numeri interi relativi in complemento a uno

Materiale di approfondimento:
numeri interi relativi in
complemento a uno
Federico Cerutti
AA. 2011/2012
Modulo di Elementi di Informatica e Programmazione
http://apollo.ing.unibs.it/fip/
2011 Federico Cerutti

Complemento a uno
2 n-1 -1
−(2 n-1 -1)
01111111
00000010
00000001
00000000
numeri positivi
+2
+1
+0
10000000 11111111 −0
11111110 −1
11111101 −2
numeri negativi
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Complemento a uno
Definizione
Nella codifica in complemento a uno, i numeri positivi si codificano
normalmente secondo la codifica binaria naturale, i numeri negativi come il
complemento a uno del positivo corrispondente. Avendo a disposizione n bit
per la rappresentazione dei numeri interi relativi, il complemento a uno di
un numero binario N è definito come 2 n − 1 − N
Esempio
Con un codice a 8 bit il numero (+21)10 è rappresentato da (00010101)2, il
numero (−21)10 da (11101010)2.
Il bit più significativo di un numero positivo è 0, quello di un numero
negativo è 1.
Il valore 0 ha due rappresentazioni distinte corrispondenti a +0 e −0,
ovvero con un codice a 8 bit 00000000 e 11111111.
Con un codice a n bit, i valori rappresentabili vanno da −(2 n−1 − 1) a
+(2 n−1 − 1).
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Complemento a uno
Esempio
Sia N = 10010100. Il complemento a uno di C1 di N è:
11111111 −
C1 = 10010100
01101011
=
REGOLA PRATICA EQUIVALENTE
Si complementano (invertono) i valori di tutti i bit.
N.B. Anche nel caso del complemento a uno valgono simmetria del
complemento a uno e la regola sull’estensione del segno.
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Aritmetica in complemento a uno
Addizione: l’addizione di due numeri rappresentati in
complemento a 1 dà il risultato corretto sommando al risultato
ottenuto il riporto (a patto che il risultato sia entro il range dei
numeri rappresentabili)
Si ha overflow se i riporti generati nelle due posizioni più
significative (tenendo conto anche di quelli generati nella somma
del riporto!) sono diversi. In modo equivalente, si possono
controllare i segni come nel caso del complemento a due.
Sottrazione: per sottrarre un numero basta sommare il suo
complemento a uno.
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Aritmetica in complemento a uno: esempi
Esempio
Calcolare (−99)10 + (−44)10 con i numeri codificati in binario con
complemento a uno con 8 bit (N.B. i numeri codificabili in
complemento a uno con 8 bit appartengono all’intervallo [−127, 127]).
(99)10 ↦ (01100011)2; (−99)10 ↦ (10011100)2. (44)10 ↦ (00101100)2;
(−44)10 ↦ (11010011)2.
10011100 +
11100011 =
(−99)10 + (−44)10 ↦
(1) 01111111
00000001
10000000
11
+
=
(10000000)2 = (−01111111)2 ↦ (−127)10.
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Aritmetica in complemento a uno: esempi
Esempio
Calcolare (−99)10 + (−54)10 con i numeri codificati in binario con
complemento a uno con 8 bit.
(99)10 ↦ (01100011)2; (−99)10 ↦ (10011100)2. (54)10 ↦ (00110110)2;
(−54)10 ↦ (11001001)2.
10011100 +
11001001 =
(−99)10 + (−54)10 ↦
(1) 01100101
00000001
01100110
10
+
=
(01100110)2 ↦ (102)10???
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Complemento a uno
Esercizio da appello
Rappresentare i numeri −27 e −9 in complemento a uno con 8 bit e con 6
bit. Eseguire la somma in entrambe le rappresentazioni e commentare i
rispettivi risultati.
Soluzione
A 6 bit
(27)10 ↦ (011011)2; (−27)10 ↦ (100100)2. (9)10 ↦ (001001)2;
(−9)10 ↦ (110110)2.
(−27)10 + (−9)10 ↦
100100 +
110110 =
(1) 011010 +
000001 =
011011
10
Ho overflow perché i riporti sono diversi (oppure: perché sommando due
negativi ottengo un positivo).
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Complemento a uno
Esercizio da appello
Rappresentare i numeri −27 e −9 in complemento a uno con 8 bit e con 6
bit. Eseguire la somma in entrambe le rappresentazioni e commentare i
rispettivi risultati.
Soluzione
A 8 bit
I corrispettivi numeri a 8 bit li ottengo estendendo il segno:
(−27)10 ↦ (11100100)2; (−9)10 ↦ (11110110)2.
11100100 +
11110110 =
(−27)10 + (−9)10 ↦
(1) 11011010
00000001
11011011
11
+
=
Non c’è overflow perché i due riporti sono uguali.
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Complemento a uno
Esercizio da appello
Rappresentare i numeri decimali −65 e 18 in notazione binaria in
complemento a uno con 8 bit. Eseguire la somma algebrica dei numeri così
ottenuti e commentare il risultato.
Soluzione
(65)10 = (01000001)2; (−65)10 ↦ (10111110)2. (18)10 ↦ (00010010)2.
10111110 +
00010010 =
(−65)10 + (18)10 ↦
(0) 11010100
00000001
11010101
00
+
=
Non ho overflow perché i riporti sono uguali (non c’è riporto in alcuna delle
posizioni n e n − 1). Infatti nella rappresentazione a complemento (sia esso
complemento a uno o complemento a due) non è possibile ottenere l’overflow
sommando un numero positivo ed un numero negativo.
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