lezioni di Analisi Complessa del Prof.Bruschi (La sapienza)
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1 Intro<br />
<strong>Analisi</strong> complessa<br />
(appunti <strong>di</strong> viaggio)<br />
Mario <strong>Bruschi</strong><br />
Dipartimento <strong>di</strong> Fisica - Università ’<strong>La</strong> <strong>sapienza</strong>’ - Roma<br />
mario.bruschi@roma1.infn.it<br />
Questo è un corso <strong>di</strong> meto<strong>di</strong> matematici <strong>del</strong>la fisica per fisici. I fisici usano<br />
"moltissimo" la matematica, spesso inventano la matematica. Perchè? Galileo<br />
<strong>di</strong>sse che il secondo ’libro <strong>di</strong> Dio’, cioè la Natura, è scritto in linguaggio matematico<br />
(Pitagora sarebbe stato daccordo). Ma perchè? Nessuno ha dato finora<br />
una risposta convincente. Certo semplificando, si può <strong>di</strong>re che esistono due<br />
scuole <strong>di</strong> pensiero: la ’idealista’ e la ’creazionista’. <strong>La</strong> seconda afferma che la<br />
matematica è una invenzione/creazione <strong>del</strong>la mente umana, cioè che 2+2 non<br />
fa necessariamente 4, che gli spazi <strong>di</strong> Banach non esistevano prima <strong>di</strong> Banach,<br />
che il teorema <strong>di</strong> Pitagora è una invenzione <strong>di</strong> Pitagora ( o forse degli Egizi).<br />
<strong>La</strong> prima afferma invece che le "verità" matematiche esistono in "sé": l’uomo<br />
sagace può solo scoprirle... l’America esisteva anche prima <strong>di</strong> Colombo, gli spazi<br />
<strong>di</strong> Banach erano lì, soli e sconsolati in un mondo ideale, prima <strong>del</strong>la nascita <strong>di</strong><br />
Banach. Insomma i matematici non sono inventori ma esploratori e se hanno<br />
successo firmano con il proprio nome le terre scoperte. Scopritori o inventori?<br />
Nella seconda ipotesi (invenzione) è chiaro che non fa più meraviglia il fatto che<br />
la matematica sia così incre<strong>di</strong>bilmente utile nel lavoro <strong>del</strong> fisico. Dato che essa<br />
è una invenzione <strong>del</strong>la mente umana e dato che in buona parte è stata creata<br />
per "descrivere" il mondo, sarebbe invero sorprendente che non descrivesse (+<br />
o - bene) il mondo... Gli ’idealisti’ obietteranno (forse a ragione) che spesso la<br />
matematica è stata sviluppata ’a prescindere’ e comunque prima che fosse anche<br />
pensabile un possibile utilizzo (i fisici quantistici ne sanno qualcosa). Ma allora<br />
rimane aperto il problema <strong>del</strong> perchè la matematica sia tanto efficace nella descrizione<br />
<strong>del</strong>la realtà ( a meno <strong>di</strong> non ipotizzare che la realtà fisica, qualunque<br />
cosa essa sia, e il mondo ’ideale’ abbiano una sorgente intelligente comune...<br />
ma le ipotesi metafisiche sono da molti secoli inaccettabili per gli scienziati).<br />
Ritorneremo ancora su questo <strong>di</strong>lemma. Comunque, se dovessi esprimere un<br />
parere personale, dovrei ammettere che io sono idealista e creazionista a giorni<br />
alterni... Come chiunque abbia lavorato nel campo, sono cosciente che larga<br />
parte <strong>di</strong> quello che si ’produce’ è irrilevante (e allora sono tentato dalla ipotesi<br />
"invenzione", perchè attribuire all’Universo o ad<strong>di</strong>rittura ad un ente sovrannaturale<br />
la pochezza <strong>del</strong> proprio ingegno?). Ma, seppure raramente, ci si imbatte a<br />
volte in qualcosa <strong>di</strong> veramente "bello", (e allora mi piace pensare che sia anche<br />
qualcosa <strong>di</strong> "vero", in<strong>di</strong>pendente da me: a me basta il piacere <strong>di</strong> aver per primo<br />
visitato la "terra incognita") 1 .<br />
1 Altra stranezza su cui forse torneremo: benchè la "bellezza" o " eleganza" non siano ovviamente<br />
misurabili e quin<strong>di</strong>, a rigore, non facciano parte <strong>del</strong>la scienza, tuttavia hanno guidato,<br />
1
Ma ritorniamo al corso. Da studente ebbi come professore <strong>di</strong> ’meto<strong>di</strong>’ B.<br />
Toushek e ricordo ancora che già dal primo giorno ci <strong>di</strong>sse: "sapete qual’è il<br />
migliore metodo matematico per un fisico?... avere per amico un (buon) matematico!".<br />
Voleva <strong>di</strong>re che non vi è speranza che vi possa essere insegnata tutta<br />
la matematica che vi servirà nella vostra ’carriera’ <strong>di</strong> Fisici (e, a voler esser<br />
pignoli, vista la <strong>di</strong>spersione/specializzazione in atto anche nel campo matematico,<br />
forse bisognerebbe oggi <strong>di</strong>re: "avere per amico il matematico giusto al<br />
momento giusto"). Comunque in questo corso ci occuperemo essenzialmente<br />
<strong>di</strong> analisi complessa, ma ce ne occuperemo essenzialmente da fisici. Intendo<br />
<strong>di</strong>re che (salva, speriamo, la correttezza) daremo poco peso al rigore formale.<br />
Cercheremo invece <strong>di</strong> farvi vedere e capire i perchè e i come: la matematica<br />
come strumento, da usare, rinnovare o scartare a seconda dei bisogni. Quin<strong>di</strong><br />
poche <strong>di</strong>mostrazioni 2 e notazione semplice, quando possibile ( su che cosa sia<br />
poi ’semplice’ ci sarebbe da <strong>di</strong>scutere, ma l’importanza anche euristica <strong>di</strong> una<br />
notazione "buona" è ben nota agli addetti ai lavori). Con<strong>di</strong>remo il tutto con<br />
esempi, esercizi, problemi, quesiti (anche non convezionali: lo studente troppo<br />
spesso si abitua a pensare che un problema DEVE avere una - e una sola -<br />
risposta: la vita non è così e nemmeno la ricerca scientifica...).<br />
Problem 1 Perchè due più due fa quattro? perchè la prima branca <strong>del</strong>la<br />
matematica è stata l’aritmetica? sarebbe lo stesso in qualunque ipotetica civiltà<br />
aliena?<br />
2 Numeri e numeri Complessi<br />
Un matematico (Erdos?) <strong>di</strong>sse: "Dio ci ha dato i numeri naturali, il resto lo<br />
abbiamo fatto noi..."<br />
In effetti, storicamente, in tutte le civiltà conosciute, i primi ’numeri’ introdotti<br />
sono stati gli interi 1, 2, 3, ... Notate che manca lo zero! In effetti lo zero<br />
è stata una "invenzione" notevole, <strong>di</strong>fficile e abbastanza recente (In<strong>di</strong>a, quinto<br />
secolo? Maia, decimo secolo?). Se seguissimo un or<strong>di</strong>ne storico dovremmo<br />
ora mettere come secon<strong>di</strong> i numeri razionali (le frazioni... note sicuramente<br />
agli Egizi, ai Babilonesi, ai Cinesi e poi ai Greci, pur con <strong>di</strong>verse sfumature).<br />
Seguono i numeri relativi (l’utilità dei numeri ’negativi’ fu forse riscontrata dai<br />
contabili <strong>del</strong> Me<strong>di</strong>o Evo, tuttavia fino al tardo Rinascimento i matematici dubitavano<br />
sulla loro <strong>di</strong>gnità <strong>di</strong> numeri a tutti gli effetti, tanto è vero che gli Italiani<br />
li chiamavano numeri ’finti’, Cartesio li chiamava numeri ’falsi’ e anche il termine<br />
moderno ha memoria <strong>di</strong> questa sfiducia). Vengono poi i numeri irrazionali<br />
(le ra<strong>di</strong>ci). Veramente la "scoperta" 3 dei numeri irrazionali è da attribuire<br />
spesso con ottimi risultati, l’opera <strong>di</strong> moltissimi scienziati (Dirac, Einstein, Bernar<strong>di</strong>ni, ...)<br />
2 E tuttavia ci saranno anche abbastanza <strong>di</strong>mostrazioni ... e per lo studente interessato e<br />
per dare almeno un feeling <strong>di</strong> rigore matematico<br />
3 notate come si salta naturalmente dalla interpretazione "idealista" a quella "creazionista"!<br />
2
ai Greci (scuola pitagorica). In effetti essi <strong>di</strong>mostrarono elegantemente che la<br />
ra<strong>di</strong>ce quadrata <strong>di</strong> due non può essere un numero razionale.<br />
Problem 2 <strong>di</strong>mostrare!<br />
Tuttavia, anche per ragioni extra-matematiche (mistiche!), rifiutarono recisamente<br />
<strong>di</strong> ammetterlo... e così gli irrazionali passarono in pratica nel limbo<br />
fino al 1500, per essere successivamente inglobati nel vasto mondo dei numeri reali<br />
( comprendente l’affascinante continente dei numeri trascendenti: la trascendenza<br />
<strong>di</strong> Pi greco è una invenzione/scoperta relativamente recente...). Sempre<br />
nel 1500 (Cardano, Tartaglia, Bombelli) fu riconosciuta la necessità/utilità <strong>del</strong>le<br />
ra<strong>di</strong>ci pari <strong>di</strong> numeri negativi. Nacquero quin<strong>di</strong> gli immaginari (il termine è<br />
dovuto a Cartesio) e quin<strong>di</strong> i numeri complessi (con le poco frequentate estensioni:<br />
quaternioni, ottonioni, sedenioni). Per quanto riguarda il corso potremmo<br />
fermarci qui, ma l’invenzione umana non si è fermata: forse avremo occasione<br />
<strong>di</strong> fare riferimento ai recenti numeri surreali (Conway -l’inventore <strong>di</strong> life!- anni<br />
’70).<br />
Tentiamo ora <strong>di</strong> vedere la "necessità" logica <strong>del</strong>l’introduzione successiva dei<br />
vari corpi numerici. Partiamo dai naturali (quelli donateci da Dio...). Come<br />
sappiamo dalle scuole elementari, vi sono <strong>del</strong>le "operazioni" che possiamo fare<br />
con questi numeri: somma, prodotto... Consideriamo il prodotto (che in realtà<br />
sarebbe una forma abbreviata <strong>di</strong> somma, quin<strong>di</strong> andrebbe visto dopo ).<br />
Come ci <strong>di</strong>cono i sacri testi, il prodotto è una operazione binaria cioè una legge<br />
(applicazione) che associa a 2 numeri naturali un terzo numero naturale:<br />
(a1, a2) =⇒ a3, ak ∈ N, N = {1, 2, ...} , k = 1, 2, 3. (1)<br />
<strong>La</strong> notazione usata comunemente è<br />
o anche<br />
o semplicemente<br />
a1 · a2 = a3<br />
a1 × a2 = a3<br />
a1a2 = a3<br />
Ora ve<strong>di</strong>amo questa operazione in modo leggermente <strong>di</strong>verso, cioè consideriamo<br />
la moltiplicazione come una famiglia <strong>di</strong> "operatori" moltiplicativi applicati<br />
ai naturali (dominio in N) e che, ’operando’, producono come risultato un numero<br />
naturale (codominio in N) 4 . Quin<strong>di</strong> avremo formalmente:<br />
Ŏ×a1 a2 = a3 = a1a2<br />
che si potrebbe leggere: "pren<strong>di</strong> a2,applicaci l’operatore <strong>di</strong> moltiplicazione<br />
per a1 ( cioè Ŏ×a1) e ottieni a3". In fondo abbiamo solo riscritto "moltiplica<br />
4 cos’è un "operatore"? per ora è, come <strong>di</strong>rebbe Catalano, qualsiasi cosa che opera... basta<br />
sapere come opera.<br />
3<br />
(2)<br />
(3)<br />
(4)<br />
(5)
a2 per a1", anzi sembrerebbe che la notazione ora usata sia stupida in quanto<br />
più pesante 5 . Però... ve<strong>di</strong>amo alcune proprietà <strong>di</strong> questo operatore. Dalle note<br />
proprietà <strong>del</strong>la moltiplicazione (quali? ricordate!) è facile vedere che<br />
Ŏ×a Ŏ×b = Ŏ×b Ŏ×a<br />
Abbiamo qui implicitamente definito una nuova ’operazione’ (o legge <strong>di</strong> composizione)<br />
non tra i numeri ma tra gli operatori stessi; non abbiamo usato alcun<br />
simbolo per in<strong>di</strong>carla ma semplicemente la giustapposizione or<strong>di</strong>nata (cioè li<br />
abbiamo scritti in fila...). Tuttavia il tutto dovrebbe essere intuitivamente sem-<br />
plice<br />
Ŏ×a Ŏ×bc = Ŏ×a<br />
(6)<br />
<br />
Ŏ×bc = Ŏ×abc = abc (7)<br />
Quin<strong>di</strong> abbiamo anche implicitamente detto che la composizione <strong>di</strong> due operatori<br />
moltiplicativi è ancora un operatore moltiplicativo. Formalmente<br />
<br />
<br />
Ŏ×a ∈ , Ŏ×b ∈ =⇒ Ŏ×aŎ×b <br />
= Ŏ×ab ∈<br />
(8)<br />
Ŏ×<br />
Ŏ×<br />
Ŏ×<br />
Sembra astruso ma in soldoni significa solo che se prendete un qualsiasi numero<br />
e lo moltiplicate prima per 3 e poi per 2 avrete lo stesso risultato <strong>di</strong> quando<br />
moltiplicate il numero <strong>di</strong>rettamente per 6 !. Comunque questa apparente complicazione<br />
<strong>di</strong> notazione ha i suoi vantaggi. Innanzitutto abbiamo una legge <strong>di</strong><br />
composizione non più sui numeri ma sugli operatori. Come suggerisce la notazione<br />
usata potremmo chiamare tale legge "prodotto" ma tenendo sempre<br />
bene in mente che NON è il prodotto tra numeri! Inoltre la vali<strong>di</strong>tà ovvia <strong>del</strong>la<br />
6 ci fornisce una importante proprietà <strong>di</strong> tali operatori: essi COMMUTANO,<br />
cioè l’or<strong>di</strong>ne <strong>del</strong>le operazioni eseguite è ininfluente sul risultato. Che tale proprietà<br />
sia speciale e niente affatto banale dovrebbe essere ovvio... ma forse si<br />
può apprezzarla maggiormente se si tenta <strong>di</strong> costruire classi <strong>di</strong> operatori astratti<br />
(non necessariamente in campo matematico!) che godano <strong>di</strong> tale proprietà.<br />
Problem 3 portare qualche esempio non matematico <strong>di</strong> "operazioni" commutanti<br />
e non commutanti.<br />
Un’altra "ovvia" proprietà <strong>di</strong> questi operatori e <strong>del</strong> loro "prodotto" è che<br />
esiste un operatore<br />
’pigro ′ , cioè un operatore che non fa niente. Lo chiameremo operatore Identità:<br />
Ĭ×a = a, ∀a ∈ N (9)<br />
Ovviamente<br />
Ĭ× = Ŏ×1<br />
(10)<br />
5 In effetti qualcuno potrebbe <strong>di</strong>re che siamo in contrad<strong>di</strong>zione con il proposito espresso<br />
nell’introduzione <strong>di</strong> usare per quanto possibile una notazione semplice. Ma, a parte le perplessità<br />
già espresse su cosa sia "semplice", cre<strong>di</strong>amo che sia utile per lo studente imparare a<br />
non scoraggiarsi quando inevitabilmente si imbatterà in notazioni "astruse" ...<br />
4
e altrettanto ovviamente<br />
Ĭ× Ŏ×a = Ŏ×a Ĭ× = Ŏ×a<br />
(11)<br />
Ora chiunque abbia una qualche nozione <strong>di</strong> Algebra sa che un qualsiasi insieme <strong>di</strong><br />
’oggetti’ dotato <strong>di</strong> una legge <strong>di</strong> composizione e chiuso rispetto a questa (cioè tale<br />
che applicando comunque la legge si ottiene un elemento <strong>del</strong>l’insieme) e dotato<br />
inoltre <strong>di</strong> un elemento Identità (definito sopra) forma una struttura Algebrica<br />
dalle proprietà molto interessanti detta Gruppo, se... se esiste per ogni elemento<br />
<strong>del</strong>l’insieme un elemento inverso cioè tale che la composizione <strong>di</strong> un elemento<br />
e <strong>del</strong>l’inverso sia l’identità. Il nostro insieme <strong>di</strong> operatori moltiplicativi ha una<br />
legge <strong>di</strong> composizione, è chiuso, esiste l’identità.... se esistesse l’inverso sarebbe<br />
un Gruppo (anzi sarebbe un gruppo speciale detto "Abeliano", dato che vale<br />
anche la proprietà commutativa, non richiesta in genere per la ’gruppalità’).<br />
Quin<strong>di</strong> ve<strong>di</strong>amo se:<br />
<br />
∀Ŏ×a ∈ Ŏ×<br />
<br />
∃Ŏ×ã = Ŏ −1<br />
<br />
×a ∈ Ŏ×<br />
Ŏ −1<br />
×a Ŏ×a = Ĭ× ? (12)<br />
Ma che cos’è l’inverso <strong>del</strong>la moltiplicazione? ovviamente la <strong>di</strong>visione. L’inverso<br />
Ŏ −1<br />
×2 <strong>del</strong>l’operatore Ŏ×2 dovrebbe quin<strong>di</strong> essere l’operatore che prende un qualsiasi<br />
numero naturale e lo <strong>di</strong>vide per 2. Evidentemente il risultato non è più un<br />
numero naturale se il numero <strong>di</strong> partenza è <strong>di</strong>spari. Questo già taglia la testa<br />
al topo... Ma notate che la 12 richiederebbe qualcosa <strong>di</strong> più: in realtà dovrebbe<br />
esistere, per ogni intero positivo a, un "numero" ã che moltiplicato per ax <strong>di</strong>a<br />
x (per ogni intero positivo x). Certo avrete capito che, volendo, il "numero" ã<br />
esiste! solo che non è più un numero intero positivo ma una frazione (numero<br />
razionale positivo):<br />
ã = 1<br />
∈ Q+<br />
(13)<br />
a<br />
Abbiamo quin<strong>di</strong> mostrato (invero prolissamente) che si può pensare che la<br />
necessità <strong>di</strong> ampliare il campo dei numeri naturali introducendo (scoprendo? inventando?)<br />
nuovi "numeri" nasca dalla necessità <strong>di</strong> trovare l’inverso <strong>del</strong>l’operatore<br />
<strong>di</strong> moltiplicazione. Possiamo ora procedere più spe<strong>di</strong>tamente. Cosa succede infatti<br />
se consideriamo l’altra operazione nota sugli interi positivi, cioè lasomma? <br />
E’ chiaro che possiamo introdurre la classe degli operatori <strong>di</strong> somma Ŏ+ , è<br />
chiaro inoltre che esiste una legge <strong>di</strong> composizione e che questa è commutativa:<br />
Ŏ+a Ŏ+b = Ŏ+b Ŏ+a<br />
Esiste l’identità? cioè esiste un intero positivo (<strong>di</strong>ciamo x) tale che<br />
Ŏ+x Ŏ+a = Ŏ+a<br />
(14)<br />
(15)<br />
per qualsiasi a ∈ N = {1, 2, 3, ...}? certo che no! e allora lo "inventiamo"...<br />
poi lo chiamiamo zero (e lo in<strong>di</strong>chiamo con il simbolo 0) e infine lo aggiungiamo<br />
a N ottenendo N0 = {0, 1, 2, 3, ...} .<br />
5
Ok, ora abbiamo l’identità, la chiusura è ovvia: esiste l’inverso? sappiamo<br />
che l’operazione inversa <strong>del</strong>la somma è la sottrazione ma valgono (mutatis mutan<strong>di</strong>s)<br />
gli argomenti <strong>di</strong> sopra. Risultato: la nascita dei numeri "negativi" che<br />
aggiunti allo zero e ai "positivi" danno l’insieme dei numeri interi (relativi):<br />
Z = {... − 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. Come naturale estensione introduciamo anche<br />
le frazioni negative ottenendo il campo dei numeri razionali Q.<br />
Problem 4 parafrasare i ragionamenti <strong>di</strong> sopra per introdurre i numeri irrazionali<br />
Per quanto riguarda i numeri reali (R) facciamo affidamento sulle nozioni già<br />
apprese in altre se<strong>di</strong>... solo una nota: i numeri reali possono essere considerati<br />
numeri decimali con parte decimale infinita (e non perio<strong>di</strong>ca)<br />
1 + 2√ 2 = 2.41421356237309504880168872421... (16)<br />
Problem 5 perchè i numeri reali non esistono in Fisica?<br />
Anche l’introduzione dei numeri immaginari è nata dalla necessità <strong>di</strong> dare<br />
soluzione a problemi senza soluzione nel campo dei numeri fino allora conosciuti<br />
(i reali). <strong>La</strong> domanda era:<br />
2√ −1 = x? (17)<br />
ovviamente x non può essere un numero reale (dovrebbe essere x 2 = −1) e<br />
quin<strong>di</strong> lo "inventiamo", lo chiamiamo ’unità immaginaria’ e lo in<strong>di</strong>chiamo con<br />
il simbolo i. Abbiamo così infiniti nuovi numeri immaginari, dato che<br />
2√ −x = i 2 √ x, x ∈ R+<br />
(18)<br />
E veniamo infine ai numeri complessi, che ingloberanno sia i reali che gli<br />
immaginari (notate la struttura a scatole cinesi dei vari campi numerici...).<br />
Ci sono molti mo<strong>di</strong> per introdurre i numeri complessi: in molti testi troverete<br />
il modo "formale". Voglio darvene un’idea... supponete che io ora <strong>di</strong>ca:<br />
introduciamo un campo numerico (userò un nome fittizio: -F) costituito<br />
dall’insieme <strong>del</strong>le classi <strong>di</strong> equivalenza indotte sulle coppie or<strong>di</strong>nate dei numeri<br />
interi<br />
-F = {(p, q)} , p ∈ Z, q ∈ Z, p = 0 (19)<br />
dalla relazione <strong>di</strong> uguaglianza<br />
z1 ≡ (p1, q1) = z2 ≡ (p2, q2) iff q1p2 = p1q2 (20)<br />
<strong>La</strong> struttura algebrica <strong>di</strong> campo è data dall’introduzione <strong>del</strong>le seguenti operazioni<br />
<strong>di</strong> somma e prodotto:<br />
somma<br />
prodotto<br />
z1 + z2 = z3 ⇐⇒ (p3 = p1p2, q3 = q1p2 + p1q2) (21)<br />
z1z2 = z3 ⇐⇒ (p3 = p1p2, q3 = q1q2) (22)<br />
6
Exercise 6 <strong>di</strong>mostrare che le operazioni così definite godono <strong>del</strong>le dovute proprietà...<br />
Problem 7 ma <strong>di</strong> che accidenti si sta parlando?<br />
Vi consiglio <strong>di</strong> fermarvi e me<strong>di</strong>tare se non siete riusciti a rispondere alla<br />
domanda precedente...<br />
Volevo mostrare che la formalizzazione <strong>del</strong>la matematica (pur spesso utile,<br />
pur spesso necessaria) tuttavia è anche (molto) spesso <strong>di</strong>sastrosa e per la comprensione<br />
e per l’intuizione (ma questo è un mio giu<strong>di</strong>zio personale). Comunque,<br />
dato che abbiamo iniziato, introduciamo formalmente i numeri complessi sulla<br />
falsariga <strong>del</strong>l’esempio precedente.<br />
Il campo numerico numerico dei complessi C è costituito dall’insieme <strong>del</strong>le<br />
coppie or<strong>di</strong>nate dei numeri reali<br />
Relazione <strong>di</strong> uguaglianza<br />
C = {(x, y)} , x ∈ R, y ∈ R. (23)<br />
z1 ≡ (x1, y1) = z2 ≡ (x2, y2) iff x1 = x2, y1 = y2 (24)<br />
<strong>La</strong> struttura algebrica <strong>di</strong> campo è data dall’introduzione <strong>del</strong>le seguenti operazioni<br />
<strong>di</strong> somma e prodotto:<br />
somma<br />
z1 + z2 = z3 ⇐⇒ (x3 = x1 + x2, y3 = y1 + y2) (25)<br />
prodotto<br />
z1z2 = z3 ⇐⇒ (x3 = x1x2 − y1y2, y3 = x1y2 + y1x2) (26)<br />
Exercise 8 <strong>di</strong>mostrare che le operazioni così definite godono <strong>del</strong>le dovute proprietà...<br />
Di nuovo: ma <strong>di</strong> che accidenti si sta parlando?<br />
Ripartiamo: ho detto che posso considerare una coppia or<strong>di</strong>nata <strong>di</strong> numeri<br />
reali come un nuovo numero che chiamo numero complesso:<br />
z = (x, y) , x ∈ R, y ∈ R (27)<br />
OK, per poter <strong>di</strong>re che z è in effetti un numero ho bisogno <strong>del</strong>le 24,25,26 ( e<br />
<strong>del</strong>le giuste loro proprietà la cui verifica ho lasciato come esercizio per lo studente<br />
<strong>di</strong>ligente...). Va bene, posso essere d’accordo sul fatto che C sia un campo<br />
numerico, ma perchè dovevo introdurlo e perchè ho definito le operazioni così<br />
come le ho definite e non altrimenti? Inoltre posso anche capire intuitivamente le<br />
7
y<br />
φ<br />
x<br />
r<br />
Figure 1:<br />
24,25 (sono <strong>del</strong> resto meno misteriose <strong>del</strong>le equivalenti per -F...), ma la definizione<br />
<strong>del</strong> prodotto 26 è indubbiamente astrusa.<br />
Ripartiamo... (approssimazioni successive, il segreto <strong>del</strong> metodo scientifico).<br />
Dato che il complesso z è per definizione una coppia or<strong>di</strong>nata <strong>di</strong> numeri reali,<br />
è spontaneo pensare tali numeri come coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto (z) nel piano (xy):<br />
Abbiamo ora a <strong>di</strong>sposizione tutto ciò che conosciamo sulla geometria. Per<br />
esempio possiamo pensare <strong>di</strong> passare dalle coor<strong>di</strong>nate cartesiane a quelle polari<br />
6 :<br />
z<br />
x = r cos(φ) r 2 = x 2 + y 2<br />
y = r sin(φ) tan(φ) = y<br />
x<br />
e ovviamente avremo una corrispondenza biunivoca (vero? )<br />
(28)<br />
z ⇐⇒ (r, φ) (29)<br />
Possiamo anche naturalmente pensare <strong>di</strong> passare ai vettori posizione<br />
z ⇐⇒ r ≡ (x, y) (30)<br />
allora sarà naturale definire come modulo <strong>di</strong> z il ben noto modulo <strong>di</strong> r :<br />
|z| = |r| = r = 2 x 2 + y 2 (31)<br />
6 ricor<strong>di</strong>amo che gli angoli sono sempre espressi in ra<strong>di</strong>anti!<br />
8
1<br />
x1<br />
Figure 2:<br />
Per correttezza, essendo il modulo non-negativo, dovremmo scrivere |z| = |r| =<br />
<br />
r = 2 x2 + y2 <br />
<br />
, ma quando possibile, ci risparmieremo le minuzie... Tuttavia<br />
la formula<br />
tan(φ) = y<br />
(32)<br />
x<br />
può portare ad equivoci ed errori (una non_ minuzia. perchè?): ci torneremo<br />
in seguito.<br />
Per inciso l’angolo φ sarà chiamato argomento <strong>di</strong> z.<br />
Ora dovrebbe essere chiara la ragione <strong>del</strong>la definizione <strong>di</strong> uguaglianza 24 ed<br />
anche <strong>del</strong>la somma che non è altro che la usuale somma dei vettori (regola <strong>del</strong><br />
parallelogramma)<br />
Rimane però fortemente sospetta e misteriosa l’origine <strong>del</strong>la regola <strong>del</strong> prodotto<br />
(26). Infatti il prodotto complesso ovviamente ha come risultato un numero<br />
complesso e quin<strong>di</strong> un vettore (nella rappresentazione nel piano) . Che la regola<br />
26 rappresenti un prodotto tra vettori? Ma i prodotti tra vettori ’conosciuti’<br />
sono il prodotto scalare il cui risultato non è un vettore e quin<strong>di</strong> è da scartare;<br />
c’è poi il prodotto vettoriale il cui risultato è sì un vettore tuttavia un vettore<br />
ortogonale ai due fattori e quin<strong>di</strong> ortogonale al piano (xy): non può quin<strong>di</strong><br />
corrispondere a nessun numero complesso (che appunto è su tale piano).<br />
9<br />
z1<br />
r3<br />
r2<br />
z2<br />
x2<br />
z3
Tuttavia (anche se ammetto non è intuitivo) la rappresentazione dei complessi<br />
come vettori ci può suggerire <strong>di</strong> guardare anche alle trasformazioni su tali<br />
vettori cioè, per chi ha pratica <strong>di</strong> spazi vettoriali, alle matrici e in particolare<br />
alle matrici 2 × 2 (dato che devono agire su vettori bi<strong>di</strong>mensionali).<br />
Tentiamo una corrispondenza (per ora calata dall’alto):<br />
<br />
<br />
z ≡ (x, y) ↔ Z ≡ <br />
<br />
x −y<br />
y x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(33)<br />
E’ imme<strong>di</strong>ato verificare, seguendo le regole <strong>di</strong> calcolo per le matrici, la vali<strong>di</strong>tà<br />
sia <strong>del</strong>la 24 che <strong>del</strong>la 25:<br />
<br />
<br />
Z1≡ <br />
x1<br />
<br />
−y1 <br />
<br />
= Z2≡ <br />
x2<br />
<br />
−y2 <br />
<br />
iff x1 = x2, y1 = y2 (34)<br />
y1<br />
x1<br />
y1<br />
x1<br />
y2 x21<br />
<br />
<br />
Z1+Z2≡ Z3 = <br />
x1<br />
<br />
−y1 <br />
<br />
+<br />
<br />
<br />
<br />
x2<br />
<br />
−y2 <br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x1<br />
<br />
+ x2 − (y1 + y2) <br />
<br />
(35)<br />
y2<br />
x2<br />
y1 + y2<br />
x1 + x2<br />
Ma ve<strong>di</strong>amo che cosa è il prodotto (con le consueta legge <strong>del</strong> prodotto tra<br />
matrici righe per colonne):<br />
<br />
<br />
Z1Z2≡ Z3 = <br />
x3<br />
<br />
−y3 <br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x1x2<br />
<br />
− y1y2 − (y1x2 + x1y2) <br />
<br />
(36)<br />
y3<br />
x3<br />
y1x2 + x1y2<br />
x1x2 − y1y2<br />
Miracolo! la 26 è sod<strong>di</strong>sfatta e quin<strong>di</strong> le normali operazioni tra matrici<br />
spiegano le proprietà <strong>del</strong>le operazioni tra i complessi se questi sono rappresentati<br />
come particolari matrici 2x2 (ve<strong>di</strong> 33)<br />
Altre interessanti osservazioni emergono da questa rappresentazione. Per esempio<br />
chie<strong>di</strong>amoci cosa fa una matrice <strong>del</strong> tipo "complesso" (33) quando opera<br />
su un vettore <strong>del</strong> piano (che può essere esso stesso visto come un numero complesso,<br />
ve<strong>di</strong> 30)<br />
<br />
<br />
z1z2 = z3 ↔ Z1r2 = r3 ↔ <br />
x1<br />
y1<br />
−y1<br />
x1<br />
<br />
<br />
<br />
x2<br />
y2<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x3<br />
y3<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x1x2<br />
Analogamente<br />
− y1y2<br />
y1x2 + x1y2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(37)<br />
<br />
<br />
z1z2 = z3 ↔ Z2r1 = r3 ↔ <br />
x2<br />
<br />
−y2 <br />
<br />
<br />
y2<br />
x2<br />
x1<br />
y1<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x3<br />
y3<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x1x2<br />
<br />
− y1y2 <br />
<br />
y1x2 + x1y2 <br />
(38)<br />
Exercise 9 verificare che Z1r2 porta, come deve, allo stesso risultato<br />
Exercise 10 verificare che il vettore r3 ha il modulo <strong>di</strong> r2"scalato" <strong>del</strong> fattore<br />
|r1| ed è ruotato rispetto ad r2 <strong>di</strong> un angolo φ 1 =arg(z1) in senso antiorario (se<br />
φ 1 > 0).<br />
10
Vi consiglio <strong>di</strong> provare a fare l’esercizio <strong>di</strong> sopra ( esempio <strong>di</strong> applicazione<br />
<strong>del</strong>la ’forza bruta’). In pratica abbiamo detto che moltiplicare due numeri complessi<br />
equivale a una operazione <strong>di</strong> ’scala’ e a una rotazione come forse è più<br />
chiaro riscrivendo la matrice Z (33) in coor<strong>di</strong>nate polari (28):<br />
<br />
<br />
Z ≡r <br />
<br />
cos(φ) − sin(φ)<br />
sin(φ) cos(φ)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(39)<br />
da cui si vede appunto (per chi lo sa...) che tale la matrice è essenzialmente<br />
la matrice <strong>di</strong> rotazione nel piano (con un fattore <strong>di</strong> scala r), cioè "allunga" i<br />
vettori a cui è applicata <strong>di</strong> un fattore r e li ruota <strong>di</strong> un angolo φ.Vedremo fra<br />
poco come tutto questo che è faticoso in questa notazione sia evidente in un’altra<br />
notazione.<br />
Ricapitoliamo: vedendo un numero complesso come punto (o vettore) nel<br />
piano e/o come matrice <strong>di</strong> scala/rotazione nel piano abbiamo ’capito’ (forse) il<br />
perchè <strong>del</strong>le definizioni astratte <strong>di</strong> uguaglianza/somma/prodotto (24, 25, 26).<br />
Rimaniamo nella rappresentazione vettore (30):<br />
• quale è lo zero <strong>del</strong>la somma (l’identità nella classe degli operatori somma)?<br />
ovviamente<br />
(provare e credere: z + 0 = 0 + z = z)<br />
0 = (0, 0) (40)<br />
• quale è l’inverso <strong>del</strong>l’operazione <strong>di</strong> somma? cioè quale è l’elemento ’inverso’<br />
rispetto la somma (che ovviamente viene chiamato comunemente<br />
opposto) <strong>di</strong> un qualsiasi z ∈ C? <strong>La</strong>sciamo allo studente l’ovvia risposta .<br />
• quale è l’uno <strong>del</strong> prodotto (l’identità nella classe degli operatori prodotto)?<br />
Non è <strong>del</strong> tutto banale: capirei che uno studente, in analogia con 40 <strong>di</strong>cesse<br />
1 = (1, 1) (41)<br />
Ovviamente la risposta sarebbe errata. Infatti deve essere<br />
ma, tenendo conto <strong>del</strong>la 26, avremmo invece<br />
1z = z1 = z (42)<br />
1z = (1x − 1y, 1y + 1x) = (x − y, x + y) = z = (x, y) (43)<br />
Exercise 11 fermatevi qui, e cercate la risposta giusta... prima <strong>di</strong> guardare<br />
sotto<br />
<strong>La</strong> risposta si trova risolvendo la 42; ponendo<br />
1 = (X, Y ) (44)<br />
11
cioè<br />
cioè<br />
1z = z ↔ (Xx − Y y, Xy + Y x) = (x, y) (45)<br />
Xx − Y y = x (46)<br />
Xy + Y x = y (47)<br />
X = 1, Y = 0 (48)<br />
e quin<strong>di</strong> l’identità moltiplicativa complessa (il numero complesso 1) è:<br />
che è il versore sull’asse x...<br />
1 = (1, 0) (49)<br />
1 = (1, 0) = ûx<br />
(50)<br />
Facciamolo in altro modo (cambiare metodo è sempre strategia salutare, specie<br />
negli esercizi): voglio<br />
z1 = z (51)<br />
cioè nella rappresentazione mista (matrice-vettore)<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
−y<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
X<br />
Y<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
y<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
<br />
<br />
X<br />
Y<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x −y<br />
y x<br />
<br />
−1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x <br />
<br />
y =<br />
1<br />
x 2 + y 2<br />
<br />
<br />
x y <br />
<br />
−y x x<br />
<br />
<br />
<br />
y =<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
0 <br />
(52)<br />
(53)<br />
• qual’è l’inverso <strong>di</strong> un numero complesso, o in altri termini come si fà la<br />
<strong>di</strong>visione?<br />
Exercise 12 rispondere in base alla rappresentazione matriciale 33<br />
Exercise 13 rispondere in base alla definizione <strong>di</strong> prodotto 26<br />
daremo comunque la risposta in seguito.<br />
Remark 14 Nota bene: abbiamo usato il simbolo 0 e il simbolo 1 per in<strong>di</strong>care<br />
l’elemento identità complesso rispetto alla somma e al prodotto. Tuttavia lo<br />
studente dovrebbe aver presente che questi ’numeri’ sono complessi e quin<strong>di</strong><br />
a rigore <strong>di</strong>versi dallo zero e dall’uno finora conosciuti (tanto è vero che 0 =<br />
(0, 0), 1 = (1, 0)) Avremmo quin<strong>di</strong> forse dovuto usare due simboli <strong>di</strong>versi come<br />
avremmo dovuto usare simboli <strong>di</strong>versi per in<strong>di</strong>care somma e prodotto complessi.<br />
Per economia non lo facciamo, ma lo studente è pregato <strong>di</strong> porre comunque la<br />
dovuta attenzione.<br />
12
Ma ora la 49, stimola la nostra curiosità: se il versore sull’asse x è l’unità,<br />
che cosa è il versore sull’asse y , visto come numero complesso?<br />
˜z = (0, 1)? (54)<br />
Ovviamente il modulo (non solo <strong>del</strong> versore ma anche <strong>del</strong> numero complesso)<br />
è 1 (provare!): tuttavia<br />
˜z 2 = ˜z˜z = ˜x 2 − ˜y 2 , 2˜x˜y = (0 − 1, 0) = (−1, 0) (55)<br />
cioè l’opposto <strong>del</strong> versore (1, 0) che abbiamo identificato come z = 1: e quin<strong>di</strong><br />
˜z 2 = −1 (56)<br />
Questa equazione, che non aveva soluzione nel campo dei numeri reali, ha<br />
invece soluzione nel campo dei complessi. Anzi, ve<strong>di</strong> sopra, abbiamo già un<br />
nome per tale numero: lo chiamiamo unità immaginaria e lo in<strong>di</strong>chiamo con la<br />
lettera i:<br />
i = (0, 1) = ûy<br />
(57)<br />
e<br />
Siccome ogni vettore sull’asse x può essere scritto<br />
i 2 = −1 (58)<br />
z = x = xûx, x ∈ R (59)<br />
analogamente un vettore (numero complesso!) sull’asse y sarà<br />
ma per la 57<br />
z = y = yûy, y ∈ R (60)<br />
z = yûy = iy (61)<br />
Ergo: i numeri complessi sull’asse x sono numeri reali (e quin<strong>di</strong> l’asse x<br />
sarà detto asse reale) mentre i complessi sull’asse y sono numeri immaginari (e<br />
quin<strong>di</strong> l’asse y sarà detto asse immaginario).<br />
Si può pensare quin<strong>di</strong> al piano xy , in cui stiamo rappresentando i numeri<br />
complessi, come un piano geometrico in cui però vi sono due unità <strong>di</strong> misura<br />
<strong>di</strong>verse sugli assi : sull’asse x l’unità <strong>di</strong> misura è la solita unità dei reali (1),<br />
mentre sull’asse y l’unità <strong>di</strong> misura è l’unità immaginaria (i). Tale piano è<br />
detto piano complesso (o piano <strong>di</strong> Argand o piano <strong>di</strong> Gauss... tanti nomi, che<br />
riporto perchè potreste incontrarli sui testi e così almeno saprete <strong>di</strong> che si parla.<br />
Comunque i nomi non sono le cose! (forse! vecchia <strong>di</strong>sputa filosofica me<strong>di</strong>evale).<br />
Dato che vettorialmente per un arbitrario vettore z nel piano xy<br />
e considerando le 59, 60, 61, abbiamo naturalmente<br />
z = x + y (62)<br />
z = x + iy (63)<br />
13
cioè il numero complesso z è la somma (complessa!) <strong>del</strong>la sua parte reale x<br />
(x = Re (z)) e la sua parte immaginaria y (y = Im(z)). Questa è la notazione<br />
(cartesiana) più conveniente per i numeri complessi (ma ci siamo volutamente<br />
giunti con fatica... sperando che nel travaglio abbiate capito <strong>di</strong> più <strong>di</strong> quanto<br />
avreste capito con il percorso ’rovesciato’, che d’altra parte potete trovare su<br />
innumerevoli testi).<br />
Dalla 63 è facile ’recuperare’ molte cose per esempio la 24, o la 25<br />
Exercise 15 provate!<br />
Ve<strong>di</strong>amo per esempio la 26 nella notazione cartesiana:<br />
z1z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) (64)<br />
applicando le varie proprietà <strong>di</strong> somma e prodotto (per una volta sarebbe bene<br />
che le enumeraste via via che le applicate, ormai <strong>di</strong> certo automaticamente ...)<br />
nonchè la 58, abbiamo:<br />
z1z2 = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iy1iy2<br />
(65)<br />
z1z2 = z3 = x3 + iy3 = (x1x2 − y1y2) + i (x1y2 + y1x2) (66)<br />
e quin<strong>di</strong>, uguagliando la parte reale alla parte reale e la parte immaginaria<br />
alla parte immaginaria (24!), abbiamo la 26:<br />
cioè<br />
x3 = x1x2 − y1y2, y3 = x1y2 + y1x2 (67)<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora cosa succede in coor<strong>di</strong>nate polari (28):<br />
z = x + iy = r cos(φ) + ir sin(φ) (68)<br />
z = r (cos(φ) + i sin(φ)) (69)<br />
C’è un modo più elegante ( e comodo) <strong>di</strong> scrivere questa fomula, usando la<br />
cosiddetta formula <strong>di</strong> Eulero (in molti testi è anche detta formula <strong>di</strong> Eulero-De<br />
Moivre) che adesso giustifichiamo. Sappiamo che<br />
cos(φ) = 1 − φ2<br />
2!<br />
+ φ4<br />
4!<br />
− φ6<br />
6!<br />
+ ... (70)<br />
sin(φ) = φ φ3 φ5 φ7<br />
− + − + ... (71)<br />
1! 3! 5! 7!<br />
e θ = 1 + θ θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 θ7<br />
+ + + + + + + ... (72)<br />
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!<br />
proviamo ora (formalmente! ancora non abbiamo introdotto le funzioni complesse...)<br />
a porre nella 72<br />
θ = iφ (73)<br />
14
e teniamo conto <strong>del</strong>la 58 e <strong>del</strong>le sue ovvie conseguenze<br />
i 2 = −1 (74)<br />
i 3 = −i (75)<br />
i 4 = 1 (76)<br />
i 5 = i (77)<br />
etc. (78)<br />
Exercise 16 scrivere in modo compatto la formula generale<br />
abbiamo:<br />
e iφ = 1 + i φ φ2 φ4 φ6<br />
− − iφ3 + + iφ5 − − iφ7 + ...<br />
1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!<br />
cioè (separando parte reale e parte immaginaria)<br />
(79)<br />
e iφ <br />
= 1 − φ2<br />
<br />
φ4 φ6<br />
φ φ3 φ5 φ7<br />
+ − + ... + i − + − + ...<br />
2! 4! 6! 1! 3! 5! 7!<br />
(80)<br />
e quin<strong>di</strong> (formula <strong>di</strong> Eulero 7 )<br />
e iφ = cos(φ) + i sin(φ) (82)<br />
Quin<strong>di</strong> (ve<strong>di</strong> 69) un numero complesso in forma polare si scrive<br />
z = re iφ<br />
(83)<br />
Abbiamo già detto che chiamiamo φ = arg(z). Ora la formula <strong>di</strong> Eulero che<br />
coinvolge i seni e coseni <strong>di</strong> φ, entrambe funzioni perio<strong>di</strong>che, ci fa capire che<br />
anche e iφ è una funzione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo 2π<br />
e iφ = e i(φ+k2π) , k = 0, ±1, ±2, ... (84)<br />
cioè l’argomento <strong>di</strong> un complesso è definito a meno <strong>di</strong> multipli <strong>del</strong>l’angolo<br />
giro. Chiameremo valor principale <strong>del</strong>l’argomento (argomento principale) la sua<br />
determinazione ’principale’: 0 ≤ φ < 2π. Ovviamente avremmo potuto scegliere<br />
(come è in alcuni testi) altri valori per l’intervallo principale, ad esempio (−π, π)<br />
al posto <strong>di</strong> (0, 2π).Inoltre... ritornando al cambio <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate polari-cartesiane<br />
(28): dalla formula <strong>di</strong> Eulero e dalla 24 abbiamo<br />
sin(φ) =<br />
y<br />
x 2 + y 2<br />
(85a)<br />
7 Eulero (come dopo <strong>di</strong> lui moltissimi matematici e non) restò stupefatto nello ’scoprire’ la<br />
bellissima relazione tra i numeri più significativi allora noti:<br />
e iπ + 1 = 0 (81)<br />
15
Ovviamente le 85a,85b implicano<br />
già scritta in 28. Quin<strong>di</strong><br />
x<br />
cos(φ) = <br />
x2 + y2 tan(φ) = y<br />
x<br />
φ = arctan<br />
<br />
y<br />
<br />
x<br />
(85b)<br />
(86a)<br />
(86b)<br />
ma l’arcotangente è funzione a più valori... Tuttavia è possibile eliminare<br />
ogni ambiguità: infatti basta vedere i segni <strong>di</strong> x, y per sapere in quale quadrante<br />
siamo <strong>del</strong>l’intervallo principale (0, 2π) (ve<strong>di</strong> esrcizi dopo).<br />
Questa rappresentazione polare rende imme<strong>di</strong>atamente conto <strong>di</strong> cose già<br />
dette (ve<strong>di</strong> esercizio ...); infatti<br />
da cui<br />
z1z2 = z3 = r3e iφ 3 = r1e iφ 1r2e iφ 2 = r1r2e i(φ 1 +φ 2 )<br />
r3 = r1r2<br />
φ 3 = φ 1 + φ 2<br />
(87)<br />
(88)<br />
(89)<br />
cioè moltiplicando z2 per z1 si ’scala’ il modulo <strong>di</strong> z2 con il modulo <strong>di</strong> z1, e<br />
inoltre si aggiunge all’argomento <strong>di</strong> z2 l’argomento <strong>di</strong> z1( cioè si ruota z2 <strong>di</strong> un<br />
angolo φ1, o viceversa).<br />
Ritorniamo alla questione <strong>del</strong>l’inverso <strong>di</strong> un complesso e quin<strong>di</strong> <strong>del</strong>la <strong>di</strong>visione<br />
nel campo complesso.<br />
Anche qui si vede come le <strong>di</strong>verse "rappresentazioni" hanno <strong>di</strong>versa utilità<br />
a seconda dei casi. In effetti in questo caso la rappresentazione vettoriale è <strong>di</strong><br />
scarsa utilità (dato che non sappiamo bene cosa sia l’inverso <strong>di</strong> un vettore). la<br />
rappresentazione matriciale è più utile, dato che conosciamo l’inverso <strong>di</strong> una<br />
matrice.<br />
Dunque se il complesso z = (x, y) è rappresentato dalla matrice<br />
<br />
<br />
Z = <br />
<br />
allora z−1 = (X, Y ) dovrebbe essere<br />
z −1 = (X, Y ) = Z −1 <br />
<br />
= x<br />
y<br />
−y<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dove ∆ è il deteminante <strong>di</strong> Z cioè<br />
x −y<br />
y x<br />
−1<br />
= 1<br />
∆<br />
∆ = x 2 + y 2<br />
16<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x y<br />
-y x<br />
<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
X −Y<br />
Y X<br />
(90)<br />
<br />
<br />
<br />
(91)<br />
(92)
cioè il modulo quadro <strong>di</strong> z (cosa che non avevamo precedentemente notato!).<br />
Tirando le somme:<br />
e dunque<br />
z −1 =<br />
X =<br />
Y =<br />
x<br />
x 2 + y 2<br />
−y<br />
x 2 + y 2<br />
<br />
x<br />
x2 −y<br />
,<br />
+ y2 x2 + y2 <br />
(93)<br />
(94)<br />
(95)<br />
Exercise 17 <strong>di</strong>mostrare, per prova <strong>di</strong>retta, che questo è effettivamente l’inverso:<br />
zz −1 = z −1 z = 1 = (1, 0)<br />
Nella rappresentazione cartesiana saremmo <strong>di</strong> nuovo nei guai.<br />
z = x + iy allora<br />
Infatti se<br />
z −1 = 1 1<br />
=<br />
z x + iy<br />
(96)<br />
1 ma x+iy NON è in forma cartesiana! (ovviamente tramite la 95 sappiamo come<br />
riscriverlo in tale forma).<br />
<strong>La</strong> rappresentazione polare (83) invece è utile:<br />
z = re iφ −→ z = r −1 e −iφ = 1<br />
r<br />
e quin<strong>di</strong> si ottiene facilmente la (95)<br />
1<br />
(cos (φ) − i sin (φ)) = (r cos (φ) − ir sin (φ))<br />
r2 (97)<br />
Remark 18 ho allungato (volutamente) il brodo... ma spero <strong>di</strong> aver mostrato<br />
che per affrontare un problema ci sono spesso molte vie, alcune più semplici<br />
<strong>del</strong>le altre. Ovviamente scegliere quale via sia conveniente non è semplice! ci si<br />
basa sicuramente sull’esperienza ma anche sull’intuito, sulla fantasia (qualcuno<br />
<strong>di</strong>rebbe sulla fortuna...): tutte cose che non si possono insegnare!<br />
Ovviamente, definito l’inverso, è definita la <strong>di</strong>visione<br />
z1 : z2 = z1<br />
= z1 (z2)<br />
z2<br />
−1<br />
Le formule precedenti ci hanno in<strong>di</strong>cato l’importanza <strong>del</strong> complesso<br />
x − iy = r cos (φ) − ir sin (φ) = re −iφ<br />
(98)<br />
(99)<br />
Sembra quin<strong>di</strong> utile introdurre per ogni numero complesso z il suo complesso<br />
coniugato che in<strong>di</strong>cheremo con ¯z ( leggasi zeta barra, in molti testi è in<strong>di</strong>cato<br />
con z ∗ , leggasi zeta star...)<br />
17
Definizione :<br />
se<br />
allora<br />
z = x + iy = re iφ<br />
¯z = x − iy = re −iφ<br />
(100)<br />
(101)<br />
Che cosa è il complesso coniugato? dalle formule sopra è chiaro che è il<br />
numero/punto/vettore ottenuto da z per riflessione rispetto all’asse reale<br />
Exercise 19 <strong>di</strong>segnatelo nel piano complesso<br />
Ve<strong>di</strong>amo alcune utili proprietà:<br />
• cerchiamo il modulo <strong>di</strong> un complesso z , dalla definizione 31<br />
ma è facile vedere che, in forma cartesiana<br />
e in forma polare<br />
|z| = |r| = r = 2 x 2 + y 2 (102)<br />
z¯z = (x + iy) (x − iy) = x 2 + y 2 = |z| 2<br />
z¯z = re iφ re −iφ = r 2 = |z| 2<br />
(103)<br />
(104)<br />
• cerchiamo l’inverso <strong>di</strong> un numero complesso cioè il numero complesso ˜z =<br />
z −1 tale che<br />
z˜z = 1 (105)<br />
allora, dalla rappresentazione polare, è naturale porre<br />
˜z = z −1 = re iφ−1 −1 −iφ re<br />
= r e = −iφ ¯z<br />
=<br />
r2 |z| 2<br />
quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>visione tra due numeri complessi <strong>di</strong>venta ’semplice’:<br />
z1 : z2 = z1<br />
= z1 (z2)<br />
z2<br />
−1 = z1<br />
¯z2<br />
|z2|<br />
r1<br />
2 =<br />
r2<br />
e i(φ 1 −φ 2 )<br />
(106)<br />
(107)<br />
• <strong>La</strong> regola pratica per trovare la forma cartesiana <strong>di</strong> una frazione <strong>di</strong> numeri<br />
complessi è:<br />
" prendete la frazione e moltiplicate numeratore e denominatore per il<br />
complesso coniugato <strong>del</strong> denominatore"<br />
In forma cartesiana:<br />
z1<br />
z2<br />
= (x1 + iy1) (x2 − iy2)<br />
x 2 2 + y2 2<br />
z1<br />
z2<br />
= z1¯z2<br />
=<br />
z2¯z2<br />
z1¯z2<br />
|z2| 2<br />
= (x1x2 + y1y2) + i (y1x2 − x1y2)<br />
x 2 2 + y2 2<br />
18<br />
(108)<br />
= x1x2 + y1y2<br />
x2 2 + y2 2<br />
(109)<br />
+i y1x2 − x1y2<br />
x 2 2 + y2 2
E’ tempo ora <strong>di</strong> applicare quanto detto, cioè è tempo <strong>di</strong> esercizi... alcuni<br />
’tipici’ saranno svolti, altri proposti (moltissimi potrete trovarli su libri <strong>di</strong> testo,<br />
altri potrete inventarli in base alla vs curiosità e fantasia).<br />
• forme cartesiane e polari<br />
Exercise 20 trovare modulo e argomento principale dei seguenti numeri complessi<br />
z1 = 1 + i √ 3; z2 = −1 + i √ 3; z3 = −1 − i √ 3; z4 = 1 − i √ 3;<br />
Svolgimento:<br />
è evidente che i 4 numeri hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria<br />
a meno dei segni...<br />
quin<strong>di</strong> avranno lo stesso modulo:<br />
r = |z1| = |z2| = |z3| = |z4| = √ 1 + 3 = +2 (110)<br />
per trovare l’argomento (principale), dovremmo usare la 86b , facendo attenzione!<br />
Potrebbe essere conveniente usare<br />
tan (ϕ) = |y|<br />
|x|<br />
(111)<br />
determinando ϕ nel primo quadrante e poi aggiungere un angolo opportuno per<br />
passare al quadrante in<strong>di</strong>cato dai segni <strong>di</strong> x, y.<br />
Cioè<br />
tan (ϕ) = |y|<br />
|x| = √ 3 (112)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
ϕ = π<br />
(113)<br />
3<br />
(ricordate che gli angoli sono misurati in ra<strong>di</strong>anti).<br />
Poi ve<strong>di</strong>amo che z1 (x e y positivi: (+, +)) è nel primo quadrante e dunque<br />
φ 1 = ϕ (114)<br />
π i<br />
z1 = 2e 3 (115)<br />
Invece z2 (−, +) è nel secondo quadrante e dunque il suo argomento sarà<br />
(graficate!)<br />
φ 2 = π − ϕ (116)<br />
e<br />
Analogamente procedendo, avremo (graficate!)<br />
2π i<br />
z2 = 2e 3 (117)<br />
φ 3 = π + ϕ (118)<br />
z2 = 2e i 4π 3 (119)<br />
19
φ 4 = 2π − ϕ (120)<br />
π i(−<br />
z4 = 2e 3 +2π) π −i<br />
= 2e 3 (121)<br />
Exercise 21 esprimere i seguenti numeri complessi in forma cartesiana<br />
1) 3ei π 4 ; 2) i−1<br />
i+1 ; 3) 2 − i √ 2 2 3<br />
; 4) √ 3ei π 2 ;5) 2−i 3√ 3<br />
1−2i ; 6) 1 − i √ 3 3<br />
i ;7)e π 6 ;8)<br />
2+i 3√ 3<br />
2−i 3√ 3i ; 9) (a − ib)4 ;10) 3i222−i 331<br />
−1+2i<br />
svolgimento:<br />
1) dalla 82<br />
√ <br />
π i π<br />
<br />
π<br />
<br />
√ <br />
2 2<br />
3e 4 = 3 cos + i sin = 3 + i =<br />
4 4 2 2<br />
3√2 2 + i3√ 2<br />
(122)<br />
2<br />
2) usando la 108<br />
i − 1 (i − 1) (1 − i) −1 + 2i − i2<br />
= =<br />
i + 1 (1 + i) (1 − i) 1 − i2 = i (123)<br />
check (da fare quando il risultato è sorprendente e/o non vi convince! 8 )<br />
CHECK ok!<br />
3)<br />
i (i + 1) = i 2 + i = i − 1 (124)<br />
<br />
2 − i √ 2 2 = 2 2 <br />
+ −i √ 2 <br />
2 + 2 (2) −i √ <br />
2 = 4 − 2 − i4 √ 2 = 2 − 4 √ 2i (125)<br />
7)<br />
3i222 − i331 −1 + 2i = 3 i2111 <br />
2 − i i 165 = (126)<br />
−1 + 2i<br />
= 3 (−1)111 − i (−1) 165<br />
−1 + 2i<br />
= −3 + i<br />
= (127)<br />
−1 + 2i<br />
(−3 + i) (−1 − 2i)<br />
= 1 + i (128)<br />
(−1 + 2i) (−1 − 2i)<br />
Exercise 22 esprimere i seguenti numeri complessi in forma polare (0 arg (z) <<br />
2π)<br />
8 come quando una volta, alle elementari!, si faceva la prova <strong>del</strong> nove per le moltiplicazioni...<br />
problem in nota: qualcuno sa ancora che cosa è la prova <strong>del</strong> nove e perchè funziona?<br />
20
1) i; 2) √ 3 + i; 3) 1 − i; 4)−i;5) 2−i 3√ 2<br />
1−i ; 6) 2 − i √ 3 3 2<br />
;7) √ −3;5) 3√ −5; 6)<br />
(a − ib) 2<br />
svolgimento:<br />
1) dalle 28<br />
r = 1, tan (φ) = 1<br />
π<br />
= ∞ =⇒ φ = (129)<br />
0 2<br />
cioè<br />
2)<br />
π i<br />
i = e 2 (130)<br />
r = √ 3 + 1 = 2, tan (φ) = 1<br />
√ 3 =⇒ φ = π<br />
6<br />
(131)<br />
cioè √ 3 + i = 2e i π<br />
6 (132)<br />
3)<br />
cioè<br />
Exercise 23 dato<br />
r = √ 1 + 1 = √ 2, tan (φ) = −1<br />
1<br />
trovare in forma cartesiana e polare<br />
1. z 2 (R: −1 − 2i √ 6; 5 exp(arctan(2 √ 6) − π))<br />
2. 1<br />
z (R: 1 √ 2 − i 1 √ 3 ; 1 √ 5 exp(arctan(2 √ 6)))<br />
i−z 3. z3 10 1<br />
+i (R: 219 − 73<br />
√ 3 − i 13<br />
219<br />
• complessi e vettori<br />
Exercise 24 mostrare che<br />
=⇒ φ = −π<br />
4<br />
(133)<br />
1 − i = √ π −i<br />
2e 4 (134)<br />
z = √ 2 − i √ 3 (135)<br />
√ 6;.2861187546 exp(−1.494055737))<br />
1) se Re(¯z1z2) = 0 allora i due vettori z1 e z2 sono ortogonali; 2a) vale il<br />
solo se?; 3)se Im(¯z1z2) = 0 allora i due vettori z1 e z2 sono paralleli; 3a)quale<br />
altra con<strong>di</strong>zione abbiamo trascurato?; 3b) vale il solo se?<br />
2) |z1 ∧ z2| = area <strong>del</strong> parallelogramma <strong>di</strong> lati z1, z2<br />
3) trovare l’area <strong>del</strong> triangolo con vertici in z1, z2, z3<br />
svolgimento:<br />
1)<br />
allora<br />
¯z1z2 = (x1 − iy1) (x2 + iy2) = (x1x2 + y1y2) + i (x1y2 − y1x2) (136)<br />
Re(¯z1z2) = 0 ↔ x1x2 + y1y2 = 0 (137)<br />
21
ma questo è il prodotto scalare tra vettori bi<strong>di</strong>mensionali e quin<strong>di</strong>...<br />
D’altra parte consideriamo l’angolo tra z1 e z2<br />
ma<br />
quin<strong>di</strong> (trigonometria spicciola)<br />
cioè<br />
φ = φ 2 − φ 1<br />
tan (φ 1) = y1<br />
x1<br />
tan (φ 2) = y2<br />
tan (φ) = tan (φ 2 − φ 1) = tan (φ 2) − tan (φ 1)<br />
1 + tan (φ 1) tan (φ 2)<br />
tan (φ) =<br />
y2 y1 − x2 x1<br />
1 + y1y2<br />
x1x2<br />
quin<strong>di</strong> se l’ipotesi è vera abbiamo<br />
x2<br />
= x1y2 − y1x2<br />
x1x2 + y1y2<br />
tan (φ) = ∞ =⇒ φ = π<br />
2<br />
(138)<br />
(139)<br />
(140)<br />
(141)<br />
(142)<br />
(143)<br />
(lo studente attento avrà notato che abbiamo contemporaneamente risolto<br />
anche il quesito 3...)<br />
• Prodotto scalare e vettoriale<br />
Abbiamo trovato in pratica la rappresentazione complessa <strong>del</strong> prodotto scalare<br />
nel piano:<br />
Re(¯z1z2) = z1 ◦ z2<br />
(144)<br />
Ma abbiamo anche<br />
<br />
<br />
<br />
z1 ∧ z2 = <br />
<br />
<br />
ê1 ê2 ê3<br />
x1 y1 0<br />
x2 y2 0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= (x1y2 − y1x2) ê3<br />
(145)<br />
dove ê3 è il versore sull’asse ortogonale al piano complesso; (ê1, ê2, ê3) formano<br />
una terna sinistrorsa e ovviamente (come avevamo già in<strong>di</strong>cato) il prodotto<br />
vettoriale <strong>di</strong> due complessi esce dal piano e quin<strong>di</strong> non è più un complesso. Tuttavia:<br />
z1 ∧ z2 = (x1y2 − y1x2) ê3 = Im(¯z1z2)ê3<br />
(146)<br />
cioè Im(¯z1z2) è la proiezione <strong>di</strong> z1 ∧ z2 sull’asse 3 (non il modulo! dato che<br />
Im(¯z1z2) =x1y2 − y1x2 può essere negativo).<br />
E’ quin<strong>di</strong> naturale definire il prodotto scalare e vettoriale tra complessi come<br />
z1 ◦ z2 = Re(¯z1z2) = x1x2 + y1y2<br />
22<br />
(147)
z1 ∧ z2 = Im(¯z1z2) = x1y2 − y1x2<br />
Notare che, come deve, il prodotto vettoriale complesso è antisimmetrico:<br />
(148)<br />
z1 ∧ z2 = x1y2 − y1x2 = − (z2 ∧ z1) = − (x2y1 − y2x1) (149)<br />
ed è anche antisimmetrico rispetto alla coniugazione...<br />
z1 ∧ z2 = Im(¯z1z2) = − Im(z1¯z2) = − Im(¯z2z1) = − (z2 ∧ z1) (150)<br />
Exercise 25 mostrare che invece il prodotto scalare è simmetrico sia rispetto<br />
allo scambio dei vettori sia rispetto allo scambio <strong>del</strong>la coniugazione<br />
• Complessi e geometria (<strong>del</strong> piano)<br />
Exercise 26 si mostri che<br />
1) z = k + iy (k ∈ R), cioè Re(z) = k, è la retta parallela all’asse y che<br />
interseca l’asse x in x = k<br />
2) z = x + ik (k ∈ R), cioè Im(z) = k, è la retta parallela all’asse x che<br />
interseca l’asse y in y = k<br />
3) z = R e iφ (R, φ ∈ R) è la circonferenza con centro nell’origine e percorsa<br />
in senso antiorario (φ = 0...2π)<br />
4) z = r e iΦ (r, Φ ∈ R) è la semiretta che parte dall’origine e forma un angolo<br />
Φ con l ′ asse reale(r = 0...∞)<br />
5) z = z1 + t(z2 − z1) è l’equazione parametrica <strong>del</strong>la retta che passa per z1<br />
e z2<br />
6) |z − z0| = R e z¯z − z¯z0 − z0¯z + z0¯z0 = R 2 sono equazioni (equivalenti)<br />
per la circonferenza con centro in z0 e raggio R<br />
7) c¯z+¯cz = 2 è una retta incontra l’asse x in ˜x (?) e forma con esso un’angolo<br />
˜φ (?)<br />
8) scrivere, in termini complessi (...), l’equazione <strong>del</strong>l’ellisse con fuochi in<br />
z1 = (−f, 0) , z1 = (f, 0) e avente lunghezza <strong>del</strong>l’asse maggiore pari ad 2a<br />
(a > f)<br />
9) <strong>di</strong>suguaglianze triangolari: mostrare che<br />
a)<br />
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| (151)<br />
b)<br />
c)<br />
|z1 − z2| ≥ |z1| − |z2| (152)<br />
|z1 + z2 + z3| ≤ |z1| + |z2| + |z3| (153)<br />
10) trovare il luogo dei punti nel piano complesso tali che (a, b ∈ R)<br />
23
a) <br />
z − a<br />
<br />
z + a<br />
= b (154)<br />
b) <br />
z − a<br />
<br />
z + a<br />
> b (155)<br />
Svolgimento:<br />
1,2,3,4,5 sono banali...<br />
6)<br />
<br />
|z − z0| = (x − x0) 2 + (y − y0) 2 =⇒ (x − x0) 2 + (y − y0) 2 = R 2<br />
(156)<br />
e<br />
z¯z−z¯z0−z0¯z+z0¯z0 = x 2 +y 2 − xx0 + yy0 + i (−xy0 + yx0) + i (xy0 − yx0) + x 2 0 + y 2 0<br />
(157)<br />
e quin<strong>di</strong> OK.<br />
––––––––-<br />
7) sia<br />
c = a + ib, a, b ∈ R (158)<br />
allora<br />
quin<strong>di</strong><br />
e così<br />
c¯z + ¯cz = (a + ib) (x − iy) + (a − ib) (x + iy) = 2ax + 2by = 2 (159)<br />
cioè (verificare!)<br />
e<br />
y = − a 1<br />
x +<br />
b b<br />
tan( ˜ φ) = − a<br />
b<br />
(160)<br />
(161)<br />
˜φ = arg(ic) (162)<br />
˜x = 1 1<br />
=<br />
a Re (c)<br />
ovviamente l’intersezione con l’asse y avviene a<br />
˜y = 1 1<br />
=<br />
b Im (c)<br />
(163)<br />
(164)<br />
––––––––––<br />
8) Per definizione l’ellisse è il luogo (insieme) dei punti <strong>del</strong> piano tali che<br />
la somma <strong>del</strong>le <strong>di</strong>stanze dai fuochi è costante (lunghezza <strong>del</strong>l’asse maggiore ).<br />
24
Ma nel piano complesso la <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> un generico punto z da un altro z ′ è<br />
ovviamente |z − z ′ | e quin<strong>di</strong><br />
|z − z1| + |z − z2| = 2a (165)<br />
Per convincersi proviamo a scrivere la eq. <strong>di</strong> sopra in coor<strong>di</strong>nate cartesiane,<br />
cercando <strong>di</strong> riottenere la nota equazione cartesiana <strong>del</strong>l’ellisse<br />
<br />
(x + f) 2 + y2 <br />
+ (x − f) 2 + y2 = 2a (166)<br />
<br />
(x + f) 2 + y 2 + (x − f) 2 + y 2 − 4a 2 2 <br />
= 4 (x + f) 2 <br />
+ y<br />
2<br />
(x − f) 2 + y 2<br />
4<br />
(167)<br />
x 2 + y 2 + f 2 − 2a 22 4 4 4 2 2 2<br />
= 4 x + f + y − 2x f + 2y x 2 + f 2<br />
(168)<br />
4a 4 +2 x 2 y 2 + x 2 f 2 − 2x 2 a 2 + y 2 f 2 − 2y 2 a 2 − 2f 2 a 2 = −2x 2 f 2 +2y 2 x 2 + f 2<br />
4a<br />
(169)<br />
4 − 4f 2 a 2 + x 2 4f 2 − 4a 2 + y 2 −4a 2 = 0 (170)<br />
x2 y2<br />
+<br />
a2 a2 = 1 (171)<br />
− f 2<br />
che è appunto la canonica equazione cartesiana <strong>del</strong>l’ellisse (semiasse minore<br />
b = a 2 − f 2 )<br />
––––––––––<br />
9a,b) queste <strong>di</strong>suguaglianze triangolari sono importanti. Si consiglia allo<br />
studente <strong>di</strong> provarle analiticamente, cioè effettuando i conti richiesti. Ovviamente<br />
se uno passa all’interpretazione geometrica dei complessi come vettori, le<br />
formule sono già note: la prima <strong>di</strong>ce che un lato <strong>di</strong> un triangolo è minore <strong>del</strong>la<br />
somma degli altri due, la seconda <strong>di</strong>ce che un lato <strong>di</strong> un triangolo è maggiore<br />
<strong>del</strong>la <strong>di</strong>fferenza degli altri due (fare il grafico <strong>del</strong>le formule!). <strong>La</strong> terza e la sua<br />
generallizzazione allo studente!<br />
10)<br />
a) abbiamo il sospetto che sia una circonferenza... (perchè?). Consigliamo<br />
<strong>di</strong> svolgerlo usando le coor<strong>di</strong>nate cartesiane. Noi prenderemo una scorciatoia.<br />
<br />
<br />
<br />
z − a<br />
<br />
z<br />
+ a<br />
= b ↔ |z − a| = b |z + a| ↔ |z − a|2 = b 2 |z + a| 2<br />
(172)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
(z − a) (¯z − a) = b 2 (z + a) (¯z + a) (173)<br />
b 2 − 1 z¯z + az b 2 + 1 + a¯z b 2 + 1 + a 2 (b 2 − 1) = 0 (174)<br />
cioè<br />
1 + b2 + b2<br />
z¯z − za − ¯za1<br />
1 − b2 1 − b2 + a2 <br />
1 + b2<br />
+ a<br />
1 − b2 25<br />
2<br />
<br />
1 + b2<br />
− a<br />
1 − b2 2<br />
= 0 (175)
definiamo<br />
1 + b2<br />
c = a<br />
1 − b2 R 2 = c 2 − a 2 = a 2<br />
<br />
2 1 + b 2 <br />
2 − 1 − b 2 (1 − b2 ) 2<br />
<br />
=<br />
e riconosciamo che<br />
z¯z − zc − ¯zc + c 2 = R 2<br />
<br />
2ab<br />
(1 − b2 )<br />
2 (176)<br />
(177)<br />
(178)<br />
che dall’esercizio 6 precedente è una circonferenza con centro in z0 = (c, 0)<br />
e raggio R.<br />
D’altra parte è anche<br />
cioè<br />
z¯z − zc − ¯zc + c 2 = (z − c) (z − c) = |z − c| 2 = R 2<br />
(179)<br />
|z − c| = R (180)<br />
la forma più semplice per una circonferenza <strong>di</strong> centro c e raggio R.<br />
–––––––––<br />
Negli esercizi precedenti lo studente attento forse avrà notato che<br />
z1¯z2 + ¯z1z2 ∈ R (181)<br />
Questo è ovviamente vero per z1 = z2, e si può facilmente <strong>di</strong>mostrare in<br />
generale<br />
z1¯z2 + ¯z1z2 = (x1 + iy1) (x2 − iy2) + (x1 − iy1) (x2 + iy2) = 2 (x1x2 + y1y2)<br />
(182)<br />
Tuttavia è forse interessante vederlo in modo più astratto introducendo<br />
l’operatore <strong>di</strong> coniugazione (complessa)<br />
o anche esplicitamente in forma cartesiana<br />
o,in forma polare,<br />
Ŏ_z = ¯z (183)<br />
Ŏ_ (x + iy) = (x − iy) (184)<br />
Ŏ_re iφ = re −iφ<br />
(185)<br />
<strong>La</strong> notazione dovrebbe essere chiara. In soldoni... per coniugare una formula<br />
cambiate i con −i<br />
Exercise 27 <strong>di</strong>mostrare!<br />
Ma ve<strong>di</strong>amo alcune proprietà <strong>di</strong> tale operatore (verificare!):<br />
26
•<br />
•<br />
Ŏ_ (z) = z ⇐⇒ z ∈ R (186)<br />
Ŏ_ (z) = −z ⇐⇒ z ∈ iR (187)<br />
(stiamo in<strong>di</strong>cando con iR l’insieme degli immaginari ’puri’).<br />
•<br />
•<br />
e quin<strong>di</strong><br />
il che implica che<br />
Ŏ_ (z1 + z2) = Ŏ_z1 + Ŏ_z2<br />
Ŏ_ (z1z2) =<br />
Ŏ_z1<br />
Ŏ_z2<br />
<br />
(188)<br />
(189)<br />
Ŏ_ Ŏ_z = Ŏ_re −iφ = re iφ = z, ∀z ∈ C (190)<br />
Ŏ 2 _<br />
= Ĭ_<br />
(191)<br />
Ŏ −1<br />
_ = Ŏ_ (192)<br />
Nel nostro caso tutto questo a parole significa che se coniugate il coniugato<br />
riottenete il complesso <strong>di</strong> partenza...<br />
(¯z) = z (193)<br />
il che comporta scorciatoie notevoli nell’uso pratico dei complessi (ovviamente<br />
vale anche per ogni espressione contenente i complessi).<br />
Exercise 28 mostrate (come volete, ma preferibilmente usando le proprietà <strong>di</strong><br />
Ŏ_ ) che<br />
1) z + ¯z ∈ R<br />
2) z − ¯z ∈ iR<br />
3) z¯z ∈ R<br />
4) z1¯z2 + ¯z1z2 ∈ R<br />
5) ¯z1<br />
∈ iR<br />
z2<br />
− z1<br />
¯z2<br />
6) |z1z2| = |z1| |z2|<br />
svolgiamo:<br />
4)<br />
Ŏ_ (z1¯z2 + ¯z1z2) = ¯z1z2 + z1¯z2 = z1¯z2 + ¯z1z2<br />
e quin<strong>di</strong> z1¯z2 + ¯z1z2 ∈ R per la 186.<br />
6:)<br />
|z1z2| 2 = (z1z2) (z1z2) = z1z2 Ŏ_ (z1z2) = z1z2<br />
27<br />
Ŏ_z1<br />
Ŏ_z2<br />
<br />
(194)<br />
(195)
|z1z2| 2 <br />
=<br />
z1 Ŏ_z1<br />
O=S<br />
Figure 3:<br />
<br />
N<br />
z2 Ŏ_z2<br />
γ<br />
P<br />
φ<br />
<br />
= |z1| 2 |z2| 2<br />
z<br />
(196)<br />
Terminiamo questo capitolo introducendo succintamente una sua particolare<br />
rappresentazione, la cosiddetta Sfera <strong>di</strong> Riemann<br />
Cioè: pren<strong>di</strong>amo il piano complesso con il suo bravo riferimento cartesiano,<br />
poggiamo sopra l’origine una sfera unitaria (<strong>di</strong> raggio=1, detta appunto sfera<br />
<strong>di</strong> Riemann) , chiamiamo il punto <strong>di</strong> contatto con l’origine polo sud <strong>del</strong>la sfera<br />
(S = O) e il suo punto opposto polo nord (N). E’ ora evidente che se colleghiamo<br />
con un segmento un arbitrario punto z <strong>del</strong> piano con il polo nord intercetteremo<br />
la sfera in un determinato punto P (z ←→ P , ve<strong>di</strong> figura ). Si crea così una<br />
corrispondenza biunivoca tra i punti <strong>del</strong> piano (i numeri complessi) e i punti <strong>del</strong>la<br />
sfera salvo... il polo nord stesso. Chiaramente i corrispondenti complessi dei<br />
punti vicini al polo nord hanno modulo sempre maggiore (via via che l’angolo γ si<br />
avvicina all’angolo retto): è quin<strong>di</strong> naturale rendere la corrispondenza completa<br />
assegnando come corrispondente <strong>del</strong> polo nord il punto all’infinito (∞ ↔ N).<br />
Il metodo sopra in<strong>di</strong>cato <strong>di</strong> rappresentazione si chiama proiezione stereografica<br />
e il piano complesso comprendente anche il punto all’infinito si chiama<br />
piano complesso espanso.<br />
Notare che i complessi corrispondenti ai due poli <strong>del</strong>la sfera non hanno un<br />
argomento ben definito: per il polo sud abbiamo infatti lo zero e quin<strong>di</strong> un<br />
28
vettore <strong>di</strong> modulo zero che non ha <strong>di</strong>rezione definita, per il polo nord abbiamo<br />
un modulo infinito e quin<strong>di</strong> ogni <strong>di</strong>rezione è giusta (in parole povere esiste un solo<br />
punto all’infinito ed è raggiunto da qualsiasi <strong>di</strong>rezione - tutte le strade portano<br />
a Roma...).<br />
Exercise 29 trovare esplicitamente la corrispondenza (r, φ) ↔ SP, γ <br />
2.1 Postilla<br />
Si presuppone che lo studente abbia <strong>di</strong>mestichezza con alcuni concetti e definizioni<br />
standard per gli insiemi in generale (noi li useremo nel piano complesso):<br />
• sottoinsiemi<br />
• unione e intersezione e complemento<br />
• numerabilità<br />
• intorno<br />
• punto <strong>di</strong> accumulazione<br />
• aperti e chiusi<br />
• limitati<br />
• punti interni, esterni, <strong>di</strong> frontiera<br />
• connessi<br />
• compatti<br />
• chiusura<br />
• dominio<br />
• regione<br />
Spenderemo solo due parole sull’uso che faremo <strong>del</strong> termine ’regione’:<br />
def: <strong>di</strong>ciamo regione un dominio (cioè un aperto connesso) a cui sono stati<br />
aggiunti alcuni o tutti o nessuno dei suoi punti <strong>di</strong> accumulazione.<br />
In pratica se al dominio non è stato aggiunto niente la regione è il dominio<br />
(aperto... e se non specificheremo varrà regione=dominio) : d’altra parte, se<br />
sono stati aggiunti tutti i punti <strong>di</strong> accumulazione, la regione è la chiusura <strong>di</strong> un<br />
dominio e quin<strong>di</strong> essa stessa è chiusa.<br />
Lo studente può testare la sua familiarità con tali concetti tentando i seguenti<br />
esercizi:<br />
29
Exercise 30 Si consideri M ≡ {|z| < 1, Re (z) , Im (z) ∈ Q} (cioè tutti i punti<br />
interni al cerchio unitario con coor<strong>di</strong>nate cartesiane razionali). Si domanda per<br />
tale insieme:<br />
1. è limitato?<br />
2. è aperto?<br />
3. è chiuso?<br />
4. è connesso?<br />
5. è compatto?<br />
6. è numerabile?<br />
7. quali sono i punti <strong>di</strong> accumulazione?<br />
8. e i punti interni?<br />
9. e i punti <strong>di</strong> frontiera?<br />
10. la chiusura?<br />
11. la chiusura è un compatto?<br />
Exercise 31 rispondere alle stesse domande per l’insieme M ≡ {|z − z0| < R, R ∈ R}<br />
<br />
k<br />
i Exercise 32 rispondere alle stesse domande per M ≡ , k ∈ N<br />
Diamo solo alcuni hint per l’ultimo esecizio (che forse andrebbe svolto per<br />
primo):<br />
1) cercate un punto <strong>del</strong>l’insieme con modulo 100...<br />
6) la numerabilità è autoevidente...<br />
7) essendo un insieme infinito e limitato sia per l’intuizione sia per il Teorema<br />
<strong>di</strong> Bolzano-Weierstrass deve avere almeno un punto <strong>di</strong> accumulazione.<br />
Non vi preoccupate se non avete risposto ad alcune domande: ma se siete<br />
stati in <strong>di</strong>fficoltà su molte dovreste ri_vedere (ri_stu<strong>di</strong>are) un pò.<br />
3 Funzioni elementari in campo complesso<br />
Premessa: in questo capitolo faremo matematica da Fisici (ve<strong>di</strong> Intro) cioè non<br />
preoccupandoci troppo <strong>del</strong>le definizioni e <strong>di</strong>mostrazioni rigorose... una matematica<br />
’pratica’ (i matematici forse <strong>di</strong>rebbero ’ingenua’, ergo ’catastrofica’). Alcuni<br />
argomenti (ma non tutti!) saranno ripresi in seguito ed approfon<strong>di</strong>ti.<br />
30<br />
k
Useremo il termine funzione nel senso più imme<strong>di</strong>ato cioè: la funzione f è<br />
una legge <strong>di</strong> corrispondenza (trasformazione) tra un regione <strong>del</strong> piano complesso<br />
(dominio <strong>del</strong>la funzione Df : attenzione! in principio niente a che vedere con il<br />
dominio=insieme aperto e connesso, anche se spesso le funzioni hanno dominio<br />
in un dominio..) e una (possibilmente e probabilmente <strong>di</strong>versa) regione <strong>del</strong><br />
piano complesso ( detta codominio ˜Df )<br />
ossia, con notazione usuale<br />
z<br />
f<br />
−→ w, z ∈ Df ⊆ C; w ∈ ˜Df ⊆ C (197)<br />
w = f(z) (198)<br />
Dato che abbiamo introdotto il prodotto nel campo complesso (ed esso gode<br />
<strong>del</strong>le usuali proprietà ) e abbiamo anche introdotto l’inverso <strong>di</strong> un complesso, non<br />
dovremmo avere alcuna <strong>di</strong>fficoltà nell’introdurre la più semplice (...) funzione<br />
complessa cioè la<br />
• potenza<br />
w = z n , n ∈ Z (199)<br />
Notare che le potenze si possono si calcolare in coor<strong>di</strong>nate cartesiane, ma la<br />
forma polare si presta meglio:<br />
w = z n = re iφn = r n e inφ<br />
(200)<br />
A parole: la potenza ennesima <strong>di</strong> un numero complesso è un complesso con<br />
modulo la potenza ennesima <strong>del</strong> modulo (siamo nei reali!) e con argomento pari<br />
a n-volte l’argomento (siamo sempre nei reali)<br />
Usando la fomula <strong>di</strong> Eulero:<br />
w = z n = r n e inφ = r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) (201)<br />
Abbiamo involontariamente "<strong>di</strong>mostrato" il Teorema <strong>di</strong> De Moivre: tale<br />
teorema afferma<br />
(cos(φ) + i sin(φ)) n = (cos(nφ) + i sin(nφ)) (202)<br />
e in effetti, da quanto sopra detto, si ha<br />
OK...<br />
Exercise 33 calcolare<br />
1. − √ 3e i π 3 + i 3<br />
2.<br />
√ −2 i 2−1<br />
1+i<br />
r n (cos(nφ) + i sin(nφ)) = z n = (r (cos(φ) + i sin(φ))) n<br />
31<br />
(203)
3.<br />
11<br />
3<br />
2 (1 + i)<br />
Svolgiamo:<br />
3) abbiamo w = z11 con z = √ <br />
1√2 3 + i 1 <br />
√ =<br />
2<br />
√ π i 3e 4<br />
quin<strong>di</strong><br />
w = z 11 = 3 11 11<br />
2 i<br />
e 4 π<br />
(204)<br />
Notare che ora l’argomento <strong>di</strong> w non è nell’intervallo principale... riscrivere<br />
l’argomento principale.<br />
....................................<br />
Passiamo ad una combinazione lineare <strong>di</strong> potenze (con somma e prodotto<br />
ben definiti è anch’essa ben definita...<br />
• combinazione <strong>di</strong> potenze<br />
Exercise 34 calcolare<br />
S(z) = n<br />
k=m<br />
akz k ; ak, z ∈ C; n, m ∈ Z (205)<br />
1. w = az 2 + bz −2 con a = 1 + i, b = 1 − i, z = √ 2 + i √ 3<br />
2. w = az −2 + bz −1 + c con a = 1 + i, b = 1, c = i, z = √ 2 − i √ 3<br />
Il caso più noto e interessante si ha con<br />
dove<br />
w = P(z) = n<br />
akz k<br />
k=0<br />
(206)<br />
ak, z ∈ Z; n ∈ N0, an = 0 (207)<br />
Abbiamo introdotto un polinomio <strong>di</strong> grado n nel campo complesso ( i complessi<br />
ak sono detti coefficienti <strong>del</strong> polinomio)<br />
A volte è comodo in<strong>di</strong>care <strong>di</strong>rettamente il grado <strong>di</strong> P (z)<br />
Pn(z) = n<br />
akz k<br />
k=0<br />
(208)<br />
Il polinomio più semplice è ovviamente la costante (grado zero), segue il<br />
polinomio lineare (grado uno), detto anche ’trasformazione lineare’.<br />
L’estensione naturale successiva sono le funzioni algebriche razionali o semplicemente<br />
funzioni razionali (o anche trasformazioni razionali):<br />
w =<br />
P (z)<br />
Q(z)<br />
32<br />
(209)
ove P (z) e Q(z) sono polinomi complessi (non necessariamente <strong>del</strong>lo stesso<br />
grado!).<br />
<strong>La</strong> funzione razionale più semplice (non banale) è la frazione tra due polinomi<br />
lineari<br />
w = a0 + a1z<br />
b0 + b1z<br />
(210)<br />
detta anche trasformazione bilineare o trasformazione <strong>di</strong> Moebius (ci ritorneremo...).<br />
Ma ritorniamo ai polinomi, per considerare<br />
cioè<br />
Pn(z) = 0 (211)<br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = 0 (212)<br />
Tutti vi riconosceranno una equazione algebrica <strong>di</strong> grado n. I valori <strong>di</strong> z<br />
per cui l’uguaglianza vale sono detti ra<strong>di</strong>ci <strong>del</strong>l’equazione o zeri <strong>del</strong> polinomio<br />
Pn(z).<br />
Remark 35 dato che an = 0 (ve<strong>di</strong> 207) si potrebbe scrivere la 212 come<br />
con<br />
b0 + b1z + b2z 2 + ... + bn−1z n−1 + z n = 0 (213)<br />
Il polinomio Pn(z) con an = 1 è detto monico<br />
bk = ak<br />
, k = 0, 1, 2, ..., n (214)<br />
an<br />
Dimostreremo in seguito che un’equazione algebrica <strong>di</strong> grado n in campo<br />
complesso ha n ra<strong>di</strong>ci complesse (alcune possono essere coincidenti). Equivalentemente<br />
Pn(z) ha n zeri complessi (eventualmente alcuni coincidenti). Se<br />
chiamiamo zs (s = 1, 2, ..., n) tali zeri è evidente (?) che il polinomio Pn(z) può<br />
essere scritto nella cosiddetta forma fattoriale<br />
n<br />
Pn(z) = an (z − zs) (215)<br />
cioè<br />
s=1<br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = an (z − z1) (z − z2) ... (z − zn) (216)<br />
Exercise 36 giustificare!<br />
<strong>La</strong> relazione 216 induce relazioni interessanti e in generale non lineari tra i<br />
coefficienti <strong>del</strong> polinomio e i suoi zeri (le scriveremo e useremo in alcune applicazioni).<br />
Per ora :<br />
Exercise 37 trovare l’espressione dei coefficienti <strong>di</strong> un polinomio <strong>di</strong> secondo<br />
grado in termini dei suoi zeri (dovrebbe essere già ben nota!)<br />
33
Exercise 38 trovare l’espressione dei coefficienti <strong>di</strong> un polinomio <strong>di</strong> terzo grado<br />
in termini dei suoi zeri<br />
Le ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> un’equazione algebrica sono numeri in generale complessi... se<br />
i coefficienti <strong>del</strong>l’equazione sono numeri interi (ak ∈ Z; k = 0, 1, ..., n; an = 0)<br />
allora tali ra<strong>di</strong>ci cioè tali numeri sono detti numeri algebrici, se viceversa un<br />
numero NON è ra<strong>di</strong>ce (soluzione) <strong>di</strong> nessuna equazione algebrica a coefficienti<br />
interi allora tale numero è detto trascendente.<br />
Remark 39 capirete subito che è molto <strong>di</strong>fficile provare la trascendenza <strong>di</strong> un<br />
numero, tanto è vero che benchè sia stata provata sia per π sia per e, tuttavia<br />
non è ancora provata (a quanto mi risulta...) ad esempio per eπ !<br />
Exercise 40 provare l’algebricità <strong>di</strong> z = i+√ 3<br />
i−1<br />
svolgimento:<br />
in forma cartesiana<br />
quadriamo<br />
z = (−1 − i) i + √ 3 <br />
4z 2 =<br />
2<br />
= −<br />
√ 3 − 1 <br />
2<br />
− i<br />
√ 3 + 1 <br />
2<br />
(217)<br />
√ 2 √ 2 3 − 1 − 3 + 1 + i2 (3 − 1) (218)<br />
4z 2 = −4 √ 3 + 4i (219)<br />
z 2 <br />
= i − √ <br />
3<br />
(220)<br />
ma da z = i+√ 3<br />
i−1 √ 3 = −z + iz − i (221)<br />
quin<strong>di</strong><br />
QED<br />
z 2 − z = −i(z − 2) (222)<br />
z 4 − 2z 3 + 2z 2 − 4z + 4 = 0 (223)<br />
Exercise 41 trovare dei valori <strong>del</strong> parametro t che rendono i seguenti numeri<br />
algebrici:<br />
1. √ 2t − i √ 3<br />
2.<br />
3√ 3e itπ<br />
svolgimento:<br />
34
1. proviamo il quadrato <strong>di</strong> z = √ 2t − i √ 3<br />
z 2 √ √ 2 = 2t − i 3 = 2t 2 − 3 − 2it √ 6 (224)<br />
ve<strong>di</strong>amo subito una (banale) soluzione: infatti per t = 0<br />
z 2 + 3 = 0 (225)<br />
i coefficienti sono interi e quin<strong>di</strong> z = −i √ 3 è algebrico. Una seconda soluzione<br />
semplice si indovina facilmente... t = i m dà<br />
cioè<br />
ora quadrando per eliminare la ra<strong>di</strong>ce:<br />
z 2 = −2m 2 − 3 + 2m √ 6 (226)<br />
z 2 + 3 + 2m 2 = 2m √ 6 (227)<br />
z 4 + 2 3 + 2m 2 z 2 + 3 + 2m 2 2 = 24m 2<br />
OK per qualsiasi m 2 ∈ Q<br />
ovviamente ci sono infinite altre soluzioni...<br />
(228)<br />
Exercise 42 mostrare che z è soluzione <strong>di</strong> 212 con tutti i coefficienti reali,<br />
allora anche z è soluzione<br />
cioè<br />
svolgimento:<br />
Supponiamo per assurdo che z non sia soluzione<br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = b; b = 0, b ∈ C (229)<br />
ora coniughiamo (tenendo conto che i coefficienti sono reali):<br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = b (230)<br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = b (231)<br />
ma per ipotesi z è soluzione,quin<strong>di</strong><br />
cioè<br />
e quin<strong>di</strong><br />
a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = 0 = b (232)<br />
b = 0 (233)<br />
b = 0 (234)<br />
QED<br />
Quin<strong>di</strong>, a parole, gli zeri <strong>di</strong> un polinomio reale (cioè a coefficienti reali) sono<br />
complessi coniugati.<br />
––––-35<br />
35
• Serie <strong>di</strong> potenze<br />
L’estensione naturale <strong>di</strong> una combinazione lineare finita <strong>di</strong> potenze è ovviamente<br />
una serie <strong>di</strong> potenze, cioè la 205 con n = ∞ e/o m = −∞. Per ora ci<br />
occuperemo solo <strong>del</strong> caso m = 0, n = ∞<br />
S(z) = ∞<br />
akz k ; ak, z ∈ C (235)<br />
k=0<br />
Abbiamo già usato formalmente una serie per giustificare la formula <strong>di</strong> Eulero.<br />
Però affinchè la 235 definisca davvero una funzione dobbiamo accertarci<br />
che la serie converga.<br />
Claim 43 Questo può essere fatto semplicemente ’traducendo’ in campo<br />
complesso concetti e teoremi noti in campo reale.<br />
Per esempio, nel caso in questione, definisco la successione complessa <strong>del</strong>le<br />
somme parziali<br />
e per definizione<br />
Sn(z) = n<br />
akz k ; ak, z ∈ C, n = 0, 1, 2, ... (236)<br />
k=0<br />
S(z) = lim<br />
n→∞ Sn(z) (237)<br />
se tale limite esiste! se esiste, la serie è convergente altrimenti è detta <strong>di</strong>vergente.<br />
Si può <strong>di</strong>mostrare che , come nel caso reale, con<strong>di</strong>zione necessaria per la<br />
convergenza è<br />
lim<br />
n→∞ (anz n ) = 0 (238)<br />
Proof. Infatti, se la serie converge e dato che ovviamente<br />
abbiamo<br />
cioè<br />
Sn(z) = Sn−1(z) + anz n<br />
lim<br />
n→∞ Sn(z) = lim<br />
n→∞ (Sn−1(z) + anz n ) = lim<br />
n→∞ Sn−1(z)<br />
n<br />
+ lim anz<br />
n→∞<br />
e quin<strong>di</strong><br />
n<br />
S(z) = S(z) + lim anz<br />
n→∞<br />
(239)<br />
(240)<br />
(241)<br />
lim<br />
n→∞ (anz n ) = 0 (242)<br />
QED<br />
Tuttavia, sempre come nel caso reale, la 238 NON è sufficiente (per la convergenza).<br />
36
Il matematico avrebbe già obiettato che abbiamo usato i limiti (e anche<br />
alcuni teoremi sui limiti) senza averli ancora definiti in campo complesso. Per<br />
avvalorare quanto già premesso nel precedente claim, "traduciamo" i limiti dal<br />
reale...<br />
Limiti <strong>di</strong> successioni complesse:<br />
Sia data la successione infinita complessa<br />
{wn} = w0, w1, w2, ... (243)<br />
Se esiste un numero complesso L tale che dato un qualsiasi reale positivo ε si<br />
possa trovare un numero intero positivo N(ε) in modo che per n > N(ε) sia<br />
|wn − L| < ε allora la successione ha limite (converge) e il limite è L<br />
lim<br />
n→∞ wn = L (244)<br />
Exercise 44 <strong>di</strong>mostrare che se il limite esiste è unico, che il limite <strong>del</strong>la somma<br />
(prodotto) è la somma (prodotto) dei limiti<br />
Nel linguaggio comune si <strong>di</strong>ce che wn al crescere <strong>di</strong> n tende a (si avvicina<br />
sempre più a) L; in effetti spesso, come regola empirica, si vede "a occhio"<br />
dove va a "parare" wn , cioè si indovina L, e solo successivamente, se bisogna,<br />
si <strong>di</strong>mostra che L è il limite.<br />
Exercise 45 dove va a parare wn = in<br />
n ?<br />
"Traduciamo" ora anche la definizione <strong>di</strong> limite per una funzione complessa,<br />
ma lasceremo allo studente le "traduzioni" <strong>del</strong> concetto <strong>di</strong> continuità e continuità<br />
uniforme.<br />
LIMITE <strong>di</strong> una funzione complessa<br />
Sia z0 un punto nel piano complesso e sia w = f (z) una funzione (ad un<br />
solo valore!) definita in un intorno <strong>di</strong><br />
z0 (ma non necessariamente in z0). Allora <strong>di</strong>remo che il numero complesso<br />
L è il limite <strong>del</strong>la funzione per z che tende a z0<br />
lim f (z) = L (245)<br />
z→z0<br />
se per ogni reale positivo ε è possibile trovare un reale positivo δ (ε) tale che<br />
0 < |z − z0| < δ (ε) =⇒ |f (z) − L| < ε (246)<br />
Cioè, intuitivamente, se il punto nel dominio z è "abbastanza" vicino a<br />
z0 (entro il cerchio <strong>di</strong> raggio δ (ε) con centro in z0) allora il punto nel codominio<br />
w = f (z) è vicino quanto si vuole al punto L (entro il cerchio <strong>di</strong> raggio ε con<br />
centro in L e ε può essere scelto piccolo a piacere)<br />
37
Exercise 46 <strong>di</strong>mostrare che se il limite esiste è unico, che il limite <strong>del</strong>la somma<br />
(prodotto) è la somma (prodotto) dei limiti<br />
Exercise 47 estendere al piano complesso le nozioni <strong>di</strong> continuità e continuità<br />
uniforme<br />
Exercise 48 se una funzione w = f (z) è continua in un dominio, allora sono<br />
ivi continue anche la sua parte reale ed immaginaria<br />
Exercise 49 se una funzione è continua in una regione chiusa, allora è limitata<br />
Exercise 50 se una funzione è continua in una regione chiusa, allora è ivi<br />
uniformemente continua<br />
–––––––––—<br />
Ora che abbiamo introdotto le serie in campo complesso potremmo, in linea<br />
<strong>di</strong> principio, estendere al campo complesso tutte le funzioni (e tutte le nozioni)<br />
basate sullo sviluppo in serie nel campo reale (approccio <strong>di</strong> Weierstrass). Introdurremo<br />
così alcune funzioni elementari.<br />
• esponenziale complesso<br />
ma anche<br />
w = e z = ∞<br />
k=0<br />
zk ; z ∈ C (247)<br />
k!<br />
w = e z = e x+iy = e x e iy ; x, y ∈ R (248)<br />
quin<strong>di</strong> in forma polare e z è il complesso che ha per modulo l’esponenziale <strong>del</strong>la<br />
parte reale <strong>di</strong> z e per argomento la parte immaginaria <strong>di</strong> z.<br />
Exercise 51 <strong>di</strong>mostrare che<br />
e z1 e z2 = e (z1+z2)<br />
(249)<br />
Attenzione! contrariamente al caso reale l’esponenziale complesso è una<br />
funzione perio<strong>di</strong>ca <strong>di</strong> periodo 2πi :<br />
Proof.<br />
e z+2kπi = e z e i2kπ = e z (cos (2kπ) + i sin (2kπ)) = e z ; k ∈ Z (250)<br />
Exercise 52 trovare tutti gli zeri <strong>di</strong><br />
1. e 2z = 1<br />
2. e 2z = i<br />
38
3. e z = 0<br />
svolgimento:<br />
2) constatiamo che<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
<br />
π<br />
i = cos + 2kπ + i sin + 2kπ = e<br />
i( 2<br />
2 2 +2kπ) ; k = 0, ±1, ±2, ... (251)<br />
quin<strong>di</strong><br />
e 2z π<br />
= e<br />
i( 2 +2kπ) (252)<br />
e dunque<br />
<br />
π<br />
<br />
z = i + kπ ; k = 0, ±1, ±2, ...<br />
4<br />
(253)<br />
3) ovviamente impossibile se |z| < ∞<br />
• funzioni trigonometriche complesse<br />
Exercise 53 Notiamo dapprima che la formula <strong>di</strong> Eulero permette <strong>di</strong> scrivere<br />
le funzioni trigonometriche reali in (apparenti) termini complessi. Infatti<br />
implicano<br />
e quin<strong>di</strong> anche<br />
e iφ = r (cos (φ) + i sin (φ)) (254)<br />
e −iφ = r (cos (φ) − i sin (φ)) (255)<br />
tan (φ) =<br />
cos (φ) = eiφ + e −iφ<br />
2<br />
sin (φ) = eiφ − e −iφ<br />
2i<br />
sin (φ)<br />
cos (φ) = −ieiφ − e−iφ eiφ + e−iφ (256)<br />
(257)<br />
(258)<br />
Exercise 54 provare che le funzioni così scritte sono in realta reali (hint: usare<br />
la 186)<br />
Allora è naturale passare alle trigonometriche complesse ponendo<br />
tan (z) =<br />
cos (z) = eiz + e −iz<br />
2<br />
sin (z) = eiz − e −iz<br />
2i<br />
sin (z)<br />
cos (z) = −ieiz − e−iz eiz + e−iz Ovviamente, come per l’esponenziale, si poteva partire dalle serie..<br />
39<br />
(259)<br />
(260)<br />
(261)
Exercise 55 trovare l’espansione in serie <strong>di</strong> potenze <strong>del</strong>le funzioni trigonometriche<br />
complesse<br />
Le funzioni trigonometriche in campo complesso godono <strong>di</strong> molte proprietà<br />
analoghe a quelle da esse godute in campo reale<br />
Exercise 56 mostrare che<br />
1. e iz = cos (z) + i sin (z)<br />
2. sin(z1 + z2) = sin(z1) cos(z2) + sin(z2) cos(z1)<br />
3. cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2) − sin(z2) sin(z1)<br />
4. sin e tan sono <strong>di</strong>spari, cos è pari<br />
5. sin 2 (z) + cos 2 (z) = 1<br />
6. sin 2 ( z 1−cos(z)<br />
2 ) = 2<br />
7. cos2 ( z 1+cos(z)<br />
2 ) = 2<br />
8. sin (z) = sin(z) (e analoghe)<br />
9. gli zeri <strong>di</strong> sin(z) e cos(z) sono tutti reali<br />
10. sin(z) = sin(x + iy) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y)<br />
cioè<br />
svolgimento:<br />
9) facciamolo per sin(z) = eiz−e −iz<br />
2i .Quin<strong>di</strong> gli zeri sono soluzione <strong>di</strong><br />
o anche<br />
Quin<strong>di</strong><br />
e iz − e −iz<br />
2i<br />
e iz = e −iz<br />
= 0 (262)<br />
(263)<br />
e 2iz = 1 = cos (2kπ) + i sin (2kπ) = e i2kπ ; k = 0, ±1, ±2, ... (264)<br />
z = kπ; k = 0, ±1, ±2, ... (265)<br />
facciamolo per cos(z) = eiz +e −iz<br />
2i .Quin<strong>di</strong> gli zeri sono soluzione <strong>di</strong><br />
e iz + e −iz<br />
2<br />
= 0 (266)<br />
e 2iz = −1 = e i(2k+1)π ; k = 0, ±1, ±2, ... (267)<br />
2z = (2k + 1) π; k = 0, ±1, ±2, ... (268)<br />
z = π<br />
+ kπ; k = 0, ±1, ±2, ...<br />
2<br />
(269)<br />
40
• funzioni iperboliche complesse<br />
Si possono introdurre e come estensioni al complesso <strong>del</strong>le serie che le rappresentano<br />
o meramente <strong>del</strong>le loro definizioni:<br />
cosh (z) = ez + e −z<br />
tanh (z) =<br />
2<br />
sinh (z) = ez − e −z<br />
2<br />
sin (z)<br />
cos (z) = ez − e−z ez + e−z (270)<br />
(271)<br />
(272)<br />
Exercise 57 trovare l’espansione in serie <strong>di</strong> potenze <strong>del</strong>le funzioni iperboliche<br />
complesse<br />
Exercise 58 mostrare che<br />
1. sinh(z1 + z2) = sinh(z1) cosh(z2) + sinh(z2) cosh(z1)<br />
2. cosh(z1 + z2) = cosh(z1) cosh(z2) + sinh(z2) sinh(z1)<br />
3. sinh e tanh sono <strong>di</strong>spari, cosh è pari<br />
4. cosh 2 (z) − sinh 2 (z) = 1<br />
Nota bene! le funzioni trigonometriche e iperboliche nel complesso sono<br />
strettamente legate!<br />
infatti:<br />
Exercise 59 mostrare che<br />
F(iz) = i P Fh(z) (273)<br />
Fh(iz) = i P F (z) (274)<br />
ove F sta per sin . cos, tan e P esprime la ’parità’ <strong>del</strong>la funzione:P = 0 =<br />
funzione pari ; P = 1 = funzione <strong>di</strong>spari ;<br />
svolgimento:<br />
limitiamoci a<br />
sin(iz) = i sinh(z) (275)<br />
dalle definizioni:<br />
QED<br />
–––––––––<br />
sin(iz) = ei(iz) − e −i(iz)<br />
2i<br />
41<br />
<br />
−z z e − e<br />
= −i<br />
2<br />
(276)
3.1 Funzioni inverse<br />
Dalle 197,198 si può capire che una funzione complessa può essere in astratto<br />
considerata come un operatore che agisce su un certo insieme <strong>di</strong> numeri complessi<br />
( o su tutti) e dà come risultato un numero complesso.<br />
w = ˘ f z; z ∈ Df ⊆ C; w ∈ ˜Df ⊆ C (277)<br />
Remark 60 si vede già che considerare l’isieme <strong>del</strong>le funzioni/operatori è veramente<br />
"ingenuo" , se non altro per la questione dei ’domini’ che possono essere<br />
<strong>di</strong>versi da funzione a funzione, ma per ora sorvoliamo<br />
allora<br />
Esiste una legge <strong>di</strong> composizione ("prodotto" tra gli operatori)?<br />
In generale sì, è la funzione <strong>di</strong> funzione. Cioè se<br />
u = ˘ fz; w = ˘gu (278)<br />
˘h = ˘ f ˘g ↔ w = g (f (z)) ↔ z f → u g → w ↔ z h → w (279)<br />
ATTENZIONE! <strong>La</strong> notazione sembra evidente, ma il lettore dovrebbe considerare<br />
già attentamente la questione dei domini...<br />
In pratica se a.e. ˘ f = sin e ˘g = cos abbiamo ˘ h = ˘ f ˘g = sin cos, cioè<br />
h(z) = sin(cos(z) (280)<br />
NOTA BENE: gli operatori NON commutano (in generale)<br />
In effetti<br />
˘f ˘g = ˘g ˘ f (281)<br />
sin(cos( π<br />
)) = .6496369389... = .7602445972 = cos(sin(π )) (282)<br />
4 4<br />
Certamente per questo insieme <strong>di</strong> operatori (le funzioni complesse) esiste<br />
l’operatore ’pigro’<br />
Ĭz = z; z ∈ Z; (283)<br />
che è rappresentato, per esempio, dalla potenza con esponente 1 : cioè dalla<br />
funzione<br />
w = z (284)<br />
Allora poniamoci il problema <strong>del</strong>l’inverso... in generale per l’operatore inverso<br />
( ˘ f −1 ) deve valere, come abbiamo già detto:<br />
˘f −1 ˘ f = ˘ f ˘ f −1 = Ĭ (285)<br />
42
Remark 61 In alcune strutture algebriche si richiede solo l’inverso sinistro<br />
o l’inverso destro<br />
˘f −1 ˘ f = Ĭ (286)<br />
˘f ˘ f −1 = Ĭ (287)<br />
Nella notazione non operatoriale quin<strong>di</strong> data una funzione f dovremmo<br />
trovare una funzione g tale che<br />
g(f(z)) = z (288)<br />
g a rigori sarebbe solo l’inverso sinistro , dovrebbe possibilmente anche valere<br />
f(g(z)) = z (289)<br />
Veniamo al concreto e ve<strong>di</strong>amo se le funzioni (elementari) introdotte ammettono<br />
inverso.<br />
3.1.1 Ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> un complesso<br />
Iniziamo dalla potenza:<br />
u = f(z) = z n ; n ∈ Z; u, z ∈ C (290)<br />
Le nostre cognizioni sulle proprietà <strong>del</strong>le potenze (che conosciamo dal campo<br />
reale e vorremmo mantenere nel campo complesso) ci suggeriscono:<br />
w = g(u) = f −1 (u) = u 1<br />
n = (z n ) 1<br />
1<br />
n n<br />
= z n = z 1 = z (291)<br />
nella usuale notazione quin<strong>di</strong><br />
f −1 (u) = u 1<br />
n = n√ u; n ∈ Z; u ∈ C (292)<br />
cioè, per ora formalmente, la funzione inversa <strong>del</strong>la potenza ennesima è la<br />
ra<strong>di</strong>ce ennesima...<br />
Exercise 62 mostrare che formalmente questo ˘ f −1 è anche l’inverso destro<br />
Exercise 63 mmm... che succede per n = 0 ?<br />
Ma ve<strong>di</strong>amo più da vicino che cosa è la ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> un complesso:<br />
anzi partiamo dalla ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> un reale... anzi ancora più specificamente<br />
cerchiamo la ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> uno. In altri termini vogliamo le soluzioni<br />
<strong>del</strong>l’equazione algebrica<br />
z n = 1 (293)<br />
o, ancora in altri termini, gli zeri <strong>del</strong> polinomio monico<br />
Pn(z) = z n − 1 (294)<br />
43
Sappiamo che ad esempio per n = 2 la 293 ha soluzione già nel campo reale.<br />
Purtroppo la soluzione non è unica, gli zeri <strong>di</strong> z 2 − 1 sono ±1. D’altra parte<br />
abbiamo anticipato che in campo complesso gli zeri <strong>di</strong> un polinomio <strong>di</strong> grado n<br />
sono proprio n (nel campo complesso! e con eventuali sovrapposizioni).Quin<strong>di</strong><br />
ci aspettiamo che la funzione n√ z non sia più una funzione monodroma, cioè ad<br />
un solo valore, bensì sia una funzione polidroma, cioè a più valori (nello specifico<br />
a n valori).<br />
Tuttavia prima "indoviniamo" le n soluzioni complesse <strong>del</strong>la 293, cioè le n<br />
ra<strong>di</strong>ci ennesime <strong>del</strong>l’unità:<br />
Che ogni zk sia soluzione è evidente<br />
(zk) n =<br />
k i<br />
zk = e n 2π ; k = 0, 1, 2, ..., n − 1 (295)<br />
<br />
k i<br />
e n 2π n<br />
= e ik2π = cos (2kπ) + i sin (2kπ) = 1 (296)<br />
Pure evidente che siano punti <strong>di</strong>versi nel piano complesso:<br />
|zk| = 1; 0 ≤ arg(zk) = k<br />
2π < 2π (297)<br />
n<br />
Cioè sono tutti numeri <strong>di</strong> modulo uno (sono punti sul cerchio unitario) ma<br />
<strong>di</strong> argomenti <strong>di</strong>versi (entro l’intervallo principale). Anzi:<br />
φ k+1 − φ k = arg (zk+1) − arg (zk) =<br />
k + 1<br />
n<br />
k 2π<br />
2π − 2π =<br />
n n<br />
(298)<br />
Quin<strong>di</strong> tutti questi punti sono equispaziati angolarmente sul cerchio unitario<br />
(unendoli si otterrebe un ennagono regolare iscritto nel cerchio: graficare!)<br />
Exercise 64 graficare le 5 ra<strong>di</strong>ci quinte <strong>del</strong>l’unità<br />
e<br />
In genere si in<strong>di</strong>ca con ω la ra<strong>di</strong>ce ’fondamentale’ z1<br />
Ovviamente<br />
1 i<br />
ω = e n 2π<br />
Exercise 65 calcolare ω 3 + ω per n = 5<br />
(299)<br />
zk = ω k ; k = 0, 1, 2, ..., n − 1 (300)<br />
ω n = 1 (301)<br />
Exercise 66 mostrare che 1 + ω + ω 2 + ω 3 = 0 per n = 4<br />
Problem 67 trovare una <strong>di</strong>mostrazione rapida ed elegante per il seguente claim<br />
n−1 <br />
k=0<br />
k i<br />
e n 2π = 0 (302)<br />
44
Quanto abbiamo finora detto possiamo parafrasarlo nel caso generale <strong>del</strong>la<br />
ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> un numero complesso. Sarà dunque una funzione a n valori<br />
, tali valori sono le soluzioni (ra<strong>di</strong>ci) <strong>del</strong>l’equazione algebrica<br />
z n = α; z, α ∈ C, n ∈ Z (303)<br />
Dovrebbe essere anche evidente la "sorgente" <strong>del</strong>la polidromia.<br />
Se infatti in forma polare<br />
α = ρe iθ+i2kπ<br />
(304)<br />
al valore <strong>di</strong> α contribuisce solo la parte principale <strong>del</strong> suo argomento (cioè θ),<br />
ma se pren<strong>di</strong>amo la ra<strong>di</strong>ce ennesima abbiamo<br />
n√ α = n √ ρ n√ e iθ+i2kπ = n√ ρ e iθ+i2kπ 1<br />
n = n √ ρe iθ+i2kπ<br />
n (305)<br />
e quin<strong>di</strong> l’argomento <strong>di</strong> n√ α è<br />
arg n √ α =<br />
iθ + i2kπ<br />
n<br />
+ i2sπ; k, s ∈ Z (306)<br />
Perciò accade che angoli superiori all’angolo giro (che non contribuivano<br />
all’argomento principale <strong>di</strong> α) ora contribuiscono all’argomento principale <strong>del</strong>la<br />
sua ra<strong>di</strong>ce ennesima. In soldoni: considerando α un argomento <strong>di</strong> 420 ◦ (fuori<br />
dall’intervallo principale (0 ◦ , 360 ◦ ) è equivalente a 420 ◦ − 360 ◦ = 60 ◦ (valore<br />
riportato nell’intervallo principale). In altre parole il punto complesso con argomento<br />
φ 1 = 420 ◦ = 60 ◦ + (1)360 ◦ coincide con il punto nel piano complesso con<br />
argomento φ 0 = 60 ◦ = 60 ◦ + (0)360 ◦ (ovviamente girando intorno all’origine <strong>di</strong><br />
un angolo giro ritorno al punto <strong>di</strong> partenza...). Tuttavia per la ra<strong>di</strong>ce quadrata<br />
l’argomento <strong>di</strong>venta<br />
o<br />
φ 0<br />
2<br />
= 60◦<br />
2<br />
= 30◦<br />
(307)<br />
oppure<br />
φ1 420◦<br />
= = 210◦<br />
(308)<br />
2 2<br />
che è anch’esso nel’intervallo principale e quin<strong>di</strong> definisce un numero complesso<br />
<strong>di</strong>verso dal precedente.<br />
Notare che, se facessimo un’ulteriore giro completo intorno all’origine, per α<br />
si avrebbe ovviamente ancora lo stesso punto nel piano complesso <strong>di</strong> argomento<br />
φ 2 = 780 ◦ = 60 ◦ + (2)360 ◦<br />
e per la ra<strong>di</strong>ce quadrata 2√ α si avrebbe come argomento<br />
φ 2<br />
2<br />
= 780◦<br />
2 = 390◦ = 30 ◦ + (1)360 ◦<br />
45<br />
(309)<br />
(310)
cioè saremmo tornati "sopra" lo stesso punto <strong>del</strong>la prima determinazione <strong>del</strong>la<br />
ra<strong>di</strong>ce<br />
φ2 2 = φ0 mod 360◦<br />
(311)<br />
2<br />
Quin<strong>di</strong> le cose stanno come se, per tornare allo stesso punto, si dovesse girare<br />
DUE volte intorno all’origine... (se parlassimo <strong>di</strong> ra<strong>di</strong>ce ennesima ovviamente<br />
-mutatis mutan<strong>di</strong>s- si dovrebbe girare n volte). Ed è altresì chiaro che si possono<br />
avere solo (ma tutti!) n valori equispaziati angolarmente per la ra<strong>di</strong>ce ennesima<br />
<strong>di</strong> un numero complesso e tali valori giacciono sul cerchio con centro nell’origine<br />
e raggio pari alla ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong> numero complesso stesso (ve<strong>di</strong><br />
305).<br />
Remark 68 nonostante il "caveat" precedentemente espresso, ho preferito le<br />
misure degli angoli in gra<strong>di</strong> anzichè in ra<strong>di</strong>anti, dappoichè so per esperienza<br />
che in genere le persone (anche gli studenti, anche molti fisici...) visualizzano<br />
meglio in gra<strong>di</strong> che in ra<strong>di</strong>anti.<br />
Exercise 69 graficare quanto detto<br />
Riassumiamo: la ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> un complesso<br />
è una funzione polidroma e assume n valori<br />
w = z 1<br />
n = n√ z (312)<br />
wk = n√ re iφ+i2kπ<br />
n ; k = 0, 1, 2, ..., n − 1 (313)<br />
dove come al solito r è il modulo <strong>di</strong> z e φ è il suo argomento principale.<br />
Tali valori sono evidentemente tutti sul cerchio con centro nell’origine e raggio<br />
r 1<br />
n e sono angolarmente equispaziati con un angolo<br />
ϕ =<br />
iφ + i2 (k + 1) π<br />
n<br />
−<br />
iφ + i2kπ<br />
n<br />
= i2π<br />
n<br />
Essi sono quin<strong>di</strong> i vertici <strong>di</strong> un poligono regolare <strong>di</strong> n lati iscritto nel cerchio<br />
Exercise 70 graficare per vari valori <strong>di</strong> n<br />
(314)<br />
Si può <strong>di</strong>re, per comprendere, che un determinato valore nel codominio<br />
<strong>del</strong>la funzione viene raggiunto a seconda <strong>di</strong> quanti giri abbiamo fatto intorno<br />
all’origine nel dominio <strong>del</strong>la funzione per in<strong>di</strong>viduare il punto z : se abbiamo<br />
fatto 2 giri otteniamo w2 , se abbiamo fatto k giri otteniamo wk, facendo attenzione<br />
che se aggiungiamo altri n giri ritorniamo ad avere wk. Detto in termini<br />
leggermente <strong>di</strong>versi:<br />
se considerassimo solo l’argomento principale <strong>di</strong> z<br />
0 ≤ φ < 2π (315)<br />
46
la ra<strong>di</strong>ce ennesima sarebbe ad un solo valore e questo valore sarebbe w0 : si<br />
<strong>di</strong>ce allora che siamo nel ramo principale <strong>del</strong>la funzione polidroma; viceversa se<br />
pren<strong>di</strong>amo l’argomento <strong>di</strong> z in un altro intervallo<br />
k2π ≤ φ < k2π + 2π; k = 1, 2, ...n − 1 (316)<br />
allora abbiamo ancora una funzione monodroma ma il suo valore è wk : siamo<br />
nel ramo k − simo <strong>del</strong>la funzione polidroma. Si potrebbe <strong>di</strong>re che la funzione<br />
a n − valori è la "collezione" <strong>di</strong> n funzioni monodrome (i rami <strong>del</strong>la funzione<br />
polidroma). Ovviamente se<br />
k2π + n2π ≤ φ < k2π + 2π + n2π; k = 0, 1, 2, ...n − 1 (317)<br />
siamo ancora nel ramo k − simo <strong>del</strong>la funzione.<br />
Exercise 71 Illustrate graficamente per n = 3<br />
Se ci ponessimo l’obiettivo <strong>di</strong> rendere monodroma la funzione polidroma<br />
avremmo essenzialmente due strade.<br />
Potremmo per esempio alzare metaforicamente <strong>del</strong>le mura per tenere fuori<br />
la polidromia, erigere impenetrabili barriere... fuor <strong>di</strong> metafora:<br />
1. si sceglie nel dominio l’intervallo in cui considerare gli argomenti tra gli n<br />
possibili ’fondamentali’:<br />
k2π ≤ φ < k2π + 2π; k = 0, 1, 2, ...n − 1 (318)<br />
2. si deve ora impe<strong>di</strong>re <strong>di</strong> completare un giro intorno all’origine. Allora si<br />
sbarra il semiasse reale positivo (nella figura lo sbarramento è rappresentato<br />
dallo spessore <strong>di</strong>verso...): ogni tentativo <strong>di</strong> rotazione completa intorno<br />
all’origine si infrange sulla barriera. In altri termini si assume che il semiasse<br />
reale positivo sia invalicabile.<br />
Ovviamente abbiamo selezionato il ramo k − simo <strong>del</strong>la funzione e abbiamo<br />
con legge tirannica vietato il passaggio ad altri rami.<br />
Remark 72 pignoleggiando: si dovrebbe consentire il passaggio a chi assicura<br />
che farà un multiplo <strong>di</strong> n giri...ve<strong>di</strong> 317<br />
Notare che un giro completo nel dominio che non includa l’origine non<br />
porterebbe ad un nuovo valore <strong>del</strong>la ra<strong>di</strong>ce (dato che non farebbe uscire l’argomento<br />
<strong>di</strong> z dall’intervallo selezionato). Esprimiamo ciò <strong>di</strong>cendo che l’origine è un punto<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione e chiameremo retta <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione la barriera che poniamo per<br />
impe<strong>di</strong>re il passaggio da un ramo all’altro (nel nostro caso è in realtà una<br />
semiretta).<br />
47
O<br />
φ<br />
Figure 4:<br />
Remark 73 ovviamente si poteva scegliere un qualsiasi determinazione <strong>di</strong>versa<br />
per gli intervalli angolari, per esempio si poteva porre l’intervallo principale in<br />
(−π, +π) e allora il tutto, parafrasando, cambierebbe <strong>di</strong> conseguenza<br />
Remark 74 per esattezza l’origine non è l’unico punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione... infatti<br />
qualsiasi curva chiusa che circonda l’origine circonda nel piano complesso<br />
espanso anche il punto all’infinito (ve<strong>di</strong> la sfera <strong>di</strong> Riemann). Quin<strong>di</strong> si vede<br />
che la barriera, che abbiamo chiamato (alquanto impropriamente) retta <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione,<br />
in realtà può essere una qualsiasi linea continua che collega i punti <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ramazione (nel nostro caso l’origine e l’infinito)<br />
NOTA BENE: se considero la ra<strong>di</strong>ce ennesima <strong>di</strong> z − z0<br />
z<br />
w = (z − z0) 1 n (319)<br />
tutto va (mutatis mutan<strong>di</strong>s) allo stesso modo ( la mo<strong>di</strong>fica <strong>del</strong>le formule allo<br />
studente!). Basti pensare che ho effettuato una semplice traslazione nel piano<br />
complesso (dominio <strong>del</strong>la funzione). In pratica è come se avessi messo l’origine<br />
in z0. Quin<strong>di</strong> z0 sarà il nuovo punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione (al finito: resta il punto<br />
all’infinito), una linea continua da z0 a z = ∞ sarà la nuova barriera, etc.<br />
• Discontinuità sulla retta <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione<br />
48
Dovrebbe essere chiaro che l’erezione <strong>di</strong> una barriera porta a una <strong>di</strong>scontinuità<br />
<strong>del</strong>la funzione sulla stessa cioè il valore <strong>del</strong>la funzione in punto arbitrariamente<br />
vicino alla barriera da un certo lato non è lo stesso valore assunto dalla<br />
funzione in punto arbitrariamente vicino ma dal lato opposto. Esemplifichiamo<br />
con la ra<strong>di</strong>ce quadrata avendo eretto la barriera lungo il semiasse reale positivo;<br />
allora nelle vicinanze <strong>del</strong>la barriera ma sopra abbiamo<br />
mentre sotto<br />
<strong>La</strong> <strong>di</strong>scontinuità è data da<br />
• superfici <strong>di</strong> Riemann<br />
z+ = 2√ z = 2√ ε i<br />
ρe 2 (320)<br />
z− = 2√ z = 2√ 2π−ε<br />
i<br />
ρe 2 (321)<br />
lim<br />
ε−→0 (z+ − z−) = 2 2√ ρ (322)<br />
Veniamo al secondo preannunciato modo per rendere monodroma la funzione<br />
polidroma.<br />
In astratto la funzione polidroma è una funzione che fa corrispondere ad un<br />
punto <strong>del</strong> dominio più punti <strong>del</strong> codominio (cioè non è più una corrispondenza<br />
biunivoca e nemmeno una corrispondenza molti a uno ma è una corrispondenza<br />
uno a molti)<br />
Remark 75 ovviamente ogni volta che una funzione rappresenta una corrispondenza<br />
non biunivoca siamo nei guai (polidromia)... se evitiamo i guai per la<br />
funzione stessa, li avremo per l’inversa.<br />
Abbiamo già in<strong>di</strong>viduato la "sorgente" <strong>del</strong> problema che ora riesprimiamo<br />
in altri termini.<br />
<strong>La</strong> fonte dei guai, parlando liberamente, è che già la corrispondenza tra<br />
coor<strong>di</strong>nate cartesiane e coor<strong>di</strong>nate polari non è biunivoca! (ma in fondo è anche<br />
una ricchezza <strong>del</strong> ’piano complesso’).<br />
Infatti date le coor<strong>di</strong>nate polari (r, φ) troviamo una sola coppia <strong>di</strong> cartesiane<br />
(x, y)<br />
x = r cos(φ) (323)<br />
y = r sin(φ) (324)<br />
Ma non è vero il viceversa: date le coor<strong>di</strong>nate cartesiane il modulo è univocamente<br />
determinato mentre l’argomento è determinato a meno <strong>di</strong> multipli<br />
<strong>del</strong>l’angolo giro (per questo siamo stati costretti a scegliere un argomento principale).<br />
Cioé l’applicazione (x, y) → (r, φ) è polidroma anzi è a infiniti valori (in φ).<br />
Graficamente : un punto (numero complesso) nel piano complesso (x, y)<br />
corrisponde ad infiniti punti nel semipiano r > 0 <strong>del</strong> piano (r, φ) .<br />
49
y<br />
O<br />
r<br />
φ<br />
x<br />
z<br />
Figure 5:<br />
Possiamo visualizzare in un altro modo: pensate al piano (x, y) come ad un<br />
foglio <strong>di</strong> carta su cui è segnato il riferimento cartesiano e il punto z . Ora, in<br />
termini <strong>di</strong> (r, φ) , avete in<strong>di</strong>viduato solo la determinazione principale (il foglio<br />
rappresenta il punto z con il suo argomento principale a.e: 0 ≤ φ < 2π) .<br />
Ma esistono gli altri angoli che danno lo stesso punto... quin<strong>di</strong> pensiamo che<br />
sopra il foglio sia attaccato un secondo foglio in cui gli angoli sono nell’intervallo<br />
0 + 2π ≤ φ < 2π + 2π, mentre sotto è attaccato un altro foglio in cui 0 − 2π ≤<br />
φ < 2π − 2π, e così via.<br />
Remark 76 i fogli sono ideali e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> spessore zero!<br />
Abbiamo così infiniti fogli sia sopra che sotto il foglio principale e gli angoli<br />
<strong>di</strong>fferiscono <strong>di</strong> 2π al passaggio da un foglio al successivo (o al precedente), ma il<br />
punto z è sempre sovrapposto a se stesso e quin<strong>di</strong> (finora) è (stato) identificato<br />
come un solo punto nel piano complesso. Ma niente ci impe<strong>di</strong>sce <strong>di</strong> pensare<br />
ai punti sui fogli sovrapposti come a punti <strong>di</strong>versi: così per ogni z nel foglio<br />
principale avremmo infinite repliche negli altri fogli<br />
z = (x, y) ↔ {zk = (r, φ k)} ; k ∈ Z; φ k = φ + k2π (325)<br />
Ora una funzione polidroma w = f(z) può essere pensata come funzione monodroma<br />
cioè come una corrispondenza biunivoca tra i punti <strong>di</strong> un certo numero<br />
<strong>di</strong> fogli <strong>del</strong> ’dominio’ - cioè, liberamente parlando, <strong>di</strong> z (n fogli nel caso <strong>del</strong>la<br />
ra<strong>di</strong>ce ennesima, ve<strong>di</strong> 316) - e il foglio principale <strong>del</strong> codominio, cioè <strong>di</strong> w.<br />
50<br />
φ<br />
r<br />
2π<br />
P
Foglio principale:<br />
0=
Foglio superiore:<br />
2π =
Remark 77 chiaramente le superfici <strong>di</strong> Riemann non assomigliano più ad un<br />
piano... anzi in generale non sono neanche più ’topologicamente equivalenti’<br />
alla sfera <strong>di</strong> Riemann (il piano complesso espanso, tuttavia lo sono per z 1<br />
n ...):<br />
ma non ci occuperemo (né ci preoccuperemo) <strong>di</strong> ciò. Notare comunque che i<br />
vari fogli riuniti nella Riemanniana sono connessi nell’origine e all’infinito (i<br />
punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione nell’esempio).<br />
Exercise 78 trovare tutti i valori <strong>di</strong> (3 − 2i) 1<br />
5<br />
Exercise 79 trovare le ra<strong>di</strong>ci cubiche <strong>di</strong> (z − i), trovare i punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione,<br />
<strong>di</strong>scutere la polidromia e la riemanniana.<br />
Svolgimento: Il modo più veloce e semplice consiste nell’effettuare un<br />
cambiamento <strong>di</strong> variabile<br />
z = ζ + i (326)<br />
allora dobbiamo calcolare semplicemente le ra<strong>di</strong>ci cubiche <strong>di</strong> ζ e sappiamo già<br />
che<br />
ζ 1 3 = 3√ ρe iϕ+ik2π<br />
3 (327)<br />
ove ρ e ϕ sono ovviamente il modulo e l’argomento principale <strong>di</strong> ζ che sono<br />
facilmente esprimibili analiticamente e/o geometricamente in termini <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate<br />
cartesiani o polari <strong>di</strong> z. Lo studente consideri che abbiamo semplicemete<br />
spostato l’origine nel punto z = i. la <strong>di</strong>scussione <strong>del</strong>la polidromia e <strong>del</strong>la <strong>di</strong>ramazione<br />
e <strong>del</strong>la riemannina sono già state fatte per il piano ζ, basta ritradurle<br />
nel piano z originale. Sarebbe opportuno fare un grafico.<br />
Exercise 80 trovare le ra<strong>di</strong>ci quadrate <strong>di</strong> z 2 − 1 , trovare i punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione,<br />
<strong>di</strong>scutere la polidromia e la riemanniana.<br />
Svolgimento:<br />
abbiamo<br />
w = 2 z 2 − 1 = (z − 1) 1<br />
2 (z + 1) 1<br />
2 (328)<br />
Ora ambedue le funzioni (z − 1) 1<br />
2 e (z + 1) 1<br />
2 sono polidrome hanno punti <strong>di</strong><br />
<strong>di</strong>ramazione rispettivamente in 1 e −1 ed entrambe sono a due valori (hanno<br />
due rami). Se esprimiamo le basi (z − 1) e (z + 1) in forma polare (ve<strong>di</strong> figura)<br />
z + 1 = r−e iϕ − +ik2π<br />
z − 1 = r+e iϕ + +ik2π<br />
abbiamo ovviamente due valori per ambedue le ra<strong>di</strong>ci. Per<br />
(329)<br />
(330)<br />
w− = √ z + 1 (331)<br />
(w−) 0 = √ r−e iϕ −<br />
2 (332)<br />
(w−) 1 = √ r−e iϕ −<br />
2 +iπ<br />
53<br />
(333)
-1<br />
φ−<br />
O<br />
r-<br />
Figure 8:<br />
54<br />
z<br />
r+<br />
φ+<br />
+1
e analogamente per<br />
w+ = √ z − 1 (334)<br />
(w+) 0 = √ r+e iϕ +<br />
2 (335)<br />
(w+) 1 = √ r+e iϕ +<br />
2 +iπ<br />
Potrebbe sembrare che ci siano allora 4 valori <strong>di</strong>versi per<br />
Ma<br />
(336)<br />
w = 2 z 2 − 1 = (z − 1) 1<br />
2 (z + 1) 1<br />
2 (337)<br />
w1 = (w−) 0 (w+) 0 = √ r−r+e iϕ −<br />
2 + iϕ +<br />
2 (338)<br />
w2 = (w−) 0 (w+) 1 = √ r−r+e iϕ −<br />
2 + iϕ +<br />
2 +iπ<br />
w3 = (w−) 1 (w+) 0 = √ r−r+e iϕ −<br />
2 + iϕ +<br />
2 +iπ<br />
w4 = (w−) 1 (w+) 1 = √ r−r+e iϕ −<br />
2 + iϕ +<br />
2 +i2π<br />
Quin<strong>di</strong> ci sono solo due valori <strong>di</strong>stinti<br />
(339)<br />
(340)<br />
(341)<br />
w1 = w4 = √ r−r+e i(ϕ − +ϕ +)<br />
2 (342)<br />
w2 = w3 = √ r−r+e i(ϕ− +ϕ +)<br />
2 +iπ<br />
(343)<br />
ed è chiaro che passo dall’uno all’altro girando intorno o a z = 1 o a z = −1:<br />
ma sefaccio un giro completo intorno a tutte e due questi punti (<strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione)<br />
non cambia il valore <strong>del</strong>la funzione. Quin<strong>di</strong> devo tagliare il piano complesso in<br />
modo da evitare <strong>di</strong> girare intorno ad un singolo punto. Questo può essere fatto<br />
in due mo<strong>di</strong> (ve<strong>di</strong> figura)<br />
Si lascia allo studente il compito <strong>di</strong> immaginare la riemanniana.<br />
3.1.2 Logaritmo naturale nel piano complesso<br />
In analogia al caso reale è naturale definire il logaritmo nel campo complesso<br />
come la funzione inversa <strong>del</strong>la funzione esponenziale (ve<strong>di</strong> 247 e seguenti).<br />
Quin<strong>di</strong><br />
w = ln(z) (344)<br />
è una corrispondenza tra il piano complesso z e il piano w tale che<br />
O ancora<br />
Allora:<br />
z = e w<br />
(345)<br />
e ln(z) = z = ln (e z ) (346)<br />
55
dove<br />
-1 +1<br />
-1<br />
+1<br />
Figure 9:<br />
w = ln(z) = ln re iφ+ik2π = ln (r) + iφ + ik2π (347)<br />
ln (r) = ln (|z|) (348)<br />
è il solito logaritmo reale (essendo r reale). E’ imme<strong>di</strong>atamente visibile che non<br />
solo il logaritmo naturale complesso 347 è una funzione polidroma ma è per <strong>di</strong><br />
più una funzione a infiniti valori. Definiamo come ramo principale:<br />
• esponenziali e logaritmi non naturali<br />
w = ln(z) = ln (r) + iφ (349)<br />
Ovviamente definito il logaritmo naturale possiamo anche definire il logaritmo<br />
per una base qualsiasi purchè reale e positiva (e <strong>di</strong>versa da 1) cosi come<br />
possiamo ora definire l’esponenziale in una base qualsiasi (reale positiva):<br />
QED<br />
Giustifichiamo la 350:<br />
a z z ln(a)<br />
= e<br />
w = log a(z) = ln(z)<br />
ln(a)<br />
a z = e z ln(a) =<br />
<br />
e ln(a) z<br />
= (a) z<br />
56<br />
(350)<br />
(351)<br />
(352)
QED<br />
Giustifichiamo la 351:<br />
loga(z) = ln(z)<br />
=⇒<br />
ln(a)<br />
(353)<br />
ln(z) = loga(z) ln(a) =⇒ (354)<br />
z = e ln(z) = e log a (z) ln(a) =<br />
• potenza con esponente complesso<br />
<br />
e ln(a log a (z)<br />
= a log a (z)<br />
(355)<br />
w = z γ ; z, γ ∈ C (356)<br />
Ve<strong>di</strong>amo... se vale la formula sopra facendo il logaritmo <strong>di</strong> entrambi i membri<br />
<strong>del</strong>l’uguaglianza:<br />
ln(w) = ln (z γ ) = γ ln(z) (357)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Per estensione<br />
γ ln(z)<br />
w = e<br />
w = (f (z)) g(z) g(z) ln(f(z))<br />
= e<br />
(358)<br />
(359)<br />
Exercise 81 mostrare che se z è sul cerchio unitario allora z i è una funzione<br />
polidroma a infiniti valori ma tutti questi valori sono reali. Trovare il valore<br />
principale. Calcolare il valor principale <strong>di</strong> w = i i .<br />
Svolgimento:<br />
Dalla 358 e dalla 347 abbiamo<br />
Ma sul cerchio unitario<br />
e quin<strong>di</strong><br />
infiniti valori reali. Il valor principale è<br />
z i = e i ln(z) = e i(ln(r)+iφ+ik2π)<br />
(360)<br />
r = 1 → ln (r) = 0 (361)<br />
z i = e −φ+k2π ; k = 0, ±1, ±2, ... (362)<br />
z i = e −φ<br />
e naturalmente per z = i abbiamo φ = π<br />
2<br />
(363)<br />
i i π −<br />
= e 2 (364)<br />
57
3.1.3 Funzioni algebriche e funzioni trascendenti<br />
Esten<strong>di</strong>amo la nozione <strong>di</strong> numero algebrico e numero trascendente alle funzioni.<br />
Sia:<br />
A0 + A1f + A2f 2 + ... + An−1f n−1 + Anf n = 0; n ∈ N (365)<br />
dove però l ′ incognita f è una funzione nel campo complesso (f = f(z)) e i<br />
coefficienti <strong>del</strong>l’equazione ’algebrica’ sono ora polinomi (generalmente <strong>di</strong> grado<br />
<strong>di</strong>verso) in campo complesso:<br />
Ak = Pmk (z) ; An = 0 (366)<br />
Se una certa funzione f è una ra<strong>di</strong>ce (soluzione ) <strong>di</strong> una equazione <strong>del</strong> tipo<br />
365, allora è detta funzione algebrica, altrimenti (cioè se non è soluzione <strong>di</strong><br />
NESSUNA equazione <strong>del</strong> tipo 365) è detta funzione trascendente.<br />
Exercise 82 mostrare che la ra<strong>di</strong>ce ennesima è una funzione algebrica<br />
Svolgimento:<br />
ma allora è soluzione <strong>di</strong><br />
QED<br />
w = f(z) = z 1 n (367)<br />
w n = z (368)<br />
Exercise 83 mostrare che la funzione w = 3√ z 2 −1<br />
z+1 è algebrica<br />
Tutte le funzioni legate all’esponenziale (logaritmo, funzioni trigonometriche<br />
ed iperboliche e le loro inverse) sono funzioni trascendenti.<br />
NOTA: in alcuni degli esercizi precedentementi proposti le risposte erano<br />
errate... non <strong>di</strong>co quali! Ma trattasi <strong>di</strong> errore intenzionale (ci saranno sicuramente<br />
errori preterintenzionali...). Il fatto è che nella vita e nella ricerca non si<br />
sa in anticipo quali siano le risposte ’giuste’ e lo studente dovrebbe abituarsi ad<br />
affinare il suo senso critico e a fidarsi <strong>del</strong>lo stesso (equivale al Galileiano: "me<br />
ne frego se IPSE DIXIT").<br />
4 Funzioni analitiche<br />
Abbiamo introdotto le funzioni in campo complesso e <strong>di</strong>scusso alcune funzioni<br />
’elementari’ mentendo (e sapendo <strong>di</strong> mentire...).<br />
Il punto è che una funzione in campo complesso deve essere una corrispondenza<br />
(biunivoca o no) tra i punti <strong>del</strong> dominio (una regione <strong>del</strong> campo complesso)<br />
e i punti <strong>del</strong> codominio (una possibilmente <strong>di</strong>versa regione <strong>del</strong> campo<br />
complesso, che per chiarezza pensiamo separato...). In sostanza la funzione collega<br />
il piano (o parti <strong>del</strong> piano) z = (x, y) che chiameremo Cz con il piano<br />
58
"immagine", say w = (u, v), che chiameremo Cw (anche se sempre <strong>del</strong> piano<br />
complesso trattasi è bene graficamente vederli come due piani <strong>di</strong>stinti). Quin<strong>di</strong>,<br />
date le coor<strong>di</strong>nate cartesiane <strong>di</strong> un punto z = (x, y) ∈ Cz la funzione f mi fa<br />
passare alle coor<strong>di</strong>nate (u, v) <strong>del</strong> punto "immagine" w ∈ Cw. Cioè<br />
(x, y) f → (u, v) (369)<br />
L’inganno finora perpetrato è stato quello <strong>di</strong> scrivere<br />
il che in genere NON è vero!<br />
Disproviamo con un esempio:<br />
w = f(z) (370)<br />
Example 84 Scrivere in forma 370 la funzione che fa passare dal punto <strong>di</strong><br />
coor<strong>di</strong>nate cartesiane (x, y) al punto <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate cartesiane (u, v) con<br />
u = x 2 + y 2<br />
(371)<br />
v = x + y (372)<br />
<strong>La</strong> funzione è ovviamente ben definita, nel senso che per ogni z ottengo un<br />
determinato w: ma sfido il lettore a scrivere<br />
w = u + iv = f(x + iy) (373)<br />
Quale è f?<br />
Però iniziamo a vedere l’origine <strong>del</strong> problema: se scrivo una funzione nella<br />
forma 370, sto ipotizzando che le due variabili reali x, y appaiano sempre e<br />
solo nella combinazione x + iy. E’ quello che succede quando voglio la funzione<br />
<strong>di</strong> un’onda uni<strong>di</strong>mensionale (rammentare!): la funzione può essere quello che<br />
volete, ma le variabili spazio (x) e tempo (t) devono entrarvi solo nella combinazione<br />
x ± vt (v è la velocità <strong>del</strong>l’onda). Come le funzioni che descrivono<br />
l’onda sono indubbiamente una classe particolare <strong>del</strong>le funzioni a due variabili<br />
reali, così le funzioni complesse esprimibili in forma 370 sono solo una classe<br />
e molto particolare ( anche se molto importante!) <strong>del</strong>le funzioni complesse.<br />
Queste funzioni particolari, almeno se sono monodrome 9 e definite su un dominio,<br />
le chiamiamo funzioni analitiche (o anche regolari o olomorfe). Una<br />
funzione analitica su tutto il piano complesso si <strong>di</strong>ce intera.<br />
Ripren<strong>di</strong>amo da un punto <strong>di</strong> vista leggermente <strong>di</strong>verso: la 373 e le 371,372<br />
(nonchè le chiacchiere precedenti) ci in<strong>di</strong>cano che cosa sia in generale una funzione<br />
complessa:<br />
z f → w ⇐⇒ (x, y) f → (u, v) ⇐⇒ w = u(x, y) + iv(x, y) (374)<br />
9 se la funzione fosse polidroma, avremmo comunque visto come monodromizzarla... o<br />
considerando i vari rami o definendola su una opportuna superficie <strong>di</strong> Riemann.<br />
59
A parole: la parte reale e la parte immaginaria <strong>del</strong>l’immagine w <strong>di</strong> z sono<br />
funzioni (reali!) <strong>di</strong> (x, y): ergo la funzione complessa è data da una coppia<br />
or<strong>di</strong>nata <strong>di</strong> due funzioni reali <strong>di</strong> due variabili reali:<br />
f ≡ (u(x, y), v(x, y)) (375)<br />
Si potrebbe dunque pensare che l’analisi complessa non possa offrire più<br />
<strong>di</strong> quanto sia in grado <strong>di</strong> offrire la ben nota teoria <strong>del</strong>le funzioni reali in due<br />
variabili... ma vedremo che non è affatto così. E non è così proprio per le<br />
peculiari proprietà <strong>del</strong>le funzioni in forma 370 che provvisoriamente abbiamo<br />
chiamato analitiche (o regolari o olomorfe).<br />
Ancora da un <strong>di</strong>verso punto <strong>di</strong> vista. Potremmo vedere una funzione complessa<br />
come trasformazione <strong>di</strong> variabili : da (x, y) a (u, v) (con conseguenti<br />
trasformazioni geometriche , vedremo in qualche esempio). Ma allora la richiesta<br />
373 appare subito ’forte’: stiamo passando da due variabili in<strong>di</strong>pendenti<br />
(x, y) a una lora particolare e fissata combinazione (x + iy): in pratica da due<br />
variabili ad una (z)! Difficile... Non dovrebbero esserci <strong>di</strong>fficoltà invece nel<br />
passaggio da 2 a 2. In effetti se considerassimo accanto a z il suo complesso<br />
coniugato z allora<br />
z = x + iy (376)<br />
z = x − iy (377)<br />
che vista come trasformazione <strong>di</strong> variabili si inverte facilmente<br />
x =<br />
z + z<br />
2<br />
(378)<br />
z − z<br />
y = (379)<br />
2i<br />
E’ quin<strong>di</strong> evidente che in generale una funzione complessa può essere espressa<br />
in funzione <strong>di</strong> z e z.<br />
Ripren<strong>di</strong>amo l’esempio sopra usando le 378,379 abbiamo:<br />
u = x 2 + y 2 2 2 z + z z − z<br />
= + = zz (380)<br />
2 2i<br />
(era ovvio!) e<br />
v = x + y =<br />
z + z<br />
2<br />
+ z − z<br />
2i<br />
(1 − i)<br />
= z +<br />
2<br />
(1 + i)<br />
z (381)<br />
2<br />
e quin<strong>di</strong><br />
(1 − i) (1 + i)<br />
w = u + iv = z + z + zz (382)<br />
2 2<br />
Tale funzione non è evidentemente funzione SOLO <strong>di</strong> z e quin<strong>di</strong> non è analitica.<br />
Questo è un test molto pratico <strong>di</strong> analicità: se passando dalle coor<strong>di</strong>nate<br />
(x, y) alle coor<strong>di</strong>nate ’coniugate’ (z, z) attraverso le 378,379 accade che z scompare,<br />
allora la funzione è analitica.<br />
60
Exercise 85 provare l’analiticità <strong>del</strong>la funzione<br />
w = x 2 − y 2 + 2ixy (383)<br />
Svolgimento: applicate le 378,379... comunque si vede a vista che<br />
e quin<strong>di</strong> è analitica.<br />
w = z 2<br />
Exercise 86 <strong>di</strong>scutere l’analiticità <strong>del</strong>le funzioni<br />
1. w = x<br />
y<br />
x2 +y2 + i x2 +y2 2. w = 1 + e 2x cos(x) + ie 2x sin(x)+<br />
3. w =<br />
x2 +y 2 −1<br />
2y<br />
(x−1) 2 +(y−1) 2 + i<br />
(x−1) 2 +(y−1) 2<br />
4. w = x y−x<br />
y − i y+x<br />
(384)<br />
ATTENZIONE! la notazione a volte trae in inganno. Ad esempio se io <strong>di</strong>co<br />
o<br />
o ancora<br />
w = Re(z) (385)<br />
w = Im(z) (386)<br />
w = |z| 2<br />
(387)<br />
sembrerebbe che abbia ottemperato alla richiesta 370 e che quin<strong>di</strong> stia parlando<br />
<strong>di</strong> funzioni analitiche. In realtà, come sappiamo:<br />
w = Re(z) =<br />
w = Im(z) =<br />
e quin<strong>di</strong> nessuna <strong>del</strong>le tre funzioni è analitica.<br />
A volte l’inganno è più sottile:<br />
z + z<br />
2<br />
z − z<br />
2i<br />
(388)<br />
(389)<br />
w = |z| 2 = zz (390)<br />
w = z<br />
|z| 2<br />
(391)<br />
è analitica?<br />
A vista sembra <strong>di</strong> no (<strong>di</strong>pende da z, ed è comunque una combinazione <strong>di</strong><br />
funzioni non analitiche). Ma<br />
w = z z 1<br />
2 = =<br />
|z| zz z<br />
61<br />
(392)
che è analitica in tutto il piano complesso escluso ovviamente z = 0 in cui non<br />
è definita.<br />
Quin<strong>di</strong> la regola pratica <strong>di</strong> sopra va presa (come tutto) ’cum grano salis’:<br />
scrivete la funzione in termini <strong>di</strong> (x, y) , passate a (z, z)... se eliminate la z siete<br />
arrivati. Se no, controllate bene!<br />
In fondo posso sempre scrivere<br />
e <strong>di</strong>re : accidenti! <strong>di</strong>pende da z ! ergo non va...<br />
w = z + z − z (393)<br />
Remark 87 notare che il cambiamento <strong>di</strong> variabile 378, 379 ci permette anche<br />
<strong>di</strong> scrivere un funzione reale <strong>di</strong> due variabili reali in termini (apparentemente)<br />
complessi:<br />
a.e.<br />
ψ(x, y) = ψ(<br />
z + z<br />
2<br />
ψ(x, y) = x + z<br />
= iz<br />
y z − z<br />
z − z<br />
, ) (394)<br />
2i<br />
Notare che il test <strong>di</strong> "realtà" 186 vi mostra che comunque la funzione è reale:<br />
<br />
z + z<br />
i<br />
z − z<br />
z + z + z<br />
= −i = iz<br />
z − z z − z<br />
(395)<br />
(396)<br />
Remark 88 dovrebbe essere chiaro che non ha senso parlare <strong>di</strong> funzione analitica<br />
in un punto, una funzione analitica deve essere tale almeno in un intorno<br />
<strong>del</strong> punto. In un solo punto tutti i gatti sono bigi... ad esempio le funzioni z 2 e<br />
z 2 assumendo lo stesso valore in zero sarebbero ambedue analitiche in zero.<br />
4.1 Derivata complessa<br />
Ora siamo pronti per tentare la "traduzione" nel complesso <strong>del</strong>la derivata.<br />
Se la funzione fosse nella forma 370 <strong>di</strong>remmo senz’altro che la derivata <strong>di</strong><br />
w = f(z) (397)<br />
nel punto z0 dovrebbe, essere per analogia al caso reale, il numero complesso<br />
che chiamiamo w ′ = f ′<br />
(z0) ottenuto con il seguente limite<br />
w ′ = f ′ f(z − z0) − f (z0)<br />
(z) = lim<br />
z→z0 z − z0<br />
(398)<br />
cioè il limite <strong>del</strong> rapporto incrementale che possiamo anche scrivere ( descrivere)<br />
così:<br />
62
<strong>di</strong>amo al punto z0 = (x0, y0) un incremento (arbitrario) ∆z = (∆x, ∆y)<br />
portandoci nel punto z = (x, y) = z0 + ∆z = (x0 + ∆x, y0 + ∆y) e ve<strong>di</strong>amo se<br />
esiste il limite<br />
f(z0 + ∆z) − f (z0)<br />
lim<br />
∆z−0 ∆z<br />
(399)<br />
se il limite esiste allora <strong>di</strong>ciamo che la funzione è derivabile in z0 e il valore<br />
<strong>di</strong> tale limite è la derivata (complessa) <strong>del</strong>la funzione in z0.<br />
Notate che siamo nel piano e quello che abbiamo detto richiede attenzione...<br />
ripetiamo:<br />
... pren<strong>di</strong>amo una funzione e un punto nel piano, poi avviciniamoci al punto<br />
in qualsiasi modo e in particolare da qualsiasi <strong>di</strong>rezione: se così facendo ci<br />
avviciniamo sempre ad uno stesso valore per il rapporto incrementale (’sempre’<br />
vuol <strong>di</strong>re comunque abbiamo scelto la modalità <strong>di</strong> avvicinamento...) allora il<br />
limite complesso esiste ed assume appunto tale valore e viene detto derivata (in<br />
z0).<br />
Notate che se siamo partiti dalla 370, eppure possiamo usare anche la definizione<br />
generale funzione complessa (374, se abbiamo capito che cosa stiamo facendo):<br />
Infatti quanto detto equivale a<br />
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) (400)<br />
w ′ u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − (u(x0, y0) + iv(x0, y0))<br />
(x0, y0) = lim<br />
∆x→0,∆y→0<br />
∆x + i∆y<br />
(401)<br />
da cui è evidente la possibile fonte <strong>di</strong> ambiguità: (∆x + i∆y) → 0 ma può<br />
andarci in mo<strong>di</strong> <strong>di</strong>versi ( ad esempio ∆x = 0 e ∆y → 0 o viceversa..) mentre il<br />
risultato deve essere lo stesso .<br />
Forse è più chiaro con esempi (anche banali):<br />
Example 89 sia<br />
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = x + iy (402)<br />
applichiamo la 401 nel punto z0 = (x0, y0) . Dobbiamo ’calcolare’<br />
u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − (u(x0, y0) + iv(x0, y0))<br />
lim<br />
∆x→0,∆y→0<br />
∆x + i∆y<br />
(403)<br />
cioè<br />
x0 + ∆x + i (y0 + ∆y) − (x0 + iy0)<br />
∆x + i∆y<br />
lim<br />
= lim<br />
= 1<br />
∆x→0,∆y→0<br />
∆x + i∆y<br />
∆x→0,∆y→0 ∆x + i∆y<br />
(404)<br />
comunque scegliamo ∆x e ∆y e in qualunque punto z0 : <strong>di</strong>ciamo quin<strong>di</strong> che<br />
questa funzione è derivabile su tutto il piano complesso e la sua derivata vale 1<br />
ovunque...<br />
63
Remark 90 Nota che<br />
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = x + iy = f(z) = z (405)<br />
che è ovviamente analitica e inoltre "ingenuamente" sarebbe<br />
Example 91 sia<br />
w ′ = df<br />
= 1 (406)<br />
dz<br />
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = x − iy (407)<br />
applichiamo la 401 nel punto z0 = (x0, y0) . Dobbiamo ’calcolare’<br />
u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − (u(x0, y0) + iv(x0, y0))<br />
lim<br />
∆x→0,∆y→0<br />
∆x + i∆y<br />
(408)<br />
cioè<br />
x0 + ∆x − i (y0 + ∆y) − (x0 − iy0)<br />
∆x − i∆y<br />
lim<br />
= lim<br />
∆x→0,∆y→0<br />
∆x + i∆y<br />
∆x→0,∆y→0 ∆x + i∆y<br />
(409)<br />
ora se scegliamo<br />
∆x = 0 (410)<br />
cioè ci avviciniamo a z0 parallelamente all’asse y , abbiamo<br />
viceversa con<br />
−i∆y<br />
lim = −1 (411)<br />
∆x→0,∆y→0 +i∆y<br />
∆y = 0 (412)<br />
cioè avvicinandoci a z0 parallelamente all’asse x , abbiamo<br />
∆x<br />
lim = +1 (413)<br />
∆x→0,∆y→0 ∆x<br />
e quin<strong>di</strong> i due "limiti" non coincidono (sarebbe più corretto <strong>di</strong>re che il rapporto<br />
incrementale NON ha limite) e quin<strong>di</strong> la funzione non è derivabile in nessun<br />
punto <strong>del</strong> piano complesso.<br />
Remark 92 Nota che<br />
w(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = x − iy = z (414)<br />
che in base a quanto sopra NON è analitica.<br />
64
Exercise 93 Le seguenti funzioni sono derivabili? e dove?<br />
1. w = 1<br />
z 2 −3i<br />
2. w(x, y) = e (x+y) − ie (x−y)<br />
3. w = zz<br />
svolgimento:<br />
3) usiamo la 399<br />
f(z0 + ∆z) − f (z0) (z0 + ∆z) (z0 + ∆z) − z0z0<br />
lim<br />
= lim<br />
= (415)<br />
∆z→0 ∆z<br />
∆z→0<br />
∆z<br />
(z0 + ∆z)<br />
lim<br />
∆z→0<br />
z0 + ∆z − z0z0<br />
∆z<br />
lim<br />
∆z→0<br />
z0∆z + z0∆z + ∆z∆z<br />
= lim<br />
= (416)<br />
∆z→0 ∆z<br />
<br />
z0<br />
+ ∆z + z0∆z<br />
<br />
(417)<br />
∆z<br />
ovviamente se ∆z = (∆x + i∆y) → 0 anche ∆z = (∆x − i∆y) → 0. Però il<br />
limite deve essre in<strong>di</strong>pendente dal "cammino"... mentre qui abbiamo la libertà<br />
<strong>di</strong> scegliere per ∆z<br />
∆z . In effetti se per esempio scegliamo ∆z = ∆x allora ∆z =<br />
∆z = ∆x e quin<strong>di</strong> <br />
lim z0 + ∆z<br />
∆z→0<br />
<br />
+ z0 = z0 + z0<br />
(418)<br />
ma se scegliamo ∆z = i∆y allora ∆z = −i∆y = −∆z e quin<strong>di</strong><br />
<br />
lim z0 + ∆z<br />
∆z→0<br />
<br />
− z0 = z0 − z0<br />
(419)<br />
Perciò la funzione è derivabile al più nel solo punto <strong>del</strong> piano complesso z0 =<br />
z0 = 0.<br />
Remark 94 nota che w = zz = |z| 2 NON è analitica.<br />
Visto quanto sopra e gli esempi, ci sorge il forte sospetto che analiticità<br />
(così come sopra definità) e derivabilità (almeno in un intorno) siano concetti<br />
strettamenti legati. Ed è in effetti così.<br />
Sia una funzione complessa analitica (nel senso <strong>di</strong> sopra, cioè non <strong>di</strong>pendente<br />
da z ma solo da z = x + iy):<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) = f(z) (420)<br />
Allora ve<strong>di</strong>amo se esiste il limite <strong>del</strong> rapporto incrementale<br />
f(z0 + ∆z) − f (z0)<br />
lim<br />
= (421)<br />
∆z−0 ∆z<br />
lim<br />
∆x→0,∆y→0<br />
u(x0 + ∆x, y0 + ∆y) + iv(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − (u(x0, y0) + iv(x0, y0))<br />
(422)<br />
∆x + i∆y<br />
65
Ma, se le funzioni reali <strong>di</strong> variabili reale u(x, y) e v(x, y) ammettono<br />
derivate parziali prime rispetto a x e y, sappiamo dall’analisi che in prima<br />
approssimazione (cioè se ∆x è sufficientemente piccolo) vale:<br />
<br />
∂<br />
u(x0 + ∆x, y) = u(x0, y) + ∆x u(x, y) + O (∆x)<br />
∂x x=x0<br />
2<br />
e analoghe.<br />
Useremo spesso la notazione semplificata (da fisici..)<br />
(423)<br />
∂<br />
u = ux<br />
(424)<br />
∂x<br />
<br />
∂<br />
u(x, y) = ux (x0, y) (425)<br />
∂x<br />
x=x0<br />
e analoghe.<br />
Quin<strong>di</strong>, dopo alcuni passaggi algebrici (check!), per il rapporto incrementale<br />
(e per ∆x, ∆y piccoli), abbiamo<br />
f(z0 + ∆z) − f (z0)<br />
∆z<br />
≈ [ux(x0, y0) + ivx(x0, y0)] + (426)<br />
+<br />
∆y<br />
∆x + i∆y {[uy(x0, y0) + vx(x0, y0] − i [ux(x0, y0) − vy(x0, y0]} (427)<br />
Ma, se come ipotizzato, nella forma funzionale <strong>di</strong> w (ve<strong>di</strong> 420) le variabili x, y<br />
compaiono solo nella combinazione x + iy, allora chiaramente x e iy giuocano<br />
lo stesso ruolo e che quin<strong>di</strong> derivare w rispetto a x è la stessa cosa che derivarlo<br />
rispetto a iy :<br />
∂ ∂ ∂<br />
w = w = −i w (428)<br />
∂x ∂iy ∂y<br />
Sviluppando dalla 420 abbiamo<br />
∂<br />
∂x w = ux + ivx = −i ∂<br />
∂y w = −i (uy + ivy) (429)<br />
cioè, eguagliando parte reale con parte reale e parte immaginaria con parte<br />
immaginaria:<br />
ux = vy<br />
uy = −vx<br />
(430)<br />
(431)<br />
Queste due relazioni sono dette relazioni o equazioni o con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Cauchy o <strong>di</strong><br />
Cauchy-Riemann , sono importantissime: noi le (ri)chiameremo semplicemente<br />
con la sigla CR. Ovviamente si possono riassumere usando la 428:<br />
wx + iwy = 0 (432)<br />
66
Abbiamo visto che la vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>le CR poggia su 2 fatti:<br />
1. w = u(x, y) + iv(x, y) = f(x + iy) (analiticità)<br />
2. u(x, y) e v(x, y) ammettono derivate parziali prime<br />
Conseguenza <strong>del</strong>le CR:<br />
la parentesi graffa nella 427 si annulla identicamente e quin<strong>di</strong> il rapporto<br />
incrementale ha un limite (ben definito) e quin<strong>di</strong> la funzione supposta analitica<br />
è anche derivabile in tutti i punti in cui valgono le CR e la derivata (ve<strong>di</strong> 426)<br />
è data da<br />
w ′ = f ′<br />
(z) = df ∂f<br />
=<br />
dz ∂z = fz = ux + ivx = fx<br />
(433)<br />
Abbiamo voluto riassumere in una sola riga molte notazioni equivalenti ma<br />
ovviamente la vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>le CR permette <strong>di</strong> scrivere la derivata ancora in <strong>di</strong>verse<br />
forme equivalenti, a.e.<br />
w ′ = vy + ivx<br />
(434)<br />
Exercise 95 scrivere esplicitamente tutte le possibili espressioni <strong>del</strong>la derivata<br />
Avremmo così mostrato che l’analicità implica le con<strong>di</strong>zioni CR che garantiscono<br />
la derivabilità- D’altra parte uno sguardo attento alla (426,427) mostra<br />
che se si vuole la derivabilità occorrono le CR...<br />
Exercise 96 mostrare!<br />
Ma un matematico obietterebbe che in realtà le CR sono con<strong>di</strong>zione necessaria<br />
e sufficiente per la derivabilità solo se le derivate parziali prime ux, vx, uy, vy<br />
sono funzioni continue.<br />
Problem 97 dove entra in ballo la continuità? hint: rifare minuziosamente i<br />
conti che portano a (426,427).<br />
Abbiamo visto come l’analicità porti alle CR: è anche vero il contrario?<br />
Sappiamo dall’analisi che se abbiamo una trasformazione <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate, a.e.<br />
allora (sorvolando su minuzie matematiche...) si ha<br />
∂<br />
∂X<br />
∂<br />
∂Y<br />
x = ρ(X, Y ) (435)<br />
y = σ(X, Y ) (436)<br />
= ∂ρ<br />
∂X<br />
= ∂ρ<br />
∂Y<br />
∂ ∂σ<br />
+<br />
∂x ∂X<br />
∂ ∂σ<br />
+<br />
∂x ∂Y<br />
∂<br />
∂y<br />
∂<br />
∂y<br />
(437)<br />
(438)<br />
Consideriamo allora il cambio <strong>di</strong> variabili nelle 378,379, per quanto sopra avremo<br />
∂<br />
∂z<br />
1 ∂ ∂<br />
= + i1<br />
2 ∂x 2 ∂y<br />
67<br />
(439)
Ma le con<strong>di</strong>zioni CR implicano (ve<strong>di</strong> 429)<br />
∂ ∂<br />
w + i w = 0 = 2∂w<br />
∂x ∂y ∂z<br />
ergo la w non <strong>di</strong>pende da z e quin<strong>di</strong> è analitica.<br />
Remark 98 ovviamente<br />
e quin<strong>di</strong><br />
w ′ = ∂f<br />
∂z<br />
∂<br />
∂z<br />
1 ∂ ∂<br />
= − i1<br />
2 ∂x 2 ∂y<br />
(440)<br />
(441)<br />
= 1<br />
2 [(ux − iuy) + i ((vx − ivy))] CR<br />
= 1<br />
2 [ux + ivx + ivx + ux] = ux + ivx<br />
(442)<br />
Remark 99 Le 441,439 possono essere facilmente invertite:<br />
∂ ∂ ∂<br />
= +<br />
∂x ∂z ∂z<br />
(443)<br />
<br />
∂ ∂ ∂<br />
= i − (444)<br />
∂y ∂z ∂z<br />
––––––––––-<br />
Perciò (a meno <strong>di</strong> minuzie matematiche che non fanno perdere il sonno ad<br />
un fisico...) abbiamo<br />
ANALICIT A ′ ⇐⇒ CR ⇐⇒ DERIV ABILIT A ′<br />
(445)<br />
Remark 100 In realtà, come vedremo e <strong>di</strong>mostreremo in seguito, l’analicità<br />
non implica soltanto la derivabilità <strong>del</strong>la funzione ma anche l’esistenza <strong>del</strong>le<br />
derivate successive e la convergenza <strong>del</strong>lo sviluppo in serie <strong>di</strong> Taylor (almeno<br />
in un intorno <strong>di</strong> un punto <strong>di</strong> analiticità). Quin<strong>di</strong> le funzioni analitiche hanno<br />
tutte le buone proprietà <strong>del</strong>le funzioni a una sola variabile reale e qualcosa (anzi<br />
molto ) in più. E, per inciso, l’esistenza <strong>del</strong>le derivate successive assicura la<br />
continuità <strong>del</strong>le derivate parziali richiesta prima.<br />
Remark 101 Se la funzione complessa è analitica cioè solo funzione <strong>di</strong> z è<br />
chiaro dalla definizione <strong>di</strong> derivata (e ve<strong>di</strong> anche gli esercizi seguenti) che valgono<br />
per la derivata tutte le regole che valgono per la derivata <strong>di</strong> una funzione<br />
reale <strong>di</strong> variabile reale. In soldoni f(z) si comporta come se fosse una f(x)...<br />
Problem 102 Ma allora... se derivo una f(z) seguendo le regole <strong>di</strong> derivazione<br />
ottengo ovviamente un funzione solo <strong>di</strong> z e quin<strong>di</strong> per definizione analitica. Ma<br />
abbiamo appeno <strong>di</strong>mostrato che una funzione analitica è derivabile: questo non<br />
implica che debbano esistere tutte le derivate successive? perchè nel Remark 100<br />
si <strong>di</strong>ce che lo <strong>di</strong>mostreremo in seguito? che bisogno c’è? è già <strong>di</strong>mostrato...<br />
68
Exercise 103 sia<br />
con<br />
Trovare la derivata in vari mo<strong>di</strong>.<br />
Svolgimento:<br />
Se esiste la derivata allora<br />
e quin<strong>di</strong><br />
ma deve essere anche (ve<strong>di</strong> 432)<br />
o ancora ( ve<strong>di</strong> 434)<br />
w = u (x, y) + iv (x, y) (446)<br />
u (x, y) = x 2 − y 2<br />
(447)<br />
v (x, y) = 2xy (448)<br />
w ′ = wx = ux + ivx<br />
(449)<br />
w ′ = 2x + i2y = 2z (450)<br />
w ′ = −iwy = −i (uy + ivy) (451)<br />
= −i (−2y + i2x) (452)<br />
= 2x + i2y = 2z (453)<br />
w ′ = vy + ivx (454)<br />
= 2x + i2y = 2z (455)<br />
etc. D’altra parte se uno fosse passato dalle variabili (x, y) a (z, ¯z) si sarebbe<br />
accorto che<br />
w = x 2 − y 2 + i (2xy) = z 2<br />
(456)<br />
che è a vista analitica e le derivate <strong>del</strong>la funzione espressa in termini <strong>di</strong> z si<br />
fanno esattameente come si fanno nel campo reale<br />
Exercise 104 sia<br />
con<br />
Trovare la derivata in vari mo<strong>di</strong>.<br />
w ′ = d 2<br />
z<br />
dz<br />
= 2z (457)<br />
w = u (x, y) + iv (x, y) (458)<br />
u (x, y) = x 2 + y 2<br />
(459)<br />
v (x, y) = 2xy (460)<br />
69
Svolgimento:<br />
Di nuovo proviamo<br />
e anche<br />
w ′ = wx = ux + ivx (461)<br />
= 2x + i2y = 2z (462)<br />
w ′ = −iwy = −i (uy + ivy) (463)<br />
= −i (2y + i2x) (464)<br />
= 2x − i2y = 2¯z (465)<br />
?????????????????????!<br />
Accidenti... ci eravamo <strong>di</strong>menticati <strong>di</strong> vedere se la funzione era analitica...<br />
(provate a vedere se le CR sono sod<strong>di</strong>sfatte)<br />
4.1.1 Differenziali<br />
Se una funzione è analitica ergo derivabile è facile estendere la nozione <strong>di</strong> <strong>di</strong>fferenziale<br />
<strong>del</strong>la funzione:<br />
Da cui i fisici ricavano la notazione<br />
’<strong>di</strong>videndo’ la<br />
w = f(z) =⇒ dw = df = f ′<br />
(z)dz (466)<br />
f ′<br />
(z) = df<br />
dz<br />
(467)<br />
df = f ′<br />
(z)dz (468)<br />
per dz ... I matematici inorri<strong>di</strong>scono, ma i fisici lo hanno sempre fatto (e quasi<br />
sempre con successo!) 10 . Useremo questa libertà per ’giustificare’ (non "<strong>di</strong>mostrare"!)<br />
alcune regole.<br />
• Derivata <strong>del</strong>la funzione composta<br />
Se<br />
è analitica nel dominio Dg ⊆ C e<br />
è analitica nel dominio Df ⊆ C allora<br />
q = g(z) (469)<br />
w = f(q) (470)<br />
w = h(z) = f(q) = f(g(z)) (471)<br />
10 I Fisici sono stati alla fine ven<strong>di</strong>cati: queste operazioni hanno senso, solo che hanno senso<br />
nel campo, recentemente introdotto, dei numeri surreali.<br />
70
è analitica in Dh = Df ∩ Dg, Dh ⊆ C.<br />
In effetti<br />
w ′ = df df dq df dg ′<br />
= = = f g<br />
dz dq dz dq dz ′<br />
(nel passaggio interme<strong>di</strong>o abbiamo ’<strong>di</strong>viso’ e ’moltiplicato’ per dq).<br />
Exercise 105 <strong>di</strong>mostrare la ben nota regola in modo più ortodosso<br />
• Derivata <strong>del</strong>la funzione inversa<br />
Se<br />
è analitica, cioè esiste<br />
w ′ = df<br />
dz<br />
ed è anche invertibile, cioè esiste<br />
(472)<br />
w = f(z) (473)<br />
= dw<br />
dz<br />
allora esiste anche la derivata <strong>del</strong>la funzione inversa<br />
df −1<br />
dw<br />
(474)<br />
z = f −1 (w) (475)<br />
= dz<br />
dw<br />
= 1<br />
dw<br />
dz<br />
(476)<br />
ATTENZIONE! Lo studente attento avrà intuito che vi può essere una<br />
questione <strong>del</strong>icata <strong>di</strong> dominii/codominii... specialmente se la funzione e/o l’inversa<br />
sono polidrome.<br />
Exercise 106 trovare la derivata <strong>di</strong> 2√ w, tenendo in debito conto la polidromia<br />
<strong>del</strong>la ra<strong>di</strong>ce ennesima<br />
Svolgimento:<br />
Allora<br />
z = w 1<br />
2 (477)<br />
ha due rami, per interderci: quello in cui 2√ 1 = 1 e quello in cui 2√ 1 = −1. Ma<br />
in tutti e due i casi si ha:<br />
w = z 2<br />
(478)<br />
che è analitica e monodroma e quin<strong>di</strong><br />
dw 1 2<br />
dw<br />
= dz<br />
dw<br />
= 1<br />
dw<br />
dz<br />
= 1 1<br />
=<br />
2z 2 w− 1 2 = 1<br />
2 2√ w<br />
(479)<br />
come se si fosse <strong>di</strong>rettamente applicata la ben nota legge per le derivate <strong>del</strong>le<br />
potenze...<br />
Ma comunque la funzione derivata 1<br />
2 2√ w<br />
è polidroma...<br />
Remark 107 nota che la derivata non esiste nel punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione w = 0<br />
71
Exercise 108 <strong>di</strong>mostrare che<br />
Svolgimento:<br />
ora:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
d (ln(w))<br />
dw<br />
d (ln(w))<br />
dw<br />
= 1<br />
w<br />
(480)<br />
w = e z ↔ z = ln (w) (481)<br />
= df −1<br />
dw<br />
dw<br />
dz<br />
= ez<br />
= dz<br />
dw<br />
= 1<br />
dw<br />
dz<br />
= 1 1<br />
=<br />
ez w<br />
(482)<br />
(483)<br />
Remark 109 nota che la derivata non esiste nel punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione w = 0<br />
Exercise 110 nell’esercizio precedente che ruolo hanno il punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione<br />
e la polidromia <strong>del</strong> logaritmo?<br />
Exercise 111 si mostri che la derivata complessa gode anche <strong>del</strong>le altre proprietà<br />
<strong>del</strong>la derivata <strong>di</strong> una funzione a una variabile reale (derivata <strong>del</strong>la somma,<br />
regola <strong>di</strong> Leibniz)<br />
Exercise 112 Usando le regole <strong>di</strong> derivazioni calcolare le seguenti derivate,<br />
segnalando anche gli eventuali punti <strong>di</strong> non analiticità:<br />
1. w = (iz 3 − 3z + i)<br />
2. w = (z 2 + i) 3<br />
3. w = (z2 +i) 3<br />
iz 2 −1<br />
4. w = ie z2<br />
5. w = cos 2 (z 2 + i)<br />
6. w = 1<br />
cos(z)<br />
7. w = tan(z)<br />
Exercise 113 calcolare la derivata <strong>di</strong> w = z 1<br />
3 e <strong>di</strong> w = ln(iz) nel punto z =<br />
1 + i<br />
Exercise 114 mostrare che<br />
d<br />
1<br />
ln (f (z)) =<br />
dz f (z)<br />
Exercise 115 calcolare (se esistono!) i seguenti limiti<br />
72<br />
d<br />
f (z) (484)<br />
dz
1.<br />
2.<br />
1 − cos(z)<br />
lim<br />
z→0 z2 1 + z<br />
lim<br />
z→i<br />
6<br />
1 + z2 Exercise 116 calcolare le derivate <strong>del</strong>le seguenti funzioni (se esistono)<br />
1. w = 1+x2 −y 2 +2ixy<br />
y+ix<br />
2. w = 1+x2 +y 2 −2ixy<br />
y+ix<br />
3. w = e −x xy + cos(y) + i x 2 − y 2 + 2 sin(y) <br />
Exercise 117 mostrare se la derivabilità implica la continuità e il viceversa<br />
4.2<br />
4.3 Singolarità e loro classificazione<br />
(485)<br />
(486)<br />
I punti <strong>del</strong> piano complesso in cui una funzione w = f(z) è analitica si <strong>di</strong>cono<br />
punti regolari o or<strong>di</strong>nari <strong>del</strong>la funzione. I punti in cui non è analitica <strong>di</strong> <strong>di</strong>cono<br />
punti singolari o singolarità <strong>del</strong>la funzione. Tali punti possono essere isolati o<br />
non isolati. Il significato <strong>del</strong>la definizione è intuitivo:<br />
• un punto singolare è isolato se esiste un intorno <strong>del</strong> punto che non contiene<br />
altre singolarità <strong>del</strong>la funzione<br />
Ve<strong>di</strong>amo una rapida classificazione <strong>del</strong>le singolarità.<br />
<strong>La</strong> singolarità più ’innocua’ è quella ’eliminabile’:<br />
• <strong>di</strong>cesi singolarità eliminabile un punto z0 in cui la funzione non è definita<br />
ma esiste il limite<br />
lim f(z) = L (487)<br />
z→z0<br />
(ovviamente è eliminabile perchè si può definire una nuova funzione che<br />
coincida ovunque con quella originale e assuma in z0 il valore L <strong>del</strong> limite)<br />
Example 118 la funzione w = f(z) = sin(z)<br />
z ha una singolarità eliminabile in<br />
z = 0. Infatti<br />
sin(z)<br />
lim = 1 (488)<br />
z→0 z<br />
• se la funzione è polidroma i punti <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione sono singolarità <strong>del</strong>la<br />
funzione<br />
73
• un punto singolare z0 <strong>di</strong>cesi polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne n se<br />
lim (z − z0)<br />
z→z0<br />
n f(z) = L = 0 = ∞ (489)<br />
• un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne uno è detto polo semplice<br />
Example 119 la funzione<br />
1 − 3iz + z 3<br />
(z − i) 3 (z + 1)<br />
ha un polo semplice in z = −1 e un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3 in z = i (check!)<br />
(490)<br />
Remark 120 si potrebbe formalmente <strong>di</strong>re che una singolarità eliminabile è un<br />
polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne zero (giustificare!)<br />
• nel piano complesso espanso la eventuale singolarità all’infinito <strong>di</strong> una<br />
funzione f(z) va stu<strong>di</strong>ata usando il cambiamento <strong>di</strong> variabile<br />
z = 1<br />
ζ<br />
=⇒ z = ∞ ↔ ζ = 0 (491)<br />
Cioè f(z) nel punto all’infinito z = ∞ ’acquisisce’ il tipo <strong>di</strong> singolarità<br />
<strong>del</strong>la funzione f(ζ) in ζ = 0<br />
Example 121 la funzione<br />
<strong>di</strong>viene<br />
f(z) = z2 + 1<br />
z − 1<br />
f(ζ) = 1 ζ<br />
ζ<br />
2 + 1<br />
1 − ζ<br />
che ha un polo semplice in ζ = 0 : quin<strong>di</strong> f(z) ha un polo semplice in z = ∞<br />
(492)<br />
(493)<br />
• <strong>di</strong>cesi singolarità essenziale un punto singolare che non sia nè <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione<br />
nè un polo nè eliminabile<br />
Example 122 la funzione w = f(z) = e 1<br />
z ha una singolarità essenziale in<br />
z = 0. infatti la funzione non è definita né ha limite in zero che d’altronde non<br />
è un punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione. Potrebbe essere un polo? Cambiamo variabile<br />
z = 1<br />
ζ → f(ζ) = eζ = 1 + ζ + ζ2 ζ3<br />
+ + ... (494)<br />
2! 3!<br />
cioè<br />
f(z) = 1 + 1 1 1<br />
+ + + ...<br />
z 2!z2 3!z3 (495)<br />
Ci si convince facilmente che non esiste nessun n (finito) tale che<br />
lim z<br />
z→z0<br />
n f(z) = L = 0 = ∞ (496)<br />
74
Remark 123 solo a livello ’informale’, potremmo <strong>di</strong>re che z = 0 è un polo <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne infinito...<br />
Exercise 124 In<strong>di</strong>care che tipo <strong>di</strong> singolarità hanno le seguenti funzioni nel<br />
piano complesso (considerando possibilmente anche il punto all’infinito)<br />
z (z + i)<br />
a) ; b)1 − z + iz<br />
z − i<br />
2 − z 5 1<br />
; c)<br />
z + iz2 ; d) − 3iez (z − 1)<br />
; f)<br />
3<br />
(z + 1) (z − 2)<br />
(497)<br />
1<br />
1<br />
g) ; h)<br />
(498)<br />
sin(z) 1 − cos(z)<br />
Svolgimento:<br />
a) la funzione ha un polo semplice in z = i . Per vedere in z = ∞ stu<strong>di</strong>amo<br />
<br />
1 1<br />
ζ ζ + i (ζ − i)<br />
= −1<br />
(499)<br />
− i ζ (ζ + i)<br />
in ζ = 0. Evidentemente ha un polo semplice.<br />
h) usando la serie <strong>di</strong> Taylor si ha<br />
1<br />
ζ<br />
1<br />
1 − cos(z) =<br />
= 1<br />
z 2<br />
1 − 1 − z2<br />
2!<br />
1<br />
1<br />
1 z2<br />
2! − 4! + z4<br />
z4 + 4! + z6<br />
(500)<br />
e quin<strong>di</strong> siamo in presenza <strong>di</strong> un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 2 in z = 0.<br />
....................<br />
4.4 Analiticità e ’armonia’<br />
Ricor<strong>di</strong>amo (dallo stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le funzioni reali a N variabili reali):<br />
(501)<br />
Definition 125 <strong>di</strong>cesi funzione armonica ogni soluzione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place<br />
ove<br />
e l’operatore <strong>La</strong>placiano ∆ è dato da<br />
∆ψ = 0 (502)<br />
ψ = ψ (x1, x2, ..., xN) , xk ∈ R (503)<br />
∆ = N<br />
∂ 2<br />
k=1 ∂2xk 75<br />
(504)
Remark 126 Le funzioni armoniche giuocano un ruolo molto importante nella<br />
Fisica.<br />
Nel piano (N = 2) esse sono dunque soluzione <strong>di</strong><br />
ψ xx + ψ yy = 0 (505)<br />
ove abbiamo usato (come faremo spesso in seguito) la notazione abbreviata (ve<strong>di</strong><br />
424) per le derivate parziali.<br />
Dimostreremo ora un importante legame tra funzioni armoniche e funzioni<br />
analitiche.<br />
Theorem 127 Due funzioni reali <strong>di</strong> due variabili reali (u(x, y), v(x, y)) costituiscono<br />
la parte reale (immaginaria) <strong>di</strong> una funzione analitica se e solo se sono<br />
armoniche:<br />
{∆u = 0, ∆v = 0, } ⇐⇒ w = u + iv = f(z) (506)<br />
Proof.<br />
• Proviamo dapprima la ’necessità’:<br />
w = u + iv = f(z) =⇒ {∆u = 0, ∆v = 0, } (507)<br />
cioè: se una funzione è analitica allora sia la sua parte reale sia la sua parte<br />
immaginaria sono armoniche. Ma se la funzione è analitica allora esistono le<br />
derivate prime parziali <strong>di</strong> u, v (e sono anche continue) e inoltre valgono le CR:<br />
Derivando ulteriormente abbiamo<br />
QED<br />
ux = vy<br />
uy = −vx<br />
uxx = vxy<br />
uyx = vyy<br />
uxy = −vxx<br />
uyy = −vyx<br />
e quin<strong>di</strong> abbiamo (da 510+513 e da 511-512):<br />
(508)<br />
(509)<br />
(510)<br />
(511)<br />
(512)<br />
(513)<br />
uxx + uyy = 0 (514)<br />
vxx + vyy = 0 (515)<br />
76
• Proviamo ora la ’sufficienza’:<br />
Anzi: proviamo che data una funzione armonica u (x, y) (oppure v (x, y))<br />
allora esiste ed è determinata (a meno <strong>di</strong> una costante) una funzione v (x, y)<br />
(oppure u (x, y)) tale che w = u + iv è analitica.<br />
Consideriamo solo il caso in cui conosciamo la parte reale u (x, y) (armonica!)<br />
e mostriamo come costruire, a meno <strong>di</strong> una costante, la parte immaginaria<br />
v (x, y) <strong>del</strong>la funzione analitica w = u + iv (allo studente lo sviluppo analogo<br />
<strong>del</strong>l’altro caso).<br />
Sappiamo quin<strong>di</strong> per ipotesi che<br />
Costruiamo la forma <strong>di</strong>fferenziale<br />
∆u = uxx + uyy = 0 (516)<br />
Φd = −uydx + uxdy (517)<br />
(ovviamente dall’ipotesi le derivate parziali ux, uy esistono... sono anche<br />
continue?)<br />
Ora dall’analisi sappiamo che se sono tale forma è un <strong>di</strong>fferenziale esatto se<br />
sono verificate le Con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> Schwartz:<br />
(−uy) y = (ux) x<br />
(518)<br />
Ma la con<strong>di</strong>zione sopra è verificata per ipotesi (armonicità <strong>del</strong>l u). Ergo Φd<br />
è il <strong>di</strong>fferenziale esatto <strong>di</strong> una qualche funzione a due variabili che chiameremo<br />
v (x, y) :<br />
dv = −uydx + uxdy (519)<br />
. Ma se conosciamo il <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> una funzione allora la funzione è determinabile<br />
(a meno <strong>di</strong> una costante c ). Infatti siccome il <strong>di</strong>fferenziale (esatto) è<br />
l’operatore inverso <strong>del</strong>l’Integrale (a meno <strong>di</strong> una costante) abbiamo<br />
<br />
c + dv = v (520)<br />
o anche<br />
v (x, y) = c +<br />
(x,y) <br />
(x0,y0),Γ<br />
dv =<br />
(x,y) <br />
(x0,y0),Γ<br />
(−uy (x ′ , y ′ ) dx ′ + ux (x ′ , y ′ ) dy ′ ) (521)<br />
dove l’integrale <strong>di</strong> linea è calcolato lungo una qualsiasi curva Γ che partendo<br />
da un punto arbitrariamente pre-scelto (x0, y0) porti al punto generico (x, y) .<br />
L’in<strong>di</strong>pendenza <strong>del</strong>l’integrale dal cammino Γ è dovuta proprio al fatto che<br />
l’integrando è un <strong>di</strong>fferenziale esatto. Il punto <strong>di</strong> partenza (x0, y0) può essere<br />
scelto arbitrariamente ma una volta scelto è chiaro che<br />
c = v (x0, y0) (522)<br />
77
ok, abbiamo costruito (a meno <strong>di</strong> una costante) una funzione v (x, y) partendo<br />
dalla conoscenza <strong>del</strong>la funzione u (x, y) (armonica!). Ora costruiamo la<br />
funzione complessa<br />
w = u + iv (523)<br />
Tale funzione è analitica?<br />
Ovviamente sì, dato che abbiamo implicitamente imposto la vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>le<br />
CR. Infatti abbiamo visto che<br />
dv = −uydx + uxdy (524)<br />
ma sappiamo dall’analisi che il <strong>di</strong>fferenziale <strong>di</strong> una funzione <strong>di</strong> due variabili è<br />
e quin<strong>di</strong>, confrontando, devono valere le CR.<br />
QED<br />
dv = vxdx + vydy (525)<br />
Remark 128 Benchè il cammino Γ sia arbitrario, è chiaro che una scelta oculata<br />
<strong>del</strong>lo stesso può facilitare i conti... (ve<strong>di</strong> successivi esercizi).<br />
Exercise 129 Determinare se le seguenti funzioni reali (in due variabili reali)<br />
costituiscono la parte reale <strong>di</strong> una funzione analitica e, in caso positivo, determinare<br />
la parte immaginaria e scrivere quin<strong>di</strong> la funzione analitica in termini<br />
<strong>del</strong>la variabile complessa<br />
1. u(x, y) = xy<br />
2. u(x, y) = x<br />
y<br />
3. u(x, y) = x + y<br />
4. u(x, y) = x 2 + y 2<br />
5. u(x, y) = x 2 − y 2<br />
6. u(x, y) = cos(x 2 − y 2 )<br />
7. u(x, y) = e 2y sin(2x)<br />
8. u(x, y) = e y cos(2x)<br />
9. u(x, y) = sin(x) cosh(y)<br />
10. u(x, y) = e −x (x sin(y) − y cos(y))<br />
Svolgimento:<br />
5) u(x, y) = x 2 − y 2<br />
78
• ve<strong>di</strong>amo se è armonica<br />
ux = 2x, uy = −2y (526)<br />
uxx = 2 = −uyy<br />
quin<strong>di</strong> OK, posso costruire la parte immaginaria.<br />
• Uso la 521:<br />
v (x, y) = c+<br />
(527)<br />
(x,y) <br />
(−uy (x<br />
(x0,y0),Γ<br />
′ , y ′ ) dx ′ + ux (x ′ , y ′ ) dy ′ ) = c+<br />
(x,y) <br />
(2y<br />
(x0,y0),Γ<br />
′ dx ′ + 2x ′ dy ′ )<br />
(528)<br />
Devo scegliere un cammino: spesso la scelta più semplice è la linea da (x0, y0)<br />
a (x, y0) e poi da (x, y0) a (x, y) .nel primo tratto avrò dunque<br />
e quin<strong>di</strong><br />
nel secondo tratto<br />
(x,y0) <br />
(x0,y0)<br />
(x,y) <br />
(x,y0)<br />
y ′ = y0 =⇒ dy ′ = 0 (529)<br />
(2y0dx ′ ′ x<br />
) = 2y0 x ⌋ = 2y0 (x − x0) (530)<br />
x0<br />
x ′ = x =⇒ dx ′ = 0 (531)<br />
(2xdy ′ ) = 2x y ′ ⌋ y y0<br />
quin<strong>di</strong> sommando i due contributi<br />
ovviamente<br />
= 2xy − 2xy0<br />
v (x, y) = c + 2xy − 2xy0 + 2xy0 − 2x0y0 = c + 2xy − 2x0y0<br />
(532)<br />
(533)<br />
v (x0y0) = c (534)<br />
Per esercizio constatiamo che lo stesso risultato si raggiunge seguendo un<br />
altro cammino. Prenderemo ora la retta che va da (x0, y0) a (x, y) :<br />
con<br />
allora<br />
y ′ = ax ′ + b; dy ′ = adx ′<br />
a =<br />
x<br />
v (x, y) = c +<br />
y − y0<br />
; b = y0 − ax0<br />
x − x0<br />
x0<br />
(535)<br />
(536)<br />
(2 (ax ′ + b) dx ′ + 2x ′ (adx ′ )) (537)<br />
Si lascia allo studente la verifica. Si consiglia <strong>di</strong> provare per esercizio ad usare<br />
altre curve per il cammino.<br />
79
• modo alternativo (forse più semplice?):<br />
Sappiamo che<br />
ma allora devono valere<br />
vx = −uy = 2y; vy = ux = 2x (538)<br />
v (x, y) = x<br />
v (x, y) =<br />
x0<br />
y<br />
y0<br />
vx (x ′ , y) dx ′ + α (y) + k1<br />
vy (x, y ′ ) dy ′ + β (x) + k2<br />
(539)<br />
(540)<br />
ove le funzioni α (y) , β (x) sono funzioni per ora arbitrarie <strong>del</strong> loro argomento e<br />
k1, k2 sono costanti numeriche arbitrarie.<br />
Quin<strong>di</strong> abbiamo<br />
ma anche<br />
v (x, y) = x<br />
2ydx ′ + α (y) + k1 = 2xy − 2x0y + α (y) + k1<br />
v (x, y) =<br />
x0<br />
y<br />
2xdy ′ + β (x) + k2 = 2xy − 2y0x + β (x) + k2<br />
y0<br />
(541)<br />
(542)<br />
confrontando (cioè imponendo l’uguaglianza dei due risultati apparentemente<br />
<strong>di</strong>versi) si fissano le funzioni finora arbitrarie<br />
−2x0y + α (y) = 0 = −2y0x + β (x) ; k1 = k2 = v (x0y0) − 2x0y0<br />
(543)<br />
Remark 130 lo studente dovrebbe già avere incontrato problemi analoghi, a.e.<br />
nella ricostruzione <strong>del</strong> potenziale dalla conoscenza <strong>del</strong>le componenti <strong>di</strong> una forza<br />
conservativa.<br />
• funzione in termini <strong>di</strong> z<br />
Dunque abbiamo la parte reale u(x, y) = x 2 − y 2 e la parte immaginaria<br />
v (x, y) = 2xy + k. <strong>La</strong> funzione analitica è<br />
w = x 2 − y 2 + i (2xy + k) (544)<br />
Scriviamola in termini <strong>di</strong> z : tutti avranno indovinato (potevano farlo dall’inizio)<br />
ma tuttavia controlliamo usando le 378,379<br />
<br />
z + ¯z<br />
w =<br />
2<br />
2<br />
<br />
z − ¯z<br />
−<br />
2i<br />
2<br />
che non <strong>di</strong>pende da ¯z e quin<strong>di</strong> è analitica<br />
<br />
+ i k +<br />
z + ¯z<br />
2<br />
<br />
z − ¯z<br />
2i<br />
(545)<br />
w = z 2 + costante (546)<br />
80
––––––––––––––––––—<br />
I mo<strong>di</strong> illustrati e nella <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong> teorema e nello svolgimento <strong>del</strong><br />
precedente esercizio sono effettivi ma te<strong>di</strong>osi. In realtà esistono mo<strong>di</strong> più rapi<strong>di</strong><br />
(scorciatoie) per ricostruire una funzione analitica dalla conoscenza <strong>del</strong>la sua<br />
parte reale (o immaginaria). Ovviamente prima bisogna accertare l’armonicità<br />
<strong>del</strong>la supposta parte reale/immaginaria oppure a posteriori verificare che la<br />
funzione analitica ricostruita abbia effettivamente le giuste proprietà...)<br />
• Scorciatoie:<br />
Supponiamo <strong>di</strong> aver verificato l’armonicità <strong>di</strong> u(x, y) = x 2 − y 2 . Allora sappiamo<br />
che esiste una funzione analitica e quin<strong>di</strong> derivabile con u(x, y) = x 2 − y 2<br />
come parte reale (funzione definita a meno <strong>di</strong> una costante ad<strong>di</strong>tiva numerica)<br />
Dalla 433 sappiamo anche che a.e.<br />
Usando le CR scriviamo<br />
w ′ = fx = ux + ivx<br />
(547)<br />
w ′ = ux(x, y) − iuy(x, y) (548)<br />
ma la u è nota e così anche le derivate parziali, quin<strong>di</strong><br />
w ′ = 2x − i(−2y) = 2x + i2y (549)<br />
Ora passiamo alle variabili complesse usando le 378,379 (e sapendo già a priori<br />
che otterremo una funzione solo in z... in realtà non lo abbiamo ancora <strong>di</strong>mostrato<br />
ma abbiamo premesso che <strong>di</strong>mostreremo che se una funzione è derivabile<br />
nel complesso è ivi derivabile indefinitamente: cioè la derivata <strong>di</strong> una<br />
funzione analitica è analitica)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
w ′ = f ′ (z) = 2z (550)<br />
w = f ′ (z)dz + k = z 2 + k (551)<br />
Notare che, come deve essere (giustificare!)<br />
In effetti<br />
w ′ = f ′ (z) = ux(z, 0) − iuy(z, 0) (552)<br />
w ′ = 2z − i(0) (553)<br />
Quin<strong>di</strong> bastava calcolare le derivate prime <strong>di</strong> u per ricostruire rapidamente<br />
la f ′ (z) e dopo per ’normale’ integrazione la f(z).<br />
Exercise 131 investigare tutte le ’varianti’ <strong>di</strong> quanto sopra detto<br />
81
Exercise 132 <strong>di</strong>mostrare in generale che se w = u(x, y) + iv(x, y) è analitica<br />
allora<br />
w = f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = u(0, z z<br />
) + iv(0, )<br />
i i<br />
(554)<br />
Come preannunciato si può fare uso imme<strong>di</strong>atamente <strong>di</strong> questa scorciatoia<br />
per vedere a posteriori se siamo arrivati sani e salvi o siamo caduti da un <strong>di</strong>rupo.<br />
Proviamo con<br />
Exercise 133 trovare la funzione analitica con parte reale<br />
Svolgimento:<br />
cioè<br />
calcoliamo<br />
u(x, y) = e x (x cos(y) − y sin(y)) (555)<br />
ux = e x (x cos(y) − y sin(y)) + e x cos(y) (556)<br />
uy = −e x x sin(y) − e x sin(y) − e x y cos(y) (557)<br />
Applichiamo tentativamente la 552:<br />
da cui per integrazione<br />
w ′ = f ′ (z) = ux(z, 0) − iuy(z, 0) = (558)<br />
e z (z cos(0) − 0 sin(0)) + e z cos(0) + (559)<br />
−i (−e z z sin(0) − e z sin(0) − e z 0 cos(0)) (560)<br />
w ′ = f ′ (z) = ze z + e z<br />
(561)<br />
w = f(z) = ze z + k (562)<br />
e’ andata bene!<br />
check: la parte reale <strong>di</strong> tale funzione è effettivamente (a meno <strong>di</strong> costanti)<br />
u(x, y) = e x (x cos(y) − y sin(y))<br />
Exercise 134 trovare la funzione analitica con parte reale<br />
Svolgimento:<br />
allora<br />
e quin<strong>di</strong> sarebbe<br />
u(x, y) = x 2 + y 2<br />
(563)<br />
ux = 2x; uy = 2y (564)<br />
w ′ = f ′ (z) = ux(z, 0) − iuy(z, 0) = 2z − i(0) = 2z (565)<br />
w = f ′ (z)dz + k = z 2 + k (566)<br />
MA E’ ANDATA MALE!<br />
check: la parte reale <strong>di</strong> z 2 è Re z 2 = x 2 −y 2 = u(x, y). Ergo la u proposta<br />
non era armonica! (check!)<br />
82
Problem 135 esiste una scorciatoia ancora più ripida (che non passa nemmeno<br />
attraverso le derivate):<br />
Giustificare!<br />
w = f(z) = 2u( z<br />
2<br />
, −iz<br />
2<br />
) = 2iv(z<br />
2<br />
Exercise 136 usando la 567 rifare l’esercizio 133<br />
Svolgimento:<br />
per la formula <strong>di</strong> Eulero<br />
, −iz ) (567)<br />
2<br />
u(x, y) = e x (x cos(y) − y sin(y)) =⇒ (568)<br />
f(z) = 2e z <br />
z<br />
2<br />
2 cos<br />
<br />
−i z<br />
<br />
+ i<br />
2<br />
z<br />
2 sin<br />
<br />
−i z<br />
<br />
(569)<br />
2<br />
= ze z <br />
2 cos −i z<br />
<br />
+ i sin −i<br />
2<br />
z<br />
<br />
(570)<br />
2<br />
f(z) = ze z z i(−i 2 e 2) (571)<br />
= ze z<br />
(572)<br />
....................................................................<br />
<strong>La</strong> stessa definizione <strong>di</strong> analiticità e poi le CR già facevano chiaramente<br />
intendere che la parte reale e la parte immaginaria <strong>di</strong> una funzione analitica<br />
non possono essere in<strong>di</strong>pendenti... il teorema precedente ci <strong>di</strong>ce che in realtà la<br />
conoscenza <strong>di</strong> una <strong>del</strong>le due è praticamente sufficiente per conoscere l’altra. E<br />
quin<strong>di</strong>, mentre in generale le funzioni sono la collezione <strong>di</strong> DUE funzioni reali <strong>di</strong><br />
due variabili reali, le funzioni analitiche sono costituite in pratica da UNA sola<br />
funzione reale <strong>di</strong> due variabili reali...<br />
Gli esercizi e i remarks ci hanno offerto utili scorciatoie per la ricostruzione<br />
<strong>di</strong> una funzione analitica complessa da dati parziali. Il teorema successivo ci<br />
fornisce un’ulteriore bella e importante proprietà geometrica <strong>di</strong> una funzione<br />
analitica.<br />
Theorem 137 Sia data la funzione analitica<br />
Consideriamo<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) (573)<br />
u(x, y) = k1<br />
v(x, y) = k2<br />
(574)<br />
(575)<br />
Al variare dei parametri reali k1, k2 le equazioni precedenti descrivono due famiglie<br />
<strong>di</strong> curve nel piano. Queste due famiglie sono ortogonali (cioè ogni curva <strong>del</strong>la<br />
prima famiglia è ortogonale ad ogni curva <strong>del</strong>la seconda famiglia)<br />
83
O<br />
u(x,y)=k1 v(x,y)=k2<br />
φ2<br />
φ<br />
Figure 10:<br />
φ1<br />
Proof. Si scelgano due particolari curve (fissando i parametri)<br />
Differenziamo:<br />
u(x, y) = ˜ k1<br />
v(x, y) = ˜ k2<br />
ma allora (’<strong>di</strong>videndo’ 578 per dx...)<br />
(576)<br />
(577)<br />
du(x, y) = uxdx + uydy = d ˜ k1 = 0 (578)<br />
dv(x, y) = vxdx + vydy = d ˜ k2 = 0 (579)<br />
dy<br />
dx = −ux(x, y)<br />
uy(x, y)<br />
(580)<br />
e ricor<strong>di</strong>amo che questa è l’espressione <strong>del</strong>la tangente alla curva u(x, y) (ve<strong>di</strong><br />
figura):<br />
tan (φ1) = − ux(x, y)<br />
(581)<br />
uy(x, y)<br />
Analogamente<br />
tan (φ 2 ) = − vx(x, y)<br />
vy(x, y)<br />
e ovviamente l’angolo tra le tangenti alle curve è<br />
φ = φ 1 − φ 2<br />
84<br />
(582)<br />
(583)
Allora<br />
Ma, usando le CR, abbiamo<br />
e quin<strong>di</strong><br />
tan (φ) = tan (φ 1 − φ 2) = tan (φ 1) − tan (φ 2)<br />
1 + tan (φ 1) tan (φ 2)<br />
tan (φ) =<br />
ux<br />
uy<br />
vx<br />
vy<br />
− vy vx<br />
1 − vy vx<br />
vx vy<br />
= − vy<br />
vx<br />
= ∞ =⇒ φ = π<br />
2<br />
(584)<br />
(585)<br />
(586)<br />
QED<br />
Ovviamente tutto ciò dovrebbe essere familiare ai Fisici... Infatti consideriamo<br />
per il momento la fisica bi<strong>di</strong>mensionale (nel piano) ed interpretiamo u (x, y)<br />
come un potenziale. Allora u(x, y) = k1 sono le ’superfici’ (ma nel piano sono<br />
curve...) equipotenziali legate al campo <strong>di</strong> forza conservativo<br />
F = ∇u ≡ (F1 (x, y) , F2 (x, y)) ≡ (ux, uy) (587)<br />
Ora chie<strong>di</strong>amoci quali sono le linee <strong>di</strong> forza <strong>di</strong> tale campo (cioè le linee tali<br />
che in ogni punto il vettore forza è tangente alla linea stessa - sono dette anche<br />
linee <strong>di</strong> campo, o <strong>di</strong> corrente, o <strong>di</strong> flusso...). Ovviamente presa la retta tangente<br />
in un punto <strong>di</strong> tale linea, la tangente trigonometrica <strong>del</strong>l’angolo φ formato dalla<br />
tangente geometrica con l’asse <strong>del</strong>le x è:<br />
Ma usando le CR<br />
tan(φ) = F2<br />
F1<br />
= uy<br />
ux<br />
tan(φ) = − vx<br />
vy<br />
(588)<br />
(589)<br />
e quin<strong>di</strong>, dalla 582, audemus <strong>di</strong>cere che se la parte reale <strong>di</strong> una funzione analitica<br />
rappresenta il potenziale <strong>di</strong> un campo conservativo allora la parte immaginaria<br />
rappresenta le linee <strong>di</strong> forza <strong>di</strong> tale campo (e viceversa). Dovrebbe essere arcinoto<br />
che le linee <strong>di</strong> forza sono ortogonali alle ’superfici’ equipotenziali (se lo<br />
studente rimanesse perplesso, consideri il lavoro fatto da una eventuale componente<br />
<strong>del</strong>la forza tangente alla ’superficie’ equipotenziale’).<br />
Exercise 138 trovare la famiglia <strong>del</strong>le curve ortogonali a<br />
1. xy = k<br />
2. xy(x 2 − y 2 ) = k<br />
3. r 2 cos(2θ) = k<br />
L’analisi complessa può essere impiegata anche per risolvere problemi in<br />
campo reale... ad esempio per risolvere un’equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place non-omogenea.<br />
Ve<strong>di</strong> i seguenti esercizi.<br />
85
Exercise 139 mostrare che il lapaciano ∆ = ∂2<br />
∂2x coor<strong>di</strong>nate complesse come<br />
e<br />
Svolgimento:<br />
Dalle 443 , 444 abbiamo<br />
e quin<strong>di</strong>, sommando, la tesi.<br />
∆ = 4 ∂2<br />
∂z∂¯z<br />
+ ∂2<br />
∂ 2 y<br />
può essere scritto in<br />
(590)<br />
∂xx = (∂z + ∂¯z) (∂z + ∂¯z) (591)<br />
= ∂zz + ∂¯z¯z + 2∂z¯z (592)<br />
∂yy = i (∂z − ∂¯z) i (∂z − ∂¯z) (593)<br />
= − (∂zz + ∂¯z¯z − 2∂z¯z) (594)<br />
Exercise 140 usare il risultato <strong>del</strong>l’esercizio precedente per risolvere l’equazione<br />
<strong>di</strong>fferenziale (equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place non-omogenea)<br />
Svolgimento:<br />
∆f (x, y) = 8(x + y) (595)<br />
passiamo alle coor<strong>di</strong>nate complesse<br />
4 ∂2<br />
<br />
z + ¯z − ¯z<br />
f (z, ¯z) = 8 − iz = 4 [(1 − i) z + (1 + i) ¯z] (596)<br />
∂z∂¯z 2 2<br />
allora integrando rispetto a z (e tenendo ¯z costante) abbiamo<br />
∂<br />
z2<br />
f (z, ¯z) = (1 − i) + (1 + i) ¯zz + ˜g(¯z) (597)<br />
∂¯z 2<br />
dove la ˜g(¯z) è una funzione arbitraria <strong>del</strong> suo argomento (dovuta al fatto che<br />
abbiamo ’invertito’ una derivata parziale... allo studente converrebbe sempre<br />
fare dei check dei risultati parziali: ad esempio ora si calcoli la derivata parziale<br />
rispetto a z <strong>del</strong>la 597 per riottenere la 596)<br />
Ora integriamo la 597 rispetto a ¯z (e tenendo z costante)<br />
f (z, ¯z) = (1 − i) z2¯z 2 + (1 + i) ¯z2 z<br />
+ g(¯z) + h(z) (598)<br />
2<br />
ove le funzioni h e g (che è l’integrale <strong>di</strong> ˜g(¯z)) sono funzioni arbitrarie <strong>del</strong> loro<br />
argomento. Abbiamo quin<strong>di</strong> la soluzione particolare <strong>del</strong>la equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place<br />
non-omogenea<br />
˜f (z, ¯z) = (1 − i) z2¯z 2 + (1 + i) ¯z2 z<br />
(599)<br />
2<br />
86
più la soluzione generale <strong>del</strong>l’omogenea<br />
ˆf (z, ¯z) = g(¯z) + h(z) (600)<br />
Possiamo ora tornare alle coor<strong>di</strong>nate cartesiane per avere la soluzione (particolare)<br />
<strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place originaria in campo reale<br />
<br />
˜f<br />
z + ¯z − ¯z<br />
(x, y) = z¯z − iz =<br />
2 2<br />
x 2 + y 2 (x + y) (601)<br />
Exercise 141 verificare che la 599 è effettivamente reale (come deve essere).<br />
Exercise 142 verificare che la 601 è effettivamente soluzione <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong><br />
<strong>La</strong>place <strong>di</strong> partenza.<br />
Problem 143 dall’esercizio precedente sembrerebbe che la funzione generale armonica,<br />
cioè la soluzione generale <strong>del</strong>l’equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place omogenea, sia<br />
∆f = 0 =⇒ f(x, y) = g(x − iy) + h(x + iy) (602)<br />
ove h e g sono funzioni arbitrarie <strong>del</strong> loro argomento. Cioè<br />
f = g(z) + h(z) (603)<br />
Ma allora come si concilia tutto ciò con il terorema che <strong>di</strong>ce che sia la parte reale<br />
sia la parte immaginaria <strong>di</strong> una funzione analitica DEVONO essere armoniche<br />
? (la funzione generale armonica appare qui essere funzione sia <strong>di</strong> z che <strong>di</strong> z<br />
...). E ancora: se ho considerato l’equazione <strong>di</strong> <strong>La</strong>place omogenea in campo<br />
reale, come mai mi ritrovo una funzione complessa? Sfrugugliare con giu<strong>di</strong>zio...<br />
5 Integrazione complessa<br />
Partiamo, come al solito, tentando estensioni imme<strong>di</strong>ate al campo complesso<br />
<strong>del</strong>le conoscenze maturate nel campo reale. Data una curva (una linea) Γ nel<br />
piano complesso che congiunga i punti z0 e z1, ve<strong>di</strong>amo cosa significa<br />
ove<br />
z1 <br />
z0,Γ<br />
è una generica funzione complessa e ovviamente<br />
wdz (604)<br />
w = u (x, y) + iv(x, y (605)<br />
dz = dx + idy (606)<br />
87
Allora 604 è chiaramente<br />
z1 <br />
z0,Γ<br />
wdz =<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
Separando parte reale e parte immaginaria abbiamo:<br />
z1 <br />
z0,Γ<br />
wdz =<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[u (x, y) dx − v(x, y)dy] + i<br />
(u (x, y) + iv(x, y)) (dx + idy) (607)<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[v(x, y)dx + u (x, y) dy]<br />
(608)<br />
Quin<strong>di</strong>, in generale, un integrale nel piano complesso non è altro che la somma<br />
(complessa) <strong>di</strong> due integrali <strong>di</strong> linea reali. Come nel caso <strong>del</strong>la derivazione,<br />
sembrerebbe che tutta la teoria sia già nota e tutto sia riconducibile allo stu<strong>di</strong>o<br />
<strong>del</strong>le funzioni <strong>di</strong> due variabili complesse. Vedremo che l’esistenza <strong>del</strong>le funzioni<br />
analitiche cambia drasticamente le carte in tavola e incontreremo interessanti<br />
novità. Perintanto però la 608 permette <strong>di</strong> estendere al campo complesso tutta<br />
una serie <strong>di</strong> nozioni note in campo reale.<br />
5.1 Proprietà degli integrali<br />
1. <br />
wdz = − <br />
wdz (609)<br />
Γ<br />
ove con −Γ in<strong>di</strong>chiamo ovviamente la curva Γ percorsa in senso inverso<br />
(cioè da z1 a z0 ).<br />
2. <br />
(αw) dz = α <br />
wdz (610)<br />
ove α è una costante (complessa).<br />
Γ<br />
Γ<br />
3. <br />
(w + ˜w) dz = <br />
wdz + <br />
˜wdz (611)<br />
cioè, a parole, l’integrale <strong>del</strong>la somma è la somma degli integrali (ad<strong>di</strong>tività:<br />
unita alla precedente proprietà, fà <strong>del</strong>l’integrale un operatore lineare).<br />
4. <br />
(ad<strong>di</strong>tività sul percorso)<br />
Γ=Γ1+Γ2<br />
5. <br />
<br />
Γ<br />
wdz = <br />
Γ<br />
Γ1<br />
−Γ<br />
Γ<br />
Γ<br />
wdz + <br />
Γ2<br />
wdz (612)<br />
<br />
<br />
wdz<br />
≤<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
|w| dz<br />
≤ LM (613)<br />
ove L è la lunghezza <strong>del</strong>la curva Γ, mentre M è il massimo valore assunto<br />
dal modulo <strong>del</strong>la funzione w lungo la curva stessa.<br />
Γ<br />
88
Remark 144 lo studente può facilmente <strong>di</strong>mostrare le proprietà suddette che<br />
sono tuttavia intuitive se si si tiene presente il concetto ’naive’ <strong>del</strong>l’integrale<br />
come somma degli infiniti contributi <strong>del</strong>la funzione lungo il percorso (un pò più<br />
precisamente: spezzare il percorso Γ in N tratti <strong>di</strong> lunghezza ∆, moltiplicare<br />
un valore <strong>del</strong>la funzione nel tratto - uno qualsiasi - per ∆, sommare il tutto e<br />
considerare il limite per N → ∞, ∆ → 0, ma N∆ = L, la lunghezza <strong>del</strong>la curva)<br />
. Le rappresentazioni ’naive’ possono essere pericolose (a volte portano ad abbagli)<br />
ma non dovrebbero essere trascurate come mezzo euristico. Ad esempio<br />
la proprietà 613 <strong>di</strong>viene evidente: se invece <strong>del</strong>la funzione prendo il massimo<br />
<strong>del</strong> modulo ovviamente maggioro e siccome per ogni tratto devo sommare una<br />
costante (M) per la lunghezza <strong>del</strong> tratto avrò il massimo M per la lunghezza L<br />
<strong>del</strong>la curva.<br />
5.2 Integrali ’parametrici’<br />
Se la curva Γ è regolare (o regolare a tratti - ve<strong>di</strong> dopo) e ha equazioni parametriche<br />
allora<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[u (x, y) dx − v(x, y)dy] =<br />
x = φ(t) (614)<br />
y = ψ(t) (615)<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
(abbiamo ’<strong>di</strong>viso’ e ’moltiplicato’ per dt ...); e quin<strong>di</strong><br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[u (x, y) dx − v(x, y)dy] =<br />
Analogamente<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[v(x, y)dx + u (x, y) dy] =<br />
t1 <br />
t0<br />
t1 <br />
t0<br />
<br />
dt u (x, y) dx<br />
<br />
− v(x, y)dy<br />
dt dt<br />
(616)<br />
dt u (φ(t), ψ(t)) φ ′ (t) − v(φ(t), ψ(t))ψ ′ (t) <br />
(617)<br />
dt v (φ(t), ψ(t)) φ ′ (t) + u(φ(t), ψ(t))ψ ′ (t) <br />
(618)<br />
e quin<strong>di</strong> l’integrale complesso viene in pratica ricondotto ad un normale<br />
integrale reale <strong>di</strong> variabile reale (un altro modo per mostrare che le proprità<br />
classiche degli integrali valgono ancora in campo complesso).<br />
––––––––––-<br />
Exercise 145 calcolare<br />
z1 <br />
z0,Γ<br />
(¯z − i)dz (619)<br />
ove z0 = 0, z1 = 2 (1 − i) e la curva Γ è data in equazione cartesiana<br />
y 2 = 2x (620)<br />
89
Svolgimento:<br />
passiamo alla forma 608<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
[u (x, y) dx − v(x, y)dy] + i<br />
(2,−2) <br />
(0,0),Γ<br />
ma sulla curva<br />
e quin<strong>di</strong><br />
(−2) <br />
(0),Γ<br />
y 3<br />
w = ¯z − i = x − i(y + 1) (621)<br />
(x1,y1) <br />
(x0,y0),Γ<br />
(2,−2) <br />
[xdx − (y + 1)dy] + i<br />
2<br />
<br />
− (y + 1)<br />
y − y2<br />
2<br />
+ y4<br />
8<br />
(0,0),Γ<br />
[v(x, y)dx + u (x, y) dy] = (622)<br />
[(y + 1)dx + xdy] (623)<br />
x = y2<br />
; dx = ydy (624)<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
dy + i<br />
−2<br />
0<br />
(−2) <br />
(0),Γ<br />
+ i y2<br />
2<br />
<br />
+ y3<br />
2<br />
(y + 1)y + y2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
−2<br />
0<br />
<br />
dy = (625)<br />
= 4 + 6i (626)<br />
metodo alternativo:<br />
è chiaro che la curva può essere scritta in forma parametrica come<br />
y = t; x = t2<br />
2<br />
e il parametro corre da t0 = 0 a t1 = −2<br />
e quin<strong>di</strong> passiamo alla forma parametrica. Parte reale:<br />
t1 <br />
t0<br />
Parte immaginaria<br />
(627)<br />
dt u (φ(t), ψ(t)) φ ′ (t) − v(φ(t), ψ(t))ψ ′ (t) = (628)<br />
−2 <br />
0<br />
−2 <br />
0<br />
<br />
3 t<br />
dt − (t − 1) = 4 (629)<br />
2<br />
<br />
dt<br />
(t − 1) t + t2<br />
2<br />
<br />
= 6 (630)<br />
Exercise 146 provate a calcolare lo stesso integrale usando cammini <strong>di</strong>versi (vi<br />
aspettate lo stesso risultato?)<br />
Exercise 147 calcolare<br />
<br />
(z − z0) −1 dz; Γ ≡ |z − z0| = ρ (631)<br />
Svolgimento:<br />
Γ<br />
90
<strong>La</strong> linea Γ è quin<strong>di</strong> una linea chiusa ed è evidentemente il cerchio <strong>di</strong> centro<br />
z0 e raggio ρ. Conviene esprimerla in forma parametrica passando alle coor<strong>di</strong>nate<br />
polari (ma lo studente provi lo stesso a svolgere l’esercizio in coor<strong>di</strong>nate<br />
cartesiane)<br />
z − z0 = ρe iθ ; 0 ≤ θ < 2π (632)<br />
(in realtà potremmo usare θ0 ≤ θ < θ0 + 2π con θ0 arbitrario). Il parametro<br />
è quin<strong>di</strong> θ mentre ρ è ovviamente una costante e quin<strong>di</strong><br />
Perciò<br />
dz = iρe iθ dθ = i (z − z0) dθ (633)<br />
<br />
(z − z0) −1 dz = 2π <br />
(z − z0) −1 i (z − z0) dθ = i2π (634)<br />
Γ<br />
0<br />
Remark 148 notare che l’integrale NON <strong>di</strong>pende dal raggio <strong>del</strong> cerchio! in<br />
effetti <strong>di</strong>mostreremo che il suo valore è lo stesso per QUALSIASI curva chiusa<br />
Γ che abbia al suo interno z0 e sia percorsa una sola volta (in senso antiorario)<br />
5.3 Miscellanea<br />
Richiamiamo alcune definizioni e nozioni che, pur te<strong>di</strong>ose, sono necessarie.<br />
• una linea continua chiusa e semplice (cioè senza intersezioni) è detta curva<br />
<strong>di</strong> Jordan<br />
• una linea è detta regolare se la tangente è ben definita in ogni punto <strong>del</strong>la<br />
linea (a.e. una circonferenza)<br />
• una linea è detta regolare a tratti se può essere sud<strong>di</strong>visa in un numero<br />
(finito) <strong>di</strong> linee regolari (a.e. un poligono<br />
• una regione <strong>di</strong>cesi semplicemente connessa se qualsiasi linea chiusa completamente<br />
appartenente alla regione può essere deformata fino a ridursi<br />
ad un punto senza uscire dalla regione. Se questo non è possibile parliamo<br />
<strong>di</strong> regione multiplamente connessa. In altre parole immaginate <strong>di</strong> avere<br />
un cappio nella regione e <strong>di</strong> farlo in tutti i mo<strong>di</strong> possibili, se stringendo il<br />
cappio niente mai è impiccato... la regione è semplicemente connessa. In<br />
termini ancora più semplici non devono esserci ’buchi’: ve<strong>di</strong> la figura:<br />
• Una curva <strong>di</strong> Jordan <strong>di</strong>vide il piano in due regioni: una regione limitata che<br />
viene detta interno <strong>del</strong>la curva e l’altra illimitata che viene detta esterno<br />
<strong>del</strong>la curva (Teorema <strong>del</strong>la curva <strong>di</strong> Jordan). Si vede facilmente che<br />
la regione interna è semplicemente connessa e la curva <strong>di</strong> Jordan è la sua<br />
frontiera.<br />
91
Semplicemente connessa<br />
Figure 11:<br />
Multiplamente connessa<br />
• CONVENZIONE SUL VERSO DI PERCORRENZA DI UN CAMMINO<br />
CHIUSO: la frontiera <strong>di</strong> una regione è percorsa in senso (o verso) positivo<br />
se un camminatore su <strong>di</strong> essa vede sempre la regione alla sua sinistra<br />
. Notare che se la regione è semplicemente connessa la frontiera è una<br />
curva chiusa Γ che per la convenzione <strong>di</strong> sopra verrà percorsa in senso<br />
anti-orario. Se invece la regione è multiplamente connessa la frontiera Γ<br />
è una collezione <strong>di</strong> curve chiuse e le curve che <strong>del</strong>imitano i ’buchi’ sono<br />
percorse in senso orario (ve<strong>di</strong> figura). L’integrale lungo Γ (contorno <strong>di</strong><br />
una regione) è detto spesso integrale <strong>di</strong> contorno. e viene in<strong>di</strong>cato con<br />
<br />
(635)<br />
• Lemma <strong>di</strong> Gauss:<br />
Γ<br />
<br />
f(x, y)dx = − <br />
fy(x, y)dxdy (636)<br />
Γ<br />
{Γ}<br />
<br />
f(x, y)dy = <br />
fx(x, y)dxdy (637)<br />
Γ<br />
{Γ}<br />
ove con {Γ} in<strong>di</strong>chiamo la regione ℜ che ha per contorno Γ (e Γ è percorsa nel<br />
verso positivo)<br />
• Teorema <strong>di</strong> Green nel piano : è una conseguenza imme<strong>di</strong>ata <strong>del</strong> Lemma<br />
<strong>di</strong> Gauss<br />
<br />
[f(x, y)dx + g(x, y)dy] = <br />
[gx(x, y) − fy(x, y)] dxdy (638)<br />
Γ<br />
{Γ}<br />
92
Remark 149 Per la precisione: le funzioni coinvolte dovrebbero essere continue<br />
e avere derivate parziali prime continue sia in Γ sia nella regione {Γ} .<br />
• Forma complessa <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Green<br />
Consideriamo le trasformazioni <strong>di</strong> variabile (x, y) ↔ (z, ¯z) e le conseguenti<br />
espressioni per le derivate parziali. Allora (check!)<br />
<br />
Γ<br />
[f(x, y)dx + g(x, y)dy] = 1 <br />
{[F (z, ¯z) − iG (z, ¯z)] dz + [F (z, ¯z) + iG (z, ¯z)] d¯z} =<br />
2 Γ<br />
(639)<br />
= i <br />
{[F¯z (z, ¯z) − iG¯z (z, ¯z)] − [Fz (z, ¯z) + iGz (z, ¯z)]} dS (640)<br />
ove<br />
{Γ}<br />
<br />
<br />
z + ¯z z − ¯z<br />
z + ¯z z − ¯z<br />
F (z, ¯z) = f , ; G (z, ¯z) = g ,<br />
2 2i<br />
2 2i<br />
(641)<br />
e dS è l’elemento <strong>di</strong> superficie <strong>del</strong>la regione {Γ} (dxdy in coor<strong>di</strong>nate cartesiane).<br />
Quin<strong>di</strong>, ridefinendo le funzioni, abbiamo<br />
<br />
{A (z, ¯z) dz + B (z, ¯z) d¯z} = 2i <br />
{A¯z (z, ¯z) − Bz (z, ¯z)} dS (642)<br />
Γ<br />
{Γ}<br />
(con A, B funzioni continue e aventi derivate parziali prime continue sia in<br />
Γ sia nella regione ℜ = {Γ}).<br />
In particolare per B (z, ¯z) = 0 si ha<br />
<br />
A (z, ¯z) dz = 2i <br />
A¯z (z, ¯z) dS (643)<br />
Γ<br />
che è considerata in molti testi appunto la forma complessa <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong><br />
Green.<br />
• Aree in forma complessa<br />
Questa è un’utile aplicazione <strong>del</strong>la 642. Ovviamente l’area <strong>di</strong> una regione ℜ<br />
con contorno Γ è<br />
S = <br />
dS (644)<br />
Ora dalla 642<br />
con<br />
S = <br />
{Γ}<br />
Abbiamo quin<strong>di</strong> molte opzioni... a.e.<br />
{Γ}<br />
{Γ}<br />
dS = 1 <br />
{A (z, ¯z) dz + B (z, ¯z) d¯z} (645)<br />
2i Γ<br />
A¯z (z, ¯z) − Bz (z, ¯z) = 1 (646)<br />
B = 0; A = ¯z (647)<br />
93
che porta a<br />
Oppure<br />
che porta a<br />
Figure 12:<br />
A B<br />
S = 1 <br />
¯zdz (648)<br />
2i Γ<br />
B = − z ¯z<br />
; A =<br />
2 2<br />
(649)<br />
S = 1 <br />
(¯zdz − zd¯z) (650)<br />
4i Γ<br />
Potete investigare liberamente per forme alternative, magari ritornando infine<br />
alle coor<strong>di</strong>nate cartesiane.<br />
Exercise 150 mostrare che<br />
S = <br />
{Γ}<br />
dS = 1 <br />
(xdy − ydx) (651)<br />
2 Γ<br />
Exercise 151 supposto valido il teorema <strong>di</strong> Green per una regione semplicemente<br />
connessa <strong>di</strong>mostrare che è valido anche per una regione multiplamente<br />
connessa (Hint: tagliare dal ’buco’ al contorno esterno come in figura)<br />
94
Exercise 152 Calcolare l’area <strong>del</strong> cerchio <strong>di</strong> raggio R (!)<br />
quin<strong>di</strong><br />
Svolgimento: mettiamo il centro nell’origine e usiamo<br />
Ora dalla 648<br />
|z| 2 = z¯z = R 2<br />
¯z = R2<br />
z<br />
S = 1 <br />
¯zdz =<br />
2i Γ<br />
R2 1 R2 R2<br />
dz = ln(z) = ln (R) + iφ|φ=2π<br />
φ=0 = πR2<br />
2i Γ z 2i 2i<br />
(652)<br />
(653)<br />
(654)<br />
Exercise 153 calcolare <br />
|z| 2 dz (655)<br />
lungo il triangolo con vertici (−1, 0) , (1, 0) , (0, i)<br />
Γ<br />
<br />
¯z 2 dz (656)<br />
Γ<br />
Exercise 154 mostrare che il baricentro <strong>di</strong> una regione ℜ = {Γ} ha coor<strong>di</strong>nate<br />
complesse<br />
zB = − 1 <br />
z<br />
4iS Γ<br />
2 d¯z; ¯zB = 1 <br />
¯z<br />
4iS Γ<br />
2 dz; (657)<br />
(fisicamente il baricentro <strong>di</strong> una lamina omogenea ℜ)<br />
–––––––––––<br />
5.4 Integrazione e analiticità<br />
Quanto finora detto sull’integrazione nel piano complesso vale per qualsiasi funzione<br />
complessa (e ragionevole...). Tuttavia abbiamo prannunciato che per le<br />
funzioni analitiche troveremo particolari ed importanti risultati. Il primo è dato<br />
dal Teorema <strong>di</strong> Cauchy:<br />
Theorem 155 Sia la funzione<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) = f(z) (658)<br />
analitica in una regione <strong>di</strong> contorno Γ(contorno compreso) e sia la sua derivata<br />
w ′ = f ′ (z) = ux + ivx = vy − iuy<br />
(659)<br />
continua nella stessa regione (contorno compreso). Allora<br />
<br />
f(z)dz = 0 (660)<br />
Γ<br />
95
Proof. <strong>La</strong> prova è imme<strong>di</strong>ata. Dato che la funzione è analitica allora è continua<br />
e dato che la derivata per ipotesi è continua allora sono continue tutte le derivate<br />
parziali prime e quin<strong>di</strong> possiamo applicare il teorema <strong>di</strong> Green. Usiamo la forma<br />
cartesiana 638<br />
<br />
f(z)dz = <br />
[u(x, y) + iv(x, y)] (dx + idy) = (661)<br />
Γ<br />
Γ<br />
= <br />
(udx − vdy) + i <br />
(vdx + udy) = (662)<br />
Γ<br />
Γ<br />
= − <br />
(uy + vx) dxdy + i <br />
(ux − vy) dxdy (663)<br />
{Γ}<br />
ma la funzione è analitica, quin<strong>di</strong> per CR questi ultimi integrali sono nulli. QED<br />
.Si può provare il teorema ancora più rapidamente facendo uso <strong>del</strong>la versione<br />
complessa <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Green (ve<strong>di</strong> 643)<br />
<br />
f(z)dz = 2i <br />
f¯z (z) dS = 0 (664)<br />
QED.<br />
Γ<br />
{Γ}<br />
Il teorema è dovuto a Cauchy e fà uso <strong>di</strong> una con<strong>di</strong>zione apparentemente<br />
superflua cioè <strong>del</strong>la continuità <strong>del</strong>la derivata <strong>di</strong> una funzione analitica. Infatti<br />
abbiamo detto che ogni funzione analitica è infinitamente derivabile e quin<strong>di</strong><br />
tutte le derivate sono continue... epperò NON lo abbiamo ancora <strong>di</strong>mostrato!<br />
In effetti la con<strong>di</strong>zione è veramente superflua nel senso che si può <strong>di</strong>mostrare<br />
il teorema senza farne uso. Questa <strong>di</strong>mostrazione è dovuta a Goursat : non è<br />
<strong>di</strong>fficile ma te<strong>di</strong>osa e lasciamo allo studente interessato il compito <strong>di</strong> ritrovarla<br />
sui sacri testi. Noi ci limitiamo ad enunciare il teorema così semplificato che<br />
prende il nome <strong>di</strong> Teorema <strong>di</strong> Cauchy-Goursat (e nel seguito lo in<strong>di</strong>cheremo<br />
con teorema CG o semplicemente CG)<br />
Theorem 156 Sia la funzione<br />
{Γ}<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) = f(z) (665)<br />
analitica in una regione <strong>di</strong> contorno Γ(contorno compreso) . Allora<br />
<br />
f(z)dz = 0 (666)<br />
Γ<br />
Remark 157 dato che il teorema si basa sul teorema <strong>di</strong> Green e questo è valido<br />
anche per domini multiplamente connessi, allora il teorema stesso è valido per<br />
domini multiplamente connessi<br />
In soldoni il teorema <strong>di</strong>ce che l’integrale <strong>di</strong> contorno <strong>di</strong> una funzione analitica<br />
è nullo lungo qualsiasi curva chiusa posta nel dominio <strong>di</strong> analiticità <strong>del</strong>la<br />
funzione (semplicemente connesso) . Ovviamente quin<strong>di</strong> l’integrale <strong>di</strong> una funzione<br />
analitica da z0 a z1 NON <strong>di</strong>pende dal cammino (cioè è lo stesso qualunque<br />
96
z0<br />
Γ2<br />
Γ1<br />
Figure 13:<br />
siano i cammini usati per andare da z0 a z1, purchè tali cammini siano entro il<br />
dominio <strong>di</strong> analiticità <strong>del</strong>la funzione). <strong>La</strong> <strong>di</strong>mostrazione è classica e ovvia (ve<strong>di</strong><br />
figura)<br />
0 = <br />
Γ<br />
f(z)dz = z1 <br />
z0,Γ1<br />
f(z)dz + z0 <br />
z1,Γ2<br />
f(z)dz =⇒ z1 <br />
z0,Γ1<br />
z1<br />
f(z)dz = z1 <br />
z0,−Γ2<br />
f(z)dz<br />
(667)<br />
Tutto questo ci dovrebbe ricordare qualcosa... e in effetti il teorema <strong>di</strong><br />
Cauchy-Goursat implica che sia la parte reale sia la parte immaginaria <strong>di</strong><br />
sono <strong>di</strong>fferenziali esatti.<br />
wdz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) (668)<br />
Remark 158 per gli studenti matematicamente puntigliosi: la forma <strong>di</strong>fferenziale<br />
a(x, y)dx + b(x, y)dy (669)<br />
costituisce un <strong>di</strong>fferenziale esatto se il suo integrale <strong>di</strong> linea non <strong>di</strong>pende dal cammino...<br />
la con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente è che esista uba funzione φ(x, y)<br />
tale che<br />
a(x, y) = φx; b(x, y) = φy (670)<br />
e<br />
φ xy = φ yx<br />
(671)<br />
Problem 159 perchè non potevamo semplicemente <strong>di</strong>re che se w = f(z) è<br />
analitica allora per le con<strong>di</strong>zioni CR wdz è un <strong>di</strong>fferenziale esatto e quin<strong>di</strong> segue<br />
il teorema <strong>di</strong> Cauchy? cioè in sostanza era veramente necessario <strong>di</strong>mostrare il<br />
teorema CG?<br />
97
––––––––––––<br />
Possiamo ora ben definire la funzione primitiva W = F (z) <strong>di</strong> una funzione<br />
analitica w = f(z)<br />
W = F (z) = F (z0) + z<br />
f(z ′ )dz ′<br />
(672)<br />
ove nell’integrale è inutile in<strong>di</strong>care il cammino e il punto z0 può essere scelto<br />
arbitrariamente (entro il dominio <strong>di</strong> analiticità <strong>di</strong> f(z); d’altronde la primitiva<br />
è sempre definita a meno <strong>di</strong> una costante che viene appunto fissata scegliendo<br />
z0).In molti testi si <strong>di</strong>ce che F (z) (la primitiva) è l’integrale indefinito <strong>di</strong> f(z)<br />
z0<br />
F (z) = f(z)dz (673)<br />
(ovviamente, come nel caso reale, gli integrali indefiniti ’definiscono’ una funzione<br />
a meno <strong>di</strong> una costante...) Riassumendo possiamo <strong>di</strong>re che la primitiva<br />
gode <strong>del</strong>le seguenti proprietà<br />
F ′ = dF<br />
dz<br />
= f (674)<br />
(il che ovviamente <strong>di</strong>ce che la primitiva <strong>di</strong> una funzione analitica è analitica...)<br />
e inoltre<br />
β<br />
β<br />
f(z)dz = F ′ β<br />
(z)dz =<br />
α<br />
α<br />
α<br />
dF β<br />
dz = dF = F (z)|<br />
dz α<br />
β<br />
α = F (β) − F (α) (675)<br />
Ossia abbiamo nel campo complesso (ma limitatamente a funzioni analitiche!)<br />
proprietà ben note in campo reale (detto in termini <strong>di</strong>scorsivi: una funzione<br />
analitica, pur essendo nel piano complesso, si comporta come -e meglio <strong>di</strong>- una<br />
funzione <strong>di</strong> una sola variabile reale...cioè ha tutte le proprietà <strong>di</strong> tale funzione<br />
più qualcosa).<br />
Un’altra conseguenza degna <strong>di</strong> nota <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Cauchy-Goursat è nel<br />
seguente teorema:<br />
Theorem 160 Siano Γ1 e Γ2 due curve <strong>di</strong> Jordan e sia Γ2 nella regione interna<br />
<strong>di</strong> Γ1.Allora se w = f(z) è analitica nella regione tra Γ1 e Γ2 abbiamo<br />
<br />
f(z)dz = <br />
f(z)dz (676)<br />
Proof. <strong>di</strong>amo uno sguardo alla figura<br />
<strong>La</strong> tesi <strong>di</strong>ce che dobbiamo <strong>di</strong>mostrare<br />
<br />
f(z)dz = <br />
f(z)dz =⇒ <br />
Γ1<br />
Γ1<br />
Γ2<br />
Γ2<br />
Γ1−Γ2<br />
f(z)dz = 0 (677)<br />
Ma Γ = Γ1 − Γ2 è il contorno <strong>di</strong> una regione multiplamente connessa (percorso<br />
giustamente nel verso positivo) in cui la funzione f(z) è per ipotesi analitica.<br />
Quin<strong>di</strong> per il teorema <strong>di</strong> Cauchy-Goursat l’integrale <strong>di</strong> contorno è effettivamente<br />
è nullo. QED.<br />
..................<br />
98
Figure 14:<br />
Γ2<br />
Exercise 161 estendere il risultato a regioni con più ’buchi’<br />
Γ1<br />
......................<br />
Dunque se dobbiamo calcolare l’integrale <strong>di</strong> una funzione analitica lungo un<br />
cammino chiuso possiamo impunemente cambiare il cammino e sceglierne uno<br />
a nostro piacimento (interno al primo e nella regione <strong>di</strong> analiticità). Questo ci<br />
fa sospettare che la conoscenza <strong>di</strong> una funzione analitica sul ’bordo’ implichi in<br />
qualche modo la conoscenza <strong>del</strong>la funzione all’interno. O, in altri termini e generalizzando,<br />
che una funzione analitica non possa avere valori arbitrariamente<br />
assegnati nel suo dominio ma tali valori siano necessariamente (e fortemente...)<br />
correlati tra loro. Ed è vero! Lo vedremo già (in parte) nella prossima sezione.<br />
Exercise 162 <strong>di</strong>mostrare la regola <strong>del</strong>la integrazione per parti nel campo complesso<br />
<br />
f(z)g ′ <br />
(z)dz = f(z)g(z) − f ′ (z)g(z)dz (678)<br />
Exercise 163 determinare le primitive <strong>del</strong>le seguenti funzioni<br />
1. 1<br />
z 2 +1<br />
2. ze iz<br />
3. z 2 sin(z)<br />
99
4. tan(3z − 1)<br />
Svolgimento:<br />
1) <strong>La</strong> funzione si può scrivere come<br />
1<br />
z 2 + 1 =<br />
1 i<br />
=<br />
(z + i) (z − i) 2<br />
<br />
1 1<br />
−<br />
(z + i) (z − i)<br />
allora la primitiva (a meno <strong>di</strong> una costante) è<br />
<br />
1<br />
z2 <br />
i<br />
dz =<br />
+ 1 2<br />
<br />
1 i<br />
−<br />
(z + i) 2<br />
1 i (z + i)<br />
= ln<br />
(z − i) 2 (z − i)<br />
(679)<br />
(680)<br />
ovviamente il dominio <strong>di</strong> anliticità è il piano complesso meno i punti ±i<br />
2) la funzione è analitica in tutto il piano, la primitiva è (a meno <strong>di</strong> costante)<br />
<br />
ze iz dz (681)<br />
Integriamo per parti, prendendo f(z) = z e g(z) = −ie iz ; (g ′ (z) = e iz ).Dalla<br />
678 abbiamo (check!)<br />
<br />
ze iz dz = −ize iz <br />
+ i<br />
Exercise 164 calcolare il seguente integrale<br />
(2,1) <br />
(0,0),Γ<br />
e iz dz = −ize iz + e iz = (1 − iz) e iz<br />
(682)<br />
e −y {[x cos (x) − y sin (x)] dx − [x sin (x) + y cos (x)] dy} (683)<br />
lungo il percorso Γ dato da<br />
4y 3 − x 2 y = 0 (684)<br />
Svolgimento:<br />
Lo studente provi pure a calcolare l’integrale <strong>di</strong> linea. Tuttavia l’integrale<br />
in questione non è altro che la parte reale <strong>di</strong> zeizdz, proposto nell’esecizio<br />
precedente, ed è in<strong>di</strong>pendente dal cammino. Abbiamo già la sua primitiva e<br />
quin<strong>di</strong> il risultato sarà<br />
<br />
Re (1 − iz) e iz 2+i<br />
<br />
= Re 0<br />
(2 − 2i) e −1+2i − 1 = (685)<br />
= Re (2 − 2i) e −1 (cos(2) + i sin(2)) − 1 = (686)<br />
= 2e −1 (cos(2) + sin(2)) − 1 (687)<br />
100
5.5 Formule integrali <strong>di</strong> Cauchy<br />
Il prossimo teorema e la sua successiva estensione sono a ragione considerati<br />
fondamentali nell’analisi complessa.<br />
Theorem 165 Sia w = f(z) una funzione analitica lungo una curva <strong>di</strong> Jordan<br />
Γ e nel suo interno (cioè nella regione semplicemente connessa ℜ = {Γ}). Allora<br />
per qualsiasi punto z interno a ℜ = {Γ} vale la seguente rappresentazione<br />
integrale <strong>di</strong> Cauchy <strong>del</strong>la funzione w = f(z) :<br />
Proof. la funzione<br />
Γ<br />
f(z) = 1<br />
i2π<br />
<br />
Γ<br />
g(ζ) = f(ζ)<br />
ζ − z<br />
f(ζ)<br />
dζ (688)<br />
ζ − z<br />
(689)<br />
è ovviamente analitica in ℜ = {Γ} salvo un punto <strong>di</strong> singolarità in ζ = z.Allora<br />
usiamo l’ultimo teorema <strong>del</strong>la sezione precedente<br />
<br />
<br />
f(ζ) f(ζ)<br />
dζ = dζ (690)<br />
ζ − z ζ − z<br />
scegliendo per Γε il cerchio <strong>di</strong> centro z e raggio ε (ovviamente ε sarà abbastanza<br />
piccolo in modo che Γε sia interno a Γ). Quin<strong>di</strong> su Γε abbiamo<br />
per cui<br />
Γ<br />
Γε<br />
ζ − z = εe iθ ; 0 ≤ θ < 2π (691)<br />
dζ = iεe iθ dθ = i (ζ − z) dθ (692)<br />
<br />
<br />
2π<br />
f(ζ) f(ζ)<br />
dζ = dζ = i f(z + εe<br />
ζ − z ζ − z iθ )dθ (693)<br />
Γε<br />
Ora pren<strong>di</strong>amo il limite <strong>del</strong>l’ultimo integrale per ε → 0, e teniamo in debito<br />
conto il fatto che<br />
lim<br />
ε→0 f(z + εeiθ ) = f(z) (694)<br />
essendo f analitica e quin<strong>di</strong> continua. Abbiamo infine<br />
QED<br />
..................................<br />
Γ<br />
0<br />
0<br />
<br />
2π<br />
f(ζ)<br />
dζ = if(z) dθ = i2πf(z) (695)<br />
ζ − z<br />
Remark 166 se z fosse esterno a Γ allora l’integrale <strong>di</strong> contorno sarebbe nullo<br />
per il teorema <strong>di</strong> Cauchy-Goursat<br />
101
Il seguente teorema (che include il precedente come caso speciale) può essere<br />
<strong>di</strong>mostrato per induzione. Noi lasceremo la <strong>di</strong>mostrazione allo studente<br />
interessato limitandoci all’enunciato:<br />
Theorem 167 Sia w = f(z) una funzione analitica lungo una curva <strong>di</strong> Jordan<br />
Γ e nel suo interno (cioè nella regione semplicemente connessa ℜ = {Γ}). Allora<br />
per qualsiasi punto z interno a ℜ = {Γ} esistono tutte le derivate successive <strong>di</strong><br />
f(z) e tali derivate ennesime sono date dalla seguente rappresentazione integrale<br />
<strong>di</strong> Cauchy<br />
f (n) (z) = n!<br />
<br />
i2π<br />
Γ<br />
f(ζ)<br />
n+1 dζ; n = 0, 1, 2, ... (696)<br />
(ζ − z)<br />
• Abbiamo in<strong>di</strong>cato con f (n) (z) la derivata ennesima <strong>di</strong> f(z).<br />
• Notare che per n = 0 si ottiene il risultato precedente.<br />
Dimostrazione:<br />
Lo <strong>di</strong>mostriamo per induzione. Supponiamo che 696 sia valido fino a n :<br />
ve<strong>di</strong>amo ora se è vero per n + 1. Dobbiamo quin<strong>di</strong> far vedere che<br />
Ma per definizione<br />
f (n+1) (z) =<br />
(n + 1)!<br />
i2π<br />
f (n+1) f<br />
(z) = lim<br />
∆z→0<br />
(n) (z + ∆z) − f (n) (z)<br />
∆z<br />
<br />
Γ<br />
f(ζ)<br />
n+2 dζ (697)<br />
(ζ − z)<br />
(698)<br />
Usando la 696 (per ipotesi vera) e varie proprietà dei limiti e degli integrali,<br />
abbiamo<br />
f (n+1) (z) = n!<br />
<br />
<br />
1 1<br />
1<br />
dζf(ζ) lim<br />
i2π<br />
∆z→0 ∆z<br />
n+1 −<br />
(ζ − z − ∆z) (ζ − z) n+1<br />
<br />
(699)<br />
Ora notiamo che<br />
e quin<strong>di</strong><br />
ma<br />
Γ<br />
f (n+1) (z) = n!<br />
<br />
i2π<br />
Γ<br />
1<br />
ζ − z − ∆z =<br />
1<br />
<br />
(ζ − z) 1 − ∆z<br />
(700)<br />
ζ−z<br />
⎛<br />
f(ζ) 1 ⎜ 1<br />
dζ n+1 lim ⎝<br />
(ζ − z) ∆z→0 ∆z<br />
1 − ∆z<br />
⎟<br />
n+1 − 1⎠<br />
(701)<br />
ζ−z<br />
1<br />
1 − ε = 1 + ε + ε 2<br />
102<br />
⎞<br />
(702)
e quin<strong>di</strong> per l’espansione binomiale<br />
Cioè<br />
n+1 1<br />
=<br />
1 − ε<br />
1 + ε + ε 2n+1 2<br />
= 1 + (n + 1) ε + ε <br />
f (n+1) (z) = n!<br />
<br />
i2π<br />
= n!<br />
i2π<br />
= (n + 1)!<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ)<br />
dζ n+1 lim<br />
(ζ − z)<br />
∆z→0<br />
f(ζ)<br />
dζ n+1 lim<br />
(ζ − z)<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ)<br />
dζ<br />
i2π (ζ − z) n+2<br />
Γ<br />
∆z→0<br />
⎛<br />
⎞<br />
(703)<br />
1 ⎜ 1<br />
⎝<br />
∆z<br />
1 − ∆z<br />
⎟<br />
n+1 − 1⎠<br />
(704)<br />
ζ−z<br />
<br />
1<br />
1 + (n + 1)<br />
∆z<br />
∆z<br />
<br />
− 1 + (∆z)2 (705)<br />
ζ − z<br />
Dato la 696 è vera per n = 0 abbiamo quin<strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrato che è vera per ogni<br />
n = 0, 1, 2, ...<br />
QED<br />
–––––––––<br />
I risultati dei due teoremi precedenti, ottenuti finora per regioni semplicemente<br />
connesse, possono essere estesi a regioni multiplamente connesse.<br />
Giustifichiamo questo claim per n = 0.Si proceda esattamente come nella<br />
prova <strong>del</strong> primo teorema <strong>di</strong> questa sezione: tutte le considerazioni rimangono<br />
valide (check!) salvo che Γ è ora il contorno <strong>del</strong>la regione multiplamente connessa<br />
cioè la somma <strong>del</strong> contorno ’esterno’ e dei contorni dei ’buchi’ (vale la<br />
solita convenzione sui versi <strong>di</strong> percorrenza).<br />
Remark 168 la rappresentazione per la derivata ennesima si ottiene dalla rappresentazione<br />
<strong>di</strong> Cauchy per la funzione "derivando sotto il segno <strong>di</strong> integrale"<br />
(anche se ora questo è integrale <strong>di</strong> contorno...):<br />
f (n) (z) = n!<br />
<br />
f(ζ) dn dn<br />
i2π<br />
n+1 dζ = f(z) =<br />
(ζ − z) dzn dz<br />
Γ<br />
n<br />
<br />
n<br />
1 f(ζ) 1 d<br />
dζ =<br />
i2π ζ − z i2π dz<br />
Γ<br />
Γ<br />
n<br />
(707)<br />
Nota bene (per i puristi! ) che questa NON è una <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong> teorema<br />
(nessuno ci autorizzava a ’passare’ la derivata sotto il segno <strong>di</strong> integrale...)<br />
Exercise 169 che<br />
d n<br />
dz n<br />
1<br />
ζ − z =<br />
(706)<br />
n!<br />
n+1 , n = 0, 1, 2, ... (708)<br />
(ζ − z)<br />
dovrebbe essere ovvio. Dimostriamolo comunque per induzione (un’altro esempio<br />
<strong>del</strong>la ’potenza’ <strong>del</strong>l’induzione!). Supponiamo che sia vero fino a n e ve<strong>di</strong>amo che<br />
103<br />
<br />
f(ζ)<br />
dζ<br />
ζ − z
è vero per n + 1<br />
QED<br />
d n+1<br />
dz n+1<br />
1<br />
ζ − z<br />
n d d<br />
=<br />
dz dzn <br />
1<br />
ζ − z<br />
= d<br />
dz<br />
= n! (n + 1)<br />
<br />
n!<br />
(ζ − z) n+1<br />
(ζ − z) n+2<br />
<br />
(709)<br />
(710)<br />
(711)<br />
In realtà le rappresentazioni integrali <strong>di</strong> Cauchy (pur importantissime) non<br />
sono certo le uniche rappresentazioni integrali possibili... anzi esistono molte<br />
rappresentazioni integrali già nel campo reale (e che possono utilmente essere<br />
estese al campo complesso). Citiamo solo le cosiddette formule integrali <strong>di</strong><br />
Poisson per il semipiano (senza <strong>di</strong>mostrazione):<br />
Theorem 170 se una funzione g (x, y) è armonica allora<br />
g (x, y) = 1<br />
π<br />
+∞<br />
−∞<br />
g (ξ, 0)<br />
Corollary 171 se una funzione f (z) è analitica allora<br />
f (z) = 1<br />
π<br />
+∞<br />
−∞<br />
(ξ − x) 2 dξ (712)<br />
+ y2 f (ξ)<br />
(ξ − x) 2 dξ (713)<br />
+ y2 Si lascia allo studente l’ovvia giustificazione <strong>di</strong> questo corollario.<br />
Ricapitolando: le formule integrali <strong>di</strong> Cauchy non solo ci <strong>di</strong>cono come ’(ri)costruire’<br />
il valore <strong>di</strong> una funzione analitica in un qualsiasi punto dalla conoscenza <strong>del</strong>la<br />
funzione stessa su una curva qualsiasi che includa il punto (purchè si resti nel<br />
dominio <strong>di</strong> analiticità) ma anche e soprattuto ci <strong>di</strong>cono che una funzione analitica<br />
è indefinitamente derivabile e quin<strong>di</strong> anche la derivata è analitica and<br />
so on. Ricordando che nella sezione precedente abbiamo mostrato dal teorema<br />
<strong>di</strong> Cauchy-Goursat che ogni funzione analitica ammette una primitiva che per<br />
definizione è analitica (ha derivata!) e quin<strong>di</strong> a sua volta avrà una primitiva<br />
che è analitica and so on... abbiamo quin<strong>di</strong> per ogni funzione analitica una<br />
catena infinita <strong>di</strong> funzioni analitiche fortemente legate tra loro (le derivate e<br />
le primitive). Questo non succede necessariamente con le funzioni <strong>di</strong> variabile<br />
reale.<br />
104
5.6 Teoremi connessi con la rappresentazione integrale <strong>di</strong><br />
Cauchy<br />
Un semplice e utile corollario <strong>del</strong> teorema 165 mostra come esprimere una funzione<br />
analitica in un punto tramite i valori assunti dalla funzione nelle vicinanze<br />
<strong>del</strong> punto.<br />
Theorem 172 se una funzione è analitica in una regione ℜ allora i suo valore<br />
in un punto z ∈ ℜ è la me<strong>di</strong>a dei valori assunti dalla funzione lungo un cerchio<br />
<strong>di</strong> arbitrario raggio ρ (purchè il cerchio sia incluso in ℜ)<br />
Proof. è imme<strong>di</strong>ata conseguenza <strong>del</strong>la rappresentazione integrale <strong>di</strong> Cauchy.<br />
Infatti<br />
f(z) = 1<br />
<br />
i2π<br />
f(ζ)<br />
dζ<br />
ζ − z<br />
(714)<br />
ma siamo su un cerchio <strong>di</strong> centro z e raggio ρ, per cui<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Γ<br />
ζ − z = ρe iθ ; 0 ≤ θ < 2π (715)<br />
dζ = iρe iθ dθ = i (ζ − z) dθ (716)<br />
f(z) = 1<br />
2π<br />
<br />
2π<br />
0<br />
f(z + ρe iθ )dθ (717)<br />
che è appunto la me<strong>di</strong>a dei valori assunti dalla funzione lungo il cerchio.<br />
Tale corollario <strong>del</strong> teorema 165 è detto Teorema <strong>del</strong>la me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> Gauss.<br />
Le rappresentazioni integrali <strong>di</strong> Cauchy e le loro conseguenze ci permettono<br />
anche <strong>di</strong> <strong>di</strong>mostrare facilmente il Teorema <strong>di</strong> Morera che può essere visto<br />
come l’inverso <strong>del</strong> teorema <strong>di</strong> Cauchy-Goursat (tale teorema può anche essere<br />
<strong>di</strong>mostrato in modo <strong>di</strong>verso, ma con la necessità <strong>di</strong> ipotesi più forti).<br />
Theorem 173 ( Morera) Sia w = f(z) continua in una regione ℜ semplicemente<br />
connessa <strong>del</strong> piano complesso e sia inoltre<br />
<br />
f(z)dz = 0 (718)<br />
Γ<br />
lungo QUALSIASI curva <strong>di</strong> Jordan Γ inclusa in ℜ. Allora w = f(z) è analitica<br />
in ℜ.<br />
Proof. <strong>di</strong>mostriamolo nel modo più <strong>di</strong>retto: la 718 implica l’in<strong>di</strong>pendenza dal<br />
cammino e l’esistenza <strong>di</strong> una primitiva analitica (ve<strong>di</strong> 672,674). Ma allora essendo<br />
f(z) la derivata <strong>di</strong> una funzione analitica è essa stessa derivabile e quin<strong>di</strong><br />
analitica (formule integrali <strong>di</strong> Cauchy)<br />
105
Exercise 174 che succede su una regione multiplamente connessa?<br />
........<br />
Una sorprendente proprietà <strong>del</strong>le funzioni analitiche è data dal seguente Teorema<br />
<strong>di</strong> Liouville<br />
Theorem 175 ( Liouville) Una funzione è analitica e limitata su tutto il piano<br />
complesso se e solo se è una costante<br />
Proof. Il ’se’ (la sufficienza) è banale. Proviamo il ’solo se’ (la necessità):<br />
pren<strong>di</strong>amo due punti arbitrari <strong>del</strong> piano complesso z1, z2 e un cerchio Γ <strong>di</strong><br />
raggio ρ > 2 |z2 − z1| e centro in z1. Per ipotesi la funzione è limitata e quin<strong>di</strong><br />
|f (z)| ≤ M. Usiamo le rappresentazioni integrali <strong>di</strong> Cauchy per f (z1) , f (z2) :<br />
<br />
1 f(ζ)<br />
f (z2) − f (z1) =<br />
dζ −<br />
i2π ζ − z2<br />
Γ<br />
1<br />
<br />
f(ζ)<br />
dζ = (719)<br />
i2π ζ − z1<br />
Γ<br />
= (z2<br />
<br />
− z1) f(ζ)<br />
dζ (720)<br />
i2π (ζ − z2) (ζ − z1)<br />
Γ<br />
Usiamo ora la 613 tenendo in conto che |ζ − z1| = ρ e |ζ − z2| = |ζ − z1 + z1 − z2| ≥<br />
ρ − |z2 − z1| ≥ ρ<br />
2<br />
|f (z2) − f (z1)| ≤ |z2 − z1| M2πρ<br />
2πρ ρ<br />
2<br />
= 2 |z2 − z1| M<br />
ρ<br />
(721)<br />
Ma le con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> analiticità e limitatezza valgono per ipotesi su tutto il piano<br />
complesso quin<strong>di</strong> possiamo passare al limite ρ −→ ∞. abbiamo perciò<br />
|f (z2) − f (z1)| = 0 =⇒ f (z2) = f (z1) = costante (722)<br />
QED<br />
Una prova più <strong>di</strong>retta si poteva dare usando la cosiddetta Disuguaglianza <strong>di</strong><br />
Cauchy la cui <strong>di</strong>mostrazione lasciamo allo studente volenteroso:<br />
f (n) (z) ≤ Mn!<br />
ρ n<br />
(723)<br />
valida nell’ipotesi che la funzione f(z) sia analitica e limitata in un cerchio <strong>di</strong><br />
raggio ρ e centro in z.<br />
Exercise 176 <strong>di</strong>mostrare il Teorema <strong>di</strong> Liouville usando la <strong>di</strong>suguaglianza <strong>di</strong><br />
Cauchy<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che una funzione analitica su tutto il piano complesso si <strong>di</strong>ce<br />
intera. Il teorema <strong>di</strong> Liouville ci <strong>di</strong>ce quin<strong>di</strong> che tutte le funzioni intere non<br />
106
anali (cioè non costanti) devono necessariamente <strong>di</strong>vergere per |z| −→ ∞ (al<br />
finito, essendo analitiche, sono limitate). Forse è utile anche ricordare che il<br />
punto all’infinito viene raggiunto da qualsiasi <strong>di</strong>rezione (sfera <strong>di</strong> Riemann!),<br />
quin<strong>di</strong> per non contrad<strong>di</strong>re il teorema basterà che la funzione intera <strong>di</strong>verga in<br />
qualche <strong>di</strong>rezione. Esempi <strong>di</strong> funzioni intere sono i polinomi, l’esponenziale, i<br />
seni, i coseni..<br />
Exercise 177 in che <strong>di</strong>rezione (lungo quale retta) <strong>di</strong>verge sin (z) ?<br />
Un’altra sorprendente proprietà <strong>del</strong>le funzioni analitiche è data dal seguente<br />
teorema detto <strong>del</strong> massimo modulo:<br />
Theorem 178 sia w = f(z) una funzione analitica non banale (cioè non costante)<br />
lungo una curva <strong>di</strong> Jordan Γ e nella regione ℜ = {Γ} . Allora il valore massimo<br />
<strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la funzione sarà assunto su Γ.<br />
Proof. <strong>di</strong>amo una prova qualitativa... (può essere facilmente resa rigorosa). Il<br />
teorema afferma che se una funzione è analitica nella regione ℜ il monte più alto<br />
deve essere al bordo <strong>di</strong> ℜ (spero che sia chiaro cosa intendo per monte). Anzi<br />
<strong>di</strong> più: all’interno <strong>di</strong> ℜ non può esservi nessuna cima isolata (perchè altrimenti<br />
potremmo prendere un sentiero tutto intorno alla cima (la cima è ove il modulo<br />
assume un massimo anche relativo) e varrebbero le con<strong>di</strong>zioni <strong>del</strong> teorema e<br />
quin<strong>di</strong> sul sentiero che è più in basso <strong>del</strong>la cima dovrebbero esserci dei punti<br />
più alti <strong>del</strong>la cima stessa... il che in soldoni vuol <strong>di</strong>re che in qualsiasi punto z<br />
interno a Γ deve esserci almeno un sentiero in salita in qualche <strong>di</strong>rezione. Questo<br />
è implicito nel teorema <strong>del</strong>la me<strong>di</strong>a <strong>di</strong> Gauss: infatti la 717 implica<br />
|f(z)| ≤ 1<br />
2π<br />
<br />
0<br />
2π<br />
<br />
iθ<br />
f(z + ρe ) dθ (724)<br />
Cioè in ogni punto il modulo non è superiore alla me<strong>di</strong>a dei moduli <strong>del</strong>la funzione<br />
su un cerchio intorno al punto. Ma se la funzione non è costante nel cerchio<br />
allora deve esistere un tratto <strong>di</strong> cerchio in cui il modulo è maggiore cioè un<br />
sentiero in salita (ovviamente esisterà anche un sentiero in <strong>di</strong>scesa, ve<strong>di</strong> dopo).<br />
Remark 179 se non avete apprezzato questo tipo <strong>di</strong> prova, lasciate perdere...<br />
o cambiate corso e vi iscrivete a matematica o trovatevi un buon amico matematico...<br />
E come preannunciato alla fine <strong>del</strong>la ’prova’ precedente vale anche il teorema<br />
<strong>del</strong> minimo modulo:<br />
Theorem 180 sia la w = f(z) = 0 una funzione analitica non banale (cioè<br />
non costante) lungo una curva <strong>di</strong> Jordan Γ e nella regione ℜ = {Γ} . Allora il<br />
valore minimo <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la funzione sarà assunto su Γ.<br />
107
Proof. se w = f(z) = 0 allora 1<br />
w<br />
è analitica in ℜ...<br />
Remark 181 in molti teoremi precedenti abbiamo ammesso per ipotesi che la<br />
funzione sia analitica nella regione E sul contorno. In realtà spesso questa ultima<br />
ipotesi può essere attenuata cioè basterebbe che la funzione fosse continua sul<br />
contorno (ma non ci occuperemo né preoccuperemo <strong>di</strong> ciò).<br />
Remark 182 abbiamo anche sempre implicitamente ammesso che le curve siano<br />
buone... <strong>di</strong> lunghezza limitata se circondano una regione limitata. Ma è ben noto<br />
che esistono linee <strong>di</strong> lunghezza infinita in una regione finita. Questo potrebbe<br />
occasionalmente causare eccezioni ed altri guai. Assumeremo quin<strong>di</strong> che tutte le<br />
curve considerate siano sempre <strong>di</strong> lunghezza finita in una regione finita .<br />
Exercise 183 calcolare i seguenti integrali lungo il cerchio unitario<br />
1. <br />
Γ<br />
2. <br />
Γ<br />
3. <br />
Γ<br />
4. <br />
Γ<br />
5. <br />
Γ<br />
6. <br />
Γ<br />
7. <br />
Γ<br />
1<br />
z−2 dz<br />
1<br />
z− 2 dz<br />
3<br />
z 5<br />
2iz−1 dz<br />
1<br />
(2z−1)(3iz−1) dz<br />
1<br />
(z−2) 2 (2iz−1) dz<br />
1<br />
(z−2)(2iz−1) 3 dz<br />
e iz<br />
z 13 dz<br />
1. provate a farlo <strong>di</strong>rettamente in qualche modo! (coor<strong>di</strong>nate cartesiane,<br />
polari, primitiva....). probabilmente incorrereste in qualche errore. Ovviamente<br />
invece è molto semplice alla luce dei teoremi precedenti. In effetti<br />
1<br />
la funzione integranda z−2 è analitica entro il cerchio unitario e quin<strong>di</strong><br />
l’integrale è zero (mai fare conti se si può evitarli!)<br />
2. Ora la funzione NON è analitica entro il cerchio unitario (ha un polo<br />
semplice in z = 2<br />
3 ). Epperò riconosciamo nell’integrale proposto la rappresentazione<br />
integrale <strong>di</strong> Cauchy (a meno <strong>di</strong> un fattore) <strong>del</strong>la funzione<br />
nel punto z = 2<br />
3 ... e quin<strong>di</strong><br />
<br />
Γ<br />
w = f (z) = 1 (725)<br />
1<br />
z − 2 dz = i2πf<br />
3<br />
108<br />
<br />
2<br />
= i2π (726)<br />
3
3. la funzione integranda <strong>di</strong> nuovo NON è analitica entro il cerchio unitario.<br />
tuttavia riscriviamo<br />
<br />
z<br />
Γ<br />
5 <br />
1 z<br />
dz =<br />
2iz − 1 2i<br />
Γ<br />
5<br />
z − 1<br />
(727)<br />
2i<br />
che riconosciamo come rappresentazione integrale <strong>di</strong> Cauchy (a meno <strong>di</strong><br />
un fattore) <strong>del</strong>la funzione<br />
nel punto z = 1<br />
2i e quin<strong>di</strong><br />
<br />
Γ<br />
4. riscriviamo:<br />
z5 <br />
1<br />
dz = i2πf<br />
2iz − 1 2i<br />
=<br />
e quin<strong>di</strong>...<br />
5. <strong>di</strong> nuovo la funzione<br />
Γ<br />
w = f (z) = 1<br />
2i z5<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
dz =<br />
(2z − 1) (3iz − 1) 6i<br />
Γ<br />
⎛<br />
<br />
1<br />
⎝<br />
3i − 2<br />
<br />
1<br />
dz 1 −<br />
z − 2<br />
Γ<br />
w = f (z) =<br />
(728)<br />
= i2π 1<br />
5 1<br />
= −<br />
2i 2i<br />
1<br />
iπ (729)<br />
32<br />
Γ<br />
1<br />
z − 1<br />
3i<br />
1<br />
(z − 2) 2<br />
è analitica entro il cerchio unitario, e quin<strong>di</strong>...<br />
1<br />
dz 1 1 = (730)<br />
z − 2 z − 3i<br />
⎞<br />
dz⎠<br />
(731)<br />
(732)<br />
6. ora abbiamo un polo <strong>del</strong> terzo or<strong>di</strong>ne entro il cerchio unitario<br />
<br />
1<br />
2i<br />
1<br />
(z − 2) z − 1<br />
3 dz<br />
2i<br />
(733)<br />
ma la funzione<br />
Γ<br />
f(z) =<br />
1<br />
2i (z − 2)<br />
(734)<br />
è analitica sempre dentro il cerchio.confrontiamo con la rappresentazione<br />
integrale <strong>di</strong> Cauchy per le derivate (la 696, riscritta con un leggero cambiamento<br />
<strong>di</strong> notazione)<br />
f (n) (ζ) = n!<br />
i2π<br />
109<br />
<br />
Γ<br />
f(z)<br />
n+1 dz (735)<br />
(z − ζ)
Identifichiamo<br />
<strong>La</strong> derivate <strong>di</strong> f(z)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
1<br />
2i<br />
Γ<br />
n = 2; f(z) =<br />
1 1<br />
; ζ =<br />
2i (z − 2) 2i<br />
f (1) 1<br />
= −<br />
2i (z − 2) 2 ; f (2) 1<br />
=<br />
i (z − 2) 3<br />
1<br />
(z − 2) z − 1<br />
3 dz =<br />
2i<br />
i2π<br />
2!<br />
1<br />
i (ζ − 2) 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
ζ= 1<br />
2i<br />
π<br />
= <br />
1<br />
2i − 2 3<br />
(736)<br />
(737)<br />
(738)<br />
7. la funzione integranda ha un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 13 entro il cerchio unitario...<br />
ma niente paura! proce<strong>di</strong>amo come nell’esercizio precedente identificando<br />
Ovviamente<br />
e quin<strong>di</strong><br />
n = 12; f(z) = e iz ; ζ = 0 (739)<br />
f (12) = (i) 12 e iz = e iz<br />
<br />
Γ<br />
eiz i2π<br />
dz =<br />
z13 12!<br />
(740)<br />
(741)<br />
Exercise 184 che succede se tutti i precedenti integrali vengono calcolati non<br />
più sul cerchio unitario ma sul cerchio ’trinitario’ (cioè centro nell’origine e<br />
raggio 3)?<br />
Dimostriamo ora un teorema importantissimo che non a caso va sotto il<br />
nome <strong>di</strong> Teorema fondamentale <strong>del</strong>l’Algebra:<br />
Theorem 185 ( fondamentale <strong>del</strong>l’algebra) Una equazione algebrica <strong>di</strong> grado<br />
n ≥ 1 ammette almeno una ra<strong>di</strong>ce (in campo complesso). Ovvero un polinomio<br />
<strong>di</strong> grado n ≥ 1 possiede almeno uno zero (in campo complesso).<br />
Proof. ricor<strong>di</strong>amo da 211,212 cosa è un’equazione algebrica <strong>di</strong> grado n<br />
Pn(z) = a0 + a1z + a2z 2 + ... + an−1z n−1 + anz n = 0; an = 0 (742)<br />
Ora ammettiamo per assurdo che non esista una ra<strong>di</strong>ce, cioè che il polinomio<br />
Pn(z) non si annulli mai. Ma allora la funzione<br />
f(z) = 1<br />
Pn(z)<br />
(743)<br />
è analitica su tutto il piano complesso ed è anche limitata (anzi |f(z)| −→<br />
|z|→∞ 0).<br />
Quin<strong>di</strong> per il teorema <strong>di</strong> Liouville tale funzione è costante epperciò il polinomio<br />
deve essere costante. Ma questo va contro l’ipotesi (n ≥ 1).QED.<br />
Il teorema ammette un imme<strong>di</strong>ato e importantissimo corollario:<br />
110
Corollary 186 Una equazione algebrica <strong>di</strong> grado n ≥ 1 ammette n ra<strong>di</strong>ci (in<br />
campo complesso e tenuto conto <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> molteplicità). Ovvero un polinomio<br />
<strong>di</strong> grado n ≥ 1 possiede sempre n zeri in campo complesso, eventualmente<br />
alcuni possono essere ripetuti.<br />
Proof. per il teorema fondamentale <strong>del</strong>l’algebra Pn(z) possiede almeno un zero,<br />
cioè esiste un numero complesso z1 tale che<br />
Pn(z1) = a0 + a1z1 + a2z 2 1 + ... + an−1z n−1<br />
1 + anz n 1 = 0 (744)<br />
Ma allora possiamo scrivere<br />
Quin<strong>di</strong><br />
Pn(z) = Pn(z) − Pn(z1) = (745)<br />
2 2 n−1 n−1<br />
a1 (z − z1) + a2 z − z1 + ... + an−1 z − z1 + an (z n − z n 1 (746) )<br />
Pn(z) = (z − z1) ˜Pn−1(z) (747)<br />
Ma anche il polinomio ˜Pn−1(z) , se n − 1 ≥ 1,deve avere uno zero (<strong>di</strong>ciamo z2,<br />
eventualmente coincidente con z1), e quin<strong>di</strong><br />
Iterando, segue la tesi.<br />
Pn(z) = (z − z1) (z − z2) ˆPn−2(z) (748)<br />
6 Serie in campo complesso<br />
Come già accennato a pag. 35 e seguenti, si possono tradurre nel campo complesso<br />
concetti e teoremi per le successioni e le serie già noti in campo reale. Una<br />
sintesi verrà data, per la convenienza <strong>del</strong>lo studente, nell’appen<strong>di</strong>ce A. Perintanto<br />
comunque lo studente dovrebbe rivedere concetti e teoremi riguardanti la<br />
convergenza, la convergenza assoluta, la convergenza uniforme e infine i criteri<br />
<strong>di</strong> convergenza per le serie.<br />
Per estensione dal campo reale scriviamo la serie <strong>di</strong> Taylor per una funzione<br />
complessa w = f(z)<br />
∞ f<br />
f(z) =<br />
(n) (z0)<br />
(z − z0)<br />
n!<br />
n<br />
(749)<br />
n=0<br />
ove abbiamo in<strong>di</strong>cato con f (n) (z0) la derivata ennesima in z0, convenendo<br />
che f (0) (z) = f(z)<br />
Tale serie è detta anche sviluppo <strong>di</strong> Taylor <strong>del</strong>la funzione f(z) (nel punto z0,<br />
se z0 = 0 allora si parla <strong>di</strong> serie <strong>di</strong> Maclaurin). <strong>La</strong> serie <strong>di</strong> Taylor converge<br />
ovviamente in z = z0 che in linea <strong>di</strong> principio potrebbe essere l’unico punto <strong>di</strong><br />
convergenza. Tuttavia essendo una serie <strong>di</strong> potenze se converge in altri punti<br />
111
allora convergerà all’interno <strong>di</strong> un cerchio <strong>di</strong> centro z0 e raggio R (che viene detto<br />
raggio <strong>di</strong> convergenza). Anzi si può <strong>di</strong>mostrare anche in campo complesso che<br />
una serie <strong>di</strong> potenze converge assolutamente e uniformemente in ogni regione<br />
all’interno <strong>del</strong> cerchio <strong>di</strong> convergenza.<br />
Questo è molto importante perchè (all’interno <strong>del</strong> cerchio <strong>di</strong> convergenza)<br />
allora è lecito:<br />
• cambiare l’or<strong>di</strong>ne dei termini <strong>del</strong>la serie (la nuova serie converge allo stesso<br />
valore)<br />
• sommare e/o moltiplicare due serie ottenendo una nuova serie (assolutamente<br />
convergente)<br />
• derivare termine a termine, cioè scambiare la somma con la derivata:<br />
d<br />
dz<br />
= d<br />
dz<br />
• integrare <br />
termine a termine, cioè scambiare la somma con l’integrale:<br />
=<br />
Γ<br />
Γ<br />
Una ben nota e importante serie <strong>di</strong> potenze è la serie geometrica<br />
∞<br />
n=0<br />
q n = 1<br />
; |q| < 1 (750)<br />
1 − q<br />
che converge entro il cerchio unitario (|q| < 1).<br />
<strong>La</strong> mera forma dei coefficienti <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> Taylor suggerisce uno stretto<br />
legame tra lo sviluppo <strong>di</strong>Taylor<br />
e le funzioni analitiche. In effetti è così. Mostreremo ora che una funzione<br />
analitica è sviluppabile in serie <strong>di</strong> Taylor e <strong>di</strong>scuteremo poi il raggio <strong>di</strong><br />
convergenza <strong>di</strong> tale serie.<br />
Sia dunque la funzione w = f(z) analitica su un contorno Γ e nella regione<br />
ℜ = {Γ}. Pren<strong>di</strong>amo un punto arbitrario z0 interno a tale regione e consideriamo<br />
un cerchio <strong>di</strong> centro z0 e <strong>di</strong> raggio R tale che tutto il cerchio sia incluso nella<br />
regione stessa. Pren<strong>di</strong>amo poi un arbitrario punto ζ <strong>del</strong> contorno Γ e un<br />
arbitrario punto z interno al cerchio (ve<strong>di</strong> figura 15 ove abbiamo per semplicità<br />
considerato una regione semplicemente connessa)<br />
Consideriamo la serie geometrica<br />
∞<br />
<br />
z − z0<br />
n=0<br />
ζ − z0<br />
n<br />
(751)<br />
E’ evidente, per costruzione, che per ogni valore <strong>di</strong> z e <strong>di</strong> ζ<br />
<br />
<br />
<br />
z − z0 <br />
<br />
ζ<br />
− z0<br />
< 1 (752)<br />
112
ζ<br />
z<br />
z0<br />
R<br />
Figure 15:<br />
e quin<strong>di</strong> (ve<strong>di</strong> 750) la serie 751 converge assolutamente e uniformemente<br />
∞<br />
<br />
z − z0<br />
n=0<br />
ζ − z0<br />
n<br />
=<br />
1<br />
1 − z−z0<br />
ζ−z0<br />
= ζ − z0<br />
ζ − z<br />
Γ<br />
(753)<br />
per ogni valore <strong>di</strong> z e <strong>di</strong> ζ. <strong>La</strong> assoluta e uniforme convergenza <strong>del</strong>la 753 ci<br />
permette <strong>di</strong> riscriverla come<br />
poi <strong>di</strong> moltiplicare per f(ζ)<br />
i2π<br />
1<br />
ζ − z =<br />
∞<br />
n=0<br />
1 f(ζ) 1<br />
=<br />
i2π ζ − z i2π<br />
(z − z0) n<br />
(ζ − z0) n+1<br />
∞ f(ζ) (z − z0) n<br />
n=0<br />
(ζ − z0) n+1<br />
e quin<strong>di</strong> <strong>di</strong> integrare su Γ<br />
<br />
1<br />
i2π<br />
Γ<br />
dζ f(ζ)<br />
<br />
1<br />
=<br />
ζ − z i2π<br />
Γ<br />
∞ f(ζ) (z − z0)<br />
dζ<br />
n=0<br />
n<br />
(ζ − z0) n+1<br />
e infine <strong>di</strong> scambiare la somma con l’integrale (nel lato destro sopra)<br />
<br />
1<br />
dζ<br />
i2π<br />
Γ<br />
f(ζ) 1<br />
=<br />
ζ − z i2π<br />
∞<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
<br />
Γ<br />
f(ζ)<br />
dζ<br />
(ζ − z0) n+1<br />
(754)<br />
(755)<br />
(756)<br />
(757)<br />
Ma per ipotesi la funzione è analitica in ℜ = {Γ} e quin<strong>di</strong> valgono le rappresentazioni<br />
integrali <strong>di</strong> Cauchy 696 che riconosciamo sia a sinistra che a destra<br />
113
<strong>del</strong>l’uguaglianza precedente. Otteniamo dunque<br />
∞ f<br />
f(z) =<br />
(n) (z0)<br />
(z − z0)<br />
n!<br />
n<br />
n=0<br />
(758)<br />
cioè lo sviluppo <strong>di</strong> Taylor per ogni z nel cerchio <strong>di</strong> raggio R e centro z0 incluso<br />
nella regione <strong>di</strong> analiticità. Quin<strong>di</strong> una funzione analitica è sviluppabile in serie<br />
<strong>di</strong> Taylor in un intorno <strong>di</strong> ogni suo punto <strong>di</strong> analiticità. Ma è vero anche il<br />
contrario... cioè la funzione analitica può essere definita da una serie <strong>di</strong> potenze<br />
convergente (approccio <strong>di</strong> Weierstrass)<br />
∞<br />
cn (z − z0) n<br />
n=0<br />
(759)<br />
Infatti, ammettendo che tale serie (con coefficienti cn complessi)e converga<br />
entro un cerchio <strong>di</strong> raggio R e centro z0 ( per ogni valore <strong>del</strong> ’parametro’ z<br />
entro il cerchio), allora definirà una funzione w = f(z)<br />
f(z) =<br />
∞<br />
cn (z − z0) n = c0 + c1 (z − z0) + c2 (z − z0) 2 + ... (760)<br />
n=0<br />
Tale funzione sarà analitica in accordo alla primitiva definizione <strong>di</strong> analiticità (la<br />
funzione <strong>di</strong>pende solo da z e non da ¯z). Ma c’è <strong>di</strong> più. Infatti, essendo la serie<br />
759 una serie <strong>di</strong> potenze per ipotesi convergente, la convergenza sarà assoluta e<br />
uniforme entro il cerchio <strong>di</strong> convergenza e questo ci permette <strong>di</strong> derivarla termine<br />
a termine. Quin<strong>di</strong> dalla 760 otteniamo<br />
Derivando la 760<br />
abbiamo<br />
c0 = f(z0) (761)<br />
f (1) (z) = c1 + 2c2 (z − z0) + 3c2 (z − z0) 2 + ... (762)<br />
e quin<strong>di</strong>, iterando, è facile vedere che<br />
c1 = f (1) (z0) (763)<br />
cn = f (n) (z0)<br />
n!<br />
(764)<br />
epperciò la 759, che definisce la funzione, è proprio la serie <strong>di</strong> Taylor <strong>del</strong>la<br />
funzione stessa (ve<strong>di</strong> 749). Ergo: analiticità <strong>di</strong> una funzione in un intorno e<br />
sviluppabilità in serie <strong>di</strong> Taylor sono concetti equivalenti. Abbiamo mostrato<br />
che una funzione analitica è sviluppabile in serie <strong>di</strong> Taylor in un cerchio intorno a<br />
qualsiasi punto <strong>di</strong> analiticità. Ovviamente il raggio <strong>di</strong> convergenza R0 <strong>del</strong>la serie<br />
per un dato z0 sarà pari alla <strong>di</strong>stanza <strong>di</strong> z0 dal più vicino punto singolare <strong>del</strong>la<br />
funzione (chiamiamolo zs, quin<strong>di</strong> R0 = |zs − z0|). In particolare se la funzione è<br />
intera e non ha quin<strong>di</strong> singolarità al finito allora è sviluppabile intorno a qualsiasi<br />
punto <strong>del</strong> piano complesso e la serie convergerà su tutto il piano complesso.<br />
114
Exercise 187 sviluppare w = cos(z) in serie <strong>di</strong> Taylor intorno a z0 = π<br />
4 e<br />
determinare il raggio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie<br />
Svolgimento: si può procedere in <strong>di</strong>versi mo<strong>di</strong>. Il più rapido consiste nel<br />
cambiamento <strong>di</strong> variabile<br />
ζ = z − z0 = z − π<br />
(765)<br />
4<br />
Allora w = cos(z) = cos ζ + π<br />
<br />
π<br />
π<br />
1<br />
4 = cos 4 cos (ζ)−sin 4 sin (ζ) = √2 (cos (ζ) − sin (ζ)) .<br />
Ma z0 = π<br />
4 → ζ0 = 0 e le serie <strong>di</strong> Maclaurin <strong>del</strong> seno e <strong>del</strong> coseno sono ben<br />
note... quin<strong>di</strong><br />
cos(z) = 1 √ (cos (ζ) − sin (ζ)) =<br />
2 1 <br />
√ 1 −<br />
2<br />
ζ2 ζ4 ζ3 ζ5<br />
+ ... − ζ + −<br />
2! 4! 3! 5! ...<br />
<br />
(766)<br />
Approfittando <strong>del</strong> fatto che le due serie sono assolutamente convergenti rimescoliamo<br />
le carte:<br />
cos(z) = 1<br />
<br />
√ 1 − ζ −<br />
2<br />
ζ2 ζ3 ζ4 ζ5<br />
+ + −<br />
2! 3! 4! 5! ...<br />
<br />
= (767)<br />
<br />
1<br />
<br />
√ 1 − z −<br />
2<br />
π<br />
<br />
<br />
π 2 <br />
π 3 <br />
π 4 <br />
π 5<br />
z − 4 z − 4 z − 4 z − 4<br />
− + + − ... (768)<br />
4 2! 3! 4! 5!<br />
Ovviamente si poteva partire <strong>di</strong>rettamente dalla definizione e calcolare le<br />
derivate successive <strong>del</strong>la funzione in z0 = π<br />
4 ottenendo lo stesso risultato (sperabilmente...<br />
check!). Siccome il coseno non ha singolarità al finito il raggio<br />
<strong>del</strong>la convergenza <strong>del</strong>la serie sarà infinito, cioè la serie converge su tutto il piano<br />
complesso.<br />
Exercise 188 sviluppare w = ln(1 + iz) in serie <strong>di</strong> Taylor intorno a z0 = 0 e<br />
determinare il raggio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie<br />
Svolgimento: calcoliamo le derivate:<br />
e quin<strong>di</strong><br />
f (0) (z) = ln(1 + iz) −→ f (0) (0) = 0 (769)<br />
f (1) (z) = +i (1 + iz) −1 −→ f (1) (0) = i (770)<br />
f (2) (z) = −i 2 (1 + iz) −2 −→ f (2) (0) = −i 2<br />
f (3) (z) = +2i 3 (1 + iz) −3 −→ f (3) (0) = +2i 3<br />
f (4) (z) = −3!i 4 (1 + iz) −4 −→ f (3) (0) = −3!i 4<br />
(771)<br />
(772)<br />
(773)<br />
.. (774)<br />
f (n) (z) = (−1) n−1 (n − 1)!i n (1 − z) −n −→ f (n) (0) = (−1) n−1 (n − 1)!i n ; n (775) > 0<br />
ln(1 + iz) =<br />
∞<br />
n=1<br />
(−1) n−1 i n<br />
n<br />
z n = iz + z2<br />
2<br />
115<br />
− iz3<br />
3<br />
− z4<br />
4<br />
+ iz5 ... (776)<br />
5
Abbiamo trovato lo sviluppo ma la funzione logaritmo è polidroma: implicitamente<br />
abbiamo scelto il ramo in cui f (0) (0) = 0. <strong>La</strong> serie converge fino alla<br />
singolarità (punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione data da 1 + iz = 0 cioè z = i che ovviamente<br />
è sul cerchio unitario. Si può mostrare che (eccettuata la singolarità) la serie<br />
converge anche sul cerchio unitario.<br />
Exercise 189 determinare i raggi <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>le serie <strong>di</strong> Maclaurin <strong>del</strong>le<br />
seguenti funzioni<br />
a)<br />
sin (2z)<br />
; b) e−z2 sinh(i + z); c)<br />
(z − 2i) (z + 3)<br />
z<br />
; (777)<br />
1 + ez Exercise 190 sviluppare le seguenti funzioni in serie <strong>di</strong> Maclaurin e determinare<br />
il raggio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>le serie:<br />
<br />
2z − i<br />
1 + z<br />
a) sin ; b) ln ; c) arctan(z); (778)<br />
1 − z<br />
1 − z<br />
Exercise 191 mostrare che lo sviluppo <strong>di</strong> Mclaurin <strong>di</strong> (1 + z) α è dato da<br />
(1 + z) α = 1 + αz +<br />
α (α − 1)<br />
z<br />
2!<br />
2 +<br />
e la serie converge entro il cerchio unitario.<br />
α (α − 1) (α − 2)<br />
z<br />
3!<br />
3 + ... (779)<br />
Remark 192 <strong>La</strong> formula 779 è detta formula binomiale. Interessanti sono i<br />
casi il caso α = N ≥ 1 e α = −1. Nel primo caso la serie termina a z N<br />
(1 + z) N N (N − 1)<br />
= 1+Nz+ z<br />
2!<br />
2 N (N − 1) (N − 2)<br />
+ z<br />
3!<br />
3 N (N − 1) .. (N − (N − 1))<br />
+... z<br />
3!<br />
N<br />
(780)<br />
e abbiamo lo sviluppo <strong>del</strong>la potenza <strong>di</strong> un binomio. Nel secondo caso<br />
1<br />
1 + z = 1 − z + z2 − z 3 + ...; |z| < 1 (781)<br />
Abbiamo detto che la serie <strong>di</strong> Taylor converge fino alla più vicina singolarità.<br />
Ma è notevole che se tale singolarità zs è isolata allora possiamo in qualche<br />
modo ’aggirarla’. Infatti ammettiamo <strong>di</strong> sviluppare la funzione in serie <strong>di</strong> Taylor<br />
intorno a un certo z0. Allora la serie, come già detto, converge entro il cerchio<br />
C0 con centro z0 che tocca zs . Ma, essendo la singolarità isolata, i punti vicini<br />
a zs anche se non appartenti al cerchio sono punti <strong>di</strong> anliticità <strong>del</strong>la funzione e<br />
possono essere raggiunti sviluppando <strong>di</strong> nuovo la funzione in un punto z1 entro<br />
il cerchio <strong>di</strong> raggio R0.<strong>La</strong> nuova serie infatti convergerà in un nuovo cerchio<br />
C1 <strong>di</strong> raggio R1 = |zs − z1| che avrà un intersezione non nulla con il cerchio<br />
precedente ma conterrà anche punti non appartenenti al cerchio precedente. Il<br />
proce<strong>di</strong>mento può essere iterato fino a ’circondare’ la singolarità isolata. Tale<br />
116
z0<br />
z1<br />
z2<br />
zs<br />
Figure 16:<br />
proce<strong>di</strong>mento va sotto il nome <strong>di</strong> prolungamento analitico e può essere forse più<br />
chiaramente compreso guardando la 16.<br />
Tale proce<strong>di</strong>mento ovviamente fallirebbe se invece <strong>di</strong> una singolarità isolata<br />
incontrassimo una vera e propria barriera <strong>di</strong> singolarità, cioè singolarità densamente<br />
<strong>di</strong>stribuite su una linea chiusa che circon<strong>di</strong> la zona <strong>di</strong> analiticità. Questo<br />
è improbabile ma non impossibile! Diamo un classico esempio. Consuderiamo<br />
la funzione w = f(z) definita dalla serie<br />
∞<br />
w = f(z) = z n!<br />
(782)<br />
<strong>La</strong> serie converge entro il cerchio unitario (e quin<strong>di</strong> la funzione è ivi ben definita<br />
e analitica). Infatti per un noto criterio <strong>di</strong> convergenza la serie converge se<br />
la serie dei moduli converge. Ma entro il cerchio unitario la serie dei moduli<br />
può essere chiaramente maggiorata da un serie geometrica ( che entro il cerchio<br />
unitario è convergente)<br />
∞<br />
|z| n! ∞<br />
< |z| n ; |z| < 1 (783)<br />
n=1<br />
n=1<br />
e quin<strong>di</strong>, per un altro noto criterio <strong>di</strong> convergenza la serie a sinistra converge.<br />
Ma che succede sul cerchio unitario? abbiamo sicuramente punti singolari, per<br />
esempio per z = 1 la serie 782 sicuramente <strong>di</strong>verge. Comunque a noi basterebbe<br />
un varco da cui passare, un intervallo comunque piccolo sul cerchio privo <strong>di</strong><br />
punti <strong>di</strong> singolarità. Ma non è così: infatti per tutti i numeri <strong>del</strong> tipo<br />
n=1<br />
z = e i2π k M (784)<br />
117
la serie 782 sicuramente non converge (dato che zn! k i2π = e M n! , e chiaramente,<br />
comunque si scelgano k e M , per n abbastanza grande sarà k<br />
M n! = N intero<br />
e quin<strong>di</strong> la serie conterrà la somma <strong>di</strong> infiniti uno...). Epperò sappiamo<br />
k i2π che e M sono le ra<strong>di</strong>ci M-sime <strong>del</strong>l’unità e giacciono equispaziate sul cerchio<br />
unitario. Dato che possiamo prendere M arbitrariamente grande allora in ogni<br />
intorno per quanto piccolo <strong>di</strong> un qualsiasi punto <strong>del</strong> cerchio unitario troveremo<br />
una ra<strong>di</strong>ce <strong>del</strong>l’unità. Ergo: la barriera è invalicabile (stranamente una barriera<br />
invalicabile, che è cosa rara, è detta barriera naturale). Ancora alcune considerazioni<br />
sul prolungamento analitico. Forse non è subito evidente che ad esempio<br />
la serie <strong>di</strong> Taylor che definisce la funzione analitica nel cerchio C0 <strong>di</strong> raggio R0<br />
centrato su z0, cioè<br />
∞ f (n) (z0)<br />
(z − z0)<br />
n!<br />
n<br />
(785)<br />
n=0<br />
è formalmente <strong>di</strong>versa dalla serie nel cerchio C1 <strong>di</strong> raggio R1 centrato su z1, cioè<br />
∞<br />
n=0<br />
f (n) (z1)<br />
n!<br />
(z − z1) n<br />
(786)<br />
Ma la funzione deve essere la stessa nonostante la <strong>di</strong>versità <strong>del</strong>la rappresentazione<br />
e non solo nell’intersezione dei due cerchi C0 ∩C1 ma ovunque possiamo<br />
giungere con il prolungamento analitico. Ci poniamo quin<strong>di</strong> il problema: partendo<br />
da z0 (o da un altro punto interno al cerchio C0 ove la funzione è definita<br />
dalla 785 ) e raggiungendo un generico punto z lungo un cammino Γ1(che attraversa<br />
una certa serie <strong>di</strong> <strong>di</strong>schi <strong>del</strong> prolungamento) otterremo un certo valore<br />
w <strong>di</strong> f(z) (se z fosse in C1 avremmo quello dato dalla serie 786) , se percorressimo<br />
invece un cammino <strong>di</strong>verso, <strong>di</strong>ciamo Γ1(che attraversa una <strong>di</strong>versa serie<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>schi <strong>del</strong> prolungamento) otterremo un valore ˜w <strong>di</strong>verso per f(z)?Ve<strong>di</strong>amo<br />
dalla Figura 17 cosa può succedere.<br />
<strong>La</strong> funzione w = f(z) è analitica in ℜ (l’unione dei <strong>di</strong>schi <strong>del</strong> prolungamento)<br />
e così la sua derivata w ′ = f ′ (z). Quin<strong>di</strong><br />
mentre<br />
<br />
w = f(z0) + f ′ (z)dz (787)<br />
Γ1<br />
<br />
˜w = f(z0) +<br />
Γ2<br />
f ′ (z)dz (788)<br />
Ma il teorema <strong>di</strong> Cauchy ci <strong>di</strong>ce che se all’interno <strong>del</strong> cammino chiuso Γ = Γ2 −<br />
Γ1non ci sono singolarità allora i due integrali a destra <strong>del</strong>le formule precedenti<br />
sono uguali e quin<strong>di</strong> ˜w = w.Ma se il prolungamento aveva circondato una (o più)<br />
singolarità allora l’integrale lungo Γ non è più necessariamente nullo e quin<strong>di</strong><br />
potremmo avere ˜w = w.Come mai? bene, la funzione sarebbe ancora analitica<br />
ma polidroma e facendo percorsi <strong>di</strong>versi saremmo finiti su rami <strong>di</strong>versi...<br />
In pratica basta che due funzioni analitiche monodrome coincidano su un<br />
tratto <strong>di</strong> curva appartenente all’intersezione dei dominii <strong>di</strong> analiticità affinchè<br />
118
z0<br />
Γ1<br />
Figure 17:<br />
si possa affermare che allora coincidono ovunque cioè sono la stessa funzione<br />
analitica sull’unione dei dominii.<br />
Exercise 193 giustificare!<br />
Exercise 194 mostrare che 1<br />
2+i<br />
∞<br />
n=0<br />
z−i<br />
2−i<br />
n z−i<br />
2−i<br />
∞<br />
n=0<br />
z<br />
Γ2<br />
n z+i<br />
1<br />
2+i è il prolungamento analitico <strong>di</strong> 2−i<br />
Svolgimento: la serie è ovviamente una serie geometrica <strong>di</strong> ’ragione’ q =<br />
<br />
e quin<strong>di</strong> converge all’interno <strong>del</strong> cerchio z−i<br />
<br />
<br />
= 1.Cioè<br />
2−i<br />
|z − i| = |2 − i| = √ 5 (789)<br />
che è il cerchio <strong>di</strong> raggio √ 5 e centro in i. <strong>La</strong> serie può essere sommata (ve<strong>di</strong><br />
750) per ogni z entro tale cerchio e quin<strong>di</strong><br />
analogamente<br />
1<br />
2 − i<br />
1<br />
2 + i<br />
∞<br />
n z − i<br />
=<br />
2 − i<br />
1 1<br />
2 − i 1 − z−i<br />
2−i<br />
n=0<br />
∞<br />
n z + i<br />
=<br />
2 + i<br />
1 1<br />
2 + i 1 − z+i<br />
2+i<br />
n=0<br />
119<br />
= 1<br />
2 − z<br />
= 1<br />
2 − z<br />
(790)<br />
(791)
Questa seconda serie converge nel cerchio <strong>di</strong> centro −i e raggio √ 5. Quin<strong>di</strong> il<br />
centro <strong>di</strong> questa serie è dentro il cerchio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la prima serie e le<br />
due serie coincidono nell’intersezione. Perciò sono il prolungamento analitico<br />
l’una <strong>del</strong>l’altra.<br />
Exercise 195 trovare un prolungamento analitico <strong>di</strong> f(z) =<br />
∞<br />
n=0<br />
z n<br />
5 n+1 che con-<br />
verga nel punto z = 4 − 3i e calcolare il valore assunto da tale prolungamento<br />
in questo punto.<br />
C’è ancora molto da <strong>di</strong>re sul prolungamento analitico ma ci torneremo in<br />
seguito.<br />
6.1 Serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent<br />
I questa sezione ci limiteremo a trattare funzioni con singolarità isolate e monodrome<br />
(se la funzione fosse polidroma dovremmo pensarla come ’monodromizzata’<br />
o attraverso la scelta <strong>di</strong> un ramo o passando alla superficie <strong>di</strong> Riemann).<br />
Remark 196 abbiamo già dato un esempio <strong>di</strong> barriera naturale (ve<strong>di</strong> 782 e<br />
seguenti) cioè una linea chiusa in cui le singolarità sono ’dense’. Funzioni con<br />
singolarità non isolate sono (relativamente) rare. Tuttavia esistono funzioni<br />
non ’esotiche’ che presentano addensamenti <strong>di</strong> singolarità (cioè singolarità non<br />
isolate). Per esempio si consideri<br />
1<br />
f(z) =<br />
sin <br />
1<br />
(792)<br />
z<br />
<strong>La</strong> funzione è ovviamente singolare in z = 0 (non è neanche definita) e per<br />
tutti i valori <strong>di</strong> z per cui sin <br />
1<br />
z = 0. Ma<br />
<br />
1<br />
sin =<br />
z<br />
e i<br />
i<br />
z − − e z<br />
(793)<br />
2i<br />
Quin<strong>di</strong><br />
sin<br />
e quin<strong>di</strong> la funzione è singolare per<br />
<br />
1<br />
= 0 → e<br />
z<br />
2i<br />
z = 1 = e i2kπ ; k = 0, ±1, ±2, ... (794)<br />
zk = 1<br />
, k = ±1, ±2, ... (795)<br />
kπ<br />
e quin<strong>di</strong> in ogni intorno comunque piccolo <strong>di</strong> z = 0 vi saranno (infiniti) punti<br />
<strong>di</strong> singolarità.<br />
Definiamo ora come dominio anulare la corona circolare {R1,2}<strong>di</strong> raggio<br />
interno R1e raggio esterno R2 centrata su un punto z0 (ve<strong>di</strong> 18) , contorno<br />
compreso.<br />
120
R2<br />
z0<br />
Figure 18:<br />
Si supponga ora che la funzione w = f(z) sia analitica e monodroma nel<br />
dominio anulare. <strong>La</strong> funzione potrebbe invece avere una singolarità isolata in z0:<br />
ma essendo comunque la eventuale singolarità in z0 isolata possiamo comunque<br />
trovare un dominio anulare <strong>di</strong> analiticità con R1 > 0 e R2 < |zs − z0| ove zs è<br />
la eventuale singolarità <strong>del</strong>la funzione più vicina a z0. Allora <strong>di</strong>mostreremo che<br />
la funzione ammette uno sviluppo in serie assolutamente convergente nel<br />
dominio anulare: tale sviluppo è detto sviluppo <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent ed è dato da<br />
f(z) =<br />
∞<br />
n=−∞<br />
R1<br />
an (z − z0) n ; z ∈ {R1,2} (796)<br />
con i coefficienti complessi an dati da<br />
an = 1<br />
<br />
i2π<br />
f(ζ)<br />
n+1 dζ; n = 0, ±1, ±2, ...<br />
(ζ − z0)<br />
(797)<br />
Γ<br />
ove Γ è una qualsiasi curva <strong>di</strong> Jordan appartenente al dominio anulare {R1,2}<br />
percorsa una sola volta nel verso positivo (antiorario) e tale da includere il<br />
punto z0 (ve<strong>di</strong> Figura 19).<br />
<strong>La</strong> serie ?? è detta serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent. Prima <strong>di</strong> provare quanto sopra detto,<br />
alcune considerazioni:<br />
• <strong>La</strong> serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent ?? potrebbe ’bloccarsi’ sia dalla parte <strong>del</strong>le potenze<br />
positive sia dalla parte <strong>del</strong>le potenze negative o da entrambi i lati (in questo<br />
ultimo caso sarebbe ancora uno ’sviluppo’ ma non più propriamente una<br />
serie)<br />
121
Γ<br />
R2<br />
z0<br />
Figure 19:<br />
• nel caso che tutti i coefficienti negativi fossero nulli la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent<br />
coinciderebbe con la serie <strong>di</strong> Taylor (ve<strong>di</strong> la forma dei coefficienti data da<br />
797; ovviamente in tal caso z0 non sarebbe un punto singolare)<br />
• viceversa se z0 non fosse un punto singolare allora i coefficienti negativi<br />
f(ζ) (ζ − z0) n−1 dζ; n = 1, 2, ...ma allora la fun-<br />
sarebbero a−n = 1<br />
i2π<br />
Γ<br />
zione f(ζ) (ζ − z0) n−1 entro l’integrale sarebbe analitica entro il contorno<br />
Γ e quin<strong>di</strong> per il teorema <strong>di</strong> Cauchy l’integrale (e tutti i coefficienti negativi)<br />
sarebbe zero.<br />
• se la serie si fermasse nella parte ’negativa’ per n = −N (N > 0) allora<br />
il punto z0 sarebbe un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N per la funzione . Infatti allora si<br />
avrebbe<br />
R1<br />
f(z) = a−N a−N+1<br />
+ N<br />
(z − z0) (z − z0) N+1 + ...a0 + a1 (z − z0) + ... (798)<br />
e quin<strong>di</strong> evidentemente<br />
lim (z − z0)<br />
z−→z0<br />
N f(z) = a−N<br />
epperciò per definizione (ve<strong>di</strong> 489) z0 sarebbe un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N<br />
(799)<br />
• se la serie non si ’blocca’ nella sua parte ’negativa’ (cioè se la serie parte<br />
effettivamente da −∞) allora è evidente che z0 , non essendo un punto<br />
<strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione (la funzione è monodroma) né un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne finito (e<br />
quin<strong>di</strong>, per estensione, neanche una singolarità eliminabile, ve<strong>di</strong> 120), deve<br />
essere una singolarità essenziale (un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne infinito, ve<strong>di</strong> 4.3,123 ).<br />
122
z<br />
Γ3<br />
z0<br />
Figure 20:<br />
• quella che abbiamo finora chiamato parte ’negativa’ <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent<br />
cioè<br />
f(z) =<br />
−1<br />
n=−∞<br />
Γ2<br />
an (z − z0) n<br />
Γ1<br />
(800)<br />
viene detta nei sacri testi parte principale <strong>del</strong>lo sviluppo <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent o anche<br />
parte singolare mentre la parte ’positiva’ è detta parte regolare<br />
Veniamo ora a provare la vali<strong>di</strong>tà <strong>del</strong>lo sviluppo <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent 796. Consideriamo<br />
una funzione w = f(z) monodroma e analitica nel dominio anulare<br />
centrato in z0 e <strong>del</strong>imitato dai cerchi Γ1, Γ2 <strong>di</strong> raggio R1, R2(ve<strong>di</strong> figura 20).<br />
Ovviamente se z0 è una singolarità isolata (o un punto regolare) il raggio R2<br />
può essere preso piccolo a piacere; il raggio R1 può invece essere esteso fino alla<br />
eventuale singolarità più vicina a z0. Consideriamo un generico punto z interno<br />
al dominio e un cerchio Γ3 centrato in z <strong>di</strong> raggio R3 contenuto interamente<br />
entro l’anello (ve<strong>di</strong> figura 20).<br />
Abbiamo così costruito una regione multiplamente connessa (grigia in figura)<strong>di</strong><br />
contorno Γ = Γ1 + Γ2 + Γ3. Entro questa regione la funzione g(ζ) = f(ζ)<br />
ζ−z è monodroma<br />
e analitica quin<strong>di</strong> per il teorema <strong>di</strong> Cauchy (ve<strong>di</strong> anche remark 157)<br />
abbiamo <br />
f (ζ)<br />
dζ = 0 (801)<br />
ζ − z<br />
Γ<br />
ove il contorno Γ è come al solito percorso in senso positivo, il che significa<br />
che Γ1è percorso in senso antiorario mentre Γ2, Γ3 sono percorsi in senso orario.<br />
123
Quin<strong>di</strong> l’integrale sopra può essere spezzato nella somma <strong>di</strong> 3 integrali<br />
<br />
<br />
f (ζ)<br />
dζ =<br />
ζ − z<br />
<br />
f (ζ)<br />
dζ −<br />
ζ − z<br />
<br />
f (ζ)<br />
dζ −<br />
ζ − z<br />
f (ζ)<br />
dζ = 0<br />
ζ − z<br />
(802)<br />
Γ<br />
Γ1<br />
Γ2<br />
ove i segni meno sono dovuti al fatto che ora percorriamo Γ2, Γ3 nel verso<br />
positivo antiorario. Ma il terzo integrale è essenzialmente la rappresentazione<br />
<strong>di</strong> Cauchy <strong>del</strong>la funzione in z<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
Γ3<br />
f(z) = 1<br />
<br />
i2π<br />
Γ1<br />
Γ3<br />
f (ζ)<br />
dζ = i2πf(z) (803)<br />
ζ − z<br />
<br />
f (ζ) 1<br />
dζ −<br />
ζ − z i2π<br />
Γ2<br />
f (ζ)<br />
dζ (804)<br />
ζ − z<br />
Ora si ripeta, mutatis mutan<strong>di</strong>s, il ragionamento che dalla 751 porta alla<br />
754. Avremo quin<strong>di</strong><br />
1<br />
ζ − z =<br />
∞ (z − z0) n<br />
(ζ − z0) n+1<br />
(805)<br />
n=0<br />
ove la serie geometrica converge (assolutamente e uniformemente) per<br />
<br />
<br />
<br />
z − z0 <br />
<br />
ζ<br />
− z0<br />
< 1 (806)<br />
Tale con<strong>di</strong>zione è ovviamente so<strong>di</strong>sfatta per ζ ∈ Γ1 e dunque<br />
<br />
Γ1<br />
<br />
f (ζ)<br />
dζ =<br />
ζ − z<br />
Γ1<br />
f (ζ) dζ<br />
∞<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
(ζ − z0) n+1<br />
(807)<br />
Sfruttando la uniforme convergenza <strong>del</strong>la serie integriamo termine a termine<br />
<br />
Γ1<br />
∞ (z − z0)<br />
f (ζ) dζ<br />
n ∞<br />
n+1 = (z − z0)<br />
(ζ − z0) n<br />
<br />
n=0<br />
n=0<br />
D’altra parte invertendo nella 754 il ruolo <strong>di</strong> ζ e z abbiamo<br />
1<br />
z − ζ =<br />
∞<br />
m=0<br />
(ζ − z0) m<br />
Γ1<br />
(z − z0) m+1<br />
f (ζ)<br />
n+1 dζ (808)<br />
(ζ − z0)<br />
(809)<br />
ove la serie geometrica converge (assolutamente e uniformemente) per<br />
<br />
<br />
<br />
ζ − z0 <br />
<br />
z<br />
− z0<br />
< 1 (810)<br />
124
Tale con<strong>di</strong>zione è ovviamente so<strong>di</strong>sfatta per ζ ∈ Γ2 e dunque<br />
<br />
<br />
f (ζ)<br />
dζ = −<br />
ζ − z<br />
∞ (ζ − z0)<br />
f (ζ) dζ<br />
m<br />
(z − z0) m+1<br />
Γ2<br />
Γ2<br />
m=0<br />
(811)<br />
Sfruttando la uniforme convergenza <strong>del</strong>la serie integriamo termine a termine<br />
<br />
−<br />
∞ (ζ − z0)<br />
f (ζ) dζ<br />
m ∞<br />
m+1 = − (z − z0)<br />
(z − z0) −m−1<br />
<br />
f (ζ)<br />
−m dζ<br />
(ζ − z0)<br />
(812)<br />
Γ2<br />
m=0<br />
m=0<br />
che riscriviamo come (ponendo n = m − 1)<br />
<br />
Γ2<br />
f (ζ)<br />
dζ = −<br />
ζ − z<br />
−1<br />
n=−∞<br />
quin<strong>di</strong> abbiamo dalla 804 con 807 e 813<br />
f(z) = 1<br />
i2π<br />
∞<br />
n=0<br />
(z − z0) n<br />
<br />
Γ1<br />
(z − z0) n<br />
<br />
f (ζ) 1<br />
n+1 dζ+<br />
(ζ − z0) i2π<br />
Γ2<br />
Γ2<br />
f (ζ)<br />
n+1 dζ (813)<br />
(ζ − z0)<br />
−1<br />
n=−∞<br />
(z − z0) n<br />
<br />
Γ2<br />
f (ζ)<br />
n+1 dζ<br />
(ζ − z0)<br />
(814)<br />
che sarebbe la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent (lo sviluppo <strong>di</strong> laurent <strong>del</strong>la funzione) salvo che i<br />
coefficienti <strong>del</strong>le potenze positive sono ora definiti da un integrale su Γ1 mentre<br />
f(ζ)<br />
quelli <strong>del</strong>le potenze negative sono su Γ2. Epperò la funzione<br />
(ζ−z0) n+1 è analitica<br />
nel dominio anulare e quin<strong>di</strong> per il teorema 160 è possibile spostare gli integrali<br />
su una curva qualsiasi all’interno <strong>del</strong>la regione <strong>di</strong> analiticità. QED.<br />
Remark 197 la serie converge assolutamente nel dominio anulare con centro<br />
z0 (possibile singolarità isolata) <strong>di</strong> raggio interno piccolo a piacere e raggio<br />
esterno esten<strong>di</strong>bile fino alla più vicina singolarità. Ma si può anche <strong>di</strong>mostrare<br />
che la convergenza è uniforme in ogni dominio anulare chiuso strettamente<br />
contenuto nel dominio <strong>di</strong> convergenza.<br />
Remark 198 i coefficienti positivi <strong>del</strong>la 797 non sono (a parte n!) la rappresentazione<br />
<strong>di</strong> Cauchy <strong>del</strong>la derivate n-sime a meno che z0 non sia un punto<br />
regolare (ve<strong>di</strong> esercizi successivi)<br />
Remark 199 i coefficienti <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent sono spesso e profittevolmente<br />
calcolati non usando la 797, cioè non vi è bisogno <strong>di</strong> calcolare integrali <strong>di</strong> contorno<br />
(<strong>di</strong> nuovo ve<strong>di</strong> esercizi successivi)<br />
Exercise 200 Sviluppare in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent la funzione<br />
f(z) = e−2iz<br />
3 , (815)<br />
(z − i)<br />
intorno a z = i, determinare il dominio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e classificare<br />
le singolarità <strong>del</strong>la funzione stessa.<br />
125
Svolgimento:<br />
<strong>La</strong> funzione ha evidentemente un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3 in z = i. Cambiamo<br />
variabile:<br />
f(z) =<br />
ζ = z − i; z = ζ + i (816)<br />
e−2iz (z − i) 3 −→ ˜ f(ζ) = e−2i(ζ+i)<br />
ζ 3<br />
= e2<br />
3<br />
e−i2ζ<br />
ζ<br />
(817)<br />
<strong>La</strong> ’nuova’ funzione ˜f(ζ) = e2<br />
ζ3 e−i2ζ ha ancora un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne 3 ma in ζ = 0;<br />
inoltre e−i2ζ è analitica ovunque (al finito) e possiamo quin<strong>di</strong> svilupparla in<br />
serie <strong>di</strong> Mclaurin<br />
<br />
<br />
˜f(ζ) = e2<br />
ζ 3<br />
1 − i2ζ + (−i2ζ)2<br />
2!<br />
˜f(ζ) = e 2<br />
<br />
1<br />
ζ<br />
2i 2<br />
3 − 2 −<br />
ζ ζ<br />
+ (−i2ζ)3<br />
3!<br />
ritornando alla variabile originale<br />
f(z) = e 2<br />
<br />
1<br />
3 −<br />
(z − i) 2i 2<br />
2 −<br />
(z − i) (z − i)<br />
+ 4i<br />
3<br />
+ 4i<br />
3<br />
+ (−i2ζ)4<br />
4!<br />
+ 2ζ<br />
3<br />
<br />
+ ...<br />
+ 2 (z − i)<br />
3<br />
+ ...<br />
+ ...<br />
<br />
(818)<br />
(819)<br />
(820)<br />
che è la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent richiesta. Notare che abbiamo trovato i coefficienti<br />
senza calcolare alcun integrale (ve<strong>di</strong> 199). Notare inoltre che a.e. il coefficiente<br />
è<br />
a1 = 2<br />
3 e2<br />
(821)<br />
mentre se fosse il coefficiente <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> Taylor sarebbe<br />
f ′ (i)<br />
1! =<br />
<br />
−2i e−2iz e−2iz<br />
3 − 3<br />
(z − i) (z − i) 4<br />
<br />
z=i<br />
→ <strong>di</strong>vergente (822)<br />
a conferma <strong>del</strong> Remark 198. Ovviamente la serie si ’blocca’ nella parte principale<br />
per n = −3 a conferma che z = i era un polo <strong>del</strong> terzo or<strong>di</strong>ne. <strong>La</strong> serie<br />
converge nel dominio anulare {ε, ∞} centrato in z0 = i.<br />
Exercise 201 Sviluppare in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent la funzione<br />
f(z) =<br />
2z<br />
(z2 , (823)<br />
+ 1)<br />
intorno a a z0 = −i; determinare il dominio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e classificare<br />
le singolarità <strong>del</strong>la funzione stessa.<br />
126
Svolgimento:<br />
<strong>La</strong> funzione ha evidentemente due poli semplici in z = ±i. Riscriviamola<br />
f(z) =<br />
e cambiamo variabile (check!)<br />
2z<br />
(z2 + 1) =<br />
2z<br />
(z + i) (z − i)<br />
(824)<br />
ζ = z + i; z = ζ − i (825)<br />
f(z) −→ ˜ <br />
2ζ − 2i iζ + 1<br />
f(ζ) = = 1 + i<br />
ζ (ζ − 2i) ζ<br />
ζ<br />
−1 (826)<br />
2<br />
<br />
Ora possiamo sviluppare<br />
1 + i ζ<br />
2<br />
−1<br />
in serie <strong>di</strong> Maclaurin (z0 = −i → ζ 0 = 0)<br />
, tenendo presente la 781 che sarà valida per<br />
<br />
<br />
<br />
iζ <br />
<br />
<br />
2<br />
< 1 cioè |ζ| < 2 −→ |z + i| < 2 (827)<br />
Tenere presente anche che il cerchio esterno <strong>del</strong> dominio anulare per la serie <strong>di</strong><br />
<strong>La</strong>urent in z0 = −i non può oltrepassare la seconda singolarità posta in zs = i<br />
e che <strong>di</strong>sta da z0 appunto |i + i| = 2. Quin<strong>di</strong> la con<strong>di</strong>zione 827 è rispettata.<br />
Abbiamo<br />
˜f(ζ) =<br />
iζ + 1<br />
ζ<br />
Facendo un pò <strong>di</strong> attenzione...<br />
<br />
1 − i ζ<br />
2 +<br />
˜f(ζ) = 1 i<br />
+<br />
ζ 2<br />
<br />
i ζ<br />
2<br />
2<br />
<br />
− i ζ<br />
2<br />
3<br />
+ ...<br />
<br />
(828)<br />
1 i<br />
+ ζ −<br />
4 8 ζ2 ... (829)<br />
ritornando alla variabile originale abbiamo lo sviluppo <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent<br />
f(z) = 1 i 1 i<br />
+ + (z + i) −<br />
z + i 2 4 8 (z + i)2 .. (830)<br />
a conferma che z = −i era un polo semplice. Ancora a conferma che se z0<br />
è un punto sigolare i coefficienti <strong>del</strong>le potenze positive NON sono i coefficienti<br />
<strong>di</strong> Taylor ve<strong>di</strong>amo quali sarebbero i primi 2 coefficienti secondo lo sviluppo<br />
<strong>di</strong> Taylor e confrontiamoli con quelli già calcolati <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent (a0 = i<br />
2 , a1 =<br />
).Dunque secondo lo sviluppo <strong>di</strong> Taylor<br />
1<br />
4<br />
ã0 = f (z0) = f (−i) = −2i<br />
−→ <strong>di</strong>vergente<br />
(−1 + 1)<br />
(831)<br />
ã1 = f ′ <br />
2<br />
(z0) =<br />
(z2 + 1) −<br />
4z2<br />
(z2 + 1) 2<br />
<br />
z=−i<br />
−→ <strong>di</strong>vergente (832)<br />
127
Problem 202 se nella 826 avessimo scelto <strong>di</strong> porre (ζ − 2i) = ζ<br />
1 − 2i<br />
ζ<br />
<br />
(<strong>del</strong><br />
tutto legittimo!) avremmo ottenuto una serie con infiniti termini nella parte<br />
singolare... come succede per una singolarità essenziale. Spiegare.<br />
Exercise 203 Sviluppare in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent la funzione<br />
f(z) = z<br />
, (833)<br />
z − 3<br />
intorno a a z0 = 0; determinare il dominio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e classificare<br />
le singolarità <strong>del</strong>la funzione stessa.<br />
Svolgimento:<br />
Dato che z0 = 0 non è un punto singolare <strong>del</strong>la funzione ci aspettiamo che<br />
la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent coincida con quella <strong>di</strong> Taylor-Maclaurin e converga fino alla<br />
prima singolarità posta in zs = 3. Ve<strong>di</strong>amo la serie <strong>di</strong> Maclaurin<br />
e quin<strong>di</strong><br />
f(z) = f(0) + f (1) (0)<br />
1!<br />
f (1) z − 3 − z −3<br />
(z) = 2 =<br />
(z − 3) (z − 3) 2<br />
f (2) (z) =<br />
z + f (2) (0)<br />
z<br />
2!<br />
2 + ... (834)<br />
6<br />
(z − 3) 3<br />
(835)<br />
(836)<br />
f(z) = − 1 1<br />
z −<br />
3 9 z2 + (837)<br />
Ve<strong>di</strong>amo ora la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent calcolando <strong>di</strong>rettamente i coefficienti dalla<br />
797. Possiamo riservarci <strong>di</strong> scegliere il cammino entro la regione <strong>di</strong> analiticità:<br />
scegliamo il cerchio unitario. E’ chiaro che per i coefficienti ’negativi’<br />
(n = −1, −2, −3, ...) abbiamo<br />
am = 1<br />
<br />
i2π<br />
ζ m f(ζ)dζ; m = 0, 1, 2, .. (838)<br />
Γ<br />
ma la funzione ζ m f(ζ) è analitica entro il cerchio unitario e quin<strong>di</strong> gli integrali<br />
e i coefficienti sono nulli. Anche per n = 0 la funzione è analitica e quin<strong>di</strong> il<br />
primo coefficiente <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> laurent è nullo (in accordo con la serie <strong>di</strong> Taylor)<br />
Calcoliamo allora<br />
a0 = 1<br />
i2π<br />
<br />
Γ<br />
a1 = 1<br />
<br />
i2π<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ) 1<br />
0+1 dζ =<br />
(ζ) i2π<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ) 1<br />
1+1 dζ =<br />
(ζ) i2π<br />
128<br />
ζ<br />
dζ = 0 (839)<br />
ζ (ζ − 3)<br />
Γ<br />
1<br />
dζ (840)<br />
ζ (ζ − 3)
e scegliamo per Γ il cerchio unitario che è entro l’anello <strong>di</strong> analiticità. Riscriviamo<br />
a1 = − 1<br />
<br />
1<br />
3 i2π<br />
<br />
1<br />
ζ<br />
Γ<br />
−<br />
<br />
1<br />
dζ = −<br />
(ζ − 3)<br />
1<br />
⎛<br />
<br />
1<br />
⎝<br />
3 i2π<br />
<br />
1<br />
dζ −<br />
ζ<br />
1<br />
(ζ − 3)<br />
Γ<br />
Γ<br />
dζ<br />
⎞<br />
⎠ (841)<br />
Il primo integrale è già stato calcolato (ve<strong>di</strong> 634) e vale i2π, il secondo è nullo<br />
essendo la funzione integranda analitica entro il cerchio unitario.<br />
a1 =<br />
e dunque<br />
−1<br />
3 in accordo con lo sviluppo <strong>di</strong> Taylor.<br />
Calcoliamo anche sempre sul cerchio unitario<br />
a2 = 1<br />
<br />
i2π<br />
<br />
f(ζ) 1<br />
2+1 dζ =<br />
(ζ) i2π<br />
1<br />
ζ 2 dζ<br />
(ζ − 3)<br />
(842)<br />
Riscriviamo<br />
a2 = 1<br />
i2π<br />
<br />
Γ<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ) 1<br />
2+1 dζ = −1<br />
(ζ) 9 i2π<br />
Γ<br />
Γ<br />
1<br />
ζ<br />
<br />
3 1<br />
+ 2 − dζ (843)<br />
ζ ζ − 3<br />
Il primo integrale dà ancora i2π e il terzo è nullo. Resta da vedere il secondo<br />
che calcoliamo esplicitamente considerando che sul cerchio unitario<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Epperciò a2 = − 1<br />
9 , come previsto.<br />
ζ = e iφ ; dζ = ie iφ dφ (844)<br />
2π<br />
1<br />
2 dζ = i e<br />
ζ −iφ dφ = 0 (845)<br />
Exercise 204 Sviluppare in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent la funzione<br />
f(z) =<br />
0<br />
1 − cos(z)<br />
z 2 , (846)<br />
intorno a a z0 = 0; determinare il dominio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e classificare<br />
le singolarità <strong>del</strong>la funzione stessa.<br />
cioè<br />
Svolgimento:<br />
sviluppiamo il coseno in serie <strong>di</strong> Maclaurin<br />
1 − cos(z)<br />
f(z) =<br />
z2 = 1<br />
z2 <br />
1 − 1 − z2<br />
<br />
z4<br />
+ − ...<br />
2! 4!<br />
(847)<br />
f(z) = 1 z2<br />
− + ... (848)<br />
2 4!<br />
Quin<strong>di</strong> manca la parte principale <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent, la singolarità era eliminabile<br />
(polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne zero...) , la serie converge ovunque.<br />
129
Exercise 205 Sviluppare in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent la funzione<br />
f(z) = (z − i) 3 <br />
1<br />
sin<br />
(z − i)<br />
(849)<br />
intorno a z0 = i; determinare il dominio <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e classificare<br />
le singolarità <strong>del</strong>la funzione stessa.<br />
Svolgimento:<br />
abbiamo<br />
(z − i) 3<br />
<br />
1<br />
(z − i) −<br />
<br />
1<br />
1<br />
3 +<br />
5 + ...<br />
3! (z − i) 5! (z − i)<br />
(850)<br />
quin<strong>di</strong> z0 = i è una singolarità essenziale. <strong>La</strong> serie converge ovunque eccetto<br />
z = i.<br />
–––––––––––––-<br />
Ricor<strong>di</strong>amo che una funzione analitica ovunque si <strong>di</strong>ce funzione intera ; per<br />
tali funzioni le serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent e <strong>di</strong> Taylor intorno a un punto qualsiasi convergono<br />
ovunque e coincidono.<br />
Una funzione analitica ovunque salvo un numero finito <strong>di</strong> poli si <strong>di</strong>ce funzione<br />
meromorfa; una funzione meromorfa può essere sviluppata in serie <strong>di</strong><br />
Taylor e <strong>La</strong>urent coincidenti intorno a un qualsiasi punto che non sia un suo<br />
polo: la convergenza si estenderà fino al polo più vicino). Intorno ad un polo<br />
avremo la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent convergente nell’anello che esclude il polo e ’sfiora’<br />
l’eventuale polo più vicino a quello al centro <strong>del</strong>l’anello.<br />
Forse è evidente ma mostreremo comunque che una funzione sviluppabile<br />
in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent non può essere limitata nei <strong>di</strong>ntorni <strong>di</strong> una sua singolarità<br />
(isolata) sia che sia un polo sia che sia una singolarità essenziale. In effetti sia<br />
w = f(z) monodroma e analitica in un anello intorno a z0 polo o singolarità<br />
essenziale. Allora ci saranno coefficienti <strong>del</strong>la parte principale <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong><br />
<strong>La</strong>urent non nulli. Tali coefficienti sono <strong>del</strong>la forma<br />
a−N = 1<br />
i2π<br />
<br />
Γ<br />
f(ζ)<br />
dζ; N ≥ 1 (851)<br />
−N+1<br />
(ζ − z0)<br />
ove possiamo scegliere il cammino Γ entro l’anello <strong>di</strong> analiticità e lo scegliemo<br />
per como<strong>di</strong>tà come un cerchio <strong>di</strong> raggio ρ e centro z0. Ma se la funzione è limitata<br />
allora |f(ζ)| < M e quin<strong>di</strong><br />
<br />
<br />
|a−N| = 1<br />
2π<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ) <br />
dζ<br />
−N+1 <br />
(ζ − z0) <br />
≤ 1<br />
2π ρN−1 M2πr = Mρ N<br />
(852)<br />
E tuttavia z0 è una singolarità isolata e quin<strong>di</strong> possiamo prendere ρ piccolo a<br />
piacere: ma allora a−N = 0 e dato che era un generico coefficiente <strong>del</strong>la parte<br />
principale (potenze negative) <strong>del</strong>la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent tutta la parte principale è<br />
130
nulla e la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent coincide con la serie <strong>di</strong> Taylor. Ma allora z0 dovrebbe<br />
essere un punto non singolare contrariamente all’ipotesi. Ergo: la funzione<br />
analitica non può essere limitata nelle vicinanze <strong>di</strong> una sua singolarità.<br />
Ma c’è <strong>di</strong> più: se la singolarità isolata non è un polo ma una singolarità<br />
essenziale allora il comportamento <strong>del</strong>la funzione analitica nelle sue vicinanze è<br />
ancora più ’fantasioso’... questo ci viene detto da due teoremi che non <strong>di</strong>mostreremo.<br />
Theorem 206 (Casorati-Weierstrass). In un intorno arbitrariamente piccolo<br />
<strong>di</strong> una singolarità isolata essenziale per una funzione (generalmente) analitica,<br />
la funzione stessa assume valori arbitrariamente vicini a qualsiasi numero complesso.<br />
C’è <strong>di</strong> meglio... ve<strong>di</strong>amo il (piccolo) teorema <strong>di</strong> Picard (che non è, forse,<br />
il favoloso Capitano Jean Luc Picard , Enterprise - Star Trek, Second Generation...)<br />
Theorem 207 (Picard). Una funzione generalmente analitica assume in un<br />
intorno arbitrariamente piccolo <strong>di</strong> una sua singolarità isolata essenziale tutti i<br />
valori (complessi) possibili con al più una eccezione.<br />
Exercise 208 mostrare che w = f(z) = e 1 z ha una singolarità essenziale in<br />
z = 0. Trovare il valore che non può essere assunto dalla funzione.<br />
6.2 Residui<br />
Consideriamo una funzione w = f(z) sviluppabile in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent intorno a<br />
un certo punto z0.Il primo coefficiente <strong>del</strong>la parte principale, cioè a−1, è detto<br />
residuo <strong>del</strong>la funzione. Ma ve<strong>di</strong>amo la sua forma esplicita (dalla 797):<br />
a−1 = 1<br />
i2π<br />
<br />
Γ<br />
<br />
f(ζ) 1<br />
−1+1 dζ = f(ζ)dζ (853)<br />
(ζ − z0) i2π<br />
ove Γ è una curva <strong>di</strong> Jordan qualsiasi all’interno <strong>del</strong> dominio <strong>di</strong> analiticità <strong>del</strong>la<br />
funzione, percorsa una sola volta e circumnavigante .z0 Ma allora<br />
<br />
f(ζ)dζ = i2πa−1<br />
(854)<br />
Γ<br />
e quin<strong>di</strong> è possibile calcolare un integrale <strong>di</strong> contorno includente z0 semplicemente<br />
calcolando il residuo <strong>del</strong>la funzione in z0 e tale residuo può essere<br />
calcolato in<strong>di</strong>pendentemente e abbastanza facilmente (ve<strong>di</strong> esercizi <strong>del</strong>la sottosezione<br />
precedente). E’ evidente l’utilità pratica <strong>di</strong> questa osservazione ai fini<br />
131<br />
Γ
<strong>del</strong> calcolo degli integrali <strong>di</strong> contorno in campo complesso ( e in seguito estenderemo<br />
tale risultato in molte <strong>di</strong>rezioni). Per esempio in un esercizio precedente<br />
(ve<strong>di</strong> abbiamo dovuto mostrare esplicitamente che<br />
<br />
1<br />
2 dζ = 0 (855)<br />
ζ<br />
Γ<br />
ove Γ era il cerchio unitario che circonda la singolarità isolata (polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne<br />
2) ζ = 0. Alla luce <strong>di</strong> quanto sopra detto il risultato è imme<strong>di</strong>ato per qualsiasi<br />
Γ che circon<strong>di</strong> ζ = 0. Infatti 1<br />
ζ 2 è l’espansione in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent <strong>di</strong>... 1<br />
ζ 2 ! con<br />
tutti i coefficienti nulli eccetto a−2 = 1. Quin<strong>di</strong> a−1 = 0 e dunque l’integrale <strong>di</strong><br />
sopra è nullo.<br />
Exercise 209 calcolare<br />
<br />
Γ<br />
2z<br />
(z2 dz; Γ ≡ |z + i| = 1 (856)<br />
+ 1)<br />
Svolgimento:<br />
Abbiamo già calcolato la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent <strong>del</strong>la funzione integranda (che<br />
ha poli semplici in ±i). Siccome il cammino <strong>di</strong> integrazione cade nel dominio<br />
anulare <strong>di</strong> convergenza <strong>del</strong>la serie e il residuo vale uno (dalla 830) allora<br />
<br />
Γ<br />
2z<br />
(z2 dz = i2π (857)<br />
+ 1)<br />
...................<br />
Abbiamo già sottolineato il fatto che l’utilità <strong>del</strong>la 854 risiede nel fatto che<br />
i residui sono più facili da calcolare che gli integrali...<br />
In effetti se z0 è un polo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne N <strong>del</strong>la funzione w = f(z) è facile vedere<br />
che il residuo è dato da:<br />
a−1 = lim<br />
z−→z0<br />
1 d<br />
(N − 1)!<br />
(N−1)<br />
dz (N−1)<br />
<br />
(z − z0) N <br />
f(z)<br />
(858)<br />
Exercise 210 si lascia allo studente come esercizio la <strong>di</strong>mostrazione <strong>del</strong>la formula<br />
precedente (hint: sviluppare f(z) in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent e...)<br />
Exercise 211 applicare la formula 858 per trovare tutti i residui <strong>del</strong>le seguenti<br />
funzioni<br />
Svolgimento:<br />
a) e−2iz 2z − i<br />
3 ; b)<br />
(z − i) z3 ; c)<br />
− z5 132<br />
z 2<br />
(z 2 + 1) 2<br />
(859)
a) chiaramente z = i è un polo <strong>del</strong> terzo or<strong>di</strong>ne e peraltro abbiamo già<br />
calcolato la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent per questa funzione in un esercizio precedente (ve<strong>di</strong><br />
820) e il residuo risultava<br />
a−1 = −2e 2<br />
(860)<br />
ve<strong>di</strong>amo <strong>di</strong> ritrovare tale risultato applicando <strong>di</strong>rettamente la formula (senza<br />
passare per la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent)<br />
1 d<br />
a−1 = lim<br />
z−→i (3 − 1)!<br />
2<br />
dz (2)<br />
<br />
(z − i) 3 e−2iz (z − i) 3<br />
<br />
1 d<br />
= lim<br />
z−→i 2<br />
2<br />
dz2 −2iz<br />
e =(861)<br />
−2i d −2iz<br />
lim e<br />
z−→i 2 dz<br />
−2i d −2iz<br />
= lim e<br />
z−→i 2 dz<br />
= lim<br />
z−→i −2 e −2iz = −2e 2<br />
(862)<br />
................................................<br />
Ma anche se z0 fosse una singolarità essenziale abbiamo visto che spesso è<br />
possibile trovare facilmente la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent e quin<strong>di</strong> i residuo <strong>del</strong>la funzione<br />
Exercise 212 trovare il residuo <strong>del</strong>la funzione<br />
f(z) = (z − i) 3 <br />
1<br />
sin<br />
(z − i)<br />
in z0 = i<br />
(863)<br />
Svolgimento:<br />
abbiamo già visto che z0 = i è una singolarità essenziale per la funzione e<br />
abbiamo anche calcolato la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent, ve<strong>di</strong> 850. Dalla 850 risulta<br />
a−1 = − 1<br />
6<br />
Exercise 213 trovare il residuo <strong>del</strong>la funzione<br />
f(z) = z n<br />
<br />
1<br />
1 − cos<br />
z<br />
in z = 0 per ogni n ∈ N<br />
(864)<br />
(865)<br />
–––––––––-<br />
Siamo ora pronti ad estendere il risultato 854 con il celebrato Teorema dei<br />
Residui<br />
Theorem 214 (dei residui). Sia la funzione w = f(z) monodroma e analitica<br />
all’interno <strong>di</strong> una curva <strong>di</strong> Jordan Γ ad eccezione dei punti zm, m = 1, 2, ...M<br />
ove la funzione ha singolarità isolate e siano a (m)<br />
−1 i residui <strong>del</strong>la funzione in tali<br />
punti. Allora<br />
<br />
M<br />
f(ζ)dζ = i2π<br />
(866)<br />
Γ<br />
133<br />
m=1<br />
a (m)<br />
−1
z1<br />
zm<br />
Figure 21:<br />
Γ1<br />
z2<br />
Γm<br />
Γ2<br />
Cioè, a parole, l’integrale <strong>di</strong> contorno <strong>di</strong> una funzione generalmente analitica<br />
su una curva <strong>di</strong> Jordan Γ è pari a i2π la somma dei residui <strong>del</strong>la funzione nei<br />
punti <strong>di</strong> singolarità (isolata) che giacciono all’interno <strong>del</strong>la regione {Γ} .<br />
Proof. (teorema dei residui) . Sulla falsariga <strong>di</strong> un ragionamento già precedentemente<br />
usato, sappiamo che la funzione è analitica nella regione multiplamente<br />
connessa racchiusa da {Γ, Γm, m = 1, 2, ..M} (ve<strong>di</strong> figura 21).<br />
Allora, tenendo al solito in conto il verso positivo per i vari percorsi, per il<br />
teorema <strong>di</strong> Cauchy si ha<br />
<br />
Γ<br />
f(ζ)dζ =<br />
M<br />
<br />
m=1<br />
Γm<br />
Γ<br />
f(ζ)dζ (867)<br />
ove tutte le curve sono percorse in senso antiorario. Ora, tenendo in conto la<br />
854, segue la tesi. QED.<br />
Remark 215 Il teorema dei residui cioè la formula 866 contiene come sottocasi<br />
sia ovviamente la 854 ma anche il teorema <strong>di</strong> Cauchy le formule integrali <strong>di</strong><br />
Cauchy<br />
Problem 216 Dimostrare che la 866 implica la 696<br />
134
Problem 217 Quanto valgono i residui <strong>del</strong>la derivata <strong>di</strong> una funzione analitica?<br />
e <strong>di</strong> una funzione generalmente analitica (meromorfa)? giustificare..<br />
Problem 218 Ammettiamo che i residui <strong>del</strong>la derivata <strong>di</strong> una funzione generalmente<br />
analitica siano tutti nulli... ma la funzione analitica è la derivata<br />
<strong>del</strong>la sua primitiva quin<strong>di</strong> tutti i residui <strong>del</strong>le funzioni meromorfe sono nulli!<br />
ovviamente errato: mostrare.<br />
.............<br />
Exercise 219 calcolare il seguente integrale sui cerchi |z| = 1 e |z| = 3<br />
<br />
z<br />
z2 dz<br />
+ 4<br />
(868)<br />
Γ<br />
Svolgimento:<br />
la funzione integranda ha due poli semplici in z = ±i2. Nel primo caso (Γ ≡<br />
(|z| = 1)) nessuna <strong>del</strong>le due singolarità è entro il contorno e quin<strong>di</strong> l’integrale è<br />
nullo. Nel secondo caso entrambe le singolarità sono all’interno <strong>del</strong> contorno e<br />
quin<strong>di</strong> calcoliamo l’integrale usando il teorema dei residui. Calcoliamo i residui<br />
utilizzando sia la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent che la formula 858. Serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent in z0 =<br />
−2i<br />
z<br />
z2 + 4 =<br />
z<br />
(z + 2i) (z − 2i) =<br />
z<br />
1<br />
= (869)<br />
(z + 2i) (z − 2i + 2i − 2i)<br />
z 1 i z 1<br />
=<br />
(z + 2i) (−4i + (z + 2i)) 4 (z + 2i) 1 + i(z+2i)<br />
= (870)<br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
i z + 2i − 2i i (z + 2i) i (z + 2i)<br />
1 − +<br />
− ... = (871)<br />
4 (z + 2i)<br />
4<br />
4<br />
<br />
<br />
2<br />
i i (z + 2i) i (z + 2i)<br />
1 − +<br />
− ... +<br />
4 4<br />
4<br />
1<br />
<br />
<br />
1 i (z + 2i)<br />
− − + (872) ...<br />
2 (z + 2i) 4 16<br />
Quin<strong>di</strong> (salvo errori!) il residuo cercato è<br />
Controprova, calcolando dalla 858<br />
a (−2i)<br />
−1<br />
a (−2i)<br />
−1<br />
1<br />
=<br />
2<br />
z −2i 1<br />
= lim (z + 2i)<br />
= =<br />
z−→−2i (z + 2i) (z − 2i) −4i 2<br />
(e così potete apprezzare l’utilità <strong>del</strong>la formula 858).<br />
Il residuo in z0 = 2i sarà<br />
a (2i)<br />
−1<br />
z 2i 1<br />
= lim (z − 2i)<br />
= =<br />
z−→2i (z + 2i) (z − 2i) 4i 2<br />
135<br />
(873)<br />
(874)<br />
(875)
e quin<strong>di</strong> dal teorema dei residui abbiamo<br />
<br />
z<br />
z2 <br />
1 1<br />
dz = i2π + = i2π<br />
+ 4 2 2<br />
(876)<br />
|z|=3<br />
Con un pò <strong>di</strong> fantasia si poteva fare anche in <strong>di</strong>versi altri mo<strong>di</strong>... ad esempio<br />
ma<br />
z<br />
z + 2i − 2i<br />
=<br />
(z + 2i) (z − 2i) (z + 2i) (z − 2i) =<br />
1<br />
1<br />
− 2i<br />
(z − 2i) (z + 2i) (z − 2i)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
epperciò<br />
<br />
1 1<br />
=<br />
(z + 2i) (z − 2i) 4i<br />
1<br />
(z − 2i) −<br />
<br />
1<br />
(z + 2i)<br />
z<br />
(z + 2i) (z − 2i) =<br />
1 1 1 1 1<br />
− +<br />
(z − 2i) 2 (z − 2i) 2 (z + 2i)<br />
= 1 1 1 1<br />
+<br />
2 (z + 2i) 2 (z − 2i)<br />
<br />
|z|=3<br />
z<br />
z2 ⎛<br />
<br />
1 ⎜<br />
dz = ⎝<br />
+ 4 2<br />
|z|=3<br />
1<br />
dz +<br />
(z + 2i)<br />
<br />
|z|=3<br />
ma ora i due integrali sono imme<strong>di</strong>ati e il risultato segue...<br />
⎞<br />
(877)<br />
(878)<br />
(879)<br />
(880)<br />
1<br />
(z − 2i) dz<br />
⎟<br />
⎠ (881)<br />
Exercise 220 calcolare il seguente integrale sui cerchi |z| = 1 e |z − 2| = 1<br />
<br />
Γ<br />
ez (ez dz (882)<br />
− 1) (z − 2)<br />
Svolgimento:<br />
<strong>La</strong> funzione integranda ha un polo semplice in z = 2 e una singolarità da<br />
definire in z = 0.<br />
Nel percorso |z − 2| = 1 solo il polo semplice è incluso e quin<strong>di</strong> basta calcolare<br />
il residuo <strong>del</strong>la funzione in z = 2 :<br />
epperciò l’integrale vale<br />
<br />
a (2)<br />
−1 = lim (z − 2)<br />
z−→2<br />
|z−2|=1<br />
e z<br />
(e z − 1) (z − 2)<br />
e z<br />
(e z − 1) (z − 2) =<br />
136<br />
e 2<br />
(e 2 − 1)<br />
e<br />
dz = i2π<br />
2<br />
(e2 − 1)<br />
(883)<br />
(884)
Nel percorso |z| = 1 il polo z = 2 non è incluso, quin<strong>di</strong> bisogna vedere il<br />
residuo <strong>del</strong>la funzione in z = 0. Dato che non siamo sicuri <strong>del</strong> tipo <strong>di</strong> singolarità<br />
sviluppiamo in serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent in z0 = 0 :<br />
ez (ez − 1) (z − 2) =<br />
<br />
1 + z + z2<br />
<br />
z3<br />
2 + 3! + ...<br />
1<br />
<br />
(z − 2)<br />
z 1 + z + 2<br />
z3<br />
2 + 3! + ... − 1 = (885)<br />
<br />
1 + z + z2<br />
<br />
z3<br />
2 + 3! + ...<br />
z 1 + z<br />
1<br />
z2<br />
2 + 3! + .. −2 1 − z<br />
= (886)<br />
2<br />
<br />
−1 1<br />
1 + z +<br />
2 z<br />
z2<br />
<br />
z3<br />
+ + ... 1 −<br />
2 3! z<br />
2 ..<br />
<br />
1 + z<br />
2 ..<br />
<br />
(887)<br />
e quin<strong>di</strong> z0 = 0 è un polo semplice con residuo<br />
Controprova:<br />
a (0)<br />
−1 = lim<br />
z−→0 z<br />
ez (ez − 1) (z − 2)<br />
Quin<strong>di</strong> <br />
|z|=1<br />
a (0)<br />
−1 = −1<br />
2<br />
= e0<br />
(0 − 2) lim<br />
z−→0<br />
ez (ez <br />
dz = i2π −<br />
− 1) (z − 2) 1<br />
<br />
2<br />
Exercise 221 calcolare il seguente integrale<br />
<br />
|z|=1<br />
Svolgimento:<br />
sembrerebbe analogo al precedente, ma...<br />
z<br />
(ez = −1<br />
− 1) 2 lim<br />
z−→0<br />
z + z2<br />
2<br />
(888)<br />
z<br />
= −1<br />
z3 + 3! + 2<br />
(889)<br />
= −iπ (890)<br />
e2z − 3ez + 2<br />
(ez dz (891)<br />
− 1) (z − 2)<br />
e 2z − 3e z + 2 = (e z − 1) (e z − 2) (892)<br />
e quin<strong>di</strong> in realtà dobbiamo calcolare<br />
<br />
ez − 2<br />
dz<br />
(z − 2)<br />
(893)<br />
|z|=1<br />
Ma la funzione integranda è analitica entro il cerchio unitario e dunque l’integrale<br />
è nullo.<br />
HINT: scomporre sempre se possibile numeratore e denominatore,<br />
onde evitare calcoli inutili<br />
137
Γ<br />
3<br />
Figure 22:<br />
Exercise 222 calcolare il seguente integrale<br />
<br />
cos(z)<br />
<br />
5π<br />
(z − ei 9 ) z − e<br />
ove Γ è il quadrato <strong>di</strong> lato 3 dato in figura 22<br />
i 3π<br />
7<br />
3<br />
Γ<br />
dz (894)<br />
Svolgimento:<br />
5π<br />
3π<br />
i <strong>La</strong> funzione integranda ha due poli semplici in z1 = e 9 i e z2 = e 7 ; entrambi<br />
sono sul cerchio unitario ma solo z2 ha un argomento 3π π<br />
7 < 2 e quin<strong>di</strong><br />
entro il cammino <strong>di</strong> integrazione. Si lascia allo studente il completamento<br />
<strong>del</strong>l’esercizio.<br />
Exercise 223 calcolare il seguente integrale sul cerchio unitario<br />
<br />
2 (z + 1)<br />
z7 dz<br />
(2z − 3i)<br />
(895)<br />
|z|=1<br />
Svolgimento:<br />
<strong>La</strong> funzione integranda ha due poli: un polo semplice in z1 = 3i<br />
2 e un polo <strong>di</strong><br />
or<strong>di</strong>ne 5 in z2 = 0. Solo quest’ultimo cade entro il cerchio unitario. Dobbiamo<br />
perciò calcolare il residuo <strong>del</strong>la funzione in z2 = 0 :<br />
a (0) 1 d<br />
−1 = lim<br />
z−→0 6!<br />
6<br />
dz6 <br />
(z − 0) 7 2 (z + 1)<br />
z7 <br />
=<br />
(2z − 3i)<br />
1 d<br />
lim<br />
6! z−→0<br />
6<br />
dz6 <br />
(z + 1)<br />
, a =<br />
(z − a)<br />
3i<br />
2<br />
(896)<br />
138
Calcoliamo le derivate<br />
d1 dz1 <br />
(z + 1) 1 (z + 1)<br />
= −<br />
(z − a) (z − a) (z − a) 2<br />
d2 dz2 <br />
(z + 1)<br />
=<br />
(z − a)<br />
−1 − 1 (z + 1) −2 (z + 1)<br />
2 + 2 3 = 2 + 2<br />
(z − a) (z − a) (z − a) (z − a) 3<br />
d3 dz3 <br />
(z + 1)<br />
=<br />
(z − a)<br />
+2 ∗ 2 + 2 (z + 1) 3! (z + 1)<br />
3 − 3! 4 = 3 − 3!<br />
(z − a) (z − a) (z − a) (z − a) 4<br />
d4 dz4 <br />
(z + 1)<br />
=<br />
(z − a)<br />
−6 ∗ 3 − 6 (z + 1) −4! (z + 1)<br />
4 − 4! 5 = 4 − 4!<br />
(z − a) (z − a) (z − a) (z − a) 5<br />
(897)<br />
(898)<br />
(899)<br />
(900)<br />
è evidente (ma check! e per esecizio mostrare per induzione la formula per la<br />
derivata ennesima) che<br />
d6 dz6 <br />
(z + 1)<br />
=<br />
(z − a)<br />
−6! (z + 1)<br />
6 + 6!<br />
(z − a) (z − a) 7<br />
(901)<br />
per cui<br />
a (0) 1 d<br />
−1 = lim<br />
6! z−→0<br />
6<br />
dz6 <br />
(z + 1)<br />
=<br />
(z − a)<br />
1<br />
<br />
−6! (z + 1)<br />
lim<br />
6! z−→0<br />
6 + 6!<br />
(z − a) (z − a) 7<br />
<br />
(902) =<br />
1<br />
1<br />
lim<br />
z−→0 7 (−z + a + z + 1) = − (1 + a) (903)<br />
(z − a) a7 e quin<strong>di</strong> l’integrale è calcolato.<br />
Ma proviamo per mera curiosità (!) a calcolare il residuo <strong>del</strong>la funzione<br />
integranda nel polo semplice z1 = a = 3i<br />
2<br />
a (a)<br />
−1 = lim (z − a)<br />
z−→a<br />
(z + 1)<br />
z 7 (z − a)<br />
1<br />
= (1 + a) (904)<br />
a7 dunque a (a)<br />
−1 = −a(0) −1 (accidenti! se lo avessi saputo avrei faticato molto meno...).<br />
––––––-<br />
In realtà il risultato ottenuto al termine <strong>del</strong>l’esercizio precedente non è affatto<br />
accidentale. Si può infatti mostrare che se una funzione monodroma e<br />
generalmente analitica (cioè con un numero finito <strong>di</strong> singolarità isolate) va a<br />
zero all’infinito un pò più velocemente <strong>di</strong> 1<br />
|z| allora la somma <strong>di</strong> tutti i residui<br />
<strong>del</strong>la funzione è zero. <strong>La</strong> prova è semplice: basta calcolare l’integrale <strong>del</strong>la funzione<br />
su un cerchio centrato nell’origine e <strong>di</strong> raggio ρ = |z| abbastanza grande<br />
da includere tutte le singolarità al finito. Per il teorema dei residui tale integrale<br />
è proporzionale alla somma dei residui. Ma l’integrale stesso può essere<br />
maggiorato da 2πMρ (ve<strong>di</strong> 613). Ma nell’ipotesi fatta<br />
lim Mρ = 0 (905)<br />
ρ−→∞<br />
139
e quin<strong>di</strong> la somma <strong>di</strong> tutti i residui è nulla. Perciò la somma dei residui<br />
<strong>del</strong>le singolarità interne a una qualsiasi curva <strong>di</strong> Jordan Γ è pari alla somma dei<br />
residui <strong>del</strong>le singolarità esterne alla curva cambiata <strong>di</strong> segno . Questo risultato,<br />
come nell’esercizio precedente, può essere utilmente usato per semplificare la<br />
vita...<br />
Remark 224 il risultato precedente poteva essere previsto intuitivamente. Infatti<br />
nelle con<strong>di</strong>zioni poste non vi può essere una singolarità all’infinito. Consideriamo<br />
che <br />
= −<br />
(906)<br />
Γ<br />
Epperò la curva −Γ, cioè Γ percorsa in senso orario, per la convenzione sul<br />
verso <strong>di</strong> percorrenza ha per ’interno’ quello che era l’esterno <strong>del</strong>la curva Γ e<br />
quin<strong>di</strong> le sue singolarità ’interne’ sono le singolarità esterne a Γ più una eventuale<br />
singolarità all’infinito, caso che però abbiamo escluso. Quin<strong>di</strong> il risultato<br />
precedente non è altro che l’applicazione <strong>del</strong> teorema dei residui...<br />
Exercise 225 calcolare il seguente integrale sul cerchio |z| = 5<br />
<br />
|z|=5<br />
−Γ<br />
3z3 − iz2 + i<br />
(z − 1) 3 (z − 2) 4 (z + i) 3 dz (907)<br />
(z − 6)<br />
Svolgimento:<br />
<strong>La</strong> funzione integranda ha 3 poli all’interno ma un solo polo semplice all’esterno.<br />
D’altra parte si vede che va all’infinito come |z|3<br />
|z| 11 . Quin<strong>di</strong> basterà calcolare il<br />
residuo nel polo semplice esterno<br />
a (6)<br />
−1 = lim (z − 6)<br />
z−→6<br />
3z3 − iz2 + i<br />
(z − 1) 3 (z − 2) 4 (z + i) 3 (z − 6) = 3 ∗ 63 − 36i + i<br />
5344 (6 + i) 3<br />
sarà quin<strong>di</strong><br />
<br />
3z3 − iz2 + i<br />
(z − 1) 3 (z − 2) 4 (z + i) 3 (z − 6) dz = −i2π 3 ∗ 63 − 36i + i<br />
5344 (6 + i) 3<br />
|z|=5<br />
Exercise 226 calcolare il seguente integrale sul cerchio |z − 1| = 10<br />
<br />
|z−1|=10<br />
(908)<br />
(909)<br />
z2 dz (910)<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
Svolgimento:<br />
Il cerchio include tutte le sigolarità (poli semplici in i, 2i, 3i ) (CHECK!) e<br />
quin<strong>di</strong> si dovrebbero calcolare i residui (cosa <strong>del</strong> resto semplice). Non è possibile<br />
usare la scorciatoia <strong>di</strong> vedere l’esterno (ove non vi è alcuna singolarità al<br />
140
finito) perchè la funzione tende a zero all’infinito come 1<br />
|z|<br />
più velocemente come richiesto dalle considerazioni precedenti...).<br />
OK, calcoliamo i residui<br />
a (2i)<br />
−1<br />
a (i)<br />
−1 = lim (z − i)<br />
z−→i<br />
a (3i)<br />
−1<br />
= lim (z − 2i)<br />
z−→2i<br />
= lim (z − 3i)<br />
z−→3i<br />
z 2<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i) =<br />
z 2<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i) =<br />
z 2<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i) =<br />
i2 1<br />
=<br />
(i − 2i) (i − 3i) 2<br />
(CHECK!) (e non<br />
(911)<br />
4i2 = −4 (912)<br />
(2i − i) (2i − 3i)<br />
9i2 9<br />
=<br />
(3i − i) (3i − 2i) 2<br />
(913)<br />
<strong>La</strong> somma dei residui è pari a 1 (non a zero! ...)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
z2 dz = 2πi<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
(914)<br />
|z−1|=10<br />
ma (ve<strong>di</strong> sviluppo binomiale)<br />
1<br />
1 − ki<br />
z<br />
<br />
= 1 −<br />
− ki<br />
z<br />
<br />
+<br />
1<br />
z − ki =<br />
− ki<br />
z<br />
2<br />
1<br />
z 1 − ki<br />
z<br />
<br />
− − ki<br />
z<br />
3<br />
(915)<br />
<br />
1<br />
+ <br />
z4 <br />
, k = 1, 2, 3 (916)<br />
<strong>La</strong> serie converge assolutamente e uniformemente per<br />
<br />
<br />
<br />
−ki <br />
<br />
<br />
z < 1 (917)<br />
cioè per |z| > k (fuori dal cerchio |z| = k) e quin<strong>di</strong><br />
z2 (z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
= 1<br />
<br />
1 − −<br />
z<br />
i<br />
<br />
+ −<br />
z<br />
i<br />
<br />
2<br />
.. 1 −<br />
z<br />
<br />
− 2i<br />
z<br />
<br />
+<br />
− 2i<br />
z<br />
2 <br />
.. 1 −<br />
− 3i<br />
z<br />
e l’espansione converge fuori dal cerchio |z| = 3 e quin<strong>di</strong> sul percorso <strong>di</strong> integrazione.<br />
Ma la convergenza è assoluta e uniforme quin<strong>di</strong> posso moltiplicare le<br />
141<br />
<br />
+<br />
− 3i<br />
z<br />
(918)<br />
<br />
2<br />
(919) ..
serie e posso integrare termine a termine. In<strong>di</strong><br />
<br />
z2 dz<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
(920)<br />
|z|= 5<br />
2<br />
=<br />
=<br />
|z−1|=10<br />
<br />
|z−1|=10<br />
<br />
|z−1|=10<br />
1<br />
z<br />
1<br />
dz +<br />
z<br />
<br />
6i 1<br />
+ + <br />
z2 z3 <br />
dz (921)<br />
<br />
|z−1|=10<br />
6i<br />
dz + ... (922)<br />
z2 è quin<strong>di</strong> ovvio che solo il primo integrale da un contributo (2πi) e tutti gli altri<br />
sono nulli: ritroviamo così per una via alternativa il risultato precedente.<br />
Proviamo a calcolare l’integrale questa volta sul cerchio |z| = 5<br />
2 . Ora solo i<br />
poli in i, 2i sono all’interno e quin<strong>di</strong> per il teorema dei residui<br />
<br />
z2 dz = 2πi(a(i) −1 + a(2i) −1 ) = −7πi (923)<br />
(z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
proviamo la via alternativa espandendo come prima per le singolarità in i, 2i<br />
ma ponendo<br />
1<br />
z − 3i =<br />
1<br />
−3i 1 − z<br />
=<br />
<br />
3i<br />
(924)<br />
i<br />
<br />
1 − −<br />
3<br />
z<br />
<br />
+ −<br />
3i<br />
z<br />
<br />
2<br />
...<br />
3i<br />
(925)<br />
e questa serie converge per <br />
z − <br />
3i < 1 cioè |z| < 3 (entro il cerchio trinitario,<br />
sigh). Quin<strong>di</strong><br />
z2 (z − i) (z − 2i) (z − 3i)<br />
= i<br />
<br />
1 − −<br />
3<br />
z<br />
<br />
+ −<br />
3i<br />
z<br />
<br />
2<br />
...<br />
3i<br />
<br />
1 − − i<br />
<br />
+ −<br />
z<br />
i<br />
<br />
2 <br />
.. 1 − −<br />
z<br />
2i<br />
<br />
+ −<br />
z<br />
2i<br />
z<br />
siccomr le ultime due serie convergono per |z| > 2 mentre la prima converge per<br />
|z| < 3 l’espansione è valida nell’anello 2 < |z| < 3.<br />
Purtroppo è <strong>di</strong> scarsa utilità in quanto dovremmo calcolare la somma degli<br />
infiniti termini 1<br />
z<br />
Exercise 227 calcolare il seguente integrale sul cerchio |z| = 2<br />
<br />
1<br />
(z − i) 3 dz<br />
(z − 3i)<br />
(928)<br />
|z|=2<br />
142<br />
(926)<br />
<br />
2<br />
(927) ..
Svolgimento:<br />
Il cammino include il polo <strong>di</strong> terzo or<strong>di</strong>ne i . Però questa volta la funzione<br />
si annulla abbastanza velocemente all’infinito e quin<strong>di</strong> la somma dei residui è<br />
zero. Perciò <br />
1<br />
(z − i) 3 dz = −2πia(3i) −1<br />
(z − 3i)<br />
(929)<br />
e<br />
a (3i)<br />
−1<br />
|z|=2<br />
1<br />
= lim (z − 3i)<br />
z−→3i (z − i) 3 (z − 3i) =<br />
1 i<br />
3 =<br />
(3i − i) 8<br />
(930)<br />
L’esercizio sarebbe finito ma non è mai male trovare il risultato per vie <strong>di</strong>verse.<br />
Calcoliamo la serie <strong>di</strong> <strong>La</strong>urent ma senza calcolare i coefficienti con gli integrali.<br />
Innanzitutto cambiamo variabile<br />
avremo<br />
1<br />
(z − 3i) =<br />
1<br />
ζ − 2i =<br />
= i<br />
2<br />
<br />
1 −<br />
ζ = z − i (931)<br />
z = ζ + i (932)<br />
1<br />
<br />
−2i 1 + − ζ<br />
2i<br />
<br />
− ζ<br />
<br />
+ −<br />
2i<br />
ζ<br />
2i<br />
(933)<br />
2<br />
<br />
− − ζ<br />
<br />
3<br />
+ ..<br />
2i<br />
(934)<br />
<br />
<br />
valida per − ζ<br />
<br />
<br />
2i<br />
< 1 cioè |ζ| < 2 cioè nel cerchio <strong>di</strong> centro i e raggio<br />
2 : |z − i| < 2.(come deve dato che la prossima singolarità è a 3i)<br />
Abbiamo quin<strong>di</strong><br />
1<br />
(z − i) 3 (z − 3i)<br />
= i 1<br />
2 ζ 3<br />
<br />
1 − − ζ<br />
<br />
+ −<br />
2i<br />
ζ<br />
2i<br />
= i<br />
<br />
1 1 1<br />
2 3 + 2 − + ...<br />
ζ 2iζ 4ζ<br />
da cui si vede che il residuo è − i<br />
8 (come deve).<br />
.................................<br />
2<br />
<br />
− − ζ<br />
<br />
3<br />
+ ..<br />
2i<br />
6.2.1 Integrali reali calcolati in campo complesso<br />
(935)<br />
(936)<br />
(937)<br />
L’integrazione in campo complesso e il Teorema dei Residui permettono <strong>di</strong> calcolare<br />
molti integrali definiti in campo reale scegliendo opportunamente una<br />
funzione complessa ed un cammino chiuso. Per fare ciò occorre ’intuito’, una<br />
facoltà <strong>di</strong>fficilmente definibile ed esportabile... Comunque ci sono <strong>del</strong>le tipologie<br />
standard che esemplificheremo.<br />
143
-R<br />
Figure 23:<br />
Integrali <strong>del</strong> primo tipo Sono gli integrali <strong>del</strong> tipo<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
R<br />
f(x)dx (938)<br />
ove la funzione f(x) è una funzione razionale tale che la sua estensione<br />
complessa f(z) va a zero per |z| −→ ∞ più rapidamente <strong>di</strong> 1<br />
|z| . In tal caso si<br />
considera il percorso chiuso Γ costituito dal segmento (−R, R) e dal semicerchio<br />
γ con centro nell’origine e <strong>di</strong> raggio R (ve<strong>di</strong> figura 23)<br />
Allora<br />
<br />
Γ<br />
f(z)dz =<br />
R<br />
−R<br />
<br />
f(x)dx +<br />
γ<br />
f(z)dz (939)<br />
Ma nel limite R −→ ∞ il primo integrale a destra <strong>di</strong>viene l’integrale reale che<br />
si doveva calcolare (f(z) = f(x) sull’asse reale ) mentre il secondo integrale sul<br />
semicerchio <strong>di</strong> raggio <strong>di</strong>vergente va a zero per quanto detto prima. Dunque<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
<br />
f(x)dx = f(z)dz (940)<br />
144<br />
Γ
e l’integrale complesso, essendo la funzione razionale, può essere facilmente calcolato<br />
con il Teorema dei Residui.<br />
Anzi, siccome il semicerchio può essere impunemente preso nel semipiano<br />
superiore (come in figura 23) o nel semipiano inferiore, sembrerebbe opportuno<br />
dare uno sguardo preventivo alla funzione per vedere quale scelta è più conveniente<br />
(ovviamente se si ’chiude’ sopra conteranno nel teorema dei residui solo<br />
le singolarità poste nel semipiano immaginario positivo, viceversa se si ’chiude’<br />
sotto).<br />
Problem 228 In realtà tale consiglio è per ora superfluo... perchè?<br />
Remark 229 Se la funzione integranda è una funzione pari ovviamente possi-<br />
+∞<br />
amo anche calcolare gli integrali f(x)dx<br />
0<br />
Remark 230 ci siamo limitati finora a considerare funzioni razionali: in realtà<br />
i risultati possono essere estesi a funzioni più generali purchè continuabili<br />
analiticamente o nel semipiano superiore o in quello inferiore (ve<strong>di</strong> 236 ).<br />
.....................<br />
Exercise 231 Calcolare<br />
+∞<br />
−∞<br />
x + 1<br />
(x2 + 1) (x2 dx (941)<br />
− 4x + 5)<br />
Svolgimento: consideriamo la funzione ’complessificata’ z+1<br />
(z 2 +1)(z 2 −4z+5) :<br />
questa è razionale e si annulla abbastanza velocemente all’infinito (come |z| −3 )<br />
. Quin<strong>di</strong> applichiamo la 940. <strong>La</strong> funzione ha ovviamente poli semplici in z1 =<br />
+i, z2 = −i. Daltronde le ra<strong>di</strong>ci <strong>di</strong> z 2 − 4z + 5 si trovano facilmente e sono<br />
z3 = 2 − i, z4 = 2 + i. Se ’chiu<strong>di</strong>amo sopra’ avremo bisogno dei residui in<br />
z1 = +i, z4 = 2 + i<br />
a (i)<br />
−1 =<br />
i + 1<br />
(i + i) (i 2 − 4i + 5)<br />
mentre il residuo in z4 = 2 + i vale (check!)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
+∞<br />
−∞<br />
Exercise 232 Calcolare<br />
a (2+i)<br />
−1<br />
1 1 − i<br />
=<br />
8 1 − i<br />
= 1<br />
8<br />
(942)<br />
= −1 (1 + 2i) (943)<br />
8<br />
x + 1<br />
(x2 + 1) (x2 1<br />
π<br />
dx = i2π (1 − 1 − 2i) =<br />
− 4x + 5) 8 2<br />
(944)<br />
+∞<br />
x<br />
0<br />
2<br />
(x8 dx (945)<br />
+ 1)<br />
145
Integrali <strong>del</strong> secondo tipo Sono gli integrali <strong>del</strong> tipo<br />
oppure<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
f(x) cos (ax) dx (946)<br />
f(x) sin (ax) dx (947)<br />
ove a è una costante reale e la funzione f(x) è una funzione razionale tale<br />
che la sua estensione complessa f(z) va a zero per |z| −→ ∞ .In questo caso si<br />
considera<br />
<br />
Γ<br />
f(z)e iaz dz =<br />
R<br />
−R<br />
f(x)e iax <br />
dx +<br />
γ<br />
f(z)e iaz dz (948)<br />
ove il percorso Γ è lo stesso <strong>del</strong> caso precedente. Si può <strong>di</strong>mostrare, ma lasciamo<br />
la <strong>di</strong>mostrazione allo studente <strong>di</strong>ligente, che l’integrale sul semicerchio γ<br />
<strong>di</strong><br />
raggio R (e per a > 0) si annulla nel limite R −→ ∞ e quin<strong>di</strong> calcolando<br />
Γ<br />
f(z)e iaz dz con il Teorema dei Residui (notare che f(z) è razionale e e iaz è<br />
intera) abbiamo<br />
epperciò sarà<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
<br />
f(x) (cos (ax) + i sin(ax)) dx = f(z)e iaz dz (949)<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
<br />
+∞<br />
−∞<br />
Exercise 233 calcolare<br />
⎛<br />
<br />
f(x) cos (ax) dx = Re ⎝ f(z)e iaz ⎞<br />
dz⎠<br />
(950)<br />
Γ<br />
⎛<br />
<br />
f(x) sin (ax) dx = Im ⎝ f(z)e iaz ⎞<br />
dz⎠<br />
(951)<br />
+∞<br />
−∞<br />
Svolgimento: la funzione razionale<br />
Γ<br />
Γ<br />
x sin (πx)<br />
x2 dx (952)<br />
+ 2x + 2<br />
z<br />
z 2 +2z+2<br />
si annulla all’infinito come 1<br />
|z|<br />
(questo basta per gli integrali <strong>del</strong> secondo tipo! non sarebbe stato sufficiente<br />
per un integrale <strong>del</strong> primo tipo). Quin<strong>di</strong> consideriamo<br />
<br />
Γ<br />
zeiπz z2 dz (953)<br />
+ 2z + 2<br />
146
con Γ il solito percorso dato da figura 23. Si vede facilmente che la funzione ha<br />
due poli semplici in z1 = −1 + i, z2 = −1 − i e il residuo nel polo ’sopra’ è<br />
per cui<br />
<br />
Γ<br />
<br />
Γ<br />
ze iπz<br />
z 2 + 2z + 2<br />
a (−1+i)<br />
−1<br />
= − 1<br />
(1 + i) e−π<br />
2<br />
zeiπz z2 <br />
dz = i2π −<br />
+ 2z + 2 1<br />
<br />
(1 + i) e−π = (1 − i) πe<br />
2 −π<br />
dz =<br />
+∞<br />
−∞<br />
x cos (πx)<br />
x 2 + 2x + 2<br />
+∞<br />
−∞<br />
+∞<br />
−∞<br />
dx + i<br />
+∞<br />
−∞<br />
x cos (πx)<br />
x2 dx = πe−π<br />
+ 2x + 2<br />
x sin (πx)<br />
x2 dx = −πe−π<br />
+ 2x + 2<br />
(954)<br />
(955)<br />
x sin (πx)<br />
x 2 + 2x + 2 dx = πe−π − iπe −π<br />
Abbiamo così calcolato anche un secondo integrale oltre quello <strong>di</strong> partenza.<br />
Si può notare anche che il residuo nel polo ’sotto’ vale<br />
a (−1−i)<br />
−1<br />
= 1<br />
(−1 + i) eπ<br />
2<br />
(956)<br />
(957)<br />
(958)<br />
(959)<br />
e dunque la somma dei residui non è zero, come era da aspettarsi dato che la<br />
con<strong>di</strong>zione 905 non è rispettata.<br />
Integrali <strong>del</strong> terzo tipo Sono gli integrali <strong>del</strong> tipo<br />
<br />
0<br />
2π<br />
F (sin(φ), cos (φ)) dφ (960)<br />
ove la funzione F è una funzione razionale. Allora sul cerchio unitario avremo<br />
z = e iφ ; dz = ie iφ dφ = izdφ; (961)<br />
sin(φ) = eiφ − e−iφ = −<br />
2i<br />
i<br />
<br />
z −<br />
2<br />
1<br />
<br />
; (962)<br />
z<br />
cos(φ) = eiφ + e−iφ =<br />
2<br />
1<br />
<br />
z +<br />
2<br />
1<br />
<br />
; (963)<br />
z<br />
allora è chiaro che l’integrale dato si traduce nel piano complesso in<br />
<br />
F − i<br />
<br />
z −<br />
2<br />
1<br />
<br />
,<br />
z<br />
1<br />
<br />
z +<br />
2<br />
1<br />
<br />
−i<br />
z<br />
dz<br />
<br />
=<br />
z<br />
<br />
f (z) dz (964)<br />
|z|=1<br />
147<br />
|z|=1
Cosa sia la funzione f (z) dovrebbe essere chiaro ed è inoltre chiaro che essendo<br />
la funzione F (sin(φ), cos (φ)) una funzione razionale nei suoi argomenti allora<br />
la f (z) sarà una funzione razionale e f (z) dz potrà essere fruttuosamente<br />
|z|=1<br />
calcolato tramite il Teorema dei Residui.<br />
Exercise 234 calcolare<br />
2π<br />
0<br />
dφ<br />
sin(φ) − 2 cos (φ) + 3<br />
Svolgimento: passiamo sul cerchio unitario <strong>del</strong> piano complesso:<br />
2π<br />
0<br />
<br />
|z|=1<br />
dφ<br />
sin(φ) − 2 cos (φ) + 3 =<br />
<br />
|z|=1<br />
2dz<br />
(1 − 2i) z 2 + 6iz − (1 + 2i) =<br />
<br />
−i dz<br />
<br />
z<br />
<br />
|z|=1<br />
3 + 1<br />
2i<br />
z − 1<br />
z<br />
1<br />
− 2 1<br />
2<br />
(965)<br />
<br />
1 (966) =<br />
z + z<br />
2dz<br />
(z − (2 − i)) z − 2−i<br />
(967)<br />
5<br />
solo il polo z1 = 2−i<br />
5 è entro il cerchio untiario, il residuo <strong>del</strong>la funzione in tale<br />
polo semplice vale<br />
e quin<strong>di</strong><br />
2π<br />
Exercise 235 calcolare<br />
0<br />
2−i ( 5 ) i<br />
a −1 = −<br />
2<br />
dφ<br />
= i2π<br />
3 − 2 sin(φ) + 2 cos (φ)<br />
2π<br />
0<br />
dφ<br />
5 + 4 sin(φ)<br />
(968)<br />
<br />
− i<br />
<br />
= π (969)<br />
2<br />
Svolgimento: passiamo sul cerchio unitario <strong>del</strong> piano complesso:<br />
2π<br />
0<br />
<br />
|z|=1<br />
dφ<br />
5 + 4 sin(φ) =<br />
<br />
|z|=1<br />
dz<br />
2z 2 + 5iz − 2 =<br />
<br />
−i dz<br />
<br />
z<br />
<br />
|z|=1<br />
5 − 4 i<br />
2<br />
1<br />
z − 1<br />
z<br />
dz<br />
(2z + i) (z + 2i)<br />
(970)<br />
= (971)<br />
(972)<br />
solo il polo z1 = − i<br />
2 è entro il cerchio untiario, il residuo <strong>del</strong>la funzione in<br />
tale polo semplice vale<br />
a (− i 2)<br />
−1<br />
= −1 i (973)<br />
3<br />
148
e quin<strong>di</strong><br />
2π<br />
0<br />
dφ<br />
5 + 4 sin(φ)<br />
2<br />
= π (974)<br />
3<br />
Miscellanea integrale Passiamo ora ad alcuni esempi <strong>di</strong> integrali definiti<br />
reali che possono essere calcolati nel campo complesso attraverso opportune e<br />
fortunate scelte...<br />
Example 236 calcolare<br />
∞<br />
Si consideri <br />
0<br />
Γ<br />
ln 1 + x 2<br />
1 + x 2 dx (975)<br />
ln (i + z)<br />
dz (976)<br />
1 + z2 ove Γ è <strong>di</strong> nuovo il percorso in figura 23. Allora, considerando la determinazione<br />
principale <strong>del</strong> logaritmo, abbiamo entro il percorso solo il polo semplice z = i<br />
(check!). Quin<strong>di</strong><br />
per il quale il residuo è ln(2i)<br />
2i<br />
<br />
Γ<br />
ln (i + z) ln (2i)<br />
dz = i2π = π ln (2i) (977)<br />
1 + z2 2i<br />
Ma spezziamo questo integrale in tre parti: la prima lungo il segmento (−R, 0),<br />
poi lungo (0, R) e quin<strong>di</strong> sul semicerchio γ R <strong>di</strong> raggio R<br />
<br />
Γ<br />
ln (i + z)<br />
dx =<br />
1 + z2 0<br />
−R<br />
ln (i + x)<br />
dx +<br />
1 + x2 R<br />
0<br />
<br />
ln (i + x)<br />
dx +<br />
1 + x2 γR Ora il primo integrale può essere convenientemente riscritto<br />
ma<br />
R<br />
0<br />
<br />
0<br />
R<br />
0<br />
−R<br />
ln (i − x)<br />
dx +<br />
1 + x2 ln (i + x)<br />
dx =<br />
1 + x2 R<br />
0<br />
R<br />
0<br />
ln (i + x)<br />
dx =<br />
1 + x2 ln (−1) + ln 1 + x2 1 + x2 dx =<br />
R<br />
0<br />
149<br />
ln (i + z)<br />
dz = π ln (2i)<br />
1 + z2 (978)<br />
ln (i − x)<br />
dx (979)<br />
1 + x2 R<br />
0<br />
ln i 2 − x 2<br />
1 + x 2 dx = (980)<br />
ln 1 + x2 1 + x2 <br />
dx + iπ<br />
0<br />
R<br />
1<br />
dx (981)<br />
1 + x2
e quin<strong>di</strong><br />
π ln (2i) =<br />
R<br />
0<br />
tenendo conto che<br />
ln 1 + x2 1 + x2 <br />
dx + iπ<br />
0<br />
R<br />
<br />
1<br />
dx +<br />
1 + x2 γR ln (2i) = ln(2) + ln (i) = ln(2) + ln e<br />
e prendendo la parte reale <strong>del</strong>la 982 abbiamo<br />
R<br />
0<br />
ln 1 + x 2<br />
1 + x 2<br />
<br />
dx + Re<br />
γ R<br />
i π<br />
2<br />
ln (i + z)<br />
dz (982)<br />
1 + z2 = ln(2) + i π<br />
2<br />
(983)<br />
ln (i + z)<br />
dz = π ln(2) (984)<br />
1 + z2 Ma nel limite R −→ ∞ l’integrale sul semicerchio va a zero (ve<strong>di</strong> remark 230,<br />
) e quin<strong>di</strong><br />
in effetti la funzione va a zero più rapidamente <strong>di</strong> 1<br />
|z|<br />
∞<br />
0<br />
ln 1 + x 2<br />
1 + x 2 dx = π ln(2) (985)<br />
Lo studente anche volenteroso starà ora almeno brontolando tra sé: "OK, ma<br />
come accidenti riuscivo ad indovinare funzione e percorso?". Il fatto è che molto<br />
spesso si procede al contrario, cioè si cerca sotto la luce 11 . Voglio <strong>di</strong>re che si<br />
può partire da integrali in qualche modo calcolabili nel campo complesso e vedere<br />
dopo se implicano integrali + o - interessanti nel campo reale. In altre parole,<br />
invece <strong>di</strong> cercare la soluzione <strong>di</strong> un problema si vede qual’è il problema per cui<br />
abbiamo una soluzione...<br />
Example 237 calcolare<br />
∞<br />
0<br />
sin(x)<br />
dx (986)<br />
x<br />
Uno sarebbe tentato <strong>di</strong> <strong>di</strong>re che trattasi <strong>di</strong> integrale <strong>del</strong> secondo tipo... tuttavia<br />
anche per un fisico sorge qualche dubbio: la funzione integranda ha una singolarità<br />
sul cammino <strong>di</strong> integrazione. E’ pur vero che la singolarità è eliminabile<br />
e la funzione non <strong>di</strong>verge e quin<strong>di</strong> forse potremmo ignorarla (nel tal caso, in assenza<br />
<strong>di</strong> altre singolarità l’integrale sarebbe nullo: check! ). Epperò adottiamo<br />
una sana prudenza e suggeriamo una me<strong>di</strong>cina comune in questi casi: aggirare<br />
la singolarità (ve<strong>di</strong> figura ??)Quin<strong>di</strong> consideriamo il percorso Γ che va nel senso<br />
solito antiorario sul segmento (−R, −ε), poi sul semicerchio γ ε <strong>di</strong> raggio ε, e<br />
11 Si fa riferimento al noto aneddotto: un ubriaco stava cercando qualcosa sotto un lampione;<br />
passa un amico e gli chiede cosa stesse cercando "la mia chiave <strong>di</strong> casa" "e dove l’hai persa?"<br />
"vicino al portone <strong>di</strong> casa""e allora perchè la cerchi qui?""perchè qui c’è luce..."<br />
150
-R<br />
−ε<br />
ε<br />
Figure 24:<br />
ancora sul segmento (ε, R) per chiudersi infine con il semicerchio γ R <strong>di</strong> raggio<br />
R. Allora possiamo scrivere<br />
ma<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
Γ<br />
eiz dz =<br />
z<br />
<br />
Γ<br />
e iz<br />
z<br />
−ε<br />
−R<br />
e ix<br />
x<br />
−ε<br />
−R<br />
<br />
dz = 2i<br />
ε<br />
<br />
dx +<br />
e ix<br />
x<br />
R<br />
γ ε<br />
e iz<br />
z<br />
<br />
dx = −<br />
sin (x)<br />
x<br />
<br />
dz +<br />
ε<br />
R<br />
<br />
dx +<br />
γ ε<br />
ε<br />
R<br />
e ix<br />
x<br />
R<br />
<br />
dx +<br />
γ R<br />
eiz dz (987)<br />
z<br />
e−ix dx (988)<br />
x<br />
e iz<br />
z<br />
<br />
dz +<br />
γ R<br />
eiz dz (989)<br />
z<br />
Inoltre l’integrale <strong>di</strong> sinistra è nullo per il teorema <strong>di</strong> Cauchy (non ci sono<br />
singolarità entro il cammino) e anche l’ultimo integrale a destra è nullo nel<br />
limite R −→ ∞ (ve<strong>di</strong> integrali <strong>del</strong> secondo tipo). Resta<br />
<br />
2i<br />
ε<br />
∞<br />
sin (x)<br />
x<br />
<br />
dx = −<br />
151<br />
γ ε<br />
eiz dz (990)<br />
z
ma l’integrale a destra è facilmente calcolabile nel limite ε −→ 0<br />
e quin<strong>di</strong><br />
lim<br />
0<br />
ε−→0<br />
π<br />
∞<br />
0<br />
e iεeiφ<br />
εe iφ iεeiφ dφ = −iπ (991)<br />
sin (x)<br />
dx =<br />
x<br />
π<br />
2<br />
(992)<br />
Notare che il valore non nullo <strong>del</strong>l’integrale viene dal ’giro’ intorno singolarità<br />
in zero (anche se era una singolarità eliminabile: avevamo ragione ad essere<br />
prudenti!). Notare anche che se avessimo preso il semicerchio γ ε nel semipiano<br />
inferiore, includendo quin<strong>di</strong> la singolarità in zero, il risultato non sarebbe<br />
cambiato (si lascia la verifica allo studente).<br />
Example 238 calcolare<br />
∞<br />
0<br />
1<br />
(1 + x) 3√ dx (993)<br />
x<br />
Saremmo tentati <strong>di</strong> passare alla versione complessa <strong>del</strong>la funzione<br />
1<br />
(1 + z) 3√ z<br />
(994)<br />
ma avremmo un polo semplice in z = −1, che tuttavia non sarebbe sul cammino<br />
<strong>di</strong> integrazione, ma soprattutto un punto <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione in z = 0, con acclusa<br />
retta <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione (a.e. il semiasse reale positivo). Adottiamo la ’me<strong>di</strong>cina’<br />
suggerita nell’esempio precedente: aggiriamo gli ostacoli e scegliamo il percorso<br />
Γ dato in figura 25:In tale figura abbiamo esagerato la separazione δ che invece<br />
sarà un infinitesimo <strong>di</strong> or<strong>di</strong>ne superiore a ε, quin<strong>di</strong> i due percorsi paralleli al<br />
semiasse reale positivo collasseranno sullo stesso semiasse (notare che nel cammino<br />
Γ sono percorsi in senso inverso), il ’cerchio’ Cε collasserà nell’origine<br />
mentre invece come al solito faremo <strong>di</strong>vergere il ’cerchio’ esterno CR. Quin<strong>di</strong><br />
essendo il residuo in z = −1<br />
Daltronde<br />
a (−1)<br />
−1<br />
<br />
Γ<br />
= lim (1 + z)<br />
z−→−1<br />
<br />
Γ<br />
1<br />
(1 + z) 3√ z dz = i2π e<br />
1<br />
(1 + z) 3√ dz =<br />
z<br />
π −i 3<br />
(995)<br />
1<br />
(1 + z) 3√ φ<br />
= lim e−i 3 = e<br />
z φ−→π −i π 3 (996)<br />
<br />
CR<br />
<br />
+<br />
152<br />
Cε<br />
+<br />
<br />
R+iδ/2<br />
ε+iδ/2<br />
+<br />
ε−iδ/2 <br />
R−iδ/2<br />
(997)
-R<br />
-1 −ε δ<br />
Figure 25:<br />
Ora nel limite R −→ ∞, δ −→ 0, ε −→ 0 si ha<br />
<br />
−→ 0; −→ 0 (998)<br />
mentre<br />
e<br />
CR<br />
R+iδ/2 <br />
ε+iδ/2<br />
ε−iδ/2 <br />
R−iδ/2<br />
−→<br />
Cε<br />
∞<br />
0<br />
<br />
−→ −<br />
0<br />
∞<br />
x− 1 3<br />
dx (999)<br />
(1 + x)<br />
e −i 2 3 π x − 1 3<br />
(1 + x)<br />
dx (1000)<br />
ove si è tenuto conto <strong>del</strong>la rotazione <strong>di</strong> 2π per la parte polidroma. Quin<strong>di</strong><br />
cioè<br />
<br />
1 − e −i 2 ∞<br />
3 π<br />
∞<br />
0<br />
0<br />
x− 1 3<br />
dx =<br />
(1 + x)<br />
1 − x 3<br />
(1 + x) dx = i2πe−i π 3 (1001)<br />
i2π<br />
e i π 3 − e −i π 3<br />
153<br />
π<br />
=<br />
sin <br />
π<br />
(1002)<br />
3
Remark 239 la tecnica usata in questo ultimo esempio si può estendere per<br />
calcolare integrali <strong>del</strong> tipo<br />
∞<br />
x α f(x)dx (1003)<br />
0<br />
ove la funzione f(x) è una funzione razionale e la costante α può anche essere<br />
complessa. <strong>La</strong> con<strong>di</strong>zione da rispettare è<br />
−1 − q < Re(α) < −1 − p (1004)<br />
ove q, p marcano l’andamento <strong>del</strong>la funzione razionale f(x) in zero e all’infinito<br />
f(x) ≁<br />
x−→0 x q<br />
f(x) ≁<br />
x−→∞ xp<br />
(1005)<br />
(1006)<br />
In effetti la con<strong>di</strong>zione 1004 garantisce l’annullarsi dei contributi sul cerchio<br />
esterno <strong>di</strong> raggio R −→ ∞ e sul cerchio <strong>di</strong> raggio ε −→ 0<br />
Example 240 calcolare<br />
<br />
0<br />
∞<br />
cos x 2 dx (1007)<br />
<strong>La</strong> scelta <strong>del</strong>la funzione complessa è fortemente suggerita: eiz2... Ma quale<br />
percorso Γ scegliere? In accordo alla cabala (...) scegliamo quello in figura 26<br />
percorso come al solito in senso antiorario.Ora consideriamo che per il teorema<br />
<strong>di</strong> Cauchy abbiamo <br />
e iz2<br />
dz = 0 (1008)<br />
Divi<strong>di</strong>amo l’integrale in tre parti<br />
<br />
Γ<br />
Γ<br />
e iz2<br />
dz = 0 =<br />
R<br />
0<br />
<br />
+<br />
γ R<br />
<br />
+<br />
ove il primo integrale è sull’asse reale dall’origine a R e quin<strong>di</strong><br />
R<br />
0<br />
e ix2<br />
dx =<br />
R<br />
0<br />
R<br />
0<br />
(1009)<br />
cos x 2 + i sin x 2 dx (1010)<br />
Nel secondo integrale siamo sull’arco <strong>di</strong> cerchio <strong>di</strong> raggio R e quin<strong>di</strong> z =<br />
e iθ R; dz = ie iθ Rdθ<br />
<br />
γ R<br />
=<br />
φ<br />
o<br />
e ie2iθ R 2<br />
ie iθ Rdθ (1011)<br />
154
φ<br />
Figure 26:<br />
155<br />
R
ora scegliendo φ = π/4 si può <strong>di</strong>mostrare (check!)<br />
<br />
<br />
π/4<br />
<br />
e<br />
<br />
<br />
ie2iθR 2<br />
ie iθ <br />
<br />
<br />
<br />
Rdθ<br />
≤<br />
<br />
<br />
π 1 − e<br />
4<br />
−R2<br />
R<br />
<br />
e quin<strong>di</strong> nel limite R −→ ∞ l’integrale<br />
che riporta all’origine ove scriviamo<br />
0<br />
R<br />
o<br />
γ R<br />
(1012)<br />
vanisce. Resta l’integrale sul segmento<br />
z = re iπ/4 ; dz = e iπ/4 dr (1013)<br />
= e iπ/4<br />
0<br />
e ir2e iπ/2<br />
dr = e iπ/4<br />
<br />
Ma è ben noto (consultate le tavole degli integrali...) che<br />
e quin<strong>di</strong> nel limite R −→ ∞ abbiamo<br />
<br />
0<br />
∞<br />
R<br />
<br />
0<br />
∞<br />
cos x 2 + i sin x 2 dx =<br />
e −r2<br />
dr =<br />
Uguagliando parte reale con parte reale<br />
<br />
0<br />
∞<br />
0<br />
√ π<br />
2<br />
R<br />
√<br />
π<br />
2 eiπ/4 = 1<br />
<br />
π π<br />
+ i1<br />
2 2 2 2<br />
cos x 2 dx = 1<br />
<br />
π<br />
2 2<br />
0<br />
e −r2<br />
dr (1014)<br />
(1015)<br />
(1016)<br />
(1017)<br />
e nel contempo abbiamo anche mostrato (parte immaginaria=parte immaginaria)<br />
che<br />
∞<br />
sin x 2 dx = 1<br />
<br />
π<br />
2 2<br />
(1018)<br />
Nell’esempio 237 ci siamo imbattuti in un integrale con una singolarità sul<br />
cammino <strong>di</strong> integrazione. Ricor<strong>di</strong>amo che in campo reale in tal caso, cioè nel<br />
caso che la funzione integranda abbia una singolarità <strong>di</strong>ciamo in x0 , si definisce<br />
come valore <strong>del</strong>l’integrale il seguente limite (se esiste!)<br />
x2<br />
x1<br />
f(x)dx = lim<br />
ξ−→x −<br />
0 ,χ−→x+ 0<br />
⎛<br />
ξ<br />
x2<br />
⎞<br />
⎝ f(x)dx + f(x)dx⎠<br />
(1019)<br />
156<br />
x1<br />
χ
Notare che i due limiti dovrebbero essere in<strong>di</strong>pendenti. A volte però può<br />
succedere che il doppio limite a destra nella formula sopra non esista facendo i<br />
limiti in<strong>di</strong>pendentemente, ma invece esista prendendo<br />
ξ = x0 − ε; χ = x0 + ε (1020)<br />
e poi facendo il limite per ε −→ 0. In tal caso il valore <strong>di</strong> tale limite è detto<br />
valore principale <strong>di</strong> (alla) Cauchy <strong>del</strong>l’integrale dato.<br />
x2<br />
⎛<br />
x0−ε <br />
x2<br />
⎞<br />
℘ f(x)dx = lim ⎝ f(x)dx + f(x)dx⎠<br />
(1021)<br />
x1<br />
Example 241 si calcoli<br />
ε−→0<br />
x1<br />
2<br />
−3<br />
dx<br />
x 5<br />
x0+ε<br />
(1022)<br />
<strong>La</strong> funzione integranda ha una singolarità in x0 = 0 che è nel cammino <strong>di</strong><br />
integrazione. Proviamo ad applicare la 1019<br />
2<br />
−3<br />
dx<br />
x5 = lim<br />
ξ−→0 − ,χ−→0 +<br />
<br />
− 1<br />
4x4 −1<br />
4<br />
lim<br />
ξ−→0 − ,χ−→0 +<br />
<br />
1<br />
ξ<br />
evidentemente <strong>di</strong>vergente. Ma proviamo la 1021<br />
<br />
ξ<br />
<br />
−<br />
−3<br />
1<br />
4x4 <br />
2<br />
<br />
=<br />
χ<br />
(1023)<br />
1 1 1<br />
4 − + −<br />
34 24 χ4 <br />
(1024)<br />
2<br />
dx<br />
℘ =<br />
x5 −3<br />
<br />
lim −<br />
ε−→0<br />
1<br />
4x4 −ε<br />
<br />
<br />
−<br />
−3<br />
1<br />
4x4 <br />
2 <br />
<br />
=<br />
ε<br />
(1025)<br />
−1<br />
4 lim<br />
<br />
1 1 1 1<br />
ε−→0 4 − + −<br />
(−ε) 34 24 (ε) 4<br />
<br />
<br />
−1<br />
−<br />
4<br />
= (1026)<br />
1 1<br />
+<br />
34 24 <br />
(1027)<br />
il limite esiste grazie ad una provvidenziale cancellazione...<br />
Si può riportare tale proce<strong>di</strong>mento sul campo complesso. Noi ci limiteremo<br />
al caso in cui la funzione integranda abbia un polo semplice sul cammino <strong>di</strong><br />
integrazione: cioè considerermo integrali <strong>del</strong> tipo<br />
<br />
Γ<br />
f (z)<br />
dz (1028)<br />
z − z0<br />
ove Γ è una linea nel piano complesso (possibilmente chiusa), f (z) è analitica<br />
su Γ e il polo semplice z0 cade sul cammino <strong>di</strong> integrazione (z0 ∈ Γ). Allora<br />
157
A<br />
C<br />
B<br />
Figure 27:<br />
circon<strong>di</strong>amo il polo con un cerchio <strong>di</strong> raggio ǫ e consideriamo uno dei due possibili<br />
percorsi alternativi Γ+, Γ− in<strong>di</strong>cati nella figura 27<br />
Precisamente in<strong>di</strong>chiamo con Γ+ il percorso A → B → C → E → F e con<br />
Γ− il percorso A → B → D → E → F . Notare che comunque sia il percorso<br />
originale Γ da B a E, considerando che il cerchio ha raggio ε piccolo (faremo<br />
poi il limite ε −→ 0), lo abbiamo in pratica approssimato con il <strong>di</strong>ametro BE<br />
tangente a Γ in z0 e quin<strong>di</strong> sostituito con uno dei due semicerchi. L’angolo φ<br />
in figura è quin<strong>di</strong> l’inclinazione <strong>del</strong>la tangente a Γ in z0.Notare che ovviamente<br />
tutti e due i percorsi Γ+, Γ− tendono a Γ per ε −→ 0. E’ chiaro quin<strong>di</strong> che<br />
<br />
Γ+(Γ−)<br />
=<br />
B<br />
A,Γ<br />
+<br />
F<br />
E,Γ<br />
+<br />
<br />
z0<br />
BCE(BDE)<br />
D<br />
φ<br />
E<br />
(1029)<br />
ove abbiamo in<strong>di</strong>cato con BCE (BDE) il semicerchio <strong>di</strong> centro z0 e raggio<br />
ε che va da B a C a E (B a D a E ).Ma nel limite ε −→ 0 sia B che E tendono<br />
a z0 (e insieme), quin<strong>di</strong> viene naturale per analogia al caso reale chiamare valor<br />
principale alla Cauchy tale limite<br />
<br />
℘<br />
Γ<br />
f (z)<br />
dz = lim<br />
z − z0 ε−→0<br />
158<br />
⎛<br />
<br />
⎝<br />
B<br />
A,Γ<br />
+<br />
F<br />
E,Γ<br />
⎞<br />
⎠ (1030)<br />
F
Inoltre nello stesso limite ve<strong>di</strong>amo quanto valgono gli integrali sui semicerchi.<br />
<br />
f (z)<br />
dz =<br />
z − z0<br />
<br />
f z0 + εeiθ εeiθ iεe iθ dθ = i<br />
<br />
f z0 + εe iθ dθ<br />
BCE(BDE)<br />
BCE(BDE)<br />
Nel limite ε −→ 0 (f (z) è analitica!)<br />
<br />
f (z)<br />
dz = if (z0)<br />
z − z0<br />
BCE(BDE)<br />
<br />
BCE(BDE)<br />
ora occorre <strong>di</strong>stinguere.. per gli angoli (ve<strong>di</strong> figura 27)<br />
<br />
BCE<br />
<br />
BDE<br />
dθ =<br />
dθ =<br />
φ<br />
φ+π<br />
<br />
2π+φ<br />
φ+π<br />
e quin<strong>di</strong> ricapitolando (ve<strong>di</strong> anche 1029,1030)<br />
<br />
f (z)<br />
℘ dz = ±iπf (z0) +<br />
z − z0<br />
Γ<br />
BCE(BDE)<br />
(1031)<br />
dθ (1032)<br />
dθ = −π (1033)<br />
dθ = π (1034)<br />
<br />
Γ+(Γ−)<br />
f (z)<br />
dz (1035)<br />
z − z0<br />
Qualche studente attento avrè obiettato che avrei dovuto scrivere<br />
lim<br />
ε−→0<br />
<br />
f (z)<br />
dz<br />
z − z0<br />
(1036)<br />
Γ+(Γ−)<br />
in realtà essendo la funzione integranda analitica almeno in una regione intorno<br />
a z0, posso deformare a piacere le curve Γ+ (Γ−) a patto che rimangano senza<br />
cappi e fino alla prossima singolarità <strong>di</strong> f (z) .<br />
Se la curva Γ è una curva chiusa allora<br />
<br />
Γ+(Γ−)<br />
f (z)<br />
dz potrebbe essere<br />
z − z0<br />
calcolabile con il teorema dei residui, epperò la scelta <strong>di</strong> Γ+ o Γ− può includere<br />
o meno il polo z0 . Tuttavia il risultato è lo stesso! infatti ammettiamo che Γ<br />
sia chiusa "sopra" in modo che Γ+ non include z0. Sia<br />
Allora<br />
<br />
℘<br />
Γ<br />
<br />
Γ+<br />
f (z)<br />
dz = α (1037)<br />
z − z0<br />
f (z)<br />
dz = +iπf (z0) + α (1038)<br />
z − z0<br />
159
Ma allora Γ− include tutte le singolarità già incluse in Γ+ con inoltre il polo<br />
semplice z0 ove la funzione integranda ha residuo<br />
e quin<strong>di</strong> <br />
a (z0)<br />
− = lim (z − z0)<br />
z−→z0<br />
Γ−<br />
ma allora<br />
<br />
<br />
f (z)<br />
℘ dz = −iπf (z0)+<br />
z − z0<br />
Γ<br />
f (z)<br />
= f (z0) (1039)<br />
z − z0<br />
f (z)<br />
dz = α + i2πf (z0) (1040)<br />
z − z0<br />
Γ−<br />
f (z)<br />
dz = −iπf (z0)+α+i2πf (z0) = +iπf (z0)+α<br />
z − z0<br />
(1041)<br />
Problem 242 a prima vista sembra che il converso (cioè chiusura ’sotto’ ) non<br />
funzioni... spiegare!<br />
7 Funzioni complesse come trasformazioni (rappresentazioni)<br />
Abbiamo già visto che la più generale funzione complessa è la somma (complessa)<br />
<strong>di</strong> due funzioni reali <strong>di</strong> due variabili reali:<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) (1042)<br />
<strong>La</strong> funzione w ovviamente stabilisce una corrispondenza tra i punti <strong>del</strong><br />
piano complesso, precisamente fa corrispondere ad un certo punto P <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate<br />
x, y <strong>del</strong> suo dominio un punto P ′ <strong>del</strong> codominio avente coor<strong>di</strong>nate<br />
u(x, y), v(x, y).Ovviamente a <strong>del</strong>le linee corrisponderanno (in genere!) <strong>del</strong>le linee,<br />
a <strong>del</strong>le figure geometriche altre figure geometriche... Conviene però a volte<br />
considerare separati i piani complessi <strong>del</strong> dominio e <strong>del</strong> codominio <strong>del</strong>la funzione,<br />
cioè considerare la funzione come una rappresentazione <strong>del</strong> piano complesso Cz<br />
, cioè il piano in cui le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto (z) sono x, y, nel piano Cw in<br />
cui le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> un punto (w) sono u, v. Una funzione quin<strong>di</strong> ’rappresenta’<br />
cioè crea un’immagine nel piano Cw <strong>di</strong> punti, linee, regioni <strong>del</strong> piano Cz. Consideriamo<br />
alcune trasformazioni elementari (che sono state in vario modo già<br />
menzionate).<br />
• Omotetia (scala, stiramento)<br />
e quin<strong>di</strong><br />
w = az; a ∈ ℜ+<br />
(1043)<br />
|w| = a |z| (1044)<br />
160
Figure 28:<br />
E’ forse la più semplice trasformazione: agisce ovviamente sul modulo <strong>del</strong><br />
vettore −→ z cosicchè i punti sono allontanati dall’origine se a > 1 oppure avvicinati<br />
se a < 1. Ovviamente ci sarà un effetto <strong>di</strong> ingran<strong>di</strong>mento per le figure nel primo<br />
caso, <strong>di</strong> contrazione nel secondo.<br />
• Traslazione<br />
o in coor<strong>di</strong>nate cartesiane<br />
w = z + α (1045)<br />
u = x + Re (α) (1046)<br />
v = y + Im (α) (1047)<br />
E’ anche questa una trasformazione molto semplice: sposta punti, linee,<br />
figure <strong>di</strong> un tratto pari a |α| nella <strong>di</strong>rezione e verso <strong>del</strong> vettore −→ α<br />
Example 243 Trovare il trasformato <strong>del</strong> rettangolo con vertici A ≡ (0, 0) , B ≡<br />
(1, 0) , C ≡ (1, 2i) , B ≡ (0, 2i) sotto l’azione <strong>del</strong>la traslazione w = z+1−3i.Ve<strong>di</strong><br />
figura<br />
161
• Rotazione<br />
e quin<strong>di</strong> in coor<strong>di</strong>nate polari<br />
w = e iθ z (1048)<br />
arg (w) = arg (z) + θ (1049)<br />
E’chiaro che ruota i vettori (e quin<strong>di</strong> le figure) <strong>di</strong> un angolo θ, rotazione<br />
antioraria per θ positivo, rotazione oraria per θ negativo.<br />
• Inversione<br />
w = 1<br />
z<br />
L’effetto <strong>di</strong> tale trasformazione è chiaro in coor<strong>di</strong>nate polari<br />
(1050)<br />
|w| = 1<br />
|z|<br />
(1051)<br />
arg(w) = − arg (z) (1052)<br />
Quin<strong>di</strong> ogni punto viene ’riflesso’ secondo l’asse reale e poi portato entro<br />
il cerchio unitario se era fuori, fuori dal cerchio unitario se era dentro (0 e<br />
∞ sono punti corrispondenti).<br />
Chiaramente due o più trasformazioni possono essere composte tra <strong>di</strong> loro<br />
dando origine a una trasformazione in genere più complessa.<br />
Per esempio il prodotto (complesso)<br />
w = αz (1053)<br />
è chiaramente la combinazione <strong>di</strong> uno stiramento e <strong>di</strong> una rotazione (come avevamo<br />
già notato)<br />
w = |α| e i arg(α) z (1054)<br />
Così una trasformazione lineare<br />
w = αz + β (1055)<br />
è combinazione <strong>di</strong> uno stiramento, <strong>di</strong> una rotazione e <strong>di</strong> una traslazione.<br />
<strong>La</strong> trasformazione <strong>di</strong> Moebius (o bilineare o fratta)<br />
w =<br />
αz + β<br />
; αδ − βγ = ∆ = 0 (1056)<br />
γz + δ<br />
è una combinazione <strong>di</strong> tutte le trasformazioni elementari (omotetia, traslazione,<br />
rotazione, inversione). Infatti si può facilmente vedere che<br />
αz + β<br />
γz + δ<br />
= λ + µ<br />
z + ν<br />
162<br />
(1057)
con<br />
λ = α<br />
γ<br />
µ =<br />
αδ − βγ<br />
−<br />
γ2 ν = δ<br />
γ<br />
(1058)<br />
(1059)<br />
(1060)<br />
Una trasformazione potrà essere ’annullata’ con la successiva applicazione<br />
<strong>del</strong>la trasformazione inversa, ovviamente se e dove la funzione che la esprime è<br />
invertibile!. Dall’analisi reale sappiamo che la trasformazione<br />
cioè<br />
(x, y) T<br />
−→ (u, v) (1061)<br />
u = u(x, y) (1062)<br />
v = v(x, y) (1063)<br />
è invertibile se lo Jacobiano <strong>del</strong>la trasformazione è non nullo. Ricor<strong>di</strong>amo<br />
che lo Jacobiano <strong>del</strong>la trasformazione T è definito come<br />
<br />
∂ (u, v) <br />
JT = = det <br />
∂ (x, y) ∂xu<br />
<br />
∂yu <br />
<br />
∂xv ∂yv = uxvy − uyvx (1064)<br />
Se esiste la trasformazione inversa<br />
(u, v)<br />
T (−1)<br />
−→ (x, y) (1065a)<br />
x = x(u, v) (1065b)<br />
y = y(u, v) (1065c)<br />
allora si <strong>di</strong>mostra che il suo Jacobiano è l’inverso <strong>del</strong>lo Jacobiano <strong>del</strong>la<br />
trasformazione ’<strong>di</strong>retta’<br />
JT (−1) = (JT ) −1<br />
(1066)<br />
cioè −1 ∂ (u, v)<br />
=<br />
∂ (x, y)<br />
∂ (x, y)<br />
∂ (u, v)<br />
(a giustificazione <strong>del</strong>la notazione). <strong>La</strong> prova è semplice:<br />
ma se esiste la trasformazione inversa dalle 1065<br />
(1067)<br />
du = uxdx + uydy (1068)<br />
dv = vxdx + vydy (1069)<br />
dx = xudu + xvdv (1070)<br />
dy = yudu + yvdv (1071)<br />
163
e quin<strong>di</strong><br />
perciò deve essere<br />
e analogamente<br />
du = ux (xudu + xvdv) + uy (yudu + yvdv) (1072)<br />
= (uxxu + uyyu) du + (uxxv + uyyv) dv (1073)<br />
uxxu + uyyu = 1 (1074)<br />
uxxv + uyyv = 0 (1075)<br />
vxxu + vyyu = 0 (1076)<br />
vxxv + vyyv = 1 (1077)<br />
ma il determinante <strong>del</strong> prodotto è il prodotto dei determinanti e quin<strong>di</strong><br />
<br />
<br />
JT JT (−1) = det <br />
∂xu<br />
<br />
∂yu <br />
<br />
∂xv ∂yv . det <br />
∂ux<br />
<br />
∂vx <br />
<br />
∂uy ∂vy = (1078)<br />
<br />
<br />
det <br />
uxxu<br />
<br />
+ uyyu uxxv + uyyv <br />
<br />
= det 1 0 <br />
<br />
0 1 = 1 (1079)<br />
vxxu + vyyu vxxv + vyyv<br />
da cui la 1066. Si può quin<strong>di</strong> riassumere così: se in una certa regione lo Jacobiano<br />
non si annulla mai in quella regione la trasformazione è invertibile (cioè<br />
biunivoca; in realtà occorrerebbe aggiungere che le funzioni u(x, y), v(x, y) siano<br />
infinitamente derivabili). Quanto detto degli Jacobiani vale (mutatis mutan<strong>di</strong>s)<br />
anche per spazi a 3 o più <strong>di</strong>mensioni e non solo nel piano. Però nel piano complesso<br />
abbiamo una espressione felice per lo Jacobiano se la funzione 1042 è<br />
analitica<br />
w = u(x, y) + iv(x, y) = f(z) (1080)<br />
Infatti è facile vedere che<br />
JT =<br />
∂ (u, v)<br />
∂ (x, y) = uxvy − uyvx = |f ′ (z)| 2<br />
In effetti se w = f(z) è analitica allora per CR<br />
ma<br />
e dunque<br />
QED.<br />
JT = uxvy − uyvx = (ux) 2 + (vx) 2<br />
w ′ = f ′ (z) = fx = ux + ivx<br />
JT = (ux) 2 + (vx) 2 =<br />
164<br />
<br />
<br />
w ′ 2<br />
(1081)<br />
(1082)<br />
(1083)<br />
(1084)
Quin<strong>di</strong> le trasformazioni indotte da funzioni analitiche sono biunivoche e<br />
invertibili ovunque non sia nulla la derivata <strong>del</strong>la funzione. Gli eventuali punti<br />
in cui la derivata si annulla sono detti punti critici .<br />
Il valore <strong>del</strong> modulo <strong>del</strong>la derivata in un punto z0, cioè |f ′ (z0)| , è detto<br />
fattore <strong>di</strong> amplificazione lineare in z0. Infatti si può <strong>di</strong>mostrare (ma non lo<br />
faremo) che ’piccole’ <strong>di</strong>stanze nei <strong>di</strong>ntorni <strong>di</strong> z0 e quin<strong>di</strong> nel piano complesso Cz,<br />
sono ingran<strong>di</strong>te (o ridotte) nel piano immagine Cw <strong>di</strong> un fattore <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong><br />
|f ′ (z0)| mentre ’piccole’ aree sempre nell’intorno <strong>di</strong> z0 sono ingran<strong>di</strong>te (o ridotte)<br />
<strong>di</strong> un fattore <strong>del</strong>l’or<strong>di</strong>ne <strong>di</strong> |f ′ (z0)| 2 (lo Jacobiano!) e quin<strong>di</strong> |f ′ (z0)| 2 viene detto<br />
fattore <strong>di</strong> amplificazione superficiale. Ma c’è una ulteriore importante proprietà<br />
<strong>del</strong>le funzioni analitiche viste come trasformazioni: esse sono trasformazioni<br />
(rappresentazioni) conformi.<br />
Definition 244 <strong>di</strong>cesi trasformazione (rappresentazione) conforme in z0 ≡ (x0, y0)<br />
una trasformazione che lascia gli angoli invariati in ampiezza e verso. Cioè:<br />
prese due curve qualsiasi Γ1, Γ2 che passano per z0 ≡ (x0, y0) l’angolo φ 1,2 formato<br />
dalle tangenti alle curve in z0 è lo stesso angolo (in ampiezza e verso)<br />
formato dalle immagini <strong>del</strong>le curve nell’immagine <strong>di</strong> z0<br />
Definition 245 una trasformazione che lascia invariate le ampiezze degli angoli<br />
ma non necessariamente il verso <strong>di</strong>cesi trasformazione isogonale.<br />
Quin<strong>di</strong> la trasformazione conforme è una speciale trasformazione isogonale.<br />
Per <strong>di</strong>mostrare che una funzione analitica costituisce una rappresentazione conforme<br />
in tutti i punti non critici, abbiamo bisogno <strong>di</strong> un lemma (che <strong>di</strong> per sè<br />
garantisce una importante proprietà <strong>di</strong> queste trasformazioni):<br />
Lemma 246 sia data la trasformazione w = f(z) e sia z0 un punto non critico<br />
(cioè f ′ (z0) = 0). Consideriamo una generica curva Γz nel piano Cz passante<br />
per z0 data dall’equazione parametrica z = z(t) e consideriamo la sua immagine<br />
Γw nel piano Cw passante per w0 = f (z0) e data dall’equazione parametrica<br />
w = f(z (t)) = w(t) (1085)<br />
allora la curva Γw in w0 = f (z0) è ruotata rispetto a Γz in z0 <strong>di</strong> un angolo pari<br />
a arg(f ′ (z0))<br />
Proof. consideriamo che la tangente a Γz in z0 è data ovviamente da dz<br />
<br />
<br />
dt =<br />
z=z0<br />
r0eiφ0 (piano<br />
Cz) e analogamente nel piano Cw la tangente a Γw in w0 è data<br />
= R0eiθ0 . Ma<br />
da dw<br />
dt<br />
w=w0<br />
dw<br />
dt<br />
dw dz<br />
=<br />
dz dt = f ′ (z) dz<br />
dt<br />
(1086)<br />
(essendo w = f(z) analitica). Se calcoliamo l’espressione precedente in z0, w0 e<br />
in forma polare abbiamo<br />
R0e iθ0 = |f ′ (z0)| e i arg(f ′ (z0)) r0e iφ 0 (1087)<br />
165
e quin<strong>di</strong><br />
θ0 = φ 0 + arg(f ′ (z0)) (1088)<br />
QED<br />
Quin<strong>di</strong> tutte le curve vengono ruotate nello stesso verso e <strong>del</strong>lo stesso angolo,<br />
per cui l’angolo tra due curve rimane invariato. Notare che nei punti critici<br />
arg(f ′ (z0)) = arg (0) quin<strong>di</strong> l’angolo <strong>di</strong> rotazione è indeterminato.<br />
Le trasformazioni conformi, lasciando invariati gli angoli, trasformano ’piccole’<br />
figure in figure simili (ma ciò non inganni! figure ’gran<strong>di</strong>’ hanno generalmente<br />
come immagine figure tutt’altro che simili...).<br />
Spesso nello stu<strong>di</strong>o <strong>del</strong>le trasformazioni oltre ai punti critici è importante<br />
trovare i cosiddetti punti fissi ( o invarianti) <strong>del</strong>la trasformazione stessa, cioè<br />
quei punti che, sovrapponendo il piano immagine Cw a Cz , non si ’muovono’<br />
(sono corrispondenti <strong>di</strong> se stessi). Questi punti sono ovviamente soluzione<br />
<strong>del</strong>l’equazione<br />
w = f (z) = z (1089)<br />
Exercise 247 Considerare la trasformazione conforme data da<br />
w = f (z) = z 2<br />
(1090)<br />
Trovare lo Jacobiano, i punti critici e i punti fissi. Trovare il fattore <strong>di</strong> amplificazione<br />
lineare e <strong>di</strong>mostrare che effettivamente piccole <strong>di</strong>stanze da un generico<br />
punto z0 sono amplificate (ridotte) <strong>del</strong> fattore trovato a meno che il punto z0<br />
non sia un punto critico.<br />
Svolgimento:<br />
Lo Jacobiano <strong>del</strong>la trasformazione è dato da<br />
|f ′ (z)| 2 = 4 |z| 2<br />
(1091)<br />
L’unico punto in cui si annulla e quin<strong>di</strong> l’unico punto critico è z = 0 (notare che<br />
questo è un punto singolare <strong>di</strong> <strong>di</strong>ramazione per la funzione inversa).<br />
I punti fissi sono soluzione <strong>di</strong><br />
e quin<strong>di</strong> sono z1 = 0, z2 = 1.<br />
Il fattore <strong>di</strong> amplificazione lineare è<br />
Pren<strong>di</strong>amo un punto ˆz vicino a un generico z0, cioè<br />
<strong>La</strong> <strong>di</strong>stanza nel piano Cz è<br />
z 2 = z (1092)<br />
|f ′ (z)| = 2 |z| (1093)<br />
ˆz = z0 + ε (1094)<br />
|ˆz − z0| = |ε| (1095)<br />
166
<strong>La</strong> <strong>di</strong>stanza tra le immagini (cioè nel piano Cw ) sarà<br />
<br />
ˆz 2 − z 2 <br />
<br />
0 = |(ˆz − z0) (ˆz + z0)| = |ε| |ˆz − z0 + 2z0| ≈ (2 |z0|) |ε| (1096)<br />
e quin<strong>di</strong> il fattore <strong>di</strong> amplificazione lineare è effettivamente 2 |z0| .<br />
Notare che abbiamo preso ε abbastanza piccolo in modulo da essere trascurabile<br />
rispetto al modulo <strong>di</strong> z0: questo è evidentemente sempre possibile a meno<br />
che z0 = 0 (che guarda caso è il punto critico...).<br />
Exercise 248 mostrare che la trasformazione w = ln(z) trasforma corone circolari<br />
nel piano Cz in rettangoli nel piano Cw<br />
Exercise 249 mostrare che la trasformazione<br />
w = e π<br />
L z<br />
(1097)<br />
trasforma una striscia orizzontale illimitata <strong>di</strong> ampiezza L nel piano Cz nel<br />
semipiano superiore <strong>del</strong> piano Cw<br />
Exercise 250 mostrare che la trasformazione<br />
w = z n ; n ∈ N (1098)<br />
trasforma una settore illimitato <strong>di</strong> ampiezza π<br />
n nel piano Cz nel semipiano superiore<br />
<strong>del</strong> piano Cw<br />
Le trasformazioni <strong>di</strong> Moebius, essendo una sintesi <strong>del</strong>le trasformazioni elementari,<br />
sono molto interessanti e meritano qualche ulteriore riflessione. Innanzitutto<br />
formano un gruppo (non commutativo).<br />
In effetti se consideriamo la trasformata <strong>di</strong> Moebius come un operatore as-<br />
tratto M<br />
allora<br />
con<br />
w = M z =<br />
˜MM z = ˜Mw = ˜αw + ˜ β<br />
˜γw + ˜ δ<br />
αz + β<br />
γz + δ<br />
αz+β<br />
˜α γz+δ<br />
= + ˜β<br />
˜γ αz+β<br />
γz+δ + ˜δ = ˆαz + ˆ β<br />
ˆγz + ˆδ (1099)<br />
(1100)<br />
ˆα = ˜αα + ˜ βγ (1101a)<br />
ˆβ = ˜αβ + ˜ βδ (1101b)<br />
ˆγ = ˜γα + ˜δγ (1101c)<br />
˜δ = ˜γβ + ˜δδ (1101d)<br />
Quin<strong>di</strong> la composizione (prodotto) <strong>di</strong> due trasformazioni <strong>di</strong> Moebius è ancora<br />
una trasformazione <strong>di</strong> Moebius (esistenza <strong>del</strong> prodotto e chiusura ). Che il<br />
167
prodotto non sia commutativo è evidente dalle 1101: non sono invarianti nello<br />
scambio ˜α ↔ α, etc.<br />
Vale invece la proprietà associativa <strong>del</strong> prodotto (la prova è lasciata come<br />
utile esecizio allo studente).<br />
Esiste l’identità che è evidentemente la trasformazione <strong>di</strong> Moebius con parametri<br />
Esiste la trasformazione inversa che è<br />
infatti<br />
MM −1 z =<br />
δz−β<br />
α −γz+α + β<br />
γ δz−β<br />
−γz+α<br />
α = 1; β = γ = δ = 0 (1102)<br />
w = M −1 z =<br />
δz − β<br />
−γz + α<br />
+ δ = α (δz − β) + β (−γz + α)<br />
γ (δz − β) + δ (−γz + α)<br />
(1103)<br />
= z (1104)<br />
Quin<strong>di</strong> le trasformazioni <strong>di</strong> Moebius formano un gruppo non-commutativo (che<br />
ha anche interessanti sottogruppi...).<br />
Exercise 251 trovare i punti fissi e i punti critici <strong>di</strong> una trasformazione <strong>di</strong><br />
Moebius<br />
Un’altra interessante proprità <strong>del</strong>le trasformazioni <strong>di</strong> Moebius consiste nel<br />
fatto che trasformano cerchi in cerchi. In effetti essendo la trasformazione<br />
<strong>di</strong> Moebius una combinazione <strong>di</strong> traslazione, rotazione, omotetia e inversione<br />
basterà mostrare che singolarmente queste trasformazioni portano cerchi in cerchi.<br />
Per la traslazione e la rotazione e omotetia il fatto è evidente (ciè è evidente<br />
per una trasformazione lineare). Resta da verificare cosa succede con una inversione<br />
w = 1 1<br />
; z = (1105)<br />
z w<br />
Partiamo da un generico cerchio nel piano Cz <strong>di</strong> centro z0 e raggio R<br />
cioè<br />
|z − z0| = R (1106)<br />
z¯z − ¯z0z − z0¯z + z0¯z0 = R 2<br />
allora applicando la trasformazione avremo nel piano Cw<br />
ovvero<br />
w0<br />
w ¯w− ¯w<br />
1 − R2 |w0|<br />
1 1 1 1<br />
− − + = R<br />
w ¯w ¯w0w w0 ¯w w0 ¯w0<br />
2<br />
(1107)<br />
(1108)<br />
w0 ¯w0 − w0 ¯w − ¯w0w + w ¯w = R 2 w0 ¯w0w ¯w (1109)<br />
2 −w<br />
¯w0<br />
1 − R2 w0 ¯w0<br />
2 + <br />
|w0|<br />
1 − R2 |w0| 22 =<br />
w0 ¯w0<br />
<br />
1 − R2 |w0| 22 −<br />
w0 ¯w0<br />
1 − R2 |w0| 2<br />
168<br />
(1110)
che è il cerchio <strong>di</strong> centro<br />
e raggio quadrato<br />
cioè raggio<br />
wC =<br />
w0<br />
1 − R 2 |w0| 2<br />
ρ 2 <br />
w0 ¯w0 1 − 1 + R<br />
=<br />
2 |w0| 2<br />
<br />
1 − R2 |w0| 22 R |w0|<br />
ρ =<br />
2<br />
<br />
<br />
1 − R2 |w0| 2 <br />
se riesprimiamo il centro e il raggio in termini <strong>di</strong> z abbiamo<br />
Notiamo che se<br />
wC =<br />
1<br />
z0<br />
1 − R 2 1<br />
|z0| 2<br />
=<br />
R<br />
ρ = <br />
<br />
|z0| 2 − R2 <br />
<br />
<br />
¯z0<br />
|z0| 2 − R 2<br />
(1111)<br />
(1112)<br />
(1113)<br />
(1114)<br />
(1115)<br />
|z0| = R (1116)<br />
allora il punto z = 0 è un punto sul cerchio originale, ma l’inversione manda<br />
questo punto nel punto all’infinito <strong>del</strong> piano immagine e qui<strong>di</strong> ci aspettiamo che<br />
l’immagine <strong>del</strong> cerchio <strong>di</strong> partenza <strong>di</strong>venti un poco strana... in effetti è facile<br />
vedere (da 1110) che abbiamo<br />
wz0 + ¯w¯z0 = 1 (1117)<br />
cioè una retta (che comunque può essere considerata come un cerchio degenere<br />
<strong>di</strong> raggio infinito (ve<strong>di</strong> 1115).<br />
Un’ultima considerazione: la trasformazione <strong>di</strong> Moebius sembra avere 4<br />
parametri complessi ma in realtà ha solo tre parametri liberi. Infatti è possibile<br />
<strong>di</strong>videre ad esempio per α numeratore e denominatore ottenendo<br />
w = z + ˜ β<br />
˜γz + ˜δ ; ˜ β = β γ<br />
; ˜γ =<br />
α α ; ˜δ = δ<br />
α ; ˜δ − ˜ β˜γ = 0; (1118)<br />
che è ovviamente la stessa trasformazione. Questo a volte può essere sfruttato<br />
per scegliere un parametro a piacere, spesso si sceglie il <strong>di</strong>scriminante<br />
αδ − βγ = ∆ = 1.Dato che la trasformazione ha 3 paramenteri (complessi)<br />
liberi allora è possibile scegliere a piacere 3 punti (eventualmente anche il punto<br />
all’infinito) <strong>del</strong> piano Cw come corrispondenti <strong>di</strong> 3 assegnati punti nel piano Cz<br />
(e viceversa). Si può facilmente <strong>di</strong>mostrare (ma lo lasciamo come utile esecizio<br />
169
per lo studente che dati i tre punti zk ∈ Cz e i corrispondenti wk ∈ Cw, k = 1, 2, 3<br />
allora vale<br />
(w − w1) (w2 − w3)<br />
(w − w3) (w2 − w1) = (z − z1) (z2 − z3)<br />
(z − z3) (z2 − z1)<br />
(1119)<br />
Questo tipo <strong>di</strong> rapporto (a sinistra per w, a destra per z) viene detto rapporto<br />
incrociato e aiuta a determinare la trasformazione bilineare cercata (ve<strong>di</strong> esercizi).<br />
Exercise 252 trovare la trasformazione <strong>di</strong> Moebius che porta i punti i, 0, −1<br />
nei punti 0, 1, i<br />
Svolgimento:<br />
Imponiamo i −→ 0<br />
Imponiamo 0 −→ 1<br />
Imponiamo −1 −→ i<br />
i =<br />
−α + β<br />
−γ + δ<br />
0 =<br />
αi + β<br />
γi + δ<br />
1 = +β<br />
+δ<br />
=⇒ β = −iα (1120)<br />
=⇒ δ = −iα (1121)<br />
−α − iα<br />
= =⇒ γ = −i (2 + i) α = (1 − 2i) α (1122)<br />
−γ − iα<br />
notare che α è rimasto indeterminato e può essere preso a piacere purchè il<br />
<strong>di</strong>scriminante sia non nullo. Allo stesso risultato si poteva giungere risolvendo<br />
in w la 1119:<br />
(w − 0) (1 − i) (z − i) (0 + 1)<br />
= (1123)<br />
(w − i) (1 − 0) (z + 1) (0 − i)<br />
w =<br />
−iw (1 − i) (z + 1) = (z − i) (w − i) = (z − i) w − i (z − i) (1124)<br />
−i (z − i)<br />
(z + 1) (−1 − i) − (z − i) =<br />
che è la stessa <strong>di</strong> prima con α = 1<br />
−iz − 1<br />
(−2 − i) z − 1 =<br />
z − i<br />
(1 − 2i) − i<br />
(1125)<br />
Exercise 253 trovare la più generale trasformazione <strong>di</strong> moebius che trasformi<br />
il cerchio unitario <strong>del</strong> piano Cz nel cerchio unitario <strong>del</strong> piano Cw<br />
Svolgimento:<br />
Allora dobbiamo imporre<br />
quin<strong>di</strong><br />
1 = w ¯w =<br />
αz + β<br />
γz + δ<br />
¯α¯z + ¯ β<br />
¯γ¯z + ¯δ = |α|2 |z| 2 + α¯ βz + ¯αβ¯z + |β| 2<br />
|γ| 2 |z| 2 + γ¯δz + ¯γδ¯z + |δ| 2<br />
|γ| 2 |z| 2 + γ ¯ δz + ¯γδ¯z + |δ| 2 = |α| 2 |z| 2 + α ¯ βz + ¯αβ¯z + |β| 2<br />
170<br />
(1126)<br />
(1127)
con<br />
perciò<br />
z¯z = 1 (1128)<br />
γ¯δz 2 <br />
+ |γ| 2 + |δ| 2<br />
z + ¯γδ = α¯ βz 2 <br />
+ |α| 2 + |β| 2<br />
z + ¯αβ (1129)<br />
Pren<strong>di</strong>amoci la libertà <strong>di</strong> porre (possiamo farlo !)<br />
Allora uguagliando i coefficienti in z 2<br />
Uguagliando i coefficienti in z 0<br />
la stessa informazione!<br />
Uguagliando i coefficienti in z 1<br />
δ = ¯ δ = 1 (1130)<br />
γ = α ¯ β (1131)<br />
¯γ = ¯αβ (1132)<br />
|γ| 2 + 1 = |α| 2 + |β| 2 = |α| 2 |β| 2 + 1 (1133)<br />
cioè <br />
|α| 2 <br />
− 1 |β| 2 <br />
− 1 = 0 (1134)<br />
scegliamo la soluzione<br />
allora<br />
la trasformazione sarà<br />
|α| 2 = 1 (1135)<br />
α = e iϑ<br />
(1136)<br />
γ = e iϑ¯ β (1137)<br />
w = eiϑ z + β<br />
e iϑ¯ βz + 1<br />
che si può convenientemente scrivere come<br />
iϑ z + σ<br />
w = e<br />
¯σz + 1<br />
cioè la trasformazione si riduce a 2 parametri: ϑ ∈ R e σ = e −iϑ β ∈ C<br />
171<br />
(1138)<br />
(1139)
8 Applicazioni Fisiche<br />
8.1 Fluido<strong>di</strong>namica<br />
Ricor<strong>di</strong>amo alcuni concetti sia fisici che matematici (nello spazio or<strong>di</strong>nario tri<strong>di</strong>mensionale):<br />
• Un fluido è ideale se è incompressibile e non viscoso (cioè non si attacca<br />
alle pareti...)<br />
• Il moto <strong>del</strong> fluido è stazionario se la velocità <strong>del</strong> fluido in ogni punto<br />
<strong>di</strong>pende dalla posizione ma non dal tempo (il fluido passa nello stesso<br />
punto con la stessa velocità)<br />
• il moto <strong>di</strong> un tale fluido è descritto da un campo vettoriale (campo <strong>del</strong>le<br />
velocità): in ogni punto è definito il vettore velocità che <strong>di</strong>pende solo dalle<br />
coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> punto<br />
−→ V ≡ (V1 (x, y, z) , V2 (x, y, z) , V3 (x, y, z)) (1140)<br />
• le linee <strong>di</strong> corrente ( o anche linee <strong>di</strong> flusso) sono le linee lungo le quali il<br />
campo è tangente (sono quin<strong>di</strong> le traiettorie <strong>del</strong>le particelle <strong>di</strong> fluido)<br />
• il flusso <strong>del</strong> campo attraverso una superficie S è definito come<br />
<br />
<br />
−→ −→<br />
V • dS = dS −→ V • −→ <br />
n = VndS (1141)<br />
S<br />
S<br />
• ove −→ n è la normale alla superficie infinitesima dS (normale orientata verso<br />
l’esterno se la superficie è chiusa, se la superficie è <strong>del</strong>imitata dalla curva<br />
orientata Γ allora la normale è orientata in modo da vedere il circuito Γ<br />
percorso in senso antiorario); Vn è ovviamente la componente <strong>del</strong> campo<br />
lungo la <strong>di</strong>rezione −→ n .<br />
• il flusso ’misura’ quanto fluido entra o esce dalla superficie (adottando la<br />
regola <strong>di</strong> Faraday, misura il numero <strong>del</strong>le linee <strong>di</strong> corrente entranti - flusso<br />
negativo- e uscenti -flusso positivo-).<br />
• Se, per un fluido incomprimibile, il flusso è zero su una superficie chiusa arbitraria<br />
in una data regione allora il fluido nella regione non ha né sorgenti<br />
né pozzi<br />
• per il teorema <strong>del</strong>la <strong>di</strong>vergenza (o <strong>di</strong> Gauss) si ha che il flusso <strong>di</strong> un campo<br />
vettoriale su una superficie chiusa è pari all’integrale <strong>di</strong> volume <strong>del</strong>la <strong>di</strong>vergenza<br />
<strong>del</strong> campo<br />
<br />
<br />
−→ −→<br />
V • dS = ∇ • −→ V dτ (1142)<br />
S<br />
172<br />
τ S<br />
S
ove τ S è il volume racchiuso dalla superficie chiusa S .l’operatore nabla (o<br />
<strong>del</strong>) è dato da<br />
∇ ≡ (∂x, ∂y, ∂z) (1143)<br />
e quin<strong>di</strong> la <strong>di</strong>vergenza è lo scalare (funzione <strong>del</strong>le coor<strong>di</strong>nate x, y, z)<br />
∇ • −→ V = ∂xV1 + ∂yV2 + ∂zV3<br />
(1144)<br />
• quin<strong>di</strong> se il flusso <strong>del</strong> campo vettoriale è nullo su ogni superficie chiusa in<br />
una regione allora la <strong>di</strong>vergenza <strong>del</strong> campo è nulla nella regione e il campo<br />
si <strong>di</strong>ce solenoidale<br />
• un campo vettoriale si <strong>di</strong>ce irrotazionale (consevativo!) se la rotazione <strong>del</strong><br />
campo è nulla in una regione<br />
• ovviamente la rotazione <strong>del</strong> campo è data da<br />
∇ ∧ −→ <br />
<br />
<br />
V = <br />
<br />
<br />
î<br />
∂x<br />
ˆj<br />
∂y<br />
kˆ<br />
∂z<br />
∇ ∧ −→ V = 0 (1145)<br />
V1 V2 V3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
(1146)<br />
• per il teorema <strong>di</strong> Stokes si ha che il flusso <strong>del</strong>la rotazione <strong>di</strong> un campo<br />
vettoriale su una superficie concatenata ad una curva chiusa Γè pari alla<br />
circuitazione ( o nel caso dei flui<strong>di</strong> circolazione) <strong>del</strong> campo lungo il con-<br />
torno Γ <br />
SΓ<br />
∇ ∧ −→ V<br />
<br />
• −→ dS =<br />
<br />
Γ<br />
−→ V • −→ dl (1147)<br />
• quin<strong>di</strong> se il campo è irrotazionale in una regione allora la circuitazione<br />
è nulla lungo qualsiasi curva chiusa appartenente alla regione (integrale<br />
in<strong>di</strong>pendente dal cammino) e dunque −→ V • −→ dl = dU (x, y, z) e dunque il<br />
campo vettoriale è il gra<strong>di</strong>ente <strong>di</strong> un potenziale (U funzione <strong>di</strong> punto)<br />
−→ V = ∇U (1148)<br />
Ora porteremo queste nozioni(sperabilmente familiari allo studente) nel piano<br />
complesso. Perchè ciò abbia fisicamente senso bisogna ammettere che il<br />
moto <strong>del</strong> fluido sia sostanzialmente bi<strong>di</strong>mensionale, cioè che le caratteristiche<br />
<strong>del</strong> moto (velocità, traiettorie, etc) siano le stesse per un set (possibilmente infinito)<br />
<strong>di</strong> piani paralleli. Ciò ci permette <strong>di</strong> limitare lo stu<strong>di</strong>o ad uno solo <strong>di</strong><br />
tali piani che assumeremo come piano complesso Cz. Ovviamente questo è un<br />
mo<strong>del</strong>lo ideale ma che può essere sufficiente per trattare il moto <strong>del</strong> fluido su<br />
sezioni opportunamente lontane dagli ’effetti <strong>di</strong> bordo’.<br />
173
Tutte le formule <strong>di</strong> sopra (interpretate cum grano salis) restano valide. Ovviamente<br />
non avremo più <strong>di</strong>pendenza dalla terza variabile cartesiana spaziale z<br />
che ora invece in<strong>di</strong>cherà il numero complesso z = x + iy.<br />
Allora il campo <strong>del</strong>le velocità sarà a due componenti<br />
−→ V ≡ (V1 (x, y) , V2 (x, y)) (1149)<br />
Particolare attenzione va riservata alla ’traduzione sul piano <strong>del</strong>le formule<br />
<strong>di</strong> flusso e circuitazione. (circolazione).<br />
<strong>La</strong> circuitazione (o circolazione) lungo una curva Γ sarà<br />
<br />
−→V<br />
<br />
−→ −→<br />
Ξ , Γ = V • dl = Vtdl = (V1dx + V2dy) (1150)<br />
Γ<br />
Γ<br />
essendo il vettore infinitesimo −→ dl tangente alla curva Γ e orientato in accordo<br />
a questa e con componenti<br />
−→ dl ≡ (dx, dy) (1151)<br />
Ovviamente Vt in<strong>di</strong>ca la componente <strong>del</strong> campo tangente alla curva. Se la curva<br />
è chiusa (e percorsa nel solito verso antiorario)<br />
<br />
−→V<br />
<br />
Ξ , Γ = (V1dx + V2dy) (1152)<br />
Γ<br />
Ma considerando il flusso dobbiamo tenere in conto che sul piano non abbiamo<br />
superfici ma linee e quin<strong>di</strong> si parla <strong>di</strong> flusso attraverso una linea Γ (possibilmente<br />
chiusa). Cioè la 1141 si ’traduce’ in<br />
<br />
−→V<br />
<br />
<br />
−→<br />
̥ , Γ = V • ˆndl = Vndl (1153)<br />
Γ<br />
ove Vn in<strong>di</strong>ca la componente <strong>del</strong> campo normale alla curva.<br />
Il flusso attraverso una curva chiusa Γ sarà<br />
<br />
−→V<br />
<br />
−→<br />
̥ , Γ = V • ˆndl (1154)<br />
ove ˆn è il versore normale alla curva che punta verso l’esterno. E’ facile vedere<br />
che se la curva è percorsa in senso antiorario allora le componenti <strong>di</strong> ˆndl sono<br />
ve<strong>di</strong> figura 29<br />
e quin<strong>di</strong><br />
<br />
−→V<br />
<br />
̥ , Γ =<br />
Γ<br />
Γ<br />
Γ<br />
ˆndl ≡ (dy, −dx) (1155)<br />
Γ<br />
<br />
−→<br />
V • ˆndl = (V1dy − V2dx) (1156)<br />
174<br />
Γ
Γ<br />
Figure 29:<br />
175<br />
dl dl<br />
ndl<br />
dx<br />
dy
Supponiamo ora <strong>di</strong> stu<strong>di</strong>are il moto bidemensionale <strong>di</strong> un fluido ideale ed il<br />
campo <strong>di</strong> velocità sia solenoidale e irrotazionale. Poichè la <strong>di</strong>vergenza è nulla<br />
abbiamo (ve<strong>di</strong> 1144)<br />
ma anche la rotazione è nulla e quin<strong>di</strong> (ve<strong>di</strong> 1146)<br />
∂xV1 + ∂yV2 = 0 (1157)<br />
∂xV2 − ∂yV1 = 0 (1158)<br />
Se la rotazione è nulla deve esistere una funzione potenziale Φ (x, y) <strong>di</strong> cui il<br />
campo è il gra<strong>di</strong>ente:<br />
−→ V = ∇Φ (1159)<br />
cioè<br />
ma allora da 1157 segue<br />
V1 = Φx (1160a)<br />
V2 = Φy (1160b)<br />
∂xΦx + ∂yΦy = Φxx + Φyy = ∆Φ = 0 (1161)<br />
cioè il potenziale Φ (detto anche potenziale <strong>di</strong> velocità) sod<strong>di</strong>sfa l’equazione <strong>di</strong><br />
<strong>La</strong>place ed è quin<strong>di</strong> una funzione armonica: perciò può essere vista come la<br />
parte reale <strong>di</strong> una funzione analitica Ω (z)<br />
Ω (z) = Φ (x, y) + iΨ (x, y) (1162)<br />
<strong>La</strong> funzione armonica coniugata Ψ (x, y) può essere determinata (a meno <strong>di</strong> una<br />
costante) con i meto<strong>di</strong> già noti.<br />
<strong>La</strong> funzione analitica Ω (z) è detta potenziale complesso. Che senso fisico<br />
dare alla sua parte immaginaria Ψ (x, y)? Sappiamo già che le curve<br />
sono ortogonali alle curve<br />
Ψ (x, y) = b (1163)<br />
Φ (x, y) = a (1164)<br />
Queste ultime sono le curve a potenziale costante e si <strong>di</strong>cono quin<strong>di</strong> equipotenziali.<br />
D’altra parte è noto che il gra<strong>di</strong>ente è ortogonale alla ’superficie’ (qui alla<br />
curva...) equipotenziale e quin<strong>di</strong> la velocità 1159 sarà tangente alle curve 1163<br />
che dunque rappresentano le linee <strong>di</strong> corrente <strong>del</strong> fluido (in effetti la funzione<br />
Ψ (x, y) è spesso detta nei testi funzione <strong>di</strong> corrente). Dato che Ω (z) è analitica<br />
consideriamo la sua derivata<br />
Ω ′ (z) = Ωx = Φx + iΨx<br />
176<br />
(1165)
Per le CR<br />
Ma per 1160<br />
Ω ′ (z) = Φx − iΦy<br />
(1166)<br />
Ω ′ (z) = V1 (x, y) − iV2 (x, y) (1167)<br />
E dunque la derivata <strong>del</strong> potenziale complesso è strettamente legata alla velocità.<br />
In effetti si suole introdurre il campo <strong>di</strong> velocità complesso<br />
allora<br />
V = V1 (x, y) + iV2 (x, y) = Ω ′ (z) (1168)<br />
|V| =<br />
<br />
<br />
−→ V<br />
<br />
<br />
=<br />
<br />
<br />
Ω ′ <br />
<br />
(z) = |Ω ′ (z)| (1169)<br />
Considerando il potenziale complesso come una trasformazione (conforme!)<br />
allora il modulo <strong>del</strong> campo <strong>di</strong> velocità è il fattore <strong>di</strong> amplificazione lineare <strong>del</strong>la<br />
trasformazione e i punti critici sono i punti in cui la velocità si annulla... detti<br />
appropriatamente punti <strong>di</strong> stagnazione.<br />
Ma è interessante considerare l’integrale <strong>di</strong> Ω ′ (z) lungo una curva chiusa Γ<br />
<br />
Ω ′ <br />
(z) dz = (Re (Ω ′ ) dx − Im (Ω ′ <br />
) dy) + i (Re (Ω ′ ) dy + Im (Ω ′ ) dx)<br />
Γ<br />
Γ<br />
(1170)<br />
Usando la 1167 è chiaro che<br />
<br />
Re Ω ′ <br />
(z) dz = (V1dx + V2dy) (1171)<br />
e anche<br />
Γ<br />
<br />
Im<br />
Γ<br />
Γ<br />
Γ<br />
Γ<br />
Ω ′ <br />
(z) dz = (V1dy − V2dx) (1172)<br />
Quin<strong>di</strong> (ve<strong>di</strong> 1150 e 1156) la parte reale <strong>di</strong> questo integrale <strong>di</strong> contorno<br />
fornisce la circolazione <strong>del</strong> campo mentre la sua parte immaginaria dà il flusso.<br />
Ovviamente se la funzione Ω (z) è analitica all’interno <strong>di</strong> Γ allora Ω ′ (z) dz = 0<br />
e quin<strong>di</strong> circolazione e flusso saranno nulli (campo irrotazionale e solenoidale).<br />
Tuttavia consideremo interessanti esempi <strong>di</strong> ciò che accade se all’interno <strong>di</strong><br />
Γ ci sono singolarità (isolate).<br />
Dovrebbe essere altresì chiaro che ogni moto bi<strong>di</strong>mensionale corrisponde a<br />
un particolare potenziale complesso e viceversa a ogni funzione (generalmente)<br />
analitica può essere associato un determinato moto bi<strong>di</strong>mensionale <strong>del</strong> fluido.<br />
Consideriamo alcuni semplici esempi.<br />
Example 254 Un fluido ideale si muove <strong>di</strong> moto bi<strong>di</strong>mensionale uniforme ( −→ V<br />
è costante): determinare il potenziale, la funzione <strong>di</strong> corrente, gli eventuali punti<br />
<strong>di</strong> stagnazione e le equazioni <strong>del</strong>le linee equipotenziali e <strong>del</strong>le linee <strong>di</strong> corrente<br />
177<br />
Γ
Il campo è costante, le sue componenti sono<br />
e quin<strong>di</strong> dalla 1167<br />
V1 = |V | cos(α) (1173)<br />
V2 = |V | sin(α) (1174)<br />
Ω ′ (z) = |V | cos(α) − i |V | sin(α) = |V | e −iα<br />
(1175)<br />
evidentemente non ci sono punti <strong>di</strong> stagnazione (a meno <strong>del</strong> caso banale |V | = 0)<br />
Integrando e mettendo a zero la costante <strong>di</strong> integrazione<br />
E quin<strong>di</strong><br />
Ω (z) = |V | e iα z (1176)<br />
Φ (x, y) = Re (Ω (z)) = |V | (x cos(α) + y sin(α)) (1177)<br />
Le linee equipotenziali Φ (x, y) = a hanno equazioni cartesiane<br />
y = −x cot (α) + a<br />
|V |<br />
sono quin<strong>di</strong> rette <strong>di</strong> coefficiente angolare α + π/2.<br />
<strong>La</strong> funzione <strong>di</strong> corrente è<br />
(1178)<br />
Ψ (x, y) = Im (Ω (z)) = |V | (y cos(α) − x sin(α)) (1179)<br />
Le linee <strong>di</strong> corrente Ψ (x, y) = b hanno equazioni cartesiane<br />
y = x tan (α) + b<br />
|V |<br />
(1180)<br />
sono dunque rette parallele al vettore −→ V e evidentemente perpen<strong>di</strong>colari alle<br />
linee equipotenziali (ve<strong>di</strong> Figura 30)<br />
Example 255 Un fluido ideale si muove <strong>di</strong> moto bi<strong>di</strong>mensionale sotto l’azione<br />
<strong>del</strong> potenziale complesso<br />
<br />
Ω (z) = A z + R2<br />
<br />
; A, R ∈ R+<br />
(1181)<br />
z<br />
determinare il campo <strong>del</strong>la velocità, le equazioni <strong>del</strong>le linee equipotenziali e <strong>del</strong>le<br />
linee <strong>di</strong> corrente e gli eventuali punti <strong>di</strong> stagnazione. Descrivere succintamente<br />
il moto <strong>del</strong> fluido.<br />
Si ha:<br />
Ω ′ <br />
(z) = A 1 − R2<br />
z2 <br />
178<br />
(1182)
Linee equipotenziali<br />
In coor<strong>di</strong>nate polari z = re iφ<br />
V<br />
α<br />
Figure 30:<br />
Ω ′ <br />
= A 1 − R2<br />
<br />
e−2iφ<br />
r2 e quin<strong>di</strong> la velocità complessa è<br />
V = V1 + iV2 = Ω ′ <br />
(z) = A 1 − R2<br />
<br />
e2iφ<br />
r2 per cui<br />
Notare che per r >> R si ha<br />
<br />
V1 = A 1 − R2<br />
<br />
cos (2φ)<br />
r2 Linee <strong>di</strong><br />
corrente<br />
(1183)<br />
(1184)<br />
(1185)<br />
V2 = −A R2<br />
sin (2φ) (1186)<br />
r2 V1 ≈ A (1187)<br />
V1 ≈ 0 (1188)<br />
cioè il fluido si muove nella <strong>di</strong>rezione e verso <strong>del</strong>l’asse x con velocità costante.<br />
Il potenziale complesso è (in coor<strong>di</strong>nate polari)<br />
<br />
Φ = Re (Ω (z)) = Re A re iφ + R2<br />
r e−iφ<br />
<br />
(1189)<br />
179
cioè<br />
<br />
Φ = A<br />
mentre la funzione <strong>di</strong> corrente è<br />
cioè<br />
Ψ = Im (Ω (z)) = Im<br />
<br />
Ψ = A<br />
r + R2<br />
r<br />
<br />
cos (φ) (1190)<br />
<br />
A re iφ + R2<br />
r e−iφ<br />
<br />
r − R2<br />
r<br />
(1191)<br />
<br />
sin (φ) (1192)<br />
Quin<strong>di</strong> in coor<strong>di</strong>nate polari le equazioni <strong>del</strong>le linee equipotenziali e <strong>di</strong> corrente<br />
sono<br />
<br />
A r + R2<br />
<br />
cos (φ) = a (1193)<br />
r<br />
<br />
A r − R2<br />
<br />
sin (φ) = b (1194)<br />
r<br />
Particolarmente interessante è il caso<br />
<br />
Ψ = A r − R2<br />
<br />
sin (φ) = 0 (1195)<br />
r<br />
Infatti qui abbiamo 3 soluzioni<br />
cioè il cerchio con centro nell’origine e raggio r. Poi<br />
r = R (1196)<br />
φ = 0 (1197)<br />
φ = π (1198)<br />
che sarebbero l’asse (o il semiasse) reale. Epperò è chiaro che due linee <strong>di</strong><br />
corrente non possono incrociarsi (altrimenti nel punto <strong>di</strong> incrocio avremmo due<br />
tangenti e quin<strong>di</strong> due vettori <strong>del</strong> campo <strong>di</strong>stinti) . Possono unirsi quin<strong>di</strong> solo<br />
dove −→ V = 0. E in effetti i punti <strong>di</strong> stagnazione sono dati dalle soluzioni <strong>di</strong><br />
Ω ′ <br />
(z) = A 1 − R2<br />
z2 <br />
= 0 (1199)<br />
cioè sono in<br />
z± = ±R (1200)<br />
Quin<strong>di</strong> la linea <strong>di</strong> corrente corrispondente a Ψ = 0 è in realtà <strong>di</strong>visa in tre parti:<br />
la semiretta reale da −∞ a −R, poi il cerchio <strong>di</strong> raggio R e infine la semiretta<br />
reale da +R a ∞. Quin<strong>di</strong>, per continuità, è chiaro cosa accade alle altre linee <strong>di</strong><br />
corrente: sono comunque parallele all’asse reale per r >> R, curvano intorno al<br />
cerchio <strong>di</strong> raggio R ma sempre più debolmente al crescere <strong>del</strong>la <strong>di</strong>stanza sull’asse<br />
immaginario dall’origine. Anche intuitivamente si capisce che questo è il moto<br />
180
Figure 31:<br />
<strong>di</strong> un fluido che incontra un ostacolo circolare (un palo <strong>di</strong> raggio R nell’origine)<br />
Un’idea <strong>del</strong>le linee <strong>di</strong> corrente la abbiamo dalla figura 31.<br />
E’ anche interessante dare uno sguardo alla pressione <strong>del</strong> fluido. Se il piano<br />
è orizzontale, il teorema <strong>di</strong> Bernoulli ci <strong>di</strong>ce<br />
P + 1<br />
2 σV 2 = costante (1201)<br />
ove P è la pressione e σ la densità (costante) <strong>del</strong> fluido. Allora, detta P∞<br />
la pressione molto lontano dall’origine ( e quin<strong>di</strong> dall’ostacolo stesso, è facile<br />
mostrare (lasciamo come esercizio allo studente) che sull’ostacolo (z = Reiφ ) si<br />
ha<br />
P (φ) = P∞ + 1<br />
2 σA2 1 − 4 sin 2 (φ) <br />
(1202)<br />
da cui si potrebbe risalire alla forza complessiva esercitata sull’ostacolo. Da<br />
tale formula è anche possibile comprendere il fenomeno fisico <strong>del</strong>la cavitazione.<br />
Infatti pren<strong>di</strong>amo ad esempio i punti φ ± = ± π (incrocio <strong>del</strong> cerchio con l’asse<br />
immaginario): si ha<br />
e quin<strong>di</strong> se<br />
2<br />
P± = P∞ − 3<br />
2 σA2<br />
A 2 ≥ 2 P∞<br />
3 σ<br />
181<br />
(1203)<br />
(1204)
si avrebbe una pressione nulla o negativa... Fisicamente questo vuol <strong>di</strong>re in tali<br />
punti si crea il vuoto e tali punti sono detti punti <strong>di</strong> cavitazione.<br />
.....................................................<br />
Nell’esercizio precedente abbiamo esemplificato un uso fisico interessante<br />
<strong>del</strong>le trasformazioni conformi. Supponiamo <strong>di</strong> voler conoscere cosa succede<br />
quando un moto uniforme <strong>del</strong> fluido <strong>di</strong>retto per esempio lungo l’asse reale<br />
incontra un qualche ostacolo (la cui sezione nel piano complesso sia la regione<br />
{Γ} <strong>del</strong>imitata da una curva chiusa Γ. Allora lontano dall’ostacolo il potenziale<br />
complesso sarà (ve<strong>di</strong> 1176)<br />
Ω0(z) = V0z (1205)<br />
Ora se troviamo una trasformazione conforme cioè una funzione analitica w =<br />
f(z) tale che una sua linea <strong>di</strong> corrente sia proprio Γ e tale che il ’<strong>di</strong>sturbo’<br />
lontano dall’ostacolo sia trascurabile, cioè che il suo campo <strong>di</strong> velocità svanisca<br />
all’infinito<br />
lim<br />
|z|−→∞ f ′ (z) = 0 (1206)<br />
allora il potenziale complesso<br />
Ω(z) = V0z + f(z) (1207)<br />
descriverà adeguatamente il moto in presenza <strong>del</strong>l’ostacolo. Confrontare quanto<br />
detto in generale con l’esempio sopra. Notare anche che il potenziale complesso<br />
22 è generalmente analitico ma ha un punto <strong>di</strong> singolarità in z = 0. Esaminiamo<br />
allora alcuni potenziali con singolarità.<br />
Example 256 determinare le linee <strong>di</strong> corrente e le linee equipotenziali corrispondenti<br />
al moto regolato dal potenziale complesso<br />
Ω(z) = k 4√ 1 ln (z) , k ∈ R+<br />
(1208)<br />
<strong>La</strong> funzione ln (z) ha un punto <strong>di</strong>ramazione in z = 0: quin<strong>di</strong> prenderemo la<br />
sua determinazione principale ed escluderemo il punto z = 0. Poi abbiamo 4√ 1<br />
che ha quattro valori<br />
ω1 = ω = i (1209)<br />
ω2 = ω 2 = −1 (1210)<br />
ω3 = ω 3 = −i (1211)<br />
ω4 = ω 4 = 1 (1212)<br />
quin<strong>di</strong> in realtà stiamo trattando 4 potenziali complessi.<br />
Consideriamo dapprima<br />
Ω±(z) = ±k ln (z) = ±k (ln (|z|) + i arg (z)) , k ∈ R+<br />
<strong>La</strong> funzione potenziale sarà quin<strong>di</strong><br />
(1213)<br />
Φ = Re (Ω± (z)) = ±k ln (|z|) (1214)<br />
182
Figure 32:<br />
e le curve equipotenziali sono evidentemente cerchi con centro nell’origine (|z| = cost) .<br />
<strong>La</strong> ’funzione corrente’ sarà<br />
Ψ = Im (Ω±(z)) = ±k (arg (z)) (1215)<br />
quin<strong>di</strong> le linee <strong>di</strong> corrente saranno semirette entranti o uscenti dall’origine. Per<br />
specificare ve<strong>di</strong>amo:<br />
Ω ′ ±(z) = ±k 1<br />
z<br />
allora (ve<strong>di</strong> 1167) il campo <strong>del</strong>le velocità avrà componenti<br />
1<br />
= ±k 2 (x − iy) (1216)<br />
|z|<br />
V1 = ±k 1<br />
(1217a)<br />
2 x, k ∈ R+<br />
|z|<br />
V2 = ±k 1<br />
(1217b)<br />
2 y, k ∈ R+<br />
|z|<br />
quin<strong>di</strong> il vettore −→ V sarà ’uscente’ per Ω+ e ’entrante’ per Ω−. <strong>La</strong> situazione per<br />
Ω+ (linee equipotenziali e <strong>di</strong> corrente) è graficata in Figura 32<br />
E’ evidente il significato fisico: siccome le linee <strong>di</strong> corrente sono le traiettorie<br />
<strong>del</strong> fluido ne segue che il fluido ’sgorga’ dall’origine e si <strong>di</strong>sperde ra<strong>di</strong>almente (con<br />
183
velocità che decresce in modulo come 1<br />
|z| , ve<strong>di</strong> 1217). Cioè z = 0 è una sorgente.<br />
Ma allora il flusso lungo una curva chiusa che circon<strong>di</strong> l’origine non può essere<br />
nullo ma anzi dovrebbe essere proporzionale alla quantità <strong>di</strong> fluido emessa dalla<br />
sorgente nell’unità <strong>di</strong> tempo. In effetti, a causa <strong>del</strong>l’assunta incomprimibilità<br />
<strong>del</strong> fluido cioè <strong>del</strong>la costanza <strong>del</strong>la sua densità σ, si può facilmente vedere che il<br />
flusso elementare attraverso un tratto <strong>di</strong> curva dl è<br />
d̥ = −→ V • ˆndl = 1 dm<br />
σ dt<br />
(1218)<br />
ove dm<br />
dt è la quantità <strong>di</strong> fluido che attraversa la curva nell’unità <strong>di</strong> temo (si<br />
lascia la <strong>di</strong>mostrazione allo studente volenteroso). Quin<strong>di</strong> il flusso lungo una<br />
curva chiusa che circonda la sorgente ’misura’ la forza o intensità <strong>del</strong>la sorgente.<br />
Ma quanto vale in questo caso tale flusso? Dalla 1172 sappiamo che è pari alla<br />
parte immaginaria <strong>di</strong> Ω ′ (z) dz : ma per il teorema dei residui<br />
e quin<strong>di</strong><br />
Γ<br />
<br />
Γ<br />
Ω ′ <br />
(z) dz = k<br />
Γ<br />
1<br />
dz = ik2π (1219)<br />
z<br />
<br />
−→V<br />
<br />
̥ , Γ = k2π (1220)<br />
<strong>La</strong> costante k viene detta intensità <strong>del</strong>la sorgente (ovviamente esistono sorgenti<br />
ad intensità non costante...). Notare che la parte reale <strong>del</strong>l’integrale è nulla e<br />
quin<strong>di</strong> il campo è ancora irrotazionale.<br />
Cosa cambia se consideriamo Ω−(z) = −k ln (z)? Le linee equipotenziali<br />
rimangono le stesse mentre le semirette che costituiscono le linee <strong>di</strong> corrente<br />
cambiano verso e convergono in z = 0 . Quin<strong>di</strong> nell’origine abbiamo ora un<br />
pozzo <strong>di</strong> intensità k.<br />
Consideriamo ora Ω±i(z) = ±ik ln (z) . Appare evidente che stiamo essenzialmente<br />
scambiando parte reale con parte immaginaria quin<strong>di</strong> le linee <strong>di</strong> corrente<br />
<strong>di</strong>verranno linee equipotenziali mentre le ex linee equipotenziali (cioè i cerchi<br />
con centro nell’origine) <strong>di</strong>verranno linee <strong>di</strong> corrente (percorse in senso orario<br />
per Ω+i , in senso antiorario per Ω−i - verificare!). Allora il fluido sta ruotando<br />
intorno all’origine, cioè abbiamo un vortice . Ovviamente adesso sarà nulla la<br />
parte immaginaria <strong>di</strong> Ω ′ (z) dz e quin<strong>di</strong> il campo è solenoidale (cioè non vi<br />
Γ<br />
sono sorgenti ne pozzi) ma la parte reale è <strong>di</strong>versa da zero cioè il campo non<br />
è più irrotazionale e la circolazione su una curva chiusa circondante il vortice<br />
(z = 0) vale 2πk . Ora k misura l’intensità <strong>del</strong> vortice.<br />
Ovviamente poco cambia se consideriamo il potenziale<br />
≥ Ω(z) = k 4√ 1 ln (z − z0) , k ∈ R+<br />
(1221)<br />
Semplicemente il vortice/pozzo/ sorgente è spostato dall’origine al punto z0.<br />
184
Lo stu<strong>di</strong>o <strong>di</strong> questi moti elementari aiuta anche per moti più complessi.<br />
Infatti se consideriamo il potenziale complessa come trasformazione, sappiamo<br />
che le trasformazioni si possono combinare (sovrapporre). per esempio<br />
Ω(z) = k ln (z − z1) − k ln (z − z2) (1222)<br />
descriverà il moto piano <strong>di</strong> un fluido ideale con una sorgente <strong>di</strong> intensità k in z1<br />
e un pozzo <strong>di</strong> pari intensità in z2.<br />
Exercise 257 Sia il moto bi<strong>di</strong>mensionale <strong>di</strong> un fluido ideale regolato dal potenziale<br />
complesso<br />
(z − 1)<br />
Ω(z) = ln (1223)<br />
(z + 1)<br />
Determinare le linee <strong>di</strong> corrente, le linee equipotenziali, la velocità in ogni punto,<br />
la circolazione e il flusso lungo le curve |z| = 1<br />
2<br />
e |z| = 3<br />
2<br />
Exercise 258 stu<strong>di</strong>are il moto <strong>di</strong> un fluido con potenziale complesso<br />
Ω (z) = 3e iπ<br />
2 z + (1 − i) ln(z − i) (1224)<br />
Exercise 259 stu<strong>di</strong>are il moto bi<strong>di</strong>mensionale <strong>di</strong> un fluido ideale con una sorgente<br />
<strong>di</strong> intensità k posta in z0 e un ostacolo circolare <strong>di</strong> raggio R con centro<br />
nell’origine<br />
185