Euristiche per il problema del commesso viaggiatore

Modelli dei Sistemi di Produzione
Modelli e Algoritmi della Logistica
20010-11
Problema del commesso viaggiatore:
EURISTICHE
CARLO MANNINO
Sapienza Università di Roma
Dipartimento di Informatica e Sistemistica

Euristiche per il TSP simmetrico
• Consideriamo un grafo G(N,A) non orientato e completo, con costi sugli
archi c R A
• Un ciclo hamiltoniano è un ciclo semplice, non orientato, che passi per
ogni nodo di G.
• Il costo di un ciclo è pari alla somma dei costi degli archi del ciclo.
• Il problema del commesso viaggiatore (TSP–Travelling Salesman
Problem) consiste nel trovare un ciclo hamiltoniano in G di costo minimo.
• Siccome il grafo è non orientato, si parla di TSP simmetrico
• Il problema appartiene alla classe di problemi combinatori con funzione
obiettivo lineare ed alla casse dei problemi difficili (NP-hard).
• In questa lezione ci concentriamo su algoritmi euristici per il TSP
simmetrico.

Problemi di OC con funzione obiettivo lineare
• Insieme base E ={1,2,…,n} (eventi elementari)
(es. progetto e attivato, arco e scelto, connessione e stabilita)
• Costi (Vantaggi) elementari {c i associati agli elementi di E}
• Soluzione Ammissibile = Opportuno sottoinsieme F E
(es. sottoinsieme di progetti attivati che soddisfano il “budget”)
• Costo di una soluzione F = somma dei costi elementari
degli elementi di F
• Insieme delle soluzioni ammissibili
Problema:
S ={F 1, F 2, …, F m}
min {c(F): F S}
c (
F)
c(
e)
e
F
c2 F2 c 1
2
1
F 1
3
c n
n F 3

G(V,E)
5
3
5
7
1
4
3
7
5
1
4
1
3
4
15
5
1
3
4
3
5
15
2
3
5
5
2
2
5
TSP come problema OC
2
• Grafo G(V,E) non orientato, completo
• c e costo arco e E
Insieme base = insieme archi E
Soluzione T E
Costo T =
T = {14, 42, 23, 35, 51}
c(T) = 20
c ( T)
e
T
ce

Algoritmo Avido (“Greedy”)
• Insieme base E ={1,2,…,n} (eventi elementari)
• Insieme delle soluzioni ammissibili S ={F 1, F 2, …,F m} (F E)
• H F per qualche H S H soluzione parziale
• Costo di una soluzione parziale H =
Idea base
Costruire una sequenza di soluzioni parziali H 0 ,H 1, H 2 , H 3 ...:
a. a partire dall’insieme vuoto (soluzione parziale H 0)
b. aggiungendo, ad ogni passo, l’elemento che produce la
soluzione parziale con il minimo costo.
c. arrestandosi quando:
c (
H)
c(
e)
1. la soluzione parziale corrente è una soluzione ammissibile;
2. ogni soluzione parziale ottenibile aggiungendo un nuovo
elemento ha un valore maggiore della funzione obiettivo.
e
H

Algoritmo Avido (“Greedy”) - Flow chart
H:= ; c(H)=0
Q * = min {c(H {k}): k H, H {k} soluzione parziale}
k * = arg min {c(H {k}): k H , H {k} soluzione parziale}
H S
SI
e
Q * > c(H)
STOP
H soluzione greedy
NO
H:=H {k * }

Algoritmo Avido - TSP
H:= ; c(H)=
k * = arg min {c(H {k}): k H , H {k} estendibile ciclo hamiltoniano}
H =H {k * }
H ciclo
hamiltoniano
SI
STOP
H soluzione greedy
NO

Esempio greedy TSP
5
3
4
2
1
3
4
2
1
15
5
3
7
5
5
5
3
4
2
1
1
5
3
4
2
1
1
2
5
3
4
2
1
1
2
3
5
3
4
2
1
1
2
3
5
3
4
2
1
1
2
15
c(T) = 26
5 5
3

Algoritmo di Ricerca Locale (“Local Search”)
• Insieme base ={1,2,…,n} (eventi elementari)
• Insieme delle soluzioni ammissibili S ={F 1, F 2, …,F m} (F i
• Intorno di una soluzione ammisibile F = N(F ) S
Idea base
N(T 0 )
Costruire una sequenza di soluzioni ammissibili T 0 ,T 1, T 2 , T 3 ...:
T 0
a. a partire da una soluzione ammissibile T 0
b. individuando, al passo k, la soluzione di minimo costo T k appartenente
all’intorno N(T k-1 ) della soluzione corrente T k-1 .
c. arrestandosi quando ogni soluzione appartenente all’intorno
N(T k-1 ) ha un valore della funzione obiettivo maggiore di c(T k-1)
ovvero c(T k-1) < c(T k)
T 1
N(T 1 )
T 2
T 3
N(T 2 )
)

N(F 1 )={F 2,F 4}
N(F 2 )={F 1,F 4}
N(F 3)={F 2}
N(F 4 )={F 1,F 2,F 3}
Intorni
I ={N (F i ): F i S } Sistema di Intorni di S
F N + (F i ) F= F i k : k F i , F S Intorno “greedy”
F N - (F i ) F=F i k : k F i , F S
F N s(F i ) F i {k } { j } : k F i , j F i , F S
F N s(F i ) F i {h,k } { j,i } : h,k F i , j,i F i , F S
F 2
1
4
5
2
F 1
Intorno “reverse greedy”
3
6
9
7
8
F 4
Intorno di “scambio”
F 3
Intorno “2-scambio”

Minimi Locali e Minimi Globali
F * minimo globale c(F * ) < c(F) per ogni F S
F * minimo locale c(F * ) < c(F) per ogni F N (F * )}
minimi locali minimo globale
L’algoritmo di ricerca locale individua un minimo locale
N (x )= {y: |x-y|< }

Ricerca Locale (“Local Search”) - Flow chart
T S
Q * = min {c(T’ ): T’ N(T)}
T NUOVO= argmin {c(T’ ): T’ N(T) }
Q * >c(T)
SI
STOP
T minimo locale
NO
T:= T NUOVO

5
5
3
3
7
1
4
1
4
5
1
3
4
15
1
15
3
5
c(T) =26
2
2
5
5
3
Intorno 2-scambio per il TSP
2
2
5
3
5
5
3
3
4
1
4
1
4
1
1
15
1
15
1
15
5
3
5
3
5
3
2
2
2
2
2
2
T 1
T 2
T 3
5
5
3
5
3
1
7
4
4
4
5
5
1
3
1
15
1
1
15
3
5
3
3
2
2
2
5
c(T 1) =27
2
c(T2) =26
5
2
c(T 3) =19

5
5
3
3
7
1
4
1
4
5
1
3
4
15
1
15
3
5
c(T) =26
2
2
5
5
3
Intorno 2-scambio per il TSP
2
2
5
5
3
4
1
4
1
1
1
15
5
3
2
• Soluz. ottima in N(T): T 4
5
3
2
2
2
5
1
7
5
3
4
4
1
3
4
1
3
5
2
2
c(T4) =19
5
2
15
c(T5) =30
3
4

Local Search: intorni esponenziali
• A ogni iterazione dell’algoritmo di LS viene risolto un problema di
ottimizzazione locale: min {c(T’ ): T’ N(T)}
• Il problema di ottimizzazione locale è analogo al problema originale, ma
l’insieme di soluzioni ammissibili (intorno) è ristretto.
• Negli esempi visti sin qua, la soluzione del problema locale può essere
ottenuta efficientemente enumerando le soluzioni ammissibili (poche)
• Idea alternativa: definizione di un intorno “grande” ma tale che il
problema di ottimizzazione locale sia risolvibile efficientemente
• Questo tipo di LS è chiamata Ricerca Locale con intorni esponenziali.
• Consideriamo il caso dell’intorno ASSIGN per il TSP.
• Per risolvere il problema di ottimizzazione associato, dobbiamo introdurre
il problema del matching in grafi bipartiti.

Problema del Matching in grafi bipartiti
• Grafo bipartito completo: H (Z,A):
Z = U W A = {(u,w): u U, w W}
Pesi p uw per ogni uw A
• Matching: sottoinsieme M A di archi indipendenti (niente nodi in comune)
uw , ij M , uw ij u i, u j, w i, w j
2
1 2 3
3 5 1
4 5 6
Peso Matching M =
1 2 3
4 5 6
p ( M)
p(
e)
e
M
2
1 2 3
3 5 1
4 2
6 3 5
4 5 6
P(M ) = 8 P(M ) = 3
4 2 3 4 2
6 3 5
2 5 1 6 3 5
H (Z,A)

Problema del Matching in grafi bipartiti
1
H (Z,A)
2 3
2
3 5 1
4 2
6 3 5
4 5 6
P(M ) = 5
• H (Z,A), Z = U W, |U| = |W|
• Matching perfetto M di H:
|M| = |Z/2| = |U| = |W|
Problema Matching Perfetto: trova un matching perfetto di peso minimo
• Il problema del Matching Perfetto di peso (costo) minimo viene ridotto a
problema di flusso a costo minimo su un grafo orientato capacitato H’
• H’ è costruito a partire da H orientando gli archi da U a W

Matching Perfetto e flusso a costo minimo
Costruzione H’ = (Z,A’), con capacità c e costi p
1. Orienta gli archi da U a W:
A’ = {(u,w): u U, w W}
2. Associa capacità unitaria c a = 1 a ogni a A’
3. Poni d u = -1 per ogni u U
4. Poni d w = 1 per ogni w W .
2
H’ = (Z,A’)
1 2 3
3 5 1 4 6
4 5 6
• Ogni Matching Perfetto corrisponde a un flusso intero (0-1) e viceversa.
• Il flusso a costo minimo (con costi p) corrisponde al matching perfetto di
peso minimo
• Il problema di flusso a costo minimo può essere risolto efficientemente.
3
2
5

Matching e assegnamento
• Il problema del matching perfetto può essere
interpretato come problema di assegnamento.
• Dati due insiemi di elementi U e W di uguale
cardinalità
• Dato un costo p uw di assegnare l’elemento u U
all’elemento w W.
• Assegnare ogni elemento di U ad un elemento di W
in modo da minimizzare il costo complessivo di
assegnamento.
• Equivalente al problema di matching perfetto nel
grafo bipartito completo non orientato H (U W,A)
con pesi p uw per ogni uw A
2
1 2 3
3 5 1
4 2
6 3 5
4 5 6

Cicli hamiltoniani e permutazioni
• Ogni Ciclo Hamiltoniano corrisponde a una permutazione (non unica) dei
vertici, e ogni permutazione corrisponde a un ciclo Hamiltoniano (unico)
G(V,E)
6
f
e
f
6
e
3
3
3
3
a
2 5
5
d
a
d
7
2 5
5
7
2
3 b
1
6
5
4
7
6
c
2
3
1 b
6
5
4
7
6
c
f
e
f
d
6
5
6
5
a
1
4
d
a
1
4
c
3
b
2
c
b
2
3e
{a, b, c, d, e, f}
{a, b, e, c, d, f}
• Fissato il primo elemento nella permutazione (es. a), ogni altro elemento
occupa univocamente una posizione pari oppure dispari
T

Intorno di una permutazione
• Dato un ciclo hamiltoniamo T definiamo intorno ASSIGN di T
(indicato con N A(T )) come:
NA(T ) = {insieme dei cicli hamiltoniani ottenuti da T riposizionando
in tutti i modi possibili i nodi in posizioni pari}
f
e
f
e
6
5
a
1
T
4
d
a
d
3
{a, b, c, d, e, f}
b
2
c
b
c
f
e
d
e
6
5
a
1
4
f
a
d
3
b
2
c
b
c
{a, b, e, c, d, f}
b
f
e
e
6
5
a
1
4
f
a
d
3
d
2
c
b
c
{a, d, c, f, e, b}

f
e
Intorno di una permutazione
N A(T ) = {insieme dei cicli hamiltoniani ottenuti da T riposizionando
in tutti i modi possibili i nodi in posizioni pari}
?
e
6
5
a
d
a
1
4
?
3
b
c
?
2
c
f
e
6
5
a
1
T
4
d
3
b
2
c
T = {v 1 , v 2 , v 3 , v 4 , …, v n}
U= {v 2 , v 4 , v 6, …, v n/2 2}
{2, 4, …, n/2 2} Posizioni libere
# modi diversi di assegnare nodi liberi a
posizioni libere?
= permutazioni di n/2 2 elementi
|N A(T ) | cresce esponenzialmente con n
Nodi liberi

Intorno di una permutazione
• Data una posizione pari, i due nodi adiacenti (posizioni dispari) sono noti .
• Esempio: la posizione 2 è adiacente al nodo a e al nodo c
• Indichiamo con p vi il costo di inserimento di un nodo
“libero” v in una posizione “libera” i.
• Quanto costa inserire il nodo b in posizione 2?
p b2 = c ab + c bc = 2 + 5 = 7
a ? c
1 2 3
• Quanto costa inserire il nodo d in posizione 2?
p d2 = c ad + c dc = 7 + 6 = 13
a ? c
1 2 3
2 5
a b c
1 2 3
7 6
a d c
1 2 3
• Quanto costa inserire il nodo b in posizione 4?
p b4 = c ad + c dc = 5 + 1 = 6
6
f
e
3
?
e
3
6
5
a
d
a
1
4
?
2 5
5
7
3
?
2
c
c
2
3 b
1
6
5
4
7
6
c ? e
3 4 5
5 1
c b e
3 4 5

Ottimizzare nell’intorno
• Sia U l’insieme dei nodi liberi (quelli in posizione pari) di T
• Sia W l’insieme delle posizioni pari di T.
• Per ogni v U e ogni i W calcoliamo il costo p vi di assegnare il nodo v
alla posizione i.
• Sia u il nodo in posizione i-1 e z il nodo in posizione i+1 (mod |V|), allora
pvi = cuv + cvz. • Trovare la soluzione ottima in NA(T ) equivale a risolvere il seguente
• Problema: assegnare ogni nodo v U ad esattamente una posizione i W
in modo da minimizzare il costo complessivo dell’assegnamento
• Equivalente al problema di matching perfetto sul grafo bipartito completo
H (U W,A) con pesi p uw per ogni uw A

G(V,E)
7
6
f
e
3
3
Cicli hamiltoniani e permutazioni
a
2 5
5
7
d
2
3 b
1
6
5
4
7
6
b d f
13 7 6
c
f
e
9 10
10 3 9
2 4 6
6
5
T
M * = {b6, d4, f2} p(M * ) = 19
1
a
1
4
d
b
e
3
b
2
c
2 a 3
6
1
f
2
5
3
T *
4
d
U= {b, d, f}
3
W= {2, 4, 6}
6
c(T) = 25
c
4
c(T * ) = 19

Qualità delle soluzioni euristiche
• Gli algoritmi euristici cercano buone soluzioni ammissibili per un
problema di ottimizzazione (Q) : min {c(F): F S } = v(Q)
• Come definire la qualità della soluzione prodotta da un algoritmo?
• Sia A un algoritmo per (Q) che produce la soluzione F S
• Diciamo che A è un algoritmo che garantisce un’approssimazione
(l’algoritmo A è -approssimato) se
c(F) v(Q)
• Illustreremo un algoritmo 2-approssimato per il TSP metrico

Il TSP metrico
• Grafo G(V,E) non orientato, completo
• c uv 0 costo arco uv E
• c 0 è una (semi)metrica, ovvero soddisfa la disuguaglianza triangolare:
5
5
per ogni tripla di nodi distinti u, v, z, si ha che
2
2
4
3
1
3
4
c uv c uz + c zv (disuguaglianza triangolare)
4
3
5
6
2
2
u
c uv
c uz z
• Trova il ciclo Hamiltoniano di costo minimo in
G(V,E) con vettore dei costi c semimetrica
v
c zv

Cicli euleriani
• Per descrivere l’euristica 2-approssimata di Christofides per il TSP
metrico dobbiamo introdurre il concetto di ciclo eureliano
Dato un (multi)grafo non orientato, si definisce Ciclo Eureliano un
walk chiuso che passa esattamente una volta per ogni arco.
1
2
3
5
4
1 5 4 3
Teorema di Eulero. Un (multi)grafo ammette un ciclo eurleriano se
e solo se è connesso e ogni nodo ha grado pari.
Un (multi) grafo connesso e con ogni nodo di grado pari è
detto grafo euleriano.
5
4
1
2

L’algoritmo di Christofides
L’agoritmo di Christofides
• Grafo G(V,E) non orientato, completo, con costi c semimetrica
• L’algoritmo di Christofides trova un ciclo hamiltoniano di costo al più
doppio rispetto al ciclo di costo minimo
1. Trova il minimo albero ricoprente T di G.
2. Raddoppia ogni arco di T ottenenendo un grafo euleriano
3. Costruisci un ciclo euleriano T di questo grafo
4. Scegli un nodo iniziale u in T e visita T a partire da u
5. Costruisci una permutazione dei nodi V sequenziando i nodi
nell’ordine della loro prima apparizione in T nella visita
6. Restituisci il ciclo hamiltoniano H associato a

5
5
G(V,E)
2
2
4
3
1
3
4
4
3
5
6
2. Raddoppia ogni arco di T
ottenenendo un grafo euleriano
5
2
2
2
2
1
3
3
3
3
3
2
2
2
4
Esempio
1. Trova il minimo albero ricoprente T di G.
5
5
2
2
4
3
1
3
4
4
3
T
5
6
2
2
4
3 3
1
2
1
2
5
3
5 2
2 3
3
2
5
5
T
3. Costruisci un ciclo euleriano T
del grafo euleriano
2
2
3
1
3
3
2
4

Esempio
4. Scegli un nodo iniziale u in T e visita T a partire da u
5. Costruisci una permutazione dei nodi V sequenziando i nodi nell’ordine
della loro prima apparizione in T nella visita
4
3 3
1
2
1
2
T Permutazione associata = {1,5, 2, 3, 4}
5
3
5 2
2 3
3
2
5
Sequenza di visita di T : {1,5, 2, 5, 3, 5, 1, 4}
6. Ciclo hamiltoniano
associato a
5
5
2
2
4
3
1
3
4
4
3
5
6
2
2

T
5
5
2
2
4
4
3 3
1
2
3
1
3
4
4
1
2
5
3
5 2
2 3
3
2
5
3
5
6
2
2
Scorciatoie
Sequenza di visita di T : {1,5, 2, 5, 3, 5, 1, 4}
Permutazione associata = {1,5, 2, 3, 4}
6. Ciclo hamiltoniano H associato a
4
3 3
1
2
1
2
5
3
5 2
2 3
3
2
5
H è ottenuto da T sostituendo
cammini con archi
Poiché c soddisfa la
disuguaglianza triangolare si ha
c(H ) c(T)

5
5
2
2
4
3
1
3
4
4
3
5
6
2
2
Esempio
Th. 9.1 Sia H * il ciclo hamiltoniano di costo minimo, e sia T * l’albero
ricoprente di G di costo minimo. Allora c(H * ) c(T * ).
Sia P il cammino semplice ottenuto
da H * rimuovendo un arco.
P c(H * ) c(P) (costi non negativi)
P cammino P albero
P contiene tutti i nodi di G P albero ricoprente
P albero ricoprente, T * albero ricoprente a costo minimo c(P) c(T * )
c(H * ) c(P) c(H * ) c(T * )

Esempio
Th. 9.2 Sia H * il ciclo hamiltoniano di costo minimo, e sia H il ciclo
ritornato dall’algoritmo di Christofides. Allora c(H) 2c(H * ).
T ottenuto dall’albero ricoprente di
costo minimo T * raddoppiando gli archi
H ottenuto dal ciclo euleriano T
sostituendo cammini con archi
Dal Teorema 9.1
c(H) 2c(T * ) 2c(H * )
c(T * ) c(H * )
c(T) = 2c(T * ).
c(H) c(T) = 2c(T * )