎭
Abbiamo poi che le ruote su x e y sono di reazione, per cui hrx=hry=0 in condizioni nominali. Quindi
le equazioni linearizzate divengono:
dove:
⎧Ix
⎪
⎨Iy
⎪
⎪Iz&α
&
⎩
( &
2
α&
x − α&
yn)
+ ( Iz
− I y )( nα&
y + n αx
) + h&
rx + h rz ( α&
y + nα x )
2
( &α
& + α&
n)
+ ( I − I )( nα&
− n α ) + h&
− h ( α&
− nα )
z
y
+ h&
rz
x
= M
dz
x
z
x
⎧h&
⎪
⎨h&
⎪
⎩h&
rx
ry
rz
y
= −M
= −M
= −M
cx
cy
cz
ry
rz
x
y
= M
= M
Possiamo quindi riscrivere il sistema introducendo le coppie di controllo. Le equazioni divengono:
r
( &
2
α&
x − α&
yn)
+ ( Iz
− I y )( nα&
y + n α x ) + h rz ( α&
y + nα x )
2
( &α
& + α&
n)
+ ( I − I )( nα&
− n α ) − h ( α&
− nα )
⎧Ix
⎪
⎨I
y y
⎪
⎪Iz&α
&z
= M
⎩
h&
= −M
c
x
cz
x
z
x
y
rz
x
y
= M
= M
cx
cy
dx
dy

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Per progettare il sistema di controllo dobbiamo scrivere la funzione di trasferimento fra gli angoli e
le coppie di controllo. Per il controllo dell’asse z si può scrivere
s
2
G
α
z
z
( s)
( s)
M
=
I
αz
=
M
49
z
( s)
cz
cz
1
=
I s
Lo schema a blocchi del problema di controllo è il seguente:
αzrif + Mcz αz
H(s) G(s)
-
La funzione di trasferimento in anello chiuso è:
F
( s)
H
=
1+
( s)
G(
s)
H(
s)
G(
s)
Prima di calcolare H(s) dobbiamo decidere come vogliamo che risulti F(s). Se un disturbo è
applicato fra H(s) e G(s), la funzione di trasferimento fra il disturbo e l’angolo è:
F
d
( s)
G
=
1+
H
( s)
( s)
G(
s)
z
2
α
=
α
( )
z s
zrif
α
= z
T
Cerchiamo ora di calcolare H(s). Essendo il sistema un oscillatore, la coppia di controllo potrà
essere di tipo proporzionale-derivativo:
Quindi avremo:
F
( s)
M
cz
H(
s)
1
( K ds
+ K p ) 2
Izs
( K s + K )
=
1+
d
I
z
s
2
p
= K sα
+ K α
d
M
=
α
z
cz
( s)
=
1+
È un sistema del secondo ordine in cui abbiamo:
=
p
( s)
( K s + K )
d
( K s + K )
d
I
s
p
z
d p
= 2
( K ds
+ K p ) I zs
+ K ds
+ K p
I
z
2
s
2
p
K s + K

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ω =
50
K
I
z
p
K
2ξω
=
I
Dove ω è la frequenza di oscillazione e ξ è lo smorzamento. Lo smorzamento ideale ha un valore di
circa 0.7, ma per non sovraccaricare il sistema di controllo in genere si accetta che sia superiore a
0.3 . Legando la frequenza con n otteniamo il numero di oscillazioni per orbita, quindi possiamo
imporre che il satellite vada a regime in una frazione di orbita. In genere si usa ω = 20 frequenze
orbitali.
È necessario poi calcolare l’angolo di regime e tramite il teorema del valore finale:
αz∞ = lim sFd
(s)d(s)
s→0
Dove d(s) è la funzione di trasferimento del disturbo (trasformata del disturbo). Considero come
disturbo peggiore una costante, quindi:
d
α
( s)
z∞
=
1
s
= limF
s→0
d
( s)
=
1+
1
I s
z
d
z =
=
2
( K ds
+ K p ) I zs
+ K ds
+ K p K p
I
z
2
s
Abbiamo così calcolato le coppie di controllo, dobbiamo quindi valutare come funziona il rotore:
r
2
h & = M
Otteniamo dopo aver effettuato la trasformata di Laplace:
c
( K s + K ) α(
s)
I rsω
r = d p
Dobbiamo infine verificare che il rotore non saturi.
Consideriamo ora le prime due equazioni e consideriamo la condizione semplificativa Mcx=0, con
inoltre αy come uscita perché con un sensore di orizzonte non potrei misurare αx:
⎪⎧
I
⎨
⎪⎩ I
x
y
2
2
( s αx
− sα
yn)
+ ( I z − I y )( nsα
y + n αx
) + h rz ( sα
y + nαx
)
2
2
( s α + sα
n)
+ ( I − I )( nsα
− n α ) + h ( sα
− nα
)
Ricaviamo la seguente funzione di trasferimento:
y
x
x
z
x
y
rz
1
x
y
1
= 0
= M
cy

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
2
As + B
G y ( s)
= 4 2
Cs + Ds + E
A = I
B =
C = I
D =
E =
x
( I − I )
x
z
I
2
2
2 2
{ n I y ( I z − I y ) + I yh
rzn
− I x ( I x − I z ) n − I xh
rzn
+ ( I x + I y − I z ) − h rz }
4
3
3 2 2
[ ( I − I )( I − I ) n − h ( I − I ) n − h ( I − I ) n − h n ]
z
y
y
x
n
2
+ h
z
rz
y
n
rz
x
z
51
rz
z
y
[ ]
È però possibile scrivere la funzione di trasferimento separando i termini in funzione di hrz e
inglobandoli nel termine di coppia di controllo:
α
α
y
y
4 3 2
[ as + bs + cs + ds + e + h rzf
( s)
] = sh ryg(
s)
H(
s)
= M ( s)
cy
A questo punto, in modo analogo a quanto visto per l’asse z, si può ipotizzare una legge di controllo
che permetta di ottenere oscillazioni smorzate con frequenza e smorzamento assegnati.
rz

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Generalizzazione del problema di controllo
Abbiamo visto che nel caso di presenza di rotori vale:
M = Ah&
Ma come possiamo calcolare M?
Consideriamo il caso di un satellite a puntamento inerziale. Le equazioni di Eulero si semplificano
notevolmente, non essendovi velocità angolari nominali, e risultano completamente disaccoppiate:
Mi = Iω&
i
52
r
i = 1,
2,
3
che linearizzate attorno alla posizione di equilibrio diventano:
M = Iα&
&
i
Poiché non si ha momento della quantità di moto nominale dobbiamo avere coppie su tutti gli assi
poiché altrimenti non controlleremmo gli assi su cui non vi sono coppie, essendo completamente
disaccoppiate.
È un sistema oscillante del secondo ordine quindi possiamo prendere:
( α)
= ( α)
M = f PID
Non è necessario un intero PID: se vogliamo una risposta decrescente nel tempo e se il disturbo non
è continuo non occorre la parte integrale. Se il disturbo è invece costante o persiste serve anche la
parte integrale.
Se abbiamo un sistema lontano dall’equilibrio compaiono termini di accoppiamento ed angoli
elevati:
M = Iω&
+ ω ∧ Iω
I termini di accoppiamento ω ∧ I ω non creano troppi problemi perché basterebbe calcolare una
coppia come:
per tenerne conto e poi ottenere M come:
Potremmo avere un satellite a doppio spin:
M
c
M c
M = Iω&
c
= M + ω ∧ Iω
M = Iω&
+ ω ∧ Iω
+ Ah&
= Iω&
= M − ω ∧
r
i
+ ω ∧
Iω
− Ah&
r
Ah
r
− ω ∧
Ah
r

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Se non controlliamo attivamente con le ruote si ha h& r = 0 . Se invece controlliamo anche con le
ruote e non abbiamo altre coppie allora M=0 e risolviamo l’equazione ottenendo hr & .
Se le rotazioni sono ampie si hanno angoli elevati. In questo caso non possiamo più considerare le
rotazioni attorno agli assi come indipendenti dall’ordine delle rotazioni stesse. Occorre quindi
riprendere il significato di matrice di rotazione.
Sia AS la matrice d’assetto iniziale rispetto al sistema inerziale. Vogliamo portare il satellite in una
posizione con matrice d’assetto AT:
A
A
S
T
⎡a
=
⎢
⎢
a
⎢⎣
a
⎡a
=
⎢
⎢
a
⎢⎣
a
11S
21S
31S
11T
21T
31T
a
a
a
12S
22S
32S
a
a
a
12T
22T
32T
53
a
a
a
13S
23S
33S
a
a
a
13
23
33
⎤ ⎡XS
⎤
⎥ ⎢ ⎥
⎥
=
⎢
YS
⎥
⎥⎦
⎢⎣
Z ⎥ S ⎦
T ⎤ ⎡XT
⎤
⎥
=
⎢ ⎥
T ⎥ ⎢
YT
⎥
⎥⎦
⎢⎣
⎥
T ZT
⎦
Ogni riga di AS ed AT è un asse di riferimento. Noi vorremmo avere:
In realtà è:
A A I
T
=
S
S
T
T
T
A A = A
dove Ae è la matrice d’errore sull’assetto. Occorre ora legare Ae con le coppie da applicare.
A
S
A
T
T
⎡XS⎤
=
⎢ ⎥
⎢
YS
⎥
⎢⎣
Z ⎥ S ⎦
T T T
[ X Y Z ]
T
T
T
e
⎡XSX
⎢
= ⎢YSX
⎢
⎣
ZSX
T
T
T
T
T
T
X
S
Y Y
S
Z Y
S
Y
T
T
T
T
T
T
T
X ⎤ SZT
T ⎥
YSZ
T ⎥
T
Z ⎥
SZT
⎦
Per essere una matrice identità i termini extradiagonali devono essere nulli. X Y 0
T
S T = significa che
XS e YT devono essere ortogonali tra loro, essendo questa la rappresentazione in forma matriciale
del prodotto scalare.
Una rotazione attorno a ZS porterà prima o poi ad ottenere questa condizione di ortogonalità quindi:
M = f
zS
z
T ( X Y )
è la coppia che dovremmo dare attorno a ZS nel sistema degli assi corpo. Non sappiamo però ancora
come sia fatta questa funzione.
La stessa cosa vale per gli altri termini: se vogliamo X Z 0
T
YS, quindi:
T
S
T
S = dobbiamo dare una coppia attorno a

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
e se vogliamo Y X 0
T
M = f
yS
54
y
T ( X Z )
S T = dobbiamo dare una coppia attorno a XS, quindi:
M = f
xS
x
S
T
T ( Y Z )
Occorre osservare che si potrebbe lavorare sui termini sottodiagonali per ottenere lo stesso risultato,
T
ovvero f ( Y X )
M = e così di seguito per MyS e MxS.
zS
z
S
T
Per comprendere come sono fatte le funzioni consideriamo il caso in cui le rotazioni siano piccole,
ovvero i sistemi siano molto vicini. In questo caso otteniamo:
A
S
A
T
T
⎡ 1
⎢
= ⎢−
α
⎢
⎣ α y
Abbiamo cioè linearizzato sugli angoli.
Nel caso disaccoppiato o di piccole rotazioni vale:
z
z
S
α
1
Z
− α
x
T
− α
α
1
x
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
( α)
= Kpzα
z + Kdz
z
M = PD
α&
che è valida anche se vi sono solo rotazioni attorno a z anche grandi.
T
Si può notare che αz corrisponde a S T Y X del caso di grandi rotazioni, ovvero ad a12e. Si ottiene
perciò:
M = K a + K ω
zs
pz 12e
T
Il termine derivativo ci dà l’attrito viscoso, quindi non deve dipendere necessariamente da S T Y X
ma da una qualunque grandezza con valore nullo a regime ed il segno opposto al movimento, quindi
va bene anche ωz. Si noti che a rigore il termine derivativo dovrebbe essere proporzionale alla
derivata di a12e.
Calcoliamo quindi Kp e Kd nel caso lineare e li applichiamo anche al caso non lineare appena visto.
⎧M
⎪
⎨M
⎪
⎩
M
x
y
z
= K
= K
= K
px
py
pz
x
y
z
+ K
+ K
+ K
dx
dy
dz
z
x
y
⎧M
⎪
→ ⎨M
⎪
⎩
M
Se utilizzassimo i termini sottodiagonali avremmo:
perciò il transitorio sarà differente.
α
α
α
α&
α&
α&
xs
ys
zs
dz
z
= K
= K
py
= −K
M = −K
a + K ω
zs
pz
21e
dz
y
px
z
a
a
pz
23e
31e
a
21e
+ K
+ K
dx
dy
+ K
ω
dz
ω
x
y
ω
z

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Cerchiamo allora di mediare il comportamento dei due casi:
ed essendo:
dovremo in realtà scrivere:
⎧
⎪M
⎪
⎪
⎨M
⎪
⎪
⎪M
⎩
xs
ys
zs
⎧M
⎪
⎨M
⎪
⎩M
xS
xS
xS
K
=
2
K
=
2
K
=
2
= f
= f
= f
12e
x
x
x
T T
( YSZ
T − ZSYT
)
T T
( XSZT
− ZSXT
)
T T
( X Y − Y X )
55
S
21e
T
a − a = 2α
px
py
pz
z
S
( a − a )
23e
( a − a )
31e
( a − a )
12e
ma a12e-a21e è la componente z dell’asse di Eulero a meno di un fattore di scala. È come se
tentassimo di compiere una rotazione attorno all’asse di Eulero, ovvero se tentassimo di
minimizzare la rotazione per compierla più rapidamente.
Esprimendo i termini a12 e a21 in funzione dei quaternioni, si ha rispettivamente 2(q1q2+q3q4) e
2(q1q2-q3q4) quindi si otterrà:
⎧
⎪M
⎪
⎪
⎨M
⎪
⎪
⎪M
⎩
xs
ys
zs
K
=
2
K
=
2
K
=
2
px
py
pz
( 4q
q )
1e
( 4q
q )
2e
( 4q
q )
3e
4e
4e
4e
+ K
+ K
+ K
dx
dy
dz
Notiamo che i quaternioni sono quelli di errore.
Mentre ci si avvicina alla condizione finale il sistema automaticamente diventa lineare. Se
volessimo avere una ωz ben precisa basterà riscrivere le equazioni come:
M
i
⇒ M
ω
ω
ω
x
z
y
32e
13e
21e
=
=
=
2K
2K
2K
( α&
− α )
= K α + K &
is
pi
i
= 2K
pi
q
di
ie
q
i
4e
i
+ K
T
+ K
+ K
+ K
di
px
py
pz
q
q
q
dx
dy
dz
1e
2e
3e
q
q
ω
ω
ω
4e
y
z
4e
q
4e
x
( ω − ω )
Anche ω può essere espresso in funzione dei quaternioni. Essendo:
da cui:
1
q& = Ωq
2
i
i
+ K
+ K
+ K
dx
dy
dz
ω
ω
ω
z
x
y

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
quindi:
⎡ q4
− q3
q2
⎤
⎢
⎥⎧ωx
⎫
⎢
q3
q4
− q1⎥⎪
⎪
Ωq =
⎨ωy
⎬ = Qω
⎢−
q q q ⎥
2 1 4 ⎪ ⎪
⎢
⎥⎩ωz
⎭
⎣−
q1
− q2
− q3⎦
ω =
56
2 * &
dove Q * è la pseudo inversa di Q, che in questo caso particolare è coincidente con Q T ; è infatti
facilmente verificabile che:
Q q
Q Q
T =
I

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Manovre in tempo minimo
Con le tecniche appena viste, le prestazioni sono sempre valutate in termini classici, tipicamente
banda passante, risposta a transitorio e a regime. Spesso è invece necessario ottimizzare ad esempio
il tempo di manovra od il consumo.
Per minimizzare il tempo occorre fare un’ottimizzazione vincolata del tipo:
= f t
57
( x − Ax Bu)
f
∫ dt + λ∫
−
min J
&
t 0
t
t 0
È difficile da risolvere in forma analitica tranne per casi semplici e particolari.
Consideriamo ad esempio il caso di un satellite in rotazione attorno ad un solo asse principale
d’inerzia, ovvero trascuriamo il vincolo delle equazioni di Eulero. La dinamica del sistema è allora,
per piccole rotazioni:
M = Iα&
&
∫ α
dα
dα
α&
= ⇒ dt =
dt α&
f 1
⇒ J = dα
α0
α&
Volendo minimizzare il tempo di manovra, deve essere α& massimo, il che non vuol dire
massimizzare le coppie perché vi è anche la partenza e l’arrivo, ovvero le accelerazioni per partire e
fermarsi. La coppia disponibile è però limitata al valore:
u = α&
& =
che è un indice della coppia a disposizione. Se questa è sufficientemente elevata la manovra è così
rapida che il problema del tempo minimo non è da affrontare.
Integrando si ha:
Ricavando il tempo dalla prima:
0
0
α&
= α&
α = α
α&
− α&
0 t =
u
α&
α = α +
α − α
=
1
u
0
0
0
+ ut
M
I
1
+ α&
0t
+ ut
2
( α&
− α&
) 1 ( α&
− α&
)
α&
0
u
0
+
2
1
2u
2
dt
( ) ( ) 2
α&
− α&
+ α&
− α&
0
u
0
2
0

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
& possiamo riportare una
famiglia di parabole, le cui concavità dipendono dal segno di u e la cui apertura dipende dal modulo
di u:
α&
che è l’espressione di una parabola. Se disegnamo il piano di fase ( α, α)
u0
Le frecce indicano l’unico verso di percorrenza consentito. Se ad esempio partiamo dall’origine e
applichiamo una M>0 allora α& & > 0 e quindi α& è crescente. Se aumentiamo u la disponibilità di
coppia è maggiore e dunque le parabole si aprono. Al limite, se u fosse infinito le parabole
diventerebbero rette verticali ottenendo così un impulso. Infatti avremmo variazione di α& senza
variazione di α. Se u fosse nulla avremmo rette orizzontali, ovvero α& non cambierebbe mai.
α& sono nulli poiché si vuole partire ed arrivare con velocità nulla. Inoltre
Solitamente α& 0 ed f
spesso α0 o αf viene posto a zero perché basta traslare il sistema di assi per riportarci alla
condizione reale nel caso in cui entrambi non fossero nulli.
Consideriamo il caso in cui u sia infinito:
partenza
M>0
α&
arrivo 3 2
58
α
1 M>0 partenza
0 α
M

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Consideriamo ora un andamento reale, ovvero con coppia massima limitata:
α&
59
M>0 ad umax
arrivo M>0 ad u

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
60
α&
α0
α
1
retta α&
= − α
k
Quando si giunge sulla retta cambia il segno di u, quindi si passa su di una parabola come la prima
ma speculare e traslata (non è simmetrica rispetto all’origine); ci si avvicina perciò sempre più
all’origine. k è quindi indice dello smorzamento. Ci vorrebbe però un numero infinito di passi per
giungere nell’origine.
Se però tracciamo una parabola dall’origine che intersechi la prima e calcoliamo il coefficiente
angolare k della retta passante per l’origine ed il punto di intersezione giungiamo nell’origine in due
passi. Dovremmo però compiere il calcolo per ogni α0. Se però ricordiamo che per α& 0 nullo si ha:
e prendiamo:
1
α = α&
2u
⎛ 1
= −u
sign⎜
α − α&
α&
⎝ 2u
u max
troviamo il punto di commutazione in modo automatico:
curva di commutazione α0 α
Si dimostra essere la più rapida legge di controllo per partire ed arrivare fermi. Il sistema accelera al
massimo fino a metà e poi decelera al massimo fino al punto di arrivo, dove si spegnerà il sistema di
controllo. Il tempo è implicito nella legge di controllo e si ha solo una retroazione su α ed α& .
Consideriamo infine una manovra per ottimizzare il consumo. Occorre in questo caso fissare un
tempo massimo di manovra. Può essere visto come una manovra a tempo minimo con tratti ad
α& costanti:
2
α&
⎞
⎟
⎠

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
α&
Il cambio di parabola avviene in un tempo finito. Se poniamo tmax pari al tempo minimo otteniamo
il controllo a tempo minimo. Anche in questo caso conviene avere u=umax. Dunque fissare tmax
equivale a fissare α& max .
Ricordiamo che tutto ciò vale solo se compiamo una rotazione attorno ad un asse principale
d’inerzia; in caso contrario avremmo dovuto compiere l’ottimizzazione considerando il vincolo non
lineare delle intere equazione di Eulero.
61
α0
α

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Controllo non lineare tramite attuatori a getto a spinta costante
Tenendo presente il comportamento del satellite visualizzato nel piano di fase, è possibile impostare
un sistema di controllo non lineare disaccoppiato su ogni asse. Il controllo non è effettuato tramite
un controllore lineare (es. PD) ma attraverso una combinazione della variabile angolare ϑ e della
sua derivata dϑ. In particolare un blocco denominato “Schmitt trigger” controlla il valore della
variabile ϑ+τdϑ. Supponiamo, a titolo di esempio, che ϑ+τdϑ risulti oltre il valore limite uon. In tal
caso gli attuatori vengono accesi fino a che la variabile ϑ+τdϑ raggiunge il valore limite di
spegnimento uoff.
ϑ c
+
-
-uon
ε = ϑ + τ & ϑ
Schmitt trigger
-uoff
U
1+τs
62
uoff
I valori uon, uoff sono determinabili a partire dalle richieste di angolo di errore massimo ϑmax,
velocità angolare massima dϑmax e della costante τ. Dall’intersezione tra la parabola, rappresentante
il comportamento nel piano di fase del satellite controllato, e della retta orizzontale di ordinata pari
alla velocità angolare massima, possiamo ricavare ϑ1, ascissa del punto di intersezione delle due
curve:
uon
dϑ
ϑ1 = ϑmax
−
2u
dove uc = M/I è il comando di controllo. La retta di commutazione corrispondente all’accensione
dei razzetti deve passare per il punto (ϑ1, dϑmax) e avere pendenza pari a −1/τ. Il valore di τ può
essere scelto arbitrariamente, analizzando il comportamento del controllo. I valori di uon e uoff sono
quindi determinabili dalle relazioni:
uon = τdϑ+ϑ1
uoff = −τdϑ+ϑ1
Per simmetria è possibile ricavare i valori di accensione e spegnimento in direzione opposta. Sul
piano di fase, in assenza di disturbi e di errori sui sensori, la soluzione deve convergere a un ciclo
limite contenuto tra i valori −ϑmax/+ϑmax e −dϑmax/+dϑmax.
2
max
c
ε
1
I ⋅ s
2
ϑ

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
ε = u off
− ϑmax
ε = uon
ϑ &
ε = −u
on
ϑmax &
ϑmax & −
63
ϑ max
ε = −u
off
Nel transitorio, per errori grandi sugli angoli e sule velocità angolari, il controllo commuta tra valori
positivi e negativi seguendo la medesima logica, e a condizione di scegliere il parametro τ col segno
corretto il diagramma nel piano di fase tenderà a convergere al ciclo limite appena individuato.
Considerando l’inevitabile presenza di errori sui sensori ed i ritardi nell’applicazione della legge di
controllo, le commutazioni del controllo da valori positivi a nulli e/o negativi non avverranno
istantaneamente sulle linee di commutazione progettate, ed il ciclo limite reale a cui sarà soggetto il
moto angolare del satellite non sarà esattamente sovrapposto al ciclo di ideale di progetto, ma si
discosterà leggermente da esso come illustrato nell’esempio della figura seguente.
ϑ l
ϑ

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
dθ/dt
0.03
0.02
0.01
0
-0.01
-0.02
-0.03
Diagramma effettivo nel piano di fase
-θ max
-0.1 -0.05 0
θ
0.05 0.1
64
θ max
dθ max
-dθ max
Una alternativa al procedimento appena illustrato è costituita dal cosiddetto “modulatore PWPF”
(Pulse-Width-Pulse-Frequency Modulator), che varia sia la durata che la frequenza di accensione
dei razzetti. Tale modulazione è ottenuta, come riportato nel diagramma sottostante, integrando i
segnali di richesta di azione di controllo fino a quando non si superi la soglia di accensione uon.
legge di
controllo
+
-
E
k
1+ τs
Modulatore PWPF
U
umax
Uc -uon -uoff
Uc U
-umax
uoff
uon
comando
attuatori
Quando il modulatore PWPF fornisce un comando effettivo al satellite, la coppia generata viene
sottratta alla richiesta del controllore prima di essere filtrata dall’integratore. Dato che
verosimilmente la coppia Uc sarà superiore alla richiesta del controllore, il segnale integrato
cambierà segno e pertanto dopo un breve intervallo temporale il modulatore PWPF interrompe
l’azione di controllo. In tali condizioni si ripristina il comportamento iniziale del modulatore, fino al
successivo superamento della soglia di accensione. La separazione temporale tra due impulsi di
controllo dipende dalla legge di controllo selezionata, mentre la durata di ciascun impulso di
controllo dipende dal valore di coppia massima disponibile Uc. Ipotizzando una richiesta di
controllo costante, l’andamento temporale della risposta del satellite può essere schematizzata come
segue.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
contr.
E
Uc
U
1
0.5
0
0
1
0.5
1 2 3 4 5
t
6 7 8 9 10
0
-0.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
t
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
t
0.5
0
0 1 2 3 4 5
t
6 7 8 9 10
65

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Sistemi di smorzamento passivo
È possibile fare una distinzione fra il controllo per variare l’assetto del satellite (manovra) e il
controllo della stabilità; infatti i controlli di manovra permettono anche di controllare la stabilità
mentre i controllori di stabilità non permettono il controllo di manovra perché in genere sono
sistemi passivi. Esistono infatti degli smorzatori che permettono di annullare le oscillazioni in modo
passivo.
Vediamo degli esempi sui moti di nutazione (moto conico dell’asse di rotazione) e librazione (moto
pendolare attorno all’asse di rotazione che nasce con i gradienti di gravità) del satellite. Questi
sistemi non permettono di fare manovre e anzi in alcuni casi potrebbero anche ostacolarle.
In genere gli smorzatori di nutazione si basano su effetti viscosi, cioè mettendo in rotazione un
fluido viscoso quando si deve smorzare il movimento.
Considerando un satellite a doppio spin con velocità angolare nominale attorno all’asse z, la
nutazione si manifesta come oscillazioni di x e y, quindi si può pensare di smorzarla usando un
anello di fluido attorno all’asse x. Essendo le equazioni x e y accoppiate indirettamente si controlla
anche l’asse y:
X
Se consideriamo l’anello fermo (ruota di reazione) possiamo scrivere le seguenti equazioni:
h =
Z
( I ω + I ω ) i + I ω j + ( I ω + I ω )
x
( I − I )
⎧I
ω&
x x + z
⎪
⎪I
ω&
y y + x
⎪
⎨I
ω&
+ I ω&
z z r r +
⎪
⎪
Irω&
r = 0
⎪
⎩
If
ω&
f + c x
x
f
y
( I − I )
z
ω ω
ω ω
( I − I )
y
( ω + ω )
f
f
z
x
y
z
x
= 0
66
y
+ I ω ω
− I ω ω
ω ω
x
r
r
r
r
y
y
x
+ I ω&
+ I ω ω
− I ω ω
dove c è il coefficiente di dissipazione viscosa che è moltiplicato per la velocità angolare assoluta e
non per quella relativa.
Linearizzando le equazioni otteniamo:
y
z
f
z
f
f
f
f
r
f
y
r
k
= 0
z
= 0
Y
= 0

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
⎧I
ω&
x x + z
⎪
⎪I
ω&
y y +
⎪
⎨I
ω&
f f +
⎪I
ω&
z z + Irω&
⎪
⎪I
ω&
= 0
⎩ r r
( I − I )
( Ix
− Iz
) ωx
c(
ω + ω )
r
f
y
= 0
ω ω
x
z
y
ω − I ω ω + I ω ω = 0
z
= 0
67
+ I ω ω
r
r
r
r
y
x
+ I ω&
Le ultime due equazione ci danno il movimento attorno a z, le prime tre invece rappresentano un
movimento smorzato in cui lo smorzamento dipende solo da c.
Il luogo delle radici di questo sistema è:
Se quindi c è troppo elevato la soluzione è troppo poco smorzata.
Se ω z è nullo e If

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
La velocità dipenderà anche dalla velocità del pendolo.
z
Esistono anche dispositivi semiattivi. Per smorzare la nutazione è possibile agire su ω o su h. Si può
agire su h con i razzetti. Per riallineare ω ed h si genera un impulso con i razzetti quando la fase è
corretta:
È anche possibile compiere manovre modificando in due tempi h con la stessa tecnica:
F
h h h h
ω ω ω
ω
impulso impulso
Per il moto di librazione si utilizzano sistemi passivi per smorzare le oscillazioni di αz:
α& &
z
68
R
2
+ 3K pn
αz
= 0
y
αz x
La velocità angolare è n + α&
z . In questo caso agire solo sulla velocità angolare non è molto utile
perché la velocità non cambia mai segno se n > α&
z sempre. Dobbiamo quindi agire solo su α& z .
h
ω
y

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
A questo scopo si può usare un magnete permanente immerso in un fluido, che tende a rimanere
allineato con la radiale.
Anche per il controllo della librazione si può usare un sistema semiattivo:
y
x
Avvicinando e allontanando la massa si controlla l’effetto delle coppie di gradiente di gravità e
quindi la librazione.
Una interessante modalità di smorzamento si basa sul principio di conservazione del momento della
quantità di moto, per una configurazione in cui la massa di estremità possa essere allontanata e/o
avvicinata al corpo del satellite. Se la massa è estesa il momento della quantità di moto vale:
Se la massa è retratta invece si ha:
Essendo h costante si ottiene:
Essendo inoltre Ir

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Quindi, considerando α& z0
negativo otterremo:
I
I
z
r
( n − α&
z0
) = Ir
( n − α&
z1
)
( n + α&
) = I ( n + α&
) ⇒ I ( n + α&
) = I ( n + α&
)
z2
imponendo che α& z2
sia nullo si ricava:
da cui:
I
I
z
r
( n − α&
)
I
=
z
z0
z
α&
( 2n − α&
)
2n
z1
z3
=
70
r
( I − I )
z
I
r
r
( I I )
⎛
I n z −
= r ⎜ −
⎝ Ir
z0
r
n
z1
z
z3
n ⎞ ⎛ 2I I
I n r − z ⎞
⎟ = r ⎜
I ⎟
⎠ ⎝ r ⎠
ottenendo così il valore di Ir necessario a smorzare completamente la librazione mediante 2 sole
manovre.
L’operazione nel caso migliore dura mezza oscillazione di librazione e nel caso peggiore 1.5 periodi
3n Kp
≅ 1 , ovvero vi sono 1.7 oscillazioni in
di librazione, che ha una frequenza di circa ( )
un’orbita e quindi la manovra dura quasi un’orbita.

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Smorzamento della velocità di spin all’espulsione dal lanciatore
Quando il satellite è espulso dal lanciatore spesso possiede una velocità di spin non voluta, e
comunque per acquisire l’assetto corretto viene prima fermato e poi fatto ripartire.
Oltre ai sistemi di controllo attivo, basati sui principi visti in precedenza, possono essere utilizzati
sistemi passivi per il despinnaggio. Un metodo passivo consiste nell’utilizzo di masse in moto, che
annullino il momento della quantità di moto posseduta dal satellite.
Supponiamo che il satellite abbia una velocità di spin diretta come l’asse z, e ipotizziamo per
semplicità una forma cilindrica. Poniamo due masse ancorate al satellite e avvolte con un filo sul
satellite. Sganciando le masse mentre il satellite è in rotazione una parte del filo si stacca dalla
superficie:
y
ωz
m x
R
Consideriamo il sistema mobile (j,k) in cui l’asse j individua il punto di contatto del filo con la
superficie del satellite; sia ϕ l’angolo del punto di tangenza del filo rispetto all’asse x in ogni istante
e ϕ& la velocità angolare della terna mobile.
All’istante iniziale è:
h
T
0
0
=
=
71
k
2 ( Iz
+ 2mR
) ω0
2
2 ω0
( Iz
+ 2mR
)
2
dove Iz è il momento d’inerzia del solo satellite e mR 2 è il contributo al momento d’inerzia dato da
una massa.
In un istante generico occorre valutare la velocità della massa m:
Si ottiene perciò:
⎧Rϕ
v = ⎨
⎩−
R
r = R j − Rϕk
v = r&
+ ω ∧ r
ω = ω + ϕ&
z
( ω + ϕ&
z )
ϕ&
+ R(
ω + ϕ&
)
z
y
= Rω
z
j
ϕ
x

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Il momento della quantità di moto di una singola massa, che sarà diretto come z, è:
h
T
m
m
=
( z
z
2
ϕ ) m
m 2 2 2 ( R ω + R ( ω
2 2
+ ϕ&
) ϕ )
2 2
( r ∧ v)
m = R ω + R ( ω + ϕ&
)
1
= mv
⋅ v =
2 2
Essendo h e T costanti nel tempo, uguagliando queste espressioni a quelle iniziali:
h
T
0
0
=
=
72
z
2
2
2
( Iz
+ 2mR
) ω0
= Izωz
+ 2mR
( ωz
+ ϕ ( ωz
+ ϕ&
) )
( I
2
2 ω0
+ 2mR
)
2
2
Izωz
2mR
2 2
= + ( ω + ϕ ( ω
2
+ ϕ&
) )
nelle quali sono stati introdotti i termini del solo satellite.
z
Considerando le due equazioni insieme abbiamo come variabili ωz e ϕ& :
2
2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2
2
2
2 2
Iz
+ 2mR
ω0
= Iz
+ 2mR
ωz
+ 2mR
ϕ ωz
+ ϕ&
2 2 2
2 2
2 2
I + 2mR
ω = I ω + 2mR
ω + 2mR
ϕ ω + ϕ&
z
0
z
z
Considerando l’inerzia totale iniziale rapportata all’inerzia iniziale delle due masse si ottiene il
parametro:
Quindi le equazioni sono:
⎪⎧
aω
⎨
⎪⎩ aω
0
2
0
⎪⎧
a
⇒ ⎨
⎪⎩ a
⇒
⇒
⇒
a =
2
z
2 ( I + 2mR
)
z
2mR
2
= aωz
+ ϕ ( ωz
+ ϕ&
)
2 2
2
= aωz
+ ϕ ( ωz
+ ϕ&
)
2
( ω − ω ) = ϕ ( ω + ϕ&
)
2 2 2
( ω − ω ) = ϕ ( ω + ϕ&
)
2
⎪⎧
a(
ω0
− ωz
) = ϕ ( ωz
+ ϕ&
)
⎨
2
⎪⎩ a(
ω0
− ωz
)( ω0
+ ωz
) = ϕ ( ωz
+ ϕ&
)
2
2
2
ϕ ( ωz
+ ϕ&
)( ω0
+ ωz
) = ϕ ( ωz
+ ϕ&
)
( ω + ω ) = ( ω + ϕ&
)
0
0
0
⇒ ϕ&
= ω
Quindi il filo si srotola a velocità costante e pari alla velocità angolare iniziale.
Possiamo quindi sostituire:
Quindi si ricava:
0
z
z
z
ϕ = ω
z
z
z
2
( ϕ = 0)
0 t 0
2
z
z
2
z
z

Dinamica e controllo d’assetto Appunti del corso
Essendo:
a
2 2
( ω − ω ) = ω t ( ω + ω )
ω
ω
z
z
0
2 2 ( ω t + a)
0
z
a − ω t
=
a + ω
2 2
0
2 2
0t
73
0
= aω
ω
0
ϕ = ω t
0
L = Rϕ
0
z
− ω t
dove L è la lunghezza del filo srotolato, si può anche ricavare:
ω
z
a − R
=
a + R
2
2
2
L
ω 2
L
Possiamo così calcolare il tempo dalla prima forma di ωz ed il valore di L dalla seconda forma di ωz
necessari ad avere ωz=0:
a
t =
ω
L = R
La lunghezza non dipende quindi dalla velocità iniziale e quindi questo sistema funziona
correttamente anche se non è conosciuta con precisione la velocità iniziale.
Per avere una velocità non nulla occorre risolvere l’equazione e conoscere con precisione la velocità
iniziale.
0
a
3
0
0
2
0