Indice - Padis

Indice
Introduzione vii
1 Teoria dell’elasticità 1
1.1 I materiali piezoelettrici . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Il campo elasto-elettrico . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Variabili meccaniche . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3 Variabili elettriche . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Legge di Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Equazioni costitutive di campo . . . . . . . . . . . 18
1.5 Numero di costanti indipendenti nei sistemi cristal-
lografici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Onde in mezzi elastici 24
2.1 Equazione d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Propagazione nei solidi . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Propagazione nei materiali piezoelettrici . . 28
2.1.3 Propagazione nei fluidi . . . . . . . . . . . . 30

INDICE ii
2.1.4 Attenuazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Oscillazioni non lineari 37
3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing . . . . . . . 38
3.2 Risonanze armoniche e subarmoniche . . . . . . . . 46
3.3 Onde in mezzi elastici non lineari . . . . . . . . . . 49
3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche
frazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4.1 Equazione di Mathieu . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Soglia della fondamentale per la generazione
della subarmonica di ordine 1/2 . . . . . . . 59
4 Risultati Sperimentali 64
4.1 Strumentazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1 Descrizione della strumentazione . . . . . . 64
4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati
teorici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.1 I campioni piezoelettrici . . . . . . . . . . . 77
4.2.2 Misure sperimentali relative al cilindro . . . 78
4.2.3 Misure sperimentali relative alla piastrina . 94
5 CONCLUSIONI e SVILUPPI FUTURI 104

Elenco delle figure
1.1 Deformazioni in un elemento piezoelettrico. . . . . . 5
1.2 Deformazione di un solido. . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Equilibrio meccanico di un volume interno ad un
solido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Curva tensione-deformazione del PZT-8 ([6]). . . . 17
2.1 Vettori spostamento dell’onda quasi-longitudinale (A (1) )
e delle onde quasi-trasversali (A (2) , A (3) ) nel caso
di mezzo anisotropo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Sistema di coordinate cilindriche associate al tubo
piezoelettrico di raggio interno a, raggio esterno b
ed altezza l. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1 Oscillatore di Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Risposta in frequenza dell’oscillatore di Duffing pri-
vo di smorzamento. (a) Caso di molla dura. (b)
Caso di molla soffice. . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3 Risposta in frequenza dell’oscillatore di Duffing smorza-
to. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Circuito equivalente di un elemento piezoelettrico. . 65

ELENCO DELLE FIGURE iv
4.2 Schema a blocchi rappresentante la strumentazione
impiegata nella misura dello spostamento radiale
dei punti della superficie esterna dei provini. . . . . 70
4.3 Interferometro acusto-ottico. . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Tubi piezoelettrici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5 Impedenza del cilindro. . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6 Spostamenti relativi tra raggio laser e tubo piezoelet-
trico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.7 Spettro in frequenza del segnale rilevato (Cilindro,
6 V, 16.9 kHz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.8 Spettro in frequenza del segnale rilevato (Cilindro,
14.5 V, 16.9 kHz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.9 Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del
segnale di pilotaggio (Cilindro). . . . . . . . . . . . 85
4.10 Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del
segnale di pilottagio (dettaglio del Cilindro). . . . . 85
4.11 Andamento della soglia al variare della frequenza di
pilotaggio per diversi punti lungo l’asse del cilindro. 86
4.12 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle
subarmoniche rispetto all’ampiezza di pilotaggio (Cilin-
dro). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.13 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle
subarmoniche lungo l’asse del cilindro. . . . . . . . 89

ELENCO DELLE FIGURE v
4.14 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e del-
l’armonica di ordine 1/2 lungo l’asse del cilindro
rispetto al livello di soglia (sotto soglia). . . . . . . 91
4.15 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e del-
l’armonica di ordine 1/2 lungo l’asse del cilindro
rispetto al livello di soglia (sopra soglia). . . . . . . 92
4.16 Spettri in frequenza al variare della posizione di
rilevazione del segnale (Cilindro). . . . . . . . . . . 92
4.17 Spettri in frequenza al variare dell’ampiezza di pi-
lotaggio di rilevazione del segnale (Cilindro). . . . . 93
4.18 Impedenza della piastrina. . . . . . . . . . . . . . . 95
4.19 Spettro in frequenza del segnale rilevato (Piastrina,
5,8 V, 12.9 kHz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.20 Spettro in frequenza del segnale rilevato (Piastrina,
53,4 V, 12.9 kHz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.21 Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del
segnale di pilottagio (Piastrina). . . . . . . . . . . . 98
4.22 Andamento della soglia al variare della frequenza di
pilotaggio in corrispondenza del centro della piastrina. 98
4.23 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle
subarmoniche rispetto all’ampiezza di pilotaggio (Pi-
astrina). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.24 Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle
subarmoniche rispetto alla posizione lungo l’asse mag-
giore della piastrina. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

ELENCO DELLE FIGURE vi
4.25 Spettri in frequenza al variare della posizione di
rilevazione del segnale (Piastrina). . . . . . . . . . 102
4.26 Spettri in frequenza al variare dell’ampiezza di pi-
lotaggio di rilevazione del segnale (Piastrina). . . . 103
5.1 Spazio delle Fasi sotto soglia. . . . . . . . . . . . . . 107
5.2 Spazio delle Fasi all’avvicinarsi della soglia. . . . . 107
5.3 Spazio delle Fasi sopra soglia. . . . . . . . . . . . . 108

INTRODUZIONE
Le vibrazioni non lineari in un mezzo limitato, alla frequen-
za corrispondente ai suoi modi propri, costituiscono un fenomeno
complesso di interesse sia per chi studia le caratteristiche dei ma-
teriali, sia per gli ingegneri meccanici o per i progettisti di dis-
positivi elettronici, per lo scopo comune di valutare la risposta in
dispositivi non lineari e di evitare effetti indesiderati nei sistemi
che devono mantenere caratteristiche di linearità.
La generazione di subarmoniche è l’effetto più sottile dell’an-
armonicità, essendo un processo di soglia con elementi di impreve-
dibilità legato allo stabilirsi di comportamento caotico in sistemi
meccanici ed elettronici.
Un semplice oscillatore non lineare monodimensionale eccita-
to armonicamente alla sua frequenza fondamentale presenta nella
risposta uno spettro in frequenza contenente una sequenza di sub-
armoniche e ultrarmoniche: se il sistema è smorzato, le frequenze
subarmoniche vengono generate quando l’ampiezza di oscillazione
alla frequenza fondamentale supera un livello di soglia.

Inoltre, nei risonatori macroscopici la nonlinearità causa ac-
coppiamento tra modi normali, e in tal modo si stabilisce un
flusso netto di energia tra il modo alla frequenza fondamentale
e oscillazioni a frequenze superiori e inferiori.
In questa tesi è stato affrontato uno studio teorico e sperimen-
tale della risposta di ceramiche piezoelettriche eccitate in regime
di vibrazione non lineare. La geometria dei trasduttori esaminati
è di due categorie: cilindrica circolare cava (tubi) e a lastra sot-
tile (piastrina); il materiale di cui essi sono composti è ceramica
piezoelettrica Navy type III, noto anche come PZT-8.
Eccitando i campioni con una tensione sinusoidale a una fre-
quenza pari a quella di un modo proprio, sono state effettuate
misure del campo degli spostamenti superficiali. In regime non
lineare, è stata messa in evidenza la presenza di una componente
fondamentale di vibrazione e di armoniche superiori e, in partico-
lare, inferiore. Inoltre è stato mostrato come all’aumentare della
ampiezza di eccitazione si presenti uno spettro in frequenza quasi
continuo, indice di una vibrazione di tipo caotico.
Schema della Tesi
La prima parte della presente tesi riporta alcuni elementi di
teoria che sono stati utilizzati per l’elaborazione dei risultati spe-
rimentali.
Il primo capitolo presenta la teoria dell’elasticità sviluppata per

ELENCO DELLE FIGURE ix
i materiali piezoelettrici: in esso sono ricavate le equazioni costi-
tutive che governano il comportamento elastico di tali materiali.
Nel secondo capitolo è affrontato, inizialmente, lo studio della
propagazione ondosa libera in mezzi elastici, introducendo, suc-
cessivamente, l’equazione d’onda per i solidi e per i fluidi.
Nel terzo capitolo si introducono alcuni concetti sulle oscil-
lazioni non lineari: riferendosi all’oscillatore di Duffing, viene data
una giustificazione analitica della nascita di armoniche e subar-
moniche in condizioni non lineari. Inoltre, dopo un’introduzione
all’equazione di Mathieu, viene sviluppato un modello analitico
che descrive il fenomeno della generazione delle armoniche frazion-
ali, proprio basato sull’equazione di Mathieu.
Nel quarto capitolo sono illustrati la catena di misura utilizzata
nelle misure sperimentali e sono descritti i risultati sperimentali
ottenuti nello studio delle vibrazioni non lineari in cui si verifica
l’insorgenza di armoniche frazionali.
Questi risultati sperimentali, che ottengono riscontro nel mo-
dello analitico sviluppato, hanno consentito di dimostrare come il
fenomeno della generazione delle armoniche frazionali sia a carat-
tere ”locale”. Conseguenza della ”localizzazione” del fenomeno è
anche l’indipendenza del processo e delle condizioni sotto cui si
generano le armoniche frazionali dalla geometria dei campioni.

Capitolo 1
Teoria dell’elasticità
In questo capitolo sono presentati i principali risultati della
teoria dell’elasticità, alcuni validi per un qualsiasi corpo continuo
ed omogeneo, altri rivolti in particolare alla caratterizzazione dei
materiali piezoelettrici, dei quali sono date alcune informazioni
preliminari al paragrafo 1.1.
In generale, la deformazione di un corpo è dovuta all’azione di
forze esterne: se tali forze variano nel tempo, una perturbazione
elastica si propaga nel materiale. L’aspetto della propagazione è
affrontato con maggior dettaglio nel successivo capitolo. Di segui-
to invece, si introducono nel paragrafo 1.2.1 le variabili meccaniche
tensione e deformazione descritte dai relativi tensori; al paragrafo
successivo si prendono in esame le condizioni per l’equilibrio di un
volume solido interno al corpo per scrivere l’equazione del moto.
Inoltre, per materiali piezoelettrici, è necessario tener conto
delle variabili elettriche del campo: risulta lecita l’assunzione di
approssimazione quasi-statica del campo elettromagnetico, di cui
al paragrafo 1.2.3. Il problema assume la fisionomia della propaga-

1.1 I materiali piezoelettrici 2
zione di una perturbazione elasto-elettrica, con l’interazione di
grandezze meccaniche ed elettriche.
Le equazioni costitutive sono presentate al paragrafo 1.3, in
cui si ricava il legame tensione-deformazione (legge di Hooke),
e al paragrafo 1.4, dove si specializza la trattazione ai materiali
piezoelettrici. I legami tra le variabili di campo sono forniti da
tensori che comprendono, nel caso più complesso, 41 costanti signi-
ficative 1 . La simmetria dei cristalli interviene poi nella riduzione
del numero di costanti indipendenti (par. 1.5).
È opportuno sottolineare che le costanti elastiche qui considera-
te assumono il valore relativo ad un processo adiabatico. Quando
un corpo viene posto in vibrazione, a causa di effetti dissipativi in-
terni, esso presenta una temperatura dipendente dal tempo e dallo
spazio. Tuttavia, il trasferimento di calore per conduzione avviene
con tempi molto più lunghi dei periodi di oscillazione in genere
considerati, per cui diviene accettabile l’ipotesi di trasformazione
adiabatica, riferendo a questa i valori delle costanti elastiche.
1.1 I materiali piezoelettrici
Il termine piezoelettricità indica la proprietà di alcuni cristalli
di manifestare una polarizzazione elettrica se sollecitati da una
deformazione meccanica, circostanza a cui si dà il nome di effetto
piezoelettrico diretto. Viceversa, per effetto piezoelettrico inver-
so si intende la situazione reciproca, in cui l’applicazione di una
1 Si suddividono in 21 elastiche, 18 piezoelettrche, 6 dielettriche.

1.1 I materiali piezoelettrici 3
polarizzazione elettrica è in grado di indurre nel materiale una
deformazione meccanica. La totale invertibilità dei due effetti fa
inserire la piezoelettricità tra i fenomeni fisici di tipo reversibile.
Caratteristiche piezoelettriche si riscontrano in natura nei cri-
stalli privi di un centro di simmetria (quarzo, sale di Rochelle). In
realtà, l’effetto è stato evidenziato anche in cristalli monoatomi-
ci come il tellurio (Te) ed il selenio (Se): in questi casi la po-
larizzazione elettrica prodotta dalla deformazione è attribuita ad
un cambiamento nella distribuzione della nube elettronica degli
atomi.
Attualmente i materiali più utilizzati nelle applicazioni sono
di tipo artificiale: si tratta di ceramiche policristalline tra cui il
titanato di bario (BaTiO3), il titanato di piombo (PbTiO3), lo
zirconato di piombo (PbZrO3) e composti zirconio/titanio (cir-
ca in rapporto di 53/47), le ultime tre comunemente indicate
nella nomenclatura industriale con la sigla PZT (Piezoelectric
lead Zirconium Titanate ceramics); specifici additivi possono in-
oltre essere aggiunti per dare a ciascuna composizione le proprietà
fisico-chimiche desiderate.
Il processo tecnologico di fabbricazione delle ceramiche piezoe-
lettriche prevede una prima lavorazione per sinterizzazione 2 : si
giunge ad un solido composto da una moltitudine di domini fer-
roelettrici orientati in modo casuale e conseguentemente incapaci
2 Si tratta di un procedimento per cui da un miscuglio di polveri cristalline, si passa ad
un solido di forma opportuna (barre, piastre, anelli, dischi, cilindri cavi, etc.) attraverso la
compressione ed il riscaldamento in forno delle polveri.

1.1 I materiali piezoelettrici 4
di infondere nel materiale proprietà piezoelettriche. Dopo aver
disposto sulla superficie del solido elettrodi di argento per fusione
o elettrodi di nickel per deposizione chimica, ad esempio, si passa
all’applicazione di un elevato campo elettrico (pooling process),
tipicamente 200 V/m a temperature di 100 ◦ C, che causa l’allinea-
mento dei domini rendendo piezoelettrica la ceramica. La piezoe-
lettricità, anche detta elettrostrizione nel caso delle ceramiche,
permane all’annullarsi del campo elettrico ed a temperatura am-
biente, ma viene perduta al di sopra della temperatura di Curie,
generalmente tra i 200 e i 400 ◦ C, in relazione alla ceramica.
La direzione di polarizzazione definisce, per convenzione, l’asse
z di un sistema di coordinate ortogonali. Si è soliti utilizzare una
notazione degli assi che sostituisce alle lettere x, y e z i numeri 1,
2 e 3, utilizzando il 4, 5 e 6 per indicare le distorsioni intorno agli
assi 1, 2 e 3 rispettivamente.
Facendo riferimento all’effetto inverso, in figura 1.1 sono illu-
strate le tipologie di deformazione che possono avvenire in un
elemento piezoelettrico. Il caso (a) si riferisce ad un campione
il cui asse di polarizzazione è parallelo alla direzione di un cam-
po elettrico. Un campo applicato della stessa polarità del campo
di polarizzazione causa elongazione lungo l’asse 3 e contrazione
in tutte le direzioni perpendicolari. Un campo inverso provoca
contrazione secondo l’asse 3 ed espansione nelle direzioni trasver-
sali. Il caso (b) mostra invece la condizione con asse di polariz-
zazione perpendicolare al campo elettrico. Le deformazioni che ne

1.2 Il campo elasto-elettrico 5
3
(+)
Elettrodi
(−)
(−)
(a) (b)
(+)
Figura 1.1: Deformazioni in un elemento piezoelettrico.
scaturiscono sono di taglio e possono realizzarsi solo se l’elemento
è vincolato rigidamente 3 .
1.2 Il campo elasto-elettrico
1.2.1 Variabili meccaniche
Deformazioni
La figura 1.2 mostra due punti M ed N appartenenti ad un
corpo elastico sottoposto a deformazione ed individuati nel sis-
tema di riferimento cartesiano Ox1x2x3 dai vettori posizione xM
e xN. L’elemento infinitesimo di lunghezza dx sia soggetto ad
una deformazione tale da trasferire M ed N in M ′ ed N ′ attraver-
so gli spostamenti uM ed uN. Indicati i nuovi vettori posizione
con x ′ M e x′ N , risultano definite le seguenti componenti del vettore
3 Diversamente si avrebbe una violazione del principio di conservazione del momento della
quantità di moto.
3

1.2 Il campo elasto-elettrico 6
x1
spostamento:
x3
xN
N
dx
M
xM x ′ N
x ′ M
uM
x2
M ′
uN
dx ′
Figura 1.2: Deformazione di un solido.
uM,i(xj, t) = x ′ M,j(t) − xM,j
N ′
(1.1a)
uN,i(xj + dxj, t) = uN,i(xj, t) + ∂uN,i
dxj , (1.1b)
∂xj
nelle quali la variabile temporale t tiene conto del movimento lo-
cale intorno la posizione di equilibrio di ciascun punto e gli indici
i e j assumono i valori 1, 2 e 3. Il tensore del secondo ordine
∂uN,i/∂xj che compare nella equazione (1.1b) prende il nome di
gradiente di spostamento 4 ; il corpo subirà deformazione solo nel
caso in cui il gradiente sia diverso da zero.
In questa forma, tuttavia, il tensore non è adatto a descrivere
deformazioni, in quanto risulterebbe non nullo anche in corrispon-
denza di una rotazione rigida. Il problema può essere risolto de-
componendo ∂ui/∂xj [1] in una parte antisimmetrica Ωij e in una
4 Nelle relazioni successive si ometterà l’indicazione del pedice N.

1.2 Il campo elasto-elettrico 7
simmetrica Sij
Ωij(xj, t) = 1
∂ui
−
2 ∂xj
∂uj
∂xi
(1.2)
Sij(xj, t) = 1
∂ui
+
2 ∂xj
∂uj
.
∂xi
(1.3)
Lo spostamento descritto dalla (1.1b) diventa:
ui(xj + dxj, t) = ui(xj, t) + Sijdxj + Ωijdxj , (1.4)
in cui i termini del secondo membro tengono conto rispettivamente
di una traslazione, di una deformazione, di una rotazione locale
del corpo.
Nella successiva scrittura delle equazioni di campo (1.35) e
(1.38) il tensore Ωij non sarà considerato: esso, infatti, porterebbe
ad avere un termine inerziale trascurabile rispetto agli altri e quin-
di non fondamentale per lo studio della propagazione delle onde
elastiche.
Indicato con dV un volume infinitesimo del corpo, si definisce
dilatazione il rapporto S = (dV ′ −dV )/dV , che risulta esprimibile
come:
S = div u = ∂ui
∂xi
= Sii , (1.5)
cioè, la variazione di volume S è uguale alla traccia Sii del tensore
di deformazione.
I termini Sij, con i = j, si riferiscono, invece, a spostamenti
duj perpendicolari all’elemento dxi e corrispondono ad una defor-
mazione di taglio responsabile della variazione dell’angolo tra due
elementi infinitesimi inizialmente perpendicolari.

1.2 Il campo elasto-elettrico 8
x1
x3
fdV
Figura 1.3: Equilibrio meccanico di un volume interno ad un solido.
Tensioni
n
ds
La deformazione di un solido è dovuta all’azione di forze es-
terne: queste possono essere forze superficiali di contatto o forze
di volume (gravitazionali, elettromagnetiche, etc.). L’equilibrio
meccanico sarà garantito solo se nel corpo nascono forze interne
di reazione.
Considerato un elemento di superficie arbitrario, interno al soli-
do e di area ds su cui agisce una forza dF (Figura 1.3), si definisce
il vettore tensione meccanica T come forza per unità di area
dF /ds; la sua intensità e direzione dipendono dall’orientamen-
to dell’elemento ds, per cui introdotto il versore n = (n1, n2, n3)
normale a ds si può scrivere:
T (n) = lim
ds→0
x2
dF
ds
s
dV
V
pds
. (1.6)
Si prenda in esame un volume V interno al solido; siano pi ed fi
le componenti delle forze di superficie e di volume. La risultante

1.2 Il campo elasto-elettrico 9
F delle forze applicate al volume V è la somma della tensione
T (n) sulla superficie s, che racchiude V , e delle forze di volume
agenti all’interno di V :
Fi =
s
Ti(n)ds +
V
fidV = 0 . (1.7)
L’applicazione del teorema della divergenza consente di scrivere:
V
fidV = −
V
∂Tik
dV = − Tiknkds
∂xk
s
(1.8)
e sostituendo nella (1.7) si ottiene:
Ti(n) = Tiknk . (1.9)
Quest’ultima esprime la tensione meccanica attraverso le nove
componenti Tik appartenenti al tensore delle tensioni di rango
due ed espresse in [N/m 2 ].
1.2.2 Equazioni del moto
La conoscenza del tensore delle tensioni consente di scrivere le
equazioni di equilibrio dinamico per un volume interno al solido.
Sostituendo l’integrale di superficie della (1.7) con l’integrale
di volume fornito dall’ultima uguaglianza della (1.8), la risultante
delle forze agenti sul volume V diventa:
Fi =
V
∂Tik
∂xk
+ fi dV = 0 . (1.10)
L’applicazione della seconda equazione della dinamica porta quin-
di alla:
∂Tik
∂xk
+ fi = ρ ∂2ui , (1.11)
∂t2

1.2 Il campo elasto-elettrico 10
la quale va sotto il nome di equazione elastodinamica del moto per
un mezzo solido continuo.
Si prenda ora in considerazione un piccolo volume dV soggetto
ad una rotazione θk intorno all’asse coordinato Oxk. L’equazione
di equilibrio alla rotazione [1] si riduce 5 alla
Tji − Tij + Gk = 0 , (1.12)
avendo indicato con Gk il momento delle forze esterne per unità
di volume.
Nel caso in cui Gk sia nullo, la (1.12) fornisce la relazione
Tji = Tij , (1.13)
che esprime la simmetria del tensore delle tensioni, le cui compo-
nenti indipendenti si riducono quindi a sei.
A rigore, per lo studio dei cristalli polari sottoposti ad un cam-
po elettrico sarebbero necessarie tutte le componenti del tensore;
tuttavia, la torsione è piccola rispetto alle deformazioni prodotte
dalle tensioni normali e di taglio e, nella pratica, la simmetria del
tensore è assunta anche quando non direttamente verificata.
1.2.3 Variabili elettriche
Nei paragrafi precedenti, lo stato meccanico del solido è sta-
to descritto mediante i tensori di deformazione e delle tensioni:
queste quantità variabili nel tempo e nello spazio costituiscono il
campo elastico.
5 Nella semplificazione si considera che il momento di inerzia Ik → 0 per dV → 0.

1.2 Il campo elasto-elettrico 11
Nei materiali piezoelettrici l’interdipendenza delle variabili mec-
caniche ed elettriche implica accoppiamento tra le onde elastiche
ed elettromagnetiche. Contributi dovuti al campo elettrico inter-
vengono nelle equazioni dinamiche e termini relativi alla defor-
mazione vanno considerati nelle equazioni elettromagnetiche.
Teoricamente la distribuzione del campo può essere trovata
solo risolvendo simultaneamente le equazioni dinamiche e quelle
di Maxwell, ottenendo soluzioni rappresentate da onde ”elasto-
elettromagnetiche”: in particolare, tre onde elastiche accompa-
gnate da un campo elettrico e due elettromagnetiche seguite da
una deformazione meccanica.
Il problema può essere semplificato, essendo la velocità delle
onde elastiche molto minore della velocità delle onde elettromagne-
tiche 6 : questo va imputato al fatto che il campo elastico coinvolge
spostamento di materia, con un trasferimento di deformazioni e
tensioni da un punto ad un altro molto lento rispetto alla velocità
di propagazione del campo elettrico. Di conseguenza, i campi elet-
trico e magnetico associati alle vibrazioni meccaniche, propagan-
tisi con la velocità della perturbazione elastica diventano trascur-
abili. Diventa lecita l’approssimazione di considerare il campo
elettromagnetico associato al campo elastico, di tipo quasi-statico
e, le equazioni di Maxwell forniscono
∇ × E = − ∂B
∂t
0 , (1.14)
in cui B è il campo magnetico ed E è il campo elettrico derivabile,
6 c = (10 4 ÷ 10 5 )V , c: velocità onde elettromagnetiche, V : velocità onde elastiche.

1.2 Il campo elasto-elettrico 12
come in elettrostatica, dal potenziale scalare Φ secondo la
Ei = − ∂Φ
. (1.15)
∂xi
L’energia magnetica prodotta dalla deformazione è trascura-
bile se paragonata alla quotaparte elettrica, così come, nel caso
dell’onda elettromagnetica, l’energia elastica lo è rispetto a quella
elettromagnetica.
Da tali considerazioni ne deriva che l’interazione tra le tre onde
elastiche e le due elettromagnetiche è debole e, conseguentemente,
i fenomeni di propagazione ad esse associati possono essere trattati
separatamente.
Insieme al campo elettrico, l’altra variabile necessaria alla de-
scrizione dei solidi piezoelettrici è il vettore spostamento elettrico
D; esso segue l’equazione di Poisson
∂Dj
∂xj
dove ρe è la densità volumica di cariche.
= ρe , (1.16)
Per materiali conduttori, infine, dovrà essere verificata l’equazio-
ne di conservazione della carica
∂Ji
∂xi
+ ∂ρe
∂t
= 0 , (1.17)
avendo indicato con Ji la densità di corrente di conduzione per
unità di area.
1.2.4 Condizioni al contorno
Quando siano riferite ad un mezzo di dimensioni finite, le solu-
zioni delle precedenti equazioni devono soddisfare opportune con-

1.2 Il campo elasto-elettrico 13
dizioni al contorno tra il materiale in esame e quello ad esso
adiacente.
Se i due materiali sono solidi rigidamente a contatto, lo sposta-
mento deve essere continuo in tutti i punti del contorno di sepa-
razione, per cui
u (1)
i
= u(2)
i , (1.18)
dove l’apice (2) è riferito al materiale in contatto con la superficie
del mezzo piezoelettrico (1). Per il caso particolare di contatto
solido-fluido, la precedente condizione si applica alla sola compo-
nente normale dello spostamento, in quanto il fluido è libero di
muoversi in direzioni parallele alla superficie.
Scrivendo l’equilibrio per ogni punto della superficie del solido
[1], si giunge inoltre all’espressione
T (1)
i
− T (2)
i = pi . (1.19)
Essendo pi la forza esterna di superficie per unità di area; in as-
senza di quest’ultima, la tensione Ti è continua. Se il mezzo (2) si
riduce al vuoto, allora
T (1)
i
(1)
= T ij nj = 0 , (1.20)
cioè la tensione meccanica è nulla in corrispondenza di superficie
libera.
Le condizioni elettriche, in virtù dell’approssimazione quasi-
statica (paragrafo 1.2.3), sono quelle che si riferiscono al campo
elettrostatico. Sulla superficie di separazione tra i due mezzi, si ha

1.3 Legge di Hooke 14
conservazione della componente tangenziale del campo elettrico e
del potenziale scalare:
E (2)
t = E (1)
t
(1.21)
Φ (2) = Φ (1) . (1.22)
La componente normale dello spostamento elettrico rispetta la
condizione
con σ densità superficiale di carica libera.
D (2)
n − D (1)
n = σ , (1.23)
Infine, la densità di corrente di conduzione richiede che:
1.3 Legge di Hooke
J (1)
n − J (2)
n = dσ
. (1.24)
dt
Al paragrafo 1.2.1 si è visto come l’equilibrio meccanico di un
solido soggetto a deformazione sia garantito dalla nascita di ten-
sioni interne di reazione; è intuibile l’esistenza di una relazione che
leghi tensione e deformazione.
In generale, si può distinguere tra materiali duttili e materiali
fragili; i primi, al nascere della sollecitazione, sono caratterizzati
da un legame tensione-deformazione di tipo lineare (campo elas-
tico), quindi con andamento discostantesi dalla linearità all’au-
mentare del carico (campo plastico), per poi giungere al collasso
in corrispondenza della tensione di rottura; i secondi, invece, pre-
sentano il solo campo elastico e il superamento di tale limite li
porta direttamente a rottura.

1.3 Legge di Hooke 15
In campo elastico, al cessare della sollecitazione si ha un re-
cupero totale della deformazione. Raggiunto il campo plasti-
co, la deformazione elastica è ancora recuperata all’annullarsi del
carico, ma sarà presente anche una quotaparte di deformazione
permanente.
Si consideri un materiale elastico e si sviluppi in serie di Taylor
intorno al valore Skl = 0 il tensore delle tensioni:
Tij(Skl) = Tij(0) + ∂Tij
Skl
∂Skl
+
Skl=0
+ 1 ∂
2
2
Tij
SklSmn + . . . ; (1.25)
∂Skl∂Smn
Skl=0,Smn=0
nell’ipotesi di piccole deformazioni, quando cioè il gradiente di
spostamento assume valori di 10 −4 o 10 −3 , tale sviluppo può essere
arrestato al primo ordine ed essendo Tij(0) = 0 si ottiene
in cui
Tij = cijklSkl , (1.26)
cijkl = ∂Tij
∂Skl
Skl=0
. (1.27)
L’equazione (1.26) è nota come legge di Hooke e costituisce la
relazione di proporzionalità tra tensioni e deformazioni attraverso
le 81 componenti cijkl del tensore di rigidità, espresse in newton
al metro quadrato.
La simmetria dei tensori Tij e Skl consente di scambiare la
coppia di indici ij e la coppia kl, per cui
cijkl = cjikl cijkl = cijlk (1.28)
ed il numero di costanti indipendenti si riduce da 81 a 36.

1.3 Legge di Hooke 16
Facendo uso nella (1.26) dell’espressione (1.3) del tensore sim-
metrico Skl, la legge di Hooke può essere riscritta in termini di
spostamenti come:
Tij = 1
2 cijkl
∂uk
∂xl
+ 1
2 cijkl
∂ul
∂xk
ed essendo cijkl = cijlk si ottiene in definitiva
Tij = cijkl
(1.29)
∂ul
. (1.30)
∂xk
È opportuno sostituire la notazione tensoriale che fa uso degli
indici i, j, k, l, con quella matriciale; poste le seguenti corrispon-
denze
(11) ↔ 1 (22) ↔ 2 (33) ↔ 3
(23) = (32) ↔ 4 (31) = (13) ↔ 5 (12) = (21) ↔ 6 ,
(1.31)
è sufficiente utilizzare due indici α e β con valori da 1 a 6, in modo
che α sia associato a (ij) e β a (kl) 7 .
Impiegando tale notazione, la legge di Hooke (1.26) può essere
riscritta nella forma
ma questo richiede che Sβ sia definito come
Tα = cαβSβ, (1.32)
S1 = S11, S2 = S22, S3 = S33, S4 = 2S23, S5 = 2S13, S6 = 2S12 .
L’inversione della legge di Hooke consente di esprimere le de-
formazioni in termini di tensioni:
7 Ad esempio: cαβ = c14 = cijkl = c1123 = c1132.
Sij = sijklTkl . (1.33)

1.3 Legge di Hooke 17
Tensioni (10 9 Pa)
0
-50
-100
-150
Scarico
C
Carico
-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0
Deformazioni (%)
Figura 1.4: Curva tensione-deformazione del PZT-8 ([6]).
Il legame tra le due grandezze è ora realizzato dalle componenti
sijkl del tensore di elasticità, che gode delle stesse proprietà di
simmetria del tensore cijkl. Facendo uso della simbologia (1.31) si
avrà:
Sα = sαβTβ . (1.34)
Una tipica curva tensione-deformazione per materiali piezoelet-
trici ceramici (PZT-8) è illustrata in figura 1.4. Essa è stata ot-
tenuta da uno studio sperimentale [6] compiuto su dischi ceramici
sottoposti a prove di compressione parallelamente all’asse di po-
larizzazione. Sollecitando i provini in modo tale che il tasso di
crescita della tensione fosse di 0.25·10 9 Pa/s in fase di carico e
di 0.5·10 9 Pa/s in fase di scarico, è stata messa in evidenza la
comparsa di un ciclo di isteresi. L’andamento iniziale della curva
è circa lineare. All’aumentare del carico si ha un discostamento

1.4 Equazioni costitutive di campo 18
dalla linearità con una riduzione del modulo elastico tangente 8 fin
quando, procedendo ulteriormente nell’incremento di tensione, si
giunge ad un valore critico in corrispondenza del punto di flesso C
caratterizzato dalla minima rigidità. Si ha quindi un irrigidimento
del materiale con un riavvicinamento alla linearità. Raggiunta la
tensione massima e procedendo allo scarico del campione, si segue
un ramo della curva differente dal percorso di andata. Al valore
nullo di tensione si riscontra una deformazione residua.
Da tale fenomenologia si deduce un comportamento del mate-
riale contraddistinto da un graduale rilassamento elastico, seguito
da un irrigidimento a partire dal punto C della curva di carico.
Evidenti sono le caratteristiche di inelasticità dovute all’isteresi e
quindi l’applicazione della legge di Hooke alle ceramiche piezoelet-
triche andrà fatta rispettando rigorosamente l’ipotesi di piccole
deformazioni. Diversamente, bisognerebbe utilizzare un modello
teorico più complesso [6] che permetta di prendere in considera-
zione i fenomeni descritti.
1.4 Equazioni costitutive di campo
Si è detto che nei materiali piezoelettrici alla propagazione delle
grandezze elastiche si accompagna quella di un campo elettrico,
che risultano così quantità tra loro accoppiate; dopo aver trattato,
con la legge di Hooke, l’aspetto puramente meccanico, occorre
8 Il modulo tangente indica la pendenza della curva tensione-deformazione.

1.4 Equazioni costitutive di campo 19
introdurre equazioni che siano contemporaneamente funzione delle
variabili di campo deformazione meccanica S e campo elettrico E.
La prima equazione si riferisce allo spostamento elettrico Di ed
assume la forma
in cui il tensore e E ijk
Di = ɛ S ijEj + e E ijkSjk , (1.35)
di rango tre contiene le costanti piezoelettriche
espresse in coulomb al metro quadrato e fornisce la variazione di
Di rispetto Sij, quando si tenga costante il campo elettrico:
e E ijk =
∂Di
∂Sjk
E
. (1.36)
La simmetria del tensore Sjk consente di scambiare tra loro gli ulti-
mi due indici del tensore e E ijk
indipendenti passa così da 27 a 18.
Il tensore ɛ S ij
ed il numero di costanti piezoeletriche
del secondo ordine è costituito dalle costanti dielet-
triche (permittività) espresse in F/m e tiene conto della variazione
dello spostamento dovuta al campo elettrico, in condizioni di de-
formazione costante:
ɛ S ij =
∂Di
∂Ej
S
. (1.37)
La seconda equazione deriva da considerazioni termodinamiche
[1] relative alla variazione di energia interna durante una trasfor-
mazione reversibile cui sia soggetto il materiale piezoelettrico.
Essa consente di esprimere la variabile tensione meccanica come
Tjk = −e S ijkEi + c E jklmSlm . (1.38)
I coefficienti di proporzionalità che compaiono nel secondo mem-
bro della precedente, mostrano che un campo elettrico o una de-

1.5 Numero di costanti indipendenti nei sistemi cristallografici 20
formazione sono capaci di produrre una tensione meccanica Tjk,
rispettivamente in condizioni di deformazione o campo elettrico
costante 9 :
e S ijk = −
∂Tjk
∂Ei
c E
∂Tjk
jklm =
∂Slm
S
E
(N/Vm) (1.39)
(N/m 2 ) . (1.40)
Facendo uso della notazione matriciale in accordo alle conven-
zioni (1.31), le equazioni (1.35) e (1.38) possono essere riscritte
come
Di = ɛ S ijEj + e E iαSα
(1.41a)
Tα = c E αβSβ − e S iαEi ; (1.41b)
esse rappresentano le equazioni costitutive che governano il com-
portamento elastico e piezoelettrico, fornendo lo spostamento elet-
trico e la tensione meccanica in termini delle variabili indipendenti
campo elettrico e deformazione.
1.5 Numero di costanti indipendenti nei siste-
mi cristallografici
In questo paragrafo ci si limiterà a riportare alcuni risultati
notevoli relativi all’argomento in esame; una trattazione appro-
fondita del problema può comunque trovarsi nei riferimenti bibli-
ografici [1], [3], [4].
La matrice 6 × 6 dei moduli elastici c E αβ
presenta simmetria
rispetto la diagonale principale, per cui il numero di costanti
9 Nella simbologia si è omesso di indicare la costanza dell’entropia.

1.5 Numero di costanti indipendenti nei sistemi cristallografici 21
indipendenti passa da 36 a 21:
(c E
αβ) =
c11 c12 c13 c14 c15 c16
c12 c22 c23 c24 c25 c26
c13 c23 c33 c34 c35 c36
c14 c24 c34 c44 c45 c46
c15 c25 c35 c45 c55 c56
c16 c26 c36 c46 c56 c66
triclino. (1.42)
Ulteriori semplificazioni possono derivare dalla simmetria propria
di ciascun sistema cristallografico. I casi estremi sono rappresen-
tati dal sistema triclino, per il quale il numero di costanti rimane
inalterato a 21 come nella matrice (1.42), e dai solidi isotropi,
che, dotati di elevata simmetria 10 , sono caratterizzabili attraverso
le due sole costanti elastiche, dette costanti di Lamè, λ e µ, tali
che
c11 = c22 = c33 = λ + 2µ
c12 = c23 = c13 = λ
c44 = c55 = c66 = c11−c12
2
e le restanti componenti della (1.42) nulle 11 :
= µ,
(1.43)
10 Il tensore di rigidità per solidi isotropi è invariante rispetto a cambiamenti di assi,
rotazioni e simmetrie rispetto un punto o un piano.
11 In alternativa a λ e µ, si possono utilizzare il modulo di Young Y ed il coefficiente di
Poisson ν.

1.5 Numero di costanti indipendenti nei sistemi cristallografici 22
(c E αβ) =
c11 c12 c12 0 0 0
c12 c11 c12 0 0 0
c12 c12 c11 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c44
isotropo. (1.44)
I rimanenti sistemi cristallini sono descrivibili da un numero di
costanti che oscilla all’interno dei suddetti limiti. In particolare,
si vogliono ancora citare i cristalli della classe 6mm appartenenti
al sistema esagonale 12 , la cui matrice di rigidità presenta 5 com-
ponenti indipendenti:
(c E αβ) =
con c66 = (c11 − c12)/2.
c11 c12 c13 0 0 0
c12 c11 c13 0 0 0
c13 c13 c33 0 0 0
0 0 0 c44 0 0
0 0 0 0 c44 0
0 0 0 0 0 c66
classe 6mm, (1.45)
Le matrici piezoelettriche e dielettriche dispongono, nel caso
più generale di anisotropia (sistema triclino), rispettivamente di
18 e 6 costanti significative. Facendo ancora riferimento alla classe
12 Il sistema esagonale dispone di un asse principale cristallografico proveniente dalla
combinazione di un asse diadico con uno triadico.

1.5 Numero di costanti indipendenti nei sistemi cristallografici 23
6mm, la simmetria cristallografica riduce il numero di costanti in-
dipendenti a 3 e 2, nell’ordine:
(e E iα) =
0 0 0 0 e15 0
0 0 0 e15 0 0
e31 e31 e33 0 0 0
(ɛ S ij) =
ɛ11 0 0
0 ɛ11 0
0 0 ɛ33
classe 6mm, (1.46)
classe 6mm. (1.47)
Si può dimostrare che le proprietà elasto-elettriche di un cristallo
della classe 6mm sono invarianti per rotazioni intorno l’asse prin-
cipale; i piani che contengono questo asse sono equivalenti tra loro
e il materiale è trasversalmente isotropo.
Nelle ceramiche piezoelettriche (PZT), tale isotropia si manife-
sta perpendicolarmente alla direzione di polarizzazione e ciò rende
possibile rappresentare le caratteristiche elastiche, piezoelettriche
e dielettriche dei PZT (Tabella 1.1) attraverso le matrici proprie
della classe 6mm.
c11 c12 c13 c33 c44 c66 e15 e31 e33 ɛ11 ɛ33
(10 10 N/m 2 ) (C/m 2 ) (10 −11 F/m)
14.9 8.11 8.11 13.2 3.13 3.39 12.7 -5.2 15.1 650 560
Tabella 1.1: Costanti elastiche, piezoelettriche e dielettriche della ceramica
PZT-8.

Capitolo 2
Onde in mezzi elastici
Dopo aver introdotto nel precedente capitolo le equazioni fon-
damentali della teoria dell’elasticità, si vuole ora procedere allo
studio della propagazione di onde nei materiali.
Al paragrafo 2.1 si considera il caso di propagazione libera
introducendo l’equazione d’onda dapprima nella forma generale
valida per i solidi, estesa poi al caso dei materiali piezoelettrici ed
infine ricavata anche per i fluidi.
Rimane ancora una precisazione circa l’ipotesi di corpo con-
tinuo: essa richiede che la lunghezza d’onda sia molto maggiore
delle distanze interatomiche nel materiale; quando infatti le due
grandezze diventino comparabili, il mezzo non è più continuo
rispetto alla scala di variazione spaziale delle variabili meccaniche,
ed assume proprietà dispersive. Nota la velocità di propagazione,
risulta fissato un limite superiore per la frequenza dell’onda oltre il
quale la propagazione è impedita. Tuttavia, le comuni applicazioni
dei risonatori piezoelettrici, anche quando avvengano alle più alte
frequenze (10 GHz), permettono di ritenere verificata l’ipotesi di

2.1 Equazione d’onda 25
corpo continuo senza necessità di imporre restrizioni alcune.
2.1 Equazione d’onda
2.1.1 Propagazione nei solidi
Si consideri un solido localmente in moto per effetto di un di-
sturbo propagantesi al suo interno. Nell’ipotesi semplificativa di
assenza di forze di volume fi, l’equazione del moto (1.11) si riduce
a
ρ ∂2ui ∂t2 ∂Tik
= .
∂xk
(2.1)
Combinando la precedente con l’espressione del tensore delle ten-
sioni Tik fornita dalla legge di Hooke nella forma (1.30), si giunge
ad un’equazione nella sola incognita spostamento u:
ρ ∂2 ui
∂t
2 = cijkl
∂ 2 ul
. (2.2)
∂xj∂xk
Quest’ultima rappresenta l’equazione delle onde valida in tre di-
mensioni per un mezzo elastico lineare in assenza di forze ester-
ne e di dissipazione, e costituisce un sistema di tre equazioni
differenziali del secondo ordine nelle incognite ui.
Una soluzione immediata è fornita da un’onda piana monocro-
matica di ampiezza A, pulsazione ω e vettore d’onda k, esprimi-
bile in forma complessa come
u = Ae j(ωt−k·x)
(2.3)
che, sostituita nell’equazione (2.2), consente di eliminare la dipen-
denza temporale e studiare il problema attraverso la cosiddetta

2.1 Equazione d’onda 26
equazione di Christoffel [1]
ρω 2 Ai = cijklkjkkAl , (2.4)
la quale può essere scritta in forma migliore introducendo il ten-
sore di Kronecker δil ed il tensore di Christoffel Γil = cijklkjkk:
(ρω 2 δil − Γil)Al = 0 . (2.5)
Il sistema omogeneo (2.5) mostra che la polarizzazione Al dell’on-
da, indicante la direzione dello spostamento delle particelle costi-
tuenti il mezzo 1 , è un autovettore del tensore Γil con autovalore
γ = ρω 2 legato alla velocità di propagazione dell’onda o velocità
di fase 2 V f = ω/k.
Per una data direzione, ci sono in generale tre velocità di fase
che sono le soluzioni dell’equazione secolare
|ρω 2 δil − Γil| = 0 , (2.6)
che esprime la relazione di dispersione fra la frequenza dell’onda
ed il suo numero d’onda. Come detto, per ciascuna velocità, cioè
per ciascun autovalore, esiste un corrispondente autovettore che
fornisce la direzione di spostamento delle particelle. La simmetria
del tensore di rigidità cijkl trasferisce la stessa proprietà al tensore
Γil, che risulterà così dotato di autovalori reali e autovettori or-
togonali. Da ciò si desume che tre onde piane con polarizzazioni
1 Una convenzione alternativa considera come direzione di polarizzazione quella ortogonale
allo spostamento delle particelle.
2 La definizione indica la velocità con cui un ipotetico osservatore si deve muovere per
vedere l’onda con la medesima fase in ogni istante.

2.1 Equazione d’onda 27
ortogonali tra loro possono propagarsi nella stessa direzione con
differenti velocità.
Un’onda è detta dispersiva se la sua velocità di propagazione
non è costante, ma dipende da k e quindi dalla frequenza. Questo
deriva dal fatto che una soluzione generale dell’equazione d’onda è
rappresentata dalla sovrapposizione di diverse onde di tipo (2.3),
costituenti un pacchetto di onde. Se la velocità di fase non è la
stessa per tutti i k, quindi ω = ck, dove c è una costante, allora le
soluzioni con diversi vettori d’onda si propagano a velocità diverse,
ossia si disperdono. La quantità importante per un pacchetto
d’onde aventi diversi k diviene quindi la velocità di gruppo definita
come V g = dω/dk.
Per mezzi isotropi ogni direzione di propagazione è equivalente.
Considerando ad esempio un’onda monocromatica u = Ae j(ωt−kx1)
in moto lungo l’asse x1 di un sistema di riferimento ortogonale
Ox1x2x3, l’equazione di Christoffel restituisce le tre relazioni
ω
2 A1 =
k
c11
ρ A1
(2.7a)
ω
2 A2 =
k
c44
ρ A2
ω
2 A3 =
k
(2.7b)
c44
ρ A3 . (2.7c)
La prima rappresenta un’onda polarizzata longitudinalmente in
direzione x1 con velocità di fase VL = c11/ρ, le rimanenti si
riferiscono a due onde trasversali polarizzate secondo gli assi x2
ed x3 e che viaggiano alla medesima velocità VT = c44/ρ =
(c11 − c12)/2ρ.

2.1 Equazione d’onda 28
A (3)
A (2)
k
A (1)
Figura 2.1: Vettori spostamento dell’onda quasi-longitudinale (A (1) ) e delle
onde quasi-trasversali (A (2) , A (3) ) nel caso di mezzo anisotropo.
Nel caso di mezzi anisotropi la propagazione ha invece carattere
direzionale. Il vettore spostamento u non è generalmente paral-
lelo o perpendicolare alla direzione di propagazione individuata
da k, come appare in figura 2.1. L’onda con polarizzazione più
vicina a k è chiamata quasi-longitudinale, le altre due sono dette
quasi-trasversali. Queste ultime, di solito, si propagano a velocità
minore delle onde quasi-longitudinali.
2.1.2 Propagazione nei materiali piezoelettrici
Al paragrafo 1.2.3 si è detto che nello studio della propagazione
delle onde elastiche nei materiali piezoelettrici il campo elettri-
co può essere assunto di tipo quasi-statico e quindi derivato dal
potenziale scalare Φ secondo la relazione Ek = −(∂Φ/∂xk). Sosti-
tuendo tale relazione ed il tensore simmetrico di deformazione
nell’equazione costitutiva (1.38), si ottiene
Skl = 1
2
∂ul
∂xk
+ ∂uk
∂xl
Tij = c E ijkl
∂ul
∂xk
+ e S kij
∂Φ
, (2.8)
∂xk

2.1 Equazione d’onda 29
che inserita nell’equazione del moto (2.1) in assenza di forze di
volume, restituisce
ρ ∂2 ui
∂ 2 ul
∂t2 = cEijkl ∂xj∂xk
+ e S kij
∂2Φ . (2.9)
∂xj∂xk
Effettuando le analoghe sostituzioni nell’equazione costitutiva
(1.35), si giunge a
Dj = e E jkl
∂ul
∂xk
− ɛ S ∂Φ
jk , (2.10)
∂xk
con lo spostamento elettrico Dj che deve soddisfare l’equazione di
Poisson ∂Dj/∂xj = 0, per cui
e E jkl
∂2ul − ɛ
∂xj∂xk
S ∂
jk
2Φ = 0 . (2.11)
∂xj∂xk
Anche in questo caso si può pensare di ricercare una soluzione
alle equazioni (2.9) e (2.11) nella forma di un’onda piana monocro-
matica propagantesi secondo la direzione k, del tipo
u = Ae j(ωt−k·x)
e Φ = Φ0e j(ωt−k·x) , (2.12)
le quali, per sostituzione, consentono di ricavare il sistema di
equazioni accoppiate di campo
⎧
⎨
⎩
ρω 2 Ai = ΓilAl + γiΦ0
γlAl − ɛΦ0 = 0
in cui si sono definite le quantità
, (2.13)
Γil = c E ijklkjkk , γi = e E kijkjkk , ɛ = ɛ S jkkjkk .
Dalla seconda equazione del sistema (2.13) si ricava Φ0 = γlAl/ɛ e
sostituendo nella prima si ottiene l’equazione di Christoffel valida

2.1 Equazione d’onda 30
per materiali piezoelettrici, e cioè
ρω 2
−
Γil + γiγl
ɛ
Al = 0 , (2.14)
che ha come soluzioni tre onde piane elastiche propagantesi se-
condo k, le cui velocità di fase V f = ω/k sono ricavabili dagli
autovalori ¯γ = ρω 2 di un tensore simmetrico di rango due definito
in questo caso come
¯Γil = Γil + γiγl
ɛ
, (2.15)
mentre le polarizzazioni Al, mutuamente ortogonali, sono date dai
corrispondenti autovettori.
L’influenza della piezoelettricità nell’equazione d’onda appare
quindi esprimibile in termini di costanti elastiche modificate, di
natura fittizia in quanto definite solo per onde piane e dipendenti
dalla direzione di propagazione, del tipo
¯cijkl = c E ijkl + (eE pij kp)(e E qkl kq)
ɛ S jk kjkk
che fanno assumere al tensore di Christoffel la forma ¯ Γil = ¯cijklkjkk.
2.1.3 Propagazione nei fluidi
Paragonata al caso dei solidi, la propagazione in un fluido com-
pressibile, come ad esempio l’aria, può trattarsi in maniera più
semplice impiegando un parametro di tipo scalare con cui sia pos-
sibile caratterizzare l’ampiezza di oscillazione di una particella di
fluido 3 .
3 Col termine particella di fluido si indica un volume di materiale sufficientemente ampio
da poter ignorare l’aspetto molecolare, ma molto più piccolo della lunghezza d’onda in modo
da verificare l’ipotesi di mezzo continuo.
,

2.1 Equazione d’onda 31
Si consideri, in particolare, la propagazione tridimensionale in
un fluido continuo, omogeneo, isotropo, perfettamente compres-
sibile (elastico) e nel quale siano assenti fenomeni di dissipazione.
Indicata con p(x, t) la pressione istantanea nel punto x, è conve-
niente scegliere come variabile scalare associata all’onda acustica
la sovrappressione δp(x, t), cioè la pressione locale riferita alla
pressione di equilibrio p0(x):
δp(x, t) = p(x, t) − p0(x) . (2.16)
Sotto l’azione della sovrappressione δp, un elemento di superficie
di area ds subisce uno spostamento u(x, t); indicato con n il ver-
sore normale alla superficie, il volume spazzato è (u · n)ds, con
una variazione pari a
∆V = (u · n)ds (2.17)
s
e, facendo uso del teorema della divergenza, quest’ultima diviene
∆V = (∇ · u)dV = S(x)dV , (2.18)
V
in cui S(x) = δ(dV )/dV è la dilatazione locale che fornisce il
cambiamento relativo di volume di una particella di fluido come
divergenza del vettore spostamento:
V
S(x) = ∇ · u . (2.19)
In assenza di forze esterne applicate, scrivendo la seconda equa-
zione della dinamica per un cubo elementare di volume fluido [1]
si giunge all’equilibrio secondo gli assi ortogonali di un sistema di

2.1 Equazione d’onda 32
riferimento Ox1x2x3, espresso da equazioni che legano la pressione
p alle componenti ui dello spostamento e che assumono la forma
ρ0 ∂2 u1
∂t 2 = − ∂p
∂x1 riferendosi, ad esempio, all’asse x1. Volendo sinte-
tizzare le tre equazioni in un’unica espressione vettoriale, si può
scrivere
ρ0
∂2u = −∇(δp) = −grad δp , (2.20)
∂t2 ed applicando l’operatore divergenza ad entrambi i membri, si
ottiene
ρ0
∂2S = −∆(δp) , (2.21)
∂t2 nella quale si è tenuto conto del risultato (2.19) e si è indicato con
∆ l’operatore Laplaciano 4 .
La sovrappressione δp è in relazione al cambiamento di vo-
lume attraverso il coefficiente di compressibilità χ, sufficiente a
caratterizzare il comportamento elastico di un fluido non viscoso
e definito come
χ = − 1
dV
δ(dV )
δp
(1/Pa) . (2.22)
Nel campo dell’acustica lineare, il coefficiente χ consente di espri-
mere il legame tra dilatazione e sovrappressione interpretabile
come l’equivalente della legge di Hooke per il caso dei fluidi:
δp = − S
. (2.23)
χ
Eliminando la dilatazione S tra le equazioni (2.21), (2.23), si
giunge alla ricercata equazione d’onda, valida in campo lineare per
4 ∆ = ∇ · ∇ = ∂ 2
∂x 2 + ∂2
∂y 2 + ∂2
∂z 2 .

2.1 Equazione d’onda 33
fluidi non viscosi in assenza di forze esterne applicate:
∆(δp) = 1
c2 ∂2 (δρ)
∂t2 , (2.24)
dove c = 1/ √ ρ0χ è la velocità di propagazione dell’onda, che as-
sume valori dipendenti dalla trasformazione termodinamica segui-
ta dal fluido.
Un’onda viaggiante in un fluido presenta tipicamente polariz-
zazione longitudinale, ovvero parallela al vettore d’onda k; ciò è
connesso all’incapacità di un fluido non viscoso di trasmettere al
suo interno sforzi di taglio e quindi di presentare moti trasversali;
appare così giustificato l’impiego di una variabile scalare adatta a
fornire l’unica soluzione dell’equazione d’onda (2.24).
2.1.4 Attenuazione
Finora si è ammesso che l’ampiezza di oscillazione dei punti
investiti da un’onda piana armonica fosse ovunque la stessa. In
realtà, in un mezzo reale, sono sempre presenti fenomeni dissi-
pativi che convertono parte dell’energia di vibrazione in energia
termica; di conseguenza l’ampiezza di oscillazione delle particelle
e quindi l’ampiezza dell’onda si attenua con la distanza dalla sor-
gente. Molteplici sono le forme di assorbimento dell’energia ela-
stica che possono presentarsi nel mezzo: per i cristalli, se ne tiene
conto inserendo un termine dissipativo nella legge di Hooke, che
così diventa [1]
∂Skl
Tij = cijklSkl + ηijkl
∂t
(2.25)

2.1 Equazione d’onda 34
e mostra come il tensore di attrito viscoso ηijkl, in unità newton
al secondo al metro quadrato, determini col proprio contributo
un ritardo temporale nella risposta del sistema. L’impiego della
relazione generalizzata (2.25) fa comparire un termine aggiuntivo
nell’equazione d’onda (2.2), che assume l’aspetto
ρ ∂2 ui
∂t
2 = cijkl
∂ 2 ul
∂xj∂xk
∂ 3 ul
+ ηijkl . (2.26)
∂xj∂xk∂t
Analoghe considerazioni, applicate alla relazione (2.23), con-
sentono di modificare l’equazione d’onda valida nel caso dei fluidi.
Si introduce, inoltre, un coefficiente di assorbimento α, con di-
mensioni fisiche pari all’inverso di una lunghezza, che permette di
valutare l’attenuazione di ampiezza per mezzo di un’esponenziale
decrescente con lo spazio percorso dall’onda, cioè
Al(xi) = A0,l e −αxi , (2.27)
avendo indicato con A0,l l’ampiezza dello spostamento di una par-
ticella di fluido in corrispondenza della sorgente.
Si riportano di seguito i principali effetti dissipativi che possono
presentarsi in mezzi solidi e fluidi (si vedano i riferimenti [1], [7],
[9]).
• Le successive compressioni e decompressioni del mezzo du-
rante la propagazione dell’onda causano rispettivamente ri-
scaldamento e raffreddamento: se il mezzo fosse ideale, l’ener-
gia vibrazionale trasformata in energia termica durante la
compressione dovrebbe essere integralmente restituita durante
la decompressione. La natura del fenomeno si presenta in

2.1 Equazione d’onda 35
realtà diversamente sia per la conducibilità termica del flui-
do sia per l’irraggiamento: energia termica fluisce dalle zone
calde a quelle fredde sottraendosi all’onda. Il coefficiente di
assorbimento dovuto alla conducibilità termica dipende dal
quadrato della frequenza f ed è dato per onde longitudinali
da [9]
αc = 2π2 f 2
V 3
µ − 1
K , (2.28)
essendo V la velocità dell’onda, µ il rapporto tra il calore
specifico a pressione costante cp e quello a volume costante
cV , K il coefficiente di conducibilità termica.
• I domini che costituiscono i materiali ferroelettrici (si veda il
paragrafo 1.1) si comportano come regioni elementari ciascu-
na con una propria polarizzazione elettrica. Quando un’onda
ultrasonora attraversa una di tali regioni, il dominio è in-
teressato da tensioni periodiche che causano un controeffetto
elettrostrittivo e quindi un cambiamento nell’intensità di po-
larizzazione. Ciò determina un’isteresi elettrica locale, con
conseguente attenuazione dell’onda in virtù della conversione
di energia meccanica in calore.
• Anche nei fluidi il moto delle particelle investite dall’onda è
ostacolato dalla viscosità: si ha per il coefficiente di assorbi-
mento [7]
αη = 8
3
cp
π2f 2
η , (2.29)
V 2

2.1 Equazione d’onda 36
θ
O
z
θ
r
Figura 2.2: Sistema di coordinate cilindriche associate al tubo piezoelettrico
di raggio interno a, raggio esterno b ed altezza l.
con η coefficiente di viscosità. Il coefficiente αc nei fluidi è in
genere minore di αη e spesso può essere trascurato.
b
a
l

Capitolo 3
Oscillazioni non lineari
Definire un sistema fisico di tipo lineare, presuppone di specifi-
care l’intervallo di variabilità dei parametri all’interno del quale il
comportamento lineare è verificato. Ad esempio, la relazione tra
forza di richiamo elastico ed elongazione di una molla è di tipo pro-
porzionale solo rimanendo nel campo delle piccole deformazioni.
Oltrepassato tale limite, la forza di richiamo cresce ad un tasso
maggiore dell’elongazione nel caso delle cosidette molle dure e con
un tasso minore nel caso di molle soffici. Nel paragrafo 3.1, si de-
scrive il cosiddetto oscillatore di Duffing, le cui caratteristiche non
lineari sono rappresentate da una dipendenza della forza elastica
dal cubo dell’elongazione. Sono discusse alcune particolarità della
curva di risposta in frequenza di un tale tipo di oscillatore.
La non linearità arrichisce enormemente la varietà di compor-
tamento che un sistema può presentare. Il paragrafo 3.2 riporta
considerazioni sulle modalità di risposta dell’oscillatore di Duffing
ad un segnale monocromatico in ingresso. A differenza del caso
lineare, la risposta può differire da una semplice oscillazione al-

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 38
la medesima frequenza della forzante. L’oscillatore non lineare è
infatti capace di rispondere ad un segnale monocromatico in in-
gresso, con delle oscillazioni le cui frequenze sono rispettivamente
multipli interi o frazionari della frequenza di pilotaggio (risonanze
armoniche e subarmoniche).
Le equazioni d’onda presentate al capitolo 2, sono state rica-
vate sfruttando l’approssimazione lineare: nello sviluppo (1.25)
del tensore degli sforzi si sono trascurati i termini del tensore
delle deformazioni di ordine superiore al primo, giungendo alla
legge di Hooke da cui si è ottenuta l’equazione d’onda in cam-
po lineare. Se il fenomeno vibratorio presenta caratteristiche non
lineari è necessario considerare nello sviluppo del tensore anche
i contributi di ordine superiore al primo. Questi vengono detti
termini anarmonici, ad indicare che le soluzioni delle equazioni
non sono più rappresentate dalla sovrapposizione di armoniche
semplici. Il paragrafo 3.3 riporta alcune modifiche da apportare
all’equazione d’onda per mezzi elastici non lineari.
3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing
Un esempio di sistema oscillatorio non lineare è riportato in
figura 3.1a, in cui una massa m appesa ad un filo elastico AB viene
posta in vibrazione lungo l’asse x per effetto di una sollecitazione
esterna sinusoidale. Per semplicità si assuma lo schema di prin-
cipio equivalente in figura 3.1b costituito da una massa, da una
molla non lineare e da un eventuale elemento smorzatore.

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 39
A
m x ≡
B
Figura 3.1: Oscillatore di Duffing.
In assenza di smorzamento, si trova [22] che l’equazione dif-
ferenziale del moto ha la forma
¨x + ω 2 x = ε[−ω 2 (αx + βx 3 ) + F0 cos Ωt] ε ≪ 1 (3.1)
con ω frequenza naturale del sistema, ε parametro variabile molto
più piccolo di 1, α e β parametri noti legati massa e costante
elastica, εF0 ampiezza della forza armonica esterna (per unità di
massa) e Ω frequenza di pilotaggio. L’equazione 3.1 è nota come
equazione di Duffing per un sistema privo di smorzamento: la non
linearità è dovuta alla forza di richiamo elastico che presenta un
termine cubico con l’elongazione della molla.
Si vogliono analizzare le soluzioni periodiche dell’equazione
(3.1), in particolare la possibilità dell’esistenza di una soluzione
di periodo T = 2π/Ω.
È conveniente cambiare la scala temporale
in modo tale che il periodo di oscillazione diventi 2π: si effettuino
le sostituzioni Ωt = τ + φ, d/dt = Ωd/dτ, con τ nuova varia-
x

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 40
bile temporale e φ fase angolare incognita, che fanno assumere
all’equazione del moto l’aspetto
Ω 2 x ′′ + ω 2 x = ε[−ω 2 (αx + βx 3 ) + F0 cos(τ + φ)] , (3.2)
avendo indicato la differenziazione rispetto τ con l’apice ′ . Sfrut-
tando un metodo perturbativo [20], si ricerchi una soluzione alla
nuova equazione nella forma di serie di potenze in ε per le variabili
x(τ) e φ:
x(τ) = x0(τ) + εx1(τ) + ε 2 x2(τ) + . . . (3.3a)
φ = φ0 + εφ1 + ε 2 φ2 + . . . . (3.3b)
Per prevenire la comparsa di termini secolari, cioè termini che
crescono indefinitamente nel tempo, devono essere soddisfatte le
condizioni di periodicità xi(τ + 2π) = xi(τ), con i = 1, 2, . . .. La
presenza di una fase φ incognita consente inoltre di scegliere le con-
dizioni iniziali nella forma conveniente x ′ i (0) = 0. Introducendo le
relazioni (3.3a,b) nell’equazione (3.2) ed uguagliando i coefficienti
che moltiplicano le potenze di ε di stesso ordine a sinistra e destra
dell’uguale, si ottiene il sistema di equazioni
⎧
Ω
⎪⎨
2x ′′
0 + ω2x0 = 0
Ω2x ′′
1 + ω2x1 = −ω2 (αx0 + βx3 0) + F0 cos(τ + φ0)
⎪⎩
Ω 2 x ′′
2 + ω 2 x2 = −ω 2 (αx1 + 3βx 2 0x1) − F0φ1 sin(τ + φ0)
. . . ,
(3.4)
che deve essere risolto in sequenza per i vari xi, nel rispetto delle
condizioni di periodicità ed iniziali. Dalla prima equazione si trova

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 41
che
ω
x0(τ) = A0 cos
Ω τ
, (3.5)
con A0 costante da determinare; il rispetto della condizione di
periodicità per i = 0 richiede ω = Ω. Sostituendo il risultato (3.5)
nella seconda equazione del sistema, si procede all’individuazione
del termine successivo, del tipo
x1(τ) = A1 cos τ + 1
32 βA3 0 cos 3τ . (3.6)
In questo caso si trova che la condizione di periodicità con i = 1
è soddisfatta solo se
αA0 + 3
4 βA30 ∓ F0
= 0 (3.7)
ω2 dove il segno che precede l’ultimo termine è negativo se φ0 = 0 e
positivo se φ0 = π. Nel primo caso la risposta del primo ordine
x0 è in fase con la forza esterna, mentre nel secondo caso x0 è in
controfase con la sollecitazione; quest’ultima situazione tuttavia,
è equivalente ad una risposta in fase con ampiezza negativa, per
cui ci si può limitare a considerare nella relazione (3.7) il termine
negativo corrispondente a sfasamento φ0 nullo. La stessa relazione
determina univocamente il valore di A0 da inserire nella soluzione
del primo ordine (3.5).
Le risposte di ordine superiore (i > 1) si trovano iterando il
procedimento per sostituzioni successive fin qui seguito; ad esem-
pio per i = 2, il termine x2(τ) è fornito dalla terza equazione
del sistema (3.4) facendo uso dei risultati già noti per x0 ed x1.

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 42
La condizione di periodicità fornisce inoltre il valore di A1 (con
φ1 = 0) da inserire nella risposta (3.6) del passo precedente.
Seguendo il metodo illustrato, la soluzione approssimata al
secondo ordine per l’equazione di Duffing (3.1) risulta essere
x(t) = (A0 + εA1 + ε 2 A2) cos ωt +
+ ε
32 βA2 0[A0 + ε(3A1 + 1
8 αA0 + 3
16 βA3 0)] cos 3ωt +
+ 1
1024 β2 A 5 0 cos 5ωt , (3.8)
avendo fatto uso della variabile indipendente originaria t. La fase
φ per il sistema privo di smorzamento è nulla indipendentemente
dall’ordine di approssimazione.
È interessante analizzare la curva di risposta del sistema in
esame per mettere in luce un tipico comportamento degli oscilla-
tori non lineari. Si introduca la notazione
ω 2 0 = (1 + εα)ω 2
(3.9)
per indicare la frequenza naturale ω0 del sistema linearizzato cor-
rispondente al caso β = 0. Utilizzando tale espressione per elimi-
nare α dall’equazione (3.7) in cui si assuma il segno meno e si
consideri che ε è molto minore di uno, si giunge a
ω 2 = ω 2 0(1 + 3
4εβA2 0) − εF0
. (3.10)
A0
Se si considera εβ noto, la relazione (3.10) consente di traccia-
re la curva |A0| in funzione di ω espressa in termini di ω0, con
εF0 assunto come parametro. La figura 3.2 riporta nel caso (a)
la risposta di un oscillatore non smorzato la cui molla presenti la

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 43
(a)
(b)
Figura 3.2: Risposta in frequenza dell’oscillatore di Duffing privo di
smorzamento. (a) Caso di molla dura. (b) Caso di molla soffice.
tendenza ad un irrigidimento all’aumentare dell’elongazione (mol-
la dura con β > 0). Per β = 0 (oscillatore lineare) si osservano due
rami di curva parametrici in εF0 che tendono asintoticamente alla
retta verticale ω = ω0 corrispondente alla vibrazione libera con
F0 = 0. Quando εβ > 0 l’oscillazione libera è rappresentata da
un tratto di parabola che interseca l’asse ω in ω0. I rami di curva
variabili con εF0 si dispongono superiormente ed inferiormente a
tale parabola. L’effetto della non linearità consiste quindi in una
flessione verso destra dell’asintoto verticale ω = ω0 e dei diversi
rami che rappresentano le curve di risposta. Un comportamento

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 44
analogo, ma con flessione verso sinistra, si riscontra nel caso (b)
della stessa figura, che si riferisce ad un oscillatore la cui molla
abbia rigidezza decrescente all’aumentare dell’elongazione (molla
soffice con β < 0).
In assenza di smorzamento un sistema massa-molla non lineare
non presenta risonanza. Si indichi con T il punto in cui un asse
verticale risulta tangente ad una particolare curva A0 e con ωT
la corrispondente frequenza. Facendo riferimento ad una molla
dura, il punto di tangenza si posiziona sul ramo di curva al di
sotto della parabola rappresentante le oscillazioni libere. Un asse
verticale per ω < ωT interseca il ramo di curva superiore alla
parabola e fornisce l’unica soluzione al problema oscillatorio. Per
ω > ωT le soluzioni possibili sono invece rappresentate da tre
intersezioni: la teoria non lineare prevede quindi l’esistenza di
tre distinte ampiezze di risposta per una data intensità F0 della
forza eccitatrice. Caratteristica del problema rimane comunque
l’assenza di un valore di frequenza che faccia divergere l’ampiezza
ad infinito.
Per un sistema smorzato, l’equazione di Duffing assume la
forma
¨x+ω 2 x = ε[−2ζω ˙x−ω 2 (αx+βx 3 )+F0 cos Ωt] ε ≪ 1 , (3.11)
in cui si è indicato con ζ il coefficiente di smorzamento.
Seguendo la stessa procedura sfruttata per il sistema non smorza-
to, si conclude che x1 è periodica se le seguenti condizioni sono

3.1 Oscillatore unidimensionale di Duffing 45
soddisfatte:
2ζA0 − F0
ω 2 sin φ0 = 0 (α + 3
4 βA2 0)A0 − F0
ω 2 cos φ0 = 0 (3.12)
Dalle relazioni (3.12) si ottiene la fase approssimata all’ordine zero
con espressione
φ0 = tan −1 2ζ
α + 3
4βA2 (3.13)
0
e quindi l’effetto dello smorzamento è quello di introdurre un ri-
tardo della risposta rispetto all’eccitazione. Inoltre, facendo uso
della definizione (3.9) nelle medesime relazioni, si trova
[ω 2 0(1 + 3
4εβA20) − ω 2 ] 2 + (2εζω 2 0) 2 2 εF0
= , (3.14)
che può essere sfruttata per tracciare |A0| in funzione di ω, come
riportato in figura 3.3 per un oscillatore dotato di molla dura.
In presenza di smorzamento viscoso, sebbene la curva di risposta
sia continua, nel senso che non presenta più due rami separati,
rimane la possibilità di discontinuità nella risposta. Partendo da
basse frequenze, si osserva che al crescere di ω anche l’ampiezza
Figura 3.3: Risposta in frequenza dell’oscillatore di Duffing smorzato.
A0

3.2 Risonanze armoniche e subarmoniche 46
|A0| subisce un incremento fin quando si raggiunge il punto 1 nel
quale la tangente alla curva è infinita e l’ampiezza subisce un salto
improvviso al punto 2 con successvo decremento. Se invece si parte
da un valore sufficientemente alto di frequenza e si procede verso
frequenze più basse, l’ampiezza aumenta fino al punto 3, dove la
tangente è ancora infinita e si verifica un salto della risposta al
punto 4 dove ha inizio una risposta decrescente. La porzione di
curva tra i punti 1 e 3 si riferisce ad una risposta di tipo instabile,
che non può manifestarsi nel sistema. Mentre il salto 3-4 può avere
luogo anche se il sistema non è smorzato, il salto 1-2 è tipico di
sistemi con smorzamento viscoso. La stessa fenomenologia nella
risposta ha luogo anche con molle soffici, ma i salti nell’ampiezza
avvengono con direzioni invertite.
3.2 Risonanze armoniche e subarmoniche
Quando un sistema lineare è eccitato da una forzante armoni-
ca, la sua risposta è armonica con la stessa frequenza dell’ecci-
tazione. Si è visto che se un sistema non lineare, come quello
descritto dall’equazione di Duffing, risponde periodicamente ad
una forzante armonica, allora la frequenza fondamentale della
soluzione è uguale alla frequenza naturale del sistema lineariz-
zato ed a questa dovrà inoltre essere uguale la frequenza di ecci-
tazione. Bisogna osservare comunque, che caratteristica comune
ai sistemi non lineari è quella di presentare risonanze armoniche e
subarmoniche, ovvero di essere capaci di rispondere ad un segnale

3.2 Risonanze armoniche e subarmoniche 47
monocromatico in ingresso con delle oscillazioni le cui frequenze
sono rispettivamente multipli interi o frazionari della frequenza di
pilotaggio.
Una semplice giustificazione della nascita di frequenze armoni-
che può essere fornita considerando lo sviluppo in serie della rispo-
sta x in funzione della sollecitazione F0:
x(t) = aF (t) + bF 2 (t) + cF 3 (t) + . . . . (3.15)
Assumendo per F l’espressione sinusoidale F (t) = F0 sin Ωt, dalla
precedente, arrestata al terzo ordine, si ottiene
x(t) = aF0 sin Ωt + bF 2 0 sin 2 Ωt + cF 3 0 sin 3 Ωt = (3.16)
= aF0 sin Ωt + 1
2 bF 2 0 (1 − cos 2Ωt) + 1
4 cF 3 0 (3 sin Ωt − sin 3Ωt)
che mostra la comparsa di frequenze doppie, triple o superiori della
frequenza in ingresso, a seconda dell’ordine della non linearità
condiderata.
Anche la modalità di generazione delle risonanze subarmoniche
può essere illustrata ricorrendo allo sviluppo (3.15), arrestato per
brevità al secondo ordine. Sostituendo una sollecitazione costitui-
ta da due frequenze distinte, del tipo
ne risulta una risposta
F (t) = F01 cos Ω1t + F02 cos Ω2t (3.17)
x(t) = aF01 cos Ω1t + aF02 cos Ω2t +
+ bF01F02 cos[(Ω1 + Ω2)t] + bF01F02 cos[(Ω1 − Ω2)t] +
+ 1
2 bF 2 01 + 1
2 bF 2 02 + 1
2 bF 2 01 cos 2Ω1t + 1
2 bF 2 02 cos 2Ω2t , (3.18)

3.2 Risonanze armoniche e subarmoniche 48
che mostra in aggiunta alle usuali componenti oscillanti alle fre-
quenze di ingresso, anche le seconde armoniche e le frequenze
somma e differenza di Ω1 ed Ω2.
Si consideri come esempio notevole di risonanza subarmonica,
una particolare soluzione dell’equazione di Duffing (3.1). La pre-
senza di un termine non lineare di terzo grado in x, suggerisce
di ricercare una soluzione periodica con frequenza fondamentale
ω = Ω/3. Il problema è ancora affrontabile col metodo perturbati-
vo di cui al paragrafo precedente. Servendosi dello sviluppo (3.3)
in cui si faccia uso della variabile temporale t, si trova il seguente
sistema di equazioni da risolvere per sostituzioni successive:
⎧
¨x0 +
⎪⎨
⎪⎩
Ω 2
3
x0 = F0 cos Ωt
¨x1 +
Ω 2
3
x1 = −
Ω 2
3 (αx0 + βx3 0)
¨x2 +
Ω 2
3
x2 = −
Ω 2
3 (αx1 + 3βx2 (3.19)
0x1)
. . . ;
la soluzione del primo ordine è del tipo
x0(t) = A0 cos Ω
3
9F0
t − cos Ωt , (3.20)
8Ω2 in cui la costante A0 va determinata dalle condizioni di periodicità
da associare alla seconda equazione del sistema: si trova
A0 = 1
9F0 1 9F0
± −7
2 8Ω2 2 8Ω2 2 − 16
1/2 α
, (3.21)
3 β
la quale mostra che affinchè A0 sia una quantità reale, ovvero pos-
sa esistere la subarmonica, i termini sotto radice devono essere
maggiori o uguali a zero. Tale richiesta si traduce in una con-
dizione da imporre alla frequenza della forzante, che, sfruttando

3.3 Onde in mezzi elastici non lineari 49
la relazione (3.9) con ω = Ω/3, viene espressa dalla disuguaglianza
Ω 2
≥ 9 ω 2 0 + 21
16 εβ
2
3F0
. (3.22)
8Ω
Si può concludere che l’oscillatore di Duffing privo di smorzamen-
to ammette una soluzione rappresentata da una subarmonica di
frequenza fondamentale Ω/3 solo se è soddisfatta la condizione
(3.22).
3.3 Onde in mezzi elastici non lineari
Il problema può essere affrontato facendo riferimento all’energia
elastica per unità di volume immagazzinata da un solido deforma-
to, legata al tensore di deformazione Sij dall’espressione
V = 1
2 cijklSijSkl + 1
3! cijklmnSijSklSmn + . . . , (3.23)
con i, j, k, l, m, n = 1, 2, 3. Arrestando lo sviluppo al primo ter-
mine, i coefficienti di proporzionalità sono rappresentati dalle co-
stanti elastiche della teoria lineare. I contributi di ordine superi-
ore vengono invece considerati attraverso costanti che, riferite ad
esempio al terzo ordine, sono individuate da sei indici variabili da
1 a 3, oppure da tre indici da 1 a 6 secondo la notazione (1.31).
In campo non lineare, l’espressione (1.3) del tensore di defor-
mazione va riscritta con l’aggiunta di un termine misto:
Sik = 1
∂ui
+
2 ∂xk
∂uk
+
∂xi
∂ul
∂ul
. (3.24)
∂xi ∂xk
La sostituzione di tale espressione nell’energia elastica (3.23) per-
mette di passare alla variabile spostamento u. Si può quindi

3.3 Onde in mezzi elastici non lineari 50
ricavare il tensore delle tensioni dal differenziale
Tik =
∂V
, (3.25)
∂(∂ui/∂xk)
che, inserito nell’equazione del moto (2.1), fornisce l’equazione
d’onda cercata.
Limitandosi al semplice caso di propagazione di un’onda piana
longitudinale in un solido approssimabile ad un corpo monodi-
mensionale, gli sviluppi suddetti portano al risultato
∂2u ∂t2 = ∂2u ∂x2
c11
ρ + 3c11
+ 2c111 ∂u
ρ ∂x
(3.26)
dove sono stati omessi gli indici, essendovi un’unica componente
di interesse nella propagazione.
In generale nella propagazione non lineare, un’onda inizial-
mente sinusoidale è soggetta a distorsione man mano che procede,
dato che porzioni diverse del profilo dell’onda viaggiano a dif-
ferenti velocità. Le più alte velocità si destano in corrispondenza
dei punti del profilo interessati da forti deformazioni.
La distorsione è anche giustificata dalla variazione delle ampiezze
dei contributi spettrali che costituiscono l’onda. Durante la
propagazione si verifica cioè una crescita delle intensità delle ar-
moniche superiori, con un trasferimento continuo di energia dalla
fondamentale ad esse. Si consideri in proposito un’onda inizial-
mente sinusoidale di vettore d’onda k0 e frequenza ω; dopo un
tragitto di lunghezza x l’espressione dell’onda è
u = A cos(kx − ωt), con k nuovo vettore d’onda. Imponendo che
questa sia soluzione dell’equazione (3.26), si determina la velocità

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 51
di propagazione
Vf = ω
k
c11
ρ
3 c111
1 + k0A + sin(k0x − ωt)
2 c11
visibilmente diversa dal semplice valore V0 = c11/ρ riferito al
caso lineare. Di conseguenza, anche il vettore d’onda viene modi-
ficato in
k = ω
Vf
=
V0
3 1 + k0A 2
ω
+ c111
c11
.
sin(k0x − ωt)
Rimane infine da notare che nell’espressione della velocità di
propagazione, da cui è possibile ottenere la relazione di disper-
sione, compare la dipendenza dall’ampiezza della sollecitazione,
caratteristica questa tipica dei sistemi non lineari.
3.4 Modello analitico per la generazione di ar-
moniche frazionali
Scopo di questa sezione è quello di fornire gli strumenti teorici
e analitici necessari alla comprensione del fenomeno della gener-
azione di vibrazioni subarmoniche.
Dopo un’introduzione all’equazione di Mathieu, si mostrerà
come essa possa essere utilizzata a questo fine, partendo dal sem-
plice caso di un oscillatore nonlineare, descritto come un punto
massa forzato all’oscillazione in un pozzo quantico di potenziale
cubico.

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 52
3.4.1 Equazione di Mathieu
Va sotto il nome di equazione di Mathieu un’equazione differen-
ziale del tipo:
d2x + (α + β cos(t)) x = 0 (3.27)
dt2 che descrive il moto di un oscillatore forzato, in cui è presente
un termine elastico periodico, β cos(t), che si comporta come una
sorgente di energia e prende il nome di eccitazione parametrica.
Per alcuni valori dei parametri α e β le soluzioni delle equazione
3.27 possono essere illimitate.
tica
Infatti, l’equazione di Mathieu, avrà una soluzione caratteris-
x(t) = e ρ1t p1(t) + e ρ2t p2(t) (3.28)
dove ρ1 e ρ2 sono costanti complesse e coniugate e p1(t) e p2(t) sono
funzioni di t. Come riportato in [22] , gli esponenti caratteristici
sono legati ai numeri caratterisitici µ1 e µ2 (e ρT = µ) attraverso il
determinante dell’equazione, e sono dati da:
µ1, µ2 = 1
φ ±
2
(φ 2
− 4)
(3.29)
dove φ = φ(α, β) non è nota esplicitamente. Si possono comunque
fare alcune osservazioni.
1) φ > 2, i numeri caratterisitici sono numeri reali distinti e
positivi, e uno di loro (ad esempio µ1) supera l’unità; i corrispon-

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 53
denti esponenti caratteristici sono reali del tipo: ρ1 = σ > 0,
ρ2 = −σ < 0. La soluzione generale acquisisce la forma [22] :
x(t) = c1e σ1t p1(t) + c2e σ2t p2(t) (3.30)
dove c1, c2 sono costanti e p1(t), p2(t) sono funzioni periodiche di
periodo 2π. Quindi i valori del piano α, β per cui cui φ(α, β) >
2 corrispondono a soluzioni illimitate ed è chiamata regione dei
parametri instabile.
2) φ = 2, quindi µ1 = µ2 = 1 e ρ1 = ρ2 = 0, conseguentemente
[22] è presente una sola soluzione di periodo 2π.
3) −2 < φ < 2, i numeri caratteristici µ1, µ2 sono complessi
coniugati con modulo unitario |µ1| = |µ2| = 1, quindi gli esponenti
caratteristici diventano ρ1 = iν e ρ2 = −iν, con ν reale. La
soluzione generale acquisisce la forma:
x(t) = c1e iνt p1(t) + c2e −iνt p2(t) (3.31)
tutte le soluzioni per cui −2 < φ < 2 sono, quindi, limitate, Ques-
ta è la regione dei parametri α, β, detta stabile; le soluzioni sono
oscillanti, ma non periodicamente (oltre al periodo 2π è presente
la frequenza ν).
4) φ = −2, quindi µ1 = µ2 = 1 (ρ1 = ρ2 = 1
2i), c’è una
soluzione periodica di periodo 4π per tutti i valori di α, β, per cui
φ(α, β) = −2.
5) φ < −2, quindi µ1, µ2 sono reali e negativi e µ1µ2 = 1:

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 54
1 σ+i
x(t) = c1e 2t 1 −σ−i
p1(t) + c2e 2t p2(t) (3.32)
dove σ > 0 e p1(t) e p2(t) sono funzioni periodiche di periodo 2π,
forma alternativa è la seguente:
x(t) = c1e σt q1(t) + c2e −σt q2(t) (3.33)
con q1(t), q2(t) sono funzioni periodiche di periodo 4π.
E’ evidente che, nel piano dei parametri dell’equazione di Math-
ieu, α e β, esistono due curve (φ(α, β) = ±2) che separano le re-
gioni dei paramateri dove esistono soluzioni non limitate (|φ(α, β)| >
2) dalle regioni dove tutte le tutte le soluzioni sono limitate (|φ(α, β)| <
2).
Queste funzioni corrispondono a soluzioni dell’equazione di Math-
ieu perodiche di periodo 2π (e quindi frequenza 1) o 4π (e quindi
frequenza 1/2). Queste curve φ(α, β) = ±2 sono dette curve di
transizione.
Le soluzioni di periodo 2π possono essere trovate a partire dallo
sviluppo in serie di Fourier complesse di x(t):
x(t) =
+∞
n=−∞
cne int
sostituendo nell’equazione di Mathieu si ottiene:
x(t) =
+∞
n=−∞
(3.34)
1
2 βcn+1 + (α − n 2 )cn + 1
2 βcn−1 e int = 0 (3.35)

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 55
per ogni valore di t. La 3.35 potrà essere soddisfatta solo se tutti
i coefficienti sono nulli:
1
2 βcn+1 + (α − n 2 )cn + 1
2 βcn−1 = 0 n = 0, ±1, ±2, ...
(3.36)
Questo insieme infinito di equazioni omogenee in cn ha soluzioni
non banali se e solo se il determinante, di dimensioni infinite, dei
coefficienti è nullo, per α = n 2
. . . . . .
. γ1 1 γ1 0 0
= 0 (3.37)
. 0 γ0 1 γ0 0
. 0 0 γ1 1 γ1
dove γn = β/2(α − n 2 ) con n = 0, 1, 2, .... Questo corrisponde a
φ(α, β) = 0e definisce le curve di transizione sul piano α, β.
Analogamente per le soluzione periodiche 4π partendo dalla
serie di Fourier:
x(t) =
+∞
n=−∞
1 i
dne 2nt si ricava immediatamente il determinante dei coefficienti:
γ2 1 γ2 0 0 0
0 γ1 1 γ1 0 0
0 0 γ1 1 γ1 0
0 0 0 γ2 1 γ2
(3.38)
= 0 (3.39)

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 56
dove γ1 = β/2(α−1/41 2 ), γ2 = β/2(α−1/43 2 ) con α = 1/4(2m+
1) 2 , per ogni valore di m, che corrisponde alle curve di transizione
per le soluzioni periodiche di periodo 4π.
Calcolo delle curve di transizione con il metodo perturbativo
Per piccoli valori di β si può adottare il metodo perturbativo
per stabilire le curve di transizione per il cosidetto diagramma di
stabilità delle soluzioni delle equazione di Mathieu.
sia
Nell’equazione
con corrispondente soluzione:
¨x + (α + β cos(t)) x = 0 (3.40)
α = α(β) = α0 + βα1 + ... (3.41)
x(t) = x0(t) + βx1(t) + ... (3.42)
dove le funzioni xn (n = 0, 1, ...) hanno periodo 2π o 4π.
Sostituendo le 3.41 e 3.42 nella 3.40 si ricava:
¨x0 + α0x0 = 0 (3.43)
¨x1 + α0x = −(α1 cos(t))x0
¨x2 + α0x2 = −x0α2 − (α1 + cos(t))x1
(3.44)
(3.45)

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 57
la 3.43 ha periodo minimo di 2π per α0 = n 2 e un periodo massimo
di 4π se α0 = (n + 2) 2 , condizione che può essere unificata con:
3.44
α0 = 1
4 n2
n = 0, 1, ... (3.46)
1) per n = 0 la 3.43 ha soluzione periodica x0(t) = a0, dalla
d 2 x1
dt 2 = −(α1 + cos(t))α0 (3.47)
che ha soluzione periodica solo se α1 = 0, che è della forma:
Mentre la 3.45 diventa:
x1 = a0 cos(t) + a1
(3.48)
d 2 x2
dt 2 = −a0α2 − 1
2 a0 − 1
2 a0 cos(2t) − a1 cos(t) (3.49)
che ha soluzione periodica (di periodo 2π) solo se: a0α+1/2α0 = 0
o se α2 = −1/2, quindi per piccoli valori di β:
2) per n = 1 si α0 = 1/4 e
la 3.44 diventa:
α = − 1
2 β2 + O(β 3 ) (3.50)
1
x0(t) = a0 cos
2 t
1
+ b0 sin
2 t
(3.51)

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 58
−b0
d2x1 1
+
dt2 4 x1
= −a0 α1 − 1
1
cos
2 2 t
−
α1 − 1
1
sin
2 2 t
− 1
2 a0
3
cos
2 t
− 1
2 b0
3
sin
2 t
(3.52)
Ci sono soluzioni periodiche (di periodo 4π) solo se b0 = 0,
α1 = −1/2 o se a0 = 0, α1 = 1/2. Per piccoli β:
α = 1
4
1
± β (3.53)
2
descriva la curva di transizione prossima al punto (α = 1/4, β = 0)
del piano dei parametri.
Equazione di Mathieu con smorzamento
Si consideri l’equazioni opportunamente modificata con la pre-
senza dello smorzamento:
dove ν > 0, κ > 0, scrivendo:
si ottiene nella 3.54
d2x + κdx + (ν + β cos(t)) x = 0 (3.54)
dt2 dt
1 −
x(t) = e 2κt η(t) (3.55)
d2
η
+ ν −
dt2 1
4 κ2
+ β cos(t) η = 0 (3.56)
che si riconduce all’equazione di Mathieu imponendo:
α = ν − 1
4 κ2
(3.57)

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 59
Quando α e β sono tali per cui le soluzioni di 3.56 sono limi-
tate, anche le soluzioni di 3.54, per 3.55 sono limitate. Inoltre è
consentito un margine di crescita esponenziale di η, pur rimanen-
do limitate le soluzioni x(t). Quindi, le regioni di stabilità delle
soluzioni dell’equazione 3.54 sono un’estensione delle regioni di
stabilità dell’equazione di Mathieu, senza smorzamento.
La prima regione di instabilità, per la 3.56, si verifica essere
vicino a α = 1/4 (ν = 1/4(1 + κ 2 )), dalla sezione precedente è
noto che sulle curve che limitano tale regione si ha una soluzione
periodica di periodo 4π. Corrisponde, quindi, a φ = −2, dentro
la regione si ha, quindi, φ < −2. Quindi, dalla 3.55, x(t) prende
la forma:
1
(σ−
x(t) = c1e 2iκ) 1
(−σ−
q1(t) + c2e 2iκ) q2(t) (3.58)
con σ > 0 e q1(t), q2(t) di periodo 4π. Applicando il metodo
perturbativo [22] si ricava la regione di stabilità:
ν − 1
2 −
4
1
4 β2 1 − κ 2 > 0 (3.59)
3.4.2 Soglia della fondamentale per la generazione della
subarmonica di ordine 1/2
Si consideri un semplice oscillatore nonlineare forzato alla vi-
brazione in un pozzo di potenziale cubico [22] , che soddisfi la
seguente equazione:

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 60
d2x + adx + bx(1 + cx) = F cos(ωt) (3.60)
dt2 dt
dove a, b, c e F sono costanti che descrivono rispettivamente:
smorzamento, costante elastica, costante non lineare, ampiezza
del pilotaggio.
La presenza del termine quadratico dovuta alla non linearità,
fa sì che si generino armoniche di ordine 2, cioè a frequenza pari
a 2ω, nell’ipotesi più che probabile che si verifichi la presenza di
una perturbazione a ω/2 (è sufficiente un solo fotone), a seguito
dell’interazione con la componente fondamentale a ω, vengono
generate componenti a ω, 2ω, 3/2ω e a ω/2. Quest’ultimo termine
è proprio quello di interesse nel presente studio, la subarmonica
frazionale di ordine 1/2.
Inoltre, se accade che il termine a 1/2ω così generato, risul-
ta in quantità maggiore di quello di perturbazione, si verifica
una retroazione positiva, causando la generazione stabile e con-
sistente della componente a 1/2ω. Proprio il valore del termine
a 1/2ω che deve essere raggiunto dall’interazione costituisce la
soglia per la generazione di subarmoniche frazionali. Risulta an-
che che il pilotaggio a omega è in prossimità della risonanza del
sistema vibrante, le probabilità per cui venga generato la subar-
monica frazionale aumentano, aumentando l’energia di vibrazione
che viene a trovarsi nel sistema.
Tornando all’equazione 3.60 e considerando un termine di per-
turbazione piccolo ξ = x − x ′ dove:

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 61
è la soluzione dell’equazione lineare:
x ′ = U cos(ωt + φ) (3.61)
d2x ′
+ adx′
dt2 dt + bx′ = F cos(ωt) (3.62)
dove U = F [(ω 2 − ω 2 0) 2 + a 2 ω 2 ] −1/2 e φ = tan −1 [aω/(ω 2 − ω 2 0)]
sono rispettivamente l’ampiezza e la fase della componente fonda-
mentale e ω0 = b 1/2 . L’equazione 3.60 diventa, attraverso semplici
sostituzioni:
d2ξ + adξ
dt2 dt + ξb(1 + 2cx′ ) + bcξ 2 + bcx ′2 = 0 (3.63)
In questa equazione il penultimo termine può essere trascurato
perché del secondo ordine rispetto a ξ, mentre l’ultimo termine
può essere trascurato nello studio delle generazione delle subar-
moniche ω/2, dato che x ′2 contiene solo il termine di ordine zero
e la seconda armonica (2ω), non di interesse per l’attuale studio.
Così, sostituendo nella equazione 3.63 l’espressione 3.61 per x ′ ,
si ottiene l’equazione di Mathieu:
d2ξ + adξ
dt2 dt
+ ξb(1 + 2cU cos(ωt + φ)) = 0 (3.64)
come mostrato in [22] e nella sezione precedente, l’equazione
3.64 può essere risolta da oscillazioni alle frequenza armoniche
frazionali della frequenza circolare di eccitazione ω, nel caso in cui
opportune condizioni siano verficate dai paramteri a, b e c. La

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 62
soglia di oscillazione della componente fondamentale Uth, per la
frequenza dell’oscillazione della subarmonica di ordine 1/2, può
essere facilmente calcolata risolvendo ricorsivamente l’equazione
3.64 alla frequenza ω/2, cercando l’effetto di amplificazione.
Si trova così [19]
Uth = 1
∆ω′4 ∆ω′3
+
c 16 2 +
1 + a′2
∆ω
4
′2 + a ′2 ∆ω ′ + a ′2
1/2 (3.65)
dove a ′ = a/ω0 e ∆ω ′ = (ω − 2ω0)/ω0. Nel caso in cui sia a = 0,
condizione che si verifica per sistemi non dissipativi, si ricava un
valore nullo per l’ampiezza di soglia che deve avere l’ampiezza di
eccitazione, in corrispondenza della frequenza di pilotaggio ω =
2ω0. Per valori di ω sufficientemente vicini a 2ω0, e per valori della
dissipazione sufficientemente piccoli, si ricava dalla 3.65
Uth = 1 ′2 ′2
a + ∆ω
c
1/2 (3.66)
che mostra un andamento parabolico rispetto a ∆ω ′ intorno al
valore minimo a ′ /c a ∆ω ′ = 0: un massimo di efficienza nella
generazione della subarmonica si trova per una frequenza di pi-
lotaggio che sia due volte la frequenza circolare propria del sistema
oscillante ω0.
Nel caso qui descritto, comunque, dove devono essere consider-
ate onde e non oscillatori, non c’è un valore massimo. In realtà,
non ci sono forze di richiamo, vere e proprie, agenti sulle singole
masse oscillanti, come il terzo termine nell’equazione 3.60; piut-

3.4 Modello analitico per la generazione di armoniche frazionali 63
tosto, ciascun elemento della struttura vibrante è pilotato verso
la sua posizione di equilibrio (x = 0) dalla stessa configurazione
della deformazione dell’elemento adiacente, come nel caso in cui
si consideri una equazione d’onda nella generica variabile z:
∂2z ∂z
+ γ
dt2 dt
+ κ
ρ
∂ 2 z
= 0 (3.67)
∂x2 dove κ è il valore proprio della costante elastica, γ è il termine
di viscosità, ρ è la densità di massa del mezzo in cui avviene
la propagazione. Quindi non si presenta nessuna frequenza di
risonanza da considerare ω0 per le masse oscillanti; piuttosto, è
la frequenza d’onda stessa che deve essere considerata come fre-
quenza di risonanza locale. Conseguentemente la frequenza del
modo risonante Ω0, all’interno della struttura, non ha influenza
nella definizione della forza di richiamo. La frequenza del mo-
do risonante risulta direttamente limitata alla frequenza di oscil-
lazione, quindi la ”frequenza di risonanza locale” è la la frequenza
di propagazione stessa, e nella 3.65 si deve porre ω = ω0, in tal
modo sarà ∆ω ′ = −1.
Il valore di soglia deve quindi essere calcolato dalla equazione
3.65 e si riduce a [19]
Uth = 1
′2 a
c 4
1
2 9
+
16
(3.68)
che è costante rispetto alla frequenza, nella zona dell’iperbole cor-
rispondente ai valori misurati e mostrati nella sezione successiva.

Capitolo 4
Risultati Sperimentali
4.1 Strumentazione
In questa sezione viene descritta la strumentazione utilizzata
nelle misure sperimentali effettuate al fine di studiare il compor-
tamento anarmonico di risonatori piezoelettrici ceramici di forma
cilindrica circolare cava. Questi ultimi sono stati analizzati per
quanto concerne la risposta in frequenza e il campo degli sposta-
menti superficiali in regime di vibrazione non lineare. L’inter-
esse è qui rivolto alle caratteristiche ed alle qualità metrologiche
degli strumenti, fornendo alcune informazioni riguardo alle tec-
niche sfruttate nei rilievi sperimentali. I risultati ottenuti sono
invece riportati nel successivo capitolo.
4.1.1 Descrizione della strumentazione
Di seguito viene presentata la strumentazione impiegata, sud-
dividendola in base alla tipologia di misura effettuata.

4.1 Strumentazione 65
C0
R L C
Figura 4.1: Circuito equivalente di un elemento piezoelettrico.
Misure di ammettenza
L’identificazione dei modi propri di oscillazione di campioni
piezoelettrici può essere effettuata analizzando il comportamento
elettrico del sistema, che a tutti gli effetti costituisce un circuito
dotato di propria resistenza, induttanza e capacità.
I risonatori piezoelettrici, vibranti nella vicinanza di un modo
proprio, possono essere rappresentati elettricamente da una serie
RLC in parallelo con una capacità fissata C0 (Figura 4.1). Si riesce
cioè a stabilire [3]
un’analogia elettromeccanica tra il risonatore piezolettrico ed
un circuito elettrico le cui costanti resistive, induttive e capacitive
sono, nell’ordine, equivalenti alle grandezze meccaniche smorza-
mento, massa ed elasticità. Si utilizza inoltre la capacità C0 per
tener conto degli effetti dovuti agli elettrodi sulla superficie del
piezoelettrico.
La risposta in frequenza delle strutture piezoelettriche può pre-
sentare caratteristiche imprevedibili dal punto di vista teorico, ed
un calcolo analitico delle risonanze è spesso laborioso ([15]). La
stessa indagine compiuta tramite il circuito equivalente è il più
delle volte applicabile solo per la prima frequenza fondamentale

4.1 Strumentazione 66
del sistema e restituisce risultati attendibili se gli altri modi sono
sufficientemente distanti nello spettro.
Diventa fondamentale ricorrere alla verifica sperimentale. In
particolare, è stato utilizzato un’analizzatore HP4194A funzio-
nante nella modalità di analizzatore di ammettenza (o impeden-
za).
Indicata con Z = R + jX (Ω) l’impedenza di un circuito elet-
trico costituito da una resistenza R in serie a una reattanza X =
ωL − 1/ωC, si chiama ammettenza l’inverso di Z
Y = G − jB (Ω −1 ≡ S) , (4.1)
in cui G = R/|Z| 2 è la conduttanza e B = X/|Z| 2 la suscettanza.
Se V = V0e jωt è la tensione applicata ai capi del circuito, ne nasce
una corrente I = V/Z = V Y = V0(G − jB)e jωt sfasata rispetto
a V di ϕ = arctan X/R = arctan B/G e con ampiezza massima
I0 = V0/|Z| = V0|Y |.
L’analizzatore suddetto compie una misura indiretta dell’am-
mettenza elettrica del provino piezoelettrico collegato allo stru-
mento tramite un opportuno banco elettrico (HP45951A), i cui
terminali possono fornire una tensione selezionabile dall’opera-
tore. Si tratta cioè di un impedenzimetro in grado di eseguire una
spazzolata in frequenza (sweep) nell’intervallo desiderato. I modi
propri della struttura sono indicati da un picco nell’ammetten-
za, in corrispondenza del quale lo strumento registra un massimo
(locale) nella corrente che attraversa la struttura analizzata.
Si riportano il campo di variabilità dei parametri impostabili

4.1 Strumentazione 67
dall’operatore ed alcune specifiche dell’analizzatore HP4195A.
⋄ Campo di frequenze 10 5 ÷5·10 11 Hz
⋄ Campo di tensione ±40 V
⋄ Campo di impedenza 30·10 −3 ÷ 30 · 10 3 Ω
⋄ Risoluzione 10 mV
⋄ Accuratezza ±(0.12%+12 mV)
⋄ Impedenza di uscita 50 Ω
Rilevamento del campo di spostamento dei punti della superficie della
struttura vibrante
La figura 4.2 riporta lo schema a blocchi della strumentazione
adottata per misurare lo spostamento normale della superficie
esterna di un campione piezoelettrico di forma tubolare. Gli stru-
menti di cui si è fatto uso e le specifiche ad essi relative sono
elencate di seguito:
(a) Generatore di funzione HP3324A
⋄ Campo di frequenze 10 −3 ÷ 210 · 10 15 Hz
⋄ Risoluzione in frequenza 10 −3 Hz fino a 10 6 Hz
⋄ Accuratezza in frequenza ±5 ppm del valore selezionato
⋄ Campo di ampiezze 10 −3 ÷ 10 V (p-p)
⋄ Risoluzione in ampiezza 4 digit
⋄ Accuratezza in ampiezza ±0.2 dB tra +23.98÷-56.02
dBm con 10 −3 ÷ 100 · 10 3 Hz
⋄ Impedenza di uscita 50±1 Ω tra 0÷10 · 10 3 Hz

4.1 Strumentazione 68
(b) Amplificatore di potenza ENI 240L
⋄ Campo di frequenze 20·10 3 ÷ 10 · 10 9 Hz
⋄ Guadagno 50 dB fisso
⋄ Uscita lineare 40 W
⋄ Distorsione armonica >28 dB sotto la
⋄ Impedenza ingresso/uscita 50 Ω
fondamentale a 40 W
(c)-(d) Interferometro ottico Polytec OFV 353 con proces-
sore di segnale Polytec OFV 2700
⋄ Campo di misura ±75 · 10 −9 m
⋄ Sensibilità 50·10 −9 m/V con carico di 50 Ω
25·10 −9 m/V con carico >50 Ω
⋄ Rapidità per un segnale a gradino in ingresso:
−tempo di ritardo 100·10 −9 s
−tempo di salita 25·10 −9 s
−tempo di discesa 25·10 −9 s
−sovraelongazione 10%
(e) Lock-in EGεG INSTRUMENT 7220
CANALE DEL SEGNALE (tensione in ingresso)
⋄ Tensione 2·10 −9 ÷ 1 V
⋄ Impedenza 100·10 9 Ω, 25·10 −12 F
⋄ Riserva dinamica da 0 a 100 dB

4.1 Strumentazione 69
CANALE DI RIFERIMENTO
⋄ Campo di frequenze 0.5÷120 · 10 3 Hz
⋄ Trigger seno (200·10 −3 V p-p)
⋄ Impedenza 10 9 Ω, 25·10 −12
⋄ Risoluzione di fase 0.001 gradi
(f) Oscilloscopio TEKTRONIX TDS 340A
⋄ Banda passante 100·10 9 Hz
⋄ Freq. di campionamento 500·10 9 campioni/s
⋄ Interv. temp. a divisione 5·10 −9 ÷ 5 s/div
⋄ Accuratezza temporale ±(100 ppm ×Lett.+0.4·10 −9 ) s
⋄ Interv. in amp. a div. (2 ÷ 10)·10 −3 V/div
⋄ Accuratezza in amp. ±(3 mV+0.1 div×V/div),
tra 100 mV/div e 1 V/div
⋄ Impedenza di ingresso 10 9 Ω, 20·10 −12 F (parallelo)
(g) Analizzatore di spettro HP4195A
⋄ Campo di frequenze 10÷500 · 10 9 Hz
⋄ Accuratezza in frequenza ±20 ppm
⋄ Impedenza di ingresso 50 Ω
⋄ Attenuazione 0÷50 dB a passi da 10 dB
⋄ Campo di ampiezze -135÷20 dBm
⋄ Accuratezza in ampiezza ±1.0 dB a 50·10 9 Hz
Come si evince dallo schema, il segnale inviato al tubo piezoelet-
trico è fornito dal generatore di segnale (a) e

4.1 Strumentazione 70
Figura 4.2: Schema a blocchi rappresentante la strumentazione impiegata nella
misura dello spostamento radiale dei punti della superficie esterna dei provini.

4.1 Strumentazione 71
amplificato dall’amplificatore di potenza (b) a guadagno fisso
di 50 dB. Tale amplificatore, oltre a consentire l’applicazione di
potenze opportune al raggiungimento di un regime di vibrazione
non lineare, svolge la funzione di adattare elettricamente l’impe-
denza del provino piezoelettrico a quella del generatore di segnale.
A fronte dei 50 Ω in uscita dal generatore, si possono avere
valori di impedenza delle ceramiche dell’ordine dell’unità in cor-
rispondenza alle risonanze. In assenza del blocco di amplificazione,
il segnale inviato dal generatore sarebbe quasi interamente riflesso,
consentendo un minimo trasferimento di potenza al provino e dan-
neggiando il generatore stesso. Lavorando, inoltre, con impedenze
così piccole, per raggiungere tensioni che portino la ceramica in
regime non lineare bisognerebbe ricorrere all’applicazione di cor-
renti superiori alle possibilità del generatore. L’impiego dell’am-
plificatore (b) ha permesso quindi di disporre di un guadagno atto
a raggiungere le potenze richieste e di risolvere i suddetti problemi
di adattamento elettrico.
Il rilevamento dello spostamento della superficie del tubo
avviene impiegando un metodo acusto-ottico. L’interferometro (c)
emette un fascio laser che incide ed è riflesso sulla superficie del
provino; il segnale di ritorno dalla superficie viene quindi elaborato
dal processore (d), secondo quanto riportato al paragrafo 4.1.1.
È stata effettuata una scansione della superficie tenendo fisso
lo spot del laser e muovendo il campione. Il tubo è stato poggiato
di base in posizione verticale su un goniometro con il quale è stato

4.1 Strumentazione 72
ruotato intorno al suo asse di simmetria; in questo modo si è ot-
tenuta la scansione lungo una circonferenza. Per gli spostamenti
lungo l’asse si sono sfruttate guide micrometriche centesimali, con
cui si è ottenuta la traslazione del goniometro, e quindi del cilin-
dro, in direzione verticale: ne è risultata la scansione lungo una
direttrice del tubo.
Il segnale processato in (d) è inviato nel lock-in (e), strumento
su cui si leggono i valori dell’ampiezza e della fase dello spostamen-
to. Il valore della fase è riferito al segnale emesso dal generatore,
per cui è necessario il collegamento diretto dei blocchi (a) ed (e).
Tramite l’analizzatore di spettro (h), si può invece ottenere
l’informazione in frequenza del segnale processato. Lo spettro
ottenuto, oltre a fornire le frequenze e le intensità delle diverse
componenti presenti nel segnale, è anche indicativo dell’eventuale
rumore di fondo presente nella misura. Nel caso in cui si faccia uso
del lock-in (e), la presenza di rumore può essere invece evidenziata
monitorando con l’oscilloscopio (f) il segnale ricevuto in (e).
Principi di funzionamento dell’interferometro acusto-ottico
Il sensore ottico di vibrazioni utilizza una tecnica di misura
interferometrica. L’interferometria ottica consente la misura di
spostamenti molto più piccoli della lunghezza d’onda della luce,
sfruttando una relazione sinusoidale tra il segnale d’uscita
dell’interferometro e la differenza dei cammini ottici percorsi da
due raggi laser generati dalla stessa sorgente. Come sarà mostra-

4.1 Strumentazione 73
ωL
Sorgente
laser
(A)
(2) (D)
(1)
Al processore di segnale
(B) (C)
(F)
(E)
Lente
Figura 4.3: Interferometro acusto-ottico.
d = d0 cos ωt
to, l’intensità risultante dopo la ricombinazione dei raggi varia in
maniera sinusoidale con la differenza di fase relativa. Tale dif-
ferenza di fase è generata dallo spostamento della superficie in
vibrazione che modula la lunghezza del percorso compiuto da uno
dei due raggi.
Un dispositivo che realizza il processo descritto, è l’interfero-
metro Mach-Zehnder schematizzato in figura 4.3. La luce polar-
izzata orizzontalmente e proveniente dalla sorgente laser di fre-
quenza angolare ωL è ripartita in due raggi di uguale intensità da
un divisore di fascio (A). Il primo (1) attraversa la cella di Bragg
(B), che sposta la pulsazione ad un valore ωL + ωB (dove ωB = 70
MHz), passa nel prisma (C) (polarizzato orizzontalmente) senza
subire modifiche e arriva alla lamina ottica (E) di spessore λ/8,
che ruota il piano di polarizzazione del raggio incidente sul divi-
sore (C) di π/2. Una lente convergente lo focalizza sulla superficie
in vibrazione. Il raggio riflesso torna quindi sulla lamina (E), dove

4.1 Strumentazione 74
subisce un’ulteriore rotazione di π/2 del piano di polarizzazione 1
(risultando, quindi, un percorso ottico totale pari a λ/4) prima
di incidere sul prisma (C) dove si ricombina con il secondo rag-
gio (2) 2 , che ha invece compiuto il suo cammino nel prisma (D)
senza essere alterato. I raggi ricombinati vengono mandati ad un
fotodiodo (F), che fornisce una corrente in uscita proporzionale
all’intensità luminosa che lo colpisce.
Al fine di valutare lo sfasamento introdotto dalla superficie
in vibrazione, è necessario effettuare un confronto fra la fase del
primo fascio e quella del secondo fascio, che ha subito una vari-
azione dovuta proprio alla vibrazione. E’ necessario partire dal
campo elettrico uscente dalla sorgente laser e considerare tutte le
componenti di fase introdotte dal cammino ottico che compie:
la cui intensità è:
E = E0e iωLt
I = E 2 = E · E ∗
(4.2)
(4.3)
avendo indicato con E ∗ il complesso coniugato del campo elettrico
E.
Il campo elettrico del primo fascio, quando incide sul fotodiodo
(F) è diventato:
1 Le due rotazioni di π/2 hanno lo scopo di invertire la polarizzazione del raggio (1).
2 Questo è possibile perchè (C) è un polarizzatore, altrimenti il fascio di ritorno dal
campione lo attraverserebbe.

4.1 Strumentazione 75
E1 = 1 iωLt
E0e
2
dove il fattore 1/2 è dovuto al divisore di fascio (A).
(4.4)
Mentre il campo elettrico del secondo, fascio quello riflesso dalla
superficie in vibrazione, quando incide sul fotodiodo (F) è espresso
da:
E2 = 1 i[(ωL+ωB)t+φ(t)]
E0e
2
(4.5)
dove il fattore 1/2 è dovuto al divisore di fascio (A), ωB è la
pulsazione introdotta dalla cella di Bragg, che si comporta come
in modulatore di frequenza, e φ(t) è la fase, variabile nel tempo,
prodotta dallo spostamento superficiale.
Sul fotodiodo (F) arriva, quindi, un campo totale:
ET OT = E1 + E2
(4.6)
Dato che il fotodiodo (F) non risponde al campo elettrico,
ma alla sua intentensità I, data dall’equazione 4.3, è necessario
calcolarla:
IT OT = (E1 + E2) · (E1 + E2) ∗
che, sostituendo le equazione 4.4 e 4.5, diventa:
da cui
IT OT = 1
4 E2
0 2 + 2 ei(ωBt+φ(t))
−i(ωBt+φ(t))
+ e
2
(4.7)
(4.8)

4.1 Strumentazione 76
IT OT = 1
2 E2 0[1 + cos(ωBt + φ(t))] (4.9)
tale intensità di campo, una volta fatto passare il fascio risultante
attraverso un filtro passa alto diventa:
IT OT = 1
2 E2 0 cos(ωBt + φ(t)) (4.10)
tale fascio risultante viene ulteriormente processato moltiplican-
dolo per la corrente di pilotaggio della cella di Bragg (I0 cos(ωBt+
φ(t))), ottenendo:
IT OT = α cos(ωBt + φ(t)) + β cos(φ(t)) (4.11)
dove α e β sono costanti dipendenti da E0 e I0.
Infine, il fascio risultante viene filtrato attraverso un passabas-
so, ottenendo un’intensità legata alla variazione di fase introdotta
dalla vibrazione sulla superficie su cui incide il fascio iniziale:
IT OT = β cos[φ(t)] (4.12)
Tutto ciò evidenzia come la funzione della cella di Bragg sia
quella di rendere il segnale d’uscita sensibile a spostamenti della
superficie in un verso o nell’altro. Infatti, senza la frequenza ωB,
il segnale di uscita sarebbe quello fornito dall’equazione (4.12),
dipendente tramite la funzione coseno alla fase ϕ(t): fasi uguali e
di segno opposto quindi, avrebbero prodotto la stessa corrente di
uscita.

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 77
Figura 4.4: Tubi piezoelettrici.
4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risul-
tati teorici
4.2.1 I campioni piezoelettrici
Le misure sono state effettuate su campioni di geometria cilin-
drica a sezione circolare cava e su campioni a geometria di lastra
sottile a sezione rettangolare (piastrine). Il materiale di cui sono
costituiti è ceramica piezoelettrica in titanato zirconato di piombo
di tipo Navy type III, anche indicato con la sigla PZT-8. La figura
4.4 riporta un’immagine di tipici tubi piezoeletrrici.
Le caratteristiche geometriche dei due campioni utilizzati sono
elencate nelle tabelle 4.1 e 4.2.
Il tubo è dotato di elettrodi di nickel applicati per deposizione
elettrochimica sull’intera superficie interna ed esterna. I cavi elet-

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 78
Cilindro
Lunghezza assiale l (mm) 76±0.25
Diametro esterno de (mm) 50±0.64
Spessore s (mm) 5±0.51
Spessore elettrodi (µm) 2.54
Tabella 4.1: Dimensioni geometriche e tolleranze meccaniche del Cilindro
piezoelettrico utilizzato, dichiarate da catalogo.
Piastrina
Lunghezza l1 (mm) 20.0±0.1
Larghezza l2 (mm) 10.0±0.1
Spessore s (mm) 1±0.11
Spessore elettrodi (˚A) 3000
Tabella 4.2: Dimensioni geometriche e tolleranze meccaniche della piastrina
piezoelettrica utilizzata, dichiarate da catalogo.
trici sono invece stati fissati tramite una vernice costituita da ar-
gento metallico e da un solvente volatile a contatto con l’aria.
L’asse di polarizzazione della ceramica è disposto in perpendico-
lare alla superficie sia per il cilindro sia per la piastrna.
Sulla piastrina gli elettrodi di alluminio sono depositati sull
superfici maggiori per sputtering. I cavi elettrici sono fissati in
maniera analoga al cilindro.
4.2.2 Misure sperimentali relative al cilindro
Per ambedue i campioni si sono effettuati le seguenti misure:
• Misura dell’impedenza elettrica e meccanica, per la rilevazione
della modo di vibrazione fondamentale della struttura;

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 79
Impedenza [Ω]
70
50
30
10
-10
15 17 19 21 23
Frequenza [kHz]
Figura 4.5: Impedenza del cilindro.
• Misura degli spettri del segnale rilevato sulla superficie in
vibrazione mediante tecnica inteferometrica;
• Misura dell’ampiezza di pilotaggio di soglia al variare della
frequenza di pilotaggio;
• Misura dell’ampiezza fondamentale di soglia al variare della
frequenza di pilotaggio;
• Misura e confronto delle ampiezze della fondamentale e delle
armoniche frazionali al variare dell’ampiezza di pilotaggio;
• Misura e confronto delle ampiezze della fondamentale e delle
armoniche frazionali al variare della posizione lungo gli assi
delle strutture.
In figura 4.5 si riporta l’impedenza misurata sul cilindro cavo,
descritto nel capitolo precedente.

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 80
La figura evidenza la presenza di una risonanza alla frequenza
di 16.9 kHz. A questa frequenza per il cilindro si presenta un
modo d’oscillazione A1,0,0 che corrisponde al suo modo assiale.
Come appare nel diagramma, i vari modi sono accomunati da
una forma snella delle curve di risonanza, cioè da un alto valore
del fattore meccanico. Questo è indice di un trascurabile smorza-
mento interno della ceramica piezoelettrica. Le possibili fonti di
dissipazione sono dovute, nelle applicazioni pratiche dei risonatori
studiati, a cause esterne, quali vincoli di supporto o fluidi viscosi
a contatto con la struttura.
La snellezza della forma dei picchi determina curve di risposta,
relative a ciascun modo, non sovrapposte tra loro. In questa con-
dizione, i modi di vibrazione risultano disaccoppiati: eccitando il
campione su una certa risonanza, esso risponderà con il solo modo
di vibrazione relativo a quella frequenza. Non interverranno, in-
vece, i modi di vibrazione caratteristici di altre risonanze. Finché
si verifica questa condizione la vibrazione risulta essere in regime
lineare.
Bisogna osservare come gli spettri rilevati sperimentalmente
varino in relazione alla tensione applicata al campione [21]: all’au-
mentare della tensione (o potenza) applicata al campione piezoelet-
trico analizzato, si verifica una traslazione dei picchi di risonanza
verso frequenze più basse, con una diminuzione del fattore mec-
canico relativo a ciascuna risposta. Il fenomeno è una chiara indi-
cazione dell’instaurarsi nella struttura di un regime di vibrazione

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 81
non lineare; si pensi, ad esempio, a quanto ricordato per l’oscilla-
tore di Duffing (paragrafo 3.1) con molla soffice: la flessione verso
sinistra della curva di risposta è un comportamento paragonabile
allo spostamento del picco di risonanza verso frequenze più basse
nel caso del tubo piezoelettrico.
Verifica della presenza di vibrazioni subarmoniche di ordine 1/2
Vengono dette vibrazioni subarmoniche o armoniche frazionali
di ordine 1/2 le vibrazioni che si instaurano ad una frequenza pari
alla metà (1/2) della frequenza dell’armonica frazionale.
In questo paragrafo verrà mostrata la presenza di frequenze di
vibrazione a frequenze pari a 1/2 della frequenza fondamentale.
Al paragrafo 4.1.1 è stata descritta la catena di misura utilizza-
ta nel rilievo del campo degli spostamenti dei punti della superficie
del campione. Come detto, il tubo piezoelettrico è stato poggiato
di base, in posizione verticale, su un supporto adatto a realizzare
spostamenti in direzione verticale. Muovendo in tal maniera il
campione, con il fascio laser incidente sulla superficie esterna si
sono realizzate scansioni lungo le direttrici del campione. La figu-
ra 4.6 schematizza gli spostamenti relativi tra raggio laser e tubo
piezoelettrico.
La figura 4.7 mostra, nel punto che si trova a mezza altezza
dell’asse del cilindro, lo spettro del segnale rilevato quando agli
elettrodi viene applicata una tensione alternata alla frequenza di
risonanza di 16.9 kHz con ampiezza 6 V. Come previsto è pre-

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 82
z
Figura 4.6: Spostamenti relativi tra raggio laser e tubo piezoelettrico.
sente una vibrazione abbastanza pronunciata alla frequenza fon-
damentale, corrispondente alla frequenza di pilotaggio. Inoltre, si
verifica, già a quest’ampiezza di eccitazione, la presenza di non
linearità del secondo e terzo ordine con la presenza di frequenze
di vibrazioni al doppio e triplo del valore della fondamentale.
Le misure effettuate sono state indirizzate allo studio del regime
di vibrazione non lineare dei risonatori. In particolare sono stati
evidenziati i comportamenti tenuti dal campione al superamento
della soglia di eccitazione di vibrazioni a frequenze 1/2 da parte
della tensione di pilotaggio. Inoltre, a seguito del battimento
tra la frequenza 1/2 e quella di pilotaggio (a 1) nasce anche una
vibrazione a frequenza pari a 3/2 la frequenza di pilotaggio [17].
Per il cilindro tale ampiezza di soglia risulta essere di 14.5

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 83
Ampiezza [dBm]
0
-20
-40
-60
-80
10 20 30 40
Frequenza
Figura 4.7: Spettro in frequenza del segnale rilevato (Cilindro, 6 V, 16.9 kHz).
Ampiezza [dBm]
-20
-40
-60
-80
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.8: Spettro in frequenza del segnale rilevato (Cilindro, 14.5 V, 16.9
kHz).
V. Come evidenziato dalla figura 4.8, che mostra lo spettro in
frequenza della vibrazione rilevata dal sistema di misura al cen-
tro dell’asse del cilindro, sono presenti due vibrazioni a frequenze
rispettivamente 8.45 kHz (1/2 volte 16.9 kHz) e 25.35 kHz (3/2

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 84
volte 16.9 kHz).
Verifica del fenomeno della soglia e confronto con il modello analitico
Uno degli aspetti che caratterizza i fenomeni di oscillazione a
frequenze che siano frazione della fondamentale (armoniche frazion-
ali), che come è stato illustrato nel paragrafo precedente prende
il nome di oscillazione parametrica, è la presenza di un livello di
soglia che deve essere raggiunto dall’ampiezza della fondamentale.
Infatti la generazione delle vibrazioni a frequenze frazionali ri-
portate nella figura 4.8 avviene al superamento di un valore pre-
ciso di un’ampiezza di eccitazione, oltre il quale si sono presen-
tate tali vibrazioni con ampiezze non trascurabili rispetto alla vi-
brazione fondamentale. Questo è sintomatico della presenza di un
fenomeno di soglia nella generazione delle armoniche frazionali.
Nella figura 4.9 è riportato l’andamento dell’ampiezza di soglia
della tensione di pilotaggio rispetto alla frequenza di pilotaggio
del campione (l’unità di misura dell’ampiezza di soglia deve essere
moltiplicata per il fattore di amplificazione, che risulta costante
alle frequenze analizzate). L’ampiezza dell’armonica fondamen-
tale è direttamente proporzionale all’ampiezza di pilotaggio, in
modo lineare, almeno fino al raggiungimento del livelo di soglia.
Si evidenzia come sia presenta un minimo in corrispondenza della
frequenza di 16.9 kHz, cioé la frequenza del modo fondamentale.
Questo è un comportamento tipico delle oscillazioni parametriche
quali quelle descritte dall’equazione di Mathieu, analizzata nella

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 85
Livello di Soglia dell’Ampiezza di Pilotaggio [V]
300
250
200
150
100
50
0
16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5 19.0
Frequenza [kHz]
Figura 4.9: Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del segnale di
pilotaggio (Cilindro).
Livello di Soglia dell’Ampiezza di Pilotaggio [V]
40
30
20
10
0
16.6 16.7 16.8 16.9
Frequenza [kHz]
Figura 4.10: Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del segnale di
pilottagio (dettaglio del Cilindro).
parte teorica del presente capitolo.
La figura 4.10 mostra un dettaglio del comportamento del-
l’ampiezza di soglia rispetto alla frequenza di eccitazione.
Un’altro aspetto sperimentale che trova riscontro anche nel

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 86
Ampiezza di Vibrazione [nm]
12.2
11.8
11.4
11.0
16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0 17.1
Frequenza [kHz]
Centro
5 mm dal Centro
25 mm dal Centro
Figura 4.11: Andamento della soglia al variare della frequenza di pilotaggio
per diversi punti lungo l’asse del cilindro.
modello analitico descritto in 3.4.2 riguarda l’indipendenza della
solgia che deve assumere l’ampiezza di vibrazione fondamentale
al variare della frequenza di pilotaggio (si veda l’equazione 3.68).
Nella seguente figura 4.11 sono mostrate le curve rappresentan-
ti l’ampiezza di soglia che la fondamentale deve superare al fine
di generare le armoniche frazionali al variare della frequenza di
pilotaggio. Inoltre sono anche riportate diverse curve per diversi
punti lungo l’asse del cilindro. Ciò è una prima affermazione del
carattere ”locale” dell’interazione non lineare per la generazione
dell’armonica frazionale di ordine 1/2, in maniera coerente con
l’equazione 3.68 [16].
Risulta evidente l’indipendenza del fenomeno di soglia sia dal
modo di vibrazione che si è instaurato (frequenza) sia dalla po-
sizione lungo le superfici vibranti.

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 87
Ampiezza [a. u.]
60
40
20
0
A1/2
A1
A3/2
5 10 15 20 25
Ampiezza di Pilotaggio [mV]
Figura 4.12: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle subar-
moniche rispetto all’ampiezza di pilotaggio (Cilindro).
Verifica dell’andamento spaziale di armoniche e subarmoniche
Uno degli aspetti singolari rilevati nel presente studio con-
siste della dipendenza spaziale delle oscillazioni a frequenze pari
a frazioni della frequenza fondamentale. Questo fenomeno di-
mostra come la generazione delle armoniche frazionali sia legata
al raggiungimento ”locale” di un’ampiezza di soglia da parte del-
l’ampiezza dell’armonica fondamentale, direttamente proporzionale
all’ampiezza di pilotaggio, che è il vero e proprio pilotaggio del
fenomeno delle armoniche frazionali.
A dimostrazione della ”localizzazione” del fenomeno di gener-
azione dell’armonica fraziionale di ordine 1/2 (e conseguentemente
di ordine 3/2,) sono riportate le figure 4.12 e 4.13.
Nella prima è riportato l’andamento delle ampiezze dell’armon-
ica fondamenentale e delle subarmonica di ordine 1/2 e 3/2, in fun-

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 88
zione dell’ampiezza di pilotaggio. Le misure sono state effettuate
con lo spot del fascio laser dell’interferomentro in posizione cor-
rispondente al centro dell’asse del cilindro, dove l’ampiezza della
fondamentale risulta massima [15], [18].
Risulta evidente come all’aumentare dell’ampiezza di pilotaggio
l’ampiezza della fondamentale cresca linearmente, fenomeno pre-
visto anche in regime non lineare, ma prima del raggiungimento
del valore di soglia, in cui risultano presenti armoniche di ordine
superiore (secondo, terzo, ecc. ordine) [15], [18]. D’altra parte
l’armonica frazionale di ordine 1/2, risulta inesistente, cioé non è
ancora stata eccitata.
Le armoniche frazionali risultano presenti solo al superamento
da parte dell’ampiezza di pilotaggio di un valore di soglia (si veda
il paragrafo 3.4.2 per i dettagli teorici), superato il quale queste
ampiezze risultano bene evidenti e acquistano valori stabili pari
al 30 − 40% dell’ampiezza della fondamentale. Inoltre, si verifi-
ca un abbattimento dell’ampiezza della fondamentale di circa il
30 − 35%, ciò è dovuto alla necessità di far fluire energia dalla
fondamentale alle armoniche frazionali appena generate.
La figura 4.13 mostra l’andamento dell’ampiezza della fonda-
mentale e delle armoniche frazionali di ordine 1/2 e 3/2, al variare
della posizione dello spot dell’interferometro lungo l’asse del cilin-
dro. Il punto indicato a 0 mm corrisponde al punto più distante
dal centro dell’asse, che si trova in corrispondenza del punto indi-
cato a 36 mm. E’ riportata solo la prima metà del cilindro essendo

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 89
Ampiezza [a. u.]
60
40
20
0
A1/2
A1
A3/2
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
Posizione [mm]
Figura 4.13: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle subar-
moniche lungo l’asse del cilindro.
l’altra metà simmetrica sia in termini geometrici sia in termini di
vibrazioni.
L’ampiezza di pilotaggio in queste misure è tale da superare
il livello di soglia per la generazione di armoniche frazionali in
corrispondenza del centro dell’asse del cilindro. E’ stata utilizzata
quella ricavata dalle precedente misure sperimentali, pari a 14, 5
V.
Le misure sono state effettuate a partire dal bordo superiore
del cilindro scendendo lungo il suo asse spostando lo spot di 2 mm
alla volta.
Nonostante il raggiungimento del livello di soglia da parte del
pilotaggio, nella fase iniziale dell’esperimento (cioé nei punti più
lontani dal centro), non si evidenziano armoniche frazionali e l’am-
piezza della fondamentale cresce linearmente all’avvicinarsi al cen-

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 90
tro dell’asse del cilindro, come già verificato nel comportamento
non lineare sotto soglia [18].
La crescita lineare della fondamentale continua fino a 10 mm
dal centro dell’asse, punto a partire dal quale subisce una riduzione,
dovuta al fluire dell’energia meccanica delle vibrazioni verso le ar-
moniche frazionali, non ancora evidenziatesi in maniera stabile.
Le armoniche frazionali di ordine 1/2 e 3/2 risultano formate e
stabili, con ampiezza di circa il 30% della fondamentale solo in
corrispondenza del centro.
Questo fenomeno evidenzia inequivocabilmente come la genera-
zione parametrica delle armoniche frazionali, di ordine 1/2 e 3/2,
sia localizzata in corrispondenza dei soli punti in cui l’ampiez-
za della fondamentale supera la soglia, facendovi fluire l’energia
meccanica necessaria alla loro generazione.
Ulteriormente esplicative sono le seguenti due figure, che ri-
portano le misure sperimentali effettuate lungo tutto l’asse del
cilindro.
La figura 4.14 mostra l’andamento dell’ampiezza della fonda-
mentale e dell’armonica frazionale di ordine 1/2 rispetto all’ampiez-
za di soglia (ampiezza di pilotaggio a 11.6 V)(non si riporta l’ampiez-
za dell’armonica di ordine 3/2, dato che, essendo generata dal
battimento delle due precendenti, risulta superflua). In queste
misura il comportamento del sistema in vibrazione risulta essere
lineare, in fatti risulta immediatamente evidente come l’ampiezza
della fondamentale non abbia raggiunto il livello di soglia. Si noti

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 91
Ampiezza (nm)
12
8
4
0
Livello di Soglia
Α1
Α1/2
0 15 30 45 60 75
Posizione (mm)
Figura 4.14: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e dell’armonica di
ordine 1/2 lungo l’asse del cilindro rispetto al livello di soglia (sotto soglia).
che in questa figura è riportato l’andamento rispetto a tutto l’asse
del cilindro, e l’ampiezza della fondamentale mostra l’andamento
previsto in [18] per il comportamento non lineare sotto soglia.
La figura 4.15, mostra, invece, cosa avviene nei punti in cui
la soglia per la generazione delle armoniche frazionali è raggiunta
dall’ampiezza della fondamentale (ampiezza di pilotaggio 14.5 V):
quest’ultima subisce un decremento (come già descritto in prece-
denza del 30 − 35%) dovuto al fluire dell’energia meccanica della
vibrazione verso le armoniche frazionali, che a loro volta diven-
tano stabili e con valori non più trascurabili rispetto all’armonica
fondamentale (come già descritto in precedenza arrivano ad avere
un’ampiezza del 30 − 40% della fondamentale)
Inoltre, nella figura 4.16 sono riportati gli spettri in frequenza
del segnale di vibrazione rilevato sulla superficie del cilindro al

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 92
Ampiezza (nm)
12
8
4
0
Livello di Soglia Α1
Α1/2
0 15 30 45 60 75
Posizione (mm)
Figura 4.15: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e dell’armonica di
ordine 1/2 lungo l’asse del cilindro rispetto al livello di soglia (sopra soglia).
-10
-40
-70
10
-10
-30
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
(a)
(c)
Ampiezza [dBm]
Ampiezza [dBm]
10
-10
-30
-10
-40
-70
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.16: Spettri in frequenza al variare della posizione di rilevazione del
segnale (Cilindro).
variare della posizione: l’ampiezza di pilotaggio viene mantenuta
costante.
La (a) corrisponde a un punto distante 9 mm dal centro del
cilindro, la (b) a 6 mm e la (c) a 3 mm, mentre lo spettro del
(b)
(d)

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 93
-10
-40
-70
10
-10
-30
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
(a)
(c)
Ampezza [dBm]
Ampezza [dBm]
10
-10
-30
-10
-40
-70
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.17: Spettri in frequenza al variare dell’ampiezza di pilotaggio di
rilevazione del segnale (Cilindro).
segnale mostrato nella (d) è rilevato proprio in corrispondenza del
centro dell’asse del cilindro, dove l’ampiezza di vibrazione della
componente fondamentale è in corrispondenza del suo massimo
[18]. Questa figura dimostra ulteriormente come il fenomeno del-
la generazione delle armoniche frazionali sia legato all’ampiezza
di pilotaggio. Infatti, all’avvicinarsi al centro dell’asse del cilin-
dro e, quindi, all’aumentare dell’ampiezza dell’armonica fonda-
mentale, si sviluppa il fenomeno delle armoniche frazionali, fi-
no a consolidarsi in maniera stabile una volta raggiunto il centro
dell’asse.
La figura 4.17 illustra una figura analoga alla precedenta, solo
che risulta da misure effettuate al variare non della posizione, ma
dell’ampiezza di pilotaggio((a) 11.6 V, (b) 12.5 V, (c) 13.5 V, (d)
14.5 V).
(b)
(d)

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 94
Anche queste misure evidenziano, quindi, come il fenomeno
della generazione delle subarmoniche sia ”locale” e dipendente
dall’ampiezza della vibrazione fondamentale. Infatti, se l’ampiez-
za della fondamentale supera la soglia, che sia ciò dovuto allo
spostarsi lungo l’asse del cilindro o che sia dovuto all’aumentare
dell’ampiezza di pilotaggio (a cui l’ampiezza della fondamentale
è direttamente proporzionale) si verifica comunque il fenomeno
dell’insorgenza delle armoniche frazionali.
4.2.3 Misure sperimentali relative alla piastrina
Nella presente sezione si illustrano i risultati sperimentali ot-
tenuti per la piastrina, la cui struttura geometrica è stata descritta
nel Paragrafo precedente 4.2.1 e risulta completamente diversa da
quella del cilindro. Nonostante tale diversità, i risultati sperimen-
tali ottenuti sono analoghi e confortano i risultati analitici descritti
nella prima Sezione del presente Capitolo.
Le misure sperimentali effettuate hanno seguito lo stesso per-
corso delle misure effettuate sul cilindro, al fine di consentire un
valido confronto.
In figura 4.18 si riporta l’impedenza misurata sulla piastrina,
la lastra sottile a sezione rettangolare le cui caratteristiche ge-
ometriche, meccaniche ed elettriche sono descritte nella seconda
sezione del Capitolo.
La figura evidenza la presenza di una risonanza alla frequenza
di 12.9 kHz, corrispondente al suo modo assiale.

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 95
Impedenza [ Ω]
12
8
4
0
10 12 14 16 18
Frequenza [kHz]
Figura 4.18: Impedenza della piastrina.
Le osservazioni effettuate per il cilindro riguardo le curve di
risonanza e l’accoppiamento dei modi di vibrazione hanno lo stesso
valore anche per la piastrina.
Verifica della presenza di vibrazioni subarmoniche di ordine 1/2
La figura 4.19 mostra lo spettro in frequenza del segnale rile-
vato al centro della piastrina quando agli elettrodi viene applicata
una tensione alternata alla frequenza di risonanza di 12.9 kHz con
ampiezza 5, 8 V. Come previsto è presente una vibrazione abbas-
tanza pronunciata e si verifica, già a quest’ampiezza di eccitazione,
la presenza di non linearità del secondo e terzo ordine con la pre-
senza di frequenze di vibrazioni al doppio e triplo del valore della
fondamentale, come risulta evidenziato dalla figura stessa.
Anche per la piastrina le misure sono state indirizzate al fine
di evidenziare i comportamenti che si presentano al superamento

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 96
Ampiezza [dBm]
-20
-40
-60
-80
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.19: Spettro in frequenza del segnale rilevato (Piastrina, 5,8 V, 12.9
kHz).
Ampiezza [dBm]
0
-20
-40
-60
-80
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.20: Spettro in frequenza del segnale rilevato (Piastrina, 53,4 V, 12.9
kHz).
della soglia di eccitazione di vibrazioni alla frequenza 1/2 (armon-
ica frazionale di ordine 1/2) da parte della tensione di pilotaggio
e della fondamentale.
Per la piastrina tale ampiezza di soglia risulta essere di 53, 4

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 97
V. Come evidenziato dalla figura 4.20, che mostra lo spettro in
frequenza della vibrazione rilevata dal sistema di misura al cen-
tro dell’asse del cilindro, sono presenti due vibrazioni a frequen-
ze rispettivamente 6, 45 kHz (1/2 volte 12.9) e 19, 35 kHz (3/2
volte 12.9), quest’ultima derivante dal fenomeno di battimento
tra l’armonica fondamentale e l’armonica frazionale di ordine 1/2.
Verifica del fenomeno della soglia e confronto con il modello analitico
Nella figura 4.21 è riportato l’andamento dell’ampiezza di soglia
rispetto alla frequenza di pilotaggio del campione (l’unità di misura
dell’ampiezza di soglia deve essere moltiplicato per il fattore di
amplificazione, che risulta costante alle frequenze analizzate). Si
evidenzia come sia il minimo presente in corrispondenza della fre-
quenza di 12.9 kHz, cioé la frequenza del modo fondamentale,
come avviene anche per il Camione 1.
Anche per la piastrina si è proceduto nel valutare l’indipenden-
za che l’ampiezza di soglia dalla frequenza di pilotaggio (si veda
il modello analitico nel paragrafo 3.4.2.
Il risutlato di tale analisi sperimentale è riportato nella figura
4.22 e risulta analogo a quanto mostrato per il cilindro; come
analoghi sono i commenti che ne scaturiscono: l’ampiezza che la
fondamentale deve assumere per generare le armoniche frazionali
è costante al variare della frequenza di pilotaggio, coerentemente
con il modello analitico (equazione 3.68)

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 98
Livello di Soglia dell’ampiezza di Pilotaggio [mV]
350
300
250
200
150
100
50
12.7 12.8 12.9 13.0 13.1
Frequenza [kHz]
Figura 4.21: Livello di soglia [V] rispetto alla frequenza [kHz] del segnale di
pilottagio (Piastrina).
Ampiezza della Vibrazione [nm]
12.0
11.8
11.6
11.4
11.2
11.0
10.8
12.70 12.75 12.80 12.85 12.90 12.95
Frequenza [kHz]
Figura 4.22: Andamento della soglia al variare della frequenza di pilotaggio
in corrispondenza del centro della piastrina.
Verifica dell’andamento spaziale di armoniche e subarmoniche
Anche in questa fase sperimentale della presenti tesi si è potuto
verificare il carattere della dipendenza spaziale delle oscillazioni a

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 99
Ampiezza [a. u.]
500
400
300
200
100
0
A1/2
A1
A3/2
65 70 75 80 85 90
Ampiezza Pilotaggio [mV]
Figura 4.23: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle subar-
moniche rispetto all’ampiezza di pilotaggio (Piastrina).
frequenze pari a frazioni della frequenza fondamentale.
Infatti le figure 4.23 e 4.24 risultano del tutto analoghe alle
figure 4.12 e 4.13 (in quest’ultima di evidenzia un diverso profilo
di vibrazione della fondamentale, dovuto alla geometria)
Anch’esse dimostrano come il fenomeno della generazione delle
armoniche frazionali sia ”localizzato” spazialmente in quei punti in
cui l’armonica fondamentale supera il valore di soglia necessario.
Nella figura 4.23 ottenuta all’aumentare dell’ampiezza di pi-
lotaggio e, conseguentemente, dell’ampiezza della fondamentale,
le armoniche frazionali sorgono al superamento della soglia e ac-
quistano un valore stabile pari a circa il 25 − 30% quello della
fondamentale, che a sua volta subisce una riduzione del 30% a
causa del fluire della sua energia di vibrazione verso le armoniche
frazionali.

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 100
Ampiezza [a. u.]
600
400
200
0
A1/2
A1
A3/2
0 5 10 15 20
Posizione [mm]
Figura 4.24: Andamento dell’ampiezza della fondamentale e delle subar-
moniche rispetto alla posizione lungo l’asse maggiore della piastrina.
La figura 4.24 mostra l’andamento dell’ampiezza della fonda-
mentale e delle armoniche frazionali di ordine 1/2 e 3/2, al variare
della posizione dello spot dell’interferometro lungo l’asse centrale
della piastrina. Il punto indicato a 0 mm corrisponde al punto più
distante dal centro di tale asse, che si trova in corrispondenza del
punto indicato a 20 mm.
L’ampiezza di pilotaggio in queste misure è tale da superare
il livello di soglia per la generazione di armoniche frazionali in
corrispondenza del centro dell’asse del cilindro. E’ stata utilizzata
quella ricavata dalle precedente misure sperimentali, pari a 38, 9
V.
Nonostante il raggiungimento del livello di soglia da parte del
pilotaggio, nella fase iniziale dell’esperimento (cioé nei punti più
lontani dal centro), non si evidenziano armoniche frazionali e l’am-

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 101
piezza della fondamentale cresce linearmente all’avvicinarsi al cen-
tro dell’asse.
La crescita lineare della fondamentale continua fino a 5 mm dal
centro dell’asse, punto a partire dal quale subisce una riduzione,
dovuta al fluire dell’energia meccanica delle vibrazioni verso le
armoniche frazionali, non ancora evidenziatesi in maniera stabile.
Le armoniche frazionali di ordine 1/2 e 3/2 risultano formate e
stabili, con ampiezza di circa il 30% della fondamentale solo in
corrispondenza del centro.
Come commentatato per il cilindro, anche per la piastrina si
può dire che la generazione parametrica delle armoniche frazionali,
di ordine 1/2 e 3/2, è localizzata in corrispondenza dei soli punti
in cui l’ampiezza della fondamentale supera la soglia, facendovi
fluire l’energia meccanica necessaria alla loro generazione.
Analogamente a quanto fatto per il cilindro, nella figura 4.25
sono riportati gli spettri in frequenza del segnale di vibrazione
rilevato sulla superficie della piastrina al variare della posizione:
l’ampiezza di pilotaggio viene mantenuta costante.
La (a) corrisponde a un punto distante 9 mm dal centro del
cilindro, la (b) a 6 mm e la (c) a 3 mm, mentre lo spettro del
segnale mostrato nella (d) è rilevato proprio in corrispondenza del
centro dell’asse del cilindro. Anche in questa figurasi dimostra
ulteriormente come il fenomeno della generazione delle armoniche
frazionali sia legato all’ampiezza di pilotaggio. Infatti, all’avvic-
inarsi al centro dell’asse della piastrina e, quindi, all’aumentare

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 102
-10
-40
-70
-10
-40
-70
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
(a)
(c)
Ampiezza [dBm]
Ampiezza [dBm]
-10
-40
-70
-10
-40
-70
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.25: Spettri in frequenza al variare della posizione di rilevazione del
segnale (Piastrina).
dell’ampiezza dell’armonica fondamentale, si sviluppa il fenomeno
delle armoniche frazionali, fino a consolidarsi in maniera stabile
una volta raggiunto il centro dell’asse.
La figura 4.26 illustra una figura analoga alla precedenta, solo
che risulta da misure effettuate al variare non della posizione, ma
dell’ampiezza di pilotaggio ((a) 47.5 V, (b) 49.5 V, (c) 51.5 V, (d)
53.4 V).
In conclusione, tutta la presenta sezione, in cui è stato descritto
il comportamento della piastrina, è stato possibile rilevare come
il fenomeno della generazione delle armoniche frazionali sia in-
dipendente dalla forma geometrica assunta dal campione in esame.
Infatti, le due strutture esaminate sono estremamente diverse tra
loro, ma presentano un comportamento analogo dal punto di vista
delle armoniche frazionali. Anche questa osservazione, oltre a es-
(b)
(d)

4.2 Risultati sperimentali e confronto con i risultati teorici 103
-10
-40
-70
-14
-36
-58
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
(a)
(c)
Ampiezza [dBm]
Ampiezza [dBm]
-5
-20
-35
-10
-40
-70
10 20 30 40
10 20 30 40
Frequenza [kHz]
Figura 4.26: Spettri in frequenza al variare dell’ampiezza di pilotaggio di
rilevazione del segnale (Piastrina).
sere di supporto al modello analitico sviluppato sull’equazione di
Mathieu, è un’ulteriore prova della ”localizzazione” del fenomeno.
(b)
(d)

Capitolo 5
CONCLUSIONI e SVILUPPI
FUTURI
CONCLUSIONI
Il presente lavoro di tesi ha permesso di analizzare ed appro-
fondire diversi aspetti riguardanti le vibrazione non lineari di cam-
pioni piezoelettrici, in particolare per ciò che riguarda la generazio-
ne di vibrazioni corrispondenti ad armoniche frazionali di ordine
1/2.
E’ stato fornito un modello analitico, che attraverso l’equazione
di Mathieu descrive l’insorgere di armoniche frazionali; tale model-
lo è stato verificato sperimentalmente attraverso misure effettuate
su due campioni piezoelettrici di geometrie diverse.
Per ambedue i campioni:
• E’ stato dimostrato analiticamente e verificato sperimental-
mente come il fenomeno della generazione delle armoniche

105
frazionali sia dipendente dal raggiungimento da parte del-
l’ampiezza della fondamentale di un livello di soglia;
• E’ stato verificato analiticamente e sperimentalmente che, per
generare vibrazioni alle frequenze delle armoniche frazion-
ali, è necessario che l’ampiezza della fondamentale superi un
valore di soglia. Questa soglia è risultata indipendente dal-
la frequenza di pilotaggio e quindi dal modo di vibrazione
isntauratosi nella struttura in esame;
• E’ stato dimostrato analiticamente e dimostrato sperimen-
talmente come il fenomeno della generazione delle armoniche
frazionali sia a carattere ”locale”.
Il fenomeno della generazione delle armoniche frazionali è risul-
tato indipendente dalla geometria del campione analizzato, ciò
come conseguenza della ”localizzazione” del fenomeno stesso. In-
fatti, per tutti i coampioni esaminati, indipendentemente dalla
loro configarazione geometrica, il processo e le condizioni sotto
cui si generano le armoniche frazionali sono identiche.
SVILUPPI FUTURI
Lo studio sperimentale della generazione delle armoniche fra-
zionali ha messo in evidenza una fase di transizione nel processo
messo in atto dipendente sia dal valore ”locale” dell’ampiezza di
vibrazione dell’oscillazione alla frequenza fondamentale sia dalla
frequenza di pilotaggio dei campioni piezoelettrici. Osservando

106
le figure 4.16 e 4.17 per il cilindro e 4.25 e 4.26 per la piastrina
si osserva l’innalzamento della base dello spettro del segnale ((b)
e (c)) rispetto a prima dell’instaurarsi delle armoniche frazionali
((a)): tale base passa da -70 dBm a -30 dBm, ritornando a -70
dBm una volta generate le armoniche frazionali.
Mentre nelle sottofigure (a) e (d) è evidente che si tratti di
rumore spettrale, nelle figure (b) e (c) sorge il dubbio che si tratti
di un fenomeno più complesso.
Questo può essere spiegato attraverso la fenomenologia di un
processo a catena: una volta generatasi la componente a ω/2, ne
consegue la generazione di una componente a ω/4 e di un’altra a
ω/2, da cui consegue la generazione di una componente a ω/8 e a
ω/4 e così, fino a raggiungere uno spettro in frequenza continuo.
Partendo dalla teoria del caos, attraverso le funzionalità del-
l’oscilloscopio descritto nella Catena di Misura, è stata eseguita
un’analisi nello spazio delle fasi delle serie temporali delle ampiezze
di vibrazione ottenute dal campionamento del segnale rilevato
tramite il sistema interferometrico; nelle figure 5.1, 5.2 e 5.3 sono
riportati gli spazi delle fasi rilevati nelle tre fasi delle generazione
delle armoniche frazionali. Vengono riportati sull’asse x(t) la
vibrazione rilevata al variare del tempo e su x(t + n) la stessa
vibrazione con un opportuno ritardo di fase [23], [24].
Le figure 5.1 e 5.3 sono relative ai segnali rilevati in corrispon-
denza di ampiezza della fondamentale rispettivamente al di sotto
e al di sopra della soglia, mentre la figura 5.2 corrisponde allo

x(t+n)
x(t+n)
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0.3
0.2
0.1
0.0
-0.1
-0.2
-0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2
x(t)
Figura 5.1: Spazio delle Fasi sotto soglia.
-0.95 -0.70 -0.45 -0.20 0.05 0.30 0.55 0.80
x(t)
Figura 5.2: Spazio delle Fasi all’avvicinarsi della soglia.
107
spazio delle fase del segnale rilevato in prossimità della soglia per
la generazione delle armoniche frazionali.
E’ evidente come prima e dopo la soglia i punti delle curve
nello spazio delle fasi sono posti lungo curve continue, il rumore
(a -70 dBm) non causa un loro eccessivo scostamento, mentre

x(t+n)
1.4
0.9
0.4
-0.1
-0.6
-1.1
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
x(t)
Figura 5.3: Spazio delle Fasi sopra soglia.
108
in prossimità della soglia si verifica una maggiore dispersione dei
punti, che non sono più riconducibili a una sola curva.
A questo punto, è lecito supporre che in queste fasi del fenomeno
di generazione delle armoniche frazionali siano presenti vibrazioni
di tipo caotico. Al fine di arrivare a risposte certe su questo punto
interrogativo sarà necessario svolgere i seguente punti:
• Effettuare un’accurata analisi delle serie temporali del segnale
di vibrazione rilevato dall’interferomentro, che attraverso al-
goritmi numerici (come ad esempio il metodo del box counting
[25]) indichino se tali vibrazioni non lineari hanno carattere
caotico;
• Definire un modello analitico che descriva il comportamento
delle vibrazioni caotiche;
• Effettuare ulteriori misure sperimentali che diano ulteriore

109
conferma del carattere caotico del fenomeno in esame e della
correttezza del modello analitico sviluppato.

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