Alcune considerazioni sperimentali su Area e Perimetro nella scuola ...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO
FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE
CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA
___________________________________________________________________
INDIRIZZO SCUOLA PRIMARIA
Alcune considerazioni sperimentali su Area e
Perimetro nella scuola primaria
Tesi di Laurea: Relatore:
Pecoraro Antonino Ch. mo Professore
Matricola 0435874 Filippo Spagnolo
Anno Accademico 2008/2009

Indice
Introduzione ....................................................................................................................... 3
CAPITOLO I ..................................................................................................................... 6
Notizie storiche ......................................................................................................................... 6
CAPITOLO II .................................................................................................................. 12
Rappresentazioni Epistemologiche dei concetti di area e perimetro negli ultimi 50 anni ...... 12
2.1 Analisi dei testi di scuola primaria ..................................................................... 12
2.2 Analisi dei testi di scuola secondaria di I grado ................................................. 20
2.3 Analisi dei testi di scuola secondaria di II grado ............................................... 29
CAPITOLO III ................................................................................................................ 34
Presentazione del lavoro sperimentale .................................................................................... 34
3.1 La scuola ............................................................................................................ 34
3.2 Articolazione del lavoro sperimentale .............................................................. 35
3.3 Scopi dei gruppi di schede proposte ................................................................... 42
3.4 Scopi del I gruppo di schede .............................................................................. 43
3.5 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo di schede
proposte (I tipologia) ................................................................................................ 47
3.6 Osservazioni finali ............................................................................................. 50
3.7 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo di schede
proposte (II tipologia) .............................................................................................. 58
3.8 Osservazioni finali ............................................................................................. 61
3.9 Scopi del II gruppo di schede ............................................................................. 65
3.10 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo gruppo di
schede proposte (I tipologia) .................................................................................... 69
3.11 Osservazioni finali ........................................................................................... 72
3.12 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo gruppo di
schede proposte (II tipologia) ................................................................................... 79
3.13 Osservazioni finali ........................................................................................... 82
3.14 Scopi del III gruppo ......................................................................................... 85
3.15 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del terzo gruppo di schede
proposte .................................................................................................................... 89
3.16 Osservazioni finali ........................................................................................... 91
3.17 Scopi del IV gruppo di schede ......................................................................... 93
1

3.18 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quarto gruppo di schede
proposte .................................................................................................................... 97
3.19 Osservazioni finali ......................................................................................... 100
3.20 Scopi del V gruppo di schede ......................................................................... 101
3.21 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quinto gruppo di schede
proposte .................................................................................................................. 105
3.22 Osservazioni finali ......................................................................................... 107
Conclusioni e problemi aperti ....................................................................................... 108
Allegati .......................................................................................................................... 110
Bibliografia .................................................................................................................... 129
Sitografia ....................................................................................................................... 130
2

Introduzione
La presente tesi è frutto di un lavoro di ricerca e sperimentazione incentrato sui
concetti di area e perimetro.
I motivi che mi hanno portato alla scelta di un argomento di geometria e, in
generale, di matematica nascono dal fatto che l'educazione matematica contribuisce a
una formazione culturale della persona, in modo da consentirle di partecipare alla
vita sociale con consapevolezza e capacità critica. In particolare, la matematica dà
strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili
nella vita quotidiana, inoltre contribuisce a sviluppare la capacità di comunicare e
discutere, di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le
argomentazioni degli altri. La conoscenza dei linguaggi scientifici, e tra essi in primo
luogo di quello matematico, si rivela sempre più essenziale per l'acquisizione di una
corretta capacità di giudizio. Per questo la matematica concorre, insieme con le
scienze sperimentali, alla formazione di una dimensione culturale scientifica.
Come è ben noto però la matematica, tra le discipline scolastiche, è quella che
produce tra gli studenti di ogni ordine di scuola il maggior numero di difficoltà
nell’acquisire con chiarezza i concetti propri della disciplina.
La mia ricerca sperimentale ha avuto inizio dalle seguenti domande di ricerca:
• I concetti di area e perimetro sono tra loro indipendenti negli alunni di
scuola primaria?
• La conoscenza delle formule incide sulla conoscenza di area e
perimetro?
Per rispondere a queste domande, ho organizzato, sperimentato e analizzato un
lavoro didattico, volto ad approfondire i concetti di perimetro e area, mettendo in
luce le differenze tra i due, corredando ogni spiegazione con esempi di natura pratica
e situazioni problematiche tratte dalla vita reale, accattivanti e stuzzicanti.
Prima di verificare quanto detto, mi sono documentato su come vengono
affrontati questi concetti nei libri di testo di scuola primaria e secondaria di I e II
grado, in modo da constatare l’evoluzione dei medesimi nei diversi ordini di scuola,
mettendo a confronto testi di periodi differenti per stabilire se, nel tempo, il modo di
introdurli, esaminarli e illustrarli abbia subito un mutamento.
3

Questa indagine svolta mi ha offerto ottimi spunti di riflessione per
l’impostazione del mio lavoro sperimentale. Dal confronto tra i testi di scuola
primaria presi in esame, consultando alcuni libri consigliati dal mio relatore,
professore F. Spagnolo, che mi ha seguito per tutto il lavoro, e da ricerche effettuate
su siti internet, ho maturato l’idea che sia di grande importanza, quando si affronta
anche un argomento apparentemente semplice come quello relativo ai concetti di
perimetro e area, partire da problemi di natura pratica per poi pervenire in maniera
quasi naturale alla definizione dei due concetti. A tal proposito ricordo, infatti, che i
concetti di area e perimetro affondano le proprie radici nell’esigenza di popoli
antichissimi di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura dell’estensione
delle loro terre e, dunque, partendo da un problema di natura pratica è quasi come
offrire ai bambini l’opportunità di poter giungere all’acquisizione dei due concetti
seguendo l’iter storico che ha portato alla loro affermazione.
Il lavoro di tesi è stato suddiviso nel modo seguente:
• Nel I capitolo ho analizzato lo sviluppo storico che sta alla base della nascita
della geometria, in generale, e dei concetti di area e perimetro, in particolare,
che, come ho già accennato sopra, si sono affermati a partire dall’esigenza di
antichi popoli di stabilire regole per la misura dei campi.
• Nel II capitolo ho riportato le considerazioni tratte dalla comparazione dei
libri di testo dei diversi ordini di scuola negli ultimi 50 anni.
• Nel III capitolo ho illustrato il lavoro sperimentale svolto in classe. In esso ho
riportato le schede adoperate sia per una prima verifica dei concetti, durante il
pre-test, sia a conclusione del mio lavoro. Il tutto è corredato da grafici
illustrativi che mettono in luce gli esisti del mio operato, ponendo a confronto
l’idea maturata dai bambini in merito ai due concetti prima e dopo il mio
intervento. Le schede utilizzate sono state suddivise per gruppi, e all’interno
del capitolo ho evidenziato anche gli scopi che mi sono proposto per i singoli
gruppi di schede. Per ciascuno di questi gruppi ho effettuato l’analisi a-
priori. Essa, mediante l’individuazione di strategie e comportamenti attesi
dagli alunni, chiarisce e motiva le scelte metodologiche degli insegnanti e,
pertanto costituisce uno degli strumenti più efficaci per la costruzione di
percorsi di insegnamento/apprendimento significativi, rispetto ai contenuti
4

scelti, alle competenze da attivare, alle attività da realizzare e alle verifiche da
effettuare. In questo capitolo ho inserito anche un simpatico problema di
natura pratica, che mi è stato molto utile per far acquisire ai bambini il
concetto di area nel caso di figure dal contorno poligonale ma non regolare.
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CAPITOLO I
Notizie storiche
La ricerca in didattica della matematica ci ha insegnato che quando si deve
affrontare la didattica di un certo argomento, è necessario in modo preliminare
prendere confidenza con la sua storia.
Certo, dietro questo suggerimento, ci sono motivazioni culturali: dominare un
argomento nella sua evoluzione storica ci permette di conoscerlo meglio, più a
fondo, dunque in modo critico, più consapevole.
Una storia di area e perimetro si perde nell’antichità più remota, poiché problemi
sulla misura di contorni di figure (appezzamenti di terreno, piante di palazzi ecc. o
anche semplici figure) e delle loro aree appaiono sia su tavole sumere, fin dal 3000
a.C., sia su papiri egizi fin dal 2000 a.C.
Per esempio, vi sono tavolette sumere nelle quali si chiede di determinare l’area
di un quadrato data la misura della sua diagonale; oppure quella di un esagono
regolare dato il lato. Così come, vi sono papiri egizi, anche del 1800 a.C. e perfino
precedenti, nei quali sono proposti problemi analoghi frequentemente legati ad
appezzamenti di terreno. Per esempio, nel Papiro di Ahmes vi sono alcuni problemi
geometrici. Il problema 51 mostra che l’area di un triangolo isoscele veniva trovata
prendendo la metà di quella che noi chiameremmo la base e moltiplicandola per
l’altezza. Ahmes giustificava il proprio metodo di trovare l’area osservando che il
triangolo isoscele poteva venire concepito come formato da due triangoli rettangoli ,
uno dei quali poteva venire spostato in modo che insieme i due triangoli formassero
un rettangolo.
Regole per la determinazione di perimetri e di aree di date figure sono rintracciabili
su molti di questi straordinari documenti.
La parola geometria deriva dal greco “gheometrìa”, misura della terra (gheo =
terra, metron = misura).
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Il senso etimologico della parola geometria è da ricercarsi nell’esigenza di
popoli antichissimi di stabilire rudimentali regole che fornissero la misura
dell’estensione delle loro terre.
Tale termine fu usato per la prima volta da Erodoto, il padre della storia, che
riteneva che la geometria fosse nata presso gli antichi Egiziani, vari millenni a. C.,
per la necessità che questi avevano di ripristinare confini di proprietà, che ogni anno
venivano cancellati dalle inondazioni del Nilo.
Si racconta che la fertile regione solcata dal Nilo fosse divisa in tanti
appezzamenti assegnati all’uno o all’atro contadino; questi campi avevano circa la
stessa area ed era una gara fra i vari contadini il far rendere di più il proprio terreno.
Un campo era separato dall’altro da solchi, ma le piene del Nilo distruggevano con le
acque i limiti fra campo e campo, si doveva così ogni volta, dopo il ritiro delle acque,
procedere ad una nuova divisione in parti equivalenti, cioè in parti di uguale area. Il
problema non era semplice poichè per dividere un terreno in tante parti equivalenti
occorreva conoscere delle regole per il calcolo delle aree delle varie figure.
Gli antichi Egizi cercarono queste regole, ecco perché si dice che l’Egitto è la
culla della geometria
D’altro canto è assodato che ancor prima altri popoli, come per es. gli Assiro-
Babilonesi, ebbero spiccate cognizioni di geometria, oltre che di aritmetica.
Gli Assiro-Babilonesi abitavano in Mesopotamia, la vasta pianura che ha per
confini naturali i due fiumi Tigri ed Eufrate, che attualmente si può identificare con
l’Iraq. Centro della loro vita politica e culturale era l’antichissima Babilonia. Essi,
profondi cultori di Astronomia, erano abbastanza progrediti nelle cognizioni
geometriche. Infatti, parallele, quadrati, triangoli, angoli retti s’incontrano fra le
materie della civiltà babilonese; inoltre è certo che quei popoli della Mesopotamia
erano in grado di calcolare con precisione aree di quadrati, di rettangoli, di triangoli
rettangoli e persino di trapezi, mentre per determinare l’area del cerchio si servivano
del valore π = 3. Presso gli Egiziani però si riscontravano più vaste e più profonde
cognizioni matematiche, in gran parte raccolte nel famoso Papiro Rhind (2000 a. C.
circa) di contenuto aritmetico-geometrico. Ma, tanto presso gli Assiro-Babilonesi,
quanto presso gli Egiziani le conoscenze matematiche servivano a scopi
principalmente pratici, che riguardavano sostanzialmente la divisione di terreni.
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Spetta ai Greci, a partire da Talete di Mileto e Pitagora di Samo, fondatore della
famosa scuola pitagorica a Crotone (540 a. C. circa), che forse fu allievo di Talete, il
merito di aver elevato la matematica a dignità di scienza.
Tra i matematici greci precedenti ad Archimede (287-212 a.C.) che più contribuirono
a dimostrare formule per il calcolo di aree e volumi (per i perimetri, le formule sono
solitamente banale frutto dell’intuizione oltre a Talete di Mileto (624?-548? a.C.),
Pitagora di Samo (580?-500? a.C.), si distinsero anche Democrito di Abdera (nato
attorno al 460 a.C.), Euclide di Alessandria (IV-III sec. a.C.), Erone di Alessandria
(III-II sec. a.C.).
A Democrito di solito si da il merito, per esempio, di aver trovato la formula per
il calcolo del volume della piramide; in verità, indicazioni di dividere per tre il
prodotto di “area di base” per altezza relativa circolavano già sui papiri egizi.
A questo periodo di grande splendore della matematica greca, seguì un periodo
di minor impegno nello studio della geometria, dovuto a varie causa sociali; lo studio
della geometria riprese vigore intenso solo durante il XV sec., in pieno rinascimento.
Nel medioevo i bisogni culturali in geometria erano soddisfatti da testi scritti in
volgare molto in voga che andavano sotto il nome di Geometria pratica ad uso di
geometri, manovali, funzionari dello stato, capomastri, perfino architetti.
Ma non sempre le opere erano pregevoli o corrette.
Per esempio, nella Pratica di geometria e tutte misure di terre di Tommaso della
Gazzaia, è stata trovata la seguente indicazione data ai notai e ai contadini per
misurare l’area di campi a forma di parallelogramma: “ […] multiplicare l ampiezza
contra la lunghezza cioe 37 via 89 fanno 3293 e tante channe quadre e tutto quello
terreno cioe 3293 e chosi di qualunque misura noi avessimo detto sempre moltiplica
l ampiezza contra la lunghezza ed avrai lo quadro di qualunque quantitade o misura
si fosse detto”; indicazione alquanto maldestra che ci dice qual era, a volte, la
“competenza” popolare dell’epoca.
Ritornando al Rinascimento, sebbene le conoscenze matematiche su tali temi
potessero sembrare ampiamente conquistate, di fatto non erano diffuse neppure tra le
persone colte. Un esempio molto significativo lo troviamo nell’opera di Galileo
Galilei Discorsi intorno a due nuove scienze attenenti alle meccanica e i movimenti
locali, che pubblicò nel 1638 e che tanta polemica produsse negli anni seguenti.
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Nella prima giornata si trova enunciata la seguente affermazione di Sagredo, uno
dei tre “interlocutori” protagonisti del dialogo:
[…] ignorando che può essere un recinto eguale a un altro, e la piazza contenuta da
questo assai maggiore della piazza di quello: il che accade non solamente tra le
superfici irregolari, ma [anche] tra le regolari, delle quali quelle di più lati son
sempre più capaci di quelle di manco lati, sì che in ultimo il cerchio, come poligono
di lati infiniti, è capacissimo sopra tutti gli altri poligoni di ugual circuito; di che mi
ricordo averne con gusto particolare veduta la dimostrazione studiando la sfera del
Sacrobosco con un dottissimo commentario sopra. (Qui, galileo si riferisce all’opera
La Sfera di Jhon di Holywood, cosmografo inglese del XIII sec., noto con lo
pseudonimo di Sacrobosco; si tratta di un testo di astronomia popolare, un
antesignano di divulgazione scientifica di grande pregio. Il sacro bosco fu anche
traduttore di ottimo livello di opere matematiche antiche).
Galileo ci offre due riflessioni sul tema a noi caro:
• Nella seconda afferma che tra tutte le figure piane di ugual misura di
contorno, il cerchio è quella di area massima;
• Nella prima afferma che non vi sono relazioni necessarie tra area e perimetro;
possiami forzare un po’ la mano a Galilei e proporre un che afferma in modo più esplicito la sua frase, in maniera
problematica: “Un paese ha due piazze A e B; il perimetro della piazza A è
maggiore del perimetro della piazza B; quale delle due piazze ha area
maggiore?”.
Ovviamente una risposta non c’è, ma molti rispondono “A”, per una falsa
relazione che ritengono necessaria: maggior perimetro maggior area.
Galileo sembra essere sarcastico nei confronti di coloro, colti e ignoranti,
scienziati e artisti, che tendono a rispondere “A”. La reazione di Galileo è
significativa ma i risultati della ricerca, mostrano che non molto è cambiato dopo
quasi 5 secoli.
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Detto qualcosa sulla storia, esistono famose leggende che hanno a che fare con
le relazioni tra perimetro e area, come quella di Didone e della fondazione di
Cartagine, in cui si nota un’opposizione tra l’idea di area e quella di perimetro.
La mitica Cartagine, nell’attuale golfo di Tunisi, fiera oppositrice dello
strapotere romano, fu abitata da grandi esploratori, commercianti, più volte distrutta
dai Romani, dai Vandali, dagli Arabi …
Come, quando, da chi fu fondata Cartagine? Narra la leggenda (ci sono sempre
leggende alla base di fondazioni mitiche di città storicamente decisive) che ciò
accadde nell’814 a.C. da una colonia di Fenici di Tito, con a capo la bella Didone.
Narra dunque la leggenda, in una delle sue molteplici forme, che Didone, figlia
del re di Tito, moglie di Sicheo, bella e intelligente, aveva accumulato una grande
ricchezza che faceva gola al cognato Pigmalione; questi tramò, uccise Sicheo (e forse
il re, padre di entrambi) e s’impossessò delle ricchezze. Didone riuscì a fuggire con
una nave carica di gioielli, insieme ad alcuni fidati amici.
Giunse sulle sponde settentrionali dell’Africa e chiese ospitalità al re di
Numidia, il famoso Iarba. Questi, commosso dal triste racconto della naufraga e
sconvolto dalla sua bellezza, decise di regalarle un appezzamento di terreno, per
fondarvi un villaggio. La principessa chiese: “Iarba, non voglio approfittare della tua
generosa ospitalità, solo ti chiedo tanta terra quanta ne può cingere una pelle di bue”.
Commosso da una richiesta tanto contenuta, Iarba acconsentì senza indugi …
Ma Didone era evidentemente versata nelle cose matematiche perché … che
cosa vuol dire cingere?
Nella versione immaginata da Iarba, cingere significa prendere una pelle di bue,
ricoprire la terra e considerare quella superficie come proprietà di Didone.
Didone, invece, aveva in mente tutt’altra interpretazione geometrica. Fece tagliare la
pelle in strisce sottilissime, a mò di corda; e fece cingere un grande appezzamento di
terra usando la corda per individuarne per individuarne il contorno.
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Nella prima interpretazione, domina l’idea di area, nella seconda quella di
perimetro.
Orbene, racconta la storia che il povero Iarba, per non fare la figura dell’ingenuo,
accettò di buon grado di concedere l’inatteso munifico regalo. Ma, ora, come Didone
doveva far cingere il terreno in modo tale da poter fondare oltre che un villaggio, una
grande, poderosa città?
La cosa più conveniente per Didone era quella di disporre questa corda di pelle
di bue a forma di circonferenza per ottenere il massimo della terra possibile (infatti
tra le figure geometriche di uguale perimetro quella che ha maggiore area è il
cerchio).
Così, per l’appunto fece Didone. Anzi, siccome la stupenda matematica principessa
fenicia era davvero intelligente, prese in realtà un semicerchio che aveva come
diametro la riva. Così ricavò anche un potente porto che, sappiamo, diede lustro alla
storia del Mediterraneo e … tante gatte da pelare a Roma.
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CAPITOLO II
Rappresentazioni Epistemologiche dei concetti di area e perimetro
negli ultimi 50 anni
In questa sezione, mi sono preoccupato di trascrivere le considerazioni che ho
tratto svolgendo un’indagine sui libri di testo scolastici della scuola primaria,
secondaria di I° e II° grado, recenti e del passato, allo scopo di vedere come vengono
introdotti, esaminati e illustrati i concetti di area e perimetro.
2.1 Analisi dei testi di scuola primaria
Analizzando alcuni testi di scuola primaria, ci si può rendere conto della
notevole importanza che riveste il ruolo del linguaggio iconico, in questa fase di
sviluppo del pensiero del bambino.
I concetti di area e perimetro vengono, infatti, corredati da una grande quantità
di immagini colorate.
Va detto, comunque, che questo aspetto risulta ancora più evidente nei libri di
recente edizione.
Sfogliando il testo INCONTRI edizione Cetem, del 1968, si può notare una
modesta presenza di figure illustrative che accompagnano i concetti, espressi per lo
più in forma discorsiva.
In questo caso, le immagini sono schematiche e ridotte all’essenziale, limitandosi
a rappresentare, quasi esclusivamente, figure geometriche e costituendo quasi un
accessorio del messaggio, che viene trasmesso prevalentemente per iscritto. Questa
semplicità tipografica, scarna di colori e di immagini, se da una parte può attirare
poco l’attenzione di un bambino, dall’altra permette di focalizzare subito
l’argomento, presentato in modo immediato, dopo la definizione dei poligoni, nel
seguente modo:
• La somma della misura dei lati di un poligono si dice perimetro.
• La misura della superficie di un poligono si dice area.
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A queste definizioni seguono svariati esercizi proposti per la misura del
perimetro delle diverse figure geometriche.
Per quanto riguarda, invece, il calcolo dell’area, prima di passare agli esercizi,
viene aperta una parentesi sulla unità di misura per le superfici, facendo notare che
misurare una superficie vuol dire calcolare quante volte una unità di misura per le
superfici è contenuta in quella superficie. Vengono poi definiti il centimetro
quadrato come un quadrato di lato 1 cm, il decimetro quadrato come un quadrato di
lato 1 decimetro e il metro quadrato come un quadrato di lato 1 metro, pervenendo
alla definizione del metro quadrato (m 2 ) come unità principale di misura delle
superficie e specificando che il decimetro quadrato e il centimetro quadrato sono
sottomultipli del metro quadrato e che i multipli sono il decametro quadrato,
l’ettometro quadrato e il kilometro quadrato.
A questo punto, vengono proposti una serie di esercizi e problemi sul calcolo
dell’area, suddivisi, anche in questo caso, per categoria di figure.
Il secondo testo che ho preso in esame è una ristampa del 1983 del libro LA
NUOVA MATEMATICA di A. Uberti Gotti- M. L. Uberti Cervini, edito da
Signorelli Milano, nel 1972.
Questo testo risulta ancora meno colorato del precedente, utilizzando soltanto il
nero e il rosso per le illustrazioni, che, anche in questo caso, sono essenzialmente di
natura geometrica.
Il perimetro viene introdotto dopo avere definito ampiamente i poligoni nel
seguente modo: trovare il perimetro significa trovare la lunghezza totale dei lati di
un poligono.
A seguire, vengono proposti alcuni esercizi sulla misura del perimetro di diverse
figure geometriche illustrate, richiedendo dapprima al bambino di misurare
direttamente col righello i lati dei poligoni. Quando viene affrontato il problema della
misura del perimetro dei poligoni regolari si fa constatare al bambino, prendendo in
considerazione ad esempio un quadrato di lato 4 cm, che se voglio misurarne il
perimetro, posso fare cm 4 + cm 4 + cm 4 + cm 4 = cm 16, ma per fare più in fretta è
preferibile fare cm (4 * 4) = cm 16. Sulla scia di questo esempio vengono proposti
alcuni esercizi per poi passare a esercizi di natura inversa, nei quali si richiede,
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invece, di trovare il lato di alcuni poligoni regolari, conoscendo il perimetro, cosa
che non ho riscontrato nel testo precedente.
L’argomento si conclude assegnando ai bambini il compito di misurare il
perimetro della propria aula.
Prima di passare a trattare l’area gli autori si soffermano sul concetto di superfici
equivalenti con esercizi del tipo:
• Costruisci tutte le figure possibili che contengono 4 quadrati come questo
• Esempio
Dopo avere invitato il bambino a continuare, vengono poste le seguenti domande:
• Le figure che hai disegnato occupano la stessa superficie?
• Hanno la stessa forma?
In questo modo il bambino viene avviato a una prima riflessione sul concetto di
superficie e sul fatto che due superfici sono equivalenti non quando hanno la stessa
forma, bensì quando hanno la stessa estensione. Dopo avere proposto ancora alcuni
esercizi sull’equivalenza dei poligoni viene data la definizione di area come misura
di una superficie, dicendo che trovare l’area di una superficie significa sapere
quante volte un’unità di misura da me scelta è contenuta in quella superficie.
Successivamente viene fatto notare che per misurare l’area di una figura
possiamo contare i quadrati unità, mediante il seguente esempio:
• Se prendo come unità di misura questo quadrato
figura è di 6 quadrati unità:
l’area di questa
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Dopo aver proposto due esercizi di questo tipo, vengono introdotte le misure di
superficie e, dunque il metro quadrato con i suoi multipli e sottomultipli. La loro
definizione è data essenzialmente come nel testo già analizzato; in questo caso,
inoltre, per alcune unità di misura vengono proposti degli esempi per far acquisire
consapevolezza circa gli ordini di grandezza cui riferirle.
Per esempio nel caso del km 2 viene specificato che si usa per misurare la
superficie di una regione, di uno Stato, nel caso dell’ hm 2 che si usa per misurare la
superficie dei terreni, dei boschi, dei prati, aggiungendo che si scrive anche ha
(ettaro) quando si misurano superfici di terreno. Continuando, gli autori procedono
analogamente per il dam 2 e il m 2 , mentre per i sottomultipli viene invitato il bambino
a riflettere e continuare da solo. Successivamente vengono proposte delle attività
sulle misure approssimate per stimolare il bambino a formarsi un’idea concreta circa
l’ordine di grandezza delle unità di misura, in particolare il bambino viene posto
davanti a un elenco di oggetti delle più svariate forme e dimensione e gli si chiede
per ciascuno di essi se misura più, meno o circa un metro. Gli esercizi che seguono
continuano su questo filone, scendendo più nel particolare e chiedendo, ad esempio,
quanti cm 2 ci sono in un dm 2 e così via. Queste attività vengono illustrate da
immagini, che aiutano il bambino a realizzare l’idea di quanto misuri concretamente,
ad esempio, un cm 2 e a capire il rapporto esistente tra le varie unità di misura.
Successivamente si entra nel vivo del calcolo dell’area, proponendo dei problemi
illustrati da figure, nei quali si richiede di determinare l’area dei poligoni, che
vengono suddivisi in cm 2 . Questo tipo di ragionamento risulta immediato per figure
quali il quadrato o il rettangolo, facilmente scomponibili in quadratini di lato 1 cm,
ma risulta meno scontato per figure quali il parallelogramma, il triangolo o il
trapezio. In questi casi, le figure in oggetto vengono dapprima scomposte mediante
poligoni noti per poi procedere a ricavare anche per questi la formula per il calcolo
dell’area.
Col trascorrere degli anni i libri si fanno più colorati e illustrati, come nel caso
del sussidiario del 1989 della fabbri editori, dal titolo IN DIRETTA DAL MONDO.
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In questo testo, oltre a raffigurazioni di natura prettamente geometrica (es. poligoni,
angoli), si riscontrano anche illustrazioni che accompagnano spiegazioni teoriche o
che affiancano il testo di un problema, anche se questo aspetto rimane ancora
marginale, essendo le immagini limitate nel numero e con disegni semplici e poco
accattivanti. Il perimetro delle figure piane viene introdotto in modo immediato e
diretto in questo modo: il perimetro di una figura piana si ottiene sommando la
lunghezza dei lati. Aggiungendo che se però si tratta di un poligono regolare, si può
moltiplicare la misura di un lato per il numero dei lati.
Questa breve premessa, viene fatta seguire da una tabella riassuntiva in cui
vengono elencati poligoni regolari e non,
affiancati, ogni volta dalla formula del
perimetro. L’argomento si conclude
brevemente proponendo una decina di esercizi
sull’argomento, disposti in ordine di difficoltà
crescente. Mentre i primi sono, infatti,
abbastanza immediati potendosi risolvere con
la somma dei lati assegnati, gli ultimi tre
essendo posti in modo diverso potrebbero dare
origine a qualche difficoltà, in quanto meno standardizzati e più stimolanti al
ragionamento:
• Attorno a un’aiuola che ha la forma di un triangolo equilatero si piantano 36
tulipani alla distanza di 75 cm l’uno dall’altro. Quanti metri misura il
perimetro di quell’aiuola? E il lato?
• Un orto ha la forma di un trapezio con i lati di 38,5; 27,8; 19; 20,7 m. Viene
recintato con una rete metallica che costa L. 3200 il metro. Calcola quanti
decametri di rete occorrono e l’ammontare della spesa.
• Un trapezio isoscele ha il perimetro di 126 cm e la base maggiore di 48cm. Se
la base minore è la metà della maggiore, quanto misurano i lati obliqui?
Prima di passare al calcolo dell’area delle figure piane, viene introdotto il
concetto di superficie con una breve premessa e una nota in basso ricorda che la
superficie è un’estensione limitata da confini precisi e l’area è il numero che esprime
l’estensione di una superficie. Rapidamente si passa alle misure di superficie dicendo
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che per misurare una superficie basta ricoprirla con altre superfici piane meno
estese e calcolare quante volte queste sono contenute in quella più estesa. Poiché da
questa premessa risulta poco chiaro il concetto
di unità di misura viene fatto un esempio in cui
per misurare la superficie di un pavimento si fa
uso di una pagina di giornale come unità di
misura. Questo esempio è affiancato da una
immagine che aiuta meglio a comprendere il
problema in oggetto: il calcolo dell’area.
Segue la presentazione delle unità di misura. Prima di presentare il metro quadrato
quale unità principale di misura della superficie, gli autori sottolineano la differenza
tra misure lineari e misure quadrate dicendo che nel primo caso si tratta di lunghezze
e servono per misurare le lunghezze, nel secondo caso si tratta di superfici e servono
per misurare superfici. L’argomento, in questo caso, è corredato da una grande
quantità di esercizi sulle equivalenze e quesiti del tipo “un metro quadrato che parte
è del decametro quadrato?” che, come nel testo già analizzato, aiutano a capire in
che rapporto stanno tra loro le varie unità di misura. Anche in questo testo prima di
entrare nel vivo della questione legata al calcolo dell’area, il bambino viene invitato
a riflettere sull’equivalenza delle figure, cercando di far superare l’ostacolo in cui è
facile incorrere e cioè forma diversa = superficie diversa. A questo punto viene
introdotta l’area, in maniera analoga al testo precedente, ovvero, anche in questo
caso, si parte da figure facilmente suddivisibili in quadratini di lato 1 cm, quindi in
cm 2 , per poi passare a figure riconducibili a figure note e ricavare, anche per queste,
la formula dell’area. Per ogni diversa tipologia di figure vengono assegnati dei
problemi. Alcuni sono di semplice risoluzione, in quanto consistono nell’applicare
direttamente la formula, altri sono, invece, meno immediati e più stimolanti, come il
seguente:
• Osserva l’illustrazione. Sapresti calcolare l’area della parte colorata del
trapezio isoscele?
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Una sezione in più che compare in questo libro e che ho trovato molto
interessante è quella dedicata ai problemi da inventare, a partire da liste di dati
assegnati, come ad esempio:
Questo genere di attività ha una grande valenza dal punto di vista didattico: da
una parte stimola la creatività e le capacità di ragionamento, dall’altra ha una
ricaduta di carattere interdisciplinare, in quanto il bambino è chiamato a elaborare un
testo scritto.
L’altro testo che ho visionato è un testo recente edito da Elmedi nel 2005 e
ristampato nel 2008, dal titolo TUTTI I FRUTTI DEL SAPERE, costituito dal
sussidiario e da un quaderno operativo. Graficamente si presenta notevolmente
diverso da quelli analizzati fin qui: è colorato, pieno di immagini, non prettamente
geometriche. Ogni argomento viene spesso introdotto tramite quesiti posti sotto
forma di fumetto che visivamente colpiscono molto. Questa impostazione variopinta
e densa di immagini se da un lato riesce a catturare l’attenzione di un bambino,
dall’altra rischia di far divagare la mente e distrarre il lettore che può perdersi nei
disegni colorati perdendo di vista il nocciolo della lezione.
18

Il perimetro qui è introdotto quasi in concomitanza con i poligoni. Subito dopo
avere distinto tra poligoni equilateri, regolari e irregolari, viene definito perimetro il
contorno di un poligono, evidenziando che per calcolare il perimetro di un poligono
bisogna sommare le misure dei lati. A questo punto vengono analizzati
singolarmente triangoli e quadrilateri. Inizialmente vengono classificati i poligoni
rispetto a angoli e lati e poi viene calcolato il perimetro di ciascuna figura. In questo
testo non viene evidenziato il fatto che nei poligoni equilateri il perimetro si possa
calcolare moltiplicando la misura di un lato per il numero dei lati; per ogni figura, la
misura del perimetro viene calcolata sommando i lati. Inoltre il fatto che per ogni
figura si diano troppe informazioni, compresa la misura del perimetro ritengo risulti
dispersivo. A mio avviso, infatti, nonostante i testi precedentemente consultati
risultassero poco accattivanti, essendo poveri nei colori e nelle immagini,
consentivano di focalizzare subito l’attenzione sulla misura del perimetro, inducendo
il bambino a riflettere sul fatto che nel caso in cui il poligono abbia tutti i lati uguali è
superfluo e prolisso procedere con la somma delle misure dei lati. Sull’argomento
perimetro non vengono proposti esercizi né nel sussidiario né sul quaderno operativo.
Questo impedisce al bambino di esercitarsi a sufficienza fino ad entrare in pieno
possesso di ciò che significa calcolare il perimetro di una figura, attuando le
opportune strategie e scorciatoie per il calcolo del medesimo.
Per quanto riguarda l’area, non viene dedicata alcuna premessa al concetto di
superficie, come, invece, accadeva nei testi precedenti. L’argomento è introdotto con
l’ausilio di illustrazioni colorate e attraverso il dialogo, sotto forma di fumetto, di due
personaggi che si chiedono quanti quadrati occorrono per coprire un quaderno.
Secondo me, in questo caso vengono mescolati elementi di estrazione reale (il
quaderno) con elementi che richiedono, invece, già un’astrazione, ovvero i quadrati
presi in oggetto. Infatti, non viene specificato di che quadrati si tratta, ne di quanto
siano grandi e la cosa può indurre il bambino a confondere le idee. L’unico elemento
che può indurre il bambino a farsi un’idea sulla dimensione di questi quadratini è il
fatto che richiamino i quadrati dei quadernoni che solitamente i bambini utilizzano
fino in seconda. Nel testo precedente era proposta una situazione analoga, a mio
avviso più concreta e chiara, ovvero l’idea di ricoprire la pavimentazione con dei
fogli di giornale. Il tutto era accompagnato da un disegno abbastanza esplicativo e
19

sottoponeva all’attenzione del bambino degli oggetti concreti di cui si può avere una
idea precisa.
Dopo due esempi dello stesso tipo, in cui i due personaggi raffigurati ricoprono
il quaderno e il diario con dei quadratini, viene detto che è stato usato come unità di
misura un quadrato, per poi passere alla seguente definizione: per misurare l’area di
una figura, cioè la sua superficie è necessario usare una unità di misura che sia essa
stessa una superficie. Anche nella definizione di area il testo appare poco chiaro, non
distinguendo il concetto di area da quello di superficie. Prima di affrontare il
problema delle unità di misura viene dedicata una breve parentesi alle figure
equiestese, ma anche in questo caso non vengono proposti esercizi che possano
stimolare il bambino a riflettere sull’argomento per impadronirsi del concetto. A
questo punto, si passa alle unità di misura di superficie, presentando il metro
quadrato, cioè un quadrato con il lato di un metro, come l’unità di misura per
misurare una superficie, con i suoi sottomultipli e multipli. Le unità di misura
vengono inserite in una tabella, specificando che ogni unità di misura è 100 volte più
grande di quella posta alla sua destra e 100 più piccola di quella posta a sinistra. A
seguire vengono ricavate le formule per il calcolo dell’area delle diverse figure
geometriche. Questa parte viene affrontata in modo analogo ai precedenti libri. Si
comincia, infatti, con figure facilmente suddivisibili in quadratini di lato 1 cm, quali
il rettangolo e il quadrato e, una volta ricavata la formula per il calcolo dell’area per
queste figure, si procede con le altre, che vengono scomposte in figure note. Anche
per l’area gli esercizi proposti sono quasi inesistenti, fatta eccezione per qualche
esercizio del quaderno operativo sul calcolo dell’area nei poligoni irregolari.
2.2 Analisi dei testi di scuola secondaria di I grado
Terminata l’analisi dei libri di testo di scuola primaria, sono passato ad
esaminare alcuni testi di scuola secondaria di primo grado, procedendo in modo
analogo e prendendone in considerazione, anche in questo caso, alcuni recenti e altri
non più in uso nelle scuole.
Il primo testo che ho consultato è datato 1955 e riporta come titolo LA BELLA
GEOMETRIA, di Nicosia-Cordova , la cui casa editrice è SEI.
20

Anche questo testo lascia intuire la sua collazione temporale dal numero limitato
di illustrazioni che affiancano le spiegazioni teoriche e dalla povertà dei colori. Le
immagini raffigurate sono quasi tutte di natura geometrica e il colore predominante è
l’azzurro, utilizzato sia per le illustrazioni che per evidenziare le definizioni.
Rispetto a testi di scuola primaria, gli argomenti in questione sono trattati in
modo più complesso e, dunque, non stupisce se in questo volume, le autrici prima di
dare la definizione di perimetro introducono i concetti di spezzata e poligono, nel
seguente modo:
Una linea formata di segmenti consecutivi, tutti appartenenti ad uno stesso
piano, si dice spezzata.
I segmenti si dicono i lati della spezzata. La spezzata si dice aperta se l’ultimo
estremo dell’ultimo lato non coincide col primo estremo del primo lato. Si dice
chiusa se tali estremi non coincidono.
La spezzata si dice convessa se giace tutta da una parte rispetto alla retta a cui
appartiene ogni suo lato; concava se non è convessa; intrecciata se due lati non
consecutivi si intersecano.
Dicesi poligono la parte di piano limitata da una spezzata chiusa.
La spezzata si dirà il contorno del poligono; i vertici e i lati della spezzata si
diranno vertici e lati del poligono.
A questo punto, si introduce il perimetro come la somma dei suoi lati.
Prima di passare al concetto di area, vengono analizzati in maniera dettagliata i
diversi poligoni e la costruzione di poligoni regolari. A seguire viene dedicato un
capitolo alle figure piane equivalenti. A tal proposito viene fatto notare che esistono
figure che pur avendo forma diversa hanno uguale estensione, tali figure vengono
definite equivalenti.
Per far comprendere meglio tale concetto, vengono proposte delle attività
pratiche sulla costruzione di figure equivalenti, del tipo:
• Si ritagli ad es. in cartoncino un rettangolo e poi diviso questo lungo i
segmenti segnati sulla fig. a (di seguito riportata), si dispongano le varie
parti nel modo indicato dalla fig.b. Evidentemente il triangolo che ne risulta
ha la stessa estensione del rettangolo dato, ossia è ad esso equivalente.
21

Successivamente si passa al concetto di area dei poligoni. Le autrici, prima di
darne una esplicita definizione premettono che per misurare una superficie occorre
confrontarla con un’altra, detta unità di misura, e trovare quante volte tale unità di
misura (o un suo sottomultiplo) è contenuta nella superficie data. Il numero che così
si ottiene è la misura della superficie rispetto all’unità scelta e si chiama area della
superficie.
Chiusa questa premessa, si procede con la definizione di area, nel seguente
modo: dicesi area di una figura piana il numero che esprime quante volte l’unità di
misura è contenuta nella sua superficie.
Le autrici tengono, inoltre, a precisare che i concetti di superficie e di area,
spesso confusi, sono nettamente distinti, facendo notare che per superficie di una
figura piana si intende la parte di piano che essa occupa, mentre l’area di una figura
è il numero che esprime la misura della sua superficie.
A questo punto vengono analizzate singolarmente le aree delle superfici delle
principali figure geometriche, corredandole con esempi. I problemi proposti vengono
elencati in appendice.
22

L’altro testo preso in esame è di gran lunga più recente rispetto al primo. Si
tratta di GEOMETRIA SPERIMENTALE di E. Bovio – L. Manzone Bertone, edito
da LATTES nel 1995.
La stessa evoluzione tipografica che ho riscontrato nei testi di scuola primaria,
col trascorrere degli anni, si può riscontrare ovviamente anche nei libri di scuola
secondaria.
Questo testo appare, infatti, molto più ricco del precedente sia nelle illustrazioni
che nei colori. Inoltre gli esercizi e i problemi non sono riposti in appendice ma
accompagnano ogni capitolo, al termine del quale ne vengono proposti in gran
quantità e di svariata natura.
Come nel precedente, comunque, il concetto perimetro viene introdotto dopo
aver definito il concetto di poligono, ma l’impostazione appare più concreta e
pratica.
Inizialmente, infatti, gli autori introducono l’argomento suggerendo di disegnare
su un cartoncino una spezzata chiusa A B C D E, e tagliarla con le forbici lungo i
segmenti AB, BC, CD, DE, EA, cosicché, la parte che si staccherà dal cartoncino
darà l’immagine concreta di un poligono. Dopodiché viene data la seguente
definizione:
Si dice poligono la parte finita di piano limitata da una spezzata chiusa. Questa
costituisce il contorno del poligono; i punti A, B, C, D, E, sono i suoi vertici ed i
segmenti AB, BC, ….., EA, ne sono i lati e sono tanti quanti sono i suoi vertici.
Successivamente vengono definiti consecutivi due lati, come ad es. AB e BC che
hanno un vertice in comune così pure due vertici come A e B, che appartengono alla
stesso lato e viene puntualizzato che un poligono si indica pronunciando le lettere dei
suoi vertici, enunciati nell’ordine con cui si susseguono sul contorno.
Infine, viene definito il concetto di perimetro nel seguente modo:
La lunghezza somma di tutti i suoi lati si dice perimetro del poligono.
A questo punto, segue un’analisi molto dettagliata dei vari poligoni e, a
conclusione del capitolo, vengono proposti svariati esercizi sui poligoni e problemi
sulla misura del perimetro.
Anche in questo caso, prima di passare alla trattazione del concetto di area,
l’autore si occupa dell’estensione delle superfici delle figure e dell’equivalenza di
23

queste. Per spiegare il concetto di equivalenza, ricorre a un simpatico esempio di
natura pratica.
L’autore fa notare infatti che se da un foglio di lamiera di spessore costante si
ritagliano i modelli di due figure uguali, pesandole, si troverà che esse avranno lo
stesso peso. A questo punto, fa notare che può accadere che due superfici, pur
avendo forme diverse, abbiano uguale estensione. Se, infatti, dallo stesso foglio di
lamiera si ritaglia una figura piana C, avente forma diversa da A e, pesandola si trova
che ha lo stesso peso di A, si può affermare che le due figure hanno la stessa
estensione facendo notare che due superfici, pur avendo forme diverse, possono
avere uguale estensione.
Successivamente illustra lo stesso concetto mediante l’uso di figure
equicomposte, cioè di figure composte da uno stesso numero di parti a due a due
congruenti, mediante un esempio analogo a quello proposto nel testo precedente.
Anche in questo caso, si tratta di disegnare su un cartoncino un quadrato A e di
ritagliarlo in quattro parti come è indicato nella figura fig A
A questo punto, viene fatto notare che disponendo diversamente i quattro
triangoli nei quali esso è rimasto scomposto, si può costruire il trapezio B o il
triangolo C.
24

Si passa quindi al concetto di area introducendola in modo analogo al precedente
libro, premettendo che misurare l’estensione di una superficie, significa confrontarla
con un’altra superficie scelta come unità di misura, e stabilire quante volte quest’
ultima è contenuta in quella data e definendo l’area delle superficie come il numero
che indica la misura dell’estensione di una superficie.
Interessante risulta il seguente procedimento pratico per spiegare il concetto di
area :
“Consideriamo ad es. il rettangolo ABCD e scegliamo come unità di misura il
quadratino q.
Poiché questo è contenuto esattamente 8 volte nel rettangolo ABCD possiamo
affermare che l’estensione della sua superficie è data da 8 quadratini q, ossia che
l’area A del rettangolo considerato è
A = 8q.
Se consideriamo lo stesso rettangolo ABCD e prendiamo come unità di misura il
rettangolo u,
25

Poiché questo contenuto esattamente 4 volte in ABCD, possiamo affermare che
l’estensione della sua superficie è data da 4 rettangoli uguali ad u, ossia che
A = 4u.
Come vedete, l’area della sua superficie varia a seconda dell’unità di misura
scelta.”
Il testo dedica anche un paragrafo alla ricerca sperimentale dell’area di una
superficie.
“ La ricerca dell’area di una superficie ricorrendo al suo confronto diretto con l’unità
di misura scelta, non è sempre facile e possibile. Sarebbe ad es. impossibile ricoprire
esattamente la superficie di un triangolo con quadratini per quanto piccoli essi siano.
26

Non si potrebbe quindi determinare la sua area con il confronto diretto della
superficie di tale triangolo con uno di tali quadratini scelto come unità di misura. Si
potrebbe solo calcolare un valore approssimato per difetto dell’area richiesta,
contando qual è il più grande numero di quadratini che sono contenuti nel triangolo,
o un valore approssimato per eccesso, contando qual è il più piccolo numero di
quadratini che lo compongono.
Per determinare l’area di una superficie irregolare S,
si può anche procedere sperimentalmente nel modo seguente. Ritagliate da un foglio
di cartone, o di lamierino, un quadrato avente ad es. il lato di 5 centimetri: esso può
scomporsi in 25 quadratini, ciascuno dei quali ha l’area di un centimetro quadrato.
Pesate il quadrato con una bilancia di precisione e supponete che il suo peso sia
di 10 grammi; ne consegue che ogni quadratino di quel cartone pesa (100: 25)g = 4g.
27

Ritagliate poi dallo stesso foglio di cartone la superficie S di cui volete
determinare l’area e pesatela; se il suo peso è di 24g, dedurrete che poiché ogni
quadratino di quel cartone pesa 4g, l’area A della superficie S è di :
(24: 4) cm 2 = 6cm 2
Successivamente, come nel testo precedente vengono analizzate singolarmente
le misure delle superfici dei principali poligoni, accompagnando la trattazione teorica
con alcuni esercizi svolti sul calcolo dell’area. A conclusione del capitolo vengono
proposti svariati esercizi e problemi sull’argomento.
L’ultimo testo consultato per la scuola secondaria di primo grado si chiama
PERCORSI MODULARI DI MATEMATICA-GEOMETRIA, di S. Linardi e R.
Galbusera, edito da Mursia.
È un testo molto più ricco dei precedenti per quanto riguarda sia i colori che le
illustrazioni di natura non geometrica. La trattazione teorica dei concetti che portano
poi alla definizione di perimetro, avviene in modo analogo ai testi precedentemente
consultati.
Questa è inserita, come prima, all’interno del paragrafo dedicato ai poligoni ed è
esplicitata nel seguente modo: la lunghezza del contorno del poligono, cioè la somma
delle lunghezze dei suoi lati, si dice perimetro.
Anche il concetto di area viene definito in modo analogo ai testi precedenti
come il numero che indica da quante unità di misura è composta la superficie di una
figura.
Tale testo differisce rispetto ai precedenti per la parte pratica, ovvero per gli
esercizi, che anche in questo caso, accompagnano ogni capitolo.
Questi sono suddivisi in
• Conoscenze, per indagare l’acquisizione delle nozioni teoriche inerenti ogni
argomento;
• Applicazioni, che riguardano essenzialmente problemi proposti
sull’argomento in questione;
28

• Approfondimenti, che riguardano problemi più complessi e stimolanti per i
ragazzi più vivaci intellettualmente.
2.3 Analisi dei testi di scuola secondaria di II grado
Per quanto riguarda la scuola secondaria di secondo grado ho preso in esame sei
testi, di cui, tre attualmente in uso, e gli altri tre risalenti agli anni ’50, ’60 e ’70.
Come ho già espresso per i testi precedentemente discussi, al contrario dei libri
attuali che utilizzano molti colori, la veste tipografica di questi vecchi testi è
abbastanza semplice perché vengono utilizzati soltanto due colori, il nero e l’azzurro.
Il primo testo che ho preso in esame si intitola GEOMETRIA PER ISTITUTO
MAGISTRALE di Nicosia – Cordova , edito da SEI nel 1958.
Questo libro è stato elaborato dalle stesse autrici del libro già analizzato per la
scuola secondaria di primo grado, LA BELLA GEOMETRIA, e propone
un’impostazione quasi analoga al testo già discusso sopra per quanto riguarda il
perimetro. Per spiegare il concetto di superficie (il libro riporta la parola estensione)
utilizza lo stesso esempio, utilizzato nel testo per la scuola secondaria di primo
grado.
• Da una lamina metallica omogenea di spessore costante ritagliamo due
figure A e B di forma diversa
A B
Se le due figure hanno lo stesso peso è intuitivo che abbiano la stessa
estensione.
Se invece il peso di A è maggiore del peso di B, diremo che l’estensione di
A è maggiore dell’estensione di B.
29

Pertanto due figure piane di dicono equivalenti quando hanno la stessa
estensione.
Seguono, nel capitolo, tutte le proposizioni e i teoremi relativi alle figure
equivalenti.
Il capitolo successivo si apre con la definizione di grandezze, espressa nel
seguente modo: “Si chiamano grandezze geometriche i segmenti, gli angoli, gli archi
di una stessa circonferenza (o di circonferenze uguali) le superfici, ecc. Due
grandezze si dicono omogenee se per esse si possono stabilire i concetti di
uguaglianza (o di equivalenza, se si tratta di superfici) e di disuguaglianza, di
somma e di differenza”.
Dopo avere parlato di grandezze commensurabili e incommensurabili, di
rapporto di grandezze, si passa alla misura di grandezze.
“Occorre talvolta paragonare tra loro grandezze della stessa specie. A tale scopo, in
una classe di grandezze omogenee, si sceglie un’opportuna grandezza U, che si
chiama unità di misura, e, data una qualunque grandezza A della classe, si
considera il rapporto di A ad U.
Dicesi misura della grandezza A rispetto all’unità U il numero reale che
esprime il rapporto di A ad U”. Come si può notare dalle definizioni sopra citate, nei
testi di scuola secondaria di secondo grado, il linguaggio matematico diventa più
ricco, introducendo nuovi termini e nuovi concetti per introdurre gli argomenti in
questione.
Per quanto riguarda l’area, essa viene definita come la misura di una superficie.
Dopodichè viene introdotto il metro quadrato come unità di misura delle superfici,
accennando anche ai suoi sottomultipli.
Il testo raccomanda, inoltre, di non confondere l’area con la superficie. Infatti,
puntualizza: l’area è un numero, mentre la superficie è un ente geometrico.
Dopo di ciò viene trattata l’ area delle più note figure geometriche analizzando
singolarmente i diversi casi.
L’altro testo preso in esame e risalente agli anni ’60, precisamente al 1966, è di
E. Minando, dal titolo GEOMETRIA E SUE APPLICAZIONI PER GLI ISTITUTI
MAGISTRALI, la cui casa editrice è LATTES.
30

Per quanto riguarda il perimetro la trattazione è analoga a quella del testo
precedente e la definizione che viene data è la seguente:
“I lati della spezzata si dicono lati del poligono, i vertici sono i punti ai lati, e la
somma dei lati è il perimetro del poligono”.
Anche per quanto riguarda il concetto di superficie, le differenze tra i due testi
non sono di notevole rilievo. Infatti, per spiegare tale concetto l’autore afferma che
un poligono , un cerchio, un settore circolare, occupano una parte limitata del piano
su cui giacciono; essa si dice superficie di quel poligono , di quel cerchio, o di quel
settore.
Proseguendo, puntualizza che due superfici piane A e B possono avere uguale
estensione pur avendo forma diversa e propone un esempio analogo a quello
riportato nel testo precedente.
• Se, ad es., da un foglio di cartone di spessore costante ritagliamo un triangolo
ed un cerchio, e pesandoli con una bilancia di precisione troviamo lo stesso
peso, diremo che quel triangolo e quel cerchio hanno uguale estensione, o
che sono equivalenti.
Nel libro GEOMETRIA di Cateni e Fortini, edito da Le Monnier nel 1975 viene
dato, invece, un taglio un po’ diverso, rispetto ai due volumi precedenti, per quel che
riguarda i concetti introduttivi. Per introdurre il perimetro di una figura, gli autori
definiscono il poligono convesso come la figura intersezione dei semipiani aventi
ciascuno per origine le rette contenenti i lati di una poligonale chiusa. Proseguendo
affermano che la poligonale che determina il poligono è detta contorno, mentre il
segmento somma dei lati del poligono dicesi perimetro di questo.
In seguito, viene introdotto il concetto di superficie, nel modo seguente: “Un
velo, una lamiera, un cartoncino comunque ritagliati e posti su un piano in modo da
aderirvi completamente, ci danno l’idea di ciò che chiamiamo superficie piana. Il
concetto di superficie si acquista dall’intuizione ed è dato come concetto primitivo. I
poligoni , i cerchi sono superficie piane.”
Dopo avere esposto i concetti di grandezze geometriche, di classi di grandezze e
del loro rapporto si passa alla misura di grandezze. A tal proposito, gli autori
affermano che conviene, talvolta, determinare il rapporto delle grandezze di una di
una stessa classe rispetto a una grandezza prefissata, a quella omogenea. Per
31

esempio, se abbiamo dei segmenti, può convenire determinare il loro rapporto
rispetto al metro.
Il rapporto, in tal caso, viene chiamato misura rispetto al metro. E’ evidente che la
misura dello stesso metro è 1 ed è per questo che la prefissata grandezza si dice
unità di misura o, semplicemente, unità. Dunque: la misura di una grandezza
rispetto ad una prefissata unità è il che esprime il rapporto
di quella grandezza assunta come unitaria.
La definizione di area si inserisce proprio all’interno di questo contesto, con la
seguente affermazione:
“La misura di un segmento si dice lunghezza, quella di un angolo ampiezza, quella di
una superficie area, quella di un solido volume.” Puntualizzando, poi, che la
lunghezza di un segmento, l’ampiezza di un angolo, l’area di una superficie, il
volume di un solido sono quindi numeri reali positivi.
Successivamente, ho consultato tre testi attualmente in uso nelle scuole
superiori e, con sorpresa, ho notato che non viene data nessuna definizione di
perimetro. I testi sono: CORSO DI MATEMATICA – GEOMETRIA di L.
Lamberti, L. Mereu, A. Nanni (edito dalla casa editrice ETAS); GEOMETRIA di
A.Trifoni e M. Bergamini (casa editrice ZANICHELLI); L’EVOLUZIONE DELLA
GEOMETRIA di L. Scaglanti. (Edizione CEDAM).
Come già riscontrato nei precedenti testi, viene data la definizione di poligono
come la parte di piano racchiusa da una poligonale chiusa; ma mentre i vecchi testi
concludevano tale definizione dicendo che il perimetro è la somma dei lati della
poligonale, questi nuovi volumi, che ho qui riportato, non ne fanno nessuna
menzione, dando per scontato l’acquisizione del concetto da parte degli studenti.
Infatti la parola perimetro, per esempio nel libro di L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni,
figura per la prima volta dopo molte pagine nel corollario: “un poligono regolare è
equivalente a un triangolo avente per base il perimetro del poligono e per altezza la
sua apotema”.
Molte analogie, in questi tre volumi, si riscontrano anche nella trattazione
dell’argomento riguardante l’area. Viene prima sviluppato il concetto di figure
equivalenti e successivamente si suddividono le superfici piane in classi di
equivalenza in modo che ogni classe contenga figure equiestese: l’area è la misura
32

comune alle superfici di una stessa classe ed è tale che due superfici appartenenti a
classi diverse hanno aree diverse.
E’ da notare che tutti questi volumi, vecchi e nuovi, hanno una cosa in comune:
non dedicano nemmeno un piccolo paragrafo dove si possa mettere in relazione
l’area e il perimetro per lo stesso tipo di poligono.
33

CAPITOLO III
Presentazione del lavoro sperimentale
3.1 La scuola
La scuola, presso la quale ho svolto la mia attività sperimentale, è l’Istituto
Comprensivo “V. Brancati”, sito a Favara, comune con ampiezza demografica
superiore a 30.000 abitanti, in provincia di Agrigento.
Tale istituto comprende due sedi, la sede centrale, in cui sono ospitati gli alunni
di scuola secondaria di I grado e gli alunni della scuola dell’infanzia, e la sede
staccata, che accoglie gli alunni della scuola primaria.
Quest’ultima consta di otto classi, ripartite nel seguente modo: n. 1 classe prima,
n. 1 classe seconda (organizzate a modulo verticale), n. 2 classi terze, n. 2 classi
quarte. e n. 2 classi quinte (organizzate a modulo orizzontale).
L’utenza dell’istituto proviene da un livello socio-economico medio e mediobasso.
In particolare, il plesso di scuola primaria ospita una popolazione scolastica
diversa ed eterogenea, evidenziando da una parte famiglie con entrambi i genitori
lavoratori, dall’altra rapporti familiari non sempre facili, ambienti poveri di stimoli
idonei e funzionali a uno sviluppo sano e creativo dei propri figli, che spesso
trascorrono gran parte della giornata in strada. Tali situazioni gravano negativamente
sugli alunni, compromettendone l’apprendimento. In alcuni casi le famiglie non
offrono nessuna collaborazione alla scuola, la quale, spesso, si trova ad operare da
sola a causa della latitanza delle stesse, che demandano ad essa il delicato compito
dell’istruzione, della formazione e dell’inserimento sociale dei propri figli.
Pertanto, lo scopo che la scuola intende raggiungere nasce dalla necessità di
potere offrire attività in grado di dare risposte adeguate a questa parte di utenza,
riuscendo a ridurre o, addirittura, ad eliminare le situazioni di disagio che
condizionano la formazione integrale e favoriscono forme più o meno gravi di
devianza sociale che possono sfociare in veri e propri episodi di bullismo.
34

All’interno di questo quadro socio-economico-culturale, l’utenza della scuola è
costituita da una buona parte di alunni provenienti da famiglie che seguono con
interesse il processo educativo-culturale e formativo dei propri figli, fornendo loro
validi stimoli e motivazioni.
Tenendo conto della realtà socio-culturale e dei bisogni dell’utenza (educazione
alla legalità e alla solidarietà, supporto nella costruzione di una propria identità,..) la
scuola si impegna nella formazione degli alunni, garantendo diversi servizi: servizio
psico-pedagogico, ASL che segue gli alunni in situazione di handicap e interviene in
situazioni familiari particolarmente disagiate, collaborazioni col Comune
(finanziamenti, progetti, assistenza), con l’Assessorato Regionale (P.O.R.) ……..
3.2 Articolazione del lavoro sperimentale
Il mio lavoro sperimentale è stato inserito all’interno di questa realtà scolastica,
indirizzandolo alle due classi quarte di scuola primaria. Tali classi, costituite da un
totale di 33 alunni, presentavano un livello di apprendimento eterogeneo, in quanto
ad alunni più capaci e vivaci intellettivamente si aggiungevano alunni meno capaci e
meno intuitivi.
Lo scopo del mio lavoro è stato quello di verificare se nei bambini di scuola
primaria i concetti di area e perimetro sono tra loro indipendenti e se la conoscenza
delle formule incide sull’acquisizione di tali concetti.
La letteratura di ricerca (ma anche la storia e la leggenda) ha, infatti,
ampiamente mostrato come molti studenti di ogni età siano convinti che vi sia una
relazione di dipendenza relazionale stretta tra i due concetti, del tipo: se A e B sono
due figure piane, allora:
• Se (perimetro di A > perimetro di B) allora (area di A > area di B);
• Idem con

Il mio intervento didattico è stato inserito dopo una prima trattazione degli
argomenti, affrontata dalla loro insegnante di classe, la quale si è mostrata molto
disponibile nei miei confronti, accogliendo positivamente la mia presenza.
Dal momento che i bambini possedevano già una infarinatura sui due concetti,
ho preferito iniziare con un test d’ingresso, ovvero un pre-test, per sondare le
conoscenze e le competenze acquisite in merito, passare, quindi, a una trattazione
approfondita degli argomenti, ricca di esempi di natura pratica, in modo da chiarire
eventuali dubbi e perplessità, e concludere con una verifica finale, un test che
riproponesse gli stessi quesiti, in modo da esaminare l’evoluzione dei due concetti
nella mente dei bambini.
Per questa prova ho scelto 21 schede, proponendo per ciascuna di esse un
esercizio mirato a stabilire in che misura i concetti di area e perimetro siano distinti
nella mente del bambino, mettendoli a confronto in modo da far variare l’uno
tenendo costante l’altro.
I questionari sono stati realizzati cercando di prendere in considerazione le
figure più svariate, muovendomi, però, in ordine di difficoltà crescente. I primi
quesiti riguardano, infatti, poligoni regolari, per poi passare a figure a contorno
poligonale, ma non regolare, per arrivare, infine, a figure a contorno non poligonale.
Strutturando il test in questo modo, mi sono posto come obiettivo quello di
testare se i bambini siano in grado di compiere verifiche di uguaglianza di aree, in
figure in cui oltre alle regole note si può sfruttare l’equiscomponibilità delle figure
stesse, e se nelle figure irregolari, come le spezzate chiuse e quelle curvilinee,
riescano a dimostrare di aver acquisito il concetto di unità di misura e sappiano usare
qualunque tipo di strumento abbiano a disposizione.
Le 21 schede sono state suddivise in 5 gruppi composti da figure di natura diversa:
• I gruppo (schede 1 - 6) – Equivalenze tra due quadrilateri regolari;
• II gruppo (schede 7 - 12) – Equivalenza tra due triangoli;
• III gruppo (schede 13 - 15) – Equivalenza tra due poligoni regolari;
• IV gruppo (schede 16 - 18) – Equivalenza tra due figure a contorno
poligonale;
• V gruppo (schede 19 - 21) - Equivalenza tra due figure a contorno non
poligonale.
36

Per ciascuna scheda i bambini dovevano indicare se le figure avevano la stessa
area ed, inoltre, quale metodo usavano per risolvere il problema.
I 5 gruppi di schede sono ulteriormente suddivisi secondo lo schema qui esposto:
Gruppi Figure Modalità
I Quadrato
Rettangolo
II Triangolo isoscele
Triangolo scaleno
III Poligoni
Regolari
IV Figure a contorno
Poligonale
V Figure a contorno
non poligonale
Area diversa
Perimetro uguale
Area uguale
Perimetro diverso
Area uguale
Perimetro diverso
Area diversa
Perimetro diverso
Area diversa
Perimetro diverso
Durante questa fase, come si evince dalla registrazione dei dati rilevati, riportati
più avanti, i bambini hanno mostrato molte incertezze soprattutto con gli ultimi
gruppi di schede proposte.
I risultati della prova hanno messo in luce come molti facciano confusione tra i
concetti di perimetro e area, associando all’isoperimetria delle figure
l’equiestensione delle stesse, alla diversità della forma la diversità delle aree,
confondendo il contorno della figura con la superficie da esso racchiusa. Queste
difficoltà sono state riscontrate anche nei bambini che conoscevano
mnemonicamente le formule.
A partire dai dati ricavati dalla prova d’ingresso ho, quindi strutturato il mio
intervento didattico, volto ad analizzare in maniera approfondita i concetti di
perimetro e area, mettendo in luce le differenze tra i due, corredando ogni
spiegazione con esempi di natura pratica e situazioni problematiche tratte dalla vita
reale, accattivanti e stuzzicanti.
Avendo constatato, durante il pre-test, che i maggiori dubbi si annidavano nel
concetto di area, dopo un breve riepilogo sul concetto di perimetro, mi sono
soffermato ampiamente su quello più problematico di area.
37

Dal momento che i bambini avevano già affrontato questo argomento con la loro
insegnante, durante la mia trattazione, ho voluto analizzare in maniera più critica la
questione, soffermandomi più che sulle formule sui processi.
Per iniziare, ho chiesto loro quale fosse il perimetro del loro banco e quale fosse,
invece, la sua superficie. A questa domanda, si è levato un coro di voci che indicava
come perimetro il contorno del banco e come superficie la parte verde racchiusa dal
contorno. Sono seguiti numerosi altri esempi di natura concreta, del tipo indicare
perimetro e superficie della lavagna, della finestra, della cattedra…, constatando che
gli stessi bambini che, durante il test d’ingresso, avevano manifestato grande
confusione tra i concetti di perimetro e area, in realtà, con oggetti di natura pratica
sembravano non mostrare dubbi sulla distinzione tra perimetro e superficie. A questo
punto, avendo chiara questa distinzione, sono passato a considerare la misura della
superficie, ovvero l’area.
Ho preferito iniziare prendendo in considerazione come figura geometrica il
rettangolo, sia perché questa forma trova riscontro nella maggior parte degli oggetti
presi in considerazione, sia perché dall’area del rettangolo si possono fare derivare le
regole per il calcolo delle altre figure geometriche.
Dopo aver disegnato alla lavagna un
rettangolo, chiedo loro come facciamo a misurarne
la superficie. A tal proposito qualcuno è
intervenuto ripetendo la formula mnemonicamente.
Volendo andare più a fondo, in modo da rendere chiaro il concetto a tutti, ho
chiesto di motivarla, ma, ovviamente, nessuno ha saputo darmi una spiegazione
logica sulla provenienza di tale formula. Di conseguenza, per prima cosa, ho
suddiviso il rettangolo in quadrati unitari, ponendo nuovamente la stessa domanda e
facendo notare loro che misurare la superficie di questo rettangolo vuol dire stabilire
quante volte una unità di misura è contenuta nella
sua superficie , ovvero quante volte il quadratino
unitario è contenuto nel rettangolo.
In un primo momento abbiamo contato insieme i 15
quadratini, in cui era stato suddiviso il rettangolo;
dopodiché ho fatto notare loro che potevamo pervenire alla stessa conclusione
38

contando i quadratini della base e moltiplicando il numero di questi per il numero
delle file.
A questo punto, ho evidenziato e sottolineato il fatto che il numero delle file, tre,
coincide con il numero dei quadratini disposti lungo l’altezza, giustificando la
formula. Chiarito ciò, ho ripetuto l’esercizio
scegliendo quadratini unitari di dimensioni
diverse e calcolando ogni volta la superficie, per
evitare di standardizzare subito l’unità di misura
come il cm 2 .
In ultima analisi, ho proposto di scegliere il quadratino unitario di lato 1 cm,
pervenendo quindi alla definizione di cm 2 .
Di conseguenza, è stato immediato giustificare le formule per il calcolo dell’area, sia
nel caso del quadrato, essendo questo un rettangolo con
base l e altezza l, sia nel caso del triangolo, che può essere
ricavato tagliando a metà il rettangolo secondo la diagonale,
spiegando la formula (b*h):2.
39

Nel caso del parallelogramma, per giustificare, invece, il fatto che, per il calcolo
dell’area, abbia la stessa formula del rettangolo, ho fatto notare loro che spostando il
triangolo bianco, ricavato, tracciando l’altezza del parallelogramma, in coda al
parallelogramma, si ottiene nuovamente il rettangolo.
Conclusa questa prima parte, sono passato ad approfondire l’argomento nel caso
di figure dal contorno poligonale, ma non regolare. A questo proposito, ho posto un
simpatico quesito, per far notare loro come, in questo caso, sia più indicato dividere
la figura secondo figure note, delle quali sia semplice calcolare l’area.
Alla domanda da me posta, sono riemerse le stesse
problematiche già emerse nel test d’ingresso, quindi, ho
suddiviso inizialmente il quadrato esterno in due parti,
ottenendo due rettangoli.
Il secondo lasciava facilmente intuire di essere costituito da
due triangoli uguali, mentre per il primo rettangolo questa
considerazione non era ancora immediata.
40

Di conseguenza, ho diviso il primo rettangolo in due
quadrati, facendo notare che i due quadrati, a loro volta,
risultano costituiti da due triangoli uguali, pervenendo
rapidamente alla conclusione che la parte con i fiori e quella con
il prato sono uguali.
A questo punto, sono passato a considerare, in modo quasi analogo, figure dal
contorno non poligonale, dicendo loro che, in questi casi basta considerare una
spezzata chiusa il cui contorno si avvicini il più possibile a quello dato per poi
procedere come sopra.
Conclusa la mia parentesi riepilogativa di approfondimento, ho somministrato
loro nuovamente le schede proposte all’inizio, ottenendo questa volta risultati di
gran lunga migliori, come si evince dai commenti posti a seguito delle schede.
41

3.3 Scopi dei gruppi di schede proposte
Con i gruppi di schede che ho proposto ai bambini, durante la fase della
sperimentazione, per confrontare le aree di superfici a contorno poligonale, mi sono
posto i seguenti obiettivi:
• stabilire l’indipendenza concettuale tra “area” e “perimetro”;
• stabilire l’eventuale conoscenza ed il relativo uso delle formule per il calcolo
di aree di superfici a contorno poligonale;
• stabilire se la conoscenza delle formule è semplicemente un fatto mnemonico
oppure se i ragazzi hanno appreso il concetto di area per quanto riguarda
l’equiscomponibilità.
Quest’ultimo obiettivo è messo particolarmente in risalto dall’ultimo gruppo di
schede proposte, dal momento che, in questo caso, si chiede al bambino di dare una
valutazione di aree di figure meno standardizzate. In questo caso è necessario avere
un’idea ben chiara del concetto di area, in quanto non basta la semplice applicazione
di formule, dal momento che prima occorre scomporre le figure secondo figure note.
42

3.4 Scopi del I gruppo di schede
Inizialmente ho voluto prendere in considerazione le figure più semplici per
avviare i bambini a riflettere sul concetto di area, ovvero i quadrilateri, essendo
questi le prime figure che si propongono ai bambini quando si iniziano a trattare i
concetti di perimetro e area.
In particolare, le prime tre schede riguardano quadrilateri aventi quattro lati
uguali, ovvero sono partita considerando un quadrato che ho successivamente
“schiacciato”, diminuendo la sua area e mantenendo costante il perimetro.
Le altre tre schede comprendono, invece, quadrilateri, non più con quattro lati
uguali, ma con i lati a due a due uguali, ovvero, come prima, sono partita da un
rettangolo che ho successivamente “schiacciato”, diminuendo la sua area e
mantenendo costante il perimetro.
Riassumendo, con questo primo gruppo di schede proposte ai bambini, ho posto
a confronto diverse figure, tenendo costante il perimetro e facendo variare l’area, allo
scopo di verificare se nella mente del bambino i concetti di area e perimetro sono tra
loro indipendenti.
43

Scheda 1
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
44

Scheda 2
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
45

Scheda 3
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
46

3.5 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo
Strategia n°1: esatta
di schede proposte (I tipologia)
Il bambino dopo avere osservato le figure, ne misura le dimensioni col righello e
applica correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione
che le due figure hanno area diversa.
Strategia n°2: errata
Il bambino misurando le figure si rende conto che hanno lo stesso perimetro e deduce
che hanno la stessa area.
Strategia n°3: errata
Il bambino perviene alla conclusione che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello constata che sono uguali però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui.
Strategia n°4: esatta
Il bambino constata che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda si è
ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è inferiore.
Strategia n°5: errata
Il bambino confrontando le due figure pensa che mettendo i lati della seconda figura
diritti si ottengono due figure uguali che hanno pertanto la stessa area.
Strategia n°6: errata
Il bambino dopo avere effettuato tutte le misure che gli occorrono per il calcolo
dell’area, sbaglia nell’applicare la formula per la seconda figura, confondendo
l’altezza con il lato.
47

Strategia n°7: esatta
Il bambino confronta ad occhio le due figure pervenendo alla conclusione che nella
seconda lo spazio bianco racchiuso dalle linee è inferiore rispetto alla prima.
Strategia n°8: esatta
Il bambino, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…), confronta
le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la stessa base ma
altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Strategia n°9: errata
Il bambino pensa che le due figure abbiano la stessa area perché osservandole si
rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e pensa che il rombo non sia
altro che un quadrato messo di traverso.
Strategia n°10: errata
Il bambino constata che le due figure hanno i lati della stessa dimensione, solo che la
seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che hanno la stessa area.
48

16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
Grafici della sperimentazione
Esiti scheda 1
1 2 3 4 5 6 7 8
strategie
Esiti scheda 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
strategie
Esiti scheda 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
strategie
pre-test
test
pre-test
test
pre-test
test
49

3.6 Osservazioni finali
Da questo primo gruppo di schede, si evince come nel pre-test la maggior parte
dei bambini abbia mostrato grande confusione tra i concetti di area e perimetro.
Infatti, per la prima scheda:
• Solo in 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 10 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 2 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui;
• 8 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
• altri 8 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Per la seconda scheda:
• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui;
• 5 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
50

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 1 bambino ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché
osservandole si rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e ha
ritenuto che il rombo non è altro che un quadrato messo di traverso;
• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Per la terza scheda:
• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali;
• 5 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 1 bambino ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché
osservandole si rende conto che si tratta di un quadrato e di un rombo e ha
ritenuto che il rombo non è altro che un quadrato messo di traverso;
51

• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Visti gli esiti del pre-test, durante il mio intervento didattico ho voluto
approfondire in modo più critico l’argomento puntualizzando la differenza tra i
concetti perimetro e area, come scritto sopra. Dopo la mia trattazione, le risposte alle
schede sono state le seguenti:
per la prima scheda:
• 15 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 5 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 1 bambino ha notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda
si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è
inferiore.
• 3 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Per la seconda scheda:
• 17 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
52

• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i
lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono diritti e nella
seconda i lati sono obliqui;
• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la
seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie
è inferiore;
• 4 bambini dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Per la terza scheda:
• 16 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i
lati con il righello risultano uguali;
• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la
seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie
è inferiore;
• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…),
confronta le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la
stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
53

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
54

Scheda 4
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
55

Scheda 5
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
56

Scheda 6
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
57

3.7 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del primo gruppo
di schede proposte (II tipologia)
Strategia n°1: esatta
Il bambino dopo avere osservato le figure, ne misura le dimensioni col righello e
applica correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione
che le due figure hanno area diversa.
Strategia n°2: errata
Il bambino misurando le figure si rende conto che hanno lo stesso perimetro e deduce
che hanno la stessa area.
Strategia n°3: errata
Il bambino perviene alla conclusione che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello constata che sono uguali però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui.
Strategia n°4: esatta
Il bambino constata che sebbene le due figure abbiano lati a due a due uguali, la
seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è
inferiore.
Strategia n°5: errata
Il bambino confrontando le due figure pensa che mettendo i lati della seconda figura
diritti si ottengono due figure uguali che hanno pertanto la stessa area.
Strategia n°6: errata
Il bambino dopo avere effettuato tutte le misure che gli occorrono per il calcolo
dell’area, sbaglia nell’applicare la formula per la seconda figura, confondendo
l’altezza con il lato.
58

Strategia n°7: esatta
Il bambino confronta ad occhio le due figure pervenendo alla conclusione che nella
seconda lo spazio bianco racchiuso dalle linee è inferiore rispetto alla prima.
Strategia n°8: esatta
Il bambino, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…), confronta
le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la stessa base ma
altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Strategia n°9: errata
Il bambino constata che le due figure hanno i lati della stessa dimensione, solo che la
seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che hanno la stessa area.
59

16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
Grafici della sperimentazione
Esiti scheda 4
1 2 3 4 5 6 7 8
strategie
Esiti scheda 5
1 2 3 4 5
strategie
6 7 8 9
Esiti scheda 6
1 2 3 4 5
strategie
6 7 8 9
pre-test
test
pre-test
test
pre-test
test
60

3.8 Osservazioni finali
Anche per queste tre schede gli esiti del pre-test hanno messo in luce una grande
confusione tra i concetti di area e perimetro, infatti:
Per la quarta scheda
• Solo in 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 10 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 2 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui;
• 8 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
• altri 8 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Per la quinta scheda:
• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono
diritti e nella seconda i lati sono obliqui;
• 6 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
61

• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Per la sesta scheda:
• gli stessi 4 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 5 alunni hanno risposto che le due figure hanno la stessa area perché
misurando i lati con il righello risultano uguali;
• 6 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati delle figure diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa area;
• altri 6 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 1 bambino confrontando le due figure si è reso conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 3 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
per la quarta scheda:
• 15 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
62

• 5 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 1 bambino ha notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la seconda
si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie è
inferiore.
• 3 di essi, dopo aver confrontato le due figure, hanno risposto che mettendo i
lati della seconda figura diritti si ottengono due figure uguali aventi la stessa
area;
• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce.
Per la quinta scheda:
• 17 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i
lati con il righello risultano uguali, però nella prima i lati sono diritti e nella
seconda i lati sono obliqui;
• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la
seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie
è inferiore;
• 4 bambini dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini confrontando le due figure si sono resi conto che si tratta di figure
che hanno la stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
63

• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
Per la sesta scheda:
• 16 bambini hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 1 alunno ha risposto che le due figure hanno la stessa area perché misurando i
lati con il righello risultano uguali;
• 2 bambini hanno notato che sebbene le due figure abbiano lati uguali, la
seconda si è ottenuta schiacciando la prima e di conseguenza la sua superficie
è inferiore;
• altri 5 dopo avere effettuato tutte le misure per il calcolo dell’area, hanno
sbagliato ad applicare la formula per la seconda figura, confondendo l’altezza
con il lato;
• 4 bambini, servendosi di strumenti alternativi al righello (dito, penna,…),
confronta le due figure rendendosi conto che si tratta di figure che hanno la
stessa base ma altezza diversa e pertanto la loro area differisce;
• 2 bambini hanno notato che le due figure hanno i lati della stessa dimensione,
solo che la seconda appare inclinata rispetto alla prima, concludendo che
hanno la stessa area.
64

3.9 Scopi del II gruppo di schede
In questo secondo gruppo di schede ho preso in considerazione una serie di sei
triangoli, in cui ho mantenuto costante l’area e fatto variare il perimetro, con lo scopo
di stabilire se c’è confusione nell’apprendimento del concetto di area e fino a che
punto questo apprendimento è legato al concetto di perimetro.
Le prime tre schede comprendono triangoli isosceli costruiti dimezzando
successivamente la base e raddoppiando l’altezza, in modo da mantenere costante
l’area.
Nelle altre tre schede ho preso in considerazione triangoli scaleni, costruiti facendo
variare opportunamente la base e l’altezza, in modo che le figure siano comunque
equivalenti.
Questo secondo gruppo di schede è stato inserito per poter fare un confronto tra
le risposte che i ragazzi daranno per le schede del primo gruppo, cioè per figure
isoperimetriche, e quelle che daranno per questo gruppo, cioè per figure equivalenti.
65

Scheda 7
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
66

Scheda 8
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
67

Scheda 9
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
68

3.10 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo
Strategia n°1: esatta
gruppo di schede proposte (I tipologia)
Il bambino effettua le misure della base e dell’altezza, in entrambi i casi, e applica
correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione che le
due figure hanno la stessa area.
Strategia n°2: errata
Il bambino, misurando i lati, si rende conto che le due figure hanno diverso perimetro
deducendo che anche l’area è diversa.
Strategia n°3: esatta
Il bambino immaginando che la seconda figura sia stata ottenuta allungando la prima,
deduce che le due figure hanno la stessa area.
Strategia n°4: errata
Il bambino osserva le figure constatando che i lati sono diversi e deduce che anche la
loro area è diversa.
Strategie n°5: esatta
Il bambino, dopo avere effettuato in entrambi i casi le misure della base e
dell’altezza, utilizzando strumenti anche alternativi al righello, si rende conto nella
seconda figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area
è rimasta invariata.
Strategia n°6: errata
Il bambino deduce che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad occhio
lo spazio della seconda gli appare maggiore trattandosi di una figura più lunga.
69

Strategia n°7: errata
Il bambino da la risposta corretta, applicando la formula in modo errato.
70

18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
Grafici sperimentazione
Esiti scheda 7
1 2 3 4
strategie
5 6 7
Esiti scheda 8
1 2 3 4
strategie
5 6 7
Esiti scheda 9
1 2 3 4
strategie
5 6 7
pre-test
test
pre-test
test
pre-test
test
71

Per la settima scheda
3.11 Osservazioni finali
• Solo in 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 12 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 9 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro
area è diversa;
• 5 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 5 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula.
Per l’ottava scheda
• Gli stessi in 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 9 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 8 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro
area è diversa;
• 10 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 4 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula.
Per la nona scheda
• Gli stessi 2 hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
72

• 9 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 8 alunni constatando che i lati sono diversi hanno dedotto che anche la loro
area è diversa;
• 10 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 4 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
Per la settima scheda
• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta
allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;
• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la
loro area è diversa;
• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda
figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è
rimasta invariata;
• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula.
73

Per l’ottava scheda
• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta
allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;
• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la
loro area è diversa;
• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda
figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è
rimasta invariata;
• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula;
Per la nona scheda
• 18 alunni hanno adoperato correttamente la formula pervenendo alla
conclusione esatta;
• 3 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 2 alunni hanno immaginato che la seconda figura sia stata ottenuta
allungando la prima, deducendo che le due figure hanno la stessa area;
• 2 bambini, constatando che i lati sono diversi, hanno dedotto che anche la
loro area è diversa;
• 2 dopo avere misurato la base e l’altezza, hanno constatato che nella seconda
figura è stata dimezzata la base e raddoppiata l’altezza e che pertanto l’area è
rimasta invariata;
74

• 3 hanno risposto che le figure hanno area diversa perché confrontandole ad
occhio lo spazio della seconda appare maggiore trattandosi di una figura più
lunga;
• 3 hanno risposto in modo corretto, ma hanno sbagliato ad applicare la
formula;
75

Scheda 10
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
76

Scheda11
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
77

Scheda 12
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
78

3.12 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del secondo
Strategia n°1: errata
gruppo di schede proposte (II tipologia)
Il bambino deduce che le figure hanno area diversa perché hanno perimetro diverso.
Strategia n°2: errata
Il bambino, trattandosi di triangoli dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa
che abbiano area diversa.
Strategia n°3: esatta
Il bambino confrontando ad occhio o con l’ausilio di strumenti occasionali (quante
volte è contenuto il tappo della penna,..) le due figure si rende conto che lo spazio
bianco racchiuso dalle linee è uguale in entrambi i casi.
Strategia n°4: errata
Il bambino, osservando le figure, pensa che nel secondo caso la figura sia più lunga,
dal momento che gli spigoli sporgono più orizzontalmente, e deduce che la loro area
è diversa
Strategie n°5: errata
Il bambino misura correttamente la base ma nel misurare l’altezza la confonde con il
lato, quindi applica la formula, pervenendo alla conclusione che le due figure hanno
area diversa.
Strategia n°6: esatta
Il bambino effettua le misure della base e dell’altezza, in entrambi i casi, e applica
correttamente la formula per il calcolo dell’area pervenendo alla conclusione che le
due figure hanno la stessa area .
79

Strategia n°7: errata
Il bambino da la risposta corretta, applicando la formula in modo errato.
80

16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
12
10
8
numero alunni 6
4
2
0
Grafici della sperimentazione
Esiti scheda 10
1 2 3 4
strategie
5 6 7
Esiti scheda 11
1 2 3 4
strategie
5 6 7
Esiti scheda 12
1 2 3 4
strategie
5 6 7
pre-test
test
pre-test
test
pre-test
test
81

Per la decima scheda
3.13 Osservazioni finali
• 15 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 9 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i
triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco
standardizzata;
• 5 hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché hanno pensato
che la figura fosse più lunga, dal momento che gli spigoli sporgono più
orizzontalmente;
• 4 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa;
Per l’undicesima scheda
• 14 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i
triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco
standardizzata;
• 10 hanno risposto che le due figure hanno la stessa area, poiché la seconda si
ottiene allungando la prima;
• 2 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa;
• solo 2 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo
dell’area pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;
• 2 hanno risposto correttamene applicando la formula in modo errato.
82

Per la dodicesima scheda
• 8 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 9 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i
triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco
standardizzata;
• 2 hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché hanno pensato
che la figura fosse più lunga, dal momento che gli spigoli sporgono più
orizzontalmente;
• 4 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa.
Per quest’ultima scheda 10 bambini hanno risposto in modo diverso rispetto a
quanto avevo ipotizzato nell’analisi a priori, sostenendo che le due figure
avessero la stessa area in quanto girando (ruotando) la seconda figura si
ottengono due figure uguali.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
Per la decima scheda
• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i
triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco
standardizzata;
• 12 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa;
• 14 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area
pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;
83

Per l’undicesima scheda
• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 4 hanno risposto che le due figure hanno la stessa area, poiché la seconda si
ottiene allungando la prima;
• 10 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa;
• 15 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area
pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;
Per la dodicesima scheda
• 4 bambini hanno risposto che le figure considerate avevano la stessa area
perché avevano lo stesso perimetro;
• 3 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché i
triangoli in questione “sono diversi”, ovvero hanno forma diversa e poco
standardizzata;
• 10 hanno misurato correttamente la base ma hanno confuso l’altezza con il
lato, hanno poi applicato la formula, pervenendo alla conclusione che le due
figure hanno area diversa;
• 12 bambini hanno applicato correttamente la formula per il calcolo dell’area
pervenendo alla conclusione che le due figure hanno la stessa area;
Anche dopo il mio intervento 4 bambini hanno risposto che le due figure hanno
la stessa area in quanto girando (ruotando) la seconda figura si ottengono due
figure uguali.
84

3.14 Scopi del III gruppo
In questo gruppo di schede ho inserito figure geometriche che presentano maggiore
difficoltà di quelle del primo e del secondo gruppo. Anche questa volta ho mantenuto
l’area costante, facendo variare il perimetro, ma adesso si tratta di figure meno
standardizzate e non note che possono confondere la mente dei bambini, abituati a
studiare quasi esclusivamente poligoni regolari. In questo caso, non è sufficiente la
mera applicazione delle formule imparate a memoria, in quanto si richiede dapprima
di suddividere le figure date secondo figure note, calcolare l’area di ciascuna di
queste parti in cui è stata scomposta la figura successivamente pervenire all’area
della figura sommando i contributi parziali di ciascuna parte.
Scopo di queste schede è quello di capire se è effettivamente chiaro il concetto di
area.
85

Scheda 13
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
86

Scheda 14
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
87

Scheda 15
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
88

3.15 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del terzo gruppo
Strategia n°1: errata
di schede proposte
Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di lati e deduce che hanno
area diversa
Strategia n°2: errata
Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che
abbiano area diversa.
Strategia n°3: esatta
Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare
l’area, applicando la formula; successivamente effettuando le somme parziali
constata che le figure sono equivalenti.
Strategia n°4: errata
Il bambino deduce che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.
Strategia n°5: errata
Il bambino da la risposta corretta, utilizzando un procedimento errato.
Strategia n°6: errata
Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare
l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.
89

16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
12
10
8
numero alunni 6
4
2
0
16
14
12
10
numero alunni 8
6
4
2
0
Grafici della sperimentazione
Esiti scheda 13
1 2 3 4 5 6
strategie
Esiti scheda 14
1 2 3 4 5 6
strategie
Esiti scheda 15
1 2 3 4 5 6
strategie
pre-test
test
pre-test
test
pre-test
test
90

Per la tredicesima scheda
3.16 Osservazioni finali
• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.
Per la quattordicesima scheda
• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.
Per la quindicesima scheda
• 8 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 16 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 6 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
Per la tredicesima scheda
• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a
calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le
somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;
91

• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;
• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono
riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali
pervenendo alla conclusione errata.
Per la quattordicesima scheda
• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a
calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le
somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;
• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;
• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono
riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali
pervenendo alla conclusione errata.
Per la quindicesima scheda
• 2 bambini hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 4 alunni hanno risposto che le due figure hanno area diversa poiché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa e poco standardizzata;
• 10 hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono riusciti a
calcolare l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le
somme parziali, constatando che le figure sono equivalenti;
• 2 hanno risposto che hanno area diversa poiché hanno perimetro diverso;
• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note per le quali sono
riusciti a calcolare l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali
pervenendo alla conclusione errata.
92

3.17 Scopi del IV gruppo di schede
Questo gruppo di schede comprende figure irregolari, per le quali non è possibile
l’applicazione di regole note. Lo scopo è quello di verificare se i bambini sono in
grado di stabilire l’uguaglianza di aree utilizzando l’equiscomponibilità o
introducendo un’opportuna unità di misura. Mentre per le figure dei gruppi
precedenti si può pervenire alla conclusione con l’utilizzo delle regole note, anche
nel caso del precedente gruppo di schede, che comprende figure facilmente
scomponibili secondo figure note, per questo gruppo bisogna iniziare a ragionare in
modo diverso.
93

Scheda 16
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
94

Scheda 17
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
95

Scheda 18
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
96

3.18 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quarto
Strategia n°1: errata
gruppo di schede proposte
Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che
abbiano area diversa.
Strategia n°2: esatta
Il bambino scompone le figure in quadratini unitari e, dopo avere contato quanti
quadratini contiene l’una e quanti l’altra, perviene alla conclusione che hanno area
diversa.
Strategia n°3: esatta
Il bambino prova a vedere quante volte è contenuto un oggetto (temperamatite, tappo
della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi stabilire che hanno area diversa.
Strategia n°4: esatta
Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare
l’area, applicando la formula; successivamente effettuando le somme parziali
constata che le figure non sono equivalenti.
Strategia n°5: errata
Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare
l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.
Strategia n°6: errata
Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di lati e deduce che hanno
area diversa
97

Strategia n°7: errata
Il bambino constata che le figure hanno perimetro diverso e deduce che hanno area
diversa.
98

18
16
14
12
10
numero alunni
8
6
4
2
0
Grafici della sperimentazione
Esiti IV gruppo di schede
1 2 3 4
strategie
5 6 7
pre-test
test
99

Per il quarto gruppo di schede
3.19 Osservazioni finali
• 18 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;
• 10 alunni hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 5 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché hanno
perimetro diverso.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
Per il quarto gruppo di schede
• 4 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;
• 4 alunni hanno provato a vedere quante volte è contenuto un oggetto
(temperamatite, tappo della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi
stabilire che hanno area diversa;
• 8 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, riuscendo a
calcolarne l’area, applicando la formula; successivamente hanno effettuato le
somme parziali, constatando che le figure non sono equivalenti;
• 12 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, per le quali sono
riusciti a calcolarne l’area, ma non hanno effettuato le somme parziali
pervenendo alla conclusione errata;
• 2 alunni hanno constatato che le figure hanno un numero diverso di lati,
deducendo che hanno area diversa;
• 2 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché hanno
perimetro diverso.
100

3.20 Scopi del V gruppo di schede
Quest’ultimo gruppo di schede proposte ha lo scopo di vedere se i ragazzi sono in
grado di introdurre una unità di misura, e vedere quindi se sono in grado di
determinare un rapporto tra due superfici, di cui una è scelta come unità di misura.
101

Scheda 19
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
102

Scheda 20
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
103

Scheda 21
Le due figure qui rappresentate hanno la stessa area?
• Si;
• No;
• Non lo so;
Che metodo hai usato per rispondere?
104

3.21 Analisi a priori delle possibili strategie risolutive del quinto
Strategia n°1: errata
gruppo di schede proposte
Il bambino non sa come misurarle e, dunque, non sa rispondere.
Strategia n°2: errata
Il bambino, trattandosi di figure dalla forma diversa e poco standardizzata, pensa che
abbiano area diversa.
Strategia n°3: esatta
Il bambino scompone le figure in quadratini unitari e, dopo avere contato quanti
quadratini contiene l’una e quanti l’altra, perviene alla conclusione che hanno area
diversa.
Strategia n°4: esatta
Il bambino prova a vedere quante volte è contenuto un oggetto (temperamatite, tappo
della penna, …) nell’una e quante nell’altra per poi stabilire che hanno area diversa.
Strategia n°5: errata
Il bambino constata che le figure hanno un numero diverso di curve e deduce che
hanno area diversa.
Strategia n°6: esatta
Il bambino confrontando ad occhio le due figure si rende conto che lo spazio bianco
racchiuso dalle linee è diverso in entrambi i casi, deducendo che la loro area è
differente.
Strategia n°7: errata
Il bambino scompone le figure secondo figure note per le quali riesce a calcolare
l’area, ma non effettua le somme parziali pervenendo a una conclusione errata.
105

20
15
numero alunni 10
5
0
Grafici della sperimentazione
Esiti V gruppo di schede
1 2 3 4
strategie
5 6 7
pre-test
test
106

Per il quinto gruppo di schede:
3.22 Osservazioni finali
• 4 bambini non hanno saputo rispondere, non essendo in grado di misurarle;
• 20 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;
• 9 hanno risposto che hanno are diversa poiché hanno un numero diverso di
curve.
Dopo la mia trattazione, le risposte alle schede sono state le seguenti:
Per il quinto gruppo di schede:
• 5 bambini hanno risposto che le figure hanno area diversa perché “sono
diverse”, ovvero hanno forma diversa o poco standardizzata;
• 4 alunni hanno tentato di suddividere le figure in quadratini unitari, non
portando a termine la consegna;
• 2 hanno risposto che hanno are diversa poiché hanno un numero diverso di
curve;
• 8 bambini confrontando ad occhio le due figure si sono resi conto che lo
spazio bianco racchiuso dalle linee è diverso in entrambi i casi, deducendo
che la loro area è differente;
• 14 bambini hanno scomposto le figure secondo figure note, non pervenendo
tuttavia alla conclusione
Come si evince dai dati riportati, dopo il lavoro effettuato la maggior parte dei
bambini ha risposto correttamente, applicando adeguatamente la formula per tutte e
tre le schede. Sebbene alcuni abbiano continuato a perseverare nella confusione tra i
concetti di area e perimetro, molti altri hanno appreso bene la differenza tra i due.
107

Conclusioni e problemi aperti
Dalla lettura dei grafici riportati di seguito a ogni gruppo di schede, si può
constatare che la maggior parte dei bambini, cui ho rivolto la mia indagine,
nonostante possedesse già una prima infarinatura sui due concetti, compresa la
conoscenza delle formule, non aveva ben chiari e distinti i concetti di area e
perimetro. Dai risultati registrati nel pre-test è emersa, infatti, una grande confusione
tra i due concetti. Frequente era l’associazione isoperimetria-equiestensione delle
figure presentate e gran parte dei bambini associava alla diversità della forma, la
diversità delle aree, confondendo il contorno della figura con la superficie da esso
racchiusa. Queste difficoltà sono state riscontrate anche nei bambini che
conoscevano mnemonicamente le formule.
È per questo che durante il mio intervento ho cercato di analizzare in maniera
approfondita i concetti di perimetro e area, mirando a un’acquisizione consapevole di
tali concetti, mediante problemi di natura pratica, che costituissero interessanti spunti
di riflessione, in modo da mettere in luce le differenze tra i due.
Al termine della parentesi riepilogativa di approfondimento, ho somministrato loro
nuovamente le schede proposte all’inizio, ottenendo questa volta risultati di gran
lunga migliori, come si evince dai commenti posti a seguito delle schede e dai grafici
illustrativi. Gran parte dei bambini ha acquisito una conoscenza più consapevole
sull’argomento, non associando più alla stessa area lo stesso perimetro e viceversa e
comprendendo che all’aumentare o diminuire dell’una non corrisponde un aumento o
diminuzione dell’altra.
I risultati raggiunti hanno costituito un importante spunto di riflessione per la mia
futura professione di insegnante e, attraverso questa attività sperimentale, ho potuto
rendermi conto dell’importanza che riveste la metodologia di insegnamento
adoperata per favorire l’acquisizione di conoscenze da parte dei bambini. Il ruolo
dell’insegnante non è più, infatti, quello di semplice trasmettitore di saperi, bensì
quello di facilitatore del processo di apprendimento. In questa prospettiva, la
risoluzione di problemi rappresenta per gli allievi un valido spunto alla ricerca, alla
riflessione e all’elaborazione di nuove conoscenze. L’insegnante potrà utilmente
108

sfruttare la curiosità innata degli studenti per far loro meditare su dati ed
informazioni riguardo a problemi che li possono coinvolgere direttamente. Operare
in contesti che interessano, perché derivanti da fenomeni in parte conosciuti, può
essere un attivo strumento di lavoro e di stimolo per passare dalla realtà alla sua
astrazione simbolica, introducendo gradualmente il linguaggio della matematica, in
modo che gli studenti arrivino a percepire che le formule non appaiono più come
ricette, ma sono parte fondamentale di un linguaggio che ha il vantaggio della
concisione e della non equivocità. In base ai risultati ottenuti con il mio lavoro
sperimentale, ho individuato alcuni problemi aperti, interrogativi che pongono
sicuramente nuove questioni da chiarire e spunti di riflessione che possono costituire
un punto di partenza per successive riflessioni e ricerche:
• Quali sarebbero le risposte se l’indagine fosse rivolta ad alunni di diverso
ordine di scuola?
• Le risposte al lavoro proposto sarebbero differenti se presentate in contesti
socio-culturali diversi tra loro?
• Quali sarebbero le risposte se l’indagine fosse rivolta a un campione di
insegnanti?
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Allegati
Da pag. 111 a pag. 122 sono riportate in allegato alcune delle schede più significative
compilate dai bambini durante il pre-test .
Da pag. 123 a pag. 128 sono riportate in allegato alcune delle schede più significative
compilate dai bambini durante il test .
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