Appunti del corso di Dinamica e controllo d'assetto Parte 2: Sistemi ...
Appunti del corso di Dinamica e controllo d'assetto Parte 2: Sistemi ...
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<strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong> <strong>di</strong><br />
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto<br />
tenuto presso il Politecnico <strong>di</strong> Milano<br />
dal Prof. Franco Bernelli Zazzera<br />
<strong>Parte</strong> 2:<br />
<strong>Sistemi</strong> <strong>di</strong> determinazione e <strong>controllo</strong> d’assetto
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Nota per il lettore<br />
Questi appunti rappresentano un ausilio per la preparazione <strong>del</strong>l’esame <strong>di</strong> “<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong><br />
d’assetto”, ma non sono intesi come sostitutivi dei libri <strong>di</strong> testo consigliati nel programma ufficiale<br />
<strong>del</strong> <strong>corso</strong>, <strong>di</strong> cui si suggerisce vivamente la consultazione.<br />
L’evoluzione tecnologica rende <strong>di</strong>sponibili con continuità nuovi mo<strong>del</strong>li <strong>di</strong> sensori utilizzati per la<br />
misura <strong>del</strong>l’assetto <strong>di</strong> un satellite. In queste note, pertanto, verranno illustrati i concetti <strong>di</strong> base ed i<br />
principi <strong>di</strong> funzionamento dei principali sensori, e si raccomanda al lettore <strong>di</strong> consultare i cataloghi<br />
dei produttori per avere informazioni sugli effettivi schemi costruttivi. Tra i tanti, si citano i<br />
seguenti siti internet, <strong>di</strong>sponibili al momento <strong>del</strong>la stesura <strong>di</strong> queste note (<strong>di</strong>cembre 2004):<br />
www.aeroastro.com, www.astrofein.com, www.ball.com, www.dynacon.ca, www.esi<strong>di</strong>rectory.org,<br />
www.honeywellaerospace.com, www.northropgrumman.com, www.oss.goodrich.com, www.ssc.se,<br />
www.sodern.fr, www.galileoavionica.it, www.sunspace.co.za, www.tel<strong>di</strong>x.de, www.zarmtechnik.de.<br />
Ringraziamenti<br />
Esprimo un sentito e doveroso ringraziamento a Ivan Ferrario e Mauro Massari, il cui <strong>di</strong>ligente<br />
lavoro <strong>di</strong> trascrittura <strong>di</strong> alcune mie lezioni ha dato un impulso decisivo alla stesura <strong>di</strong> questi appunti.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
In<strong>di</strong>ce<br />
Sensori <strong>di</strong> assetto..................................................................................................................................1<br />
Sensori <strong>di</strong> sole ..................................................................................................................................1<br />
Sensori <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole...........................................................................................................2<br />
Sensori <strong>di</strong> posizione <strong>di</strong> sole..........................................................................................................4<br />
Uso <strong>di</strong> sensori <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> Sole su satelliti spinnati ................................................................9<br />
Sensori <strong>di</strong> orizzonte o <strong>di</strong> Terra.......................................................................................................12<br />
Sensore <strong>di</strong> campo magnetico..........................................................................................................15<br />
Sensori <strong>di</strong> stelle ..............................................................................................................................20<br />
Uso <strong>di</strong> ricevitori GPS per la misura <strong>di</strong> assetto ...............................................................................23<br />
Sensori giroscopici.........................................................................................................................25<br />
Sensori giroscopici meccanici....................................................................................................25<br />
Sensori giroscopici laser ............................................................................................................27<br />
Sensori giroscopici piezoelettrici...............................................................................................28<br />
Determinazione <strong>del</strong>l’assetto...............................................................................................................30<br />
Meto<strong>di</strong> geometrici..........................................................................................................................30<br />
Meto<strong>di</strong> algebrici .............................................................................................................................32<br />
Meto<strong>di</strong> statistici..............................................................................................................................34<br />
Attuatori per il <strong>controllo</strong> <strong>di</strong> assetto ....................................................................................................36<br />
Razzetti per il <strong>controllo</strong> d’assetto...................................................................................................36<br />
Ruote d’inerzia e <strong>di</strong> reazione .........................................................................................................39<br />
Attuatori magnetici ........................................................................................................................45<br />
Esempio <strong>di</strong> sistema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> <strong>di</strong> un satellite con ruote d’inerzia e <strong>di</strong> reazione..........................48<br />
Generalizzazione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> ..................................................................................52<br />
Manovre in tempo minimo.............................................................................................................57<br />
Controllo non lineare tramite attuatori a getto a spinta costante....................................................62<br />
<strong>Sistemi</strong> <strong>di</strong> smorzamento passivo....................................................................................................66<br />
Smorzamento <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> spin all’espulsione dal lanciatore .................................................71
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori <strong>di</strong> assetto<br />
Sensori <strong>di</strong> sole<br />
Sono basati su materiali che emettono una corrente quando vengono illuminati dai raggi luminosi.<br />
Misurando le correnti emesse è possibile ricavare l’angolo <strong>di</strong> incidenza dei raggi luminosi sul<br />
materiale:<br />
θ<br />
I 0<br />
= I cosϑ<br />
= αSW<br />
cosθ<br />
dove S è la superficie, α un coefficiente e W l’intensità <strong>del</strong>la<br />
ra<strong>di</strong>azione incidente<br />
In genere si posizionano le superfici con angoli opportuni per ottenere <strong>di</strong>fferenti informazioni.<br />
Possiamo <strong>di</strong>stinguere questi sensori in tre categorie:<br />
• quelli <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole in una certa zona che non danno la posizione se non in modo<br />
approssimato<br />
• quelli che danno la posizione <strong>del</strong> sole<br />
• quelli fini che danno la posizione <strong>del</strong> sole in modo molto preciso<br />
Ogni sensore ha un certo campo <strong>di</strong> vista che parte dalla <strong>di</strong>rezione normale al sensore come zero.<br />
Inoltre la misura fatta nel sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong> sensore deve essere portata in un unico sistema<br />
<strong>di</strong> riferimento per il satellite (assi principali d’inerzia).<br />
Z<br />
X<br />
1<br />
Satellite<br />
Sensore<br />
Y<br />
Campo <strong>di</strong> vista<br />
Il sensore <strong>di</strong> sole può essere calibrato in funzione <strong>del</strong> tipo <strong>di</strong> missione che il satellite deve compiere.<br />
In orbite geocentriche il sensore vede il sole sempre sotto un angolo <strong>di</strong> circa 0,53°, <strong>di</strong>ametro<br />
apparente <strong>del</strong> sole ad 1AU, mentre con orbite interplanetarie l’angolo varia in funzione <strong>del</strong>la<br />
posizione. In genere i sensori <strong>di</strong> sole vengono calibrati per orbite geocentriche.<br />
Sono <strong>di</strong>ffusissimi e vengono utilizzati oltre che per determinare l’assetto anche per orientare i<br />
pannelli solari e proteggere o esporre alla ra<strong>di</strong>azione solare parti <strong>del</strong> satellite (strumenti).
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora alcune geometrie tipiche dei sensori <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole. Sono sensori <strong>di</strong> tipo binario: o<br />
il sole c’è o non c’è. La legge <strong>del</strong> coseno non va bene perché ad alcune incidenze la fotocellula non<br />
è completamente illuminata a causa per esempio dei supporti. Allora si usano più celle orientate in<br />
modo opportuno, come per esempio il seguente caso:<br />
Quando il sole si sposta si illumina una sola cella o entrambe o nessuna. Compiendo quin<strong>di</strong> una<br />
lettura comparativa dei segnali <strong>del</strong>le due celle otteniamo l’informazione sulla presenza <strong>del</strong> sole ed<br />
anche sulla posizione approssimativa.<br />
Possiamo pensare <strong>di</strong> usare la rifrazione con un prisma:<br />
γ<br />
Se n sin γ = 1,<br />
essendo n l’in<strong>di</strong>ce <strong>di</strong> rifrazione <strong>del</strong> prisma, la ra<strong>di</strong>azione non passa nella fotocellula<br />
perché è rifratta dal prisma. Se la ra<strong>di</strong>azione è inclinata su una fotocellula l’incidenza sarà maggiore<br />
<strong>di</strong> γ e sull’altra sarà minore, quin<strong>di</strong> su un lato è assorbita e sull’altro è riflessa.<br />
Ve<strong>di</strong>amo un’altra geometria:<br />
fotocellule<br />
specchi<br />
2<br />
γ<br />
specchi<br />
fotocellule
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Quando il sole si sposta, la superficie riflettente colpita è sempre maggiore fino a quando tutto il<br />
sole si sposta sulla superficie riflettente. Da questo punto in poi il segnale fornito dal sensore è<br />
sempre lo stesso anche se il sole si sposta, in questa situazione si <strong>di</strong>ce che il sensore è saturo.<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora un altro sensore binario:<br />
Fotocellula<br />
3<br />
Fessure<br />
Quando il raggio <strong>di</strong> luce passa in entrambe le fessure allora il sole è nel piano <strong>del</strong>le due fessure e in<br />
un certo angolo dato dal campo <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> sensore, come si nota da questa vista laterale:
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori <strong>di</strong> posizione <strong>di</strong> sole<br />
Se ne in<strong>di</strong>viduano due categorie: sensori analogici e sensori <strong>di</strong>gitali. Consideriamo per primi quelli<br />
analogici.<br />
Usando la legge <strong>del</strong> coseno non <strong>di</strong>stinguiamo gli angoli positivi da quelli negativi e inoltre piccoli<br />
errori vicino allo zero <strong>del</strong> sensore (verticale) ci danno gran<strong>di</strong> errori sulla valutazione <strong>del</strong>l’angolo<br />
perché la variazione <strong>del</strong> coseno è molto piccola vicino a zero:<br />
θ<br />
Il problema si può risolvere usando due fotocellule inclinate <strong>di</strong> un angolo rispetto alla verticale<br />
(zero):<br />
+θ<br />
α α<br />
1 2<br />
4<br />
-θ<br />
I<br />
schermi<br />
Ve<strong>di</strong>amo l’intensità <strong>di</strong> corrente emessa dalle due fotocellule, supponendo che ci siano degli schermi<br />
il segnale viene troncato agli estremi <strong>del</strong> campo:<br />
I<br />
2 1<br />
-α α θ<br />
Se ora facciamo la <strong>di</strong>fferenza tra il segnale <strong>di</strong> sinistra e quello <strong>di</strong> destra avremo:<br />
θ
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
La curva ottenuta è:<br />
cos<br />
I<br />
( θ −α ) − cos(<br />
θ + α ) = cosθ<br />
cosα<br />
+ sinθsinα − cosθ<br />
cosα<br />
+ sinθsinα<br />
= 2sinθsinα<br />
= cost<br />
⋅ sinθ<br />
dove la costante 2sinα <strong>di</strong>pende dalla geometria <strong>del</strong> sensore. L’uscita è quin<strong>di</strong> sinusoidale.<br />
Se l’angolo α è grande allora il campo <strong>di</strong> funzionamento si restringe. Quando i dati sono nel campo<br />
esterno allora non devo usare il sensore.<br />
Con due celle ricavo informazioni sulla posizione <strong>del</strong> sole nel piano <strong>del</strong>le celle, mentre per ottenere<br />
informazioni sulla posizione nello spazio devo usare quattro celle in posizione opportuna:<br />
2 1<br />
3 4<br />
I lati proiettano un’ombra sulle celle. Vi è in alternativa la possibilità <strong>di</strong> non avere i lati <strong>del</strong>la scatola<br />
ma uno schermo su supporti posto centralmente.<br />
Per avere informazioni ogni cella deve essere illuminata.<br />
Per ogni cella vale:<br />
I = cA<br />
A<br />
0<br />
= f<br />
5<br />
⋅i<br />
⋅ n<br />
( ϑ,<br />
ϕ)<br />
A0 è l’area illuminata ed è funzione <strong>del</strong>la <strong>di</strong>rezione a causa <strong>del</strong>la geometria. Leggendo i dati si può<br />
risalire agli angoli, infatti se una cella è sempre illuminata da essa si ricava il prodotto i n e dalle<br />
altre ricavo le A0 e quin<strong>di</strong> gli angoli grazie alla geometria.<br />
Esistono anche sensori <strong>di</strong>gitali che danno una informazione <strong>di</strong> tipo binario. Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> come<br />
deco<strong>di</strong>ficare da analogico a binario:<br />
0<br />
θ
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Analogico Binario Analogico Binario<br />
0 0000 8 1000<br />
1 0001 9 1001<br />
2 0010 10 1010<br />
3 0011 11 1011<br />
4 0100 12 1100<br />
5 0101 13 1101<br />
6 0110 14 1110<br />
7 0111 15 1111<br />
Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> come costruire il sensore (ogni striscia corrisponde ad un bit):<br />
6<br />
Metà striscia<br />
Le celle sono tutte uguali ma si mascherano opportunamente e in questo modo, mettendole sul<br />
fondo <strong>di</strong> una scatola su cui è stata fatta una fessura, il raggio <strong>di</strong> sole proietta una linea sulle strisce e<br />
questa fa produrre alle celle <strong>del</strong>la corrente che può essere interpretata come la presenza <strong>di</strong> un uno<br />
nel bit. La striscia con la griglia più fine è il bit meno significativo (LSB), quella con la griglia più<br />
grossolana è il bit più significativo (MSB).<br />
Questo sensore funziona quando il sole è nel piano perpen<strong>di</strong>colare alla fessura poiché altrimenti<br />
potremmo avere fotocellule non illuminate anche se non legate alla posizione <strong>del</strong> sole e quin<strong>di</strong> si<br />
affianca ad un sensore <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole a fessura con la fessura ortogonale a quella <strong>di</strong> questo<br />
sensore.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Se quello con fessura verticale vede il sole comanda la lettura <strong>del</strong> secondo sensore.<br />
Il sole è visto sotto un angolo <strong>di</strong> circa mezzo grado, quin<strong>di</strong> la striscia proiettata è larga circa mezzo<br />
grado, perciò la grigliatura <strong>del</strong>le strisce deve essere grande quanto l’immagine <strong>del</strong>la fessura, quin<strong>di</strong><br />
la grigliatura <strong>del</strong> LSB deve essere <strong>di</strong> mezzo grado. Il campo <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> sensore <strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> dal<br />
numero <strong>di</strong> strisce, ovvero dalla quantità <strong>di</strong> numeri binari rappresentabili con le strisce (7 bit per 64°<br />
8 bit per 128°, quin<strong>di</strong> non si superano gli otto bit perché andremmo oltre i 180°).<br />
Il primo bit però raramente riesce a dare un segnale nullo, perché è sempre parzialmente illuminato,<br />
devo quin<strong>di</strong> aggiungere una ulteriore striscia detta ATA (regolatore automatico <strong>di</strong> soglia).<br />
La striscia ATA è larga la metà <strong>del</strong>le altre ed è sempre scoperta. Confrontando l’uscita <strong>del</strong> LSB con<br />
quella <strong>del</strong>l’ATA, ottengo 1 quando quella <strong>del</strong>l’LSB è maggiore <strong>di</strong> quella <strong>del</strong>l’ATA. L’uscita<br />
<strong>del</strong>l’ATA è metà <strong>di</strong> quella massima <strong>del</strong>l’LSB e quin<strong>di</strong> ottengo un 1 se LSB è illuminato per più <strong>di</strong><br />
metà.<br />
Infatti sia j l’altezza <strong>del</strong>la grigliatura <strong>del</strong> LSB, k la larghezza <strong>del</strong>l’LSB e k/2 la larghezza <strong>del</strong>l’ATA.<br />
Si ottiene:<br />
I<br />
I<br />
ata<br />
lsb<br />
jk<br />
= α cosθ<br />
2<br />
= αxk<br />
cosθ<br />
dove x è la porzione <strong>di</strong> bit <strong>del</strong>l’LSB illuminata. Se Iata>Ibit significa che k/2>x quin<strong>di</strong> il bit viene<br />
posto a zero perché l’LSB è illuminata per meno <strong>di</strong> metà. Viceversa se Iata
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
In modo analogo, ciascuna striscia può essere confrontata con il segnale ATA per decidere se il bit<br />
corrispondente vada interpretato come 0 piuttosto che come 1.<br />
Questo mi permette <strong>di</strong> risolvere i problemi legati all’accavallamento e alla legge <strong>del</strong> coseno, ma<br />
quando l’immagine <strong>del</strong>la fessura è esattamente a cavallo <strong>di</strong> due bit gli errori mi danno dei risultati<br />
casuali.<br />
Se ad esempio la striscia <strong>di</strong> sole fosse al centro la lettura vera dovrebbe essere 0111 oppure 1000,<br />
ovvero 7 oppure 8. Se però il sole si sposta tra la lettura <strong>di</strong> una striscia e l’altra il risultato sarà in<br />
realtà 1111 oppure 0000, ovvero 15 oppure 0. Questo accade perché vi sono numeri decimali<br />
consecutivi che in co<strong>di</strong>fica binaria <strong>di</strong>fferiscono in tutti i bit.<br />
Per evitare questo devo fare in modo che i bit non cambino mai tutti insieme ma uno alla volta:<br />
Analogico Binario Gray<br />
0 0000 0000<br />
1 0001 0001<br />
2 0010 0011<br />
3 0011 0010<br />
4 0100 0110<br />
5 0101 0111<br />
6 0110 0101<br />
7 0111 0100<br />
8 1000 1100<br />
Questo è il co<strong>di</strong>ce Gray che ha un grigliatura grande il doppio rispetto al co<strong>di</strong>ce binario e consente<br />
<strong>di</strong> avere al massimo errori <strong>di</strong> un bit, ovvero <strong>di</strong> 0.5°:<br />
LSB MSB ATA<br />
Posizionando una striscia identica al bit meno significativo vicino ad esso, ma sfalsata <strong>di</strong> mezza<br />
unità, si migliora la risoluzione <strong>del</strong> sensore. Si leggono prima le strisce <strong>di</strong> base, si identifica l’intero<br />
e si legge poi separatamente quella <strong>del</strong>l’LSB e quella sfalsata; se queste danno la stessa lettura<br />
l’intero era corretto, altrimenti viene corretto <strong>di</strong> mezza unità, pari a ¼ <strong>di</strong> grado. È possibile<br />
aggiungere altre strisce sfalsate <strong>di</strong> quantità <strong>di</strong>verse, ma in genere non se ne usano più <strong>di</strong> tre,<br />
8
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ottenendo cosi una risoluzione <strong>di</strong> un ottavo <strong>di</strong> grado. Per ottenere risoluzioni maggiori si stu<strong>di</strong>ano i<br />
problemi in particolare cercando soluzioni personalizzate.<br />
Per avere un campo <strong>di</strong> vista <strong>di</strong> 180° devo usare due sensori, ma agli estremi <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> vista il<br />
segnale è debole e gli errori sono più gran<strong>di</strong>:<br />
Uso <strong>di</strong> sensori <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> Sole su satelliti spinnati<br />
Consideriamo ora un satellite spinnato con un sensore <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> sole a fessura sulla superficie<br />
laterale. Ad ogni giro <strong>del</strong> satellite si ricava un segnale dal sensore a meno che il sole non sia fuori<br />
dal cono visivo <strong>del</strong> sensore:<br />
9<br />
I<br />
È possibile ricostruire la posizione <strong>del</strong> sole sfruttando l’intervallo <strong>di</strong> tempo fra i segnali <strong>di</strong> più<br />
sensori o sfruttando un sensore con due fessure inclinate in modo <strong>di</strong>verso:<br />
∆t<br />
t
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
2 1<br />
Durante la rotazione dobbiamo proiettare la sfera celeste sulle coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> satellite:<br />
campo <strong>di</strong> vista 1 I1<br />
campo <strong>di</strong> vista 2<br />
to<br />
Sole<br />
θ θ T<br />
O I2<br />
A B<br />
t1 τ<br />
Il sistema <strong>di</strong> riferimento è centrato nel sensore e l’equatore è perpen<strong>di</strong>colare al sensore stesso.<br />
Notiamo inoltre che la linea <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> sensore 1 è perpen<strong>di</strong>colare all’equatore.<br />
L’intervallo T è legato alla velocità angolare, mentre l’intervallo τ è legato sia alla velocità angolare<br />
che all’inclinazione <strong>del</strong>le fessure.<br />
Osserviamo ora il triangolo sferico OABS:<br />
Abbiamo che:<br />
O β B<br />
β ˆ<br />
S<br />
10<br />
θ<br />
A<br />
equatore
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ω =<br />
AB = ωτ<br />
π<br />
B<br />
2<br />
π<br />
Â<br />
2<br />
ˆ = −ϑ<br />
=<br />
11<br />
2π<br />
/ T<br />
Con il teorema dei coseni si risale a β. Quin<strong>di</strong> ricavando τ e ω si ricava β, inoltre se le fessure<br />
hanno un certo campo <strong>di</strong> vista ci sono <strong>del</strong>le limitazioni dovute all’inclinazione <strong>del</strong>la seconda<br />
fessura.<br />
Quin<strong>di</strong> abbiamo <strong>del</strong>le relazioni per elaborare l’uscita <strong>del</strong> sensore, a partire dalla misura<br />
<strong>del</strong>l’intervallo <strong>di</strong> tempo τ:<br />
⎛ π ⎞ tgϑ<br />
tg⎜<br />
− β⎟<br />
=<br />
⎝ 2 ⎠ sin(<br />
ωτ)<br />
quin<strong>di</strong><br />
cotg β<br />
tg ϑ<br />
=<br />
sin<br />
( ωτ)<br />
Se volessimo, ad esempio in sede <strong>di</strong> simulazione, prevedere il comportamento <strong>del</strong>lo strumento e<br />
mo<strong>del</strong>larne il segnale in uscita, allora dovremmo valutare l’intervallo <strong>di</strong> tempo τ tramite la relazione<br />
τ =<br />
1<br />
sin<br />
ω<br />
−1<br />
( tgβ<br />
tg ϑ)<br />
Occorre interrogare il sensore con una <strong>di</strong>scretizzazione temporale inferiore alla durata <strong>del</strong>l’impulso,<br />
inoltre il τ misurato non è un impulso infinitesimo ma ha una durata. Abbiamo poi una relazione<br />
che tiene conto degli errori:<br />
dove:<br />
2 ⎡ tg<br />
cotg β = ⎢<br />
⎣<br />
( ϑ + ∆ϑ<br />
+ ε)<br />
− tgε cos(<br />
ωτ − δ)<br />
sin(<br />
ωτ − δ)<br />
2<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎦<br />
+ tg<br />
∆ ϑ errore sulla posizione relativa <strong>del</strong>le due fessure (non noto)<br />
δ errore <strong>di</strong> allineamento tra la fessura 1 e l’asse <strong>di</strong> spin<br />
ε errore sulla rotazione nel suo piano <strong>del</strong>la fessura 1<br />
In genere si usa l’espressione con gli errori per mo<strong>del</strong>lare il sensore e quella semplice per elaborare<br />
i risultati, tenendo inoltre conto dei problemi legati alla frequenza <strong>di</strong> campionamento.<br />
2<br />
ε
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori <strong>di</strong> orizzonte o <strong>di</strong> Terra<br />
Qualora il satellite sia in orbita attorno ad un corpo esteso, sapere che questo corpo si trova nel<br />
campo <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> sensore non è sufficiente per ottenere informazioni sull’assetto, ma occorre<br />
in<strong>di</strong>viduare il centro <strong>del</strong> corpo celeste. I sensori <strong>di</strong> orizzonte funzionano basandosi<br />
sull’in<strong>di</strong>viduazione <strong>del</strong>le zone <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> vista non illuminate (spazio profondo), e in genere non<br />
lavorano nel campo <strong>del</strong>la ra<strong>di</strong>azione visibile perché in esso vi sono molte interferenze; inoltre la<br />
<strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> segnale fra zona illuminata e non è molto grande e potrebbe dare problemi. Per un<br />
orbita bassa la Terra occupa il 40% <strong>del</strong>la sfera celeste, è quin<strong>di</strong> importante in<strong>di</strong>viduarne il centro:<br />
12<br />
B<br />
A C<br />
O<br />
Per in<strong>di</strong>viduare il centro sono necessarie due corde, quin<strong>di</strong> il sensore deve essere in grado <strong>di</strong><br />
in<strong>di</strong>viduare quattro punti sull’orizzonte <strong>del</strong>la terra. Il campo <strong>di</strong> vista <strong>del</strong> sensore è in genere limitato<br />
a pochi gra<strong>di</strong> (2°), ma esso è in grado <strong>di</strong> ruotare e quando il sensore interseca l’orizzonte <strong>del</strong>la terra<br />
comincia ad emettere un segnale che svanisce non appena il sensore lascia la terra:<br />
soglia<br />
D<br />
A B t<br />
Dato un riferimento sul satellite è possibile conoscere la posizione dei punti A e B e in modo<br />
analogo ricavare i punti C e D e quin<strong>di</strong> il centro <strong>del</strong>la terra. Ovviamente vi sono dei punti critici,<br />
infatti i punti A e B non sono ben in<strong>di</strong>viduabili poiché vi è un transitorio a causa <strong>del</strong> sensore e<br />
<strong>del</strong>l’interferenza <strong>del</strong>l’atmosfera. A questo problema si può ovviare considerando un valore <strong>di</strong> soglia<br />
oltre il quale si considera il segnale, in questo modo i punti A e B si trovano dove si ha<br />
l’attraversamento <strong>del</strong> valore <strong>di</strong> soglia. Il valore <strong>di</strong> soglia non è in genere assoluto ma <strong>di</strong>pende dal<br />
valore massimo <strong>del</strong> segnale <strong>del</strong> sensore, questo per ovviare ai problemi dovuti alla notte e al giorno.<br />
La parte <strong>del</strong> segnale compresa fra i punti A e B non è in realtà piatta perché in generale la <strong>di</strong>stanza<br />
tra il sensore e la zona <strong>del</strong> pianeta nel campo <strong>di</strong> vista non è costante durante la scansione, e quin<strong>di</strong> il<br />
segnale è <strong>di</strong> intensità variabile.<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora meglio come viene in<strong>di</strong>viduato il centro <strong>del</strong>la Terra ovvero l’arco CE nel <strong>di</strong>segno,<br />
quando la scansione <strong>del</strong> sensore non avviene sull’equatore locale <strong>del</strong> satellite:
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
C meri<strong>di</strong>ano passante per la mezzeria<br />
scansione<br />
A D B Ω/2<br />
O E A<br />
<strong>di</strong>sco terrestre E<br />
O<br />
sfera celeste<br />
Abbiamo il triangolo sferico CAEO <strong>di</strong> cui conosciamo CA e l’angolo Ĉ . Conoscendo la quota è<br />
noto anche l’arco AE che è il raggio apparente <strong>del</strong>la Terra, ed essendo θ l’angolo <strong>di</strong> inclinazione<br />
<strong>del</strong> sensore rispetto all’orizzonte <strong>del</strong> satellite si ha:<br />
Si ricava dalla geometria dei triangoli sferici che:<br />
π<br />
CA = γ ( latitu<strong>di</strong>ne)<br />
= − θ<br />
2<br />
Ω ω∆t<br />
Ĉ = = spazzato dal sensore = arco AD<br />
2 2<br />
AE = ρ<br />
Ω −1⎛<br />
cosρ<br />
− cos γ cosη<br />
⎞<br />
= cos ⎜<br />
⎟<br />
2 ⎝ sin γsin<br />
η ⎠<br />
da cui η =<br />
CE<br />
Un sensore <strong>di</strong> questo tipo è però molto pesante perché deve essere messo in rotazione con una<br />
velocità molto superiore a quella <strong>del</strong> satellite sull’orbita.<br />
Esistono anche sensori fissi che vedono il <strong>di</strong>sco terrestre nella sua interezza ed in<strong>di</strong>viduano il centro<br />
con due <strong>di</strong>ametri:<br />
13<br />
C
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Z<br />
4 3<br />
Quando la Terra è nel centro <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> vista i quattro sensori danno uscite uguali quin<strong>di</strong>:<br />
14<br />
1<br />
2<br />
( 1)<br />
− ( 2)<br />
= 0<br />
( 3)<br />
− ( 4)<br />
= 0<br />
Se il <strong>di</strong>sco è scentrato i sensori danno la traslazione <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco terrestre in due <strong>di</strong>rezioni ortogonali<br />
fra loro:<br />
( 1)<br />
− ( 2)<br />
= ∆z<br />
proporzionale<br />
a αy<br />
( 3)<br />
− ( 4)<br />
= ∆yproporzionale<br />
a αz<br />
y<br />
Sensore x<br />
z<br />
Per satelliti a semplice o doppio spin, con momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto nominale <strong>di</strong>retto come<br />
l’asse z, αz è sempre necessario perché l’equazione z è <strong>di</strong>saccoppiata da quelle x ed y; essendo<br />
queste ultime accoppiate basta la conoscenza <strong>di</strong> αx oppure <strong>di</strong> αy per risalire a quello mancante.<br />
Se il satellite è un puntatore terrestre e le rotazioni sono piccole questo sensore mi permette <strong>di</strong><br />
misurare gli angoli <strong>di</strong> <strong>di</strong>sallineamento αy e αz.<br />
Un sensore <strong>di</strong> questo genere non è in grado però <strong>di</strong> in<strong>di</strong>viduare rotazioni attorno ad x, inoltre è in<br />
grado <strong>di</strong> funzionare solo in un certo campo limitato <strong>di</strong> quote perché il corpo visto deve essere<br />
grande circa la metà <strong>del</strong>l’intero campo <strong>di</strong> vista per permettere spostamenti <strong>del</strong>la Terra in entrambi le<br />
<strong>di</strong>rezioni lungo i due assi, quin<strong>di</strong> in genere non è utilizzato su orbite ellittiche.<br />
Y
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensore <strong>di</strong> campo magnetico<br />
Esso è in grado <strong>di</strong> dare una informazione <strong>di</strong> carattere vettoriale. Il suo funzionamento si basa sulla<br />
conoscenza <strong>di</strong> un mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> campo magnetico terrestre, infatti conoscendo la posizione <strong>del</strong><br />
satellite si può ricavare il vettore <strong>di</strong> campo magnetico, misurato rispetto alla terra, dal mo<strong>del</strong>lo e,<br />
confrontandolo con quello misurato rispetto al satellite, ricavare l’assetto.<br />
Bm misurato<br />
B=A Bm<br />
dove A è l’assetto incognito<br />
Non è però semplice misurare un campo magnetico fisso, infatti è necessario usare corpi che si<br />
muovono in esso per ottenere <strong>del</strong>le misure (in genere si usano corpi rotanti). Inoltre una volta<br />
misurato il campo magnetico non è possibile ricavare una soluzione esatta per la matrice A dal<br />
confronto <strong>del</strong>la misura con il mo<strong>del</strong>lo, infatti la misura è affetta da errori <strong>di</strong> misura, mentre il<br />
mo<strong>del</strong>lo è affetto da errori dovuti alle approssimazioni. È quin<strong>di</strong> probabile che i due vettori da<br />
confrontare non abbiano nemmeno lo stesso modulo e quin<strong>di</strong> una soluzione esatta è impensabile.<br />
La precisione sulla soluzione <strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> anche dall’accuratezza <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo <strong>del</strong> campo<br />
magnetico, quin<strong>di</strong> per avere una buona misura d’assetto è necessario un mo<strong>del</strong>lo molto accurato <strong>del</strong><br />
campo magnetico. Per misurare il campo magnetico faccio ruotare un avvolgimento e misuro la<br />
corrente indotta in esso dal campo magnetico:<br />
dφ<br />
=<br />
dt<br />
I B<br />
dove φB è il flusso <strong>di</strong> campo magnetico e µ è la permeabilità magnetica.<br />
Asse <strong>di</strong> rotazione<br />
Misurando la corrente nella spira si ottiene una misura <strong>di</strong> questo tipo:<br />
15<br />
µ<br />
B
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Dovendo poi misurare la pendenza <strong>del</strong>la curva per ricavare il campo magnetico il proce<strong>di</strong>mento<br />
risulta troppo complicato.<br />
Ve<strong>di</strong>amo allora un metodo alternativo. Consideriamo due nuclei <strong>di</strong> materiale ferromagnetico con<br />
degli avvolgimenti fatti come in figura:<br />
Vp<br />
Hp1<br />
Ip nucleo 1<br />
Hp2<br />
Hest Vs<br />
16<br />
nucleo 2<br />
Nella parte <strong>di</strong> sinistra i due avvolgimenti sono avvolti in modo da indurre due campi uguali ed<br />
opposti nei 2 nuclei ferromagnetici, ed essendo:<br />
dφ<br />
V = −<br />
s<br />
( B + B )<br />
la tensione dovrebbe essere sempre nulla perché i due campi sono uguali ed opposti. Se però<br />
sommiamo ai due campi il campo magnetico terrestre nella parte destra il campo totale non è nullo<br />
e quin<strong>di</strong> induce una tensione.<br />
Le spire creano un vettore induzione H che in seguito crea il vettore campo magnetico B. Nel caso<br />
reale il legame fra i due è lineare con saturazione ed isteresi, ma noi consideriamo solo la<br />
saturazione.<br />
Sappiamo valere la seguente relazione:<br />
B<br />
1<br />
dt<br />
<strong>di</strong> dH<br />
V =<br />
L = −<br />
dt dt<br />
2<br />
H
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Quin<strong>di</strong> per ottenere il vettore induzione si alimenta in corrente e non in tensione. Usando una forma<br />
d’onda triangolare così da avere le derivate costanti e quin<strong>di</strong> Vs costante a tratti:<br />
i vettori induzione nei due nuclei ferromagnetici valgono:<br />
Hp1 Hp2<br />
Ip<br />
Occorre però introdurre la saturazione ed il campo esterno:<br />
H1<br />
Sat.<br />
Hest<br />
quin<strong>di</strong> i campi magnetici risultano:<br />
B1<br />
t t<br />
17<br />
H2<br />
B2<br />
t
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Possiamo ora sommare i due campi magnetici per trovare il campo nella parte destra:<br />
B1+B2<br />
zona in cui uno tra B1 o B2 è saturo<br />
zona in cui B1 e B2 non sono saturi<br />
zona in cui sia B1 che B2 sono saturi<br />
La tensione sull’avvolgimento <strong>del</strong>la parte destra è invece data dalla derivata <strong>del</strong> flusso <strong>di</strong> campo<br />
magnetico:<br />
Vs<br />
Dalla cadenza e dalla posizione degli impulsi posso ricavare Hest e quin<strong>di</strong> anche il campo magnetico<br />
esterno nella <strong>di</strong>rezione dei nuclei. L’altezza <strong>del</strong>la risposta <strong>di</strong>pende dal valore <strong>del</strong>la corrente <strong>di</strong><br />
alimentazione<br />
Notiamo che occorre conoscere il valore approssimativo <strong>del</strong> campo magnetico esterno per calibrare<br />
la saturazione. In effetti la durata <strong>del</strong>l’impulso ottenuto in risposta <strong>di</strong>pende dalla <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> tempo<br />
in cui un nucleo è saturo e l’altro non lo è. Se entrambi sono saturi o entrambi non sono saturi Vs<br />
risulta nulla. Si può quin<strong>di</strong> pensare <strong>di</strong> regolare a bordo l’intensità <strong>di</strong> corrente <strong>di</strong> alimentazione in<br />
base alle misure precedentemente <strong>del</strong> campo esterno, in modo da garantire la saturazione.<br />
Disponendo quin<strong>di</strong> tre coppie <strong>di</strong> nuclei come gli assi coor<strong>di</strong>nati faccio misure <strong>del</strong>l’intero vettore <strong>di</strong><br />
campo magnetico e realizzo un sensore a tre assi:<br />
18
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Occorre ora risalire all’assetto. Si conosce il Bx,y,z in assi corpo e il Bm <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo in un sistema <strong>di</strong><br />
riferimento standard, probabilmente raggio, longitu<strong>di</strong>ne e latitu<strong>di</strong>ne Br,ϕ,θ. Prima dobbiamo<br />
trasformare il Bm nelle coor<strong>di</strong>nate rispetto a cui misuro l’assetto, poi cerco la rotazione che mi porta<br />
Bx,y,z a coincidere con Bm:<br />
B<br />
x,<br />
y,<br />
z<br />
= A1A<br />
2B<br />
r,<br />
ϕ,<br />
ϑ<br />
Il sensore è sicuramente affetto da errori (trascuriamo l’isteresi), inoltre il B <strong>del</strong> mo<strong>del</strong>lo non è<br />
esattamente uguale a quello esterno. Per ricavare la matrice <strong>di</strong> rotazione è necessario minimizzare la<br />
<strong>di</strong>fferenza fra i due vettori componente per componente:<br />
B<br />
x,<br />
y,<br />
z<br />
− ABr,<br />
ϕ,<br />
ϑ<br />
19<br />
⎧e<br />
⎪<br />
= ⎨e<br />
⎪<br />
⎩e<br />
La soluzione non ci dà però una A sicuramente ortogonale; lo sarebbe se fosse risolta<br />
analiticamente e non numericamente (solitamente si utilizza un metodo <strong>di</strong> Newton usando la A<br />
calcolata al tempo precedente come con<strong>di</strong>zione iniziale <strong>del</strong> passo successivo).<br />
Anche trovando la matrice A corretta rimane comunque l’errore sui moduli che però può essere<br />
annullato ragionando con i versori:<br />
B<br />
B<br />
x,<br />
y,<br />
z<br />
x,<br />
y,<br />
z<br />
B<br />
− A<br />
B<br />
r,<br />
ϕ,<br />
ϑ<br />
r,<br />
ϕ,<br />
ϑ<br />
x<br />
z<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎭<br />
y<br />
⎧ex<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
= ⎨e<br />
y ⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩e<br />
z ⎭<br />
Inoltre va osservato che, col proce<strong>di</strong>mento appena visto, la rotazione attorno alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong><br />
vettore B resta indeterminata. Potremmo usare il modulo <strong>di</strong> B per ricavare la posizione sull’orbita,<br />
che però senza l’aiuto <strong>del</strong>la meccanica orbitale non sarebbe univoca, quin<strong>di</strong> è necessario usare<br />
entrambe le informazioni. Con questi sensori non si hanno precisioni superiori agli 0.2°.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori <strong>di</strong> stelle<br />
Con un sensore <strong>di</strong> sole si ottengono precisioni fino ad 1/8 <strong>di</strong> grado e vi sono sensori fini ancora<br />
migliori; non è però detto che il sole sia sempre visibile se si ha una parte <strong>del</strong>l’orbita in eclissi.<br />
Con i sensori <strong>di</strong> stelle invece è possibile risolvere questo problema, infatti scegliendo le stelle giuste<br />
non si trovano mai in eclissi; sono però molto costosi, non solo costruttivamente, ma anche in<br />
termini <strong>di</strong> operazioni da compiere per ottenere l’informazione.<br />
Le operazioni che deve compiere un sensore <strong>di</strong> stelle sono:<br />
fase 1: acquisizione <strong>del</strong>l’informazione<br />
fase 2: posizionamento <strong>del</strong>l’informazione nello spazio<br />
fase 3: interpretazione <strong>del</strong>l’informazione ( capire che stella ha visto) che richiede interazione con la<br />
mappa <strong>del</strong> cielo<br />
fase 4: calcolo <strong>del</strong>l’assetto<br />
La fase <strong>di</strong> interpretazione in un sensore <strong>di</strong> stelle è molto pesante ed ha bisogno <strong>di</strong> molte risorse <strong>di</strong><br />
calcolo e <strong>di</strong> energia, inoltre è necessario avere memorizzata una mappa <strong>del</strong> cielo che <strong>di</strong>a<br />
informazioni <strong>di</strong> posizione, luminosità e spettro <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>azione <strong>del</strong>le stelle.<br />
Il sensore <strong>di</strong> stelle è intrinsecamente preciso, ma è necessario fare un sensore molto sensibile che se<br />
usato con corpi molto luminosi si deteriora rapidamente. È possibile usare un sensore <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong><br />
sole per <strong>di</strong>sattivare il sensore <strong>di</strong> stelle quando è illuminato dal sole, ci sono però problemi legati<br />
anche alla riflessione <strong>del</strong>la ra<strong>di</strong>azione ad opera <strong>di</strong> altre parti <strong>del</strong> satellite. Essendo la ra<strong>di</strong>azione<br />
piccola gli strumenti sono complicati ed è possibile usare materiali fotomoltiplicatori per<br />
amplificare i segnali.<br />
I sensori moderni sono costruiti con una matrice <strong>di</strong> celle fotosensibili su cui viene proiettata<br />
l’immagine <strong>del</strong>le stelle:<br />
Anche con un campo <strong>di</strong> vista piccolo le stelle proiettate sono molte, allora si può pensare <strong>di</strong><br />
ancorare una stella e portarne l’immagine sullo zero.<br />
Il sensore si deve poter muovere, nel caso in cui il satellite si stia muovendo, ed è chiamato<br />
inseguitore <strong>di</strong> stelle (start tracker). Un’altra possibilità è quella <strong>di</strong> tenere il sensore fisso e ricostruire<br />
la mappa <strong>del</strong> settore <strong>di</strong> cielo osservato, ottenendo cosi uno star mapper. Il problema è quello <strong>di</strong><br />
avere una matrice fotosensibile sufficientemente fine.<br />
L’identificazione <strong>del</strong>l’assetto <strong>di</strong>pende dall’aver capito quale stella si stia guardando, ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong><br />
come identificare una stella.<br />
20
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Supponiamo <strong>di</strong> avere S stelle nel catalogo e O osservazioni <strong>del</strong> sensore, devo riuscire a trovare la<br />
trasformazione che mi porta dal sistema <strong>di</strong> riferimento <strong>del</strong>l’osservazione a quello <strong>del</strong> catalogo.<br />
Ô<br />
1<br />
2<br />
3<br />
n<br />
A<br />
Ô →O<br />
→ S<br />
A<br />
Ô →O<br />
→ S<br />
A<br />
A<br />
1<br />
2<br />
3<br />
→O<br />
n<br />
1<br />
Ô →O<br />
→ S<br />
M<br />
M<br />
M<br />
2<br />
3<br />
→ S<br />
n<br />
21<br />
Ô<br />
O<br />
i<br />
i<br />
sistema locale<br />
sistema inerziale<br />
Occorre avere una previsione <strong>del</strong>la matrice A per poi affinare la rotazione.<br />
Y<br />
O Ô<br />
S<br />
Una volta ruotato Ô in O si misura la <strong>di</strong>fferenza fra O ed S ed si affina la rotazione A, ma questa<br />
operazione però sottintende che si sappia che O è l’immagine <strong>di</strong> S, e non <strong>di</strong> un’altra stella.<br />
Per identificare una stella si ricerca una geometria relativa:<br />
Y<br />
S2<br />
X ˆ<br />
O1 O2<br />
ε<br />
S1<br />
S3 O3 O4<br />
Si cerca la stella in un intorno <strong>di</strong> O1 fino a quando non se ne incontra una; si confrontano allora con<br />
le stelle <strong>del</strong> catalogo e dovrebbero sovrapporsi tutte se O1 è quella corretta. Questo è il metodo <strong>del</strong>la<br />
sovrapposizione <strong>di</strong>retta <strong>di</strong> stelle. Si possono però avere problemi come in O2 dove si ha<br />
un’identificazione ambigua perché vi sono due stelle nell’intorno, o come in O3 dove non ci sono<br />
X<br />
S4
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
stelle nell’intorno, o come in O4 dove l’identificazione è sbagliata. Aumentando il raggio<br />
<strong>del</strong>l’intorno migliora la situazione <strong>di</strong> O3 perché identifica la stella, e la situazione <strong>di</strong> O4 perché passa<br />
da un identificazione ambigua ad una non ambigua, però si potrebbero avere problemi con O1 che<br />
potrebbe passare da univoca ad ambigua. Non si può quin<strong>di</strong> aumentare troppo il raggio <strong>del</strong>l’intorno<br />
perché si corre il rischio <strong>di</strong> trovare tutte identificazioni ambigue.<br />
Occorre quin<strong>di</strong> cercare il raggio che massimizza la probabilità <strong>di</strong> avere una identificazione corretta.<br />
P P P<br />
ε ε ε<br />
Corretta Nessuna Ambigua e Sbagliata<br />
P<br />
Il valore <strong>di</strong> ε <strong>di</strong>pende dalla completezza <strong>del</strong> catalogo e dalla densità <strong>di</strong> stelle <strong>del</strong>la stessa categoria<br />
nella stessa zona. Zone <strong>del</strong> cielo con una luminosità <strong>di</strong>ffusa possono creare problemi perché la<br />
matrice integra in punti. Potremmo cercare <strong>di</strong> sfruttare particolari geometrie nelle configurazioni e<br />
usare <strong>del</strong>le sovrapposizioni poligonali, ma questo è molto <strong>di</strong>spen<strong>di</strong>oso e va bene se la geometria è<br />
particolare e se l’assetto iniziale è conosciuto molto male.<br />
Potremmo compiere una scansione <strong>di</strong> una corona <strong>del</strong>la sfera celeste cercare <strong>di</strong> farla coincidere con<br />
la corona nel catalogo facendo coincidere il maggio numero <strong>di</strong> stelle possibile. Questo funziona se<br />
le stelle non sono equispaziate e se non si fanno troppe osservazioni e soprattutto se già conosciamo<br />
l’altezza.<br />
22<br />
εok
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Uso <strong>di</strong> ricevitori GPS per la misura <strong>di</strong> assetto<br />
Per valutare l’assetto <strong>del</strong> satellite tramite GPS, sono necessarie almeno tre antenne per ricevere il<br />
segnale GPS.<br />
S<br />
slave linea <strong>di</strong> base b master<br />
23<br />
fronte d’onda segnale GPS<br />
λ lunghezza d’onda<br />
La slave e la master sono due antenne a bordo <strong>del</strong> satellite. Se si conosce la <strong>di</strong>stanza b si può risalire<br />
all’orientazione <strong>del</strong> segmento nello spazio. Se proiettiamo b nella <strong>di</strong>rezione S <strong>di</strong> propagazione <strong>del</strong><br />
segnale GPS si ottiene la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> cammino <strong>del</strong> segnale:<br />
S b<br />
T<br />
Se calcoliamo questa misura con una combinazione <strong>di</strong> rilevamenti ricaviamo l’assetto, infatti<br />
conosciamo la posizione <strong>del</strong> nostro satellite e <strong>del</strong> satellite GPS tramite l’antenna master e quin<strong>di</strong><br />
ricaviamo S in assi inerziali.<br />
Conosciamo poi la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> cammino <strong>del</strong> segnale:<br />
∆ r = S<br />
Trasformiamo poi S da assi inerziali in assi corpo:<br />
S = AS<br />
∆r<br />
= S<br />
In questo modo possiamo ricavare la matrice <strong>di</strong> rotazione. In realtà non misuriamo ∆r bensì:<br />
T<br />
T<br />
A<br />
b<br />
T<br />
b<br />
∆ϕ = ∆r 2π/λ<br />
Occorre utilizzare due satelliti GPS <strong>di</strong>versi e due linee base <strong>di</strong>verse, ovvero tre antenne, per ottenere<br />
l’assetto. Le misure che vengono compiute sono:<br />
∆r<br />
∆r<br />
∆r<br />
∆r<br />
11<br />
21<br />
12<br />
22<br />
= S<br />
T<br />
1<br />
= S<br />
= S<br />
T<br />
2<br />
T<br />
1<br />
= S<br />
T<br />
2<br />
A<br />
A<br />
A<br />
A<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
b<br />
b<br />
b<br />
b<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
linea <strong>di</strong> base 1satellite<br />
GPS1<br />
linea <strong>di</strong> base 1satellite<br />
GPS2<br />
linea <strong>di</strong> base 2 satelliteGPS<br />
1<br />
linea <strong>di</strong> base 2 satellite GPS2
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Occorre usare almeno due linee <strong>di</strong> base per misurare le rotazioni attorno ad un asse coincidente con<br />
la prima linea <strong>di</strong> base, inoltre per minimizzare gli errori <strong>del</strong>la misura si compiono misure con un<br />
secondo satellite e si minimizzare la seguente grandezza:<br />
J =<br />
Gli errori risultano da misure <strong>di</strong> sfasamento:<br />
∆ϕ<br />
N.<br />
S N.<br />
b<br />
T T<br />
∑∑(<br />
∆rij<br />
− Si<br />
A bJ<br />
)<br />
i=<br />
1 j=<br />
1<br />
=<br />
( ∆r<br />
+ Kλ)<br />
+ ν<br />
Occorre conoscere il valore <strong>del</strong>l’intero K e dobbiamo poter mo<strong>del</strong>lare il rumore <strong>di</strong> misura ν<br />
derivante ad esempio dalle riflessioni <strong>di</strong> altre parti <strong>del</strong> satellite. L’intero K è calcolato in genere dal<br />
ricevitore una volta per tutte e poi viene in seguito aggiustato.<br />
Si tenta in genere <strong>di</strong> ridurre gli errori ponendo le due linee <strong>di</strong> base ortogonalmente e facendo in<br />
modo che la loro lunghezza sia multipla <strong>del</strong>la lunghezza d’onda <strong>del</strong> segnale GPS. Si ottengono così<br />
precisioni <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong> decimo <strong>di</strong> grado.<br />
24<br />
2π<br />
λ
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Sensori giroscopici<br />
Sensori giroscopici meccanici<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora gli strumenti giroscopici usati per le misure <strong>di</strong> velocità angolare. Un giroscopio<br />
classico è fatto come in figura:<br />
O = Z (uscita)<br />
θ<br />
25<br />
ωr<br />
armatura<br />
S = Y (spin)<br />
I = X (ingresso)<br />
Il corpo rotante <strong>del</strong> giroscopio ruota con asse S , mentre i supporti e l’armatura rispetto a cui ruota il<br />
corpo rotante possono ruotare attorno all’asse O. Il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto espresso in assi<br />
corpo è dato dalla seguente espressione:<br />
Scriviamo ora le equazioni <strong>di</strong> Eulero:<br />
h<br />
I<br />
J<br />
T<br />
R<br />
Z<br />
= I ω<br />
R<br />
rotore<br />
R<br />
y + J ϑ&<br />
z<br />
z<br />
rotore + armature + supporti<br />
h & + ω∧<br />
h = M<br />
dove ω è la velocità angolare <strong>del</strong> satellite a cui il giroscopio è fissato più la velocità angolare <strong>del</strong><br />
giroscopio rispetto al satellite:<br />
ω =<br />
⎧ ωx<br />
⎫<br />
⎪ ⎪<br />
⎨ ωy<br />
⎬<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ω<br />
+ ϑ&<br />
z ⎭<br />
Il rotore, essendo interno, non è visto dai supporti e quin<strong>di</strong> ωr non compare.<br />
Le equazioni <strong>di</strong> Eulero per questo oggetto risultano essere:<br />
( ω + ϑ&<br />
)<br />
⎧ωyJ<br />
ϑ&<br />
z − I RωR<br />
z<br />
⎪<br />
⎨I<br />
ω&<br />
R R −ω<br />
x J zϑ&<br />
= M<br />
⎪<br />
⎩<br />
J zϑ&<br />
& + I RωR<br />
ωx<br />
= M<br />
y<br />
z<br />
= M<br />
x
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
L’equazione fondamentale per la determinazione <strong>di</strong> ωx è la terza, mentre le prime due sono utili per<br />
fornire in<strong>di</strong>cazioni sulle reazioni vincolari dei supporti <strong>del</strong> giroscopio. Nel caso in cui Mz sia nullo<br />
dalla terza equazione, misurando la derivata seconda <strong>di</strong> θ, otteniamo ωx. In genere però, al fine <strong>di</strong><br />
non avere un’accelerazione costante intorno all’asse z, si impone una coppia Mz che mantenga<br />
costante θ e per fare ciò si utilizza una molla e uno smorzatore:<br />
La terza equazione <strong>di</strong>viene allora:<br />
z<br />
M z<br />
= −kϑ<br />
− cϑ&<br />
J ϑ& & + cϑ&<br />
+ kϑ<br />
= −I<br />
ω ω<br />
La soluzione è oscillante, ma essendoci lo smorzamento sicuramente si arriverà ad una soluzione <strong>di</strong><br />
regime che è quella che interessa, ovvero:<br />
da cui:<br />
ϑ =<br />
ω<br />
x<br />
−<br />
26<br />
R<br />
k<br />
ω ω<br />
R<br />
I R x<br />
kθ<br />
= −<br />
I ω<br />
quin<strong>di</strong> leggendo la rotazione a regime si ricava la velocità attorno all’asse x. Questo strumento è<br />
detto RATE GYRO (RG). In modo analogo se togliamo la molla otteniamo a regime una velocità <strong>di</strong><br />
rotazione <strong>di</strong> θ costante che mi permette ancora <strong>di</strong> misurare la velocità attorno all’asse x:<br />
da cui:<br />
ϑ = − &<br />
x<br />
r<br />
r<br />
I R x<br />
R<br />
c<br />
ω ω<br />
cθ&<br />
= −<br />
I ω<br />
Questo strumento è detto RATE INTEGRATING GYRO (RIG).<br />
ω<br />
La parte <strong>di</strong>namica <strong>del</strong>l’equazione influisce sui tempi <strong>di</strong> risposta <strong>del</strong> sensore, è infatti influenzata dal<br />
tempo in cui l’oscillazione si smorza.<br />
Con tre giroscopi si possono misurare tre componenti <strong>di</strong> velocità angolare, ma, variando θ, l’asse <strong>di</strong><br />
sensibilità <strong>del</strong> giroscopio varia e quin<strong>di</strong> non si possono misurare le componenti in assi principali.<br />
Per ovviare a questo problema si fa variare Mz in modo che annulli la rotazione θ e in questo modo<br />
misurando la coppia si ottiene la velocità, sempre sullo stesso asse:<br />
r<br />
r<br />
R<br />
x
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
M<br />
ω<br />
x<br />
z<br />
( ϑ)<br />
M z =<br />
I ω<br />
R<br />
27<br />
= I<br />
Possiamo pensare <strong>di</strong> far rimanere l’asse I sempre fermo, in questo modo funziona la piattaforma<br />
inerziale. Misurando gli angoli che la piattaforma deve compiere per mantenere fisso I misuro<br />
l’assetto rispetto al sistema inerziale.<br />
La precisione <strong>del</strong> giroscopio <strong>di</strong>pende da IRωR; più è grande più il fondo scala è piccolo, ma lo<br />
strumento risulta più preciso, inoltre la frequenza <strong>del</strong>l’oscillazione <strong>del</strong>la parte <strong>di</strong>namica <strong>di</strong>pende da<br />
Jz infatti:<br />
λ =<br />
Per avere quin<strong>di</strong> <strong>del</strong>le risposte veloci occorre avere una frequenza alta e quin<strong>di</strong> ridurre Jz e <strong>di</strong><br />
conseguenza anche IR. Dobbiamo quin<strong>di</strong> aumentare ωR ma questo può dare problemi perché la<br />
velocità <strong>di</strong> rotazione non rimane costante a causa <strong>del</strong>le <strong>di</strong>ssipazioni, quin<strong>di</strong> il fattore <strong>di</strong> scala si<br />
mo<strong>di</strong>fica con il tempo causando una deriva <strong>del</strong>la misura. Quin<strong>di</strong> è necessario azzerare lo strumento<br />
con altri tipi <strong>di</strong> misure.<br />
Se le velocità angolari sono basse allora gli attriti nelle parti meccaniche alterano le misure<br />
provocando valori <strong>di</strong> soglia molto bassi (velocità misurabili alte).<br />
Sensori giroscopici laser<br />
Il sensore giroscopico laser può essere schematizzato tramite un generatore/ricevitore <strong>di</strong> segnali<br />
coerenti ed un per<strong>corso</strong> ottico che verrà seguito dai segnali, qui rappresentato per semplicità da una<br />
circonferenza.<br />
- +<br />
+<br />
-<br />
Il giroscopio laser emette due segnali (+ e -) in <strong>di</strong>rezione opposta lungo la circonferenza. Essendo il<br />
giroscopio in rotazione quando vengono ricevuti un segnale ha fatto un per<strong>corso</strong> più lungo e quin<strong>di</strong><br />
non sono ricevuti simultaneamente:<br />
I due tempi <strong>di</strong> ricezione sono quin<strong>di</strong>:<br />
ct<br />
ct<br />
−<br />
+<br />
R<br />
( ϑ)<br />
R<br />
ω<br />
k<br />
J z<br />
ω<br />
R<br />
R<br />
ω<br />
− ( 2π<br />
− ωt<br />
)<br />
x<br />
= R<br />
+<br />
= ( 2π<br />
+ ωt<br />
)R
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
t<br />
t<br />
−<br />
+<br />
2πR<br />
=<br />
c + ωR<br />
2πR<br />
=<br />
c − ωR<br />
Misurando la <strong>di</strong>fferenza <strong>di</strong> tempi ricaviamo la velocità angolare:<br />
∆t<br />
=<br />
ω =<br />
2<br />
+ − 2πR<br />
( ) ( c + ωR)<br />
− 2πR(<br />
c − ωR)<br />
4πR<br />
ω<br />
t − t =<br />
=<br />
2 2 2<br />
2 2 2<br />
( c − ω R ) ( c − ω R )<br />
∆t<br />
c<br />
4A<br />
2<br />
Questo strumento è detto RING LASER GYRO (RLG).<br />
28<br />
2<br />
4πR<br />
ω 4Aω<br />
≅ = 2<br />
2<br />
c c<br />
Se invece il per<strong>corso</strong> ottico è costruito tramite fibre ottiche, è possibile fare più giri migliorando<br />
così la sensibilità <strong>del</strong>lo strumento, e si ottiene il FIBER OPTIC GYRO (FOG). Questi giroscopi<br />
danno la misura nel loro sistema <strong>di</strong> riferimento che è fisso, e non sono affetti da attriti.<br />
Sensori giroscopici piezoelettrici<br />
Vi è un altro strumento per le misure <strong>di</strong> velocità, schematizzato tramite due forchette <strong>di</strong> materiale<br />
piezoelettrico.<br />
ω<br />
forchetta materiale piezoelettrico<br />
alimentata<br />
forchetta<br />
<strong>di</strong> misura<br />
I due pezzi piezoelettrici si deformano se alimentati elettricamente, viceversa producono un segnale<br />
elettrico se deformati. Se il sistema ruota con velocità ω, e le due anime <strong>del</strong>la forchetta superiore<br />
sono alimentate in controfase, per effetto <strong>del</strong>la forza <strong>di</strong> Coriolis che è perpen<strong>di</strong>colare al foglio si<br />
crea una coppia, che trasmessa ai supporti può essere misurata registrando il segnale elettrico<br />
prodotto dalla forchetta piezoelettrica inferiore.<br />
F =<br />
−2ω<br />
∧ v<br />
c<br />
r
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ω ω<br />
Fc<br />
vr Mc vr<br />
Anche in questo strumento la misura è fissa e non ci sono parti mobili, ma variazioni <strong>di</strong> temperatura<br />
causano variazioni <strong>di</strong> <strong>di</strong>mensioni e quin<strong>di</strong> errori nella misura.<br />
29<br />
Fc
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Determinazione <strong>del</strong>l’assetto<br />
Dai sensori giunge un’informazione, ad esempio un angolo, che deve essere riportata all’assetto<br />
reale <strong>del</strong> satellite. È sufficiente determinare due assi da cui è noto il terzo.<br />
Meto<strong>di</strong> geometrici<br />
Supponiamo <strong>di</strong> conoscere l’angolo <strong>del</strong> sole o <strong>del</strong>la Terra nel sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate satellitari, da cui<br />
otteniamo il luogo dei possibili assetti, che corrisponde ad un cono <strong>di</strong> giacitura <strong>del</strong>l’asse ottico <strong>del</strong><br />
sensore:<br />
β<br />
sfera celeste<br />
sole<br />
30<br />
luogo dei possibili assetti<br />
Ciò poiché qualunque rotazione <strong>di</strong> un angolo β a partire dai punti <strong>del</strong>la circonferenza riporta l’asse<br />
ottico sul sole.<br />
Si in<strong>di</strong>vidua dunque un altro corpo, ovvero un altro cono. Intersecando i due coni si ottengono due<br />
soluzioni possibili:<br />
Terra<br />
η<br />
β<br />
Sole<br />
possibili soluzioni<br />
Poiché spesso si usano satelliti spinnati, se si compiono due successive misurazioni <strong>del</strong>le posizioni<br />
<strong>del</strong> sole e <strong>del</strong>la Terra a breve <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> tempo, l’asse <strong>di</strong> spin rimane nella stessa posizione a meno<br />
<strong>di</strong> grossi <strong>di</strong>sturbi. Quin<strong>di</strong> un punto <strong>del</strong>le due intersezioni sarà rimasto praticamente fermo, mentre le<br />
due circonferenze ruotano attorno ad esso, poiché la posizione relativa al satellite <strong>di</strong> Terra e sole è<br />
cambiata. L’altra soluzione sarà variata molto, e sarà quella da scartare.<br />
Questo metodo <strong>di</strong>pende dalla geometria dei sensori.<br />
In realtà si compie un’intersezione <strong>di</strong> due corone circolari, poiché le misure sono affette da errori.<br />
L’asse <strong>di</strong> riferimento è dunque noto all’interno <strong>di</strong> un quadrilatero:
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
errore su β errore su η<br />
possibili posizioni <strong>del</strong>l’asse<br />
L’errore sulla posizione <strong>del</strong>l’asse è dunque maggiore <strong>del</strong>l’errore dei singoli sensori. Se poi le due<br />
corone sono quasi tangenti l’errore è elevato:<br />
è una situazione che <strong>di</strong>pende dalla posizione relativa dei due corpi, e si verifica se si trovano sullo<br />
stesso piano. Occorre in<strong>di</strong>viduare quin<strong>di</strong> due corpi che riducano la probabilità <strong>di</strong> questo evento, che<br />
è in<strong>di</strong>pendente dalla precisione dei sensori.<br />
Si può pensare in alternativa <strong>di</strong> misurare la posizione <strong>di</strong> uno solo dei due corpi e l’angolo tra il<br />
primo ed il secondo corpo:<br />
satellite Terra<br />
β ψ<br />
sole<br />
Il luogo dei possibili punti è molto più complesso:<br />
31<br />
null
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
e <strong>di</strong>pende da ψ. Il punto null è un punto singolare, che nasce quando l’angolo tra i due corpi è pari<br />
all’angolo tra il satellite ed il primo corpo.<br />
L’intersezione <strong>del</strong> luogo con la circonferenza data dalla determinazione <strong>del</strong>la posizione assoluta <strong>del</strong><br />
primo corpo ci darà la posizione <strong>del</strong>l’asse.<br />
Meto<strong>di</strong> algebrici<br />
Si è visto come da due misure scalari, gli angoli, si possa valutare la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> un asse. Non<br />
sappiamo però nulla <strong>del</strong>la posizione reale <strong>del</strong>l’intera terna principale. È come avere l’asse <strong>di</strong> Eulero<br />
ma non l’angolo, quin<strong>di</strong> utile solo per conoscere la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> spin ma non la fase.<br />
A parte i casi <strong>del</strong> GPS che ci dà la matrice <strong>di</strong> rotazione o <strong>del</strong> sensore <strong>di</strong> Terra nel campo lineare che<br />
ci dà αy ed αz, si misurano due, tre o più posizioni vettoriali <strong>di</strong> corpi per ottenere la posizione<br />
<strong>del</strong>l’intera terna.<br />
Siano si i versori misurati dai sensori, quin<strong>di</strong> in assi corpo, vi i versori analoghi riferiti ad un sistema<br />
inerziale o comunque un sistema noto, contenenti le tre componenti, allora:<br />
s = Av<br />
i<br />
Troviamo quin<strong>di</strong> i casi con due misure s1 e s2, tre misure s1, s2 ed s3 o più <strong>di</strong> tre misure. Il caso più<br />
semplice è quello con tre misure poiché si ottiene <strong>di</strong>rettamente la matrice <strong>di</strong> rotazione A:<br />
ovvero:<br />
[ s s s ] = A[<br />
v v v ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
S = AV<br />
A = SV<br />
V è però invertibile se i vi sono linearmente in<strong>di</strong>pendenti, ovvero se i vettori vi non sono allineati.<br />
Occorre quin<strong>di</strong> scegliere i tre corpi correttamente, in modo tale da evitare la singolarità e da<br />
migliorare l’invertibilità, ovvero l’errore sull’inversione <strong>del</strong>la matrice, scegliendo i vettori ben<br />
separati. Il risultato migliore si otterrebbe prendendo tre vettori ortogonali tra loro.<br />
Se vi sono quattro misure:<br />
32<br />
i<br />
1<br />
−1<br />
[ s s s s ] = A[<br />
v v v v ]<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
Il sistema è sovrabbondante e V non può essere invertita e occorre utilizzare la pseudo inversa:<br />
chiamata la pseudo inversa:<br />
SV<br />
SV<br />
T<br />
T<br />
1<br />
= AVV<br />
T<br />
2<br />
2<br />
T − 1<br />
( VV ) = A<br />
*<br />
V =<br />
V<br />
T<br />
( ) 1 T −<br />
VV<br />
3<br />
3<br />
4
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
si ottiene:<br />
*<br />
A = SV<br />
Potremmo evitare <strong>di</strong> usarla se prendessimo tre <strong>del</strong>le quattro misure separate meglio. Il suo utilizzo è<br />
però in<strong>di</strong>cato per me<strong>di</strong>are gli errori casuali. Numericamente non si implementa la pseudo inversa<br />
perché spesso V * V non è un’identità ma si utilizza un metodo iterativo per risolvere il sistema in<br />
modo da ottenere un risultato preciso.<br />
Se si hanno solo due misure il metodo <strong>del</strong>la pseudo inversa darà un risultato che però è<br />
probabilmente errato, avendo due equazioni e tre incognite.<br />
Ricaviamo allora da s1 ed s2 tre vettori significativi: si abbiano due misure p e q, e le corrispondenti<br />
misure nel sistema inerziale a e b, e sia:<br />
s<br />
s<br />
s<br />
1<br />
v<br />
v<br />
v<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= p<br />
p ∧ q<br />
=<br />
p ∧ q<br />
= p ∧ s<br />
= a<br />
=<br />
33<br />
2<br />
a ∧ b<br />
a ∧ b<br />
= a ∧ v<br />
Essendo i 3 versori s1, s2, s3 e v1,v2, v3 ortogonali tra loro, possiamo scrivere:<br />
V<br />
−1<br />
= V<br />
A = SV<br />
T<br />
−1<br />
2<br />
= SV<br />
p deve essere misurato con la migliore precisione possibile, q deve essere il più possibile ortogonale<br />
a p per migliorare la precisione <strong>del</strong> prodotto vettoriale e deve essere preciso come o poco meno <strong>di</strong> p.<br />
Se p e q fossero allineati, ad esempio se usassimo un sensore <strong>di</strong> Terra e <strong>di</strong> campo magnetico se il<br />
campo <strong>di</strong>ventasse ra<strong>di</strong>ale come ai poli, non potremmo risalire all’assetto.<br />
Si potrebbero me<strong>di</strong>are gli errori se si prendono:<br />
p<br />
q<br />
*<br />
*<br />
p + q<br />
=<br />
2<br />
p − q<br />
=<br />
2<br />
In pratica abbiamo usato l’informazione geometrica per ottenere il piano dei due vettori e quin<strong>di</strong> la<br />
normale al piano.<br />
T
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Meto<strong>di</strong> statistici<br />
Un altro metodo possibile prevede <strong>di</strong> prendere:<br />
1<br />
J =<br />
2<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
34<br />
i<br />
i<br />
2<br />
i<br />
α s − Av<br />
dove N è arbitrario e αi è una costante che identifica la precisione <strong>del</strong> sensore, quin<strong>di</strong> se è maggiore<br />
pesa <strong>di</strong> più la misura nella sommatoria. La soluzione reale è quella che minimizza J. Ovvero, poiché<br />
si sa che vi sono errori nelle misure, cerchiamo <strong>di</strong> ridurli al minimo invece <strong>di</strong> cercare <strong>di</strong> risolvere<br />
analiticamente il sistema. Anche in questo caso sono necessarie almeno due misure <strong>di</strong> <strong>di</strong>rezioni.<br />
1<br />
J =<br />
2<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
α<br />
i<br />
T T T T<br />
( s s + v A Av − 2s Av )<br />
i<br />
i<br />
Poiché A è una matrice <strong>di</strong> rotazione A T A è una matrice identità, e poiché si e vi sono versori, i primi<br />
due termini <strong>del</strong>la parentesi sono pari a 1, si ottiene:<br />
J = 1−<br />
N<br />
∑<br />
i=<br />
1<br />
i<br />
α<br />
i<br />
i<br />
T ( s Av )<br />
La soluzione ottima minimizza J(A), e <strong>di</strong> conseguenza massimizza<br />
~<br />
J<br />
N<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
dove tr in<strong>di</strong>ca l’operatore traccia e la matrice B vale<br />
α<br />
i<br />
B<br />
i<br />
T<br />
T<br />
( s Av ) = tr(<br />
AB )<br />
i<br />
= ∑<br />
=<br />
N<br />
i 1<br />
α<br />
i<br />
T<br />
isivi Se ad A sostituiamo la sua rappresentazione in quaternioni<br />
la funzione da massimizzare <strong>di</strong>venta<br />
( 2 T ) T<br />
q − q q I + 2qq<br />
− 2q [ ∧]<br />
A 4<br />
4<br />
= q<br />
~ T<br />
J = q<br />
dove la matrice K, quadrata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 4, si costruisce nel modo seguente<br />
N<br />
= ∑<br />
i=<br />
1<br />
T<br />
i<br />
B α s v =<br />
i<br />
i<br />
[ b ]<br />
ij<br />
Kq<br />
i<br />
i<br />
i<br />
matrice quadrata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
T +<br />
S = B B<br />
matrice quadrata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3<br />
[ ] T<br />
b23<br />
− b32<br />
, b31<br />
− b13<br />
, b12<br />
b21<br />
tr(<br />
B)<br />
z = − vettore <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3<br />
σ = scalare<br />
⎡S − σI<br />
K = ⎢ T<br />
⎣ z<br />
z⎤<br />
σ<br />
⎥<br />
⎦<br />
matrice quadrata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 4<br />
Per minimizzare la funzione J ~ , occorre aggiungere il vincolo q q 1<br />
T = , e minimizzare senza vincoli<br />
la funzione G q Kq - λ(<br />
q q -1)<br />
~ T T<br />
= , dove λ rappresenta il moltiplicatore <strong>di</strong> Lagrange. Differenziando<br />
G ~ ed uguagliando a zero le derivate si ottiene<br />
e sostituendo nell’espressione <strong>di</strong> J ~ si ottiene<br />
J(q)<br />
= q<br />
Kq = λq<br />
~ T T<br />
Kq = q<br />
35<br />
λq = λ<br />
che risulta massima in corrispondenza <strong>del</strong> massimo autovalore <strong>del</strong>la matrice K. Di conseguenza,<br />
l’assetto ottimale, ovvero statisticamente migliore, corrisponde al quaternione che rappresentato<br />
all’autovettore associato al massimo autovalore <strong>di</strong> K.<br />
In con<strong>di</strong>zioni normali, ovvero con i sensori funzionanti regolarmente, è lecito attendersi che gli<br />
errori nella determinazione <strong>di</strong> assetto non siano troppo consistenti, pertanto la funzione J da<br />
minimizzare sarà prossima a zero. In tali con<strong>di</strong>zioni, la funzione J ~ sarà prossima all’unità, pertanto<br />
ci si aspetta che il massimo autovalore <strong>del</strong>la matrice K sia unitario. Volendo evitare <strong>di</strong> risolvere il<br />
problema <strong>di</strong> determinazione d’assetto calcolando autovalori ed autovettori <strong>del</strong>la matrice K, si può<br />
ricorrere ad una soluzione approsimata ma <strong>di</strong> rapida implementazione, che conduce alla stima <strong>del</strong><br />
vettore <strong>di</strong> Gibbs rappresentante l’assetto <strong>del</strong> satellite.<br />
Per far ciò, occorre riscrivere l’equazione Kq=λq in forma partizionata, considerando l’espressione<br />
<strong>del</strong>la matrice K. Ne risultano le due equazioni<br />
( S − σI)<br />
z<br />
T<br />
q + zq<br />
q + σq<br />
4<br />
4<br />
= λ<br />
= λ<br />
MAX<br />
MAX<br />
Dividendo la prima equazione per q4 e approssimando λMAX=1, si ottiene<br />
q<br />
( S − σI − I)<br />
g + z = 0<br />
che rappresenta un sistema lineare nell’incognita g, con vettore dei termini noti z e matrice dei<br />
coefficienti (S-σI-I). Risolvendo il sistema lineare si valuta il vettore <strong>di</strong> Gibbs che rappresenta una<br />
stima approssimata <strong>del</strong>l’assetto <strong>del</strong> satellite.<br />
4<br />
q
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Attuatori per il <strong>controllo</strong> <strong>di</strong> assetto<br />
Razzetti per il <strong>controllo</strong> d’assetto<br />
Il modo più semplice per creare <strong>del</strong>le coppie è creare forze <strong>di</strong>sallineate dal baricentro, e per fare ciò<br />
si usa l’espulsione <strong>di</strong> massa. Con i motori a getto vi sono problemi dovuti ai transitori <strong>di</strong> accensione<br />
e spegnimento, inoltre è <strong>di</strong>fficile modulare la forza, quin<strong>di</strong> questi tipi <strong>di</strong> motori non sono adatti ad<br />
un <strong>controllo</strong> preciso <strong>del</strong>l’assetto. Inoltre per il <strong>controllo</strong> d’assetto servono coppie piccole (millesimi<br />
<strong>di</strong> newton-metro), mentre la propulsione chimica fornisce forze <strong>di</strong> qualche newton. Per risolvere<br />
questo problema si azionano i razzi per brevi istanti, ma ciò fa aumentare i problemi relativi ai<br />
transitori <strong>di</strong> accensione e spegnimento.<br />
Questi problemi si possono risolvere semplicemente con la propulsione elettrica che si basa<br />
sull’accelerazione me<strong>di</strong>ante un campo magnetico <strong>di</strong> un propellente ionizzato, che in seguito deve<br />
esseri deionizzato per evitare l’accumulo <strong>di</strong> cariche elettriche <strong>di</strong> un tipo sul satellite. Questi motori<br />
permettono una modulazione <strong>del</strong>la spinta molto precisa e semplice, inoltre hanno un impulso<br />
specifico molto elevato (oltre 3000) che permette un consumo <strong>di</strong> combustibile più contenuto. Danno<br />
spinte da qualche newton a 10 -6 newton e quin<strong>di</strong> sono adatti ad un <strong>controllo</strong> fine <strong>del</strong>l’assetto.<br />
Purtroppo questi motori consumano molto dal punto <strong>di</strong> vista elettrico, infatti è necessario mantenere<br />
il propellente ionizzato, cioè pronto per essere usato (90% <strong>del</strong> consumo per questa funzione). Per il<br />
<strong>controllo</strong> d’assetto servono poi quattro motori per asse (do<strong>di</strong>ci in tutto) e quin<strong>di</strong> i consumi salgono.<br />
Con i propulsori tra<strong>di</strong>zionali non è possibile modulare la spinta ed essi possono solo essere accesi o<br />
spenti. Inoltre l’andamento non è impulsivo, ci sono ritar<strong>di</strong> dovuti all’idraulica ed alla meccanica<br />
<strong>del</strong> propulsore, e questi sono inoltre <strong>di</strong>versi al momento <strong>del</strong>l’accensione e <strong>del</strong>lo spegnimento.<br />
Per un buon utilizzo <strong>di</strong> questi propulsori è necessario mo<strong>del</strong>lare bene la funzione <strong>di</strong> attivazione:<br />
F<br />
36<br />
t<br />
ideale<br />
reale<br />
Nel caso <strong>del</strong> satellite spinnato per regolare la velocità angolare <strong>di</strong> spin sono necessari razzi sulla<br />
superficie laterale:<br />
Sempre nel caso <strong>di</strong> satellite spinnato, il <strong>controllo</strong> <strong>del</strong>la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> spin è più critico. Esso<br />
richiede spinte parallele all’asse stesso, ma in questo caso i ritar<strong>di</strong> non danno errori sul modulo <strong>di</strong> h<br />
I ω& =<br />
M
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
bensì sulla sua <strong>di</strong>rezione; infatti se si applica la forza al momento sbagliato il satellite, essendo<br />
spinnato, è ruotato rispetto alla posizione che si prevedeva e la coppia è applicata in un piano<br />
<strong>di</strong>verso, quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>rezione finale <strong>di</strong> h è drasticamente <strong>di</strong>versa:<br />
∆ϕ<br />
= ω∆t<br />
dM = FR cosϕ<br />
dϕi<br />
F(t)<br />
R ω<br />
F(t+∆t) C(t+∆t)<br />
Ci<br />
C(t)<br />
Se la forza è costante, ed è applicata per un angolo pari a 2ϕ, anche la coppia è costante e per un<br />
angolo pari a ϕ è <strong>di</strong>retta come la <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>la coppia nel tempo, e perpen<strong>di</strong>colare ad F:<br />
MTOT<br />
2∫<br />
FR cos d i 2FR<br />
sin i<br />
ϕ<br />
= ϕ ϕ = ϕ<br />
perché è simmetrica rispetto alla <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a <strong>del</strong>l’angolo.<br />
0<br />
Per sapere quale è la <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> i è necessario saper valutare quale è il baricentro <strong>del</strong>la funzione<br />
che dà la spinta nel tempo. Il risultato <strong>di</strong>penderà dunque dal profilo <strong>di</strong> spinta, cioè da come è<br />
applicata F.<br />
Se quin<strong>di</strong> si tiene acceso il razzo per un giro intero, ovvero per ϕ pari a π, MTOT è nulla. Non<br />
abbiamo ottenuto nulla e abbiamo speso propellente. Il massimo effetto si ha per ϕ pari a π/2,<br />
ovvero il razzo andrebbe acceso e spento ogni mezzo giro.<br />
Non è però efficiente perché per angoli elevati gli effetti tendono ad annullarsi agli estremi<br />
<strong>del</strong>l’impulso; conviene compiere quin<strong>di</strong> brevi e frequenti accensioni in modo tale da avere coppie<br />
vicine a quelle me<strong>di</strong>e ed elevare così l’efficienza.<br />
Essendo:<br />
ϕ<br />
=<br />
ω<br />
d<br />
dt<br />
poiché la coppia massima vale FR l’impulso <strong>del</strong>la coppia vale:<br />
mentre l’impulso <strong>del</strong>la forza è:<br />
I<br />
c<br />
t<br />
ϕ dϕ<br />
2FR<br />
= 2∫<br />
FR cosϕ<br />
dt = 2∫<br />
FR cos ϕ = sin ϕ<br />
0<br />
0 ω ω<br />
I<br />
F<br />
RI<br />
= 2<br />
F<br />
=<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
Fdt ⇒<br />
2R<br />
∫<br />
t<br />
0<br />
Fdt = 2R<br />
37<br />
ϕ dϕ<br />
2FR<br />
F = ϕ<br />
0 ω ω<br />
∫
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Facendo il rapporto <strong>di</strong> questi due valori si ottiene un in<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>l’efficienza:<br />
Ic/RIF<br />
1<br />
Ic<br />
RI<br />
F<br />
38<br />
ϕ<br />
=<br />
ϕ<br />
sin<br />
2π ϕ<br />
Ci <strong>di</strong>ce quanta coppia stiamo ottenendo nella <strong>di</strong>rezione me<strong>di</strong>a rispetto alla coppia spesa in totale. Se<br />
ϕ tende a zero l’efficienza tende a 1. È chiaro che la coppia ottenuta è bassa, ma calibrando nel<br />
tempo molte brevi accensioni, una al giro, si ottengono coppie totali elevate. La massima coppia si<br />
ottiene invece per ϕ = π.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Ruote d’inerzia e <strong>di</strong> reazione<br />
Questi attuatori si basano su accelerazioni e decelerazioni <strong>di</strong> rotori. Le ruote che hanno velocità<br />
angolare nominale nulla si <strong>di</strong>cono ruote <strong>di</strong> reazione, mentre quelle che hanno velocità <strong>di</strong>versa da<br />
zero sono dette ruote d’inerzia. Esistono anche ruote che non vengono accelerate, ma ne viene fatto<br />
ruotare l’asse <strong>di</strong> rotazione, sono dette ruote giroscopiche perché funzionano con lo stesso principio<br />
dei giroscopi. Queste ruote possono essere considerate tutte insieme perché scambiano momento<br />
<strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto con il satellite, infatti tutte le coppie applicate sulle ruote sono applicate<br />
uguali e contrarie sul satellite, come si vede dalle equazioni <strong>di</strong> Eulero in assenza <strong>di</strong> coppie esterne:<br />
I ω&<br />
I<br />
r<br />
z<br />
r<br />
ω&<br />
z<br />
39<br />
= M<br />
r<br />
= −I<br />
ω&<br />
Il termine Mr è in genere fornito da motori elettrici che hanno caratteristiche <strong>di</strong> funzionamento <strong>di</strong><br />
questo tipo:<br />
M<br />
Le curve variano da motore a motore, ma hanno una caratteristica in comune, infatti hanno tutte<br />
coppia nulla per una data velocità <strong>di</strong> rotazione detta <strong>di</strong> sincronismo. Se il rotore giunge a questa<br />
velocità <strong>di</strong> rotazione non si può più considerarlo, infatti ogni valore <strong>di</strong> energia fornita al motore non<br />
fa variare comunque la velocità <strong>di</strong> rotazione. La curva <strong>di</strong> funzionamento viene in genere<br />
schematizzata così:<br />
M<br />
In genere si cerca <strong>di</strong> rimanere nel campo <strong>di</strong> velocità angolari che garantisce la coppia costante,<br />
inoltre se dobbiamo fornire una coppia sinusoidale dobbiamo assicurarci che la velocità rimanga nel<br />
campo in cui la coppia è lineare.<br />
Se occorre compensare un <strong>di</strong>sturbo armonico più una parte costante allora prima o poi arriveremo<br />
alla velocità <strong>di</strong> sincronismo. In questo caso il rotore si <strong>di</strong>ce saturo. Per desaturare il rotore occorre<br />
frenarlo usando però un principio che ci permetta <strong>di</strong> staccarlo dal satellite, cioè <strong>di</strong> non trasmettere<br />
r<br />
r<br />
ω<br />
ω
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto al satellite. Per fare questo si possono usare dei razzetti sul rotore<br />
che danno una coppia esterna e quin<strong>di</strong> non scambiano momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto. Se il<br />
problema deriva da un <strong>di</strong>sturbo costante allora sarà necessario desaturare più volte i rotori. Le ruote<br />
d’inerzia e <strong>di</strong> reazione presentano questo problema e anche le ruote giroscopiche sono soggette ad<br />
un problema analogo sulla rotazione <strong>del</strong> loro asse. Queste ultime sono più complicate sia da<br />
realizzare che da gestire, ma garantiscono coppie <strong>di</strong> un or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> grandezza superiore rispetto alle<br />
ruote <strong>di</strong> reazione. Se la desaturazione viene stu<strong>di</strong>ata a parte (equazioni aggiunte), allora per stu<strong>di</strong>are<br />
il <strong>controllo</strong> si possono usare solo le equazioni <strong>di</strong> Eulero.<br />
Per risolvere il problema con n rotori <strong>di</strong> tipo <strong>di</strong>verso si può usare un'unica equazione generale.<br />
Definiamo il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>del</strong> satellite includendo il contributo dei rotori<br />
h = Iω<br />
+ A<br />
dove A è una matrice composta da tre righe e da tante colonne quanti sono i rotori, ed ogni colonna<br />
rappresenta i coseni <strong>di</strong>rettori <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> rotazione <strong>di</strong> un rotore. Il vettore hr ha tanti elementi quanti<br />
sono i rotori e i suoi elementi sono gli scalari che esprimono il momento angolare <strong>di</strong> ogni rotore sul<br />
suo asse, misurato relativamente agli assi principali <strong>di</strong> inerzia <strong>del</strong> satellite.<br />
Ve<strong>di</strong>amo quin<strong>di</strong> le equazioni <strong>di</strong> Eulero, in cui il termine Iω viene valutato considerando la presenza<br />
dei rotori, ma con velocità angolare relativa nulla, e T rappresenta le coppie <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbo:<br />
40<br />
h r<br />
Iω& + ω∧<br />
Iω<br />
+ I&<br />
ω+<br />
A&<br />
h r + Ah&<br />
r + ω∧<br />
Ah<br />
r = T<br />
Vanno poi aggiunte le equazioni <strong>di</strong> funzionamento dei rotori:<br />
Analizziamo ora i vari termini <strong>del</strong>l’equazione:<br />
A h + Ah<br />
= M & &<br />
r<br />
r<br />
I& ω esiste solo se ci sono ruote giroscopiche, e può essere trascurato se queste<br />
sono piccole<br />
Ah r<br />
& esiste solo se ci sono ruote giroscopiche (variazione <strong>di</strong> assetto relativo)<br />
Ah r<br />
& in genere non esiste per ruote giroscopiche perché hanno velocità angolare<br />
costante<br />
ω ∧ Ah<br />
r esiste per ogni tipo <strong>di</strong> rotore, tranne che per le ruote <strong>di</strong> reazione che in<br />
con<strong>di</strong>zioni nominali hanno hr = 0<br />
Questi quattro termini possono essere raggruppati in un unico termine che rappresenta le coppie <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong>, in modo da semplificare la soluzione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>. Una volta ricavato quanto<br />
valgono le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> sarà necessario trovare come queste vengono ricavate e quin<strong>di</strong> quali<br />
sono i termini corrispondenti ai vari rotori.<br />
Ve<strong>di</strong>amo il caso in cui siano presenti termini <strong>di</strong> accoppiamento con ruote <strong>di</strong> reazione:<br />
r
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Otteniamo quin<strong>di</strong>:<br />
⎧Iω&<br />
+ ω∧<br />
Iω<br />
+ ω∧<br />
Ah<br />
r + Ah&<br />
r<br />
⎪<br />
⎨M<br />
c = −ω<br />
∧ Ah<br />
r − Ah&<br />
r<br />
⎪I<br />
r ω&<br />
r = M r ⎩<br />
I ω& + ω∧<br />
Iω<br />
= T + M<br />
Con tecniche <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> ricaviamo Mc e in seguito Mr, ovvero h& r = I ω&<br />
r con le seguenti relazioni:<br />
Ah&<br />
r = −M<br />
h&<br />
*<br />
= −A<br />
r<br />
c<br />
( M + ω∧<br />
Ah<br />
)<br />
41<br />
− ω∧<br />
Ah<br />
dove A * è una pseudo-inversa che coincide con l’inversa solo nel caso che A sia quadrata <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne<br />
3 e i rotori abbiano assi <strong>di</strong> rotazione tutti <strong>di</strong>stinti tra loro.<br />
Per calcolare la pseudo-inversa si procede nel modo seguente:<br />
T<br />
Se ( n, 3A<br />
3,<br />
n ) n,<br />
n<br />
A è invertibile allora:<br />
A<br />
A<br />
3,<br />
n<br />
T<br />
n,<br />
3<br />
x<br />
A<br />
n,<br />
1<br />
3,<br />
n<br />
= y<br />
x<br />
n,<br />
1<br />
T<br />
T<br />
( A n,<br />
3A<br />
3,<br />
n ) x n,<br />
1 = A n,<br />
3y<br />
3,<br />
1<br />
n,<br />
n<br />
c<br />
3,<br />
1<br />
= A<br />
T<br />
n,<br />
3<br />
y<br />
r<br />
3,<br />
1<br />
c<br />
r<br />
= T<br />
T −1<br />
T<br />
T<br />
( A n,<br />
3A<br />
3,<br />
n ) ( A n,<br />
3A<br />
3,<br />
n ) x n,<br />
1 = ( A n,<br />
3A<br />
3,<br />
n )<br />
n,<br />
n<br />
n,<br />
n<br />
x<br />
T<br />
= ( A A<br />
−1<br />
) T<br />
A y<br />
x<br />
n,<br />
1<br />
n,<br />
1<br />
= A<br />
n,<br />
3<br />
*<br />
n,<br />
3<br />
y<br />
3,<br />
n<br />
3,<br />
1<br />
n,<br />
n<br />
n,<br />
3<br />
3,<br />
1<br />
Sarebbero sufficienti tre rotori, ma in realtà se ne usano <strong>di</strong> più per ridondanza. Però per risparmiare<br />
peso si usano tutti e si accetta un degrado <strong>del</strong>le prestazioni nel caso in cui uno si guasti.<br />
Per questo occorre fare in modo che, con qualunque combinazione <strong>di</strong> 3 rotori, sia possibile<br />
comandare coppie secondo i 3 assi principali. Chiaramente questo implica che non vi possano<br />
essere rotori con il medesimo asse <strong>di</strong> rotazione.<br />
Il modo migliore <strong>di</strong> montare i rotori è in una configurazione a tetraedro o a grappolo, anche se è<br />
possibile montarne tre <strong>di</strong>retti come gli assi e uno come la trisettrice. La configurazione a grappolo è<br />
la migliore perché nessuna <strong>di</strong>rezione è privilegiata.<br />
−1<br />
n,<br />
n<br />
A<br />
r<br />
T<br />
n,<br />
3<br />
y<br />
3,<br />
1
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Tre assi e trisettrice grappolo o tetraedro<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora il sistema con 3 ruote <strong>di</strong>rette come gli assi principali ed una quarta <strong>di</strong>retta come la<br />
trisettrice e cioè formando angoli uguali con le altre tre:<br />
⎡1<br />
⎢<br />
A = ⎢0<br />
⎢<br />
⎣<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
Con una ruota qualsiasi guasta la matrice A rimane comunque invertibile. Ve<strong>di</strong>amo ora la pseudoinversa:<br />
Il sistema è risolto da:<br />
A *<br />
⎡ 5/<br />
6<br />
⎢<br />
−1/<br />
6<br />
=<br />
−1/<br />
6<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎢<br />
⎣1/<br />
2<br />
3<br />
42<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1/<br />
1/<br />
1/<br />
−1/<br />
6<br />
5/<br />
6<br />
−1/<br />
6<br />
1/<br />
2<br />
3<br />
3⎤<br />
⎥<br />
3⎥<br />
3⎥<br />
⎦<br />
−1/<br />
6 ⎤<br />
−1/<br />
6<br />
⎥<br />
5/<br />
6<br />
1/<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
3⎦<br />
*<br />
( M c + ω∧<br />
Ah<br />
r ) A M e<br />
*<br />
M r = −A<br />
=<br />
Supponendo che il vettore <strong>del</strong>le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> sia <strong>di</strong>retto lungo l’asse x, ovvero moltiplicando<br />
A * per il vettore {1,0,0} T , ci accorgiamo <strong>di</strong> dover far funzionare comunque tutti i rotori ed in modo<br />
molto <strong>di</strong>somogeneo e non solo quello in <strong>di</strong>rezione x.<br />
Per avere un idea <strong>del</strong>l’energia facciamo la norma <strong>del</strong> vettore Mr :<br />
M<br />
M<br />
c<br />
r<br />
M<br />
⎧1⎫<br />
⎪ ⎪<br />
=<br />
⎨0⎬<br />
⎪0⎪<br />
⎩ ⎭<br />
⎧ 5/<br />
6 ⎫<br />
⎪<br />
1/<br />
6<br />
⎪<br />
⎪ − ⎪<br />
= ⎨ ⎬<br />
⎪ −1/<br />
6 ⎪<br />
⎪⎩<br />
1/<br />
2 3⎪⎭<br />
r<br />
=<br />
27<br />
36<br />
+<br />
1<br />
12<br />
=<br />
30<br />
36
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Se non avessimo usato il quarto rotore avremmo ottenuto una norma unitaria <strong>del</strong> vettore Mr. Quin<strong>di</strong><br />
l’uso <strong>del</strong>la pseudo-inversa minimizza la norma <strong>di</strong> Mr.<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora la <strong>di</strong>sposizione in cui i rotori sono <strong>di</strong>retti tutti come le trisettrici:<br />
x<br />
La pseudo-inversa risulta essere:<br />
z<br />
43<br />
y<br />
2 1<br />
y x<br />
⎡− a<br />
A =<br />
⎢<br />
− a<br />
⎢<br />
⎢⎣<br />
a<br />
a<br />
− a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
a<br />
− a⎤<br />
a<br />
⎥<br />
⎥<br />
a ⎥⎦<br />
a =<br />
1<br />
3<br />
A *<br />
b =<br />
⎡−<br />
b<br />
⎢<br />
b<br />
= ⎢<br />
⎢ b<br />
⎢<br />
⎣−<br />
b<br />
3<br />
4<br />
− b<br />
− b<br />
b<br />
b<br />
b⎤<br />
b<br />
⎥<br />
⎥<br />
b⎥<br />
⎥<br />
b⎦<br />
3 4<br />
Se il vettore <strong>del</strong>le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> è allineato con l’asse x, ovvero moltiplicando A * per il vettore<br />
{1,0,0} T , si vede che tutti i rotori lavorano allo stesso modo (stesso modulo e segno <strong>di</strong>verso).<br />
Calcolando la norma si ottiene:<br />
M r =<br />
Risulta minore che nel caso precedente, quin<strong>di</strong> questa configurazione risulta più equilibrata.<br />
Se uno dei rotori si guasta otteniamo comunque matrici abbastanza omogenee, infatti nel caso in cui<br />
il rotore 4 non ci sia otteniamo:<br />
3<br />
4
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
−<br />
A 1<br />
1 , 2,<br />
3<br />
⎡ 3<br />
⎢−<br />
⎢<br />
2<br />
⎢ 3<br />
=<br />
⎢ 2<br />
⎢<br />
⎢ 0<br />
⎢⎣<br />
44<br />
0<br />
3<br />
−<br />
2<br />
3<br />
2<br />
−<br />
3 ⎤<br />
⎥<br />
2<br />
Per ogni coppia lavorano solo due rotori, ed inoltre in modo uguale.<br />
È meglio lavorare con le ruote d’inerzia perché con le ruote <strong>di</strong> reazione bisogna far fronte all’attrito<br />
statico necessario a metterle in rotazione. Inoltre è necessario che il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto<br />
dei rotori sia allineato con quello desiderato per il satellite, quin<strong>di</strong> le ruote d’inerzia vanno avviate<br />
con opportune velocità nominali. I rotori non ruotano tutti alla stessa velocità e questo potrebbe<br />
essere un problema.<br />
Se i rotori a grappolo ruotano tutti con la stessa velocità, allora vi è solo la componente z <strong>di</strong> h e<br />
quin<strong>di</strong> possiamo fare il <strong>controllo</strong> come se i rotori simulassero una ruota d’inerzia su z e due ruote <strong>di</strong><br />
reazione su x e y. In realtà, essendo il moto su x e y accoppiato, è necessario simulare solo una<br />
ruota <strong>di</strong> reazione per x e y. Necessito quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> una coppia in meno da mo<strong>del</strong>lare.<br />
Accelerando 3 e 4 e frenando 1 e 2 si ottiene una ruota <strong>di</strong> reazione attorno ad y, frenando 2 e 3 ed<br />
accelerando 1 e 4 si ottiene una ruota <strong>di</strong> reazione attorno ad x.<br />
Aumentando la velocità dei rotori aumenta la frequenza <strong>di</strong> oscillazione su x e y, quin<strong>di</strong> un errore su<br />
x si trasmette rapidamente ad y e possiamo fare il <strong>controllo</strong> solo su y anche per controllare <strong>di</strong>sturbi<br />
su x. È necessario che i sensori <strong>di</strong>ano quella componente nominale necessaria affinché il sensore<br />
riesca a ricavare da y errori su x.<br />
Lavorando con le ruote d’inerzia vi è il problema <strong>di</strong> mettere in rotazione i rotori all’istante iniziale<br />
senza provocare una rotazione contraria sul satellite. Per evitare che il satellite vari il suo momento<br />
<strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto è necessario mettere in rotazione i rotori con meto<strong>di</strong> come i sistemi a getto o<br />
gli attuatori magnetici che forniscono coppie esterne.<br />
0<br />
3<br />
2<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Attuatori magnetici<br />
Generano una coppia inducendo un campo magnetico in una spira immersa nel campo magnetico<br />
terrestre.<br />
Essi generano un momento magnetico D:<br />
D = µ nSI<br />
µ =<br />
n =<br />
S = area racchiusa<br />
I =<br />
permeabilità<br />
numero <strong>di</strong> spire<br />
intensità<br />
45<br />
magnetica<br />
<strong>di</strong> corrente<br />
Le coppie sono poi date dal prodotto vettoriale <strong>di</strong> questo momento magnetico per il campo<br />
magnetico terrestre:<br />
M = D ∧ B<br />
L’efficacia <strong>di</strong> questi attuatori varia con l’orbita a causa <strong>del</strong> campo magnetico, inoltre forniscono<br />
coppie <strong>di</strong> 10 -3 ÷ 10 -6 Nm. Possiamo però sempre aumentare il numero <strong>di</strong> spire o l’area racchiusa.<br />
Il vettore <strong>del</strong>le coppie è ortogonale sia al momento magnetico generato che al campo magnetico<br />
terrestre, quin<strong>di</strong> la sua <strong>di</strong>rezione è legata al campo magnetico esterno e non sempre sono <strong>di</strong>sponibili<br />
tutte e tre le componenti. Però se si hanno a <strong>di</strong>sposizione la coppia lungo z e una <strong>del</strong>le altre due, e se<br />
è garantito l’accoppiamento fra x e y, è possibile controllare comunque il satellite.<br />
Negli attuatori magnetici M è sempre ortogonale a B:<br />
quin<strong>di</strong>:<br />
L’incognita è D quin<strong>di</strong> scriviamo:<br />
Ma [ ∧]<br />
M = D ∧ B = −B<br />
∧ D<br />
⎧M<br />
x ⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪ ⎢<br />
⎨M<br />
y ⎬ = ⎢−<br />
Bz<br />
⎪ ⎪<br />
⎩M<br />
⎭<br />
⎢<br />
z ⎣ By<br />
D =<br />
B<br />
0<br />
z<br />
− B<br />
x<br />
−1<br />
[ − B ∧]<br />
M<br />
− By<br />
⎤⎧D<br />
x ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
Bx<br />
⎥⎨D<br />
y ⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩D<br />
z ⎭<br />
− B è una matrice singolare, quin<strong>di</strong> il calcolo <strong>di</strong> D non può essere fatto con questa relazione.<br />
Per risolvere il problema possiamo pensare <strong>di</strong> trovare due componenti invece <strong>di</strong> tre, cioè portando a<br />
coincidere z con B garantiamo che le componenti siano solo due e risolviamo il problema. Questo<br />
metodo però è molto laborioso poiché occorre trovare la soluzione esatta nel sistema <strong>di</strong> riferimento
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ruotato e quin<strong>di</strong> ruotare <strong>di</strong> nuovo la soluzione nel sistema precedente; tutto ciò ogni istante. Inoltre<br />
le equazioni <strong>di</strong> Eulero nel sistema ruotato sono completamente accoppiate.<br />
Possiamo però pensare <strong>di</strong> usare solo due componenti <strong>di</strong> coppia per controllare il satellite perché x<br />
ed y sono accoppiati, scriviamo quin<strong>di</strong>:<br />
⎧ 0 ⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎪ ⎢<br />
⎨M<br />
y ⎬ =<br />
⎢<br />
− Bz<br />
⎪ ⎪<br />
⎩M<br />
⎭ ⎢ z ⎣ By<br />
46<br />
B<br />
0<br />
z<br />
− B<br />
Inoltre imponendo Dx = 0 si ottengono le seguenti relazioni:<br />
M<br />
M<br />
y<br />
z<br />
= B<br />
x<br />
= −B<br />
Si ottiene però un Mx residuo dalla prima equazione:<br />
D<br />
x<br />
z<br />
D<br />
y<br />
⇒<br />
⇒<br />
B<br />
x<br />
D<br />
z<br />
M xr = −M<br />
z −<br />
Bx<br />
z<br />
D<br />
− By<br />
⎤⎧D<br />
x ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
Bx<br />
⎥⎨D<br />
y ⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩D<br />
z ⎭<br />
M<br />
=<br />
B<br />
y<br />
M<br />
x<br />
y<br />
M<br />
= −<br />
B<br />
La coppia residua non è richiesta dal <strong>controllo</strong> ma è prodotta dall’interazione tra B e D necessaria a<br />
creare My ed Mz.<br />
In genere però si usa questo sistema annullando Mz e quin<strong>di</strong> usando la componente <strong>di</strong> beccheggio<br />
<strong>del</strong> campo magnetico. È necessario però aggiungere un altro attuatore sull’asse z che è<br />
<strong>di</strong>saccoppiato dalle altre due equazioni:<br />
D<br />
D<br />
y<br />
x<br />
M<br />
= −<br />
B<br />
z<br />
M<br />
= −<br />
B<br />
Potremmo usare il gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> gravità per dare stabilità passiva all’asse z, ma in genere si usa una<br />
ruota d’inerzia, nel qual caso avremmo:<br />
ovvero:<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
x<br />
y<br />
z<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ =<br />
⎢<br />
− B<br />
⎪<br />
⎭ ⎢<br />
⎣ By<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
x<br />
y<br />
z<br />
z<br />
B<br />
0<br />
z<br />
− B<br />
⎫ ⎡ 0<br />
⎪ ⎢<br />
⎬ = ⎢−<br />
B<br />
⎪<br />
⎭<br />
⎢<br />
⎣<br />
By<br />
z<br />
x<br />
z<br />
x<br />
y<br />
y<br />
B<br />
B<br />
y<br />
x<br />
− By<br />
⎤⎧D<br />
x ⎫ ⎧ 0 ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
Bx<br />
⎥⎨D<br />
y ⎬ + ⎨ 0 ⎬<br />
0 ⎥⎪<br />
⎪ ⎪ ⎪<br />
⎦⎩<br />
0 ⎭ ⎩−<br />
h&<br />
z ⎭<br />
B<br />
0<br />
z<br />
− B<br />
x<br />
z<br />
x<br />
0⎤⎧<br />
Dx<br />
⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
0⎥⎨<br />
D y ⎬<br />
1⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩−<br />
h&<br />
z ⎭
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
La matrice è quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>venuta invertibile ed è possibile calcolare i coman<strong>di</strong> da dare per ottenere le<br />
coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>:<br />
⎧ Dx<br />
⎫<br />
⎪ ⎪ 1<br />
⎨ Dy<br />
⎬ =<br />
⎪ ⎪ B<br />
⎩ h&<br />
z ⎭<br />
⎡ 0 −1<br />
⎢<br />
⎢ 1 0<br />
⎢<br />
⎣Bx<br />
By<br />
47<br />
0 ⎤⎧M<br />
x ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
0 ⎥⎨M<br />
y ⎬<br />
B ⎥⎪<br />
⎪<br />
z ⎦⎩M<br />
⎭<br />
z<br />
− z<br />
È quin<strong>di</strong> possibile risolvere il problema se Bz è <strong>di</strong>verso da zero.<br />
Ve<strong>di</strong>amo un altro modo <strong>di</strong> calcolare D. Essendo:<br />
M = D ∧ B<br />
B ∧ M =<br />
B ∧ M =<br />
B ∧ ( D ∧ B)<br />
( B⋅<br />
B)<br />
D − ( D ⋅ B)B<br />
Possiamo fare in modo <strong>di</strong> generare D sempre ortogonale a B così da non avere componenti parallele<br />
a B, allora essendo:<br />
si ottiene:<br />
Essendo però:<br />
B ∧ M = B<br />
2<br />
D ⋅ B =<br />
D<br />
→<br />
0<br />
1<br />
M = ∧<br />
2<br />
B<br />
B ∧ M<br />
D = 2<br />
B<br />
( B ∧ M)<br />
B<br />
solo se M è realmente ortogonale a B otteniamo le coppie volute, ovverosia, il che è lo stesso, se D<br />
è ortogonale a B ricaviamo solo la componente <strong>di</strong> M ortogonale sia a B che a D:<br />
B<br />
D Me<br />
Questo avviene perché avendo usato il prodotto vettore abbiamo limitato la soluzione su <strong>di</strong> un piano<br />
perpen<strong>di</strong>colare a B, quin<strong>di</strong> questo metodo funziona bene se le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> sono già quasi<br />
ortogonali al campo magnetico.<br />
Mc
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Esempio <strong>di</strong> sistema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> <strong>di</strong> un satellite con ruote d’inerzia e <strong>di</strong> reazione<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora un esempio <strong>di</strong> satellite con una ruota d’inerzia <strong>di</strong>retta come l’asse z e una ruota <strong>di</strong><br />
reazione sugli altri due assi.<br />
Scriviamo le equazioni <strong>di</strong> Eulero:<br />
⎪⎧<br />
Iω&<br />
+ ω∧<br />
Iω<br />
+ h&<br />
⎨<br />
⎪⎩ h&<br />
r = M c<br />
48<br />
r<br />
+ ω∧<br />
Sono 6 equazioni e i rotori sono <strong>di</strong>retti come gli assi, dunque A è una matrice identità. Poiché in<br />
genere vogliamo controllare gli angoli e non solo la velocità, è necessario aggiungere una<br />
parametrizzazione d’assetto:<br />
( α, α&<br />
, ω)<br />
0<br />
f =<br />
Ve<strong>di</strong>amo il caso in cui siamo in assi corpo e la parametrizzazione è riferita alla terna orbitale.<br />
Consideriamo come posizione <strong>di</strong> equilibrio una velocità nominale attorno a z e una velocità dei<br />
rotori. Sviluppiamo quin<strong>di</strong> le equazioni:<br />
⎧ωx<br />
⎫ ⎡ 1<br />
⎪ ⎪ ⎢<br />
⎨ωy<br />
⎬ = ⎢−<br />
α<br />
⎪ ⎪<br />
⎩ω<br />
⎭<br />
⎢<br />
z ⎣ α y<br />
z<br />
α<br />
1<br />
z<br />
− α<br />
x<br />
− α<br />
α<br />
1<br />
x<br />
h<br />
y<br />
r<br />
= M<br />
d<br />
⎤⎧<br />
α&<br />
x ⎫<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
⎥⎨<br />
α&<br />
y ⎬<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩α&<br />
z + n⎭<br />
Abbiamo poi che le ruote su x e y sono <strong>di</strong> reazione, per cui hrx=hry=0 in con<strong>di</strong>zioni nominali. Quin<strong>di</strong><br />
le equazioni linearizzate <strong>di</strong>vengono:<br />
dove:<br />
⎧Ix<br />
⎪<br />
⎨Iy<br />
⎪<br />
⎪Iz&α<br />
&<br />
⎩<br />
( &<br />
2<br />
α&<br />
x − α&<br />
yn)<br />
+ ( Iz<br />
− I y )( nα&<br />
y + n αx<br />
) + h&<br />
rx + h rz ( α&<br />
y + nα x )<br />
2<br />
( &α<br />
& + α&<br />
n)<br />
+ ( I − I )( nα&<br />
− n α ) + h&<br />
− h ( α&<br />
− nα )<br />
z<br />
y<br />
+ h&<br />
rz<br />
x<br />
= M<br />
dz<br />
x<br />
z<br />
x<br />
⎧h&<br />
⎪<br />
⎨h&<br />
⎪<br />
⎩h&<br />
rx<br />
ry<br />
rz<br />
y<br />
= −M<br />
= −M<br />
= −M<br />
cx<br />
cy<br />
cz<br />
ry<br />
rz<br />
x<br />
y<br />
= M<br />
= M<br />
Possiamo quin<strong>di</strong> riscrivere il sistema introducendo le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>. Le equazioni <strong>di</strong>vengono:<br />
r<br />
( &<br />
2<br />
α&<br />
x − α&<br />
yn)<br />
+ ( Iz<br />
− I y )( nα&<br />
y + n α x ) + h rz ( α&<br />
y + nα x )<br />
2<br />
( &α<br />
& + α&<br />
n)<br />
+ ( I − I )( nα&<br />
− n α ) − h ( α&<br />
− nα )<br />
⎧Ix<br />
⎪<br />
⎨I<br />
y y<br />
⎪<br />
⎪Iz&α<br />
&z<br />
= M<br />
⎩<br />
h&<br />
= −M<br />
c<br />
x<br />
cz<br />
x<br />
z<br />
x<br />
y<br />
rz<br />
x<br />
y<br />
= M<br />
= M<br />
cx<br />
cy<br />
dx<br />
dy
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Per progettare il sistema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> dobbiamo scrivere la funzione <strong>di</strong> trasferimento fra gli angoli e<br />
le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>. Per il <strong>controllo</strong> <strong>del</strong>l’asse z si può scrivere<br />
s<br />
2<br />
G<br />
α<br />
z<br />
z<br />
( s)<br />
( s)<br />
M<br />
=<br />
I<br />
αz<br />
=<br />
M<br />
49<br />
z<br />
( s)<br />
cz<br />
cz<br />
1<br />
=<br />
I s<br />
Lo schema a blocchi <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> è il seguente:<br />
αzrif + Mcz αz<br />
H(s) G(s)<br />
-<br />
La funzione <strong>di</strong> trasferimento in anello chiuso è:<br />
F<br />
( s)<br />
H<br />
=<br />
1+<br />
( s)<br />
G(<br />
s)<br />
H(<br />
s)<br />
G(<br />
s)<br />
Prima <strong>di</strong> calcolare H(s) dobbiamo decidere come vogliamo che risulti F(s). Se un <strong>di</strong>sturbo è<br />
applicato fra H(s) e G(s), la funzione <strong>di</strong> trasferimento fra il <strong>di</strong>sturbo e l’angolo è:<br />
F<br />
d<br />
( s)<br />
G<br />
=<br />
1+<br />
H<br />
( s)<br />
( s)<br />
G(<br />
s)<br />
z<br />
2<br />
α<br />
=<br />
α<br />
( )<br />
z s<br />
zrif<br />
α<br />
= z<br />
T<br />
Cerchiamo ora <strong>di</strong> calcolare H(s). Essendo il sistema un oscillatore, la coppia <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> potrà<br />
essere <strong>di</strong> tipo proporzionale-derivativo:<br />
Quin<strong>di</strong> avremo:<br />
F<br />
( s)<br />
M<br />
cz<br />
H(<br />
s)<br />
1<br />
( K ds<br />
+ K p ) 2<br />
Izs<br />
( K s + K )<br />
=<br />
1+<br />
d<br />
I<br />
z<br />
s<br />
2<br />
p<br />
= K sα<br />
+ K α<br />
d<br />
M<br />
=<br />
α<br />
z<br />
cz<br />
( s)<br />
=<br />
1+<br />
È un sistema <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne in cui abbiamo:<br />
=<br />
p<br />
( s)<br />
( K s + K )<br />
d<br />
( K s + K )<br />
d<br />
I<br />
s<br />
p<br />
z<br />
d p<br />
= 2<br />
( K ds<br />
+ K p ) I zs<br />
+ K ds<br />
+ K p<br />
I<br />
z<br />
2<br />
s<br />
2<br />
p<br />
K s + K
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ω =<br />
50<br />
K<br />
I<br />
z<br />
p<br />
K<br />
2ξω<br />
=<br />
I<br />
Dove ω è la frequenza <strong>di</strong> oscillazione e ξ è lo smorzamento. Lo smorzamento ideale ha un valore <strong>di</strong><br />
circa 0.7, ma per non sovraccaricare il sistema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> in genere si accetta che sia superiore a<br />
0.3 . Legando la frequenza con n otteniamo il numero <strong>di</strong> oscillazioni per orbita, quin<strong>di</strong> possiamo<br />
imporre che il satellite vada a regime in una frazione <strong>di</strong> orbita. In genere si usa ω = 20 frequenze<br />
orbitali.<br />
È necessario poi calcolare l’angolo <strong>di</strong> regime e tramite il teorema <strong>del</strong> valore finale:<br />
αz∞ = lim sFd<br />
(s)d(s)<br />
s→0<br />
Dove d(s) è la funzione <strong>di</strong> trasferimento <strong>del</strong> <strong>di</strong>sturbo (trasformata <strong>del</strong> <strong>di</strong>sturbo). Considero come<br />
<strong>di</strong>sturbo peggiore una costante, quin<strong>di</strong>:<br />
d<br />
α<br />
( s)<br />
z∞<br />
=<br />
1<br />
s<br />
= limF<br />
s→0<br />
d<br />
( s)<br />
=<br />
1+<br />
1<br />
I s<br />
z<br />
d<br />
z =<br />
=<br />
2<br />
( K ds<br />
+ K p ) I zs<br />
+ K ds<br />
+ K p K p<br />
I<br />
z<br />
2<br />
s<br />
Abbiamo così calcolato le coppie <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>, dobbiamo quin<strong>di</strong> valutare come funziona il rotore:<br />
r<br />
2<br />
h & = M<br />
Otteniamo dopo aver effettuato la trasformata <strong>di</strong> Laplace:<br />
c<br />
( K s + K ) α(<br />
s)<br />
I rsω<br />
r = d p<br />
Dobbiamo infine verificare che il rotore non saturi.<br />
Consideriamo ora le prime due equazioni e consideriamo la con<strong>di</strong>zione semplificativa Mcx=0, con<br />
inoltre αy come uscita perché con un sensore <strong>di</strong> orizzonte non potrei misurare αx:<br />
⎪⎧<br />
I<br />
⎨<br />
⎪⎩ I<br />
x<br />
y<br />
2<br />
2<br />
( s αx<br />
− sα<br />
yn)<br />
+ ( I z − I y )( nsα<br />
y + n αx<br />
) + h rz ( sα<br />
y + nαx<br />
)<br />
2<br />
2<br />
( s α + sα<br />
n)<br />
+ ( I − I )( nsα<br />
− n α ) + h ( sα<br />
− nα<br />
)<br />
Ricaviamo la seguente funzione <strong>di</strong> trasferimento:<br />
y<br />
x<br />
x<br />
z<br />
x<br />
y<br />
rz<br />
1<br />
x<br />
y<br />
1<br />
= 0<br />
= M<br />
cy
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
2<br />
As + B<br />
G y ( s)<br />
= 4 2<br />
Cs + Ds + E<br />
A = I<br />
B =<br />
C = I<br />
D =<br />
E =<br />
x<br />
( I − I )<br />
x<br />
z<br />
I<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
{ n I y ( I z − I y ) + I yh<br />
rzn<br />
− I x ( I x − I z ) n − I xh<br />
rzn<br />
+ ( I x + I y − I z ) − h rz }<br />
4<br />
3<br />
3 2 2<br />
[ ( I − I )( I − I ) n − h ( I − I ) n − h ( I − I ) n − h n ]<br />
z<br />
y<br />
y<br />
x<br />
n<br />
2<br />
+ h<br />
z<br />
rz<br />
y<br />
n<br />
rz<br />
x<br />
z<br />
51<br />
rz<br />
z<br />
y<br />
[ ]<br />
È però possibile scrivere la funzione <strong>di</strong> trasferimento separando i termini in funzione <strong>di</strong> hrz e<br />
inglobandoli nel termine <strong>di</strong> coppia <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>:<br />
α<br />
α<br />
y<br />
y<br />
4 3 2<br />
[ as + bs + cs + ds + e + h rzf<br />
( s)<br />
] = sh ryg(<br />
s)<br />
H(<br />
s)<br />
= M ( s)<br />
cy<br />
A questo punto, in modo analogo a quanto visto per l’asse z, si può ipotizzare una legge <strong>di</strong> <strong>controllo</strong><br />
che permetta <strong>di</strong> ottenere oscillazioni smorzate con frequenza e smorzamento assegnati.<br />
rz
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Generalizzazione <strong>del</strong> problema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong><br />
Abbiamo visto che nel caso <strong>di</strong> presenza <strong>di</strong> rotori vale:<br />
M = Ah&<br />
Ma come possiamo calcolare M?<br />
Consideriamo il caso <strong>di</strong> un satellite a puntamento inerziale. Le equazioni <strong>di</strong> Eulero si semplificano<br />
notevolmente, non essendovi velocità angolari nominali, e risultano completamente <strong>di</strong>saccoppiate:<br />
Mi = Iω&<br />
i<br />
52<br />
r<br />
i = 1,<br />
2,<br />
3<br />
che linearizzate attorno alla posizione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>ventano:<br />
M = Iα&<br />
&<br />
i<br />
Poiché non si ha momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto nominale dobbiamo avere coppie su tutti gli assi<br />
poiché altrimenti non controlleremmo gli assi su cui non vi sono coppie, essendo completamente<br />
<strong>di</strong>saccoppiate.<br />
È un sistema oscillante <strong>del</strong> secondo or<strong>di</strong>ne quin<strong>di</strong> possiamo prendere:<br />
( α)<br />
= ( α)<br />
M = f PID<br />
Non è necessario un intero PID: se vogliamo una risposta decrescente nel tempo e se il <strong>di</strong>sturbo non<br />
è continuo non occorre la parte integrale. Se il <strong>di</strong>sturbo è invece costante o persiste serve anche la<br />
parte integrale.<br />
Se abbiamo un sistema lontano dall’equilibrio compaiono termini <strong>di</strong> accoppiamento ed angoli<br />
elevati:<br />
M = Iω&<br />
+ ω ∧ Iω<br />
I termini <strong>di</strong> accoppiamento ω ∧ I ω non creano troppi problemi perché basterebbe calcolare una<br />
coppia come:<br />
per tenerne conto e poi ottenere M come:<br />
Potremmo avere un satellite a doppio spin:<br />
M<br />
c<br />
M c<br />
M = Iω&<br />
c<br />
= M + ω ∧ Iω<br />
M = Iω&<br />
+ ω ∧ Iω<br />
+ Ah&<br />
= Iω&<br />
= M − ω ∧<br />
r<br />
i<br />
+ ω ∧<br />
Iω<br />
− Ah&<br />
r<br />
Ah<br />
r<br />
− ω ∧<br />
Ah<br />
r
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Se non controlliamo attivamente con le ruote si ha h& r = 0 . Se invece controlliamo anche con le<br />
ruote e non abbiamo altre coppie allora M=0 e risolviamo l’equazione ottenendo hr & .<br />
Se le rotazioni sono ampie si hanno angoli elevati. In questo caso non possiamo più considerare le<br />
rotazioni attorno agli assi come in<strong>di</strong>pendenti dall’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>le rotazioni stesse. Occorre quin<strong>di</strong><br />
riprendere il significato <strong>di</strong> matrice <strong>di</strong> rotazione.<br />
Sia AS la matrice d’assetto iniziale rispetto al sistema inerziale. Vogliamo portare il satellite in una<br />
posizione con matrice d’assetto AT:<br />
A<br />
A<br />
S<br />
T<br />
⎡a<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
a<br />
⎢⎣<br />
a<br />
⎡a<br />
=<br />
⎢<br />
⎢<br />
a<br />
⎢⎣<br />
a<br />
11S<br />
21S<br />
31S<br />
11T<br />
21T<br />
31T<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12S<br />
22S<br />
32S<br />
a<br />
a<br />
a<br />
12T<br />
22T<br />
32T<br />
53<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13S<br />
23S<br />
33S<br />
a<br />
a<br />
a<br />
13<br />
23<br />
33<br />
⎤ ⎡XS<br />
⎤<br />
⎥ ⎢ ⎥<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
YS<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
Z ⎥ S ⎦<br />
T ⎤ ⎡XT<br />
⎤<br />
⎥<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
T ⎥ ⎢<br />
YT<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
⎥<br />
T ZT<br />
⎦<br />
Ogni riga <strong>di</strong> AS ed AT è un asse <strong>di</strong> riferimento. Noi vorremmo avere:<br />
In realtà è:<br />
A A I<br />
T<br />
=<br />
S<br />
S<br />
T<br />
T<br />
T<br />
A A = A<br />
dove Ae è la matrice d’errore sull’assetto. Occorre ora legare Ae con le coppie da applicare.<br />
A<br />
S<br />
A<br />
T<br />
T<br />
⎡XS⎤<br />
=<br />
⎢ ⎥<br />
⎢<br />
YS<br />
⎥<br />
⎢⎣<br />
Z ⎥ S ⎦<br />
T T T<br />
[ X Y Z ]<br />
T<br />
T<br />
T<br />
e<br />
⎡XSX<br />
⎢<br />
= ⎢YSX<br />
⎢<br />
⎣<br />
ZSX<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
X<br />
S<br />
Y Y<br />
S<br />
Z Y<br />
S<br />
Y<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
T<br />
X ⎤ SZT<br />
T ⎥<br />
YSZ<br />
T ⎥<br />
T<br />
Z ⎥<br />
SZT<br />
⎦<br />
Per essere una matrice identità i termini extra<strong>di</strong>agonali devono essere nulli. X Y 0<br />
T<br />
S T = significa che<br />
XS e YT devono essere ortogonali tra loro, essendo questa la rappresentazione in forma matriciale<br />
<strong>del</strong> prodotto scalare.<br />
Una rotazione attorno a ZS porterà prima o poi ad ottenere questa con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> ortogonalità quin<strong>di</strong>:<br />
M = f<br />
zS<br />
z<br />
T ( X Y )<br />
è la coppia che dovremmo dare attorno a ZS nel sistema degli assi corpo. Non sappiamo però ancora<br />
come sia fatta questa funzione.<br />
La stessa cosa vale per gli altri termini: se vogliamo X Z 0<br />
T<br />
YS, quin<strong>di</strong>:<br />
T<br />
S<br />
T<br />
S = dobbiamo dare una coppia attorno a
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
e se vogliamo Y X 0<br />
T<br />
M = f<br />
yS<br />
54<br />
y<br />
T ( X Z )<br />
S T = dobbiamo dare una coppia attorno a XS, quin<strong>di</strong>:<br />
M = f<br />
xS<br />
x<br />
S<br />
T<br />
T ( Y Z )<br />
Occorre osservare che si potrebbe lavorare sui termini sotto<strong>di</strong>agonali per ottenere lo stesso risultato,<br />
T<br />
ovvero f ( Y X )<br />
M = e così <strong>di</strong> seguito per MyS e MxS.<br />
zS<br />
z<br />
S<br />
T<br />
Per comprendere come sono fatte le funzioni consideriamo il caso in cui le rotazioni siano piccole,<br />
ovvero i sistemi siano molto vicini. In questo caso otteniamo:<br />
A<br />
S<br />
A<br />
T<br />
T<br />
⎡ 1<br />
⎢<br />
= ⎢−<br />
α<br />
⎢<br />
⎣ α y<br />
Abbiamo cioè linearizzato sugli angoli.<br />
Nel caso <strong>di</strong>saccoppiato o <strong>di</strong> piccole rotazioni vale:<br />
z<br />
z<br />
S<br />
α<br />
1<br />
Z<br />
− α<br />
x<br />
T<br />
− α<br />
α<br />
1<br />
x<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎦<br />
( α)<br />
= Kpzα<br />
z + Kdz<br />
z<br />
M = PD<br />
α&<br />
che è valida anche se vi sono solo rotazioni attorno a z anche gran<strong>di</strong>.<br />
T<br />
Si può notare che αz corrisponde a S T Y X <strong>del</strong> caso <strong>di</strong> gran<strong>di</strong> rotazioni, ovvero ad a12e. Si ottiene<br />
perciò:<br />
M = K a + K ω<br />
zs<br />
pz 12e<br />
T<br />
Il termine derivativo ci dà l’attrito viscoso, quin<strong>di</strong> non deve <strong>di</strong>pendere necessariamente da S T Y X<br />
ma da una qualunque grandezza con valore nullo a regime ed il segno opposto al movimento, quin<strong>di</strong><br />
va bene anche ωz. Si noti che a rigore il termine derivativo dovrebbe essere proporzionale alla<br />
derivata <strong>di</strong> a12e.<br />
Calcoliamo quin<strong>di</strong> Kp e Kd nel caso lineare e li applichiamo anche al caso non lineare appena visto.<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩<br />
M<br />
x<br />
y<br />
z<br />
= K<br />
= K<br />
= K<br />
px<br />
py<br />
pz<br />
x<br />
y<br />
z<br />
+ K<br />
+ K<br />
+ K<br />
dx<br />
dy<br />
dz<br />
z<br />
x<br />
y<br />
⎧M<br />
⎪<br />
→ ⎨M<br />
⎪<br />
⎩<br />
M<br />
Se utilizzassimo i termini sotto<strong>di</strong>agonali avremmo:<br />
perciò il transitorio sarà <strong>di</strong>fferente.<br />
α<br />
α<br />
α<br />
α&<br />
α&<br />
α&<br />
xs<br />
ys<br />
zs<br />
dz<br />
z<br />
= K<br />
= K<br />
py<br />
= −K<br />
M = −K<br />
a + K ω<br />
zs<br />
pz<br />
21e<br />
dz<br />
y<br />
px<br />
z<br />
a<br />
a<br />
pz<br />
23e<br />
31e<br />
a<br />
21e<br />
+ K<br />
+ K<br />
dx<br />
dy<br />
+ K<br />
ω<br />
dz<br />
ω<br />
x<br />
y<br />
ω<br />
z
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Cerchiamo allora <strong>di</strong> me<strong>di</strong>are il comportamento dei due casi:<br />
ed essendo:<br />
dovremo in realtà scrivere:<br />
⎧<br />
⎪M<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪M<br />
⎩<br />
xs<br />
ys<br />
zs<br />
⎧M<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎩M<br />
xS<br />
xS<br />
xS<br />
K<br />
=<br />
2<br />
K<br />
=<br />
2<br />
K<br />
=<br />
2<br />
= f<br />
= f<br />
= f<br />
12e<br />
x<br />
x<br />
x<br />
T T<br />
( YSZ<br />
T − ZSYT<br />
)<br />
T T<br />
( XSZT<br />
− ZSXT<br />
)<br />
T T<br />
( X Y − Y X )<br />
55<br />
S<br />
21e<br />
T<br />
a − a = 2α<br />
px<br />
py<br />
pz<br />
z<br />
S<br />
( a − a )<br />
23e<br />
( a − a )<br />
31e<br />
( a − a )<br />
12e<br />
ma a12e-a21e è la componente z <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> Eulero a meno <strong>di</strong> un fattore <strong>di</strong> scala. È come se<br />
tentassimo <strong>di</strong> compiere una rotazione attorno all’asse <strong>di</strong> Eulero, ovvero se tentassimo <strong>di</strong><br />
minimizzare la rotazione per compierla più rapidamente.<br />
Esprimendo i termini a12 e a21 in funzione dei quaternioni, si ha rispettivamente 2(q1q2+q3q4) e<br />
2(q1q2-q3q4) quin<strong>di</strong> si otterrà:<br />
⎧<br />
⎪M<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨M<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪M<br />
⎩<br />
xs<br />
ys<br />
zs<br />
K<br />
=<br />
2<br />
K<br />
=<br />
2<br />
K<br />
=<br />
2<br />
px<br />
py<br />
pz<br />
( 4q<br />
q )<br />
1e<br />
( 4q<br />
q )<br />
2e<br />
( 4q<br />
q )<br />
3e<br />
4e<br />
4e<br />
4e<br />
+ K<br />
+ K<br />
+ K<br />
dx<br />
dy<br />
dz<br />
Notiamo che i quaternioni sono quelli <strong>di</strong> errore.<br />
Mentre ci si avvicina alla con<strong>di</strong>zione finale il sistema automaticamente <strong>di</strong>venta lineare. Se<br />
volessimo avere una ωz ben precisa basterà riscrivere le equazioni come:<br />
M<br />
i<br />
⇒ M<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
x<br />
z<br />
y<br />
32e<br />
13e<br />
21e<br />
=<br />
=<br />
=<br />
2K<br />
2K<br />
2K<br />
( α&<br />
− α )<br />
= K α + K &<br />
is<br />
pi<br />
i<br />
= 2K<br />
pi<br />
q<br />
<strong>di</strong><br />
ie<br />
q<br />
i<br />
4e<br />
i<br />
+ K<br />
T<br />
+ K<br />
+ K<br />
+ K<br />
<strong>di</strong><br />
px<br />
py<br />
pz<br />
q<br />
q<br />
q<br />
dx<br />
dy<br />
dz<br />
1e<br />
2e<br />
3e<br />
q<br />
q<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
4e<br />
y<br />
z<br />
4e<br />
q<br />
4e<br />
x<br />
( ω − ω )<br />
Anche ω può essere espresso in funzione dei quaternioni. Essendo:<br />
da cui:<br />
1<br />
q& = Ωq<br />
2<br />
i<br />
i<br />
+ K<br />
+ K<br />
+ K<br />
dx<br />
dy<br />
dz<br />
ω<br />
ω<br />
ω<br />
z<br />
x<br />
y
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
quin<strong>di</strong>:<br />
⎡ q4<br />
− q3<br />
q2<br />
⎤<br />
⎢<br />
⎥⎧ωx<br />
⎫<br />
⎢<br />
q3<br />
q4<br />
− q1⎥⎪<br />
⎪<br />
Ωq =<br />
⎨ωy<br />
⎬ = Qω<br />
⎢−<br />
q q q ⎥<br />
2 1 4 ⎪ ⎪<br />
⎢<br />
⎥⎩ωz<br />
⎭<br />
⎣−<br />
q1<br />
− q2<br />
− q3⎦<br />
ω =<br />
56<br />
2 * &<br />
dove Q * è la pseudo inversa <strong>di</strong> Q, che in questo caso particolare è coincidente con Q T ; è infatti<br />
facilmente verificabile che:<br />
Q q<br />
Q Q<br />
T =<br />
I
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Manovre in tempo minimo<br />
Con le tecniche appena viste, le prestazioni sono sempre valutate in termini classici, tipicamente<br />
banda passante, risposta a transitorio e a regime. Spesso è invece necessario ottimizzare ad esempio<br />
il tempo <strong>di</strong> manovra od il consumo.<br />
Per minimizzare il tempo occorre fare un’ottimizzazione vincolata <strong>del</strong> tipo:<br />
= f t<br />
57<br />
( x − Ax Bu)<br />
f<br />
∫ dt + λ∫<br />
−<br />
min J<br />
&<br />
t 0<br />
t<br />
t 0<br />
È <strong>di</strong>fficile da risolvere in forma analitica tranne per casi semplici e particolari.<br />
Consideriamo ad esempio il caso <strong>di</strong> un satellite in rotazione attorno ad un solo asse principale<br />
d’inerzia, ovvero trascuriamo il vincolo <strong>del</strong>le equazioni <strong>di</strong> Eulero. La <strong>di</strong>namica <strong>del</strong> sistema è allora,<br />
per piccole rotazioni:<br />
M = Iα&<br />
&<br />
∫ α<br />
dα<br />
dα<br />
α&<br />
= ⇒ dt =<br />
dt α&<br />
f 1<br />
⇒ J = dα<br />
α0<br />
α&<br />
Volendo minimizzare il tempo <strong>di</strong> manovra, deve essere α& massimo, il che non vuol <strong>di</strong>re<br />
massimizzare le coppie perché vi è anche la partenza e l’arrivo, ovvero le accelerazioni per partire e<br />
fermarsi. La coppia <strong>di</strong>sponibile è però limitata al valore:<br />
u = α&<br />
& =<br />
che è un in<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>la coppia a <strong>di</strong>sposizione. Se questa è sufficientemente elevata la manovra è così<br />
rapida che il problema <strong>del</strong> tempo minimo non è da affrontare.<br />
Integrando si ha:<br />
Ricavando il tempo dalla prima:<br />
0<br />
0<br />
α&<br />
= α&<br />
α = α<br />
α&<br />
− α&<br />
0 t =<br />
u<br />
α&<br />
α = α +<br />
α − α<br />
=<br />
1<br />
u<br />
0<br />
0<br />
0<br />
+ ut<br />
M<br />
I<br />
1<br />
+ α&<br />
0t<br />
+ ut<br />
2<br />
( α&<br />
− α&<br />
) 1 ( α&<br />
− α&<br />
)<br />
α&<br />
0<br />
u<br />
0<br />
+<br />
2<br />
1<br />
2u<br />
2<br />
dt<br />
( ) ( ) 2<br />
α&<br />
− α&<br />
+ α&<br />
− α&<br />
0<br />
u<br />
0<br />
2<br />
0
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
& possiamo riportare una<br />
famiglia <strong>di</strong> parabole, le cui concavità <strong>di</strong>pendono dal segno <strong>di</strong> u e la cui apertura <strong>di</strong>pende dal modulo<br />
<strong>di</strong> u:<br />
α&<br />
che è l’espressione <strong>di</strong> una parabola. Se <strong>di</strong>segnamo il piano <strong>di</strong> fase ( α, α)<br />
u0<br />
Le frecce in<strong>di</strong>cano l’unico verso <strong>di</strong> percorrenza consentito. Se ad esempio partiamo dall’origine e<br />
applichiamo una M>0 allora α& & > 0 e quin<strong>di</strong> α& è crescente. Se aumentiamo u la <strong>di</strong>sponibilità <strong>di</strong><br />
coppia è maggiore e dunque le parabole si aprono. Al limite, se u fosse infinito le parabole<br />
<strong>di</strong>venterebbero rette verticali ottenendo così un impulso. Infatti avremmo variazione <strong>di</strong> α& senza<br />
variazione <strong>di</strong> α. Se u fosse nulla avremmo rette orizzontali, ovvero α& non cambierebbe mai.<br />
α& sono nulli poiché si vuole partire ed arrivare con velocità nulla. Inoltre<br />
Solitamente α& 0 ed f<br />
spesso α0 o αf viene posto a zero perché basta traslare il sistema <strong>di</strong> assi per riportarci alla<br />
con<strong>di</strong>zione reale nel caso in cui entrambi non fossero nulli.<br />
Consideriamo il caso in cui u sia infinito:<br />
partenza<br />
M>0<br />
α&<br />
arrivo 3 2<br />
58<br />
α<br />
1 M>0 partenza<br />
0 α<br />
M
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Consideriamo ora un andamento reale, ovvero con coppia massima limitata:<br />
α&<br />
59<br />
M>0 ad umax<br />
arrivo M>0 ad u
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
60<br />
α&<br />
α0<br />
α<br />
1<br />
retta α&<br />
= − α<br />
k<br />
Quando si giunge sulla retta cambia il segno <strong>di</strong> u, quin<strong>di</strong> si passa su <strong>di</strong> una parabola come la prima<br />
ma speculare e traslata (non è simmetrica rispetto all’origine); ci si avvicina perciò sempre più<br />
all’origine. k è quin<strong>di</strong> in<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>lo smorzamento. Ci vorrebbe però un numero infinito <strong>di</strong> passi per<br />
giungere nell’origine.<br />
Se però tracciamo una parabola dall’origine che intersechi la prima e calcoliamo il coefficiente<br />
angolare k <strong>del</strong>la retta passante per l’origine ed il punto <strong>di</strong> intersezione giungiamo nell’origine in due<br />
passi. Dovremmo però compiere il calcolo per ogni α0. Se però ricor<strong>di</strong>amo che per α& 0 nullo si ha:<br />
e pren<strong>di</strong>amo:<br />
1<br />
α = α&<br />
2u<br />
⎛ 1<br />
= −u<br />
sign⎜<br />
α − α&<br />
α&<br />
⎝ 2u<br />
u max<br />
troviamo il punto <strong>di</strong> commutazione in modo automatico:<br />
curva <strong>di</strong> commutazione α0 α<br />
Si <strong>di</strong>mostra essere la più rapida legge <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> per partire ed arrivare fermi. Il sistema accelera al<br />
massimo fino a metà e poi decelera al massimo fino al punto <strong>di</strong> arrivo, dove si spegnerà il sistema <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong>. Il tempo è implicito nella legge <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> e si ha solo una retroazione su α ed α& .<br />
Consideriamo infine una manovra per ottimizzare il consumo. Occorre in questo caso fissare un<br />
tempo massimo <strong>di</strong> manovra. Può essere visto come una manovra a tempo minimo con tratti ad<br />
α& costanti:<br />
2<br />
α&<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
α&<br />
Il cambio <strong>di</strong> parabola avviene in un tempo finito. Se poniamo tmax pari al tempo minimo otteniamo<br />
il <strong>controllo</strong> a tempo minimo. Anche in questo caso conviene avere u=umax. Dunque fissare tmax<br />
equivale a fissare α& max .<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che tutto ciò vale solo se compiamo una rotazione attorno ad un asse principale<br />
d’inerzia; in caso contrario avremmo dovuto compiere l’ottimizzazione considerando il vincolo non<br />
lineare <strong>del</strong>le intere equazione <strong>di</strong> Eulero.<br />
61<br />
α0<br />
α
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Controllo non lineare tramite attuatori a getto a spinta costante<br />
Tenendo presente il comportamento <strong>del</strong> satellite visualizzato nel piano <strong>di</strong> fase, è possibile impostare<br />
un sistema <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> non lineare <strong>di</strong>saccoppiato su ogni asse. Il <strong>controllo</strong> non è effettuato tramite<br />
un <strong>controllo</strong>re lineare (es. PD) ma attraverso una combinazione <strong>del</strong>la variabile angolare ϑ e <strong>del</strong>la<br />
sua derivata dϑ. In particolare un blocco denominato “Schmitt trigger” controlla il valore <strong>del</strong>la<br />
variabile ϑ+τdϑ. Supponiamo, a titolo <strong>di</strong> esempio, che ϑ+τdϑ risulti oltre il valore limite uon. In tal<br />
caso gli attuatori vengono accesi fino a che la variabile ϑ+τdϑ raggiunge il valore limite <strong>di</strong><br />
spegnimento uoff.<br />
ϑ c<br />
+<br />
-<br />
-uon<br />
ε = ϑ + τ & ϑ<br />
Schmitt trigger<br />
-uoff<br />
U<br />
1+τs<br />
62<br />
uoff<br />
I valori uon, uoff sono determinabili a partire dalle richieste <strong>di</strong> angolo <strong>di</strong> errore massimo ϑmax,<br />
velocità angolare massima dϑmax e <strong>del</strong>la costante τ. Dall’intersezione tra la parabola, rappresentante<br />
il comportamento nel piano <strong>di</strong> fase <strong>del</strong> satellite controllato, e <strong>del</strong>la retta orizzontale <strong>di</strong> or<strong>di</strong>nata pari<br />
alla velocità angolare massima, possiamo ricavare ϑ1, ascissa <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> intersezione <strong>del</strong>le due<br />
curve:<br />
uon<br />
dϑ<br />
ϑ1 = ϑmax<br />
−<br />
2u<br />
dove uc = M/I è il comando <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>. La retta <strong>di</strong> commutazione corrispondente all’accensione<br />
dei razzetti deve passare per il punto (ϑ1, dϑmax) e avere pendenza pari a −1/τ. Il valore <strong>di</strong> τ può<br />
essere scelto arbitrariamente, analizzando il comportamento <strong>del</strong> <strong>controllo</strong>. I valori <strong>di</strong> uon e uoff sono<br />
quin<strong>di</strong> determinabili dalle relazioni:<br />
uon = τdϑ+ϑ1<br />
uoff = −τdϑ+ϑ1<br />
Per simmetria è possibile ricavare i valori <strong>di</strong> accensione e spegnimento in <strong>di</strong>rezione opposta. Sul<br />
piano <strong>di</strong> fase, in assenza <strong>di</strong> <strong>di</strong>sturbi e <strong>di</strong> errori sui sensori, la soluzione deve convergere a un ciclo<br />
limite contenuto tra i valori −ϑmax/+ϑmax e −dϑmax/+dϑmax.<br />
2<br />
max<br />
c<br />
ε<br />
1<br />
I ⋅ s<br />
2<br />
ϑ
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
ε = u off<br />
− ϑmax<br />
ε = uon<br />
ϑ &<br />
ε = −u<br />
on<br />
ϑmax &<br />
ϑmax & −<br />
63<br />
ϑ max<br />
ε = −u<br />
off<br />
Nel transitorio, per errori gran<strong>di</strong> sugli angoli e sule velocità angolari, il <strong>controllo</strong> commuta tra valori<br />
positivi e negativi seguendo la medesima logica, e a con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> scegliere il parametro τ col segno<br />
corretto il <strong>di</strong>agramma nel piano <strong>di</strong> fase tenderà a convergere al ciclo limite appena in<strong>di</strong>viduato.<br />
Considerando l’inevitabile presenza <strong>di</strong> errori sui sensori ed i ritar<strong>di</strong> nell’applicazione <strong>del</strong>la legge <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong>, le commutazioni <strong>del</strong> <strong>controllo</strong> da valori positivi a nulli e/o negativi non avverranno<br />
istantaneamente sulle linee <strong>di</strong> commutazione progettate, ed il ciclo limite reale a cui sarà soggetto il<br />
moto angolare <strong>del</strong> satellite non sarà esattamente sovrapposto al ciclo <strong>di</strong> ideale <strong>di</strong> progetto, ma si<br />
<strong>di</strong>scosterà leggermente da esso come illustrato nell’esempio <strong>del</strong>la figura seguente.<br />
ϑ l<br />
ϑ
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
dθ/dt<br />
0.03<br />
0.02<br />
0.01<br />
0<br />
-0.01<br />
-0.02<br />
-0.03<br />
Diagramma effettivo nel piano <strong>di</strong> fase<br />
-θ max<br />
-0.1 -0.05 0<br />
θ<br />
0.05 0.1<br />
64<br />
θ max<br />
dθ max<br />
-dθ max<br />
Una alternativa al proce<strong>di</strong>mento appena illustrato è costituita dal cosiddetto “modulatore PWPF”<br />
(Pulse-Width-Pulse-Frequency Modulator), che varia sia la durata che la frequenza <strong>di</strong> accensione<br />
dei razzetti. Tale modulazione è ottenuta, come riportato nel <strong>di</strong>agramma sottostante, integrando i<br />
segnali <strong>di</strong> richesta <strong>di</strong> azione <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> fino a quando non si superi la soglia <strong>di</strong> accensione uon.<br />
legge <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong><br />
+<br />
-<br />
E<br />
k<br />
1+ τs<br />
Modulatore PWPF<br />
U<br />
umax<br />
Uc -uon -uoff<br />
Uc U<br />
-umax<br />
uoff<br />
uon<br />
comando<br />
attuatori<br />
Quando il modulatore PWPF fornisce un comando effettivo al satellite, la coppia generata viene<br />
sottratta alla richiesta <strong>del</strong> <strong>controllo</strong>re prima <strong>di</strong> essere filtrata dall’integratore. Dato che<br />
verosimilmente la coppia Uc sarà superiore alla richiesta <strong>del</strong> <strong>controllo</strong>re, il segnale integrato<br />
cambierà segno e pertanto dopo un breve intervallo temporale il modulatore PWPF interrompe<br />
l’azione <strong>di</strong> <strong>controllo</strong>. In tali con<strong>di</strong>zioni si ripristina il comportamento iniziale <strong>del</strong> modulatore, fino al<br />
successivo superamento <strong>del</strong>la soglia <strong>di</strong> accensione. La separazione temporale tra due impulsi <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong> <strong>di</strong>pende dalla legge <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> selezionata, mentre la durata <strong>di</strong> ciascun impulso <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong> <strong>di</strong>pende dal valore <strong>di</strong> coppia massima <strong>di</strong>sponibile Uc. Ipotizzando una richiesta <strong>di</strong><br />
<strong>controllo</strong> costante, l’andamento temporale <strong>del</strong>la risposta <strong>del</strong> satellite può essere schematizzata come<br />
segue.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
contr.<br />
E<br />
Uc<br />
U<br />
1<br />
0.5<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0.5<br />
1 2 3 4 5<br />
t<br />
6 7 8 9 10<br />
0<br />
-0.5<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
1<br />
t<br />
0.5<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10<br />
1<br />
t<br />
0.5<br />
0<br />
0 1 2 3 4 5<br />
t<br />
6 7 8 9 10<br />
65
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
<strong>Sistemi</strong> <strong>di</strong> smorzamento passivo<br />
È possibile fare una <strong>di</strong>stinzione fra il <strong>controllo</strong> per variare l’assetto <strong>del</strong> satellite (manovra) e il<br />
<strong>controllo</strong> <strong>del</strong>la stabilità; infatti i controlli <strong>di</strong> manovra permettono anche <strong>di</strong> controllare la stabilità<br />
mentre i <strong>controllo</strong>ri <strong>di</strong> stabilità non permettono il <strong>controllo</strong> <strong>di</strong> manovra perché in genere sono<br />
sistemi passivi. Esistono infatti degli smorzatori che permettono <strong>di</strong> annullare le oscillazioni in modo<br />
passivo.<br />
Ve<strong>di</strong>amo degli esempi sui moti <strong>di</strong> nutazione (moto conico <strong>del</strong>l’asse <strong>di</strong> rotazione) e librazione (moto<br />
pendolare attorno all’asse <strong>di</strong> rotazione che nasce con i gra<strong>di</strong>enti <strong>di</strong> gravità) <strong>del</strong> satellite. Questi<br />
sistemi non permettono <strong>di</strong> fare manovre e anzi in alcuni casi potrebbero anche ostacolarle.<br />
In genere gli smorzatori <strong>di</strong> nutazione si basano su effetti viscosi, cioè mettendo in rotazione un<br />
fluido viscoso quando si deve smorzare il movimento.<br />
Considerando un satellite a doppio spin con velocità angolare nominale attorno all’asse z, la<br />
nutazione si manifesta come oscillazioni <strong>di</strong> x e y, quin<strong>di</strong> si può pensare <strong>di</strong> smorzarla usando un<br />
anello <strong>di</strong> fluido attorno all’asse x. Essendo le equazioni x e y accoppiate in<strong>di</strong>rettamente si controlla<br />
anche l’asse y:<br />
X<br />
Se consideriamo l’anello fermo (ruota <strong>di</strong> reazione) possiamo scrivere le seguenti equazioni:<br />
h =<br />
Z<br />
( I ω + I ω ) i + I ω j + ( I ω + I ω )<br />
x<br />
( I − I )<br />
⎧I<br />
ω&<br />
x x + z<br />
⎪<br />
⎪I<br />
ω&<br />
y y + x<br />
⎪<br />
⎨I<br />
ω&<br />
+ I ω&<br />
z z r r +<br />
⎪<br />
⎪<br />
Irω&<br />
r = 0<br />
⎪<br />
⎩<br />
If<br />
ω&<br />
f + c x<br />
x<br />
f<br />
y<br />
( I − I )<br />
z<br />
ω ω<br />
ω ω<br />
( I − I )<br />
y<br />
( ω + ω )<br />
f<br />
f<br />
z<br />
x<br />
y<br />
z<br />
x<br />
= 0<br />
66<br />
y<br />
+ I ω ω<br />
− I ω ω<br />
ω ω<br />
x<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
y<br />
y<br />
x<br />
+ I ω&<br />
+ I ω ω<br />
− I ω ω<br />
dove c è il coefficiente <strong>di</strong> <strong>di</strong>ssipazione viscosa che è moltiplicato per la velocità angolare assoluta e<br />
non per quella relativa.<br />
Linearizzando le equazioni otteniamo:<br />
y<br />
z<br />
f<br />
z<br />
f<br />
f<br />
f<br />
f<br />
r<br />
f<br />
y<br />
r<br />
k<br />
= 0<br />
z<br />
= 0<br />
Y<br />
= 0
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
⎧I<br />
ω&<br />
x x + z<br />
⎪<br />
⎪I<br />
ω&<br />
y y +<br />
⎪<br />
⎨I<br />
ω&<br />
f f +<br />
⎪I<br />
ω&<br />
z z + Irω&<br />
⎪<br />
⎪I<br />
ω&<br />
= 0<br />
⎩ r r<br />
( I − I )<br />
( Ix<br />
− Iz<br />
) ωx<br />
c(<br />
ω + ω )<br />
r<br />
f<br />
y<br />
= 0<br />
ω ω<br />
x<br />
z<br />
y<br />
ω − I ω ω + I ω ω = 0<br />
z<br />
= 0<br />
67<br />
+ I ω ω<br />
r<br />
r<br />
r<br />
r<br />
y<br />
x<br />
+ I ω&<br />
Le ultime due equazione ci danno il movimento attorno a z, le prime tre invece rappresentano un<br />
movimento smorzato in cui lo smorzamento <strong>di</strong>pende solo da c.<br />
Il luogo <strong>del</strong>le ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> questo sistema è:<br />
Se quin<strong>di</strong> c è troppo elevato la soluzione è troppo poco smorzata.<br />
Se ω z è nullo e If
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
La velocità <strong>di</strong>penderà anche dalla velocità <strong>del</strong> pendolo.<br />
z<br />
Esistono anche <strong>di</strong>spositivi semiattivi. Per smorzare la nutazione è possibile agire su ω o su h. Si può<br />
agire su h con i razzetti. Per riallineare ω ed h si genera un impulso con i razzetti quando la fase è<br />
corretta:<br />
È anche possibile compiere manovre mo<strong>di</strong>ficando in due tempi h con la stessa tecnica:<br />
F<br />
h h h h<br />
ω ω ω<br />
ω<br />
impulso impulso<br />
Per il moto <strong>di</strong> librazione si utilizzano sistemi passivi per smorzare le oscillazioni <strong>di</strong> αz:<br />
α& &<br />
z<br />
68<br />
R<br />
2<br />
+ 3K pn<br />
αz<br />
= 0<br />
y<br />
αz x<br />
La velocità angolare è n + α&<br />
z . In questo caso agire solo sulla velocità angolare non è molto utile<br />
perché la velocità non cambia mai segno se n > α&<br />
z sempre. Dobbiamo quin<strong>di</strong> agire solo su α& z .<br />
h<br />
ω<br />
y
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
A questo scopo si può usare un magnete permanente immerso in un fluido, che tende a rimanere<br />
allineato con la ra<strong>di</strong>ale.<br />
Anche per il <strong>controllo</strong> <strong>del</strong>la librazione si può usare un sistema semiattivo:<br />
y<br />
x<br />
Avvicinando e allontanando la massa si controlla l’effetto <strong>del</strong>le coppie <strong>di</strong> gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> gravità e<br />
quin<strong>di</strong> la librazione.<br />
Una interessante modalità <strong>di</strong> smorzamento si basa sul principio <strong>di</strong> conservazione <strong>del</strong> momento <strong>del</strong>la<br />
quantità <strong>di</strong> moto, per una configurazione in cui la massa <strong>di</strong> estremità possa essere allontanata e/o<br />
avvicinata al corpo <strong>del</strong> satellite. Se la massa è estesa il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto vale:<br />
Se la massa è retratta invece si ha:<br />
Essendo h costante si ottiene:<br />
Essendo inoltre Ir
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Quin<strong>di</strong>, considerando α& z0<br />
negativo otterremo:<br />
I<br />
I<br />
z<br />
r<br />
( n − α&<br />
z0<br />
) = Ir<br />
( n − α&<br />
z1<br />
)<br />
( n + α&<br />
) = I ( n + α&<br />
) ⇒ I ( n + α&<br />
) = I ( n + α&<br />
)<br />
z2<br />
imponendo che α& z2<br />
sia nullo si ricava:<br />
da cui:<br />
I<br />
I<br />
z<br />
r<br />
( n − α&<br />
)<br />
I<br />
=<br />
z<br />
z0<br />
z<br />
α&<br />
( 2n − α&<br />
)<br />
2n<br />
z1<br />
z3<br />
=<br />
70<br />
r<br />
( I − I )<br />
z<br />
I<br />
r<br />
r<br />
( I I )<br />
⎛<br />
I n z −<br />
= r ⎜ −<br />
⎝ Ir<br />
z0<br />
r<br />
n<br />
z1<br />
z<br />
z3<br />
n ⎞ ⎛ 2I I<br />
I n r − z ⎞<br />
⎟ = r ⎜<br />
I ⎟<br />
⎠ ⎝ r ⎠<br />
ottenendo così il valore <strong>di</strong> Ir necessario a smorzare completamente la librazione me<strong>di</strong>ante 2 sole<br />
manovre.<br />
L’operazione nel caso migliore dura mezza oscillazione <strong>di</strong> librazione e nel caso peggiore 1.5 perio<strong>di</strong><br />
3n Kp<br />
≅ 1 , ovvero vi sono 1.7 oscillazioni in<br />
<strong>di</strong> librazione, che ha una frequenza <strong>di</strong> circa ( )<br />
un’orbita e quin<strong>di</strong> la manovra dura quasi un’orbita.
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Smorzamento <strong>del</strong>la velocità <strong>di</strong> spin all’espulsione dal lanciatore<br />
Quando il satellite è espulso dal lanciatore spesso possiede una velocità <strong>di</strong> spin non voluta, e<br />
comunque per acquisire l’assetto corretto viene prima fermato e poi fatto ripartire.<br />
Oltre ai sistemi <strong>di</strong> <strong>controllo</strong> attivo, basati sui principi visti in precedenza, possono essere utilizzati<br />
sistemi passivi per il despinnaggio. Un metodo passivo consiste nell’utilizzo <strong>di</strong> masse in moto, che<br />
annullino il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto posseduta dal satellite.<br />
Supponiamo che il satellite abbia una velocità <strong>di</strong> spin <strong>di</strong>retta come l’asse z, e ipotizziamo per<br />
semplicità una forma cilindrica. Poniamo due masse ancorate al satellite e avvolte con un filo sul<br />
satellite. Sganciando le masse mentre il satellite è in rotazione una parte <strong>del</strong> filo si stacca dalla<br />
superficie:<br />
y<br />
ωz<br />
m x<br />
R<br />
Consideriamo il sistema mobile (j,k) in cui l’asse j in<strong>di</strong>vidua il punto <strong>di</strong> contatto <strong>del</strong> filo con la<br />
superficie <strong>del</strong> satellite; sia ϕ l’angolo <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> tangenza <strong>del</strong> filo rispetto all’asse x in ogni istante<br />
e ϕ& la velocità angolare <strong>del</strong>la terna mobile.<br />
All’istante iniziale è:<br />
h<br />
T<br />
0<br />
0<br />
=<br />
=<br />
71<br />
k<br />
2 ( Iz<br />
+ 2mR<br />
) ω0<br />
2<br />
2 ω0<br />
( Iz<br />
+ 2mR<br />
)<br />
2<br />
dove Iz è il momento d’inerzia <strong>del</strong> solo satellite e mR 2 è il contributo al momento d’inerzia dato da<br />
una massa.<br />
In un istante generico occorre valutare la velocità <strong>del</strong>la massa m:<br />
Si ottiene perciò:<br />
⎧Rϕ<br />
v = ⎨<br />
⎩−<br />
R<br />
r = R j − Rϕk<br />
v = r&<br />
+ ω ∧ r<br />
ω = ω + ϕ&<br />
z<br />
( ω + ϕ&<br />
z )<br />
ϕ&<br />
+ R(<br />
ω + ϕ&<br />
)<br />
z<br />
y<br />
= Rω<br />
z<br />
j<br />
ϕ<br />
x
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Il momento <strong>del</strong>la quantità <strong>di</strong> moto <strong>di</strong> una singola massa, che sarà <strong>di</strong>retto come z, è:<br />
h<br />
T<br />
m<br />
m<br />
=<br />
( z<br />
z<br />
2<br />
ϕ ) m<br />
m 2 2 2 ( R ω + R ( ω<br />
2 2<br />
+ ϕ&<br />
) ϕ )<br />
2 2<br />
( r ∧ v)<br />
m = R ω + R ( ω + ϕ&<br />
)<br />
1<br />
= mv<br />
⋅ v =<br />
2 2<br />
Essendo h e T costanti nel tempo, uguagliando queste espressioni a quelle iniziali:<br />
h<br />
T<br />
0<br />
0<br />
=<br />
=<br />
72<br />
z<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( Iz<br />
+ 2mR<br />
) ω0<br />
= Izωz<br />
+ 2mR<br />
( ωz<br />
+ ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
) )<br />
( I<br />
2<br />
2 ω0<br />
+ 2mR<br />
)<br />
2<br />
2<br />
Izωz<br />
2mR<br />
2 2<br />
= + ( ω + ϕ ( ω<br />
2<br />
+ ϕ&<br />
) )<br />
nelle quali sono stati introdotti i termini <strong>del</strong> solo satellite.<br />
z<br />
Considerando le due equazioni insieme abbiamo come variabili ωz e ϕ& :<br />
2<br />
2<br />
( ) ( ) ( )<br />
( ) ( ) ( ) 2<br />
2<br />
2<br />
2 2<br />
Iz<br />
+ 2mR<br />
ω0<br />
= Iz<br />
+ 2mR<br />
ωz<br />
+ 2mR<br />
ϕ ωz<br />
+ ϕ&<br />
2 2 2<br />
2 2<br />
2 2<br />
I + 2mR<br />
ω = I ω + 2mR<br />
ω + 2mR<br />
ϕ ω + ϕ&<br />
z<br />
0<br />
z<br />
z<br />
Considerando l’inerzia totale iniziale rapportata all’inerzia iniziale <strong>del</strong>le due masse si ottiene il<br />
parametro:<br />
Quin<strong>di</strong> le equazioni sono:<br />
⎪⎧<br />
aω<br />
⎨<br />
⎪⎩ aω<br />
0<br />
2<br />
0<br />
⎪⎧<br />
a<br />
⇒ ⎨<br />
⎪⎩ a<br />
⇒<br />
⇒<br />
⇒<br />
a =<br />
2<br />
z<br />
2 ( I + 2mR<br />
)<br />
z<br />
2mR<br />
2<br />
= aωz<br />
+ ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)<br />
2 2<br />
2<br />
= aωz<br />
+ ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)<br />
2<br />
( ω − ω ) = ϕ ( ω + ϕ&<br />
)<br />
2 2 2<br />
( ω − ω ) = ϕ ( ω + ϕ&<br />
)<br />
2<br />
⎪⎧<br />
a(<br />
ω0<br />
− ωz<br />
) = ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)<br />
⎨<br />
2<br />
⎪⎩ a(<br />
ω0<br />
− ωz<br />
)( ω0<br />
+ ωz<br />
) = ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)<br />
2<br />
2<br />
2<br />
ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)( ω0<br />
+ ωz<br />
) = ϕ ( ωz<br />
+ ϕ&<br />
)<br />
( ω + ω ) = ( ω + ϕ&<br />
)<br />
0<br />
0<br />
0<br />
⇒ ϕ&<br />
= ω<br />
Quin<strong>di</strong> il filo si srotola a velocità costante e pari alla velocità angolare iniziale.<br />
Possiamo quin<strong>di</strong> sostituire:<br />
Quin<strong>di</strong> si ricava:<br />
0<br />
z<br />
z<br />
z<br />
ϕ = ω<br />
z<br />
z<br />
z<br />
2<br />
( ϕ = 0)<br />
0 t 0<br />
2<br />
z<br />
z<br />
2<br />
z<br />
z
<strong>Dinamica</strong> e <strong>controllo</strong> d’assetto <strong>Appunti</strong> <strong>del</strong> <strong>corso</strong><br />
Essendo:<br />
a<br />
2 2<br />
( ω − ω ) = ω t ( ω + ω )<br />
ω<br />
ω<br />
z<br />
z<br />
0<br />
2 2 ( ω t + a)<br />
0<br />
z<br />
a − ω t<br />
=<br />
a + ω<br />
2 2<br />
0<br />
2 2<br />
0t<br />
73<br />
0<br />
= aω<br />
ω<br />
0<br />
ϕ = ω t<br />
0<br />
L = Rϕ<br />
0<br />
z<br />
− ω t<br />
dove L è la lunghezza <strong>del</strong> filo srotolato, si può anche ricavare:<br />
ω<br />
z<br />
a − R<br />
=<br />
a + R<br />
2<br />
2<br />
2<br />
L<br />
ω 2<br />
L<br />
Possiamo così calcolare il tempo dalla prima forma <strong>di</strong> ωz ed il valore <strong>di</strong> L dalla seconda forma <strong>di</strong> ωz<br />
necessari ad avere ωz=0:<br />
a<br />
t =<br />
ω<br />
L = R<br />
La lunghezza non <strong>di</strong>pende quin<strong>di</strong> dalla velocità iniziale e quin<strong>di</strong> questo sistema funziona<br />
correttamente anche se non è conosciuta con precisione la velocità iniziale.<br />
Per avere una velocità non nulla occorre risolvere l’equazione e conoscere con precisione la velocità<br />
iniziale.<br />
0<br />
a<br />
3<br />
0<br />
0<br />
2<br />
0